与二次函数有关的动点问题
二次函数动点问题
5.如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线L向 正方形移动，直到AB与CD重合。设xs时，三角形与正 方形重叠部分的面积为ym² 。 （1）写出y与x的函数关系式； （2）当x=2,3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时， 三角形移动了多长时间？
动面问题
6.如图（1）等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿矩形 DEFG的GF边向右移动，直到BC与GF重合。已知 BC=GF=12m,EF=6m,设xs时，三角形与矩形重叠部分的 面积为ym² (1)参考图②，图③写出y与x之间的关系式； （2）当x1=2.5，x2=5时，y分别是多少？ 7 （3)当重叠部分的面积为矩形面积的 时，三角形 18 移动了多长时间？
图（1）
图（2）
图（3）
P
B
Q
C
3.在梯形ABCD，AD∥BC,AB=BC=10cm,CD=6cm ∠c=90°，点P从A点出发沿线段AB以每秒Icm/s的速 度向终B点运动；动点Q同时从B点出发沿线段BC以每 秒2cm/s的速度向终点C运动．设运动的时间为t秒 (0<t<5)． （1）求AD的长． （2）t为何值时,△PBQ为直角三角形． （3）设△PBQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式 （4）是否存在某一时刻t，使△PБайду номын сангаасQ面积等于梯形形 ABCD面积的2/5？若存在， 求出此时的t值；若不存在， 说明理由；
A
P BP=12-2t，BQ=4t △PBQ的面积: S=1/2(12-2t) •4t B 即S=- 4t² +24t=- 4(t-3)² +36
Q
C
2.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形， 动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、 BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点 P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动 时间为t（s）， （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形? （2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t 的关系式； （3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积 是△ABC面积的三分之二？若存在求出t的值，若 不存在说明理由 A
二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案
函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。
二次函数动点问题类型
二次函数动点问题类型一、求解动点坐标问题：1.已知二次函数的图像经过特定点，求该点的坐标。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像过点(2,5)，求a、b、c的值。
解：由于(2,5)是曲线上的一点，所以满足曲线上的点的坐标满足函数的定义关系式，即：y=ax^2+bx+c代入已知点的坐标，得到：5=4a+2b+c再结合二次函数的性质，无论a、b、c取何值，都可以确定一个二次函数，因此需要再提供其他的条件才能完全确定a、b、c的值。
2.已知二次函数的顶点坐标，求顶点坐标与对称轴的方程。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,3)，求对称轴的方程和a、b、c的值。
解：根据二次函数的性质，二次函数的顶点坐标位于对称轴上，所以对称轴的方程可以通过已知的顶点坐标得到。
对称轴的方程为x=顶点的横坐标，即x=2然后，再结合二次函数顶点坐标的性质，即顶点坐标(2,3)满足a*(2^2)+b*2+c=3，代入这个关系式，可以求解出a、b、c的值。
3.已知二次函数的零点，求函数的表达式。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的零点为x=1和x=3，求函数的表达式。
解：已知x=1和x=3是函数的零点，代入函数的定义关系式，得到a*(1^2)+b*1+c=0和a*(3^2)+b*3+c=0。
进一步整理就可以得到一个由a、b、c构成的方程组，解这个方程组就可以确定a、b、c的值，从而得到二次函数的表达式。
二、研究动点运动规律问题：1.如何通过二次函数的图像研究点的运动规律？二次函数可以表示一个抛物线的图像，通过分析二次函数的各项系数可以得到抛物线的开口方向、顶点坐标等信息，从而研究点的运动规律。
例如，当二次函数的a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为最低点，点的运动趋势是从下往上；当二次函数的a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为最高点，点的运动趋势是从上往下。
2.如何通过已知条件研究点的运动规律？已知的条件可以包括点的初始位置、速度、加速度等信息，将这些信息转化成数学问题，从而得到二次函数的各项系数，进而通过研究二次函数的图像研究点的运动规律。
二次函数动点问题专题
二次函数动点问题专题一、因动点产生的面积问题1、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy++-=2ABC2、如图，抛物线y=12x2+b x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0）。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值；（4）点P为直线BC下方抛物线上一动点，问当P在什么位置时，四边形ACPB 的面积最大，求出此时的P点坐标及最大面积。
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4、（2015中大附中一模）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠GQA =45º，求点Q 的坐标．5、（2016•越秀区一模）如图，已知抛物线y=x 2﹣（m +3）x +9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x +3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点．（1）求m 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）当﹣3＜x ＜1时，在抛物线上是否存在一点P ，使得△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、因动点产生的等腰三角形存在性问题1、已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。
二次函数中的动点问题
二次函数中的动点问题二次函数是高中数学课程中比较重要的一种函数类型，它的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，可以用来表达很多实际问题中的关系。
其中，二次函数中的动点问题是一个常见的问题，主要涉及到了抛物线上某点的运动轨迹，对于此类问题的讨论可以帮助我们深入理解二次函数以及抛物线的特点和应用。
一、动点问题的形式通过一个具体的例子来展示二次函数中的动点问题。
设有一根长60m、重量为100N的弹性绳悬挂于两个点P、Q 之间，弹性绳呈现一个U形。
现有一质量为m的物体从点P 处自由下落，然后受到弹性绳的支撑反弹，反弹高度为h，再落回原点P处。
此时，假设物体在下落或反弹的任意时刻都在弹性绳的中垂线上，我们可以通过求出物体在任意时刻的高度求解出反弹的高度h与物体的质量m的关系。
初步分析这个问题，可以列出物体所在的位置函数，即h(t)。
我们假设物体下落时时间t=0s，其高度为0m，则有：h(t) = at^2 + bt其中，a和b都是常数，t是时间。
物体在弹性绳上下运动，向下运动的时候速度会不断加快，直到反弹的时候速度为0，然后速度逐渐加快，到达下落的时候又达到最大值。
因此，可以得出物体的速度函数v(t)：v(t) = 2at + b而物体的位置函数是速度函数的积分，因此可以解出：h(t) = at^2 + bt + c其中，c是一个常数，其值等于物体下落的初速度的平方除以2g（g为重力加速度，约为9.8m/s^2）。
由于物体在任意时刻都在弹性绳中垂线上，因此可以确定物体的运动轨迹为抛物线。
在上述问题中，我们可以确定抛物线的顶点V的坐标为（30，hmax），其中hmax即为物体下落时的最大高度。
二、动点问题的解法对于二次函数中的动点问题，主要通过求出抛物线的顶点来解决。
通过求解出顶点的坐标、抛物线的开口方向和方程等，可以确定抛物线的形状和运动轨迹，进而判断动点的位置、速度和加速度等物理量。
具体来说，解决二次函数动点问题的步骤如下：1. 确定抛物线的形状和开口方向。
最新中考二次函数动点问题(含答案)
二次函数的动点问题1.如图①,正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，,顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时,点Q 从点()40E ，出发,沿x 轴正方向以相同速度运动.当点P 到达点C 时,P Q ，两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒．(1)求正方形ABCD 的边长.(2)当点P 在AB 边上运动时,OPQ △的面积S (平方单位)与时间t （秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②所示）,求P Q ，两点的运动速度．（3)求（2）中面积S (平方单位)与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标.(4)若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时,OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小.当点P 沿着这两边运动时,使90OPQ =∠的点P 有 个．()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．yDA CB O EQxO10t2028s[解］ （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，， 86FB FA ∴==，.10AB ∴=.(2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了1０秒. 又1010101AB =÷=，.P Q ∴，两点的运动速度均为每秒１个单位．(3)方法一:作PG y ⊥轴于G ,则PG BF ∥．GA AP FA AB ∴=，即610GA t=．35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+,()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭．即231920105S t t =-++.19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,且190103≤≤, ∴当193t =时,S 有最大值． 此时4763311051555GP t OG t ===-=，, ∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．8(ﻩ分）方法二:当5t =时,1637922OG OQ S OG OQ ====，，. 设所求函数关系式为220S at bt =++.抛物线过点()63102852⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，,1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 231920105S t t ∴=-++. 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,且190103≤≤， ∴当193t =时,S 有最大值．此时7631155GP OG ==，, ∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（4)2.［点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识,是近年来较为流行的试题,解题的关键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会非常难。
二次函数的动点问题
二次函数的动点问题模式1.平行四边形分类标准，讨论对角线例如，请在抛物线上找一点P.使得A,B,C,P构成平行四边形，则可分成以下几种情况1，当AB是对角线时，那么有AP∥BC2，当AC是对角线时，那么有AB∥CP3，当BC是对角线时，那么有AC∥CB例题1，在平面直角坐标系中，已知，抛物线经过(-4，0) ,B(0，-4),C(2，0)三点，（1）求抛物线的解析式（2）若点M在第三象限内的抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△ABM的面积为S,求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值。
（3）若点P是抛物线上的一动点，点Q 是直线Y=-X上的一动点，判断有几个位置能使点，P,Q,B,O为顶点的四边形是平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。
练习：抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点c，顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称点；(2)连接BC，与抛物线的对称轴相交于点E，点P为线段BC上的一动点，过点P[作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF是平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系。
模式2；梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成梯形，则可分成以下几种情况（1）当边AB是底时，那么有AB∥PC（2）当边AC是底时，那么有AC∥BC（3）当边BC是底时，那么有BC∥AP例题：已知矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，点A的坐标为（4,0），点C的坐标为（0，-2），直线y=-2/3x与边BC相交于点D.(1)求点D的坐标；(2)抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的解析式；(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数动点问题
二次函数动点问题二次函数是数学中的一个重要概念，也有很多实际应用。
在二次函数中，我们经常会遇到一种问题，即动点问题。
该问题要求我们根据给定的二次函数，确定函数图像上某个动点的坐标。
问题描述在二次函数动点问题中，我们通常会给出二次函数的方程和一个动点的初始位置。
我们需要通过计算，确定动点在函数图像上的位置。
具体来说，我们要求解动点的横坐标和纵坐标。
解决方法为了解决二次函数动点问题，我们可以采用以下步骤：1. 首先，我们需要根据二次函数的方程，确定函数的具体形式。
二次函数的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 为已知常数。
2. 接下来，我们需要确定动点的初始位置。
动点通常以坐标的形式给出，例如 $(x_0, y_0)$。
我们将动点的初始位置代入二次函数的方程，得到动点的纵坐标 $y_0$。
3. 然后，我们需要计算动点的横坐标。
根据函数图像的对称性，动点的横坐标为二次函数的顶点的横坐标。
顶点的横坐标可以通过以下公式计算：$x_v = -\frac{b}{2a}$。
4. 最后，我们可以得到动点在函数图像上的位置。
动点的横坐标为 $x_v$，纵坐标为 $y_0$。
实例演示以下是一个示例，演示了如何解决二次函数动点问题：已知二次函数的方程为 $y = x^2 + 2x + 1$，动点的初始位置为$(2, y_0)$。
我们可以按照以下步骤求解动点的位置：1. 将动点的横坐标代入二次函数的方程，得到动点的纵坐标：$y_0 = 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = 9$。
2. 计算二次函数的顶点的横坐标：$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$。
3. 动点的位置为 $(x_v, y_0) = (-1, 9)$。
通过以上计算，我们得到了动点在函数图像上的位置。
结论二次函数动点问题是一个常见的数学问题。
通过确定二次函数的形式和动点的初始位置，我们可以计算出动点在函数图像上的位置。
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与二次函数有关的动点问题
1. 已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(x1，0)，B(x1，0)．与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|＋|x2|＝4，点A，C在直线y2＝－3x2＋t上．
(1)求点C的坐标；
(2)当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
(3)将抛物线y1向左平移n(n＞0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n 个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2－5n的最小值．
2.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
１
3.如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B 以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
4.(14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．
２
３ 5.如图，抛物线y= –12
x 2+bx +c 与x 轴分别相交于点A （–2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，顶点为点P . （1）求抛物线的解析式；
（2）动点M 、N 从点O 同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB 、OC 上向点B 、C 方向运动，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点F ，交抛物线于点H .
①当四边形OMHN 为矩形时，求点H 的坐标；
②是否存在这样的点F ，使△PFB 为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。
二、猜想、探究题
6. 如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.
(1)求OE 的长；
(2)求经过O ，D ，C 三点的抛物线的解析式；
(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t 为何值时，DP=DQ ；
(4) 若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上,是否存在这样的点M 与点N ，使得以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标;若不存在，请说明理由.。