最优捕鱼策略数学模型1
数学建模实验报告最优捕鱼策略
最优捕鱼策略一.实验目的：1、了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法；2、通过最优捕鱼策略建模案例，使用MATLAB软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。
二.实验内容：（最优捕鱼策略）生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。
考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，…，4龄鱼的某种鱼。
该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。
而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。
使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。
该鱼群本身有如下数据：1．各年龄组鱼的自然死亡率为（1/年），其平均质量分别为,,,（单位：g）；2．1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为ⅹ105（个），3龄鱼为其一半；3．卵孵化的成活率为ⅹ1011/（ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）；有如下问题需要解决：1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,,,（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。
三. 模型建立假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的；b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3；c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。
d 、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。
（且可设x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n ：每年的产卵量；k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；）进而可建立模型如下：max （total （k ））=⎰⎰+3/203/2043)(99.22)(42.0dt t kx dt t kx)(8.0)(11t x dtt dx -= t ∈[0，1]，x1（0）= n ×n +⨯⨯11111022.11022.1 )(8.0)(22t x dt t dx -= t ∈[0，1]，x2（0）= x1（1）)()42.08.0()(33t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1） . )(8.0)(33t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x3（32-）= x3（32+）)()8.0()(44t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）)(8.0)(44t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x4（32-）= x4（32+）)]32()32(5.0[10109.1435++⨯=x x n四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）1. 先建立一个的M 文件：function y=buyu(x);global a10 a20 a30 a40 total k;syms k a10;x1=dsolve('Dx1=*x1','x1(0)=a10');t=1;a20=subs(x1);x2=dsolve('Dx2=*x2','x2(0)=a20');t=1;a30=subs(x2);x31=dsolve('Dx31=-+*k)*x31','x31(0)=a30');t=2/3;a31=subs(x31);x32=dsolve('Dx32=*x32','x32(2/3)=a31');t=1;a40=subs(x32);x41=dsolve('Dx41=-+k)*x41','x41(0)=a40');t=2/3;a41=subs(x41);x42=dsolve('Dx42=*x42','x42(2/3)=a41');t=2/3;a31=subs(x31);nn=*10^5**a31+a41);Equ=a10-nn**10^11/*10^11+nn);S=solve(Equ,a10);a10=S(2,1);syms t;k=x;t3=subs(subs(int*k*x31,t,0,2/3)));t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));total=*t3+*t4;y=subs((-1)*total)2.再建立一个的M文件：global a10 a20 a30 a40 total;[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);ezplot(total,0,25);xlabel('');ylabel('');title('');format long;ktotal=-mtotal;a10=eval(a10)a20=eval(a20)a30=eval(a30)a40=eval(a40)format shortclear五．结果分析1．鱼总量与时间图：x 10405101520252.可以看出捕捞强度对收获量的影响：实验输出数据：y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =y =+011k =total =+011a10 =+011a20 =+010a30 =+010a40 =+007则k=时，最高年收获量为total=×1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：×1011×1010×1010×107六．实验总结本次实验的目的是了解差分方程（递推关系）的建立及求解，以及掌握用差分方程（递推关系）来求解现实问题的方法。
最优捕鱼策略
最优万义亮 曾龙飞 邓巧云摘要：本文针对渔业这类可再生资源的合理运用问题进行优化设计，在稳定的前提下，讨论如何控制捕捞使持续生产量最大。
最后，运用计算机软件求出捕捞强度和最大的捕捞产量，使该渔业公司可在持续稳定的条件下进行捕捞。
对于问题（一），我们通过1龄鱼和2龄鱼在全年内只受到自然死亡的制约，写出相应的微分方程，而3龄鱼和4龄鱼，其数量在前8个月不仅受自然死亡率影响还受捕捞强度系数的影响，后4个月只受自然死亡率的影响，分阶段写出微分方程及表达式。
假设自然死亡和捕捞都是连续的，则可以建立问题（一）的数学模型，此模型为非线性规划模型，最后通过MATLAB 软件和LINGO 软件分别求解。
对于问题（二），对问题通过分析易知，可以利用问题（一）所得到的迭代方程，可以很容易确定模型中的目标函数和约束条件，也易写出5年得捕捞总量的表达式。
我们以5年捕捞总量最大为目标函数，利用MATLAB 软件可以计算出捕捞强度和最大捕捞总量，并通过模型的验证在此捕捞强度下，不会使5年后鱼群的生产能力有太大的破坏。
我们通过用软件编程计算，得出以下结论：在保持每年开始捕捞中各年龄组鱼群条件不变，得出4龄鱼捕捞强度为17.36292，3龄鱼的捕捞强度为8.68146，总的捕捞量为1110887076.3⨯g ；渔业公司要在5年后鱼群的生产能力不受太大的破坏下，得出捕捞强度在)8.17,5.17(∈k 下，达到最大的捕捞量为12106056.1⨯g 。
关键字：非线性规划 捕捞策略 渔业 优化问题 自然死亡率一、问题的重述（略）二、问题的分析对于如何实现可持续捕捞，即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变，并且在此前提下得到最高的年收获量。
根据题意知，1龄鱼和2龄鱼全年只受自然死亡率的制约，而3龄鱼和4龄鱼在前2/3年除了受自然死亡率的影响还受到捕捞强度系数的制约，而后1/3年只受自然死亡率的制约。
对1龄鱼和2龄鱼可由)()(trxdttdxii-=去分析各龄鱼在t年的数量关系，而对3龄鱼和4龄鱼分析数量关系因考虑到鱼会受到捕捞强度系数的制约，则可得到关系式为：)()42.0()(3txkrdttdxi--=可得到3龄鱼和4龄鱼的数量与时间t的函数关系式，同时也可通过关系式求出各个时刻各龄鱼的数量。
最优捕鱼问题培训课件
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程
最优捕鱼问题
< >20
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
dx
dx n
为 n 阶 线 性 微 分 方 程 . 一 般n 阶 线 性 微 分 方 程 具 有 如 下 形 式 ：
dny dx n
a1
x
d n1 y dx n 1
a n1 x
dy dx
an xy
f x
这 里 a1 x , … , a n x . f x 是x 的 已 知 函 数 .
微分方程
常微分方程 方程中自
偏微分方程 方程中自
变量的个数只有一个
变量的个数为两个或两
最优捕鱼问题
个以上
< >5
5. 解 和 隐 式 解
若 函 数 y x 代 入 方 程 (4) 后 ， 能 使 它 变 为 恒 等 式 ， 则 称 函 数
y x 为方程(4)的解.
若 关 系 式 x, y 0 决 定 的 隐 函 数 y x 是 (4) 的 解 ， 则 称 x, y 0 为 方 程 (4)的 隐 式 解 .
dy bx dx ay
ay2bx2 k kay02 bx02
y(t)
假设
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t),s(t)
SI 模型
建模
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日 为, 且使接触的健康人致病 接触率
最优捕鱼策略
于是当N < N1时,dN/dt < 0; 当N1 < N < N2 时,dN/dt >0; 当N > N2时,dN/dt < 0 可见,N=N2是稳定的. 又由N1的表达式知,h越小,N1越小,所以要用小收获率 h开发低密度的种群,反之亦然.故收获率与种群密度有 关.
3 抵押贷款买房
一对青年夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率为0.01, 贷款期限为25年=300月.假设这对夫妇每月可节余900元,问 是否可以去买房?
n(T+1)=α3 ·N3(T) ·e
- (r+E3)2/3
+ α4 ·N4(T) ·e
- (r+E4)2/3
N1(T+1)=
1.22×10 •n(T+1) 11 1.22×10 + n(T+1)
11
N2(T+1)=e -r·N1(T) (4) N3(T+1)=e -r·N2(T) N4(T+1)= N3(T) ·e E3=0.42 ·E4
11 11 11
, N2=
e × 1.22×10 ·n 1.22×10 +n
11 11
11
,
N3=
, N4=
1.22×10 × n ×e -(2/3E3+3r) 11 -(2/3 E4+r) ) . (1.22×10 +n) (1 – e
说明：
对问题的正确理解，在建模中是至关重要的， 它直接地影响到所建模型是否正确地反映实际情况。
摘 要
本问题是典型的可再生资源开发问题,因此我们以成熟的 Scheafer模型为基础求解.在建模过程中,我们对各年龄组鱼在 一年的数量变化规律应用微分方程进行分析,建立捕捞期和 产卵期各组鱼群的数量随时间变化的指数型方程.此后我们 又对各组鱼群之间的数量关系建立按年份变化的离散型方程. 最终获得既简单又比较精确的离散型迭代方程组.
数学建模课程设计_最佳捕鱼方案
数学建模论文姓名: 文勇学号：201315020220论文标题：最佳捕鱼方案1.问题的提出一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商，水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼25000余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和，捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？2.问题分析通过简单的分析和思考，该问题可以归为一个数学规划问题。
条件（1）（2）是针对目前状况的约束，条件（3）是通过卖鱼可以获得的利润，条件（4）是对成本的约束。
在四个条件约束的情况下，我们可以建立模型。
由于对损失率的理解不同，我们进行了不同的假设，并在这些假设下建立了模型一和模型二、三。
模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。
而在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。
模型二将不考虑日供应量超过1500kg的情况，而模型三考虑。
模型三的建立采用多目标的规划方法进行求解。
3.条件假设1、日供应量不受外界条件的变化而变化，是一定的。
2、当天售出的草鱼数量等于当天捕捞的草鱼。
3、水位的变化除了每天的自然放水，不考虑蒸发等其他的情况。
4、假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,捕捞成本成呈递减等差数列，而草鱼的损失成递增等差数列。
数学建模案例——最佳捕鱼方案
最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。
根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。
由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。
其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。
由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。
关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。
一． 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。
捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二． 模型假设1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。
2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。
最优捕鱼策略_数学建模
精心整理西安邮电大学（理学院）数学建模报告摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。
问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。
最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。
???问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。
二、模型假设1、这种鱼分为四个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼；2、各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07克,11.55克,17.86克,22.99克；3、各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；m……i龄鱼每条鱼的平均重量in……9月底该种鱼总共产卵数量*n……卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量k……对i龄鱼活鱼的捕捞强度系数i四、问题分析针对问题一：如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。
那么根据以上信息我们可以建立动态整型规划模型，即以每年的前八个月作为动态规划中的8种状态，在满足文中的可持续捕捞的约束条件下，先确定这前八个月中，每个月的捕捞量，最后求得这八个月总捕捞量的最大值；当然我们还可以建立微分方程模型，把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连续变化的，将每一龄鱼的初始数量减去第八个月末的数量⎪⎩⎪⎨≤≤-=---129,1,1,1,,j c x x i j i j i i i j i j i 这个等式说明了该模型中我们把每一个月看做一个时间单位，鱼的数量随时间的变化是离散的，当每个月月初各龄鱼的数量固定时，该月要捕捞的总的活鱼数量也就固定了。
数学模型_捕鱼业的持续收获
F ( x) f ( x) h( x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x ( t ) F ( x ) rx (1
x N
) Ex
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
产量模型
F ( x) 0
x ( t ) F ( x ) rx (1 x 0 N (1 E r
xm x
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
x F (x) (1)
一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x
x x0
0 x x0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有 lim x ( t ) x 0 , 称x 是方程(1)的稳定平衡点 0 t
x 0 稳定 , x1不稳定
x 0 不稳定 , x1 稳定
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大
y hm h
x N
图解法
F ( x) f ( x) h( x)
y=rx y=E*x
P*
f ( x ) rx (1
x s N (1 Es r )
c p
T(E) S(E)
p , c
E s , xs
捕捞过度
0
ER E*
Es r
E
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx dt rx
dx dt
r ( x ) x rx (1
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最优捕鱼策略数学模型摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。
问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。
最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。
问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大的破坏的前提下，使5年的总收获量最大，即在5年内鱼群能够可持续繁殖和生长。
本题以5年的总捕获量为目标函数，以5年后各龄鱼的数量没有发生太大的变化为条件，建立承包期总产量模型。
最终得到的捕捞策略如表1-1。
只要各年龄鱼每年的捕捞数量小于表1-1中的数量，就可以实现5年后鱼群的生产能力没有发生太大的变化。
关键字一、问题重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，……，4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的8个月内进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。
比例系数不妨称捕捞强度系数。
通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。
渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
1）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。
2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。
已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。
二、模型假设1、这种鱼分为四个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼；2、各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07克, 11.55克,17.86克,22.99克；3、各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；4、捕捞采用固定努力量捕捞，即只允许每年的1-8月份捕捞，产卵和孵化期为每年的后四个月；5、4龄鱼和3龄鱼产卵，2龄鱼和1龄鱼不产卵。
6、卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22× /(1.22×+n)，并且孵化出的幼鱼在下一年初成为1龄的鱼；7、产卵期时鱼的自然死亡率发生在产卵之后；8、4龄鱼和3龄鱼每年只产卵一次，并且产卵集中在九月份，到十二月底孵化完毕；9、使用1.3mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1，且每年投入的捕捞能力固定不变；10、只考虑该种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出，也不考虑其他方面的影响；11、对于模型一，为简化模型，将每一龄鱼自然死亡数量均摊到每一个月内； 12、i 龄鱼在第二年分别变为i+1龄鱼，i=1,2,3；4龄鱼仍为4龄鱼； 13、该鱼的生长周期为1年；14、自然死亡的鱼也在捕捞范围之内，即计入捕获量，并且能够全部捕捞。
三、 符号变量及说明0,i x ……该年年初时i 龄鱼的总数量'0,i x ……第二年年初时i 龄鱼的总数量i c ……i 龄鱼平均每月死亡数量j i x ,……i 龄鱼在j 月初的活鱼总数量 i m ……i 龄鱼每条鱼的平均重量n ……9月底该种鱼总共产卵数量*n ……卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量i k ……对i 龄鱼活鱼的捕捞强度系数四、 问题分析针对问题一：如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。
那么根据以上信息我们可以建立动态整型规划模型，即以每年的前八个月作为动态规划中的8种状态，在满足文中的可持续捕捞的约束条件下，先确定这前八个月中，每个月的捕捞量，最后求得这八个月总捕捞量的最大值；当然我们还可以建立微分方程模型，把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连续变化的，将每一龄鱼的初始数量减去第八个月末的数量就可得到该龄鱼的捕捞数量，然后可得到这八个月内总的捕捞量，当然这也要满足可持续捕捞的约束条件。
针对问题二：本文将此题转化为在已知条件下，求最大捕获量的问题。
我们从文中可知，该渔业公司五年的捕捞作业后，鱼群的生产能力不能受到太大破坏，这和前一道题的可持续捕捞条件有点区别，就是该题的约束条件已变为五年捕捞后各龄鱼的数量比承包前的要少，只要程度控制在一定的范围内就不会对鱼群的生产能力造成太大破坏。
此时我们要引入破坏系数)10(<≤p p ，p 就是五年后各龄鱼与五年前各龄鱼数量的比值，p 值越大，破坏程度越小，反之，破坏程度越大。
我们可以把对鱼群的破坏看成是每一年的累积效应，即每一年都可能有破坏，这样我们就可以在问题一所建立的模型的基础上，修改一下约束条件，就可以求出这五年内该渔业公司的最大捕获量。
五、 模型的建立与求解 模型一、动态整型规划模型在没有人工捕捞的情况下，由文中的所有龄鱼的自然死亡率0.8（1/年）可知i 龄鱼在一年内死亡的总数量为：08.0i x ，其中0i x 为i 龄鱼年初的数量，为了简化数学模型，我们考虑把i 龄鱼的死亡总数量平均分配到每一个月，这样i 龄鱼在每一个月的死亡数量均为128.00i i x c =J 月初的i 龄鱼的活鱼总数量：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--=---129,81,1,1,1,,j c x j x k c x x ij i j i i i j i ji ，这个等式说明了该模型中我们把每一个月看做一个时间单位，鱼的数量随时间的变化是离散的，当每个月月初各龄鱼的数量固定时，该月要捕捞的总的活鱼数量也就固定了。
由于在后四个月内某些3,4龄鱼在产卵后才会死去，况且从卵孵化成幼鱼要经过一段时间，为了确保所有有效卵能在年底孵化成幼鱼，进入1龄鱼的阶段，我们使它们在9月底产卵完毕，则在9月底总共产卵数目为:9,49,321ax ax n += 其中 1.109=a ×105由卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量为：nb nbnq n +==*，其中=b 1.22×1011则j 月i 龄鱼的捕捞重量为：)(,i j i i i c x k m +则在这八个月内各龄鱼总捕捞重量为：∑∑==+4181,)(i j i ji iic xk m第二年年初各龄鱼的总数量记为*0,i x ， 则*0,1x =nb nbnq n +==* 112,10,--*-=i i i c x x ，3,2=i 312,3412,40,4c x c x x -+-=*则得如下动态整型规划优化模型： 目标函数：∑∑==+481,)(m a x i j i j i i i c x k m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=<<≤*N x c k k k x x t s ji i i i i ,430,0,,42.010. 考虑到鱼的数量相当的大，为计算方便可将上述模型简化非整形规划得：目标函数：∑∑==+4381,)(m a x i j i j i i i c x k m⎪⎩⎪⎨⎧=<<≤*430,0,42.010.kk k x x t s i i i模型二、微分方程模型我们把鱼群数量的变化看成是随时间连续变化的，r 为自然死亡率，则在[t ，t +Δt ]内，根据自然死亡率的定义，由于不捕捞1、2龄鱼，所以2,1,)()(1)()()(lim0=-=∙∆∆+-=→∆i dtt dx t x t x t t t x t x r i i i i i t变形则得2,1)()()(0,0=⎪⎩⎪⎨⎧=-==i x t x t rx dt t dx i t i i i解得2,1,)(0,==-i e x t x rt i i对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行，因此，前8个月内，即1280≤≤t 时捕捞与死亡均影响鱼的变化，因而微分方程变形为4,3,)()()()(0,0=⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-i x t x t x k r dt t dx i t i i i i由上式解得4,3)()(0,==+-i ex t x tk r i i i 1280≤≤t当1128≤≤t 时， 4,3)128()()128(0,==--i ex x t x t r i i i因而，3、4龄鱼在第二年初的数⎪⎩⎪⎨⎧+==--*-*r r r e x x ex x x e x x 12440,412430,30,40,20,3)128()128(为了确保所有有效卵能在年底孵化成幼鱼，进入1龄鱼的阶段，我们假设它们在9月底产卵完毕，则在9月底总共产卵数目为:9,49,321ax ax n += 其中 1.109=a ×105由卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量为：nb nbnq n +==*，其中=b 1.22×1011，n 为卵的成活率则 1、2龄鱼在第二年初的数量为⎪⎩⎪⎨⎧=*=*-*nx ex x r0,10,10,2（7）此外，我们还求得每年对3、4龄鱼的总捕捞重量为∑⎰=-++=430,1280444333))128(())()((i i i x x dt t x k m t x k m Z 由以上分析，同时考虑到鱼的数量相当的大，为计算方便可可得如下模型：目标函数： Z m a x⎪⎩⎪⎨⎧=<<≤*430,0,42.010.kk k x x t s i i i六、 模型的检验与误差分析七、 模型的评价与改进方向。