2013高中数学必修五期末复习题
数学必修5复习题及答案
数学必修5复习题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 \)，求\( f(2) \)的值。
A. 1B. 5C. 9D. 132. 直线\( l: y = 3x + 2 \)与直线\( m: y = -2x + 5 \)的交点坐标是：A. (1, 7)B. (1, 5)C. (-1, 7)D. (-1, 3)3. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形4. 函数\( y = \log_2 x \)的定义域是：A. \( x > 0 \)B. \( x < 0 \)C. \( x = 0 \)D. \( x \leq 0 \)5. 已知\( \sin A = \frac{3}{5} \)，且\( A \)为锐角，求\( \cosA \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( \frac{-4}{5} \)D. \( \frac{-1}{5} \)6. 圆的方程为\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 \)，该圆的半径是：A. 5B. 10C. 15D. 207. 函数\( y = x^2 - 4x + 4 \)的顶点坐标是：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)8. 已知\( \tan \theta = 2 \)，求\( \sin \theta \)的值。
A. \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)B. \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)C. \( \frac{2}{3} \)D. \( \frac{1}{3} \)9. 抛物线\( y = x^2 \)的焦点坐标是：A. (0, 0)B. (0, 1/4)C. (1/4, 0)D. (0, -1/4)10. 已知\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)，求\( \cos 30^\circ \)的值。
高中数学必修5期末习题
精品文档数学必修5试题一、〔每小5分，共50分〕1．数列{an}中，a12，an11(nN*)a101的〔2，A ．49B．50C．51D．522．在△ABC中，假设a=2,b23,A300,B等于〔〕A ．60oB．60o或120oC．30oD．30o或150o3．在三角形ABC中，如果abcbca3bc，那么A等于〔〕A．300B．600C．1200D．15004．｛an｝是由正数成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+log3a2+⋯+log3a10的是〔A ．5B．10；C．20D．2或45．x4x的最小值是〔〕0，函数yxA．5B．4C．8D．66．等差数列 {an}的公差d≠0,假设a5、a9、a15成等比数列,那么公比( ) 3C ．D．4A．B3．4ccos C7．在⊿ABC中，，此三角形bcos BA．直角三角形；B.等腰直角三角形C。
等腰三角形D.等腰或直角三角形8．数列{a n}的前n和S n159131721(1)n1(4n3),S15S22S31的是〔〕A.-76B.76C.46D.13y19．设x,y满足约束条件y x ,那么z 3xy的最大值为〔〕A．5.3C.7D.-810．等差数列{an}中，a1=－5，它的前11的平均是5，假设从中抽取1，余下10的平均是4，抽取的是〔〕A．aB．aC．a10D．a 811二、填空(每小5分，共20分)11．等差数列{a}足a5a6=28，其前10之和．n12．数列{a n}足a12，a nan11，a n=；.精品文档13.不等式2x11的解集是 ．3x 114．数列a 的前n 和s n 2a n3(nN *)，a 5。
nn＝3·2n＋k ，假设数列{ank 的15.在数列{a}中，其前n 和}是等比数列，常数．三.解答〔分 75分,解答写出文字明,演算步〕〔10分〕在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 223x20的两个根， 且2coc(AB)1。
人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案
数学必修5试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由，确定的等差数列，当时，序号等于（）Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．1012.中，若，则的面积为（）A．B． C.1 D.3.在数列中，=1，，则的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 1014.已知，函数的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．65.在等比数列中，，，，则项数为（）A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式的解集为，那么（）A. B. C. D.7.设满足约束条件,则的最大值为（）A． 5 B. 3 C. 7 D. -88.在中,,则此三角形解的情况是（）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解9.在△ABC中，如果，那么cosC等于（）10.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A、63B、108C、75D、83二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.在中，，那么A＝_____________;12.已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分) 已知等比数列中，，求其第4项及前5项和.16(14分)(1) 求不等式的解集：(2)求函数的定义域：17 (14分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。
求：(1)角C的度数；18(12分)若不等式的解集是，(1) 求的值；(2) 求不等式的解集.19（14分）如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为．求此时货轮与灯塔之间的距离．A20（ 14分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。
该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图。
【人教版】高中数学必修五期末试题(附答案)(1)
一、选择题1．若正数x，y满足21yx+=，则2xy+的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知正数x，y满足1431x y+=+，则x y+的最小值为（）A．53B．2 C．73D．63．设变量,x y、满足约束条件236y xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．94．如图，地面四个5G中继站A、B、C、D ，已知()62kmCD=+，30ADB CDB∠=∠=︒，45DCA∠=︒，60ACB∠=︒，则A、B两个中继站的距离是（）A．3km B．10km C10km D．62km 5．ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ，则ABC∆的面积为（）A．223+B31C．232D316．设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2cos0b a C-=，()sin3sinA A C=+，则2bca=（）A7B14C．23D67．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22tan tanB Cb c=，则ABC的形状为（）A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．139．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D．25910．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－212．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.14．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________. 15．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续自然数，且2C A =，则a =_______．17．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．19．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．20．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．三、解答题21．已知函数()()()23f x x a x =-+. （1）当72a >-时，解关于x 的不等式()46f x x >+； （2）若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 22．已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.23．在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若()()2sin 2sin sin 2sin sin a A B C b C B c =+++.（1）求A 的大小； （2）求sin sin B C +的最大值.24．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD，求AD 的值和sin ∠ABD 的值25．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2221log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知等比数列{}n a 的公比3q =，并且满足2a ，318a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足31log n n nb a a =+，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使2220n S n ->成立的正整数n 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等.所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.3．D解析：D 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC 中，由正弦定理得()362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC+⨯⋅∠===∠︒， 在BDC 中，由正弦定理得()162sin 231sin 22CD BDC BC DBC+⨯⋅∠===+∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠()()()22123312233112=++-⨯⨯+⨯=，所以10km AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．6．D解析：D 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得6c b =，最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中，sin sin a b A B=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，由①②可知：2cos 3C =，又2222cos 23a b c C ab +-==③，把①代入③化简可得：c =，则()2293bc b a b ==， 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．11．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.12．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.二、填空题13．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线 解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=.故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
2013级高二数学(文科必修五)试题(带答案)
高二数学（文科）试题（必修5，选修1-1）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，满分120分，考试时间100分钟 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必在答题卷上写上自己的姓名、考试科目、准考证号，并用2B 铅笔涂写在答题卡上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，第II 卷答在答题卷上。
3．考试结束，将答题卡和答题卷一并交回。
第Ⅰ卷（选择题,共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1. 已知数列{}n a 的通项公式为)(42*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ). A.1 B. 2 C.4 D. 8 2. 若p 是真命题，q 是假命题，则（ ）A ．p q ∧是真命题B ．p q ∨是假命题C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是真命题 3. 抛物线22x y =的焦点坐标是( ) A.(0,81) B.(81 ,0) C. (0,21) D.(21,0) 4. 不等式x x x 3622<--的解集为（ ）A. }61|{<<-x xB. }61|{≤≤-x xC. 1|{-<x x 或}6>xD. 2|{-<x x 或}3>x5. 在ABC ∆中，1,30,4500===a B A ，则ABC ∆中最短边的边长等于（ ） A.21 B. 22 C. 23 D. 266.设数列{}n a 是等差数列，则“21a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件7. 下列求导数运算正确的是（ ） A ．x x e e =+')1( B ．10ln 1)(ln x x ='C ．)1('+x x =211x+D ．x x x x sin 2)cos (2-=' 8. 双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A.21 B. 22 C. 1 D. 2 9. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－10，a 4＋a 6＝－4，则当S n 取最小值时，n等于( ) A ．5 B ．211C ．6D ．5或610.若x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+00042y x y x ，则y x z 2+=的最大值是( )A. 0B. 2C. 8D.1211.给出下列4个命题：①若0232=+-x x ，则x =1或x =2；②若a b >，则22ac bc >；③若a b >，则a cbc ->-；④．若b a >，则ba 11<，其中真命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D.312. 函数)(x f y =在定义域(3,32-)内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)('x f y =，则不等式0)('>x f 的解集为( )A. )2,1()31,23(⋃--B. )38,34()21,1(⋃-C.)3,2()1,31(⋃-D. )3,38()34,21()1,23(⋃⋃--第Ⅱ卷（非选择题,共72分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．已知命题p ：x e R x x >∈∀,，则p ⌝为 . 14. 已知数列{}n a 的通项公式为n a n n ⋅-=)1(，前n 项和为n S ，则8S = .15. 若)0(>m m 是1和4的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率是 . 16．设0,0>>y x ，且12=+y x ，则yx 12+的最小值为 . 三、解答题：本大题共5小题，满分56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）（1）写出命题“平方和为0的两个实数都为0”的逆命题、否命题、逆否命题并分别判断命题的真假；（2）写出命题“负数的平方是正数”的否定并判断真假. 18．（本小题满分10分） 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等差数列，060=B ，23=∆ABC S ，求b . 19．（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在y 轴上，短轴长为10的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点横坐标为21，求此椭圆的方程.20．（本小题满分12分）聊城市2013年共有一万辆公交车且全是燃油型，计划于2014年开始淘汰燃油型公交车，第一年（2014年）淘汰50辆,以后每年比上一年多淘汰100辆;另计划于2014年开始投入256辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入量比上一年投入量增加50％，试问：()1本市在2020年应该投入多少辆电力型公交车？()2到哪一年底，本市燃油型公交车的总量淘汰了一半？21．（本小题满分12分） 已知函数x x x x f 331)(23--=. (1)求函数)(x f 在点（1，-9）处的切线方程； (2) 求函数)(x f 的的单调区间；（3）求函数)(x f 在]2,2[-上的最大、最小值.： 班级： 姓名： 考号：19.（本题满分12分）高二数学（文科）参考答案二、填空题 13．000,x eR x x ≤∈∃；14．4 ； 15.22； 16. 8. 三、解答题 17．解：（1）逆命题：若两个实数都为0，则它们的平方和为0.真命题；…2分否命题：若两个实数的平方和不为0，则它们不都为0.真命题；…5分逆否命题：若两个实数不都为0，则它们的平方和不为0.真命题. …8分（2）p ⌝：存在一个负数，它的平方不是正数.假命题. …10分 18. 解：∵c b a ,,成等差数列 ∴b c a 2=+ …………2分∵2343sin 21===∆ac B ac S ABC ∴2=ac …………5分 在ABC ∆中，2144422)(2cos 2222222=--=--+=-+=b b ac b ac c a ac b c a B …………8分 得：22=b ∴2=b …………10分19．解：根据题意，设所求椭圆方程为)0(12222>>=+b a bx a y ………2分∵椭圆的短轴长为10， ∴5=b ………3分∴椭圆方程为)5(125222>=+a x ay ………4分 与23-=x y 联立，得：025100300)225(222=-+-+a x x a （*）………7分设直线l 与椭圆的交点为),(,),(2211y x B y x A ，则225300221+=+a x x ………9分∵弦的中点横坐标为21，∴12253002=+a解得：752=a ………10分 此时（*）中0251002<-a ，∴0>∆ ………11分∴所求椭圆方程为1257522=+x y ………12分 20. 解：（1）本市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{n a }，其中a 1=256,q =1.5,…………3分则在2020年应投入电力型公交车671a a q ==256×1.56=2916(辆) …………5分 (2) 本市逐年淘汰的燃油型公交车的数量组成等差数列{}n b ，其中b 1=50,d =100, …8分 设S n =b 1+b 2+ … +b n ,则()21501100502n S n n n n =+-⨯=, …………10分 令210000505000n -= 得 n =10,( n =-10舍去) …………11分 故到2023年底燃油型公交车的总量淘汰了一半。
高中数学必修五期末试题(附答案)
一、选择题1．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+2．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．()4sin 0πsin y x x x=+<< C ．e 4e x x y -=+D ．2211y x x =+++3．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ） A ．31ca -<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<- 4．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21ac +>21b c + D ．a |c |>b |c |5．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，1b =，则223a c -的最小值为（ ）A ．4-B ．23-C ．2-D ．3-6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，2b =B 为（ ）A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒8．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，1a cc a+=+，则B = （ ） A ．56π B ．6π C ．3π D ．2π 9．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，81335a a =，则n S 中最大的是( ). A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S11．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．88-或12．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题13．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11a b a b+--的最小值为____________. 14．若实数x ，y 满足约束条件23023030x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则y x x y +的取值范围是______.15．若实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则1x y x ++的取值范围为_____.16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6a =，2c b =，则ABC 面积的最大值是______．17．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________18．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos cos sin b C c B a A +=，则A =________.19．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若112a =，且122n n a a +=-，则100S =________. 20．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n n n S S S S ++=⋅-()n N *∈，且11a =，则n a =_____．三、解答题21．随着信息技术的发展，网络学习成为一种重要的学习方式，现某学校利用有线网络同时提供A 、B 两套校本选修课程.A 套选修课每次播放视频40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B 套选修课每次播放视频30分钟，课后研讨40分钟，可获得学分4分.全学期20周，网络对每套选修课每周开播两次（A 、B 两套校本选修课程同时播放），每次均为独立内容.学校规定学生每学期收看选修课视频时间不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟.A 、B 两套选修课各选择多少次才能使获得学分最高，获得的最高学分是多少？22．已知函数2()2,,f x x ax x R a R =-∈∈． （1）当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围；（2）解关于x 的不等式2()3f x a <．23．将函数()sin 3cos f x x x =图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos 364B B ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，,236c g b π⎛⎫== ⎪⎝⎭ABC 的面积. 24．在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围.25．已知()23f x x x =-，数列{}n a 前n 项和为n S ，且()n S f n =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足43nn na b =⨯，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，求实数m 的取值范围.26．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若232n nn a a b --=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y tt（，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．4y ≥=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．2．C解析：C 【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数， 所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误；C 项，4e 4e e 4e x x x x y -=+=+≥=，当且仅当4e e x x =， 即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4e x x y -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，y =≥=，时，等号成立，所以函数y =D项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.3．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-， 故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题4．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 2<b 2，排除A 、B ； 因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.5．A解析：A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=，∴222a c b +-=，∴2222a c b ac +-=，∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B a c π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 2C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<，所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.6．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a bA B =，即1sin 2B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.8．B解析：B【分析】根据正弦定理，边角互化可得2b ac =，再根据2221a c a c b c a ac+-+-=，利用余弦定理求角.【详解】∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac=，∴2221a c a c b c a ac+-+-==∴cos B =，又()0,πB ∈∴6B π=．故选:B ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.9．C解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为5396x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ． 【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．10．C解析：C 【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=， 所以20210a a +=，又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．11．B解析：B 【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算6a ，代入，计算式子，即可． 【详解】48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两实根，所以24821064a a a a a ===，由48480,100a a a a >+=-<得480,0a a <<，所以2640a a q =<，即62a =-，所以26108a a a =-.故选B【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．12．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论． 【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．二、填空题13．【分析】将所求代数式变形为将所求代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】已知正实数满足则当且仅当时即当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其12【分析】将所求代数式变形为1121121a ba b b b+=+----，将所求代数式与()1b b+-⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得11a ba b+--的最小值.【详解】已知正实数a、b满足21a b+=，则1211112112121a b b ba b b b b b--++=+=+-----()111111122112222b bb bb b b b-⎛⎫=+-+-=+-≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭.当且仅当1b-=时，即当1b=时，等号成立，因此，11a ba b+--12.12.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】作出可行域利用表示可行域内点与原点连线的斜率求得它的取值范围再根据函数的单调性可得的范围【详解】作出可行域如图内部（含边界）表示出可行域内点与原点连线斜率由已知得所以记由勾形函数性质知在上递解析：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出可行域，利用yx表示可行域内点与原点连线的斜率求得它的取值范围，再根据函数的单调性可得y xx y+的范围． 【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），yx表示出可行域内点与原点连线斜率，由已知得(1,2),(2,1)A B ，2OA k =，12OB k =， 所以1,22y t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 1y x t x y t +=+，记1()f t t t =+，由勾形函数性质知()f t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[1,2]上递增，1522f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)2f =，5(2)2f =，∴5()2,2f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故答案为：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．【分析】作出不等式组对应的平面区域然后化简目标函数利用不等式的几何意义利用线性规划的知识进行求解即可【详解】解：实数满足不等式组的可行域如图三角形的三边及其内部部分：它的几何意义是可行域内的点与连线解析：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出不等式组对应的平面区域，然后化简目标函数，利用不等式的几何意义，利用线性规划的知识进行求解即可. 【详解】解：实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，的可行域如图，三角形ABC 的三边及其内部部分：111x y y x x+++=+，它的几何意义是可行域内的点与()0,1D -连线的斜率加1， 由图象知BD 的斜率最小，CB 的斜率最大，由4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得()1,3C ，此时DC 的斜率：3141+=， 由25040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得()3,1B ，此时BD 的斜率：11233+=， 则1x y x ++的取值范围为是5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．16．【分析】先根据余弦定理求出结合平方关系求得利用三角形的面积公式及二次函数可求面积的最大值【详解】∵∴可得∴由可得即则的面积当且仅当时即时取等号故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的面积最值常见求解思 解析：12【分析】先根据余弦定理求出cos A ，结合平方关系求得sin A ，利用三角形的面积公式及二次函数可求ABC 面积的最大值. 【详解】∵6a =，2c b =，∴2222644cos b b b A =+-，可得22536cos 4b A b-=， ∴()2222304360sin 1cos b A A --=-=，由()2223043600b --≥，可得2436b ≤≤，即26b ≤≤，则ABC 的面积221sin sin 122S bc A b A b ====≤， 当且仅当2360b =时，即b = 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查三角形的面积最值，常见求解思路是建立关于三角形面积的表达式结合二次函数或者基本不等式的知识求解，侧重考查数学运算的核心素养.17．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值． 【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =． 设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-， ∴sin sin AC BCB A=∠∠，即32sin(3)sin παα=-，整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=， 结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=，即258cos α=，显然α是锐角，所以cos αα=∴sin 22sin cos ααα==．再由ABC 得：2sin sin 2ABαα=，∴=解得10AB ．【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．18．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦利用两角和公式化简求得的值进而求得【详解】由于为三角形内角可得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为 解析：2π【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得A ． 【详解】cos cos sin b C c B a A +=，2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，sin 0A ≠， sin 1A ∴=，∴由于A 为三角形内角，可得2A π=．故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．19．【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项得出数列是周期数列从而可求和【详解】由题意∴数列是周期数列且周期为4故答案为：【点睛】本题考查数列的周期性考查求周期数列的和解题时可根据递推公式依次计算数列的 解析：4256【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项，得出数列是周期数列，从而可求和． 【详解】 由题意2241322a ==-，33a =，42a =-，512a =，∴数列{}n a 是周期数列，且周期为4.10012341442525()2532236S a a a a ⎛⎫=+++=⨯++-= ⎪⎝⎭．故答案为：4256． 【点睛】本题考查数列的周期性，考查求周期数列的和，解题时可根据递推公式依次计算数列的项，然后归纳出周期性．20．【分析】由两本同除以可构造是等差数列由此可求出再利用即可求得【详解】由得是以为首相1为公差的等差数列当时故答案为：【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式求数列的通项公式是常考题型属于中档题解析：1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【分析】由11n n n n S S S S ++=⋅-，两本同除以1n n S S +⋅，可构造1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此可求出a 1n S n =，再利用1n n n a S S -=-，即可求得n a 【详解】 由11n n n n S S S S ++=⋅-，得1111n nS S +-= ()n N *∈ 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭ 是以11111S a ==为首相，1为公差的等差数列，11(1)1nn n S ∴=+-⨯=， 1n S n∴=， 当2n ≥ 时，11111(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---， 1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩故答案为：1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式，求数列的通项公式，是常考题型，属于中档题.三、解答题21．选择A 套选修课学习20次，B 套选修课学习20次，可以使获得最高学分为180分 【分析】设选择A 、B 两套课程分别为x 、y 次，z 为学分，根据题意列出线性约束条件404030140020401000,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩，目标函数54z x y =+，作出可行域，即可求解. 【详解】设选择A 、B 两套课程分别为x 、y 次，z 为学分，则404030140020401000,x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩目标函数54z x y =+，二元一次不等式组等价于4043140250,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.作直线:540l x y +=，直线l 沿可行域方向平移，当直线过M 点时，目标函数取得最大值. 联立4314040x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2020x y =⎧⎨=⎩. 所以点M 的坐标为()20,20， 此时max 520420180Z =⨯+⨯=.所以选择A 套选修课学习20次，B 套选修课学习20次，可以使获得的学分最高，最高学分为180分. 【点睛】本题主要考查了利用线性规划解决实际问题，属于中档题.22．（1）(0,2)；（2）当0a >时，解集为(,3)a a -；当0a =时，解集为空集；当0a <时，解集为(3,)a a -． 【分析】（1）解一元二次不等式可得；（2）分类讨论，根据两根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当1a =时，2()2f x x x =-，所以()0f x <，即220x x -<解得02x <<.所以()2f x 的解集为(0,2).（2） 由2()3f x a <，得 22230x ax a --<，所以 (3)()0x a x a -+<， 当0a >时，解集为(,3)a a -；当0a =时，解集为空集； 当0a <时，解集为(3,)a a -． 【点睛】本题考查解一元二次不等式，对含参数的不等式一般需要分类讨论，分类的层次有三个：一是最高次项系数的正负或者是0，二是对应的一元二次方程有无实数解，三是方程有实数解，方程两根的大小关系． 23．（1）()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈；（2）2或 【分析】（1）由题可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+即可解得单调递增区间；（2）由题可得2c =，6B π=或2B π=，由余弦定理可求得a ，即可求出面积.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ()f x 图象向右平移6π个单位长度得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，横坐标缩短为原来的12 (纵坐标不变)得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象， 所以()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()g x 的单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈ （2）由（1）知，62c g π⎛⎫⎪⎝⎭==，因为21sin cos cos 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=+=，所以1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=±⎭+又因为()0,B π∈，所以7,666B πππ+=⎛⎫⎪⎝⎭， 当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=⎭+时，,636B B πππ+==，此时由余弦定理可知，2422cos 126a a π+-⨯⨯=，解得a =，所以12sin262ABCSπ=⨯⨯⨯=， 当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=-⎭+时，2,632B B πππ+==，此时由勾股定理可得，a ==，所以122S =⨯⨯=△ABC 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图象变换求三角函数的性质，以及解三角形的应用，解题的关键是根据图象变换正确得出变换后的解析式.24．（1）3B π=；（2）1(,12-. 【分析】（1）根据等差数列的性质可知cos cos 2cos a C c A b B +=，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sin 2sin cos B B B =，求得cos B ，进而求得B ；（2）先利用二倍角公式及辅助角对原式进行化简整理，进而根据A 的范围和正弦函数的单调性求得()2sin cos A A C 2+-的范围.【详解】因为2cos cos cos b B a C c A =+由正弦定理得， 2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+即：()sin 2sin cos A C B B +=，则sin 2sin cos B B B =，因为sin 0B ≠ 所以1cos 2B =，又0B π<< 得3B π=（2）∵3B π=，∴23A C π+=∴2222sin cos()2sin cos(2)3A A C A A π+-=+-=131cos 2cos 2sin 212cos 22222A A A A A --+=+-=1)3A π-，∵203A π<<，233A πππ-<-<∴sin(2)13A π<-≤ 则()2sin cos A A C 2+-的范围为1,12⎛- ⎝ 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 25．（1）24n a n =-；（2）11,,1224⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）易知23n S n n =-，再利用通项与前n 项和关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.（2）易得2424323n n n n n b --==⨯⨯，1160b =-<，20b =，3n ≥时，0n b >，则n T 的最小值为16-，再根据对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，由()min 16mf x ⎡⎤->⎣⎦求解. 【详解】（1）因为()23f x x x =-，()n S f n =，所以23n S n n =-，当2n ≥时，()()21131n S n n -=---，124n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，112a S ==-，也满足24n a n =-， 故24n a n =-.（2）因为24n a n =-，43nn na b =⨯， 所以2424323n n nn n b --==⨯⨯，1160b =-<，20b =， 当3n ≥时，0n b >，故12T T =为n T 的最小值，n T 的最小值为16-， 因为对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立， 所以()min 16mf x ⎡⎤->⎣⎦， 因为[]2,4x ∈，()2239324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以()[]2,4f x ∈-， 当0m >时，()min16mf x ⎡⎤->⎣⎦，即126m ->-，解得112m >； 当0m <时，()min16mf x ⎡⎤->⎣⎦，即146m ->，解得124m <-， 0m =时，106->，显然不成立. 故实数m 的取值范围为11,,1224⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．26．（1）1n a n =+；（2）12n n n T -=. 【分析】（1）根据222n n n S a a =+-可得211122n n n S a a +++=+-，两式作差证明{}n a 为等差数列，由此求解出{}n a 的通项公式； （2）先根据232n nn a a b --=求解出{}n b 的通项公式，然后采用错位相减法进行求和，由此求解出n T . 【详解】（1）因为222n n n S a a =+-，所以211122n n n S a a +++=+-， 所以两式作差有：221112n n n n n a a a a a +++=+--，所以()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，且0n a >，所以10n n a a ++>，所以11n n a a +-=，所以{}n a 是公差为1的等差数列，且21111222S a a a ==+-，所以12a =或11a =-（舍），所以()2111n a n n =+⋅-=+；（2）因为232n n n a a b --=，所以122n n n b --=， 所以01211012...2222n n n T ---=++++，所以12311012...22222n nn T --=++++， 两式作差可得：012311111112+ (2222222)n n n n T ------=++++-， 所以11111222221212n n n n T --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭=---，所以11112221222n n n n n n T ---⎛⎫-⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列{}n a 的前n 项和n S 的求解步骤（错位相减法）： （1）先根据数列的通项公式写出数列n S 的一般形式：123...n n S a a a a =++++；（2）将（1）中的关于n S 等式的左右两边同时乘以等比数列的公比()1q ≠；（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；（4）利用等比数列的前n 项和公式以及相关计算求解出n S .。
人教A版高中数学必修五下学期期末考试.doc
广东省肇庆市2012-2013学年下学期期末考试高二数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知点P的极坐标为，则点P的直角坐标为（）A．（1，）B．（1，﹣）C．（，1）D．（，﹣1）考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题．分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，可求出点的直角坐标．解答：解：x=ρcosθ=2×cos=1，y=ρsinθ=2×sin=∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）．故选A．点评：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，同时考查了三角函数求值，属于基础题．2．（5分）一物体作直线运动，其运动方程为s（t）=﹣t2+2t，则t=1时其速度为（）A．4B．﹣1 C．1D．0考点：导数的几何意义．专题：导数的概念及应用．分析：首先求导，然后将t=1代入即可．解答：解：∵s（t）=﹣t2+2t∴s'（t）=﹣2t+2∴s'（1）=0故t=1时其速度为0．故选：D．点评：本题考查了导数的几何意义，属于基础性的题目．3．（5分）若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（）A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．﹣1或﹣2考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，实部为0，虚部不为0，求解不等式组即可确定x 的值．解答：解：（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则解得：x=1故选A点评：本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题．4．（5分）曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标是（）A．（1，4）B．（1，﹣3）C．（，0）D．（，0）考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：计算题．分析：欲求曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标，只须在方程中，令y=0，得t=，再将其代入x=1+t2中，得x即可．解答：解：在方程中，令y=0，得t=，将其代入x=1+t2中，得x=1+=，则曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标是（，0）．故选C．点评：本题考查参数方程的应用，考查曲线的交点问题，属于基础题．5．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．6．（5分）若随机变量X～N（1，σ2），且P（0＜X≤3）=0.7989，则P（﹣1＜X≤2）=（）A．0.7989 B．0.2011 C．0.2021 D．以上答案均不对考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．分析：根据X～N（1，σ2），可得图象关于x=1对称，利用P（0＜X≤3）=0.7989，即可求得结论．解答：解：根据正态分布N（1，σ2）的密度函数的图象的对称性可得，∵X～N（1，σ2），∴图象关于x=1对称∴P（﹣1＜X≤2）=P（0＜X≤3）=0.7989．故选A．点评：本题主要考查正态分布的图象，利用正态曲线的对称性是解题的关键．7．（5分）复数与在复平面上所对应的向量分别是，，O为原点，则这两个向量的夹角∠AOB=（）A．B．C．D．考点：复数的代数表示法及其几何意义；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：由条件求得||、||、的值，再由两个向量的夹角公式求得这两个向量的夹角∠AOB的值．解答：解：∵对应的复数为===﹣i，对应的复数为，∴||=1，||=2，=0+（﹣1）（﹣）=，设这两个向量的夹角∠AOB=θ，则cosθ===，∴θ=，故选A．点评：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．8．（5分）已知数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣a n），通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的值为（）A．B．C．D．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：先根据数列的f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣a n），求得f（1），f（2），f （3），f（4），可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出f（n）的值．解答：解：a1=，f（1）=1﹣a1=；a2=，f（2）=×=；a3=，f（3）==．…由于f（1）=1﹣a1==；f（2）=×==；f（3）===．…猜想f（n）的值为：f（n）=．故选D．点评：本题主要考查了归纳推理，考查了数列的通项公式．数列的通项公式是高考中常考的题型，涉及数列的求和问题，数列与不等式的综合等问题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分.9．（5分）计算=π．考点：定积分．专题：计算题．分析：结合导数公式，找出cosx+1的原函数，用微积分基本定理代入进行求解．解答：解：=（sinx+x）=sin0+0﹣[sin（﹣π）﹣π]=π，故答案为：π．点评：本题考查了导数公式及微积分基本定理，属于基本知识、基本运算的考查．10．（5分）i是虚数单位，则=3﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的式子，可得结果．解答：解：复数==3﹣i，故答案为3﹣i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．11．（5分）若直线l经过点M（1，5），且倾斜角为，则直线l的参数方程为（t为参数）．考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：根据直线的参数方程的特征及参数的几何意义，直接写出直线的参数方程．解答：解：由于过点（a，b）倾斜角为α的直线的参数方程为（t是参数），∵直线l经过点M（1，5），且倾斜角为，故直线的参数方程是即（t为参数）．故答案为：（t为参数）．点评：本题主要考查直线的参数方程，以及直线的参数方程中参数的几何意义，属于基础题．12．（5分）已知（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=﹣2．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：在所给的式子中，令x=0可得a0=1．再令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1，由此求得a1+a2+a3+a4+a5的值．解答：解：在（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 中，令x=0可得a0=1．再令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1，故a1+a2+a3+a4+a5=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．13．（5分）圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是（其它正确答案同样给分）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：由题意圆心在，半径为1的圆，利用直角坐标方程，先求得其直角坐标方程，间接求出所求圆的方程．解答：解：由题意可知，圆心在的直角坐标为（，），半径为1．得其直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1，即x2+y2=x+y所以所求圆的极坐标方程是：ρ2=⇒．故答案为：．点评：本题是基础题，考查极坐标方程的求法，考查数形结合，计算能力．14．（5分）（2011•陕西）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据题意，观察等式的左边，分析可得规律：第n个等式的左边是从n开始的（2n﹣1）个数的和，进而可得答案．解答：解：根据题意，观察可得，第一个等式的左边、右边都是1，第二个等式的左边是从2开始的3个数的和，第三个等式的左边是从3开始的5个数的和，…其规律为：第n个等式的左边是从n开始的（2n﹣1）个数的和，第五个等式的左边应该是从5开始的9个数的和，即5+6+7+8+9+10+11+12+13，计算可得，其结果为81；故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．点评：本题考查归纳推理，解题时要认真分析题意中的等式，发现其变化的规律，注意验证即可．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出证明过程或演算步骤.15．（12分）某地有两所中学，为了检验两校初中毕业生的语文水平，从甲、乙两校九年级学生中各随机抽取20%的学生（即占各自九年级学生总数的20%）进行语文测验．甲校32人，有21人及格；乙校24人，有15人及格．（1）试根据以上数据完成下列2×2列联表；及格不及格合计甲乙合计（2）判断两所中学初中毕业生的语文水平有无显著差别？附：P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841．考点：独立性检验．专题：应用题．分析：（1）由题意知按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为21人，乙班及格人数为15，从而做出甲班不及格的人数和乙班不及格的人数，列出表格，填入数据．（2）根据所给的数据，代入求观测值的公式，做出观测值，把所得的数值同观测值表中的数据进行比较，得到两所中学初中毕业生的语文水平无显著差别．解答：解：（1）及格不及格合计甲21 11 32乙15 9 24合计36 20 56（6分）（2）．（10分）因为k≈0.058＜0.455，所以两所中学初中毕业生的语文水平无显著差别．（12分）点评：本题考查独立性检验的作用，考查列联表的做法，是一个基础题，这种题目运算量比较小，但是需要注意计算观测值时，数据运算比较麻烦，需要认真完成．16．（12分）某产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为10时销售收入y的值．附：线性回归方程中系数计算公式，，其中，表示样本均值．考点：回归分析的初步应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）根据所给的数据计算出x，y的平均数和回归直线的斜率，即可写出回归直线方程，（2）由（1）中的回归直线方程，把所给的自变量x代入方程，得到y的一个估计值，得到结果．解答：解：（1），（1分），（2分），（3分），（4分），（6分），（8分）所以回归直线方程为．（9分）（2）x=10时，预报y的值为y=6.5×10+17.5=82.5．（12分）点评：本题考查回归分析的初步应用，写方程要用的斜率和x，y的平均数都要经过计算算出，这样的题有一定的运算量，是一个基础题．17．（14分）六一儿童节期间，某商场对儿童节礼品采取促销措施．某儿童节礼品的进货价是10元/件，据市场调查，当销售量为x（万件）时，销售价格（元/件）．若x∈N*，问销售量x为何值时，商场获得的利润最大？并求出利润的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：先确定利润函数，在求导确定函数的单调性，从而可求最值．解答：解：设商场的利润为y万元，由题意得（x∈N*）（5分）（7分）令y'=0，得，（舍去）．（8分）y'，y随x变化的情况如下表：x （0，）（，+∞）y' + 0 ﹣y 递增极大值递减（11分）因为，当x=3时，y=9；当x=4时，y=9；（12分）所以当x=3或x=4时，y max=9．（13分）答：销售量x为3万件或4万件时，商场获得的利润最大，最大值为9万元．（14分）点评：本题考查函数解析式的确定，考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题．18．（14分）某学校高一年级组建了A、B、C、D四个不同的“研究性学习”小组，要求高一年级学生必须参加，且只能参加一个小组的活动．假定某班的甲、乙、丙三名同学对这四个小组的选择是等可能的．（1）求甲、乙、丙三名同学选择四个小组的所有选法种数；（2）求甲、乙、丙三名同学中至少有二人参加同一组活动的概率；（3）设随机变量X为甲、乙、丙三名同学参加A小组活动的人数，求X的分布列与数学期望EX．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，利用乘法原理可得结论；（2）求出对立事件的概率，可得结论；（3）确定X的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望EX．解答：解：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，故有43=64种．（4分）（2）甲、乙、丙三名同学选择三个小组的概率为所以三名同学至少有二人选择同一小组的概率为．（8分）（3）由题意X的可能取值为：0，1，2，3所以，，，，（12分）所以X的分布列如下：X 0 1 2 3P故数学期望．（14分）点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣a n（n∈N*）．（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）猜想a n的表达式，并加以证明．考点：归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据S n=2n﹣a n，利用递推公式，分别令n=1，2，3，4，求出a1，a2，a3，a4，（2）由（1）猜想（n∈N*）．利用a n=S n﹣S n﹣1，整理出a n的递推式，进而构造等比数列{a n﹣2}中求出a n．解答：解：（1）因为S n=2n﹣a n，S n=a1+a2+…+a n，n∈N*（1分）所以，当n=1时，有a1=2﹣a1，解得；（2分）当n=2时，有a1+a2=2×2﹣a2，解得；（3分）当n=3时，有a1+a2+a3=2×3﹣a3，解得；（4分）当n=4时，有a1+a2+a3+a4=2×4﹣a4，解得．（5分）（2）猜想（n∈N*）（9分）由S n=2n﹣a n（n∈N*），得S n﹣1=2（n﹣1）﹣a n﹣1（n≥2），（10分）两式相减，得a n=2﹣a n+a n﹣1，即（n≥2）．（11分）两边减2，得，（12分）所以{a n﹣2}是以﹣1为首项，为公比的等比数列，故，（13分）即（n∈N*）．（14分）点评：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查归纳推理及等比数列的通项公式．属于中档题．20．（14分）（2010•焦作二模）已知，其中e是无理数，a∈R．（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是﹣1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；压轴题；存在型．分析：（1）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点代入已知函数，比较函数值的大小，从而解出单调区间；（2）构造函数h（x）=g（x）+，对其求导，求出h（x）的最小值大于0，就可以了．（3）存在性问题，先假设存在，看是否能解出a值．解答：解：（1）∵当a=1时，，∴，（1分）∴当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减当1＜x＜e时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，（3分）∴f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；f（x）的极小值为f（1）=1．（4分）（2）由（1）知f（x）在（0，e]上的最小值为1，（5分）令h（x）=g（x）+，x∈（0，e]∴，（6分）当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增，（7分）∴，∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+，（8分）（3）假设存在实数a，使，（x∈（0，e]）有最小值﹣1，∴，（9分）①当a≤0时，∵0＜x≤e，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，e]上单调递增，此时f（x）无最小值．（10分）②当0＜a＜e时，若0＜x＜a，则f'（x）＜0，故f（x）在（0，a）上单调递减，若a＜x＜e，则f'（x）＞0，故f（x）在（a，e]上单调递增.，，得，满足条件．（12分）3当a≥e4时，∵0＜x＜e，∴f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上单调递减，（舍去），所以，此时无解．（13分）综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）（3）法二：假设存在实数a，使，x∈（0，e]）的最小值是﹣1，故原问题等价于：不等式，对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．即不等式a≥﹣x（1+lnx），对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．设g（x）=﹣x（1+lnx），即a=g（x）max，x∈（0，e]（10分）又（11分）令当，g'（x）＞0，则g（x）在单调递增；当，g'（x）＜0，则g（x）在单调递减，（13分）故当时，g（x）取得最大值，其值是故．综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）点评：此题是一道综合题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．。
高中数学必修5期末试卷
高中数学必修5期末试卷数学必修5试题一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知数列{a n }中，21=a，*11()2n naa n N +=+∈，则101a 的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．522．在△ABC 中，若a = 2 ,b =,030A = , 则B 等于 （ ）A ．60oB ．60o或 120oC ．30oD ．30o或150o3．在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于 （ ）A ．030B ．060C ．0120D ．01504．设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，且a 5a 6=81，log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是（ ）A ．5B ．10；C ．20D ．2或45．已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ）A ．5B ．4C ．8D ．66．已知等差数列{a n }的公差d≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( )A ．34B ．23C ．32D ．437．在⊿ABC 中，BCb c cos cos =，则此三角形为（ ）A ． 直角三角形； B. 等腰直角三角形 C 。
等腰三角形 D. 等腰或直角三角形8．已知数列}{na 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n Λ,则312215S S S-+的值是（ ）A. -76B. 76C. 46D. 139．设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -810．等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是（ ）A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11二、填空题( 每小题5分，共20分 ) 11．已知等差数列{a n }满足56aa +=28，则其前10项之和为 ． 12．数列{}na 满足12a=，112n n naa --=，则na = ；13.不等式21131x x ->+的解集是 ． 14．数列{}na 的前n 项和*23()n ns a n N =-∈，则5a = 。
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1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于 （ ）
Ａ．99
Ｂ．100
Ｃ．96
Ｄ．101
2.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ） A ．
2
1
B ．23 C.1
D.3
3.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 101
4.已知0x >，函数4
y x x
=+的最小值是 （ ）
A ．5
B ．4
C ．8
D ．6
5.在等比数列中，112a =，12q =，1
32
n a =，则项数n 为 （ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6 6.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 （ ） A. 0,0a <∆< B. 0,0a <∆≤ C. 0,0a >∆≥ D. 0,0a >∆>
7.设,x y 满足约束条件1
2x y y x y +≤⎧⎪
≤⎨⎪≥-⎩
,则3z x y =+的最大值为 （ ）
A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8
8.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）
2A.
3 2B .-3 1C .-3 1D .-4
10.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 11.在ABC ∆中，0
43
45,22,3
B c b ===
，那么A ＝_____________; 12.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为________ .
13.不等式
21
131
x x ->+的解集是 ．
14.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_________
15(12分) 已知等比数列{}n a 中，4
5
,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和.
16(14分)(1) 求不等式的解集：0542
<++-x x (2)求函数的定义域：1
52
x y x -=++
17 (14分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程22320x x -+=的两个根， 且2()1coc A B +=。
求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。
18(12分)若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<221x x ，
(1) 求a 的值；
(2) 求不等式01522>-+-a x ax 的解集.
19（14分）如图，货轮在海上以35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为︒152的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为︒122．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为︒32．求此时货轮与灯塔之间的距离．
20（ 14分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。
该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用n a 的信息如下图。
（1）求n a ；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
A
C
B
北
北
152o
32 o
122o
费用(万元)
年
a n
4
2
n
2
1
高一数学必修5试题参考答案
一．选择题。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D
B
C
A
C
B
D
A
二．填空题。
11． 15o 或75o 12．n a =2n －3
13．1
{2}3x x -<<
14．n a =2n 三．解答题。
15.解：设公比为q ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分
由已知得 ⎪⎩⎪
⎨⎧=
+=+45105
131211q a q a q a a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3分 即⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+ 45)1(①
10)1(2
3121 q q a q a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分 ②÷①得 2
1
,813
==q q 即 ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7分 将2
1
=
q 代入①得 81=a ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8分 1)21(833
14=⨯==∴q a a ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10分
2312
11)21(181)1(551
5=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-⨯=--=q q a s ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12分 16．（1）{15}x x x <->或 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 (2) {21}x x x <-≥或 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 17． 解：（1）()[]()2
1
cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120°┄┄┄5分 （2）由题设：23
2
a b ab ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
②
︒-+=∙-+=∴120cos 2cos 22
2222ab b a C BC AC BC AC AB
()()
102322
2
22=-=-+=++=ab b a ab b a ┄┄13分
10=∴AB ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 18．（1）依题意，可知方程2
520ax x +-=的两个实数根为
1
2
和2，┄┄┄┄┄┄2分 由韦达定理得：
12+2=5
a - ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 解得：a =－2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （2）1{3}2
x x -<< ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 19．在△ABC 中，∠B ＝152o －122o ＝30o ，∠C ＝180o －152o ＋32o ＝60o ，
∠A ＝180o －30o －60o ＝90o ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
BC ＝
235
， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 ∴AC ＝235sin30o ＝4
35
． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
答：船与灯塔间的距离为4
35
n mile ． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分
20．解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：
12(1)2n a a n n =+-= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
（2）设纯收入与年数n 的关系为f(n),则：
2(1)
()21[22]2520252
n n f n n n n n -=-+
⋅-=-- ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 由f(n)>0得n 2
-20n+25<0 解得1053n 1053-<<+ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 又因为n N ∈,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 ┄┄┄┄┄┄┄8分 （3）年平均收入为
n )
n (f =20-25(n )202510n
+≤-⨯= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。
┄┄┄┄14分。