江苏省南京市鼓楼区2014年中考数学二模试题
2014-2015年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷和答案
2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．（2分）方程x2=2x的根是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣22．（2分）方程x2+3x﹣4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根3．（2分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，变形正确的是（）A．（x﹣2）2=9 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x+1）2=64．（2分）某公司全体员工薪的具体情况如表：则所有员工年薪的中位数为（）A．9万元B．6万元C．5万元D．4万元5．（2分）如图，AB，AC是O的两条弦，圆心O在∠BAC的内部，若∠ABO=α，∠ACO=β，∠BOC=θ，则下列关系式中，正确的是（）A．θ=α+βB．θ+α+β=360°C．θ+α+β=180°D．θ=2α+2β6．（2分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径分别为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣4 C．4π﹣4 D．4π﹣8二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．（2分）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．8．（2分）方程2x2+4x+1=0的解为x1、x2，则x1+x2=；x1x2=．9．（2分）已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D=．10．（2分）若一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为10cm，圆心角为252°的扇形，则该圆锥的底面半径为cm．11．（2分）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，∠BOD=90°，∠B=60°，则∠C=．12．（2分）如图是一个古代车轮的碎片，形状为圆环的一部分，为求其外原半径，连接外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=8cm，AB=48cm，则这个外圆半径为cm．13．（2分）如图，△ABC的边BC的垂直平分线与△ABC的外接圆相交于点D，若∠B=70°，∠C=50°，则的度数为．14．（2分）在一次函数y=kx+b中，已知一组自变量x1、x2、…x n，对应的函数值为y1、y2、…y n，若x1、x2、…x n的平均数为1，则y1、y2、…y n的平均数为．15．（2分）关于x的方程（x+m）2=n的解是x1=﹣2，x2=1（m、n为常数），则方程（x+m+3）2=n的解是．16．（2分）如图，圆中有四条弦，每一条弦都将圆分割成面积比为1：3的两个部分，若这些弦的交点恰是一个正方形的顶点，那么这个正方形的外接圆的面积与图中阴影部分面积的比值为．三、解答题（共10小题，满分88分）17．（16分）解下列一元二次方程：（有指定方法的必须使用指定方法）（1）x2+6x﹣5=0（配方法）（2）3x2+4x=1（公式法）（3）x2+5=2x（4）2（x﹣1）2=1﹣x．18．（7分）（1）若关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+4=0有两个相等的实数根，则k的值为．（2）若关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+4=0有实数根，求k的取值范围．19．（8分）某校为了了解九年级全体女生仰卧起坐的训练情况，从中随机抽取了若干女生的训练情况，制成下列两幅统计图：根据以上信息完成下列问题：（1）补全图2；（2）下列说法正确的是（填写所有正确的序号）①训练前各成绩段中，人数最多的一组是“36～38”；②“36～38”成绩中，训练前成绩的平均数一定小于训练后成绩的平均数；③训练前成绩的众数为7个；④训练后成绩的中位数一定大于训练前成绩的中位数．（3）规定成绩达到39个及以上为优秀等级，若该校九年级女生共有500名，请估计该校九年级女生优秀等级训练后比训练前增加的人数．20．（7分）一分钟投篮测试规定：满分为10分，成绩达到9分及以上为优秀，甲、乙两组个10名队员的某次测试成绩如下（1）请补充完成下面的成绩分析表：（2）请结合表中的三组数据评价甲、乙两组的成绩．21．（7分）已知，在⊙O中，设BC所对的圆周角为∠BAC．求证：∠BAC=∠BOC证明：圆心O可能在∠BAC的一边上，内部和外部（如图①、②和③）．如图①，当圆心O在∠BAC的一边上时．∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∵∠BOC=∠A+∠ACO，∵∠BOC=2∠A，即∠BAC=∠BOC请你完成其余的证明．22．（8分）南京某特产专卖店的销售某种特产，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，平均每天的销售量增加30千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元？（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为：‘方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得方程为：．（2）请你选择一种方法完成解答．23．（6分）请只用无刻度的三角板画图，不写画法，但保留作图痕迹．（1）在图1中，画出该圆的一条直径AB；（2）在图2中，画弦MN的中点P．24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠ACB的平分线CM分别与AB，⊙O交于点N，M，且PC=PN．（1）求证：直线PC与⊙O相切；（2）若AB长为5．BC长为3，连接AM，求AC，AM的长．25．（9分）某Wi﹣Fi热点的信号覆盖区域是以这个Wi﹣Fi热点为圆心，r为半径的圆（包括圆的内部），如图为某广场的平面示意图，16个长25m，宽15m 的展区排列在面积为9600m2的矩形ABCD区域，展区间纵向横向的每条路宽均相等．（1）求展区间的每条路宽；（2）若只固定一个Wi﹣Fi热点，便可覆盖广场中的所有位置，求r的最小值；（3）当r为50m时，能否只固定两个这样的Wi﹣Fi热点，使得信号覆盖广场中的所有位置？请通过画图计算进行说明．说明：本题不考虑Wi﹣Fi热点的占地面积和展区对信号的干扰．26．（11分）若一个圆经过正方形的对称中心，则称此圆为该正方形的“伴侣圆：”，如图1，正方形ABCD的边长为a，对角线交于点E，已知⊙O是正方形ABCD的“伴侣圆”，其半径为r．（1）当r=1，a=2时，圆心O可以是．A．点A B．点E C．线段AB的中点D．线段AE的中点（2）如果圆心O在正方形ABCD的边上，且a=1，那么r的取值范围为．（3）如果r=1，⊙O与正方形ABCD的四边最多有2个公共点，那么a的取值范围为．（4）如果⊙O同时也是边长为3的正方形EFGH的“伴侣圆”，且EF∥AB，a=1，如图2，求当⊙O与直线AB相切时r的值．2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．（2分）方程x2=2x的根是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣2【解答】解：方程变形得：x2﹣2x=0，分解因式得：x（x﹣2）=0，可得：x=0或x﹣2=0，解得：x1=0，x2=2．故选：C．2．（2分）方程x2+3x﹣4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根【解答】解：x2+3x﹣4=0，∵△=b2﹣4ac=9+16=25＞0，∴方程x2+3x﹣4=0，有两个不相等的实数根．故选：A．3．（2分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，变形正确的是（）A．（x﹣2）2=9 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x+1）2=6【解答】解：x2﹣2x﹣5=0，x2﹣2x=5，x2﹣2x+1=1+5，（x﹣1）2=6，故选：B．4．（2分）某公司全体员工薪的具体情况如表：则所有员工年薪的中位数为（）A．9万元B．6万元C．5万元D．4万元【解答】解：∵共有个20个人，∴中位数是第10和11个数的平均数，而第10和11个数都是4万元，∴中位数是（4+4）÷2=4（万元）；故选：D．5．（2分）如图，AB，AC是O的两条弦，圆心O在∠BAC的内部，若∠ABO=α，∠ACO=β，∠BOC=θ，则下列关系式中，正确的是（）A．θ=α+βB．θ+α+β=360°C．θ+α+β=180°D．θ=2α+2β【解答】解：连接AO并延长，交⊙O于点D，∵OA=OB=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∵∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO，∴∠BOC=2（∠BAO+∠CAO），∵∠ABO=α，∠ACO=β，∠BOC=θ，∴θ=2（α+β）=2α+2β，故选：D．6．（2分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径分别为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）A ．π﹣2B ．2π﹣4C ．4π﹣4D ．4π﹣8【解答】解：连接AB ，由题意得，阴影部分面积=2（S扇形AOB ﹣S △A0B ）=2（﹣×2×2）=2π﹣4．故选：B ．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．（2分）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48元，设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 60（1﹣x ）2=48 ．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后的价格为60×（1﹣x ）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1﹣x ）×（1﹣x ）元，所以可列方程为60（1﹣x ）2=48．故答案为60（1﹣x ）2=48．8．（2分）方程2x2+4x+1=0的解为x1、x2，则x1+x2=﹣2；x1x2=．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣2；x1x2=．故答案为﹣2，．9．（2分）已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D=150°．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°．故答案为：150°．10．（2分）若一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为10cm，圆心角为252°的扇形，则该圆锥的底面半径为7cm．【解答】解：设该圆锥的底面半径为rcm，根据题意得2πr=，解得r=7（cm）．故答案为7．11．（2分）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，∠BOD=90°，∠B=60°，则∠C=75°．【解答】解：∵∠A=∠BOD=×90°=45°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°．故答案为：75°．12．（2分）如图是一个古代车轮的碎片，形状为圆环的一部分，为求其外原半径，连接外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=8cm，AB=48cm，则这个外圆半径为40cm．【解答】解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，∵CD=8cm，AB=48cm，∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD=AB=24cm，∴设半径为r，则OD=r﹣8，根据题意得：r2=（r﹣8）2+242，解得：r=40cm．∴这个车轮的外圆半径长为40cm．故答案为40．13．（2分）如图，△ABC的边BC的垂直平分线与△ABC的外接圆相交于点D，若∠B=70°，∠C=50°，则的度数为20°．【解答】解：如图，连接OB，OC，设DO交BC于点E，∵OD是△ABC的边BC的垂直平分线，∴∠BOE=∠BOC，∵∠BAC=∠BOC，∴∠BOE=∠BAC，∵∠ABC=70°，∠ACB=50°，∴∠BOE=∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°，∴∠BOD=180°﹣∠BOE=180°﹣60°=120°，∵∠AOB=2∠ACB=100°，∴的度数为：120°，的度数为100°，∴的度数为：120°﹣100°=20°．故答案为：20°．14．（2分）在一次函数y=kx+b中，已知一组自变量x1、x2、…x n，对应的函数值为y1、y2、…y n，若x1、x2、…x n的平均数为1，则y1、y2、…y n的平均数为k+b．【解答】解：∵x1、x2、…x n的平均数为1，∴x1+x2+…+x n=n，∴这组自变量对应的函数值y1、y2、…y n的平均数为：（kx1+b+kx2+b+…+kx n+b）÷n=（kn+bn）÷n=k+b，故答案为：k+b．15．（2分）关于x的方程（x+m）2=n的解是x1=﹣2，x2=1（m、n为常数），则方程（x+m+3）2=n的解是x1=﹣5，x2=﹣2．【解答】解：∵关于x的方程（x+m）2=n的解是x1=﹣2，x2=1（m、n为常数），∴方程（x+m+3）2=n变形为[（x+3）+m]2=n，即此方程中x+3=﹣2或x+3=1，解得x1=﹣5，x2=﹣2．故答案为：x1=﹣5，x2=﹣2．16．（2分）如图，圆中有四条弦，每一条弦都将圆分割成面积比为1：3的两个部分，若这些弦的交点恰是一个正方形的顶点，那么这个正方形的外接圆的面积与图中阴影部分面积的比值为π．【解答】解：由题意（根据图中假设），设圆的半径为R，4a+4b+c=πR2①2a+b=πR2②4×②﹣①得到：c=4a∵中间这个正方形的面积：这个正方形的外接圆的面积=2；π，∴这个正方形的外接圆的面积：阴影部分面积=π：1．故答案为：π．三、解答题（共10小题，满分88分）17．（16分）解下列一元二次方程：（有指定方法的必须使用指定方法）（1）x2+6x﹣5=0（配方法）（2）3x2+4x=1（公式法）（3）x2+5=2x（4）2（x﹣1）2=1﹣x．【解答】解：（1）x2+6x﹣5=0（配方法），移项得：x2+6x=5，等式两边同时加上一次项系数一半的平方得：x2+6x+9=5+9，所以（x+3）2=14，开方得：x+3=，即x1=﹣3，x2=﹣﹣3；（2）3x2+4x=1（公式法），移项得：3x2+4x﹣1=0，这里，a=3，b=4，c=﹣1，所以，b2﹣4ac=16+12=28＞0，所以，x===，即x1=，x2=；（3）x2+5=2x移项得：x2﹣2x+5=0，（x﹣）2=0，所以x1=x2=．（4）2（x﹣1）2=1﹣x，整理得：2（x﹣1）2+（x﹣1）=0，（x﹣1）（2x﹣2+1）=0，x﹣1=0或2x﹣1=0，即x1=1，x2=．18．（7分）（1）若关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+4=0有两个相等的实数根，则k的值为．（2）若关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+4=0有实数根，求k的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得k≠0且△=[﹣（2k+1）]2﹣4k（k+4）=0，解得k=，故当k=时，关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+4=0有两个相等的实数根．故答案为；（2）当k=0时，方程变为一元一次方程﹣x+4=0，此时方程有实数根；当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+4=0有实根，∴k≠0且△=[﹣（2k+1）]2﹣4k（k+4）≥0，解得k≤且k≠0．综上可知，k的取值范围是k≤．19．（8分）某校为了了解九年级全体女生仰卧起坐的训练情况，从中随机抽取了若干女生的训练情况，制成下列两幅统计图：根据以上信息完成下列问题：（1）补全图2；（2）下列说法正确的是①④（填写所有正确的序号）①训练前各成绩段中，人数最多的一组是“36～38”；②“36～38”成绩中，训练前成绩的平均数一定小于训练后成绩的平均数；③训练前成绩的众数为7个；④训练后成绩的中位数一定大于训练前成绩的中位数．（3）规定成绩达到39个及以上为优秀等级，若该校九年级女生共有500名，请估计该校九年级女生优秀等级训练后比训练前增加的人数．【解答】解：（1）训练以后39﹣41个的人数是：4+5+7+6+3﹣（1+2+8+6）=8（人）．；（2）①根据图1可得人数最多的一组是“36～38”，正确；②“36～38”成绩中，训练前成绩的平均数一定小于训练后成绩的平均数，无法确定，命题错误；③训练前成绩的众数无法确定，故命题错误；④正确．故答案是：①④；（3）训练前的优秀率是：×100%=36%，训练后的优秀率是：×100%=56%．则增加的人数是：500（56%﹣36%）=100（人）．答：该校九年级女生优秀等级训练后比训练前增加100人．20．（7分）一分钟投篮测试规定：满分为10分，成绩达到9分及以上为优秀，甲、乙两组个10名队员的某次测试成绩如下（1）请补充完成下面的成绩分析表：（2）请结合表中的三组数据评价甲、乙两组的成绩．【解答】解：（1）乙组的平均分是：（6×2+7×1+8×4+9×1+10×2）÷10=8； 乙组的方差是：[2×（6﹣8）2+（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+（9﹣8）2+2×（10﹣8）2]=1.8，∵成绩达到9分及以上为优秀，∴甲组的优秀率是×100%=40%；填表如下：（2）认为甲组的投篮成绩较好，理由如下：甲乙两组平均数一样，方差相差不大，但是甲组成绩的优秀率比乙组高10个百分点．故答案为8，1.8，40%．21．（7分）已知，在⊙O 中，设BC 所对的圆周角为∠BAC ． 求证：∠BAC=∠BOC证明：圆心O 可能在∠BAC 的一边上，内部和外部（如图①、②和③）． 如图①，当圆心O 在∠BAC 的一边上时．∵OA=OC ，∴∠A=∠ACO ，∵∠BOC=∠A +∠ACO ， ∵∠BOC=2∠A ，即∠BAC=∠BOC请你完成其余的证明．【解答】证明：（1）如图（1），延长BO交⊙O于点D，连接CD，则∠D=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC=OD，∴∠D=∠OCD，∵∠BOC=∠D+∠OCD（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），∴∠BOC=2∠A，即∠BAC=∠BOC；（2）如图（2），延长BO交⊙O于点E，连接CE，则∠E=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC=OE，∴∠E=∠OCE，∵∠BOC=∠E+∠OCE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠BOC=2∠A，即∠BAC=∠BOC．22．（8分）南京某特产专卖店的销售某种特产，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，平均每天的销售量增加30千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元？（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为：（60﹣x﹣40）（100+×30）=2240‘（100+方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得方程为：（x﹣40）×30）=2240．（2）请你选择一种方法完成解答．【解答】解：方法1：设每千克核桃应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×30）=2240．解得x1=4，x2=6．销量尽可能大，只能取x=6，60﹣6=54元，答：每千克特产应定价54元．方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x﹣40）（100+×30）=2240解得x1=54，x2=56．销量尽可能大，只能取x=54，答：每千克特产应定价54元．23．（6分）请只用无刻度的三角板画图，不写画法，但保留作图痕迹．（1）在图1中，画出该圆的一条直径AB；（2）在图2中，画弦MN的中点P．【解答】解：（1）如图所示：AB即为所求；（2）如图所示：P点即为所求．24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠ACB的平分线CM分别与AB，⊙O交于点N，M，且PC=PN．（1）求证：直线PC与⊙O相切；（2）若AB长为5．BC长为3，连接AM，求AC，AM的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OA=OC，∴∠NAC=∠ACO．又∵PC=PN．∴∠PNC=∠PCN．又∵∠PNC=∠ACN+∠CAN．∠PCN=∠NCB+∠PCB．∵∠ACN=∠BCN，∴∠CAN=∠ACO=∠PCB，∴ACO+∠OCB=∠PCB+∠OCB，即∠ACB=∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．（2）连接BM，∵∠ACB=90°，AB长为5．BC长为3，∴在RT△ABC中，AC==4，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°，∵∠ACM=∠BCM，∴AM=BM，∴在RT△ABM中，AM==．25．（9分）某Wi﹣Fi热点的信号覆盖区域是以这个Wi﹣Fi热点为圆心，r为半径的圆（包括圆的内部），如图为某广场的平面示意图，16个长25m，宽15m 的展区排列在面积为9600m2的矩形ABCD区域，展区间纵向横向的每条路宽均相等．（1）求展区间的每条路宽；（2）若只固定一个Wi﹣Fi热点，便可覆盖广场中的所有位置，求r的最小值；（3）当r为50m时，能否只固定两个这样的Wi﹣Fi热点，使得信号覆盖广场中的所有位置？请通过画图计算进行说明．说明：本题不考虑Wi﹣Fi热点的占地面积和展区对信号的干扰．【解答】解：（1）设道路的宽为x米，根据题意列方程得：（25×4+3x）（15×4+3x）=9600整理得：3x2+160x﹣1200=0解得：x1=，x2=﹣60（舍去）答：展区间的每条路宽为米；（2）矩形ABCD区域的长AB=120m，宽AD=80m，根据勾股定理可知对角线AC=BD=40，所以以AC与BD的交点为圆心，以20为半径，便可覆盖广场中的所有位置，所以r的最小值为：20m；（3）如图所示，连接AB、CD的中点E、F，∵AD=80m，AE=EB=60m，则AF=DE=EC=BF=100m，∴以O1、O2为圆心，50m为半径的两个圆可以完全覆盖矩形ABCD，故当r为50m时，能只固定两个这样的Wi﹣Fi热点，使得信号覆盖广场中的所有位置．26．（11分）若一个圆经过正方形的对称中心，则称此圆为该正方形的“伴侣圆：”，如图1，正方形ABCD的边长为a，对角线交于点E，已知⊙O是正方形ABCD的“伴侣圆”，其半径为r．（1）当r=1，a=2时，圆心O可以是C．A．点A B．点E C．线段AB的中点D．线段AE的中点（2）如果圆心O在正方形ABCD的边上，且a=1，那么r的取值范围为≤r．（3）如果r=1，⊙O与正方形ABCD的四边最多有2个公共点，那么a的取值范围为0＜a≤2或a≥2+．（4）如果⊙O同时也是边长为3的正方形EFGH的“伴侣圆”，且EF∥AB，a=1，如图2，求当⊙O与直线AB相切时r的值．【解答】解：（1）由正方形性质得，点A至点E距离为：AC==，点E至点E距离为：0，线段AB的中点至点E距离为1，线段AE的中点至点E距离为：，故选C．（2）当圆心O在正方形ABCD四条边的中点时，其半径r最小为==，当圆心O在正方形ABCD的四个顶点时，其半径r最大为×=，∴≤r；故答案为：≤r；（3）如图①～⑥正方形的边长不断缩小，①②③三种情形圆与正方形最多有2个公共点，图③时，a=2+，图④时交点超过2个，图⑤⑥两种情形是两个交点，图⑤时，a=2，综上所述0＜a≤2或a≥2+．故答案为0＜a≤2或a≥2+．（4）连接EG，FH交于点O，设⊙O和AB相切于点M，设半径为r，作OK⊥EG于K，交AB于J，由题意AE=EC=，EN=，∴EK=KN=，AK=KJ=，在Rt△OKN中，∵OK2+KN2=ON2，∴（﹣r）2+（）2=r2，解得r=，∴当⊙O与直线AB相切时r的值为．。
2014-2015学年南京市鼓楼区九上期末数学试卷
2014-2015学年南京市鼓楼区九上期末数学试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 一只不透明的袋子中装有个黑球个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球，摸到白球的概率为A. B. C. D.2. 已知矩形纸片中，，如图，剪去正方形，得到的矩形与矩形相似，则的长为A. B. C. D.3. 已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是A. B. C. D. 或4. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果销售这批衬衫每天盈利元，设衬衫单价降了元，根据题意，可列方程A. B.C. D.5. 如图，是的内接等边三角形，矩形的边与相切，，则矩形的面积是A. B. C. D.6. 如图，二次函数的图象经过点和，下列关于此二次函数的叙述，正确的是A. 当时，的值小于B. 当时，的值大于C. 当时，的值等于D. 当时，的值大于二、填空题（共10小题；共50分）7. 已知，则．8. 二次函数的图象的顶点坐标是．9. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 .10. 已知，的重心到边中点的距离是，则边上的中线长是．11. 将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象的表达式是．12. 如图，在平行四边形中，是边上的一点，且，延长交延长线于点，则．13. 若二次函数的与的部分对应值如表：则当时，的值为．14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．15. 如图，点，，，在上，，交于点，若，的周长为，则的周长为．16. 一张圆心角为的扇形纸片按如图方法剪成一个边长为的正方形，正方形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，那么这个扇形纸片的面积是．三、解答题（共11小题；共143分）17. （1）解方程（组）．①，②（2）利用（）中解方程（组）使用的方法，可求得方程组的解为．18. （1）根据表中甲、乙两组数据，完成表．表甲乙表平均数中位数众数方差甲乙（2）根据表中，回答下列问题：若项目表示某品牌薯片的种口味，甲数据表示一天内这种口味的薯片销售情况，那么作为商家，应该关心表中的；若项目表示某公司位业务员，乙数据表示他们某一个月的销售额，那么作为第位业务员，想让自己的销售额达到中等以上水平，应该关心表中的；若甲、乙表示的两位射击运动爱好者，项目表示次射击练习中他们命中的环数，那么教练想从中选出一位参加比赛，应选择哪一位?为什么?19. 从某班名团员中随机抽取名参加学校团员竞赛，这名团员中有名男生和名女生，求抽到两名男生的概率．20. 如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为米的正方形后，剩下的部分做成一个容积为立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多米，求原矩形铁皮的面积．21. 如图，中，，，．（1）用直尺和圆规作的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求的度数和的半径．22. 如图，夜晚路灯下，小明在点处测得自己影长，在点处测得自己影长，，，，在同一条直线上，已知小明身高为，求灯杆的高度．23. 请用二次函数的知识进行解释，在所有周长相等的矩形中，正方形面积最大．24. 如图，是的直径，点，在圆上，，过点作交延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求和的长．25. 如图是我们熟悉的“勾股树”，图中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中，正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为．（1）求证：；（2）若，，的面积分别标记为，，，猜想，，之间的关系，并说明理由．26. 某种药物有三种不同的配方，如图，三条抛物线表示这三种配方在给药量相同的情况下，每毫升血液中的含药量（微克）随时间（小时）的变化情况，这种药物每毫升血液中的含药量大于微克，则会发生中毒，小于微克，则没有疗效．（1）药厂会选择该药品的第种配方（填写序号即可），你的理由是．（2）根据图象，求出（）中选择的配方的有效时间是多长?（3）如果加大给药量，（）中选择的配方对应的抛物线的形状不变，但位置发生变化，那么该配方的最大有效时间是小时．27. 【学习新知】定义：直角三角形的三个顶点分别在矩形的三条边上，并且这个三角形把矩形分割得到若干个三角形，若其中两个三角形均与这个直角三角形相似，我们就把这个直角三角形叫做这个矩形的内接相似直角三角形．【解决问题】矩形中，，，的三个顶点，，分别在，，上．（1）如图，点与点重合，．①求证：；②若是矩形的内接相似直角三角形，求的长；（2）若是矩形的内接相似直角三角形，且它的三个顶点与矩形各顶点都不重合，求的长．答案第一部分1. B2. D3. D4. A5. C6. B第二部分7.8.9.10.11. 或12.13.14. 且【解析】方程有两个不相等的实数根，，且．解得且．15.16.第三部分17. （1）①②把代入得：解得：把代入得：所以方程组的解为（2）或18. （1）表平均数中位数众数方差甲乙（2）众数；中位数；若甲、乙表示的两位射击运动爱好者，项目表示次设计练习中他们命中的环数，那么教练想从中选出一位参加比赛，应当选择甲，因为甲的方差比乙的小，发挥稳定．19. 画树状图得：共有种等可能的结果，抽到两名男生的有种情况，抽到两名男生的概率为：．20. 设长方体箱子的底面宽为米，根据题意，可得解得舍去矩形铁皮的面积为（平方米），矩形铁皮的面积为平方米．21. （1）如图所示：就是所求的圆．（2）在中，，，点是的内心，，，．在中，，，的半径是：．22. ，，，即，，，，即，，解得，，，即灯杆的高度为．23. 设长方形的周长为，长为，则宽为，长方形的面积，，此时矩形的宽为长方形的长等于宽，即此时为正方形．当时，最大24. （1）连接，，．，，，．．又，，，点在圆上，是的切线．（2）是的直径，，，在和中，，，，，，，，，．连接，，．，．．25. （1）因为正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为，所以，，因为，所以．（2）因为正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为，所以设，，，，所以，，，，所以，，所以．26. （1）②；这种药物每毫升血液中的含药量最高时小于微克，且在高于微克时持续一段时间（2）设②的解析式为，把代入解析式得，解得，函数解析式为，当时，，解得，；可知（）中选择的配方的有效时间是（小时）．（3）【解析】当图象最高点上升至时，配方的有效时间最长，则函数解析式化为，当时，，解得，，该配方的最大有效时间为（小时）．27. （1）①，，，，，；②是矩形的内接相似直角三角形，，，延长，交于点，如图，，，在和中，．．（2）①若，有两种情况：第一种：，如图，此时，，为矩形，这种情况下，点有无数个，原因是：以为直径画圆与相交，交点即为．水平移动，交点是随着变动的，因此点有无数个．第二种：如图所示，此种情况下同（）②一样可证点为中点，即．②若，如图所示：，（全等也是相似）则，为与的公共边，在和中，，，，③若，如图所示，与上种情况同理，可得．。
2014年南京鼓楼一模数学卷解析
C. 【答案】A 基础知识点：三视图，正方形的展开图，小学奥数相关 难度：中等
D.
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分. 不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题 ．． 卷相应位置 上） ．．．．． ⒎ 3 的绝对值等于 . 【答案】3 基础知识点：有理数的绝对值 难度：简单
x 5 ⒈ 下列方程组中，解是 的是 y 1 x y 6 A. x y 4 x y 6 B. x y 6 x y 4 C. x y 6 x y 4 D. x y 4
【答案】C 基础知识点：二元一次方程，可以选择解方程，也可以选择带入数值进选项 难度：简单
700 600 500 400 300 200 100
2000 以下
2000~ 4000
4000~ 6000
6000~ 8000
8000 以上
月工资（元）
（第 21 题） （1）如果 1000 人全部在金融行业抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由： （2）根据这样的调查结果，绘制条形统计图； （3）2012 年南京市城镇非私营单位月平均工资为 5034 元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反 映月收入情况是否合理?
1 n CO sin 2 1 1 n sin (CO AO) mn sin 2 2
基础知识点：三角函数应用与计算 难度： （1） （2）中等； （3）难 23.（8 分）如图，把长为 40cm，宽 30cm 的长方形硬纸板，剪掉 2 个小正方形和 2 个小长方形（阴影部分 即剪掉的部分） ，将剩余的部分拆成一个有盖 的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为 x cm.（纸板的厚度 ．． 忽略不计） （1）长方体盒子的长、宽、高分别为 （单位：cm） ； 2 （2）若折成的一个长方体盒子表面积是 950cm ，求此时长方体盒子的体积. 【解析】 （1） 30 2 x, 20 x, x （2） S
江苏省南京市鼓楼区2014届九年级中考一模数学试题(含答案).
解得 x1＝5，x2＝－25（不合题意，舍去）长方体盒子的体积 V＝(30－2×5×5×(20－5＝20×5×15＝1500（cm3）．答：此时长方体盒子的体积为 1500cm3．· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 24．（8 分），（x≤3）（1）y1＝＋3.8，(x＞，（x≤2.5）＝· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分＋1.75，(x＞（2）画图正确． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 y（元）普通燃油型纯电动型 30 25 20 15 10 5 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x（公里）（3）由 2.4x＋3.8＝2.9x＋1.75，解得，x＝4.1．∴结合图象可知，当乘客打车的路程不超过 4.1 公里时，乘坐纯电动出租车合算． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 25．（8 分）（1）四边形 ABED 是等腰梯形．理由如下：在□ABCD 中，AD∥BC，∴∠DAE ＝∠AEB．⌒＝ AB ⌒，DE＝AB．∴ DE ∵AB∥CD，∴AB 与 DE 不平行．∴四边形 ABDE 是等腰梯形． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分（2）直线 DC 与⊙O 相切．如图，作直径 DF，连接 AF．于是，∠EAF＝∠EDF．∵∠DAE＝∠CDE，∴∠EAF＋∠DAE＝∠EDF＋∠CDE，即∠DAF＝∠CDF．∵DF 是⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∴∠DAF＝90°，∴∠CDF＝90°．∴OD⊥CD．直线 DC 经过⊙O 半径 OD 外端 D，且与半径垂直，直线 DC 与⊙O 相切． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分第 11 页共 13 页 A F B O D C O E D C A B E（3）由（1），∠EDA＝∠DAB．在□ABCD 中，∠DAB＝∠DCB， AE DE ∴∠EDA＝∠DCB．又∵∠DAE＝∠CDE，∴△ADE∽△DCE．∴＝， DE CE 6 3 ∵AB＝3，由（1）得，AB＝DE＝DC＝3．即＝． 3 DE 3 解得，CE ＝．…………………………………………………………………………8 分 2 26．（11 分）（1）同弧所对的圆周角相等．∠ACB＜∠ADB，∠ACB＞∠ADB．答案不惟一，如：∠ACB＝∠ADB． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分（2）如图： C C C A O B D A O B A O B D D 此时∠ACB＋∠ADB＝180°, 此时∠ACB＋∠ADB＞180°, 此时∠ACB＋∠ADB＜180 若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一个圆上． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分（3）作图正确． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分∵AB 是⊙O 的直径，C、D 在⊙O 上，∴∠ACB ＝90°，∠ADB＝90°．∴点 E 是△ABF 三条高的交点．∴FM⊥AB．∴∠EMB＝90°．∠EMB＋∠EDB＝180°，∴点 E，M，B，D 在同一个圆上．∴∠EMD＝∠DBE．又∵点 N，C，B，D 在⊙O 上，∴∠DBE＝∠CND，∠EMD＝∠CND．∴FM∥CN．∴∠CPB＝∠EMB＝90°．∴CN⊥AB． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分（注：其他正确的说理方法参照给分．） 27．(9 分第 12 页共 13 页 N A F C E M O B D Pk （1）在反比例函数 y＝（k＞0）的图象上任取一点 P(m，n，于是：mn＝k． x 那么点 P 关于原点的对称点为 P1(－m，－n．而(－m(－n＝mn＝k， k 这说明点 P1 也必在这个反比例函数 y＝的图象上． x 所以反比例函数 y＝ k （k＞0）的图象关于原点对称．…………………………2 分 x （2）对称性：二次函数 y＝ax2 (a＞0，a为常数的图象关于 y 轴成轴对称．增减性：当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大；当 x ＜0 时，y 随 x 增大而减小．理由如下：①在二次函数 y＝ax2 (a＞0，a 为常数的图象上任取一点 Q(m，n，于是 n＝am2．那么点 Q 关于 y 轴的对称点 Q1(－m，n．而 n＝a(－m2，即 n＝am2．这说明点 Q1 也必在在二次函数 y＝ax2 (a＞0，a 为常数的图象上．∴二次函数 y＝ax2 (a＞0，a 为常数的图象关于 y 轴成轴对称，②在二次函数 y＝ax2 (a＞0,a 为常数的图象上任取两点 A、B,设 A(m，am2, B(n，an2 ，且 0＜m＜n．则 an2－am2＝a(n＋m(n－m ∵n＞m＞0，∴n＋m＞0，n－m ＞0；∵a＞0，∴an2－am2＝a(n＋m(n－m＞0．即 an2＞am2．而当 m＜n＜0 时， n＋m＜0，n－m＞0；∵a＞0，∴an2－am2＝a(n＋m(n－m＜0．即 an2＜am2．这说明，当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大；当 x＜0 时，y 随 x 增大而减小． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分（3）二次函数 y＝ax2＋bx ＋c (a＞0，a，b，c 为常数的图象可以由 y＝ax2 的图象通过平 4ac－b2 b b 移得到，关于直线 x＝—对称，当 x＝—时，y＝． 2a 2a 4a b b 由（2），当x≥—时，y 随 x 增大而增大；也就是说，只要自变量x≥—，其对应 2a 2a 4ac－b2 b 的函数值y≥ ；而当x≤—时，y 随 x 增大而减小，也就是说，只要自变量 x 4a 2a 4ac －b2 b ≤—，其对应的函数值y≥ ． 2a 4a 4ac－b2 b 综上，对于二次函数 y＝ax ＋bx＋c (a＞0， a， b， c 为常数，当 x＝—时取得最小值． 2a 4a2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分第 13 页共 13 页。
南京市2014届数学二模
南京市2014届高三年级第二次模拟考试数 学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．a(第3题图)5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为 ▲ ．6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞1时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．(第7题图)若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或72312．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．15．证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．因为E是PC中点，所以OE∥AP．…………………………………………4分因为AP/⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以AP∥平面BDE．…………………………………………6分（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB．………………………………………8分因为AP⊂平面PAB，所以BC⊥PA．因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC．…………………………………………12分因为BE⊂平面PBC，所以PA⊥BE．因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．因为PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC．…………………………………………14分16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． ………………………2分所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．(第16题图)PC解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) (8)分＝163sin 2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分PNC在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AMsin θ， AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30° …………………………14分 解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cos α＝x 2＋4－y 22×2×x＝x 2＋(x 2－xy )4x＝2x －y4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12.2x －y 4－32.34y ＝x －2y 4． (8)分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ， 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎨⎧2c ＝2，a 2c＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分（2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分 因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分 因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎨⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax ＋b xe x ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； （2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；② 设g ′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，求b a的取值范围．解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝(2＋1x)e x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x )＝(x ＋1)(2x －1)x2e x ． …………………………………………2分 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝12，列表由表知f (x )的极大值是f (－1)＝e －1，f (x )的极小值是f (12)＝4e ．……………………………………4分（2）① 因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －b x－2a )e x ，当a ＝1时，g (x )＝(x －b x－2)e x ． 因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立， 所以b ≤x 2－2x －xe x在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分记h (x )＝x 2－2x －xe x （x ＞0），则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x ．当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在（0，1）上是减函数； 当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在（1，＋∞）上是增函数． 所以h (x )min ＝h (1)＝－1－e －1．所以b 的最大值为－1－e －1． …………………………………………10分②：因为g (x )＝(ax －b x－2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx－a )e x ．由g (x )＋g ′(x )＝0，得(ax －b x－2a )e x ＋(bx2＋ax －b x－a )e x ＝0，整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0． 存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，等价于存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分 因为a ＞0，所以b a＝2x 3－3x 22x －1．设u (x )＝2x 3－3x 22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在（1，＋∞）是增函数，所以u (x )＞u (1)＝－1， 所以b a＞－1，即b a的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．（1）若a 2＝1，a 5＝3，求a 1的值；（2）设a 1＜a 2，求证：对任意n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n＜a 2a 1．解：（1）因为a 3，a 4，a 5成等差数列，设公差为d ，则a 3＝3－2d ，a 4＝3－d ．因为a 2，a 3，a 4成等比数列，所以a 2＝a 23a 4＝(3－2d )23－d ． ………………3分因为a 2＝1，所以(3－2d )2 3－d ＝1，解得d ＝2，或d ＝34．因为a n ＞0，所以d ＝34． 因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 1＝2a 2－a 3＝2－(3－2d )＝12．……………5分 （2）证法一：因为a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列，所以2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1，① a 2 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2．②；所以a 22n －1＝a 2n －2a 2n ，n ≥2．③所以a 2n －2a 2n ＋a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ．因为a n ＞0，所以a 2n －2 ＋a 2n ＋2＝2a 2n ． …………7分即数列{a 2n }是等差数列．所以a 2n ＝a 2 ＋(n －1)(a 4－a 2)．由a 1，a 2及a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1是等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2是等比数列， 可得a 4＝(2a 2－a 1)2a 2．………………8分所以a 2n ＝a 2 ＋(n －1)(a 4－a 2)＝(a 2－a 1)n ＋a 1a 2．所以a 2n ＝[(a 2－a 1)n ＋a 1]2a 2．……………………10分所以a 2n ＋2＝[(a 2－a 1)(n ＋1)＋a 1]2a 2．从而a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2＝[(a 2－a 1)n ＋a 1][(a 2－a 1)(n ＋1)＋a 1]a 2．所以a 2n －1＝[(a 2－a 1)(n －1)＋a 1][(a 2－a 1)n ＋a 1]a 2．………………12分①当n ＝2m ，m ∈N *时，a n ＋1a n－a 2a 1＝[(a 2－a 1)m ＋a 1][(a 2－a 1)(m ＋1)＋a 1]a 2[(a 2－a 1)m ＋a 1]2a 2－a 2a 1＝(a 2－a 1)(m ＋1)＋a 1(a 2－a 1)m ＋a 1－a 2a 1＝－m (a 1－a 2)2a 1[(a 2－a 1)m ＋a 1]＜0． ……………14分②当n ＝2m －1，m ∈N *，m ≥2时，a n ＋1a n－a 2a 1＝[(a 2－a 1)m ＋a 1]2a 2[(a 2－a 1)(m －1)＋a 1][(a 2－a 1)m ＋a 1]a 2－a 2a 1＝(a 2－a 1)m ＋a 1(a 2－a 1)(m －1)＋a 1－a 2a 1＝－(m －1)(a 1－a 2)2a 1[(a 2－a 1)(m －1)＋a 1]＜0．综上，对一切n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1a n＜a 2a 1． ………………16分证法二：①若n 为奇数且n ≥3时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等差数列．因为a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝a n ＋2a n －a 2n ＋1a n ＋1a n＝(2a n ＋1－a n )a n －a 2n ＋1a n ＋1a n＝－(a n ＋1－a n )2a n ＋1a n≤0，所以a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n．………………9分②若n 为偶数且n ≥2时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，所以a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n．………11分由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N *， a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n≤…≤a 3a 2．………13分又因为a 3a 2－a 2a 1＝2a 2－a 1a 2－a 2a 1＝2a 2a 1－a 12－a 22a 2a 1＝－(a 1－a 2)2a 2a 1，因为a 1＜a 2，所以－(a 1－a 2)2a 2a 1＜0，即a 3a 2＜a 2a 1．………15分综上，a n ＋1a n＜a 2a 1．…………16分．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区．．．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．（1）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为AE 与圆相切于点A ，所以∠BAE ＝∠ACB ． 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ． 所以∠ABC ＝∠BAE ．所以AE ∥BC ．因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．…………………………………4分 （2）因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB ·(EB ＋BD )，即62＝EB ·(EB ＋5)，解得BE ＝4． 根据（1）有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6．设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CFBF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83．………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21． AEBCFD第21题A 图（1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ，求x ，y 的值．解：（1）由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21，即⎩⎨⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4．所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4． ………………………………………5分 （2）解法一：A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤24，所以⎩⎨⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4， ………………………………………8分解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1． ………………………………………10分解法二：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －1316 16． ………………………………………7分 因为A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 1616⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤24＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01． 所以⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1． ………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．解法一：以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为 (x －1)2＋y 2＝1，且圆心C 为(1，0)．………………………4分 直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心C (1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆心C 关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1． ………………………………………8分 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρR )对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ．…………………10分解法二：设曲线ρ＝2cos θ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝π4对称点为(ρ，θ)，则⎩⎨⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ．………………………………………6分将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2cos(π2－θ)，即ρ＝2sin θ．所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ．…………………10分D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．证： 因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|． ………………………………………5分 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1．即|x ＋5y |≤1． ………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )． 22．（本小题满分10分）解（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P (A )＝C 42×2234＝2481＝827． 答：恰有2人申请A 大学的概率为827． ………………………………………4分（2）X 的所有可能值为1，2，3．P (X ＝1)＝334＝127， P (X ＝2)＝C 43×A 32＋3×A 3234＝4281＝1427，P (X ＝3)＝C 42×A 3334＝3681＝49．X 的概率分布列为：所以X 的数学期望E (X )＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527． ………………………………………10分23．（本小题满分10分）设f (n )是定义在N *上的增函数，f (4)＝5，且满足：①任意n ∈N *，f (n )∈Z ；②任意m ，n ∈N *，有f (m )f (n )＝f (mn )＋f (m ＋n －1)． （1）求f (1)，f (2)，f (3)的值； （2）求f (n )的表达式．23．解：（1）因为f (1)f (4)＝f (4)＋f (4)，所以5 f (1)＝10，则f (1)＝2．……………………………………1分 因为f (n )是单调增函数，所以2＝f (1)＜f (2)＜f (3)＜f (4)＝5．因为f (n )∈Z ，所以f (2)＝3，f (3)＝4． ………………………………………3分（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，所以f (n+1)≥f (n)+1．首先证明：f (n)≥n+1．因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．综上，f (n)≥n+1．………………………………………5分由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．下面证明：f (n)＝n+1．因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．即n＝k+1时，命题也成立．所以f (n)＝n+1 ………………………………………10分THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
2014年南京市中考数学试卷及答案
南京市2014届初中毕业生学业考试数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）2. 计算32)(a-的结果是（）A.5aB.5a- C.6a D.6a-3. 若ABC∆∽CBA'''∆，相似比为1:2，则ABC∆与CBA'''∆的面积的比为（）A.1:2B.2:1C.1:4D.4:14. 下列无理数中，在-2与2之间的是（）A.-5B.-3C.3D.55. 8的平方根是（）A.4B.±4C.22D.±226. 如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为（）A.（23，3）、（-32，4） B.（23，3）、（-21，4）B. (47,27)、（-32，4） D.(47,27) 、（-21，4）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7. -2的相反数是______，-2的绝对值是_____。
8. 截止2013年底，中国高速铁路运营达到11000km，将11000用科学计数法表示为_____。
OAyxBC9. 使式子x +1有意义的x 值取值范围为____。
10. 2014年南京青奥会某项目6名礼仪小姐身高如下：168,166,168,167,169,168，则他们身高的众数是_____cm ，极差是_____cm 。
11. 已知反比例函数xky =的图像经过A （-2,3），则当3-=x 时，y 的值是_____。
12. 如图，AD 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则角BAD=____。
13. 如图，在圆o 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD,垂足为E,连接BC ，若AB=22cm ，'3022 =∠BCD ,则圆O的半径为_____cm 。
14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径R=2cm ，扇形圆心角120=θ，则该圆锥母线长l 为_____。
江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试题(含解析)
江苏省南京市鼓楼区2015年中考数学二模试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1．下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是（）A．B．C．D．2．下列算式结果为﹣3的是（）A．﹣|﹣3| B．（﹣3）0C．﹣（﹣3）D．（﹣3）﹣13．使分式有意义的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≥24．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A．（a﹣1）（a﹣2）=a2﹣3a+2 B．a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）C．（a﹣1）2+（a﹣1）=a2﹣a D．a2﹣3a+2=（a﹣1）2﹣（a﹣1）5．下列命题中假命题是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形6．对函数y=x3的描述：①y随x的增大而增大，②它的图象是中心对称图形，③它的自变量取值范围是x≠0．正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．9的平方根是．8．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为．9．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为．10．计算（﹣）×的结果是．11．已知x1、x2是一元二次方程x2+x=1的两个根，则x1x2= ．12．如果代数式2x+y的值是3，那么代数式7﹣6x﹣3y的值是．13．已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是．14．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3= °．15．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为cm．16．如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC= ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解方程组（2）解不等式2x﹣1≥，并把它的解集在数轴上表示出来．18．某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学生的比赛数据．（单位：个）1号2号3号4号5号总数甲班89 100 96 118 97 500乙班100 96 110 90 104 500统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？19．如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，请你结合图片信息，解答下列问题：（1）加油过程中的常量是，变量是；（2）请用合适的方式表示加油过程中变量之间的关系．20．在一个不透明的袋子中，放入除颜色外其余都相同的1个白球、2个黑球、3个红球．搅匀后，从中随机摸出2个球．（1）请列出所有可能的结果：（2）求每一种不同结果的概率．21．某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：①y=ax+b（a≠0）；②y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）；③y=（a≠0）．你可选择的函数的序号是．（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？22．三角形中有3个角、3条边共6个元素，由其中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形．已知△ABC中，AB=，∠B=45°，BC=1+，解△ABC．23．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接OA、OA1、OB、OB1，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论；（3）针对第（2）问中的图形，添加一定的条件，可以求出线段AB扫过的面积．（不再添加字母和辅助线，线段的长用a、b、c…表示，角的度数用α、β、γ…表示）．你添加的条件是，线段AB扫过的面积是．24．如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC=2∠CBO．25．小明和小莉在跑道上进行100m短跑比赛，两人从出发点同时起跑，小明到达终点时，小莉离终点还差6m，已知小明和小莉的平均速度分别为x m/s、y m/s．（1）如果两人重新开始比赛，小明从起点向后退6m，两人同时起跑能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．（2）如果两人想同时到达终点，应如何安排两人起跑位置？请设计两种方案．（1）已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上与顶点均不重合的点，且AE=CF=CG=AH．26．求证：四边形EFGH是矩形．（2）已知：E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、AD上与顶点均不重合的点，且四边形EFGH是矩形．AE与AH相等吗？如果相等，请说明理由；如果不相等，请举反例进行说明．27．△ABC中，AB=AC=10，BC=12，矩形DEFG中，EF=4，FG＞12．（1）如图①，点A是FG的中点，FG∥BC，将矩形DEFG向下平移，直到DE与BC重合为止．要研究矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积，就要进行分类讨论，你认为如何进行分类，写出你的分类方法（无需求重叠部分的面积）．（2）如图②，点B与F重合，E、B、C在同一直线上，将矩形DEFG向右平移，直到点E与C重合为止．设矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y，平移的距离为x．①求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②在给定的平面直角坐标系中画出y与x的大致图象，并在图象上标注出关键点坐标．2015年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1．下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据对称轴的概念求解．解答：解：A、有3条对称轴；B、有4条对称轴；C、有2条对称轴；D、有6条对称轴．故选D．点评：本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．下列算式结果为﹣3的是（）A．﹣|﹣3| B．（﹣3）0C．﹣（﹣3）D．（﹣3）﹣1考点：负整数指数幂；相反数；绝对值；零指数幂．分析：首先根据绝对值的含义和求法，一个数的相反数的求法，以及负整数指数幂、零指数幂的运算方法，求出每个选项中的数各是多少；然后判断出算式结果为﹣3的是哪个即可．解答：解：∵﹣|﹣3|=﹣3，（﹣3）0=1，﹣（﹣3）=3，（﹣3）﹣1=﹣，∴算式结果为﹣3的是﹣|﹣3|．故选：A．点评：（1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a ≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了绝对值的含义和求法的应用，以及一个数的相反数的求法，要熟练掌握．3．使分式有意义的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≥2考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．解答：解：根据题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故选：C．点评：本题主要考查了分式有意义的条件，解决本题的关键是熟记分式有意义的条件：分母不等于0．4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A．（a﹣1）（a﹣2）=a2﹣3a+2 B．a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）C．（a﹣1）2+（a﹣1）=a2﹣a D．a2﹣3a+2=（a﹣1）2﹣（a﹣1）考点：因式分解的意义．专题：计算题．分析：利用因式分解的意义判断即可．解答：解：a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）是因式分解．故选B点评：此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．5．下列命题中假命题是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形考点：命题与定理．分析：要找出假命题，可以通过举反例得出；也可运用相关基础知识分析得出真命题，从而得出正确选项．解答：解：A、由平行四边形的判定定理可知是个真命题，错误；B、由平行四边形的判定定理可知是个真命题，错误；C、首先由两直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等得出另一组对角相等，然后根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可知是个真命题，错误；D、例如等腰梯形，满足一组对边平行一组对边相等，但它不是平行四边形，所以是个假命题．正确．故选D．点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．对函数y=x3的描述：①y随x的增大而增大，②它的图象是中心对称图形，③它的自变量取值范围是x≠0．正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③考点：函数的图象；函数自变量的取值范围；中心对称图形．分析：①根据函数的增减性，可得答案；②根据中心对称图形的定义，可得答案；③根据立方的意义，可得答案．解答：解：①y=x3的增减性是y随x的增大而增大，故①正确；②y=x3的图象绕原点旋转180°能与原图相重合，故②正确；③y=x3的自变量取值范围是全体实数，故③错误；故选：A．点评：本题考查了函数图象，熟悉函数图象及性质是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．9的平方根是±3 ．考点：平方根．专题：计算题．分析：直接利用平方根的定义计算即可．解答：解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．点评：此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．8．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 5 ．考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．解答：解：多边形的边数是：360÷72=5．故答案为：5．点评：本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．9．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．考点：一次函数与二元一次方程（组）．分析：二元一次方程组是两个一次函数变形得到的，所以二元一次方程组的解，就是函数图象的交点坐标．解答：解：∵方程组的解为，∴一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．点评：本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．10．计算（﹣）×的结果是 2 ．考点：二次根式的混合运算．分析：根据二次根式的混合运算顺序，首先计算小括号里面的，然后计算乘法，求出算式（﹣）×的结果是多少即可．解答：解：（﹣）×=（3﹣2）×=×=2即（﹣）×的结果是2．故答案为：2．点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了平方根的性质和计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．11．已知x1、x2是一元二次方程x2+x=1的两个根，则x1x2= ﹣1 ．考点：根与系数的关系．分析：直接利用根与系数的关系得到两根之积即可．解答：解：x2+x=1x2+x﹣1=0，由根与系数的关系可知：x1•x2==﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．12．如果代数式2x+y的值是3，那么代数式7﹣6x﹣3y的值是﹣2 ．考点：代数式求值．分析：首先化简所给代数式7﹣6x﹣3y，然后把2x+y=3代入，求出代数式7﹣6x﹣3y的值是多少即可．解答：解：7﹣6x﹣3y=7﹣3（2x+y）=7﹣3×3=7﹣9=﹣2即代数式7﹣6x﹣3y的值是﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题主要考查了代数式求值的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确三种题型：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．13．已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是 1 ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：由于y=在一、三象限，根据题意判定A、B在第一象限，根据反比例函数的性质即可求解．解答：解：由于y=在一、三象限，y随x的增大而减小，若满足y1＜y2，点A（2，y1）在第一象限，B（m，y2）在第一象限，若满足y1＜y2，则m满足的条件是0＜m＜2；故答案为1．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上任意两点函数的大小．14．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3= 110 °．考点：平移的性质．分析：延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．解答：解：延长直线，如图：，∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，∴∠5=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°，∵∠2=∠4+∠5，∵∠3=∠4，∴∠2﹣∠3=∠5=110°，故答案为：110．点评：此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．15．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为cm．考点：三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：如图，设△ABC的内切圆半径为r，由勾股定理得AD=12，再由切线长定理得AE=8，根据勾股定理求得r即可．解答：解：如图，∵AB=AC=13cm，BC=10cm，∴BD=5cm，∴AD=12cm，根据切线长定理，AE=AB﹣BE=AB﹣BD=13﹣5=8，设△ABC的内切圆半径为r，∴AO=12﹣r，∴（12﹣r）2﹣r2=64，解得r=，故答案为．点评：本题考查了勾股定理、三角形的内切圆和等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．16．如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC= ．考点：勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：首先过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，进而结合S△ABC得出AD的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．解答：解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，∵S△ABC=20﹣×2×5﹣×2×4﹣×1×4=9，S△ABC=×BC×AD=9，∴×2AD=9，解得：AD=，故sin∠ABC===．故答案为：．点评：此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，得出直角三角形进而求出是解题关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解方程组（2）解不等式2x﹣1≥，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解二元一次方程组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：（1）法1：方程组利用代入消元法求出解即可；法2：方程组利用加减消元法求出解即可；（2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．解答：解：（1）解方程组法1：由①，得x=6﹣2y③，将③代入②，得3（6﹣2y）﹣2y=2，解这个一元一次方程，得y=2，将y=2代入③，得x=2，则方程组的解是；法2：①+②，得4x=8，解这个一元一次方程，得x=2，将x=2代入①，得y=2，则方程组的解是，（2）去分母，得：2（2x﹣1）≥3x﹣1．去括号，得4x﹣2≥3x﹣1，移项、合并同类项，得x≥1，这个不等式的解集在数轴上表示如下：点评：此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学1号2号3号4号5号总数甲班89 100 96 118 97 500乙班100 96 110 90 104 500统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？考点：方差；中位数．分析：平均数=总成绩÷学生人数；中位数是按次序排列后的第3个数．根据方差的计算公式得到数据的方差．解答：解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；甲=×500=100（个），乙=×500=100（个）；S2甲=[（89﹣100）2+（100﹣100）2+（96﹣100）2+（118﹣100）2+（97﹣100）2]=94；S2乙=[（100﹣100）2+（96﹣100）2+（110﹣100）2+（90﹣100）2+（104﹣100）2]=46.4，甲班的优秀率为：2÷5=0.4=40%，乙班的优秀率为：3÷5=0.6=60%；乙班定为冠军．因为乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班小，优秀率比甲班高，综合评定乙班踢毽子水平较好．点评：本题考查了方差，中位数的知识，用到的知识点是：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．平均数=总数÷个数，以及方差的算法等，需注意方差小了表示成绩稳定．19．如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，请你结合图片信息，解答下列问题：（1）加油过程中的常量是单价，变量是数量、金额；（2）请用合适的方式表示加油过程中变量之间的关系．考点：函数关系式；常量与变量．分析：（1）根据常量和变量的定义，即可解答；（2）根据金额=单价×数量，即可列出．解答：（1）加油过程中的常量是单价，变量是数量、金额；故答案为：单价，数量、金额．（2）设加油数量是x升，金额是y元，则y=6.80x．点评：主要考查了函数的定义和列函数关系式．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．20．在一个不透明的袋子中，放入除颜色外其余都相同的1个白球、2个黑球、3个红球．搅匀后，从中随机摸出2个球．（1）请列出所有可能的结果：（2）求每一种不同结果的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）用枚举法将所有等可能的结果列举出来即可，也可采用列表或树形图的方法将所有等可能的结果列举出来；（2）确定每一种不同结果的数量，利用概率公式求解即可．解答：解：（1）搅匀后，从中随机摸出2个球，所有可能的结果有15个，即：（白，黑1），（白，黑2），（白，红1），（白，红2），（白，红3），（黑1，黑2），（黑1，红1），（黑1，红2），（黑1，红3），（黑2，红1），（黑2，红2），（黑2，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3）．它们是等可能的．（2）其中摸得一个白球和一个黑球的结果有2个，摸得一个白球和一个红球的结果有3个，摸得二个黑球的结果有1个，摸得一个黑球和一个红球的结果有6个，摸得二个红球的结果有3个．所以P（摸得一个白球和一个黑球）=，P（摸得一个白球和一个红球）==，P（摸得二个黑球）=，P（摸得一个黑球和一个红球）==，P（摸得二红球）==．点评：考查了概率的求法，能够利用枚举法将所有等可能的情况列举出来是解答本题的关键，难度不大．21．某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：①y=ax+b（a≠0）；②y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）；③y=（a≠0）．你可选择的函数的序号是②．（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）根据市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，逐一判断出可选择的函数的序号是哪个即可．（2）根据二次函数最值的求法，求出该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少即可．解答：解：（1）①设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=ax+b时，则，解得．∴y=﹣6.5x+116，∵﹣6.5×36+116=﹣118≠90，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=﹣6.5x+116；②设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）时，则解得∴y=（x﹣20）2+26，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=（x﹣20）2+26．③4×90=360，10×51=510，36×90=3240，∵360≠510≠3240，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=（a≠0）．∴选择的函数的序号是②．（2）∵y=（x﹣20）2+26，∴当x=20时，y有最小值26，∴该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．点评：此题注意考查了二次函数的应用，要熟练掌握，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．22．三角形中有3个角、3条边共6个元素，由其中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形．已知△ABC中，AB=，∠B=45°，BC=1+，解△ABC．考点：解直角三角形．分析：过点A作AD⊥BC，垂足为D，解直角三角形求出BD、AD，求出CD，解直角三角形求出∠C，AC，即可求出答案．解答：解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=，则cos∠B=．∴AD=BD=AB×cos 45°=×cos 45°=1，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=BC﹣BD=1+﹣1=，则tan∠C===，∴∠C=30°，∴AC==2，∠BAC=180°﹣45°﹣30°=105°．点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，特殊角的三角函数值的应用，能求出各个角的度数和求出各个边的长是解此题的关键，难度适中．23．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接OA、OA1、OB、OB1，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论；（3）针对第（2）问中的图形，添加一定的条件，可以求出线段AB扫过的面积．（不再添加字母和辅助线，线段的长用a、b、c…表示，角的度数用α、β、γ…表示）．你添加的条件是∠AOA1=∠BOB1=α；OA=OA1=a；OB=OB1=b ，线段AB扫过的面积是．考点：作图-旋转变换；扇形面积的计算．分析：（1）分别连接AA1，BB1，分别作其垂直平分线，交点即为旋转中心O；（2）根据图形写出2条不同类型的结论；（3）首先添加一定条件，然后求出线段AB扫过的面积．解答：解：（1）作图如右；（2）如：OA=OA1，∠AOA1=∠BOB1等；（3）添加的条件为：∠AOA1=∠BOB1=α；OA=OA1=a；OB=OB1=b．面积为﹣=（b2﹣a2）．点评：本题主要考查了作图﹣旋转变换以及扇形面积的计算的知识，解答本题的关键是找出旋转中心，正确地画出旋转图形是求线段AB扫过面积的基础，此题难度不大．24．（6分）（2015•南京二模）如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC=2∠CBO．考点：圆周角定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接OC、AC，如图，根据线段垂直平分线的性质得OC=AC，则可判断△OAC是等边三角形，所以∠AOC=60°，于是根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC=30°，然后在△BOC中，由于∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，根据三角形内角和可计算出∠CBO=15°，所以∠ABC=2∠CBO．解答：证明：连接OC、AC，如图，∵CD垂直平分OA，∴OC=AC．∴OC=AC=OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠ABC=∠AOC=30°，在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，∵OB=OC，∴∠CBO=15°，∴∠ABC=2∠CBO．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质．25．小明和小莉在跑道上进行100m短跑比赛，两人从出发点同时起跑，小明到达终点时，小莉离终点还差6m，已知小明和小莉的平均速度分别为x m/s、y m/s．（1）如果两人重新开始比赛，小明从起点向后退6m，两人同时起跑能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．（2）如果两人想同时到达终点，应如何安排两人起跑位置？请设计两种方案．考点：分式方程的应用．分析：（1）首先得出两人之间的速度之间关系，进而利用小明从起点向后退6m，得出两人的速度差，求出即可；（2）利用两人的速度关系得出符合题意的方案．解答：解：（1）根据题意，得=，则y=x．因为﹣=﹣=﹣＜0，所以＜所以小明先到达终点．（2）方案一：小明在起点，小莉在起点前6米处，两人同时起跑，同时到达；方案二：设小莉在起点，小明在起点后a米处，两人同时起跑，同时到达．则=，即=，解得a=．所以小莉在起点，小明在起点后米处，两人同时起跑，同时到达．点评：此题主要考查了分式方程的应用以及行程问题的相关的知识点；判断出两人的速度之比是解决本题的突破点．（1）已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上与顶点均不重合的点，且AE=CF=CG=AH．26．求证：四边形EFGH是矩形．（2）已知：E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、AD上与顶点均不重合的点，且四边形EFGH是矩形．AE与AH相等吗？如果相等，请说明理由；如果不相等，请举反例进行说明．。
2014年中考二模数学试题及答案八
2014年年中考模拟测试二数学试卷八一、选择题：本大题共8小题；每小题3分，共24分。
下列各题都有代号为A 、B 、C 、D 的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的。
请将正确选项的代号填在左边的括号里。
1．23-的值是A ．—6B ．6C ．9-D ．92．下列运算正确的是A ．532x x x =+B ．()632x x =C ．()4222-=-x xD ． 01=⋅-x x3．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是4．如图，在等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，13AE EB =，则和AED △（不包含AED △）相似的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA=OB=OC ，∠ABC =∠ADC =65°，则∠DAO +∠DCO 的度数是A ．130°B ．230°C ．262.5°D ．165°6．实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0ab< 7．已知某反比例函数的图象经过点()m n ，，则它一定也经过点A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2m n B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n ，8．一名考生步行前往考场，5分钟走了总路程的61，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1，出租车匀速），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了A ．18分钟B ．20分钟C ．24分钟D ．28分钟二、填空题：本题共8小题；每小题3分，共24分。
不需要写解答过程，请把最后结果填在横线上。
9．写出一个大于2-的负无理数： .10．截至2012年，岳阳市绿化总面积达到4103.7万平方米。
这个数据用科学记数法表示为 _________________平方米.11．二次函数()()x x y -+=23取得最大值时，x = ．12．将点M 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到M ′（—2,—3）,则点M 的坐标是 ．13．若等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为 度．14．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对()a b ，进入其中时，会得到一个新的实数：21a b ++．例如把(32)-，放入其中，就会得到23(2)18+-+=．现将实数对（m m 2,-）放入其中得到实数4，则m = ．15．如图，长方体的主视图和左视图如图所示（单位：cm ）,则其俯视图的面积为 cm 2．16．在ABC △中，BC 边不动，改变点A 的位置，使得A ∠减少α度，B ∠增加β度，C ∠增加γ度，则αβγ，，三者之间的等量关系是 ．17．如图，o 45=∠BAC ，6=AB ，要使ABC △惟一确定，那么BC 的长度x 满足的条件是 ．18．如图，点O （0,0），B （0,1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，再以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，依次下去，则点B 7的坐标是 ．三、解答题：本大题共10小题，共96分。
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a
b
▲
． ▲ .
11．若某个圆锥底面半径为 3，侧面展开图的面积为 12π ，则这个圆锥的高为
12. 如图，把面积分别为 9 与 4 的两个等边三角形的部分重叠，若两个阴影部分的面积分 别记为 S1 与 S2(S1＞S2)，则 S1－S2＝ ▲ ．
13. 如图，将△ABC 绕点 A 逆时针方向旋转到△ADE 的位置，点 B 落在 AC 边上的点 D 处， 设旋转角为 (0＜＜90)．若B＝125，E＝30，则＝ ▲ °．
2 射线 CM，使得∠BCM＝30°. （1）过点 D 作 DE⊥CM，垂足为 E，试说明：DE＝ ； 2 （2） 请在图②中画出所用时间最短的登陆点 D'， 并说明理由． 图② C D B
CD
M
【问题解决】 （3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问 题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足 的条件、作图的方法等） ． C D 备用图
（第 27 题）
B
7
九年级二模试卷 数学参考答案及评分标准 说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评 分标准的精神给分． 一、选择题（每小题 2 分，共计 12 分） 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B
二、填空题（每小题 2 分，共计 20 分） 7 7．7 8．1.2³10 9．2.4 13． 25 10． 25 14． 4 1
A
B
【模型运用】 （4）如图③，海面上一标志 A 到海岸 BC 的距离 AB＝300 m，
BC＝300 m．救生员在 C 点处发现标志 A 处有人求救，
立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是 6 m /s， 在海中游泳的速度都是 2 m/s，求救生员从 C 点出发到 达 A 处的最短时间．
A
C 图③
1 2 23． （8 分）如图，二次函数 y＝－ x ＋2（－2≤x≤2）的图象与 x、y 轴分别交于点 A、B、 2
C．
（1）直接写出 A、B、C 点的坐标； （2）设点 P（x，y）为该图象上的任意一点，连接 OP，求 OP 长度的范围． y
C P (x， y)
A
O （第 23 题）
B
x
24． （8 分）一种成本为 20 元/件的新型商品经过 40 天试销售，发现销售量 p（件） 、销售 单 价 q(元/件）与销售时间 x（天）都满足一次函数关系，相关信息如图所示．
5 4 3
15 10
8.7
13.8 9.1
11.1
2
1 0
5 0
2012 2013
2010
2011
年份
2010 2011
2012
2013
年份
（第 19 题）
根据以上信息，解答下列问题： （1） 2012 年农村居民人均可支配收入比 2011 年城镇居民人均可支配收入的一半少 0.05 万元， 请根据以上信息补全条形统计图， 并标明相应的数据(结果精确到 0.1 万元)； （2） 在 2010~2013 年这四年中， 城镇居民人均可支配收入和农村居民人均可支配收入相 差数额最大的年份是 ▲ 年. A
5x－4 4x＋10 18． （6 分）解方程： ＝ －1． x－2 3x－6 19． （8 分）根据某市农村居民与城镇居民人均可支配收入的数据绘制如下统计图：
2010—2013 年 人均可支配收入统计图 收入∕万元 农村居民 城镇居民 2010—2013 年 城镇居民人均可支配收入 年增长率统计图 增长率（％） 4 3.3 2.9 1.3 1.5 1.8
＝ 2－2 2＋
2 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 分 4
3 ＝－ 2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 分 4 18． （本题 6 分） 5x–4 4x＋10 解： ＝ －1 ． x–2 3(x–2) 3(5x－4)＝4x＋10－3(x－2)． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 3 分 x＝2． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 5 分 检验：当 x＝2 时，3(x－2)＝0，所以 x＝2 是增根，原方程无解． ²²²²²² 6 分 19． （本题 8 分） （1）图略，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2 分 农村居民和城镇居民可支配收入分别为 1.6 万元、3.6 万元．„„„„„„„„„ 6 分 （2）2013． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 分 20． （本题 8 分） （1）证明：∵点 D 是边 BC 的中点，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴BD＝CD，∠DFB＝∠DEC＝90°． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 分 ∵BF＝CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 分 ∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．即△ABC 是等腰三角形．„„„„„„„„„„„„„4 分 （2）∵∠BAC＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠BAC＝∠DFA＝∠DEA＝90°． ∴四边形 AFDE 是矩形． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 分 ∵△ABC 是等腰三角形，∴AB＝AC． ∵BF＝CE，∴AB－BF＝AC－CE．∴AF＝AE． ∴矩形 AFDE 是正方形． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8
（第 12 题）
（第 13 题）
14．如图，将矩形 ABCD 折叠，使得 A 点落在 CD 上的 E 点，折痕为 FG，若 AD＝15cm，
AB＝12cm，FG＝13cm，则 DE 的长度为
A F D
▲
cm．
y k y＝ x
E
－3
B G （第 14 题）
2
2
3
x y＝ax2＋bx＋c
C （第 15 题）
a－b
11． 7
12．5 1 1 1 1 16． 7或－ 7或 15或－ 15 3 3 3 3
15． x＜－3 或 0＜x＜2 或 x＞3
三、解答题（本大题共 11 小题，共计 88 分） 17． （本题 6 分） 解： 原式＝2³ 2 1 2 － ³4 2＋ 2 2 4 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 分
鼓楼区 2014 届九年级二模试卷 数 学
注意事项： 1．本试卷共 6 页．全卷满分 120 分．考试时间为 120 分钟．考生答题全部答在答题卡上， 答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师 在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合， 再将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的 答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案．答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定 位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡 相应位置 上） ．．． ．．．． 1．下列运算，正确的是 A．a＋a＝a
A
BD 上的酒店，从海岛 A 到酒店 C，先乘船到登陆点 D，船速
为 a ，再乘汽车，车速为船速的 n 倍，点 D 选在何处时， 所用时间最短？ C D 图① B
【特例分析】 若 n＝2，则时间 t＝ ＋ ，当 a 为定值时，问题转化为：在 a 2a
AD CD
A
CD BC 上确定一点 D，使得 AD＋ 的值最小．如图②，过点 C 做
销售单价 q（元/件）
销售量 p（件）
50 40 30
80 79 70 60 50 40
20
30
11 10 O 1 10 20 30 40 50
20
x（天） （第 24 题）
10 O 1 10 20 30 40 50
x（天）
（1）试求销售量 p（件）与销售时间 x（天）的函数关系式； （2）设第 x 天获得的利润为 y 元，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）求这 40 天试销售过程中何时利润最大?并求出最大值．
5．图①是由白 色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②所示．则 下列图形中，是图②的表面展开图的是
A．
B．
C．
D．
6．在△ABC 中， AB＝3，AC＝ 3. 当∠B 最大时，BC 的长是
1
3 A． 2
B． 6
C．
3 2
D．2 3
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直 接 填写在答题卡相应位置 上） ．．．．．．． 7．我市冬季某一天的最高气温为 1℃，最低气温为一 6℃，那么这一天的最高气温比最低 气温高 ▲ ℃．
C
A
D （第 25 题）
B
26． （8 分）如图，AB 为⊙O 直径，C、D 为⊙O 上的点，CD＝CA，CE⊥DB 交 DB 的延长 线于点 E． （1）判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC＝4，AB＝5，求 CE 的长． O E B D
（第 26 题）
A Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
27． （12 分） 【问题提出】 如图①，已知海岛 A 到海岸公路 BD 的距离为 AB，C 为公路
20． （8 分）在△ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，DE⊥AC，DF⊥AB， 垂足分别是点 E，F，且 BF＝CE． （1）求证：△ABC 是等腰三角形． F D
（第 20 题）
E C
（2）当∠BAC＝90°时，试判断四边形 AFDE 的形状，并证明你的结论． B