2020秋新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.2对数函数的图象和性质分层演练含解析新
2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性
4.4.2 对数函数的图象和性质 4.4.3 不同函数增长的差异[基础自测]1．函数y ＝e x的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( ) A ．f (x )＝lg x B ．f (x )＝log 2x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝x e解析：易知y ＝f (x )是y ＝e x 的反函数，所以f (x )＝ln x . 答案：C2．若log 3a ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13b＞1，则( )A ．a ＞1，b ＞0B ．0＜a ＜1，b ＞0C ．a ＞1，b ＜0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：由函数y ＝log 3x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象知，0＜a ＜1，b ＜0.答案：D3．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝3x B ．y ＝103x C ．y ＝log 2x D ．y ＝x 3解析：指数函数模型增长速度最快，故选A. 答案：A4．函数f (x )＝log 3(4x －x 2)的递增区间是________． 解析：由4x －x 2＞0得0＜x ＜4， 函数y ＝log 3(4x －x 2)的定义域为(0,4)． 令u ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4， 当x ∈(0,2]时，u ＝4x －x 2是增函数， 当x ∈(2,4]时，u ＝4x －x 2是减函数． 又∵y ＝log 3u 是增函数，∴函数y ＝log 3(4x －x 2)的增区间为(0,2]． 答案：(0,2]题型一比较大小[教材P133例3]例1 比较下列各题中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)．【解析】(1)log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5.(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7.(3)log a5.1和log a5.9可看作函数y＝log a x的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．当a＞1时，因为函数y＝log a x是增函数，且5.1＜5.9，所以log a5.1＜log a5.9；当0＜a＜1时，因为函数y＝log a x是减函数，且5.1＜5.9，所以log a5.1＞log a5.9.构造对数函数，利用函数单调性比较大小．教材反思比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1 (1)设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则( )A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞b＞a(2)比较下列各组值的大小：①log 230.5，log230.6. ②log1.51.6，log1.51.4.③log0.57，log0.67. ④log3π，log20.8.【解析】(1)a＝log2π＞1，b＝log12π＜0，c＝π－2∈(0,1)，所以a＞c＞b.(2)①因为函数y＝log 23x是减函数，且0.5＜0.6，所以log230.5＞log230.6.②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.③因为0＞log 70.6＞log 70.5，所以1log 70.6＜1log 70.5，即log 0.67＜log 0.57.④因为log 3π＞log 31＝0，log 20.8＜log 21＝0，所以log 3π＞log 20.8. 【答案】 (1)C(2)①log230.5＞log 230.6.②log 1.51.6＞log 1.51.4.③log 0.67＜log 0.57.④log 3π＞log 20.8.状元随笔 (1)选择中间量0和1，比较大小． (2)①②③利用对数函数的单调性比较大小． ④用中间量0比较大小．题型二 解对数不等式例2 (1)已知log 0.72x ＜log 0.7(x －1)，则x 的取值范围为________； (2)已知log a (x －1)≥log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，求x 的取值范围． 【解析】 (1)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1，即x 的取值范围是(1，＋∞)． (2)log a (x －1)≥log a (3－x )，当a ＞1时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞0，3－x ＞0，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3.当0＜a ＜1时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，3－x ＞0，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2.综上可得，当a ＞1时，不等式log a (x －1)≥log a (3－x )中x 的取值范围为[2,3)；当0＜a ＜1时，不等式log a (x －1)≥log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)中x 的取值范围是(1,2]． 【答案】 (1)(1，＋∞) (2)答案见解析状元随笔 (1)利用函数y ＝log 0.7x 的单调性求解． (2)分a ＞1和0＜a ＜1两种情况讨论，解不等式．方法归纳两类对数不等式的解法(1)形如log a f (x )＜log a g (x )的不等式． ①当0＜a ＜1时，可转化为f (x )＞g (x )＞0； ②当a ＞1时，可转化为0＜f (x )＜g (x )．(2)形如log a f (x )＜b 的不等式可变形为log a f (x )＜b ＝log a a b. ①当0＜a ＜1时，可转化为f (x )＞a b； ②当a ＞1时，可转化为0＜f (x )＜a b .跟踪训练2 (1)满足不等式log 3x ＜1的x 的取值集合为________； (2)根据下列各式，确定实数a 的取值范围： ①log 1.5(2a )＞log 1.5(a －1)； ②log 0.5(a ＋1)＞log 0.5(3－a )． 解析：(1)因为log 3x ＜1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 3x ＜log 33，即0＜x ＜3.所以x 的取值集合为{x |0＜x ＜3}． (2)①函数y ＝log 1.5x 在(0，＋∞)上是增函数．因为log 1.5(2a )＞log 1.5(a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞a －1，a －1＞0，解得a ＞1，即实数a 的取值范围是a ＞1.②函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，因为log 0.5(a ＋1)＞log 0.5(3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－a ＞0，a ＋1＜3－a ，解得－1＜a ＜1.即实数a 的取值范围是－1＜a ＜1.答案：(1){x |0＜x ＜3} (2)①(1，＋∞) ②(－1,1) (1)log 33＝1.(2)由对数函数的单调性求解． 题型三 对数函数性质的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求实数a 的值．【解析】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)因为f (x )＝log a [(1＋x )(3－x )] ＝log a (－x 2＋2x ＋3) ＝log a [－(x －1)2＋4]，若0＜a ＜1，则当x ＝1时，f (x )有最小值log a 4， 所以log a 4＝－2，a －2＝4， 又0＜a ＜1，所以a ＝12.若a ＞1，则当x ＝1时，f (x )有最大值log a 4，f (x )无最小值． 综上可知，a ＝12.真数大于0.分0＜a ＜1，a ＞1两类讨论． 方法归纳1．解答y ＝log a f (x )型或y ＝f (log a x )型函数需注意的问题①要注意变量的取值范围．例如，f (x )＝log 2x ，g (x )＝x 2＋x ，则f (g (x ))＝log 2(x 2＋x )中需要g (x )＞0；g (f (x ))＝(log 2x )2＋log 2x 中需要x ＞0.②判断y ＝log a f (x )型或y ＝f (log a x )型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．2．形如y ＝log a f (x )的函数的单调性判断 首先要确保f (x )＞0，当a ＞1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )＞0的前提下与y ＝f (x )的单调性一致． 当0＜a ＜1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )＞0的前提下与y ＝f (x )的单调性相反． 跟踪训练3 已知函数f (x )＝log 2(1＋x 2)． 求证：(1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明：(1)函数f (x )的定义域是R ，f (－x )＝log 2[1＋(－x )2]＝log 2(1＋x 2)＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数． (2)设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(1＋x 21)－log 2(1＋x 22)＝log 21＋x 211＋x 22，由于0＜x 1＜x 2，则0＜x 21＜x 22，则0＜1＋x 21＜1＋x 22， 所以0＜1＋x 211＋x 22＜1.又函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以log 21＋x 211＋x 22＜0.所以f (x 1)＜f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数． (1)函数是偶函数， f(－x)＝f(x)．(2)用定义法证明函数是增函数． 题型四 几类函数模型的增长差异例4 (1)下列函数中，增长速度最快的是( ) A ．y ＝2 018xB ．y ＝x2 018C ．y ＝log 2 018xD ．y ＝2 018x(2)四个自变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表：【解析】 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数型函数变化．【答案】 (1)A (2)y 2状元随笔 (1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)观察变量y 1，y 2，y 3，y 4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x 呈指数型函数变化跟踪训练4 分析指数函数y ＝2x与对数函数y ＝log 2x 在区间[1，＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：课时作业 24一、选择题1．设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b＜c B．b＜a＜cC．b＜c＜a D．a＜c＜b解析：因为0＝log0.51＜a＝log0.50.9＜log0.50.5＝1，b＝log1.10.9＜log1.11＝0，c＝1.10.9＞1.10＝1，所以b＜a＜c，故选B.答案：B2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有( )A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3.答案：B3．若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞) D．(0,1)解析：当a ＞1时，log a 34＜0＜1，成立．当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数． 由 log a 34＜1＝log a a ，得0＜a ＜34.综上所述，0＜a ＜34或a ＞1.答案：B4．函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是( ) A ．(0,2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．[2，＋∞)解析：－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254≤254，又－x 2＋3x ＋4＞0，则0＜－x 2＋3x ＋4≤254，函数y ＝log 0.4x 为(0，＋∞)上的减函数，则y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)≥log 0.4254＝－2，函数的值域为[－2，＋∞)．答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a ＝________. 解析：当a ＞1时，f (x )的最大值是f (3)＝1， 则log a 3＝1，∴a ＝3＞1.∴a ＝3符合题意． 当0＜a ＜1时，f (x )的最大值是f (2)＝1.则log a 2＝1，∴a ＝2＞1.∴a ＝2不合题意，综上知a ＝3. 答案：36．已知函数f (x )＝log 2a －x1＋x为奇函数，则实数a 的值为________．解析：由奇函数得f (x )＝－f (－x )，log 2 a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x ，a －x 1＋x ＝1－x a ＋x，a 2＝1，因为a ≠－1， 所以a ＝1. 答案：17．如果函数f (x )＝(3－a )x与g (x )＝log a x 的增减性相同，则实数a 的取值范围是________．解析：若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1，a ＞1，则1＜a ＜2；若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1，无解．答案：(1,2) 三、解答题8．比较下列各组对数值的大小： (1)log 151.6与log 152.9；(2)log 21.7与log 23.5； (3)log 123与log 153；(4)log 130.3与log 20.8.解析：(1)∵y ＝log 15x 在(0，＋∞)上单调递减，1.6＜2.9，∴log 151.6＞log 152.9.(2)∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，而1.7＜3.5， ∴log 21.7＜log 23.5.(3)借助y ＝log 12x 及y ＝log 15x 的图象，如图所示．在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，∴log 123＜log 153.(4)由对数函数性质知，log 130.3＞0，log 20.8＜0，∴log 130.3＞log 20.8.9．已知log a (2a ＋3)＜log a 3a ，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，2a ＋3＜3a ，2a ＋3＞0，解得a ＞3.(2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2a ＋3＞3a ，3a ＞0，解得0＜a ＜1.综上所述，a 的范围是(0,1)∪(3，＋∞)．[尖子生题库]10．已知a ＞0且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性和奇偶性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1,1)时，有f (1－m )＋f (1－2m )＜0，求m 的取值范围． 解析：(1)令t ＝log a x (t ∈R )， 则x ＝a t，且f (t )＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a t －1a t ， 所以f (x )＝aa 2－1(a x－a －x)(x ∈R )；(2)因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x) ＝－f (x )，且x ∈R ，所以f (x )为奇函数． 当a ＞1时，a x－a －x为增函数， 并且注意到aa 2－1＞0，所以这时f (x )为增函数；当0＜a ＜1时，类似可证f (x )为增函数． 所以f (x )在R 上为增函数；(3)因为f (1－m )＋f (1－2m )＜0，且f (x )为奇函数， 所以f (1－m )＜f (2m －1)．因为f (x )在(－1,1)上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜1－m ＜1，－1＜2m －1＜1，1－m ＜2m －1.解之，得23＜m ＜1. 即m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.。
【课件】4.4.1、4.4.2 对数函数的概念、图象和性质(课件)(新教材人教版必修第一册)
解：(1)对数函数 y＝log2x， 因为它的底数 2>1， 所以它在(0，＋∞)上是增函数． 又 3.4＜8.5，于是 log23.4<log28.5. (2)对数函数 y＝log0.3x， 因为它的底数 0<0.3<1， 所以它在(0，＋∞)上是减函数． 又 1.8＜2.7，于是 log0.31.8>log0.32.7.
1．比较对数值大小的注意点 (1)比较两个同底数的对数大小首先要根据对数的底数来判断对 数函数的单调性，然后比较真数大小，再利用对数函数的单调性判 断两个对数值的大小．
(2)底数中含有参数时，需要对底数进行讨论． (3)对于不同底的对数，可以估算范围，如 log22<log23<log24，即 1<log23<2，从而借助中间值比较大小． 2．求 y＝logaf(x)型函数的值域的注意点 (1)先求定义域，进而确定 f(x)的取值范围； (2)利用对数函数 y＝logax 的单调性求出 logaf(x)的取值范围．
x∈[1，＋∞)时，y∈ 的特点
_[_0_，__＋__∞_)__
x∈[1，＋∞)时，y∈_(_－__∞_，__0_]_
对称性 函数 y＝logax 与 y＝ x 的图象关于_x_轴__对称
预习验收 衔接课堂
1．下列函数是对数函数的是( D ) A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0，且 a≠1) C．y＝logax2(a>0，且 a≠1) D．y＝ln x
2．函数 y＝lgxx－＋11的定义域是( C ) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
3．已知 f(x)＝log3x，则 f 95＋f(15)＝_3_. 4.若函数 f(x)＝loga(2x－3)(a>0，且 a≠1)的图象恒过定点 P，则 P 点的坐标是__(2_,_0_)_．
高中数学第四章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.2对数函数的图象与性质(1)a
解析：对数函数的曲线在第一象限部分， 随着 a 的增大而顺 时针旋转．或者取 y＝1 知 a＝x，直线 y＝1 与四条曲线交点的横 坐标满足 x1>x2>x3>x4 得 a1>a2>a3>a4.
12/13/2021
5．函数 y＝log2(x＋1)的图象大致是( C )
解析：y＝log2(x＋1)是由 y＝log2x 的图象向左平移一个单位长 度得到的，图象过(0,0)点，定义域为(－1，＋∞)，且在定义域上 为增函数，故选 C.
3
12/13/2021
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，
∴log1 (3x－1)>log1 (－x＋5)，
3
3
3x－1>0， 则－x＋5>0，
3x－1<－x＋5，
解得13<x<32，即 x 的取值范围为(13，32)．
12/13/2021
13．(13 分)已知 f(x)＝lg11－ ＋xx的定义域为(－1,1)，
3．已知 loga13>logb13>0，则 a，b 的取值范围是( C )
A．1<b<a
B．1<a<b
C．0<b<a<1 D．0<a<b<1
解析：由
loga
1 3
>logb
1 3
>0
，
得
－
loga3>
－
logb3>0
，
得
loga3<logb3<0，得log13a<log13b<0，得 log3b<log3a<0，得 0<b<a<1.
高中数学第4章指数函数与对数函数4.2指数函数4.2.1指数函数的概念4.2.2指数函数的图象和性质
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．( √ ) (2)当 a>1 时，对于任意 x∈R 总有 ax>1.( × ) (3)函数 f(x)＝2－x 在 R 上是增函数．( × )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若 f(x)＝(a2－3)ax 是指数函数，则 a＝________. (2)若函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象过点(2,9)，则 f(x)＝________. (3)函数 y＝2 1－3x的定义域为________，值域为________． 答案 (1)2 (2)3x (3)(－∞，0] [1,2)
＋ff43＋ff65＋…＋ff22002109＝(
)
A．1010 B．2020 C．2019 D．1009
答案 B
解析
不妨设
f(x)
＝
2x
，
则
f2 f1
＝
f4 f3
＝
…
＝
f2020 f2019
＝
2
，
所
以
原
式
＝
1010×2＝2020.
答案
解析
2．若函数 y＝(1－2a)x 是实数集 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为
教学难点：1.指数函数的图象与性质.2.底数 a 对函数的影响．
核心概念掌握
【知识导学】
知识点一 指数函数的定义
□01 函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义
域是 R
.
知识点二 指数增长模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为 N，每次的增长率
高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性质 第2课时
第2课时对数函数性质的应用(教师独具内容)课程标准：了解并掌握对数函数的图象、性质及单调性．知道对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)互为反函数．教学重点：对数函数的单调性及应用．教学难点：对数函数性质的综合应用.【知识导学】知识点一对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的性质01(0，＋∞)．(1)定义域：□(2)值域：□02(－∞，＋∞)．(3)定点：□03(1,0)．(4)单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是□04增函数；0<a<1时，在(0，＋∞)上是□05减函数．(5)函数值变化当a>1，x>1时，y∈□06(0，＋∞)，0<x<1时，y∈□07(－∞，0)；当0<a<1，x>1时，y∈□08(－∞，0)，0<x<1时，y∈□09(0，＋∞)．(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．知识点二反函数的概念对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)与指数函数y＝a x互为□01反函数，它们的图象关于直线□02 y＝x对称．对数函数y＝log a x的定义域是指数函数y＝a x的□03值域，而y＝log a x的值域是y ＝a x的□04定义域．【新知拓展】(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．互为反函数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示：(2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性． (3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． (4)求反函数的步骤： ①求出函数y ＝f (x )的值域； ②由y ＝f (x )解出x ＝f －1(y )；③把x ＝f －1(y )改写成y ＝f －1(x )，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．(5)如何解以下三类不等式：①形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．②形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a x >log b x 的不等式，可利用图象求解．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( )(2)函数y ＝log a x 的图象与y ＝a x的图象关于直线y ＝x 对称．( ) (3)函数y ＝log a x 的图象过定点(1,0)．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知对数函数f (x )的图象过点(8,3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝________. (2)函数y ＝2log a (x －1)(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点________． (3)已知log a 34<log a 1，则a 的取值X 围为________．答案 (1)－5 (2)(2,0) (3)(1，＋∞)题型一对数函数单调性的应用例1 (1)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值X 围； (2)已知log a 12>1，求a 的取值X 围；(3)求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调递增区间．[解] (1)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.∴x 的取值X 围为(1，＋∞)． (2)由log a 12>1，得log a 12>log a A ．①当a >1时，有a <12，此时无解．②当0<a <1时，有12<a ，所以12<a <1.∴a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (3)要使函数有意义，则有1－x 2>0⇔x 2<1⇔－1<x <1. ∴函数的定义域为(－1,1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．在(－1,0)上，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，即在(－1,0)上，y 随x 的增大而减小，为减函数；在[0,1)上，x 增大，t 减小，y ＝log 12t 增大，即在[0,1)上，y 随x 的增大而增大，为增函数．∴y ＝log 12 (1－x 2)的单调递增区间为[0,1)．[结论探究] 本例(3)中改求此函数的值域． 解 由y ＝log 12u ，u ＝1－x 2，可知0<u ≤1，u的值域为[0，＋∞)．∴y＝log12金版点睛求对数型函数单调区间的方法(1)求形如y＝log a f(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求证；②借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝log a t在定义域上的单调性，利用“同增，异减”的结论，判定y＝log a f(x)的单调性并确定单调区间．(3)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．[跟踪训练1]求函数y＝lg (x2－2x)的单调递增区间．解由已知，得x2－2x>0，解得x>2或x<0.因为y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1]上是减函数，而y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，所以y＝lg (x2－2x)的单调递增区间为(2，＋∞).题型二对数函数性质的综合应用例2 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log1(x＋7)．2(1)求f(1)，f(－1)；(2)求函数f(x)的表达式；(3)若f(a－1)－f(3－a)＜0，求a的取值X围．8＝－3，[解](1)f(1)＝log12f(－1)＝－f(1)＝3.(2)因为f(x)在R上为奇函数，所以f(0)＝0，令x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－log1(－x＋7)，2(3)当x ∈(0，＋∞)时，y ＝log 12 (x ＋7)，令u ＝x ＋7，则y ＝log 12u .由于u ＝x ＋7是增函数，y ＝log 12u 是减函数，则y ＝log 12 (x ＋7)在(0，＋∞)上是减函数，又由于f (x )是奇函数且f (0)＝0，所以y ＝f (x )是R 上的减函数．由f (a －1)<f (3－a )，得a －1>3－a ，解得a >2.[条件探究] 本例中，若函数f (x )是偶函数，试求当x ＜0时，函数f (x )的表达式． 解 令x ＜0，则－x ＞0，因为函数f (x )是偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12 (－x ＋7)＝log 12 (7－x )．故当x ＜0时，f (x )＝log 12 (7－x )． 金版点睛图象与性质是解决对数函数问题的常用方法对数函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提．[跟踪训练2] 已知函数f (x )＝lg a －x1＋x.(1)若f (x )为奇函数，求a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )在(m ，n )上的值域为(－1，＋∞)，求m ，n 的值． 解 (1)∵f (x )为奇函数， ∴f (x )＋f (－x )＝0，即lg a －x 1＋x ＋lg a ＋x 1－x ＝0，∴(a －x )(a ＋x )1－x2＝1，解得a ＝1(a ＝－1舍去)．(2)由(1)知f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则1－x1＋x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1＋x >0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x <0，1＋x <0，解得－1<x <1，即其定义域为(－1,1)．∵x ∈(－1,1)时，t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x 为减函数，而y ＝lg t 在其定义域内为增函数，∴f (x )＝lg 1－x 1＋x 在其定义域内是减函数，则m ＝－1，由题意知f (n )＝lg 1－n1＋n ＝－1，解得n＝911，即m ＝－1，n ＝911.题型三反函数的应用例3 写出下列函数的反函数(用x 表示自变量，用y 表示函数)： (1)y ＝2.5x；(2)y ＝log 16x .[解] (1)函数y ＝2.5x的反函数是y ＝log 2.5x (x >0)．(2)由y ＝log 16x 得x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ，所以函数y ＝log 16x 的反函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x.金版点睛(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称.(2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y ＝x 对称.[跟踪训练3] 已知函数f (x )＝a x －k (a >0，且a ≠1)的图象过点(1,3)，其反函数的图象过点(2,0)，求函数f (x )的解析式．解 由于函数f (x )的反函数的图象过点(2,0)， ∴f (x )的图象过点(0,2)，∴2＝a 0－k ，即k ＝－1， ∴f (x )＝a x＋1.又f (x )的图象过点(1,3)，∴3＝a ＋1，即a ＝2， ∴f (x )＝2x ＋1.1．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )＝( ) A ．－log 2x B ．log 2(－x ) C ．log x 2 D ．－log 2(－x )答案 D解析 令x <0，则－x >0，根据题意f (－x )＝log 2(－x )，－f (x )＝log 2(－x )，即f (x )＝－log 2(－x )，故选D ．2．若函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg (x ＋1)的图象关于直线x －y ＝0对称，则f (x )＝( )A ．10x－1 B ．1－10xC ．1－10－xD ．10－x－1答案 A解析 若两函数图象关于直线y ＝x 对称，则两函数互为反函数，故y ＝lg (x ＋1)，则x ＋1＝10y，x ＝10y－1，即y ＝10x－1.故选A ．3．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数答案 A解析 ∵f (x )的定义域为R ，f (－x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＝lg (x 2＋1＋x ) ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x －1＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，选A ． 4．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a ＝________.答案 －2解析 ∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x ，即g (x )＝2x .又∵g (a )＝14，∴2a＝14，∴a＝－2.5．已知2log a (x －4)>log a (x －2)，求x 的取值X 围．解 由题意，得x >4，原不等式可变为log a (x －4)2>log a (x －2)． 当a >1时，y ＝log a x 为定义域内的增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x －4)2>x －2，x －4>0，x －2>0，解得x >6.当0<a <1时，y ＝log a x 为定义域内的减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2<x －2，x －4>0，x －2>0，解得4<x <6.综上所述，当a >1时，x 的取值X 围为(6，＋∞)； 当0<a <1时，x 的取值X 围为(4,6)．。
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数44对数函数443对数函数的图象与性质2课件新人教A版必修第
A.0，12 C.12，＋∞
B.0，12 D. (0，＋∞)
解析：当 x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，而函数 f(x)＝log2a(x＋1)>0，
故
0<2a<1，即
1 0<a<2.
5．函数 y＝ln|2x－1 3|的图象为( A )
解析：易知 2x－3≠0，即 x≠32，排除 C、D 项．当 x>32时， 函数为减函数，当 x<32时，函数为增函数，所以选 A.
复习课件
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.3对数函数的图 象与性质2课件新人教A版必修第一册
2021/4/17
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数44对数函数443 对数函数的图象与性质2课件新人教A版必修第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数 第38课时 对数函数的图象与性质(2)
D.－∞，12
解析：由 2x2－3x＋1>0 得(2x－1)(x－1)>0，解得 x<12或 x>1.设
t＝2x2－3x＋1＝2x－342－18，所以函数 t 的单调递增区间为(1，＋
∞)．又 y＝log1 t 为减函数，故 y＝log1 (2x2－3x＋1)的单调递减区
2
2
间为(1，＋∞)．
4．若定义在(－1,0)内的函数 f(x)＝log2a(x＋1)>0，则实数 a 的 取值范围是( A )
谢谢观赏！
Thanks!
2021/4/17
新教材高中数学第四章指数函数与
25
对数函数44对数函数443对数函数
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.2对数函数的图象和性质课件新人教A版必修第一册
对数函数的单调性判断．
(2)比较两个对数值的大小，对于底数是相同字母的，需要对 底数进行讨论．
(3)若不同底但同真，则可利用图象的位置关系与底数的大小 关系解决或利用换底公式化为同底后再进行比较．
(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量 1,0，－1 等进行 比较．
[对点练清]
1．已知实数 a＝log45，b＝120，c＝log30.4，则 a，b，c 的大
)
A．－log23
B．－logHale Waihona Puke 2C．19D． 3
解析：y＝f(x)＝log3x，∴f 12＝log312＝－log32.
答案：B
题型一 对数函数的图象问题 [学透用活]
(1)底数对函数图象的影响：底数的大小决定了图象相对 位置的高低．
①上下比较：在直线 x＝1 的右侧，a＞1 时，a 越大，图 象越靠近 x 轴；0＜a＜1 时，a 越小，图象越靠近 x 轴．
∴y＝log 1 (x2－3x＋5)在－∞，32上为增函数，在32，＋∞上 2
为减函数． 综上函数 y＝log 1 (x2－3x＋5)的增区间为－∞，32，减区间为
2
32，＋∞.
[方法技巧] 形如 f(x)＝logag(x)(a＞0，且 a≠1)的函数的单调区间的求法： (1)先求 g(x)＞0 的解集(也就是函数 f(x)的定义域)． (2)当底数 a＞1 时，在 g(x)＞0 这一前提下，g(x)的单调增区 间是 f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是 f(x)的单调减区间． (3)当底数 0＜a＜1 时，在 g(x)＞0 这一前提下，g(x)的单调增 区间是 f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是 f(x)的单调增区间．
[对点练清]
高中数学第四章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.2对数函数的图象和性质课件新人教A版必修第一册
10．如果函数 y＝ax(a>0，a≠1)的反函数是增函数，那么函数 y＝－loga(x ＋1)的图象大致是( )
答案 C
解析 ∵函数 y＝ax(a>0，a≠1)的反函数是增函数，∴y＝ax 为增函数， ∴a>1，∴y＝f(x)＝－loga(x＋1)为减函数，可排除 B，D；又 f(0)＝0，∴排 除 A，故选 C.
5．若定义在(－1,0)上的函数 f(x)＝log2a(x＋1)>0，则实数 a 的取值范围
是( )
A.0，12 C.12，＋∞ 答案 A
B.0，12 D．(0，＋∞)
解析 当 x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，而函数 f(x)＝log2a(x＋1)>0，故 0<2a<1，即 0<a<12.故选 A.
答案 B
解析 易知 f(x)为奇函数，故 f(－a)＝－f(a)＝－b.
4．函数 f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( ) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A 解析 ∵3x>0，∴3x＋1>1.∴log2(3x＋1)>0.∴函数 f(x)的值域为(0，＋∞)．
12．已知 f(x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)． (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性．
解 (1)∵1－x>0 且 1＋x>0，∴－1<x<1. ∴f(x)的定义域为{x|－1<x<1}． (2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称， ∵f(－x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．
∴1＋x2＞1＋x1＞0,1－x1＞1－x2＞0，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.4.2对数函数的图象和性质
分层演练 综合提升
A 级 基础巩固
1.如图,若C 1,C 2分别为函数y =log a x 和y =log b x 的图象,则 ( )
A .0<a <b <1
B .0<b <a <1
C .a >b >1
D .b >a >1
答案:B
2.下列关于函数f (x )=lo g 13(x -4)的单调性叙述正确的是
( )
A.在R 上为增函数
B.在R 上为减函数
C.在区间(4,+∞)上为增函数
D.在区间(4,+∞)上为减函数
答案:D
3.函数f (x )=4+log a (x -1)(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,则点A 的坐标是(2,4).
4.函数f (x )=√log 12(3x -2)的定义域是(23,1].
5.已知函数f (x )=log a (1-x )+log a (x +3),其中0<a <1.
(1)求f (x )的定义域;
(2)当a =12时,求f (x )的最小值.
解:(1)欲使函数有意义,则有{1-x >0,x +3>0,
解得-3<x <1,则函数的定义域为(-3,1).
(2)因为当a =12时,f (x )=lo g 12
[(1-x )(x +3)],所以f (x )=lo g 12(-x 2-2x +3)=lo g 12[-(x +1)2+4].因为-3<x <1,所以0<-(x +1)2+4≤4,所以lo g 12[-(x +1)2+4]≥lo g 12
4=-2,即f (x )的最小值为-2.
B 级 能力提升
6.若a =log 36,b =log 510,c =log 714,则 ( )
A.c >b >a
B.b >c >a
C.a >c >b
D.a >b >c
解析:a =log 36=1+log 32,b =log 510=1+log 52,c =log 714=1+log 72.因为log 27>log 25>log 23>0,所以1log 27<1log 25<1
log 23,
即log 72<log 52<log 32.所以a >b >c ,故选D .
答案:D
7.设不等式2(lo g 12x )2-3lo g 12x +1≤0的解集为M ,求当x ∈M 时,函数f (x )=log 2x 2×log 2x 8
的
最大值和最小值.
解:由2(lo g 12x )2
-3lo g 12x +1≤0,得(2lo g 12x -1)·
(lo g 12x -1)≤0,解得12≤lo g 12x ≤1,
所以12≤x ≤√22,所以M =[12,
√22]. f (x )=log 2x 2×log 2x 8=(-1+log 2x )(-3+log 2x )=(log 2x )2-4log 2x +3.令t =log 2x ,由
log 2x =-lo g 12x ,得t ∈[-1,-12
], 所以f (t )=t 2-4t +3=(t -2)2-1.
因为f (t )=(t -2)2-1在t ∈[-1,-12]上单调递减,所以当t =-12,即log 2x =-12,x =√22
时,y 取得最小值,为214; 当t =-1,即log 2x =-1,x =12时,y 取得最大值,为8. 8.已知函数f (x )=log a (ax 2-x ).
(1)若a =12,求f (x )的单调区间;
(2)若f (x )在区间[2,4]上是增函数,求实数a 的取值范围.
解:(1)当a =12时,f (x )=lo g 12(12x 2
-x ).易知函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),且
y =12x 2-x 在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.
故函数f (x )=lo g 12(12x 2
-x )在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减.
(2)令g (x )=ax 2-x ,则g (x )图象的对称轴为直线x =12a .又因为f (x )在区间[2,4]上是增函数,
则有:①当a >1时,12a ≤2,所以a >1.
又因为g (x )在区间[2,4]上恒大于0,
所以g (2)>0,所以4a -2>0,解得a >12,所以a >1.
②当0<a <1时,12a ≥4,所以0<a ≤18.
又因为g (x )在区间[2,4]上恒大于0,
所以g (4)>0,所以16a -4>0,解得a >14,与0<a ≤18矛盾,舍去.综上可得a >1. C 级 挑战创新
9f (x )=ln(3+x )+ln(3-x ),下列说法正确的是 ( )
A.函数f (x )的定义域为(-3,3)
B.函数f (x )既不是奇函数,也不是偶函数
C.函数f (x )是在定义域上的减函数
D.函数f (x )的最大值是ln 9
解析:由{3+x >0,3-x >0,
得-3<x <3,故选项A 正确; 由f (-x )=ln(3-x )+ln(3+x )=f (x ),知函数f (x )是偶函数,故选项B 错误; 由f (x )=ln(9-x 2),知f (x )不是单调函数,故选项C 错误;
由f (x )=ln(9-x 2)≤ln 9,知f (x )的最大值为ln 9,故选项D 正确. 答案:AD
10f (x )=log 21-ax 1-x 为奇函数(f (x )不是常数函数),则a =-1.f (x )>0的解集为(0,1). 解析:由题意,知f (-x )=-f (x ),即
log 21+ax 1+x +log 21-ax 1-x =0,
所以log 21-a 2x 21-x 2=0,即1-a 2x 2
1-x 2=1, 所以1-a 2x 2=1-x 2,所以a 2=1,即a =±1,当a =1时,f (x )=0不合题意,故a =-1.
由f (x )=log 21+x 1-x >0,得1+x 1-x >1,即1+x 1-x -1>0,
所以2x 1-x >0,所以x (1-x )>0,解得0<x <1.。