圆的方程典型例题
圆与方程典型例题
圆的方程考点一：求圆的方程1.过两点P (2,2)、Q (4,2)，且圆心在直线x －y ＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝2B ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝2C ．(x －3)2＋(y －3)2＝ 2D ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝ 22.求经过点A (10,5)、B (－4,7)，半径为10的圆的方程．3. 求以A (2,2)、B (5,3)、C (3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．4. 已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1005．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <23 6.220x y x y R +-++=表示一个圆，则R 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．(),2-∞ C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 7. 已知方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求：(1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．8.ABC ∆的三个顶点坐标分别为()()()1,5,2,2,5,5A B C ---，求其外接圆的方程．7.一圆经过点)3,4(-P ，圆心在直线012=+-y x 上，且半径为5，求该圆的标准方程。
点关于直线对称8.圆12-)1(22=+-）（y x 关于直线02=--y x 对称的圆的方程为（ ） 9.圆14)3(22=++-）（y x 关于直线0=+y x 对称的圆的方程是（ ） A.14)3(22=-++）（y x B.13)4(22=++-）（y x C.13)4(22=-++）（y x D.14)3(22=-+-）（y x10.经过两点P (－2,4)、Q (3，－1)，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程．11.已知直线01=-+y x 与圆心为C 的圆4a -)1(22=+-）（y x 相交于B A ,两点，若ABC ∆为等边三角形，则实数=a （ ）A.6-B.6C.6±D.61±12.圆心在x 轴上，半径长为2，且过点），（12-的圆的方程为（ ） A.2)1(22=++y x B.2222=++）（y x C.2)3(22=++y x C.2)1(22=++y x 或2)3(22=++y x13.点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是______ 外14．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5周长最小15.圆过点)4,1(),2,1(--B A ,求：（1）周长最小的圆的方程（2）圆心在直线042=--y x 上的圆的方程。
六年级解方程练习题圆
六年级解方程练习题圆六年级解方程练习题 - 圆一、问题描述：假设一个圆的半径为r，它的周长是14 cm。
请解方程确定这个圆的半径r。
二、解题过程：设圆的半径为r，则根据圆的周长的计算公式可得：周长= 2πr根据问题描述，周长为14 cm，则可以得到方程：2πr = 14为了解这个方程，我们需要确定π的数值。
根据常用的精确值，π约等于3.14。
代入π的值，方程可以简化为：2 × 3.14 × r = 14计算得到：6.28r = 14为了求解r的值，可以将方程两边同时除以6.28，得到：r = 14 ÷ 6.28计算得到：r ≈ 2.23三、答案验证：将r ≈ 2.23代入原方程2πr = 14中，验证左右两边是否相等：2 × 3.14 × 2.23 = 14.0244约等于14，结果符合题目要求。
综上所述，这个圆的半径约等于2.23 cm。
四、解答总结：通过解方程，我们确定了这个圆的半径为约2.23 cm。
解题过程包括确定方程、简化方程、计算并验证答案。
解题过程清晰简洁，符合解方程的基本步骤。
在解答过程中，我们采用了数学符号和公式来表示计算和推导过程，使得解答更加准确和规范。
解题过程中，我们没有使用“小节一”、“小标题”等词语，但是通过段落划分和排版布局的方式，使得整个文章结构清晰，逻辑有序。
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如果还有其他问题，请随时告诉我。
高一数学圆的方程经典例题
例1圆(Λ∙-3)2+(y-3)2=9±到直线3Λ-+4>'-11=0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解.或先求出直线厶、厶的方程，从代数计算中寻找解答.解法圆(x-3)2 + (y-3)2=9 的圆心为q(3,3),半径∕ = 3∙设圆心O I到直线3x + 4V-Il = O的距离为〃，则∣3×3 + 4×3-Il∣√3¼41如图，在圆心Q同侧，及直线3x÷4y-ll=0平行且距离为1的直线厶及圆有两个交点，这两个交点符合题意.・•・及直线3x÷4y-ll = 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.・・・符合题意的点共有3个.解法二符合题意的点是平行于直线3Λ÷4y-ll = 0,且及之距离为1 的直线和圆的交点.设所求直线为3x + 4y + m = 0,贝∣J√=±≤ = 1,∙e∙ m+ll = ±5 9即In = -6 9或加= —16,也即∕1x3x + 4y-6 = 0 9⅛K∕23x + 4y-16 =0 •典型例设圆O1≡(x-3)2+(y-3)2=9的圆心到直线厶的距离为〃】、心则∣3×3÷4×3-6L ∣3×3÷4×3-16L K•••厶及q相切，及圆q有一个公共点；厶及圆q相交，及圆q有两个公共点•即符合题意的点共3个•说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解:设圆心O I到直线3x + 4y-ll = 0的距离为〃,则^∣3×3÷4×3-11L2<3.√P74Γ•I圆O］到3x + 4y-ll = 0距离为1的点有两个•显然,上述误解中的〃是圆心到直线3x÷4y-ll = 0的距离,d<r,只能说明此直线及圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1∙到一条直线的距离等于定值的点，在及此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线及圆的公共点•求直线及圆的公共点个数，一般根据圆及直线的位置关系来判断, 即根据圆心及直线的距离和半径的大小比较来判断•典型例题三例3求过两点A(l,4)、B(3,2)且圆心在直线y = 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)及圆的关系.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P及圆的位置关系，只须看点P及圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(兀-d}2 +(y-by =r2.∙.∙圆心在y = 0上，故b = 0.圆的方程为(X-^)2 + >,2= r2.又Y该圆过4(1,4)、B(3,2)两点..J(l-α)2 + 16 = ∕*2[(3-α), +4 = r2解之得：Q=-I, r2 = 20.所以所求圆的方程为(x + l)2+y2=20・解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(l,4)、3(3,2)两点，所以圆心C必在线段A3的垂直平分线/上，又因为S=苦1，故/的斜率为1，又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线/的方程为：y-3 = x-2即x-y + l = 0.又知圆心在直线y = 0上，故圆心坐标为C(-l, 0)・*. Φ⅛ r = ∖AC∖ =√(l + l)2+42 = λ∕20 ・故所求圆的方程为(X +1)2+ b =20・又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为J=IPq = λ∕(2 +1)2+42=√25>r.・•・点P在圆外.说明：木题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心及定点之间的距离和半径的大小关系来判定点及圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线及圆的位置关系呢？典型例题四例4圆X2 + y2 +2x + 4y-3 = 0上到直线x + y + ∖ = 0的距离为血的点共有().(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个分析：把X2 + y2 +2x+4y-3 = 0化为(x +1)2 +(y + 2)2 =8 ,圆心为(-1,-2), 半径为「= 2血，圆心到直线的距离为√Σ,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于运，所以选C.典型例题五例5 过点P(-3,-4)作直线/,当斜率为何值时，直线/及圆C：(X-I)2+(y + 2)2=4有公共点，如图所示.分析：观察动画演示，分析思路.解：设直线/的方程为y + 4 = k(x + 3)即kx- y + 3k -4 = 0根据(/S有比+2 + 3£-4|刁y∣∖+k2整理得3k2-4k=0解得40≤k≤-•3典型例题六例6己知圆Ot√ + y2=4,求过点P(2,4)及圆O相切的切线. 解：T点P(2,4)不在圆O上，・•・切线PT的直线方程可设为y =心- 2)+4根据d = r•• •7+4|_2√f+P解得k=〉4所以y = -(x-2)÷4即3x-4y + 10 = 0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为;ι=2∙说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.木题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于O解决(也要注意漏解)・还可以运用v÷>v = r2,求岀切点坐标•5、儿的值来解决，此时没有漏解•例7自点衣-3,3）发出的光线/射到兀轴上，被兀轴反射，反射光线所在的直线及圆C：√ + y2-4x-4y + 7 = 0相切（1）求光线/和反射光线所在的直线方程.切线的斜率为图3k = -^ik =—3 4进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x-3y + 3 = 0 或3x-4y-3 = 0最后根据入射光及反射光关于X轴对称，求出入射光所在直线方程为4x + 3y + 3 = 0 或3x+4y-3 = 0光路的距离为∖A'M∖ ,可由勾股定理求得PrMf=PrCf TCMf=7.说明：木题亦可把圆对称到兀轴下方，再求解.例8如图所示，已知圆O： x2+y2 =4及y轴的正方向交于A点，点B 在直线y = 2上运动，过B做圆O的切线，切点为C,求ΔABC垂心H的轨迹.分析：按常规求轨迹的方法，设H(.y),找;r,y的关系非常难.由于H点随B , C点运动而运动，可考虑H, B , C三点坐标之间的关系. 解：设H(X,y), C(X ,y),连结4H, CH ,贝IJAH丄BC, CH丄AB f BC是切线OC丄BC,所以OC//AH, CHIIOA, OA = OC f所以四边形AOCH是菱形.所以∖CH∖ = ∖θA∖ = 2f得I y= y~2'又C(X ,y)满足∕÷∕=4,所以√÷(y-2)2=4(x≠0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程•做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析及动点相关联的点，如相关联点轨迹方程己知，可考虑代入法.典型例题九例9求半径为4,及圆√+∕-4x-2y-4 = 0相切，且和直线尸0相切的圆的方程.分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(X-Uy +(y-b)2 =r2.圆C及直线y = 0相切，且半径为4,则圆心C的坐标为G(α,4)或C2(^,-4)・又己知圆X 2 + y 2 _ 4 X _ 2_ 4 = 0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切,则IGAI=4 + 3 = 7或IGAl=4-3 = 1・⑴当GS,4)时,(α-2)2÷(4-l)2=72,或(α-2)2+(4-1)2 = I2 (无解)，故可得0 = 2±2佰.・•・所求圆方程为(X-2-2√W+(V-4)2=42, 或(X - 2 + 2√10 )2 + (y - 4)2 = 42 .(2)当C?(“ , 一4)时，(α — 2)2 +(-4-1)2 = 7?,或(α一2)2 + (一4 — I)? = F (无解)，故α = 2 ± 2√6 .・•・所求圆的方程为(x-2-2√6)2+(y + 4)2=42, 或(x-2 + 2√z6)2+(y + 4)2 =42 .说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆及直线)=0相切且半径为4,则圆心坐标为C(",4), 且方程形如(x-α)2+(y-4)2 =42・又圆x2 +y2 -4x-2y-4 = 0 ,即(x-2)2+(y-l)2=32 ,其圆心为A(2,1),半径为3.若两圆相切,则IcAI = 4 +3・故(«-2)2+(4-1)2 =72,解之得6∕ = 2±2√1O .所以欲求圆的方程为(X_2_2√"10)2+(y-4)2=42,或(X_2 + 2√Iθ)2+(y-4)2 = 42.上述误解只考虑了圆心在直线y = O上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形.另外，误解中没有考虑两圆内切的情况•也是不全面的.典型例题十例10已知圆x2 + y2+x-6y + m = O及直线x + 2y-3 = 0相交于P、Q两点，O为原点，且OP丄O0,求实数加的值.分析：设P、0两点的坐标为(x l,y l)> (X2O12) »则由S • % =7, 可得⅜÷>'1>'2=0,再利用一元二次方程根及系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为上，由直线/及圆的方程构造以上为未知数的X X一元二次方程，由根及系数关系得出為p∙褊。
高中数学圆的方程典型例题(含答案)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点 A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线 y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关系． 分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P 与圆的位置关系，只须看点 心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径， 则点在圆内．解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为 (x a)2 (y b)2 r 2 ． ∵圆心在 y 0 上，故 b 0． ∴圆的方程为 (x a)2 y 2 r 2．又∵该圆过 A(1,4)、 B(3,2)两点．22(1 a)216 r 2 22(3 a)24 r 2解之得： a 1， r 2 20．所以所求圆的方程为 (x 1)2 y 2 20 ． 解法二：(直接求出圆心坐标和半径)42 因为圆过 A(1,4) 、 B(3 , 2)两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为 k AB 4 21AB1 3 斜率为1，又 AB 的中点为 (2,3)，故 AB 的垂直平分线 l 的方程为： y 3 x 2即 x y 1 0．又知圆心在直线 y 0上，故圆心坐标为 C( 1,0) ∴半径 r AC (1 1)2 42 20 ． 故所求圆的方程为 (x 1)2 y 2 20 ． 又点 P(2 ,4) 到圆心 C( 1,0)的距离为d PC (2 1)2 4225 r ．∴点 P 在圆外．例2 求半径为 4，与圆 x 2 y 2 4x 2y 4 0相切，且和直线 y 0相切的圆的方程． 分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆 C ：(x a)2 (y b)2 r 2．圆C 与直线 y 0相切，且半径为 4，则圆心 C 的坐标为 C 1(a, 4)或C 2(a, 4)． 又已知圆 x 2 y 2 4x 2y 4 0的圆心 A 的坐标为 (2 ,1) ，半径为 3．P 与圆，故 l 的52t 3tt 2 (3t 5)2 ．若两圆相切，则 CA 4 3 7或 CA 4 3 1．2 2 2 2 2 2(1)当C 1(a , 4)时， (a 2)2 (4 1)2 72，或 (a 2)2 (4 1)2 12 (无解)，故可得 a 2 2 10．∴所求圆方程为 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42，或 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42．(2)当C 2 (a , 4)时， (a 2)2 ( 4 1)2 72，或(a 2)2 ( 4 1)2 12 (无解)，故 a 2 2 6．∴所求圆的方程为 (x 2 2 6)2 (y 4)2 42 ，或 (x 2 2 6)2 (y 4)2 42． 说明： 对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线 y 0相切且半径为 4，则圆心坐标为 C(a,4) ，且方程形如 (x a)2 (y 4)2 42．又 2 2 2 2 2圆x 2 y 2 4x 2y 4 0，即(x 2)2 (y 1)2 3 2 ，其圆心为 A(2 , 1) ，半径为 3．若两圆相切，则 CA 4 3．故 (a 2)2 (4 1)2 72 ， 解 之 得 a 2 2 10 ． 所 以 欲 求 圆 的 方 程 为 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42 ， 或 2 2 2 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42 ．上述误解只考虑了圆心在直线 y 0 上方的情形，而疏漏了圆心在直线 y 0下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆 内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点 A(0 , 5) ，且与直线 x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程．分析： 欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直 线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解： ∵圆和直线 x 2y 0与 2x y 0相切， ∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 x 2y 0和 2x y 0 的距离相等．∴x 2y x 2y ．∴ 5 5 ．∴两直线交角的平分线方程是 x 3y 0或 3x y 0． 又∵圆过点 A(0 ,5) ，∴圆心 C 只能在直线 3x y 0 上． 设圆心 C(t ,3t)∵ C 到直线 2x y 0 的距离等于 AC化简整理得 t 2 6t 5 0 ．解得： t 1或 t 5∴圆心是 (1 , 3) ，半径为 5 或圆心是 (5 ,15) ，半径为 5 5 ． ∴所求圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 5或 (x 5)2 (y 15)2 125．说明： 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过 定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例 4、 设圆满足： (1)截 y 轴所得弦长为 2； (2)被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为 3:1，在满足条件 (1)(2)的所有圆中， 求圆心到直线 l ：x 2y 0 的距离最小的圆的方程．分析： 要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个， 其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到 符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一： 设圆心为 P(a ,b) ，半径为 r ． 则P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ，故圆截 x 轴所得弦长为 2r ． 2∴r 2b 2又圆截 y 轴所得弦长为 2．2∴r a 2 1 ．又∵ P(a ,b) 到直线 x 2y 0的距离为22a 2 4b 24ab2 2 2 2a 2 4b 2 2(a 2 b 2 )2b当且仅当 a b 时取“ =”号，此时 d mina b这时有2b 2 a 2 1a 1 a1或b 1b1又r22b 22∴ 5d 22a 2b2故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 解法二：同解法一，得a 2bd．5∴ a 2b 5d ．2 2 2∴ a2 4b2 4 5bd 5d2．将a2 2b2 1代入上式得：222b2 4 5bd 5d2 1 0 ．上述方程有实根，故28(5d 2 1) 0，∴d 5．5将d 5代入方程得b 1．5又2b2 a2 1 ∴ a 1．由a 2b 1 知a 、b 同号．故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5 已知圆O：x2 y2 4，求过点P 2，4 与圆O相切的切线．解：∵点P 2，4 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为y k x 2 4根据d r∴2k 4 221 k3解得k343所以y 3 x 2 44即3x 4y 10 0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决(也要注意漏解) ．还可以运用2x0x y0y r 2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆C 1：x 2 y 2 D 1x E 1y F 1 0与C 2：x 2 y 2 D 2x E 2yF 2 0相交于 A 、 B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析： 首先求 A 、 B 两点的坐标，再用两点式求直线 AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求，可以采用“设而不求”的技巧．解： 设两圆 C 1、C 2 的任一 交点坐标为 (x 0 , y 0) ，则有：22 x 0 y 0 D 1xE 1y 0F 1 0①22 x 0 yD 2x0 E 2 yF 2 0②①－②得： (D 1 D 2)x 0 (E 1 E 2)y 0 F 1F 2 0 ．∵ A 、 B 的坐标满足方程(D 1 D 2)x(E 1 E 2)yF 1F 2 0 ．∴方程 (D 1 D 2 )x (E 1E 2)yF 1 F 2是过 A 、 B 两点的直线方程又过 A 、 B 两点的直线是唯一的．∴两圆C 1、 C 2的公共弦 AB 所在直线的方程为 (D 1 D 2)x (E 1 E 2)yF 1 F 2 0．说明： 上述解法中，巧妙地避开了求 A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲 线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了 对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例 7、过圆 x 2 y 2 1外一点 M(2,3) ，作这个圆的两条切线 MA 、 MB ，切点分别是 A 、B ，求直线 AB 的方程。
圆与方程知识点总结典型例题
圆与方程1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2. 点与圆的位置关系：(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：a.点在圆内 d ＜r ；b.点在圆上 d=r ；c.点在圆外 d ＞r(2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4. 直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A CBb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ；2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-， 圆心距221221)()(b b a a d -+-=① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离 外切 相交 内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：① 上述圆系不包括2C ；② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即求解k ，得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为 。
圆的方程知识点总结和典型例题
圆的方程知识点总结和经典例题(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．(2)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一条件．2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系：(1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2.(2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2.(3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r2.3．直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系的判断方法设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．（2）过一点的圆的切线方程的求法1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．（3）求弦长常用的三种方法1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22解题．2．利用交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．3．利用弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2].4. 圆与圆的位置关系（1）圆与圆位置关系的判断方法设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆2：(－2)2＋(－2)2＝22(2>0)．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d ；(3)通过d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．（2）两圆相交有关问题 1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.3．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．5. 对称问题(1)点关于点成中心对称通常利用中点坐标公式点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ）. (2)点关于直线成轴对称(3)曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称 6. 与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．7. 典型例题1. 直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断【解析】 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，又圆x 2＋y 2＝1的半径r ＝1，∴d ＝r ，故直线与圆相切．2. 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( )A ．过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【解析】 圆心(1，－1)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝|3×1＋4×－1＋12|32＋42＝115＜r .【答案】 D3.求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．【解析】由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴|－k－7|k2＋1＝5，解得k＝43或k＝－34.∴所求切线方程为y＋7＝43(x－1)或y＋7＝－34(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.4.过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程.【解析】因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－15 8.所以切线方程为y＋3＝－158(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.5.求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．【解析】圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径r＝ 5.点(0,1)到直线l的距离为d＝|3×0＋1－6|32＋12＝102，l＝2r2－d2＝10，所以截得的弦长为10.6.直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )A．1 B．2C．4 D．46【解析】圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP |＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt △ACP 中，|AP |＝r 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB |＝4.7. 两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( )A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切【解析】 两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d ＝42＋－32＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．8. 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切【解析】 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．9. 求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．【解析】 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝－4－02＋0－22＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝3 5.设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.10. 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长．【精彩点拨】 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2【解析】设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解，两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0， 圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23. 11. 已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1【解析】 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心C 1(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0关于直线y ＝－x 对称的点为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b a －1·－1＝－1，－a ＋12＝b 2，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－1.所以圆C 的方程为x 2＋(y＋1)2＝1.12. 当动点P 在圆x 2＋y 2＝2上运动时，它与定点A (3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________．【解析】 设Q (x ，y )，P (a ，b )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋32，y ＝b ＋12，所以⎩⎨⎧a ＝2x －3，b ＝2y －1.点P (2x －3,2y －1)满足圆x 2＋y 2＝2的方程，所以(2x －3)2＋(2y －1)2＝2， 化简得⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，即为点Q 的轨迹方程． 13. （1）△ABC 的顶点坐标分别是A （5，1），B （7，﹣3），C （2，﹣8），求它的外接圆的方程；（2）△ABC 的顶点坐标分别是A （0，0），B （5，0），C （0，12），求它的内切圆的方程．【解答】解：（1）设所求圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2，① 因为A （5，1），B （7，﹣3），C （2，﹣8）都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①，于是，可解得a=2，b=﹣3，r=25，所以△ABC 的外接圆的方程是（x ﹣2）2+（y+3）2=25．（2）∵△ABC 三个顶点坐标分别为A （0，0），B （5，0），C （0，12）， ∴AB ⊥AC ，AB=5，AC=12，BC=13，∴△ABC 内切圆的半径r==2，圆心（2，2），∴△ABC 内切圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=4．14. 已知圆C ：x 2+（y+1）2=5，直线l ：mx ﹣y+1=0（m ∈R ）（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．【解答】解：（1）由于直线l 的方程是mx ﹣y+1=0，即 y ﹣1=mx ，经过定点H （0，1），而点H到圆心C（0，﹣1）的距离为2，小于半径，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，故直线和圆恒有两个交点．（2）直线l的倾斜角为120°，直线l：﹣ x﹣y+1=0，圆心到直线的距离d==1，∴|AB|=2=4．15.过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，求直线l的方程．【解】由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)．又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝|2k－1－2|1＋k2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22.解得k＝1或177.所以直线l的方程为y＋2＝x＋1或y＋2＝177(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.。
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0=y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．例2求半径为4，与圆042422=---+y某y某相切，且和直线0=y相切的圆的方程．例3求经过点)5,0(A，且与直线02=-y某和02=+y某都相切的圆的方程．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被某轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y某l：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆422=+y某O：，求过点()42，P与圆O相切的切线．例6两圆0111221=++++FyE某Dy某C：与0222222=++++FyE某Dy某C：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．例7、过圆122=+y某外一点)3,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。
练习：1．求过点(3,1)M，且与圆22(1)4某y-+=相切的直线l的方程．2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y某y某相切的直线的方程为3、已知直线0125=++ay某与圆0222=+-y某某相切，则a的值为.类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:=--y某l被圆042:22=--+y某y某C截得的弦AB 的长.例9、直线0323=-+y某截圆422=+y某得的劣弧所对的圆心角为例10、求两圆0222=-+-+y某y某和522=+y某的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y某和圆422=+y某，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线m某y+=与曲线24某y-=有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.例13圆9)3()3(22=-+-y某上到直线01143=-+y某的距离为1的点有几个？练习1：直线1=+y某与圆)0(0222>=-+aayy某没有公共点，则a的取值范围是练习2：若直线2+=k某y与圆1)3()2(22=-+-y某有两个不同的交点，则k的取值范围是.3、圆034222=-+++y某y某上到直线01=++y某的距离为2的点共有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4、过点()43--，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆()()42122=++-y某C：有公共点，如图所示．类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例14、判断圆02662:221=--++y某y某C与圆0424:222=++-+y某y某C的位置关系，例15：圆0222=-+某y某和圆0422=++yy某的公切线共有条。
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1、 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．例2、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3 在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例3 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．例4两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．例5、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
类型三：弦长、弧问题例6、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例7、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为例8、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例9、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与圆的位置关系.例10、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.例11 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？类型五：圆与圆的位置关系例12、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，例13：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
类型六：圆中的对称问题例14、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是例15 自点()33，-A 发出的光线l 射到x 轴上， 被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程．类型七：圆中的最值问题例16：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是例17 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值（2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．例18：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .类型八：轨迹问题例19、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.例20、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.例21 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．例22 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程． 分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5y 2x 52y -x +=．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ． 说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法． 例2、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程． 分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ． 又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r 故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例3 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴21422=++-k k 解得 43=k 所以 ()4243+-=x y 即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例4 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的． ∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例5、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
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圆的方程典型例题
一、 基础训练
⒈圆x 2+y 2+4x=0 的圆心坐标_________,半径__________;
⒉已知A(-4,-5)，B(6,-1)则以线段AB 为直径的圆的方程为_________________. ⒊圆(x +1)2+y 2=49和(x -1)2+(y +4)2=4的位置关系为 ( )
A. 内切
B. 外切
C. 相交
D. 相离
⒋由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是
⒌若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 ⒍点（１，１）在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，求a 的取值范围
二、 典型例题
例1． 求圆心在直线053=-+y x 上，并且经过原点和点（3，-1）的圆的方程。
练习： 1.求过三点O(0,0),A(1,0),B(0,1)的圆的方程.
2．求过两圆028********=-++=-++y y x x y x 和的交点及圆心在直线x-y-4=0的圆的方程
练习：3.若直线y =kx +10与圆x 2+y 2=25相切，求k 的值.
4.已知直线x +y -3=0与圆x 2+y 2-2x+4y-11=0相交于A ，B 两点，求|AB|。
5. 求过点)6,4(P 且与圆1)3()3(22=-+-y x 相切的直线方程.
例3．已知圆422=+y x 和圆0444x 22=+-++y x y 关于直线L 对称，求直线L 的方程。