高中数学 二项式定理随堂练习
高中数学选修--二项式定理(练习)
二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 1、展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；② 二项式系数：依次为组合数;,,,,,,210n n rn n n n C C C C C ΛΛ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. 2 二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.3 二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大.1、621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是___．（用数字作答）2、91)x展开式中的常数项是（ ）(A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84 3、()221x -展开式中2x 的系数为（ ）（A ）15（B ）60 （C ）120 （D ）2404、921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项是 （用数字作答）5、5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．6、（x +1x）9展开式中x 2的系数是 .（用数字作答） 7、6321(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 8、72(1)x -的展开式中21x 的系数为 ．(用数字作答)9、()()34121x x +-展开式中x 的系数为______________。
10.52x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为 （用数字作答）．11、64(1(1的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．412、512x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．10B ．5C ．52D ．113.若(x +12x)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6(B)7(C)8(D)914 求()x x2912-展开式的： （1）第6项的二项式系数；（2）第3项的系数；（3）x 9的系数。
(完整word版)高考数学二项式定理专题复习专题训练)
二项式定理1.二项式定理：)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n nn n n ∈++⋅⋅⋅++=+---. 2.二项式定理的说明：（1）()n a b +的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从n 逐项减到0）、b 的升次幂（数从0逐项减到n ）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a 、b 的指数之和等于n 。
所以()n a b +与()n b a +的二项展开式是不同的。
（3）二项式项数共有(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式。
（4）二项式系数：展开式中各项的系数为1-r n C ，1,...,3,2,1+=n r . （5）二项式通项：展开式中的第r 项记作r T ，）（1,...,3,2,1111+==--+-n r b a C T r r n r n r ，共有(1)n +项。
（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
如：nn r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---的 第2项的二次项系数为1n C ，而第2项的系数为1n C -.（7）常见二项式：令1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x nn n n n n nn n ∈++⋅⋅⋅++=+--； 令1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n nn n ∈-+⋅⋅⋅++-=-. 3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即kn n k n n n n n n n C C C C C C --=⋅⋅⋅==,,,110 .（2）二项式系数和：令1a b ==，则二项式系数的和为：n n n n n n n C C C C 2110=++⋅⋅⋅++-，变形有：12321-=+⋅⋅⋅+++n n n n n n C C C C . （3）15314202-=⋅+⋅⋅+++=⋅+⋅⋅+++n n n nn n n C C C C C C ； （4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和： 已知n n n x a x a x a x a a x a 22332102...)(2++++=+，则奇数项的系数和：n a a a a 2420...+++=_______________________________； 偶数项的系数和：12531...-+++n a a a a =_______________________________； （5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数n 是偶数时，则中间项为第）（12+n项的二项式系数2nn C 取得最大值；如果二项式的指数n 是奇数时，则中间项有两项，分别为第21+n 项和第23+n 项，对应的二项式系数12n n C -，12n nC+同时取得最大值。
高考数学专题《二项式定理》练习
专题11.3 二项式定理1．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知()1nx +=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+…+a n =16，则自然数n 等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32．（2021·福建宁德·高三期中）对任意实数x ，有423401234(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-，则3a =（）A ．6B ．7C ．8D ．103．（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（ ）A.-80B.-40C.40D.804．（2021·上海·闵行中学高三期中）62⎛⎫+ ⎪⎝⎭ax x 展开式的常数项为20，则实数a =_____________．5．（2021·上海·曹杨二中高三期中）在22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中4x 项的系数为___________.6．（2021·广东福田·高三月考）已知多项式()()34432123411x x x a x a x a x a ++-=++++，则1a =________．7．（2021·浙江·模拟预测）已知()()()5455410212121x a x a x a x a =+++++++ ，则4a =___________.8．（2021·浙江·模拟预测）已知88018(1)x a a x a x +=+++…，2x 的系数为______；系数最大的项是第______项.9．（2020·上海市浦东中学高三月考）在1)2nx的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于__________.10．（2021·山东师范大学附中高三月考）在二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中恰好第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________.1．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若()()()()34520122201201220121111x x x x a a x a x a x ++++++++=++++ ，则3a 等于（）x y x y x y 练基础练提升A ．42012C B ．32013C C ．42013C D ．52012C 2.【多选题】（2021·贵州遵义·高二期末（理））将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数()11r n n C +，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x 使得()()111111r xr n n n n C n C nC -+=++，则x 的值是（）．11121213 16 1314 1121121415120 130 120 151613016016013016A ．rB ．1r -C ．1r +D ．2r +3．【多选题】（2021·湖北武汉·高三期中）已知二项式6ax ⎛⎝，则下列说法正确的是（ ）A ．若2a =，则展开式的常数为60B ．展开式中有理项的个数为3C ．若展开式中各项系数之和为64，则3a =D ．展开式中二项式系数最大为第4项4．（2021·全国·模拟预测）()6213x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数是___________.（用数字作答）5.（2021·浙江·学军中学高三期中）在nx ⎛⎝的展开式中，所有项的系数和为64，则n =___________.常数项的系数为___________.6．（2021·河南·高三月考（理））若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为0，则该展开式的常数项为___________.7．（2021·全国·高二课时练习）在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第______行会出现三个相邻的数的比为3:4:5.8．（2021·浙江·模拟预测）二项式61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.9．（2021·全国·高二课时练习）求31||2||x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．10．（2021·全国·高二课时练习）求3451920(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ++++++++++ 的展开式中含3x 的项．1.（2019·全国高考真题（理））（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．242．（2020·北京高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．103．（2020·全国高考真题（理））25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．204.（2021·北京高考真题）341()x x-展开式中常数项为__________．5.（2021·浙江高考真题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.6．（2019·浙江高考真题）在二项式9)x +的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.练真题。
高二数学“二项式定理”同步训练(有详细答案)
—第1页—高二数学“二项式定理”同步训练（一）参考答案班级 姓名 学号一．选择填空题1．()()()()()=+++++---2012112019120205lg 5lg 2lg 5lg 2lg 2lg r r r C C （ A ）A ．1B ．()207lgC ．202D ．20102．在()5223++x x 的展开式中x 的系数为 （ B ）A ．160B ．240C ．360D ．800 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ B ）A ．4 B. 5 C. 6 D. 84． 3)2||1|(|-+x x 展开式中的常数项的值是 ( A )A ．–20B ．20C ．–15D ．-28 5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于 （ D ）A ．0B ．pqC ．22p q +D ．22p q -6．若(1-2x)5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值范围是 ( B ) A ．x ＜-101B ．-101＜x ≤0 C ．-41≤x ＜101 D ．-41≤x ≤07. 已知()nx 21+的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中3x 项的系数是( C ) A ．56 B ．80 C ．160 D ．180 8. 由100)233(+x 展开所得的x 的多项式中系数为有理数共有 ( A ) A ．51项 B ．17项 C ．16项 D ．15项9．（1-x ）2n-1展开式中，二项式系数最大的项 （ D ） A ．第1n -项B ．第n 项C ．第1n -项与第1n +项D ．第n 项与第1n +项10. ()1021x +的展开式中系数最大的项是 （ D ） A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项二．填空题11．)()4511x -展开式中4x 的系数为 45 ，各项系数之和为 0 ．12. 多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++- （6n >）的展开式中，6x 的系数为 1 ．13. ()()()()44321111x x x x ++++ 的展开式中x 的系数是______ 990 ．14. 5522105)2(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则=++++420531a a a a a a 122121-．三．解答题15．若()nx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-11log 5的展开式中各奇数项二项式系数之和为32，中间项为2 500，求x ． 解：∵各奇数项的二项式系数之和为1232n -=∴6n =∴中间项为2500)(20)()1(log3)1(log336455===--x x x x C T∴5(log 1)33]5x-=5log15555(log 1)1(log 1)log 2x x x x -=-=-=∴∴∴ 25555(log )log20log 1log 21255x xx x xx --==-===∴∴∴或或 16．已知)0,()1()(*212≠∈+++m N n mx m x n n 与的展开式中含n x 项的系数相等，求实数m 的取值范围.解： 21()n x m ++的展开式的通项为1r T +则：21121r n rr r n T C xm +-++=⋅ ∴由已知可得：21n r n +-= ∴1r n =+此展开式中n x 的系数为1121n n n C m +++ 又∵21)n m x +（的展开式中n x 的系数为2n n n C m ⋅∴由已知可得：11212n n n nn n C m C m +++=即：212n n n n C m C +⋅= ∴111(1)21221n m n n +==+++，m 为n 的减函数∵n N *∈∴12m >又当1n =时， m ax 23m =∴1223m <≤∴所求m 的取值范围为：12(,]2317．求（2x-1）5的展开式中： （1）各项系数之和；（2）各项的二项式系数之和；（3）偶数项的二项式系数之和； （4）各项系数的绝对值之和；（5）奇次项系数之和．—第3页—18．已知nxx x )1(3+展开式中前三项系数之和为37．（1）求x 的整数次幂的项； （2）求展开式中二项式系数最大的二项式系数．解：由已知可得：37210=++n n n C C C ，即：(1)12n n n -++=37∴2720n n +-=8=∴n 或9-=n （舍去）．（1）7211861881(rrrrr r T C C x--+==，r ∴必为6的倍数，且08,r ≤≤06r ∴=或x ∴的整数次幂的项为x T x T 28,7121==．（2）由8=n 知展开式共9项，最大的项式系数为5658=C ．19. 若某一等差数列的首项为112225113nn nn C A ----，公差为m x x)5225(32-的常数项，其中m 是7777－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值． 解：由已知得： 1125{22113n n n n -≤-≤-，∴111375n ≤≤n N ∈又 12100n a ∴=∴=，首项注意到45)176(777777-==+=d m ，进而知公差，可得，从而等差数列的通项公式是：n a n 4104-=，设其前k 项之和最大，则)1(410404104{<+-≥-k k ，解得k=25或k=26， 故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，13002625==S S ．。
（完整版）二项式定理（习题含答案）
（完整版）⼆项式定理（习题含答案）⼆项式定理⼀、求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（⽤数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展⽰式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、⼆项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由⼆项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故⼆项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+?==30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．⼆、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由⼆项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在⼆项式的展开式中，只有第5项的⼆项式系数最⼤，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由⼆项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最⼤值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代⼊⼆项式，得，令，代⼊⼆项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代⼊⼆项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1 a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a ++++=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，⼆项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x ⽆关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由⼆项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r54﹣r=1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据⼆项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、⼆项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -?=+?+? ++?K 01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】⼆项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的⼀次性与⼆次项系数之和为14，其⼆项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利⽤⼆项式表⽰，使其底数⽤8的倍数表⽰，利⽤⼆项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2 312(21)22222225418721n nn n n +-++++==-=?+=?=-。
二项式定理训练题（含答案）
⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。
二项式定理练习题与答案
二项式定理练习题一、单选题A．252B．426二、多选题5．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）A ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想11C C C r r rn n n-+=+B ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：012C C C C 2n n n n n n +++⋅⋅⋅+=C ．第20行中，第10个数最大D ．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9四、单空题五、双空题二项式定理练习题一、单选题【答案】B【分析】根据二项式系数的性质分析求解.【详解】二项式612x ⎫⎪⎭的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选：B.2．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中所选数1,1,2,3,6,10,20, 1，构成的数列{}n a 的第n 项，则12a 的值为（）A ．252B ．426C ．462D ．924【答案】C式的二项式系数的性质，即可求解【分析】根据题意，结合数字的构成规律，得到a 12即第11行的第6项，结合二项展开.【详解】由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中所选数1,1,2,3,6,10,20, ，构成的数列{}n a 的第n 项，根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的2n项，偶数项为每行的第12n +项，则12a 即第11行的第11162+=项，结合二项展开式的二项式系数的性质，可得61211C 462a ==.故选：C.【答案】C【分析】利用二项展开式通项即可得解.【详解】8141x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为418C r r r T x +=，0,1,2,,8r = ，当0,4,8r =时，159,,T T T 为有理项，故3m =.故选：C.4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m ()0m >均为整数，若a 和b 被m 除得的余数相间，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡，如9和21被6除得的余数都是3，则记()921mod 6≡.若()mod10a b ≡，且0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅ ，则b 的值可以是（）A ．2019B ．20C ．2021D ．2022【答案】C【分析】确定()10203101a ==-，展开计算得到()1mod10a ≡，对比选项得到答案.【详解】()()201001222020201020202020C C 2C 2C 21239101a =+⋅+⋅++⋅=+===- ，()100101991010101010101C 10C 10C 10C -=⋅-⋅+-⋅+ ，故()1mod10a ≡，依次验证选项知()20211mod10≡，故选：C.二、多选题5．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）A ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想11C C C r r rn n n-+=+B ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：012C C C C 2n n n n n n +++⋅⋅⋅+=C ．第20行中，第10个数最大D ．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9【答案】ABD【分析】对于A 选项，根据“杨辉三角”的规律进行判断即可；对于B 选项，根据二项式系数之和的性质进行计算即可；对于C 选项，第20行的数为()20C 0,1,2,,20ii =⋅⋅⋅，进而求解其最大项即可；对于D 选项，根据规律找到第7、8个数，直接计算即可.【详解】对于A 选项，由“杨辉三角”的规律可得A 正确；对于B 选项，由二项式系数的性质知012C C C C 2n nn n n n +++⋅⋅⋅+=，B 正确；第20行的数是()20C 0,1,2,,20ii =⋅⋅⋅，最大的1020C 是第11个数，C 错误；第15行中，第7个数与第8个数分别是615C 和715C ，615615771515A C 76!A C 97!==，D 正确.故选：ABD.【答案】AD【分析】利用赋值法解决，对于A ：通过给x 赋值0和1即可作出判断；对于B 和C ：通过给x 赋值1和1-，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；对于D ：2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过给x 赋值12得到结果即可作出判断.【详解】由题意，当0x =，2021011a ==，当1x =时，202101232021(1)1a a a a a +++++=-=- ；A 正确；当=1x -时，2021012320213a a a a a -+-+-= ，所以20211352021312a a a a +++++=- ，20210242020312a a a a -++++= ，BC 错误；2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x =时，2202101220211110222a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2202112202101111222a a a a ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．D 正确.故选：AD ．【答案】960【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解．【详解】因为，()1021x +展开式的第8项为()37310C 2960=x x ，所以，()1021x +的展开式的第8项的系数为960.故答案为：960【答案】4或4【分析】根据二项展开式的通项公式结合二项式系数运算求解.【详解】因为()1sin nx +的展开式的通项公式为()1C 1sin C sin ,0,1,2,,rr n r r rr n n T x x r n -+=⨯⨯==⋅⋅⋅，令1=-r n ，可得111C sin sin n n n n n T x n x ---==⋅；令r n =，可得1C sin sin n n nn n T x x +==；由题意可得：19n +=，解得8n =，所以二项式系数最大的为第5项，则4445835C sin 70sin 2T x x ===，且()0,πx ∈，则sin 0x >，可得sin x =所以π4x =或3π4x =.故答案为：π4或3π4.【答案】240【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即得.【详解】二项式61(x -的展开式通项为36621661C ()((2)C ,N,6r r r r r rr T xr r x --+=-=-∈≤，由3602r -=，得4r =，所以所求常数项为4456(2)C 1615240T =-=⨯=.故答案为：240【答案】3【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出a 值.【详解】52()x x +的展开式的通项5521552C ()2C (0,1,2,3,4,5)r r r r r rr T x x r x--+===，令521r -=-得3r =，令520r -=，无解，所以52(2)()ax x x-+的展开式中的常数项为3352C 80240a a ⋅==，所以3a =.故答案为：3【答案】2或2-【分析】分别令0x =和2x =-可得系数的和与奇数项与偶数项系数的差，进而利用平方差公式整体代入可得关于m 的方程，求解即可.【详解】在()()()()20232202301220231111x m a a x a x a x ++=+++++++L 中，令0x =得()202301220231m a a a a +=++++L ，令2x =-得()2023012320231m a a a a a -+=-+-+-L ，所以()()2220230220221320233a a a a a a +++-+++=L L ()0123202301232023()a a a a a a a a a a =-+-+-+++++ ()()()202320232023220231113m m m =+-+=-=，所以213m -=，实数m 的值为2±,故答案为：2±.【答案】82【分析】用二项式定理展开，注意合并相反项再求和.【详解】(554321001122334455555551C 1C 1C 1C 1C 1C 1=+++++((((((5543210011223344555555551C 1C 1C 1C 1C 1C 1=+++++可得两式和的结果为82，故答案为：82【答案】8【分析】令1,2x y =-=，可得答案.【详解】注意到()()()()3232248112122a b c d a b c d -+-+=⋅-+⋅-⨯+⋅-⨯+⋅.又33223(106)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=()3101628⎡⎤⨯-+⨯=⎣⎦.故答案为：8【答案】16【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案.【详解】因为)61展开式的通项为()()662166C1C 1r rrrr r r T x--+=-=-，06,N r r ≤≤∈，)6111x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项由两项构成，即()6661C 11⨯-=与()24461C 115x⨯⨯-=，所以)6111x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为11516+=.故答案为：16.15．在2nx ⎫⎪的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之【答案】729/63【分析】根据二项式系数之和求出n 的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.【详解】由题意2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有的二项式系数之和为64，即264,6n n =∴=，设62x ⎫⎪⎭的各项的系数为0126,,,,a a a a ，则各项的系数的绝对值之和为0126||||||||a a a a ++++ ，即为62x ⎫⎪⎭中各项的系数的和，令1x =，660126||||||||(12)3a a a a ++++=+= ，即各项的系数的绝对值之和为63729=，故答案为：729【答案】270【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】令()5523211332322a x x a a x ⎛⎫=⇒+=+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()552233233a x x x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，设()5233x x --的通项为()()()5235102355C 3C 31rrrrrr r r r T x x x -----=-=⋅⋅-⋅，当2r =时，()55C 311027270rrr -⋅⋅-=⨯=，即展开式中的常数项为270.故答案为：270【答案】35-【分析】由条件利用二项式定理，分类讨论求得5221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数.【详解】5221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示5个因式221x x -+的乘积，在这5个因式中，有1个因式选x ，其余4个因式选1，相乘可得含x 的项；或者有3个因式选x ，1个因式选22x-，1个因式选1，相乘可得含x 的项；故x 项的系数为：()1431154521C C C C 2C 35⨯+⨯⨯-⨯=-.故答案为：35-.【答案】4【分析】由二项展开式通项公式可确定04,a a ，可构造关于n 的方程，解方程求得结果.【详解】()12nx -展开式的通项公式为：()C 2rr n x -，分别令0,4r r ==，01a ∴=，4416C n a =，则0417a a +=，即4116C 17n +=，解得：4n =.故答案为：4.【答案】10【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可．【详解】由522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为5535522C C 2kk k kk k x x x --⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，0,1,,5k = ，令532k -=，得1k =，所以展开式中2x 的系数为115C 210⨯=．故答案为：10．五、双空题【答案】1-364【分析】通过赋值的思路计算即可.【详解】令0x =得，()6011a -==；令1x =得，65432101a a a a a a a =++++++，令=1x -得，6543210729a a a a a a a =-+-+-+，两式相减得，()5317282a a a -=++，解得531364++=-a a a .故答案为：1；-364.。
人教A版高中数学选修一轮复习随堂训练二项式定理人教
第三讲 二项式定理随堂演练巩固 1.1231()x x-展开式中的常数项为( )A.-1 320B.1 320C.-220D.220 【答案】 C 【解析】 1r T +=C 121231()r rrxx-⨯⨯-=C 431212(1)r r rx-⨯-⨯,令43120r -=,得r=9.∴10T =-C 912=-C 312220=-.故选C.2.设801(1)x a a x +=++…88a x +,则0a ,1a ,…8a ,中奇数的个数为( )A.2B.3C.4D.5 【答案】 A【解析】 ∵08a a ==C 08171a a =,==C 188=,26a a ==C 283528a a =,==C 38456a =,=C 4870=,∴奇数的个数为2,故选A.3.6()y x y x -的展开式中3x ,的系数等于 .【答案】 15【解析】 二项展开式中的1r T +项为1r T +=C 66()(1)()y rr r r x y x -⋅-⋅=C 622(6)6(1)r r r r r r xy-----⋅,其中1r T +中x 的次数为3,∴263rr --=.∴r=2. 故该项系数为C 226(1)-=C 2656215⨯==.4.若2012(1)n x a a x a x +=+++…(n n a x n +∈N )*,且1a +2a =21,则其展开式各项系数中最大值等于 . 【答案】 20【解析】 由题意知12a a +=C 1n n -+C 221n n -=,解得n=6.故其展开式各项系数中最大值为C 3620=.5.已知(1)n x -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32,则(1)n x -的展开式中系数最小的项是 . 【答案】 310x -【解析】 令x=-1,得232n =,所以n=5.故系数最小的项是-C 333510x x =-.课后作业夯基基础巩固1.353(1)(1x x +-的展开式中x 的系数是( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 【答案】 C【解析】 3(12)x +的通项公式为1r T +=C 25332(1)r r r x x ,-的通项公式为1(1)k k T +=-C 35kk x ,要求展开式中x 的系数,只需3(12)tx +中的常数项及一次项系数与(1-53)x 中的一次项系数及常数项分别相乘再求和,即1⨯(-10)+1212⨯=.2.若1(2)n x x -展开式中含1x 项的系数为-560,则n 等于( ) A.4B.6C.7D.11【答案】 C【解析】 展开式的通项为1(1)r r T +=-C 2r n rn x -32n r -,令32n r -=-1,则n=3r-2.又(1)r -C 2=560r n rn --,显然r 必为奇数,n 亦为奇数,经验证n=7. 3.已知423401234(12)x a a x a x a x a x +=++++,则1234234a a a a -+-等于( ) A.8 B.-8 C.16 D.-16 【答案】 B【解析】由二项展开式的通项公式得:1a =C 13142128a ⨯⨯=,=C 222431224a ⨯⨯=,=C 313441232a ⨯⨯=,=C 4041⨯⨯42=16,从而可知12342348a a a a -+-=-. 4.若231()nx x +的展开式中只有第6项的系数最大,则常数项为( )A.462B.252C.210D.10 【答案】 C【解析】 由题意110r n T +,=,=C 31010()rr x -⋅21()r x =C 10r⋅305r x -,令30-5r=0,得r=6,所以常数项为7T =C 610210=.5.在3115()n xx +的展开式中,所有奇数项的系数之和为1 024,则中间项系数是( )A.330B.462C.682D.792 【答案】 B【解析】 ∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n ,而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等.由题意得121n -,= 024,∴n=11.∴展开式共有12项,中间项为第六项、第七项,系数为C 511=C 611462=.6.设201(1)n x x a a x ++=++…22n n a x +,则24a a ++…2n a +的值为( ) A.312n+B.312n- C.32n - D .3n【答案】 B【解析】 根据二项式定理,令x=1,则01a a ++2a +…+23n n a =,又令x=-1,则01a a -+2a -…1n a +=两式相加得022(a a ++…+2)31n n a =+,又01a =,所以2a +4a +…+31231222n n a n a +--==.7.(1)n ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243,不含y 的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n 的值可能为( )A.a=2,b=-1,n=5B.a=-2,b=-1,n=6C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5 【答案】 D 【解析】 令x=0,y=1,得5(1)2433n b +==;令x=1,y=0,得5(1)322n a +==,则可取a=1,b=2,n=5,故选D.8.二项式41(1)n x +-的展开式中,系数最大的项是 … ( )A.第2n+1项B.第2n+2项C.第2n 项D.第2n+1项和第2n+2项 【答案】 A【解析】 由二项展开式的通项公式1k T +=C 41()k kn x +-=(1)k -C 41k k n x +,可知系数为(1)k -C 41k n +,与二项式系数只有符号之差,故先找中间项为第2n+1项和第2n+2项,又由第2n+1项系数为2(1)n -C 241n n +=C 241n n +,第2n+2项系数为21(1)n +-C 2141n n ++=-C 21410n n ++<,故系数最大项为第2n+1项.9.若C 1n x +C 22n x +…+C (1)1n n nn x x =+-能被7整除,则x 、n 的值可能分别为、.(写出一组数即可) 【答案】 5 4【解析】 C 1n x +C 22n x +…+C (1)1n n nn x x =+-,当x=5,n=4时4(1)1613537n x ,+-=-=⨯能被7整除.10.已知26(1)(kx k +是正整数)的展开式中8x ,的系数小于120,则k=. 【答案】 1【解析】 由1r T +=C 2666()r r r kx k --=C 2(6)6r r x -得8x 的系数为4k C 24615k =,由415120k <得48k <,由于k 为正整数,于是k=1.11.(2012陕西西安检测)若82012()x m a a x a x -=+++…88a x +,其中556a =,则02468a a a a a ++++=.【答案】 72【解析】 8()x m -的二项展开式的通项为1r T +=C 885()rrrx m a --,是5x 的系数,所以5a =C 538()m -=356m -,由题意得:35656m -=,解得m=-1,所以该二项式为8(1)x +,记8()(1)f x x =+,则令x=1,得0a +1a +2a +…882a +=①;令x=-1,得012a a a -+-…+8a =8(11)0-=②,①+②得8024682()2a a a a a ++++=,故7024682a a a a a ++++=.12.(12)n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【解】 ∵6T =C 557(2)n x T ,=C 66(2)n x ,依题意有C 5n ⋅52=C 662n ⋅⇒n=8, ∴8(12)x +的展开式中二项式系数最大的项为5T =C 448(2)x =1 4120x .设第r+1项系数最大,则有 r r r 1r 188r r r 1r 188C 2C 2C 2C 2--++⎧⋅≥⋅,⎨⋅≥⋅,⎩ 即 828(8)(1)(81)882(8)(1)(81)r r r r r r r r !⋅!!-!-!-+!!!⋅!-!+!--!≥⎧⎪⎨≥⎪⎩ ⇒ 2(81)12(8)r r r r -+≥⎧⎨+≥-⎩ ⇒56r ≤≤.又∵r ∈N ,∴r=5或r=6.∴系数最大的项为61T = 57792x T ,= 1 6792x .13.设1002012(23)a a x a x -=+++…100100a x +.求下列各式的值:0(1)a ;12(2)a a ++…100a +;135(3)a a a +++…99a +;02(4)(a a ++…210013)(a a a +-++…299)a +.【解】 (1)由100(23)x -展开式中的常数项为C 01001002⋅,即10002a =,或令x=0,则展开式可化为10002a =. (2)令x=1,可得012a a a +++…100100(23)a +=-. ①所以12a a ++…100100100(23)2a +=--; (3)令x=-1,可得0123a a a a -+-+…100100(23)a +=+, ②与①联立相减可得,13a a ++ (100100)(23)(23)992a --++=.(4)原式02[(a a =++…10013)(a a a ++++…9902)][(a a a +++…10013)(a a a +-++…990)](a a +=+12a a ++…1000123)(a a a a a +⋅-+-+…1001009899100)(23)(23)1a a a +-+=-+=.14.某地现有耕地10 000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年只能减少多少公顷?(精确到1公顷)(粮食单产=,总产量耕地面积人均粮食占有量)=总产量人口数 【解】 设耕地平均每年减少x 公顷,该地区现有人口P 人,粮食单产M 吨/公顷,依题意有:4410(122%)(1010x)10(11%)(110M M PP +-⨯+≥+%).解得1011(1001)312210[1]x .⨯+..≤-31112210[1(..=-C 010+C 1100⨯.01+C 2100⨯.201+…)]31112210(11..≈-⨯.104 5)4(≈公顷).答:耕地平均每年最多只能减少4公顷.凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
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(2) ( x y)5 ( x ( y))5 C 50x5( y)0 C15x4( y)1 C 52x3( y)2 C 53x2( y)3 C 54x1( y)4 C 55x0( y)5 x5 5x4 y 10x3 y2 10x2 y3 5xy4 y5
1 p.113
(1) 说明 ( x + y )3 展开后的 xy2 项系数为什么是 3。
(1) xy2 项的系数是 “ 3 ” 的原因是有这三项：xyy，yxy， yyx 换句话说，要乘出 xy2 项 一个括号要贡献 x，另两个括号要贡献 y 故有方13!法2!!数 即C13x，3y种，方y 的法排列
4 p.115
(2) 试求 (1 2x)n 的展开式。
(2) (1 2x)n C0n1n (2 x)0 C1n1n1(2 x)1 C2n1n2(2 x)2 Cnn111(2 x)n1 Cnn10(2 x)n C0n 2C1n x 22C2n x2 (2)n1Cnn1 xn1 (2)n Cnn xn
4 p.115
(1) 试求 (2a b)4 的展开式。
(1) (2a b)4 (2a (b))4 C 40(2a)4(b)0 C14(2a)3(b)1 C 42(2a)2(b)2 C 43(2a)1(b)3 C 44(2a)0(b)4 16a4 32a3b 24a2b2 8ab3 b4
1 p.113
(2) 说明 ( x + y )3 展开后的 x3 项系数为什么是 1。
(2) 因为只有一项 xxx，所以 x3 项的系数是 1 也就是三个括号都贡献 x 故方法数即 xxx 的排列
有
3! 3!
C
3 3
1
种方法
1 p.113
(3) 说明 ( x + y )3 展开后为什么没有 x2y3 这一项。
6 p.116
试求 (1.01)10 的近似值。(四舍五入取到小数点后第三位) 利用(1 x)10的展开式求 (1.01)10 由二项式定理知 (1.01)10 (1 0.01)10 1 C110 0.01 C210 (0.01)2 C310 (0.01)3 1 0.1 0.0045 0.00012 1.10462 1.105
( xxx xxy xyx xyy yxx yxy yyx yyy)
xxx ( xxy xyx yxx) ( xyy yxy yyx) yyy
x3 3x2 y 3xy2 y3
〔解法二〕
( x y)3
C
3 0
x3(
1 3 6 10 15 21
56
10 p.122
试求
C
2 0
C
3 1
C
4 2
C
5 3
C
6 4
C
7 5
的值。
〔解法二〕
因为
C
2 0
1
C
3 0
把
C
2 0
换成
C
3 0
，再利用巴斯卡定理
即
C
2 0
C
3 1
C
4 2
C
5 3
C
6 4
C
7 5
C
3 0
C
3 1
y )0
C
3 1
x2(
y )1
C
3 2
x1(
y )2
C
3 3
x0(
y)3
x3 3x2 y 3xy2 y3
3 p.115
利用二项式定理展开下列各式：
(1) ( x y)5。
(2) ( x y)5。
(1) ( x y)5 C 50x5 y0 C15x4 y1 C 52x3 y2 C 53x2 y3 C 45x1 y4 C 55x0 y5 x5 5x4 y 10x3 y2 10x2 y3 5xy4 y5
(3) 因为要有 x2y3 项 必须有两个括号贡献 x，另三个括号贡献 y 需要五个括号，这是不可能的 因此，没有 x2y3 这一项
2 p.114
展开( x y)3。
〔解法一〕
( x y)3 ( x y)( x y)( x y)
( xx xy yx yy)( x y)
7 p.117
试证明：C
n 0
C
n 1
C
n 2
(1)n
C
n n
0。
将二项式定理
( x y)n C 0nxn C1nxn1 y C 2nxn2 y2 令 x = 1，y = －1 代入
即得欲证之等式
C
n 0
C
n 1
C
n 2
(1)n
C
n n
0
C
n n
y
C
8
C
8。
5
由巴斯卡定理
C
n k
C
nk11C
n1 k
知：(1)
C
6 1
C
6 2
C
7 2
(2)
C
9 5
C
8 4
C
8 5
10 p.3 1
C
4 2
C
5 3
C
6 4
C
7 5
的值。
〔解法一〕
直接求值得
C
2 0
C
3 1
C
4 2
C
5 3
C
6 4
C
7 5
(2) ( x2 x 1)5
( x( x 1) 1)5
C05 ( x( x 1))5 C15 ( x( x 1))4 C25 ( x( x 1))3 C35 ( x( x 1))2 C45 x( x 1) C55
其中只有最后两项不是 ( x 1)2 的倍式 所以所求余式为 C45 x( x 1) C55 5x2 5x 1 除以 ( x 1)2 的余式 又 5x2 5x 1 5( x 1)2 5x 4 故所求余式为 5x 4
5 p.116
(1)
试求
x2
2 x
6展开式中的常数项。
(1)
x2
2 x
6
展开式中的项形如
C 6k( x2 )6k
2 k x
C
6 k
2k
x123k
要求常数项，故 k = 4 此项为 C 6424 x0 240
5 p.116
(2) 试求 ( x2 x 1)5 除以 ( x 1)2的余式。
n中
8 p.118
右图为巴斯卡三角形的一部分， 请在空格中填入适当的数字。
因为每个数等于其左上的数
与右上的数的和
即
C
n k
C
nk11C
n1 k
故图中的空格由左至右分别为
7，21，35，35，21，7
9 p.120
试将适当的数填入下列的空格：
(1)
C
6 1
C
6 2
C
2。
(2)
C
9 5