2019届一轮复习人教A版 对数与对数函数 学案

第七节对数与对数函数．对数1在y轴右侧，过定点(1,0)1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (2)log 2x 2＝2log 2x .( ) (3)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(4)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B.3．函数y ＝lg|x |( )A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：选B y ＝lg|x |是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．4．设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选C 因为a ＝log 2π＞1，b ＝log 12π＜0，c ＝π－2＝1π2＞0，但c ＜1，所以b ＜c＜a .5．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为______．解析：要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.5(4x －3)≥0，解得34<x ≤1.答案：⎝⎛⎦⎤34，16．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________．解析：当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．答案：(2,2)考点一 对数式的化简与求值 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]23A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选D 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析：原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－203．计算：log 23·log 38＋(3)3log 4＝________.解析：原式＝lg 3lg 2·3lg 2lg 3＋331log 42log 34＝3＋33log 2l ＝3＋2＝5.答案：54．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎫log 3 12的值是________． 解析：因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2.因为log 312＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 312＝331-log 2＋1＝33log 2＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝2＋3＝5. 答案：5[怎样快解·准解]1．解题“2思路”(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．2．易错“2提醒”(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．考点二 对数函数的图象及应用 (重点保分型考点——师生共研)1．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：选A 由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)[解题师说]1．准确审题是关键(1)要识别对数型函数f (x )＝log a |x |＋1的图象，一般从最基本的对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数的定义域及单调性，并利用平移、对称变换等手段得到所要求的函数图象，特别地要注意a ＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．(2)方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一实根，采用直接求解无法得到，常把这种问题转化为y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 两函数图象的关系问题，利用数形结合法求解．2．利用结论是捷径 对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a ＞1时，图象上升；0＜a ＜1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)[冲关演练]1．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 当x >1时，f (x )＝ln(x －1)， 又f (x )的图象关于x ＝1对称，故选B.2.已知函数f (x )＝loga (2x ＋b －1)(a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0＜a －1＜b ＜1B ．0＜b ＜a －1＜1C ．0＜b －1＜a ＜1D ．0＜a －1＜b －1＜1解析：选A 令g (x )＝2x ＋b －1，这是一个增函数，而由图象可知函数f (x )＝log a (g (x ))是单调递增的，所以必有a ＞1. 又由函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间， 即－1＜f (0)＜0，所以－1＜log a b ＜0， 故a －1＜b ＜1，因此0＜a －1＜b ＜1.考点三 对数函数的性质及应用 (题点多变型考点——追根溯源)角度(一) 比较对数值的大小1．已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选B a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且27>33>26，所以b >a >c . [题型技法]比较对数值大小的方法角度(二) 简单对数不等式的解法2．已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．解析：原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，12.答案：⎝⎛⎭⎫13，12[题型技法] 求解对数不等式的两种类型及方法3．若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤43，3B.⎣⎡⎦⎤43，2C.⎣⎡⎭⎫43，2D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析：选C 由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m＋2)内单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2，m ＋2≤5，3m －2＜m ＋2，解得43≤m ＜2.[题型技法]解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤1．无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性，变换不同的角度来应用．角度(一)与角度(二)是对数函数单调性的直接应用，利用单调性来比较大小、解不等式；角度(三)是对数函数单调性的迁移应用，根据单调性来求参数的范围，所以弄清对数函数的单调性是解题的关键，并注意有时需对底数字母参数进行讨论．2．与对数型函数有关的恒成立问题多与其定义域和值域有关．对于函数y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)，若定义域为R ，则f (x )＞0在R 上恒成立；若值域为R ，则f (x )能取遍所有正实数．[冲关演练]1．若a ＝log 0.30.2，b ＝log π3，c ＝log 0.3e ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 由对数函数的性质可得a ＝log 0.30.2>log 0.30.3＝1，b ＝log π3∈(0,1)，c ＝log 0.3e<0，所以a >b >c .2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧41－x，x ≤1，1－log 41x ，x ＞1，则满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值集合为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，41－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 41x ≤2，解得12≤x ≤1或1＜x ≤4，即实数x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 12≤x ≤4.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 12≤x ≤43．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数， 由f (x )＞1在[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )＞1， 解得1＜a ＜83，当0＜a ＜1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )＞1在[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )＞1， 且8－2a ＞0，故不存在实数a 满足题意． 综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3(2x －1)≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1，∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |0＜y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选A 由函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |0＜y ≤1}，知0＜a ＜1，由此可知y ＝log a |x |的图象大致是A.5．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．6．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝( )A ．2B ．－2C.12 D ．－12解析：选D ∵f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为－1<x <1，∴f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－12.7．lg 2＋lg 5＋20＋⎝⎛⎭⎫5132×35＝________. 解析：原式＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1328．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1. 答案：19．(2018·安徽两校阶段性测试)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝________.解析：因为log 49＝log 23＞0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－22log 3－＝－21log23＝－13.答案：－1310．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝⎛⎭⎫12·log 2x ，则f (2)＝ ________.解析：因为f (x )＝1＋f ⎝⎛⎭⎫12·log 2x ， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1＋f ⎝⎛⎭⎫12·log 212，得f ⎝⎛⎭⎫12＝12， 所以f (x )＝1＋12log 2x ，所以f (2)＝1＋12log 22＝32.答案：32B 级——中档题目练通抓牢1．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 227－log 233，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c解析：选B 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 227－log 233＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b >c .2.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1解析：选D 由对数函数的性质得0＜a ＜1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c ＞0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c ＜1.3．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a ＞0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 令M ＝x 2＋32x ，则M >0，所以x ＞0或x ＜－32.当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，所以a ＞1，又M ＝x 2＋32x 图象的对称轴为x ＝－34，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________. 解析：因为2a ＝5b ＝m ， 所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10.答案：105．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a ).解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)6．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 7．已知函数f (x )＝log a (a 2x ＋t )，其中a ＞0且a ≠1. (1)当a ＝2时，若f (x )＜x 无解，求t 的取值范围；(2)若存在实数m ，n (m ＜n )，使得x ∈[m ，n ]时，函数f (x )的值域也为[m ，n ]，求t 的取值范围．解：(1)∵log 2(22x ＋t )＜x ＝log 22x ，∴22x ＋t ＜2x 无解，等价于22x ＋t ≥2x 恒成立，即t ≥－22x ＋2x ＝g (x )恒成立，即t ≥g (x )max ，∵g (x )＝－22x ＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14， ∴当2x ＝12，即x ＝－1时，g (x )取得最大值14，∴t ≥14，故t 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14，＋∞.(2)由题意知f (x )＝log a (a 2x ＋t )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m ，f (n )＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋t ＝a m，a 2n ＋t ＝a n，问题等价于关于k 的方程a 2k －a k ＋t ＝0有两个不相等的实根，令a k ＝u ＞0，则问题等价于关于u 的二次方程u 2－u ＋t ＝0在u ∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即⎩⎪⎨⎪⎧ u 1＋u 2＞0，u 1·u 2＞0，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＞0，t ＜14，得0＜t ＜14.∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，14. C 级——重难题目自主选做1．(2018·广东省级名校模拟)已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎡⎦⎤15，5D.⎝⎛⎦⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：选C ∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )＞0在(0，＋∞)上恒成立．∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.2．(2018·沈阳质检)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.答案：9(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .2.若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)． 3.(2018·广东韶关南雄模拟)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析：选C ∵f (2)＝4，∴2a ＝4，解得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，－log 2(x ＋1)，－1<x <0，∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1<x <0时，函数g (x )单调递减．故选C.4．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 227－log 233，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c解析：选B 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 227－log 233＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b >c .5.已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1解析：选A 当0<a <1时， 函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数， 所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1， 解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数， 所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解． 综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.6．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0，且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1. 答案：17.函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－148．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a ).解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)9.已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数．(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵函数f (x )＝log 21＋axx －1是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴log 21－ax －x －1＝－log 21＋ax x －1，即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax ，∴a ＝1，f (x )＝log 21＋xx －1.令1＋xx －1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <0，x －1<0，解得x <－1或x >1.∴函数f (x )的定义域为{x |x <－1或x >1}． (2)∵f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )， 当x >1时，x ＋1>2，∴log 2(1＋x )>log 22＝1. ∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立， ∴m ≤1.∴m 的取值范围是(－∞，1]．10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为{x |－5<x <5}． B 级——拔高题目稳做准做1．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a ＞0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选A 令M ＝x 2＋32x ，则M >0，所以x ＞0或x ＜－32.当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，所以a ＞1，又M ＝x 2＋32x 图象的对称轴为x ＝－34，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．2.设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析：选D 作出y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的大致图象如图所示． 显然x 1＜0，x 2＜0. 不妨设x 1＜x 2，则x 1＜－1，－1＜x 2＜0， 所以10x 1＝lg(－x 1)， 10x 2＝－lg(－x 2)，此时10x 1＜10x 2，即lg(－x 1)＜－lg(－x 2)， 由此得lg(x 1x 2)＜0，所以0＜x 1x 2＜1.3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________. 解析：因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10.答案：104．(2018·沈阳质检)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.答案：95．已知函数f (x )＝log a (a 2x ＋t )，其中a ＞0且a ≠1. (1)当a ＝2时，若f (x )＜x 无解，求t 的取值范围；(2)若存在实数m ，n (m ＜n )，使得x ∈[m ，n ]时，函数f (x )的值域也为[m ，n ]，求t 的取值范围．解：(1)∵log 2(22x ＋t )＜x ＝log 22x ，∴22x ＋t ＜2x 无解，等价于22x ＋t ≥2x 恒成立，即t ≥－22x ＋2x ＝g (x )恒成立，即t ≥g (x )max ，∵g (x )＝－22x ＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14， ∴当2x ＝12，即x ＝－1时，g (x )取得最大值14，∴t ≥14，故t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. (2)由题意知f (x )＝log a (a 2x ＋t )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m ，f (n )＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋t ＝a m，a 2n ＋t ＝a n，问题等价于关于k 的方程a 2k －a k ＋t ＝0有两个不相等的实根，令a k ＝u ＞0，则问题等价于关于u 的二次方程u 2－u ＋t ＝0在u ∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即⎩⎪⎨⎪⎧ u 1＋u 2＞0，u 1·u 2＞0，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＞0，t ＜14，得0＜t ＜14.∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，14.6.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立， 即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3.所以k <－3. 综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)．。