高中数学第03课时1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(三)
高中数学课件-第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意考试要求义.2.能解决简单的实际问题.01聚焦必备知识知识梳理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N ＝________种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理的区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )夯基诊断× √ √ 2.回源教材(1)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________.不同的选法共有5＋4＝9(种)方法.答案：9(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，则从A村经B村去C村，不同路线的条数是________.从A村去B村有3种走法，由B村去C村有2种走法，根据分步乘法计数原理可得2×3＝6(种).答案：6(3)如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种.电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂，但电路通的情况却只有3种，即2或3脱落或全不脱落，每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，故共有24－3＝13(种)情况.答案：13突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 11(4)3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有________种.因为第1、第2、第3个班各有5种选法，由分步乘法计数原理，可得不同的选法有5×5×5＝125(种).答案：12502突破核心命题1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )A.4种B.10种C.18种D.20种考 点 一分类加法计数原理B B 赠送1本画册，3本集邮册，需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法.赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法.由分类加法计数原理可知，不同的赠送方法共有4＋6＝10(种).2.集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则B 这样的点的个数是( )A.9B.14C.15D.21B 当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7.当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法，因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).3.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________.当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.答案：13分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准；(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复；(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.1.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有( )A.12种B.24种C.72种D.216种考 点 二分步乘法计数原理A A 先填第一行，有3×2×1＝6(种)不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理可知，共有6×2＝12(种)不同的填法.2.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法(六名同学不一定都能参加)？(1)每人只参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.解：(1)每人都可以从三个竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种).(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六名同学中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种).1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.考 点 三两个基本计数原理的综合应用考向 1与数字有关的问题例1 用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数(用数字作答).要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步.第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，再依次取百位、十位数字.共有3×4×5×4＝240(种)取法.第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字，再依次取百位、十位数字.共有3×3×5×4＝180(种)取法，共可以组成240＋180＝420(个)无重复数字的四位偶数.答案：420例2 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A.60B.48C.36D.242与几何有关的问题B B 一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线组成6个“平行线面组”，一共有6个面，共有6×6＝36(个).长方体的每个对角面有2个“平行线面组”，共有6个对角面，一共有6×2＝12(个).根据分类加法计数原理知共有36＋12＝48(个).例3 学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给图中的小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有________种不同的涂色方法.3涂色与种植问题答案：66利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事.(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图.(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步.训练1 (2024·临汾第一次适应考)如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则共有________种不同的绿化方案.(用数字作答)如图，从A开始摆放花卉，A有5种颜色花卉摆放方法，B有4种颜色花卉摆放方法，C有3种颜色花卉摆放方法；由D与B，C的花卉颜色不一样，与A的花卉颜色可以同色也可以不同色，则D有3种颜色花卉摆放方法.故共有5×4×3×3＝180(种)不同的绿化方案.答案：180训练2 (2024·南平质检)甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为________.5日至9日，日期尾数分别为5，6，7，8，9，有3天是奇数日，2天是偶数日，第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4(种)用车方案；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3×2×2＝12(种)用车方案，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23＝8(种)用车方案，共计12＋8＝20(种)用车方案.根据分步乘法计数原理可知，不同的用车方案种数为4×20＝80.答案：8003限时规范训练(七十三)A 级 基础落实练1.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( )A.16B.13C.12D.10C C 将4个门编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2，3，4号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4×3＝12(种).2.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时B 要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有( )A.8种B.9种C.10种D.11种B 设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班级分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法.由分类加法计数原理可知，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法.3.如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9B B 分两步，第一步，从E →F ，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F →G ，有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3＝18(条)可以选择的最短路径.4.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其D 和为偶数的不同取法的种数为( )A.30B.20C.10D.6D 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个不同的数字的和为偶数可分为两类：第一类，取出的两个数都是偶数，有0和2，0和4，2和4，共3种不同的取法；第二类，取出的两个数都是奇数，有1和3，1和5，3和5，共3种不同的取法.由分类加法计数原理得，共有3＋3＝6(种)不同的取法.5.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数D 成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A.3B.4C.6D.8D 以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这四个数列顺序颠倒，又得到4个新数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个).6.如图所示，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是( )A.780B.840C.900D.960D D 先涂A，则A有5种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法，同理C有3种涂法，D有4种涂法，E有4种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为5×4×3×4×4＝960.7.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )B A.360种B.50种C.60种D.90种B 第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)；第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种)选法.8.(2024·宿州模拟)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与C 含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为( )A.12B.24C.36D.48C 第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).9.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数的个数是________.因为a＋b i为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36(个)虚数.答案：3610.乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数为________.从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，故根据分步乘法计数原理可知共有N＝3×4×5＝60(项).答案：60。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课后习题详解)
人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。
（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。
【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。
2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。
3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。
这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。
课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。
由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。
1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(3)
13（ N＝1＋6＋5＋1＝13（种）
普通高中课程数学选修2-3] 1.1计数原理 普通高中课程数学选修 计数原理 8 [普通高中课程数学选修
由数字0 例6 由数字0，1，2，3，4，5可 以组成多少个无重复数字的三位数？ 以组成多少个无重复数字的三位数？ 百位 十位 个位 5种 5种 4种
100（ N＝5×5×4＝100（种）
普通高中课程数学选修2-3] 1.1计数原理 普通高中课程数学选修 计数原理 19 [普通高中课程数学选修
引申: 引申
1、将数字1,2,3,4,填入标号为 、将数字 填入标号为1,2,3,4的四个 填入标号为 的四个 方格里,每格填一个数字 每格填一个数字,则每个格子的标 方格里 每格填一个数字 则每个格子的标 号与所填的数字均不同的填法有_____种 号与所填的数字均不同的填法有 种
C D A
涂S 点 涂A 点 涂D 点 B 涂B 、C 点
5 4 3 7
420（ N＝5×4×3×7＝420（种）
普通高中课程数学选修2-3] 1.1计数原理 普通高中课程数学选修 计数原理 12 [普通高中课程数学选修
例10 从－3，－2，－1，0，1，2， 3中任取三个不同的数作为抛物线 2+bx+ (a≠0)的系数，如果抛物 y=ax x+c( ≠0)的系数 y= x x+ ≠0)的系数， 线过原点，且顶点在第一象限，问 线过原点，且顶点在第一象限， 这样的抛物线共有多少条？ 这样的抛物线共有多少条？ c取值 c＝1 取值 1种 a取值 a＜0 取值 3种 3种 b取值 b＞0 取值 N＝3×3×1＝9（种）
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高中数学 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件(3) 新人教A版必修3
(1)由数字1,2,3可以组成多少个没有重复 数字的自然数? ppt课件
（2）如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上红、黄、蓝3种不同颜色中的某一种,允许 同一种颜色可使用多次,但相邻区域必须涂不同 的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解: 按地图A、B、C、D四个
（A）3种 （B）4种 （C）5种 （D）6种
（3）课本12页
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作业
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另外，为了减少测试 时间，程序员需要设 法减少测试次数。你 能帮助程序员设计一 个测试方法，以减少 测试次数吗？
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例2．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅 速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照必须有3个不重复的 英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出现。那么这种办法 共能给多少辆汽车上牌照？
例3．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来， 然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则 四张贺年卡不同的分配方式有（ B ）
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
练习： （1）在所有的三位数中，又且只有两个数字相同
的3位数共有____2_43___个。
（2）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分， 平一场得1分，负一场得0分，一球队打完15场， 积33分，若不考虑顺序，球队胜、负、平的情 形有（ A ）
解：将汽车牌照分为2类， 一类的字母的组合在左，另一类字母的组合在右
第1位 第2位 第3位 第4位 第5位 第6位
26
25
24
10
9牌照共有
26×25×24×10×9×8 = 11 232 000（个）
高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理3课堂导学案新人教A版选修
高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理3课堂导学案新人教A版选修1、1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理3课堂导学三点剖析一、“分类”与“分步”是区分两个计数原理的唯一标准【例1】某同学有若干本课外参考书，其中外语5本，数学6本，物理2本，化学3本，他欲带参考书到图书馆看书、(1)若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法?(2)若外语、数学、物理和化学参考书各带一本，有多少种不同的带法?(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法?思路分析：(1)中“带一本参考书”应运用加法原理；(2)中“各带一本参考书”应运用乘法原理；(3)中“第2本不同学科的书”应分情况讨论，具有综合性、解析：(1)要完成的事是“带一本参考书”，由于无论带哪一学科的书都完成了这件事，因此是分类问题，应用加法原理得5+6+2+3=16(种)不同的带法、(2)要完成的事是“外语、数学、物理和化学各带一本”、因此，选一个学科中的一本书只完成了这件事的一部分，只有几个学科的书都选定了之后，才完成这件事，因此是分步计数问题，应用乘法原理，有5623=180(种)不同的带法、(3)要完成的事是“带2本不同学科的书”，因此要分情况考虑，即先考虑是带哪两个学科的书，如带外语、数学各一本，则选一本外语书或选一本数学书都只完成了这一件事的一部分，因此要用乘法原理，即有56=30种选法、同样地，外语、物理各选一本，有52=10种选法、选外语、化学各一本有53=15种选法……，从而上述每种选法都完成了这件事、因此这些选法种数之间还应用加法原理，共有56＋52+53+62+63+23=91(种)二、两个计数原理的综合应用分类和分步的先后问题【例2】从1到200的自然数中，各个数位上都不含数字8的自然数有多少个?分析：由题设条件要先分类，第一类考虑一位数中有多少不含数字8的自然数；第二类考虑两位数中有多少个不含数字8的自然数，此类中又要分个数和位数两步，即要分步；第三类考虑三位数中有多少个不含数字8，也要分个位、位、百位三步、故应先用分类计数原理，在每一类中需要分步的再用分步计数原理求解、解析：由题意分三类解决，第一类：一位数中有8个大于0且不含数字8的自然数、第二类：两位数中有多少不含数字8的自然数，此类需要分两步，第一步：个位上除8之外有9种选法，第二步：位数上除0和8之外有8种选法，要根据分步计数原理，得第二类数中有89=72(个)数符合要求、第三类：三位数中有多少不含数字8的自然数，此类需要分两个小类，一类是百位数为1的三位数，此类需分三步，第一步：个位上除8之外有9种选法；第二步：位数上除8之外有9种选法；第三步：百位数为1，有1种选法、根据分步计数原理，得此类数中有99=81(个)数符合要求、另一类是百位数为2的三位数，即200，就是1个，由分类计数原理得此时第三类的三位数中有81+1=82(个)不含数字8的自然数、故先用分类计数原理再结合分步计数原理，得从1到200的自然数中各个数位上都不含数字8的自然有N=8+72+82=162(个)、三、用两个计数原理解题时，要注意化归思想和分类讨论思想的使用【例3】求与正四面体四个顶点距离之比为1∶1∶1∶2的平面的个数、解析：设正四面体的顶点为A，B，C，D，到这四个点距离之比为1∶1∶1∶2的平面α有两类：(1)点A，B，C在平面α的同侧，有2个(如图)、①②(2)点A，B，C在平面α的两侧，有6个(如图)、① ② ③ ④ ⑤ ⑥转换点A，B，C，D，共可得48=32个平面、各个击破【类题演练1】已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是平面上的点,a,b∈M:(1)P(a,b)可表示平面上多少个不同的点?(2)P(a,b)可表示多少个坐标轴上的点?解析：(1)完成这件事分成两个步骤：a 的取法有6种，b的取法也有6种，∴P点个数为：N=66=36(个)(2)完成这件事可分三类：x轴上(不含原点)有5个；y轴上(不含原点)有5个；既在x轴上，又在y轴上的点即原点也适合，∴共有N=5+5+1=11(个)【变式提升1】甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种，乙厂生产的收音机外壳形状有4种，颜色有5种、这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有多少种不同的品种?解析：分两类：一类是甲厂生产的有34种，一类是乙厂生产的有45种，根据加法原理共有34+45=32种、【类题演练2】将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同；如果只有红、黄、蓝、绿、黑5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数、解析：如图所示，四棱锥P-ABCD 中，第一步先将侧面PAB上的三点P、A、B染色，由于只有5种颜色且具有同一条棱上的两端点颜色不同，再分三个步骤共有543=60(种)染法、其次，当P、A、B用三种不同的颜色染好后，不妨设分别染的是P红、A 黄、B蓝、若点C染黄色，则D可染蓝、绿、黑，即有3种染法、若点C染绿色，则D可染蓝、黑，即有2种染法、若点C染黑色，则D可染蓝、绿，即有2种染法、故第二步C和D还有7种染法、最后，由分步计数原理，得共有607=420(种)染法、【变式提升2】同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有( )A、6种B、9种C、11种D、23种解析：记四人为甲、乙、丙、丁，则甲送出的卡片可以且只可以由其他的三人之一收到、故有3种分配方式；以乙收到为例，其他人收到卡片的情况可分为两类：第一类：甲收到乙送出的卡片，这时，丙、丁只有互送卡片一种分配方式、第二类：甲收到的不是乙送出的卡片，这时，甲收到卡片的方式有2种(分别为丙和丁送出的)，对于每一种情形，丁收到卡片的方式只有一种、因此，根据分类与分步计数原理，得不同的分配方式数为：3(1+2)=9、答案：B【类题演练3】在坐标平面上画出63条直线：y=b,y=+2b,y=+2b,其中b=-10,-9,-8, …，-1，0，1，…8，9，10，这些直线将平面切成若干个等边三角形，其中边长为的等边三角形有多少个?解析：6条最外面的直线围成一个边长为的正六边形，穿过原点O的三条直线将这六边形分成6个边长为的等边三角形、因为每个这样的大三角形的边长是小三角形边长的10倍，且每个大三角形被分成102个小三角形，所以正六边形内部共有边长为的小三角形为6102=600(个)、另外，与正六边形每条边相邻的外部都有10个边长为的小三角形(如图)、故边长为23的等边三角形的个数为N=6102+610=660、【变式提升3】某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场得1分；负一场是0分、一球队打完15场，积33分、若不考虑顺序，该队胜、负、平的情形共有( )A、3种B、4种C、5种D、6种解析：设该队胜x场，平y场，负z场，则x,y,z是非负整数，且因为不考虑胜、平、负的顺序，所以问题转化为求此方程组的不同非负整数解的组数、由②得，y=3(11-x),代入①式，得z=2(x-9)、由0≤y≤15,0≤z≤15，可知因为x是非负整数,所以这个不等式的解为9≤x≤11,即x最多只能取9,10,11三个值,对应的y值也只能取6,3,0三个值,对应的z值也只能取0,2,4三个值、从而①②组成的方程组有且只有三组的非负整数解,选A、。
新教材高中数学第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理新人教A版选择性必修第三册
(2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×6=6 种选法. 故甲入选的不同选法种数为2+6=8. 第2类:甲不入选.可分两步: 第1步,从只会英语的6人中选1人有6种选法,第2步,从只会日语的2人中选1 人有2种选法.由分步乘法计数原理知,有6×2=12种不同的选法. 综上,共有不同选法种数为8+12=20.
探究点二 分步乘法计数原理
【例2】 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4 个拨号盘可以组成多少个四个数字的组合号码?(各位置上的数字允许重 复)
解 4个拨号盘组成四个数字的组合号码可以分四步完成:
第1步,第1个拨号盘有10种拨号方式,所以m1=10; 第2步,第2个拨号盘有10种拨号方式,所以m2=10; 第3步,第3个拨号盘有10种拨号方式,所以m3=10; 第4步,第4个拨号盘有10种拨号方式,所以m4=10. 根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10 000个四个数
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3.某体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,小李到体育场看比赛,则他进、 出体育场的方案种数为( D ) A.12 B.7 C.14 D.49 解析 完成进、出体育场这件事,需要分两个步骤完成: 第1步,进体育场,共有4+3=7种方法, 第2步,出体育场,共有4+3=7种方法. 由分步乘法计数原理知,进、出体育场的方案种数为7×7=49.
规律方法 利用分步乘法计数原理解题的一般思路
变式训练2[苏教版教材例题]3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本, 共有多少种不同的选法?
解 3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本,可以分三个步骤完成:第1 步,第一名同学选1本电子书有5种不同的选法;第2步,第二名同学选1本电 子书有5种不同的选法;第3步,第三名同学选1本电子书有5种不同的选法. 因此,根据分步乘法计数原理,3名同学每人各选1本电子书的不同选法种数 是5×5×5=125.
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事有
N＝m1 · m2· …· mn 种不同的方法．原理的核心是每一个步 ________________ 骤都依次完成后，这件事情才能完成． 例如：某人上楼从底层到三层，今知从底层到二层 有4个扶梯可走，又从二层到三层有2个扶梯可走，问此人
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且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事，
在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好
分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方 法，必属于某一类且仅属于某一类．
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变 式 迁 移
1．(1)某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学
为数学科代表，则不同选法的种数有( A．50种 B．26种 C．24种 D．616种 (2)一项工作可以用A或B这两种方法中的一种方法完 成，有4人会用A方法完成，另外8人会用B方法完成，从中 选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是( A．12种 B．32种 C．24种 D．64种 )
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高三(3)
31
20
51
(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同 的选法？ (2)从(1)班、(2)班女生中或从(3)班男生中选一名学 生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解析：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：
第1类，从高三(1)班任选一名学生，有54种不同选 法； 第2类，从高三(2)班任选一名学生，有50种不同选 法； 第3类，从高三(3)班任选一名学生，有51种不同选
)
A．8个 B．9个 C．10个 D．12个
变 式 训 练
解析：根据分步乘法计数原理，得不同的值
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）教学设计一、教学内容解析（一）教材的地位和作用本节课是人教版《数学》选修2-3第一章第一节（第一课时）。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。
返璞归真的看两个原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论基础。
从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；运用分步乘法计数原理是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程。
这样做的目的是为了分解问题、简化问题。
由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。
（二）教学目标1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣；2．掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能说明两个计数原理的不同之处，能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题，体现数学实际应用和理论相结合的统一美，经历从特殊到一般的思维过程；3．经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。
（三）教学重点与难点重点：归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题。
难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征、正确地区分“分类”或“分步”。
二、学生学情分析：1.认知基础：在学习必修2 “古典概型”时突出了树形图、列举法在计数中的作用；在学习和生活中，我们会不自觉地使用“分类”和“分步”的方法来思考解决问题。
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A.5种B.6种C.7种D.8种
3.集合M=｛1,2,3｝的子集共有( )
A.8 B.7 C.6 D.5
4.有4封不同的信投入3个不同的邮筒，可有
例2.(课本P9例9) 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
2.（课本P13B1）一种号码锁有4个拨号盘，每
个拨号盘上有从0到9共10个数字，现最后一个
拨号盘出现了故障，只能在0到5这六个数字中
拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？
二、新课导学
◆应用示例
例1．(课本P8例8)计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图1.1一4，它是一个具有许多执行路径的程序模块．问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数,你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？
◆反馈练习
1.某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.
(1)选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法?
(2)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法?
(3)推选出其中2人去外校参观学习，要求这2人来自不同年级，有多少种不同的选法?
2.用0,1,2,3,…,9十个数字可组成多少个不同的: (1)三位数; (2)无重复数字的三位数;
种不同的投入方法.
5.若x,y∈N，且x+y≤6，则有序自然数对(x,y)共有
个.
课后作业
1．（课本P12A5）（1）在平面直角坐标系内，横
坐标与纵坐标均在 内取值的
不同点共有多少个？（2）在平面直角坐标系内，斜率在集合 内取值， 轴上的截距在集合 内取值的不同直线共有多少条？
(3)小于50同的楼梯，4名学生要下楼，共有多少种不同的下楼方法?
(2)有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军，冠军获得者共有多少种可能?
学习评价
1.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）
A.510种B.10５种C.50种D.以上都不对
第03课时
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（三）
学习目标
1．通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的时间问题.
学习过程
一、学前准备
复习：（课本P10练4）某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？