高中数学必修五第二章 等差数列的前n项和学案

§2.3 等差数列的前n 项和(1)
1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；
2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.
一、课前准备
（预习教材P 42 ~ P 44，找出疑惑之处）
复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？
复习2：等差数列有哪些性质？
二、新课导学 ※ 学习探究
探究：等差数列的前n 项和公式 问题：
1. 计算1+2+…+100=?
2. 如何求1+2+…+n =?
新知：
数列{}n a 的前n 项的和：
一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S
反思：
① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和?
② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和?
试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S . ⑴184188a a n =-=-=，，；
⑵114.50.715a d n ===，，.
小结：
1. 用1()
2
n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2
n n n d
S na -=+，必须已知三个条件： .
※ 典型例题
例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
小结：解实际问题的注意：
① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；
② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解. 例2 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？
变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .
小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.
※ 动手试试
练1.一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 为（ ）.
A. 12
B. 16
C. 9
D. 16或9
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；
2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；
3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.
※ 知识拓展
1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}
n a 是等差数列.
2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也2k d .
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）.
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
2. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．4566
3. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .
5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = .
1. 数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .
2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？
§2.3 等差数列的前n 项和(2)
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.
一、课前准备
（预习教材P 45 ~ P 46，找出疑惑之处）
复习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .
复习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求
和8S .
二、新课导学 ※ 学习探究
问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
※ 典型例题
例1已知数列{}n a 的前n 项为21
2
n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列
吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
变式：已知数列{}n a 的前n 项为212
343
n S n n =++，求这个数列的通项公式.
小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为
n a =11(1)
(2)n
n S n S S n -=⎧⎨
-≥⎩，由此可由n S 求n a .
例2 已知等差数列24
54377
，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.
变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.
小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法. （1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值
（2）利用n S ：由21()22
n d d
S n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.
※ 动手试试
练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .
练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；
2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.
※ 知识拓展
等差数列奇数项与偶数项的性质如下： 1°若项数为偶数2n ，则
S S nd 偶奇－＝；1
(2)n n S a
n S a +≥奇偶＝；
2°若项数为奇数2n ＋1，则
1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝； 1
S n S n +偶
奇＝.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列数列是等差数列的是（ ）. A. 2n a n = B. 21n S n =+
C. 221n S n =+
D. 22n S n n =-
2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）.
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
3. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 170
4. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .
5. 在等差数列中，公差d ＝1
2
，100145S =，
则13599...a a a a ++++= .
1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.
2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？。