2019届高三理科数学一轮复习学案 3.7正弦定理和余弦定理

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高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案

高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．教学过程一、基础回顾1、正余弦定理正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC2、变形式①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3、三角形中的常见结论(1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R； ③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．二、基础自测1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．5、在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC 的面积为________．三、典例分析例1 (2013·惠州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理，得asin B ＝bsin A ，又asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，∴bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，因此b a ＝ 2. (2)由c 2＝b 2＋3a 2及余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（1＋3）a 2c， (*) 又由(1)知，b ＝2a ，∴b 2＝2a 2，因此c 2＝(2＋3)a 2，c ＝2＋3a ＝3＋12 a. 代入(*)式，得cos B ＝22，又0＜B ＜π，所以B ＝π4. 规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2，cos 2A)，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A2，cos 2A )， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc . ① 又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3，于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．例3、(2012·课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，则sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C . 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. ① 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.② 由①②联立，得b ＝c ＝2.四、练习变式练习1：(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsin A ＝3acos B.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．变式练习2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状五、作业布置六、板书设计1、正余弦定理2、变形式3、三角形中常用结论典例分析七、教学反思。

2019届北师大版高三数学(理)复习学案：学案23 正弦定理和余弦定理(含答案)

第五章解三角形与平面向量学案23 正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理1．三角形的有关性质(1)在△ABC中，A＋B＋C＝________；(2)a＋b____c，a－b<c；(3)a>b⇔sin A____sin B⇔A____B；(4)三角形面积公式：S△ABC＝12ah＝12absin C＝12acsin B＝_________________；(5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或________________⇔三角形为等腰或直角三角形；sin(A＋B)＝sin C，sin A＋B2＝cosC2.2自我检测1．(2018·上海)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2．(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A等于 ( )A．30°B．60°C．120°D．150°3．(2018·烟台模拟)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为( )A．27 B.21C.13 D．34．(2018·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．5．(2018·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.探究点一正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ；(2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c.变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； (2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________.探究点二余弦定理的应用例2 (2018·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac.(1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a.探究点三正、余弦定理的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．变式迁移3 (2018·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C. (1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫4B ＋π3的值．1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2018·湖北)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于 ( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.632.在△ABC 中AB ＝3，AC=2，AB →⋅AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.323．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形4．(2018·聊城模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°5．(2018·湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则 ( )A ．a>bB ．a<bC ．a6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为________________．7．(2018·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.8．(2018·龙岩模拟)在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAC 的大小为________．三、解答题(共38分)9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2A =，AB →AC →=3. (1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．10．(12分)(2018·陕西)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．11．(14分)(2018·重庆)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc.(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C ＋π41－cos 2A的值．答案自主梳理1．(1)π (2)> (3)> > (4)12bcsin A (5)A ＋B ＝π2 2.a sin A ＝b sin B ＝c sin Cb 2＋c 2－2bccos A a 2＋c 2－2accos B a 2＋b 2－2abcos C ①2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C ②a 2R b 2R c 2R③sin A∶sin B∶sin Cb 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab自我检测1．C 2.A 3.C4.π65.1 课堂活动区例1 解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a 、b 和A ，求B.若A 为锐角，①当a≥b 时，有一解；②当a ＝bsin A 时，有一解；③当bsin A<a<b 时，有两解；④当a<bsin A 时，无解．若A 为直角或钝角，①当a>b 时，有一解；②当a≤b 时，无解．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝32. ∵a>b，∴A >B ，∴A＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsin C sin B ＝6－22. 综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22. (2)∵B＝60°，C ＝75°，∴A＝45°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝a·sin B sin A ＝46，c ＝a·sin C sin A＝43＋4. ∴b＝46，c ＝43＋4.变式迁移1 (1)102(2)60°或120° 解析 (1)∵在△ABC 中，tan A ＝13，C ＝150°， ∴A 为锐角，∴sin A＝110. 又∵BC＝1. ∴根据正弦定理得AB ＝BC·sin C sin A ＝102. (2)由b>a ，得B>A ，由a sin A ＝b sin B，得sin B ＝bsin A a ＝25650×22＝32， ∵0°<B<180°∴B＝60°或B ＝120°.例2 解 (1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12. ∵0<B<π，∴B＝π3. (2)方法一将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714. ∵0<A<π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114， ∴tan A＝sin A cos A ＝35. 方法二将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a.由正弦定理，得sin B ＝7sin A.由(1)知，B ＝π3，∴sin A＝2114. 又b ＝7a>a ，∴B>A，∴cos A＝1－sin 2A ＝5714. ∴tan A＝sin A cos A ＝35. 方法三 ∵c＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A.∵B＝π3，∴C＝π－(A ＋B)＝2π3－A ， ∴sin(2π3－A)＝3sin A ， ∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ， ∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ， ∴5sin A＝3cos A ，∴tan A＝sin A cos A ＝35. 变式迁移2 解由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2accos B＝a 2＋c 2－2accos 23π ＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c)2－ac.又∵a＋c ＝4，b ＝13，∴ac＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1. ∴a 等于1或3.例3 解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．解方法一 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin(A ＋B)⇔a 2[sin(A －B)－sin(A ＋B)]＝b 2[－sin(A ＋B)－sin(A －B)]，∴2a 2cos Asin B ＝2b 2cos Bsin A ，由正弦定理，得sin 2Acos Asin B ＝sin 2Bcos Bsin A ，∴sin Asin B(sin Acos A－sin Bcos B)＝0，∴sin 2A＝sin 2B ，由0<2A<2π，0<2B<2π，得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二同方法一可得2a 2cos Asin B ＝2b 2cos Bsin A ，由正、余弦定理，即得a 2b×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a×a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，∴a＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．变式迁移3 解题导引在正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 中，2R 是指什么？a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C 的作用是什么？(1)证明在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos B cos C. 于是sin Bcos C －cos Bsin C ＝0，即sin(B －C)＝0.因为－π<B －C<π，从而B －C ＝0.所以B ＝C.(2)解由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos 2B ＝－cos(π－2B)＝－cos A ＝13. 又0<2B<π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223. 从而sin 4B ＝2sin 2Bcos 2B ＝429， cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4B ＋π3 ＝sin 4Bcos π3＋cos 4Bsin π3＝42－7318. 课后练习区1．D 2.D 3.B 4.B 5.A6．等边三角形解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，∴ac＝a 2＋c 2－ac ，∴(a－c)2＝0，∴a＝c ，又B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．7．1解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°知，B ＝60°.由正弦定理知，1sin A ＝3sin 60°，即sin A ＝12. 由a<b 知，A<B ，∴A＝30°，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°，∴sin C＝sin 90°＝1.8.π4解析设∠BAD＝α，∠DAC＝β，则tan α＝13，tan β＝12， ∴tan∠BAC＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1. ∵∠BAC 为锐角，∴∠BAC 的大小为π4.9．解 (1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.……………………………………………………(4分) 又由AB →·AC →＝3得bccos A ＝3，所以bc ＝5，因此S △ABC ＝12bcsin A ＝2.…………………………………………………………………(8分) (2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝(b ＋c)2－165bc ＝20，所以a ＝2 5.………(12分) 10．解在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得，cos∠ADC＝AD 2＋DC 2－AC 22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………(6分) ∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.…………………………………………………………(8分) 在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得AB sin∠ADB ＝AD sin B， ∴AB＝AD·sin∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.…………………………………………………………………………(12分) 11．解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝423bc. 由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223，……………………………………………(4分) 又0<A<π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13.……………………………………………………(6分) (2)原式＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A ＋π41－cos 2A………………………………………………………(8分) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π42sin 2A＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A ＋22cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A －22cos A 2sin 2A…………………………………………(11分) ＝sin 2A －cos 2A 2sin 2A ＝－72.所以＋π4＋C ＋π41－cos 2A ＝－72.……………………………………………………(14分)。

高考理科第一轮复习课件(3.7正弦定理和余弦定理)

（4）余弦定理对任意三角形均成立.(
（5）正弦定理可以实现边角互化，但余弦定理不可以.(
【解析】(1)正确. A＞B, a＞b, a ＞1,
b
由正弦定理可得 a sinA ＞1.
b sinB
又sin B＞0, ∴sin A＞sin B. （2）错误.正弦定理对任意三角形均成立. （3）错误.当已知三个角时不能求三边. （4）正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用. （5）错误.余弦定理可以实现角化边，也能实现边化角. 答案：（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）×
（3）①利用两角和的正弦公式化为特殊角的三角函数值； ②利用正弦定理及同角三角函数关系式求解.
【规范解答】（1）选C.由正弦定理可得,
1 2 b sinA 2 2. sinB a 1 2 又 0＜B＜5 , B 或 3 . 4 6 4
（2）选A.由A+C=2B且A+B+C=π得 B .
考向1 正弦定理的应用【典例1】（1）（2013·唐山模拟）在△ABC中, A ,a 1,
6
则B=( b 2，
)3 4A 4 BC 3 或 4 4
D
5 或 6 6
（2）（2013·惠阳模拟）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角 A,B,C所对的边，若 a 1,b 3，A C 2B，则sin C等于( )
A 1
1 B 2
C
3 2
D
3 3
（3）（2013·西安模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c. ①若 sin(A ) 2cos A, 求A的值；
6 ②若 cos A 1 , b 3c, 求sin C的值. 3

高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理

高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理： 1. 正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明R Aa__sin =（R 为ABC ∆的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一；（4）公式的变形：①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；②sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===；③sin sin sin ::::A B C a b c =．（5）三角形面积公式：=∆ABC S ____ ____=______ ___=_____ ___． (6)正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边和一角。

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

2. 余弦定理： =2a _____________________；=2b ____________________； =2c _____________________.强调几个问题：(1)熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)当夹角为90 时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；(4)变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+=ac c b a C 2cos 222-+=．（5）余弦定理的应用范围：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3. 解斜三角形(1)．两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ①若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA②若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a三、基础检测：1. 在中，，则等于（）A ．B ．C ．D ．2. 若是（）A ．等边三角形B ．有一内角是30°C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 3. 在，面积，则BC 长为（）A ．B ．75C ．51D ．494．在中，已知角则角A 的值是（）A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°5．中，sinB=23sin ,21=C ,则a ：b ：c 为（）A.1：3：2B.1：1：3C.1：2：3D.2：1：3或1：1：36. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===，则sin C 的值为A ．3B ．6C ．3D ．67.若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。

高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式

解斜三角形正弦定理、余弦定理与三角形面积公式【提纲挈领】主干知识归纳ABC ∆的6个基本元素：C B A c b a ,,,,,.其中三内角C B A ,,所对边边长分别为c b a ,,.1．正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是ABC ∆的外接圆的半径）变式：C R c B R b A R asin 2,sin 2,sin 2===2．余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=. 变式：abc a b C ac b a c B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=.3.三角形面积公式（1）.sin sin sin 2sin 21sin 21sin 212C B A R B ac A bc C ab S ABC====∆ （2）秦九韶—海伦公式：,))()((c p b p a p p S ABC ---=∆其中2cb a p ++=. 方法规律总结1.基本量观念：ABC ∆的6个基本元素：C B A c b a ,,,,,．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个三角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换.2.方程观念：正余弦定理和面积公式是方程的粗坯，是解三角形的依据，从三角形6个基本元素来说是“知三求三”.有两条主线：一是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边）的关系，归结为三角方程. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．3.转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化.4.利用正弦定理解三角形主要是以下两类：（1）已知两边和一对角；（2）已知两角和一边. 利用余弦定理解三角形主要是以下两类：（1）已知三边；（2）已知两边及其夹角. 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化.【指点迷津】【类型一】定理的推导与证明【例1】（2011陕西理18）叙述并证明余弦定理.【解析】: 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍.或：在∆ABC 中，a,b,c 为A,B,C 的对边，有2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-证法一如图2a BC BC =•u u u v u u u v()()AC AB AC AB =-•-u u u v u u u v u u u v u u u v222AC AC AB AB =-•+u u u v u u u v u u u v u u u v222cos b bc A c =-+即2222cos ab c bc A =+-同理可证2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-证法二已知∆ABC 中A,B,C 所对边分别为a,b,c,以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则(cos ,sin),(,0)C b A b A B c ,2222(cos )(sin )a BC b A c b A ∴==-+22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++ 2222cos b a c ac B =+-同理可证2222222cos ,2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-【类型二】解三角形【例1】【2015湖南，文17】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（I ）证明：sin cos B A =；(II) 若3sin sincos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【解析】:（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B=，所以sin cos B A = ；(II)222AC AC AB COSA AB=-•+u u u v u u u v u u u v u u u v根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23sin 4B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.【答案】（I ）略；(II)30,120,30.A B C ===o o o【例2】[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解析]：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎨⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－()132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292＝79.所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.[答案]（1）a ＝3，c ＝2.（2）2327. 【例3】【2015安徽，理16】在ABC ∆中，3,6,324A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.【答案】10【类型三】三角形的面积【例1】（2013年课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为（）A ．2+2B ．+1C ．2-2D ．-1【解析】：由正弦定理有224sin6sin2=⇒=c c ππ，又462)]46(sin[sin +=+-=πππA ，所以1346222221sin 21+=+⨯⨯⨯==∆A bc S ABC . 答案：B【例2】【2015天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8【例3】[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sinA －sinB )＝(c －b )sinC ，则△ABC 面积的最大值为________．[解析]: 根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得bc ≥2bc －a 2，即bc ≤4，所以△ABC 面积的最大值为12×4×32＝ 3.答案：3【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos A =b c <，则b =（）A 3B ．2C ．22D ．3【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(2223223223b b =+-⨯⨯即2680bb -+=，解得：2b =或4b =，因为bc <，所以2b =，故选B ．【答案】B2.[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( )A ．3 B.9 32 C.3 32D ．3 3【解析】：由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，所以ab ＝6，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3 32.答案：C3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,，若c b A3,31cos ==，则C sin 的值为（）A ．31 B ．32C ．322 D.33【解析】：由.,cos 23,31cos 222222c b a A bc c b a c b A -=-+===得及故△ABC 是直角三角形，且,2π=B 所以31cos sin ==A C .答案：A4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1【解析】：根据三角形面积公式，得12BA ·BC ·sin B ＝12，即12×1×2×sin B ＝12，得sin B ＝22，其中C <A .若B 为锐角，则B ＝π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×22＝1＝AB ，易知A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即B ＝3π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝ 5. 答案：B5．在OAB ∆中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若5-=⋅OB OA ，则OAB∆的面积为（）A ．3 B ．23C ．35 D.235【解析】：由条件知,21cos ,5,2-=∠==AOB OB OA 所以235235221=⨯⨯⨯=∆OAB S .答案：D 二、填空题6．【2015福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为103 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．【答案】77．【2015北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】18．[2014·山东卷] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．【解析】：因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16. 答案：16三、解答题9．【2015新课标1，文17】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若ab =，求cos ;B（II ）若90B=o ，且a = 求ABC ∆的面积.【解析】:（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知22b ac =，根据勾股定理和即可求出c ，从而求出ABC ∆的面积. 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =.又ab =，可得2bc =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222ac ac +=，得c a ==所以D ABC 的面积为1. 【答案】（I ）14（II ）1 10. 【2015浙江，文16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【解析】(1)利用两角和与差的正切公式，得到1tan3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；(2)利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin CA B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABCS ab C ∆==⨯⨯=. 【答案】(1)25；(2)9【二级目标】能力提升题组一、选择题1．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22ab -=，sin C B =，则A=（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150【解析】由由正弦定理得2c c R =⇒=，所以cosA=222+c -a 2b bc ==A=300答案：A2．[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24[解析]: 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，C ＝π－(A ＋B )，所以由已知等式可得sin 2A ＋sin(π－2B )＝sin[π－2(A ＋B )]＋12，即sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2(A ＋B )＋12，所以sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )]＝sin 2(A ＋B )＋12，所以2 sin(A ＋B )cos(A －B )＝2sin(A ＋B )cos(A ＋B )＋12，所以2sin(A ＋B )[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以sin A sin B sin C ＝18.由1≤S ≤2，得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以1≤2R 2·sinA sinB sinC ≤2，所以1≤R 24≤2，即2≤R ≤2 2，所以bc (b ＋c )>abc ＝8R 3sin A sin B sin C ＝R 3≥8.答案：A 二、填空题3．【2015广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C =π，则b = .【答案】1．三、解答题4. 【2015山东，文17】ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知36cos ()23B A B ac =+==求sin A 和c 的值. 【解析】在ABC ∆中，由3cos B =6sin B =因为A B C π++=，所以6sin sin()9C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，3cos 9C =，因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+65336223=+=.由,sin sin a cA C =可得22sin 323sin 6cc A a c C ===，又23ac =1c =. 22【高考链接】1. （2016年全国II 理13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若135cos ,54cos ==C A ，a =1，则b = .【解析】：由余弦定理有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=b c b bcc b 2113521542222，解得1321=b . 【答案】1321=b2. 【2015浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.【答案】（1）2；（2）3b=.3.【2015江苏，15】在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB.（1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值.因此212743sin 2C 2sin Ccos C 27==⨯⨯=．【答案】（1）7；（2）43 4. 【2015新课标2，理17】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin B C∠∠； (Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1,2==AC BD ．。

2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第22讲正弦定理和余弦定理(含解析)

第 22 讲正弦定理和余弦定理考试说明 1 .经过对随意三角形边长和角度的研究, 掌握正弦定理、余弦定理.2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形胸怀问题.考情剖析考点考察方向考例考察热度利用正弦定2017 全国卷Ⅰ11,2017全国卷Ⅱ16,2016 全国理、余弦定直接使用定理解三角形★★☆卷Ⅱ 13,2016 全国卷理解三角形Ⅲ8,2013 全国卷Ⅰ172017 全国卷Ⅱ17,2017与三角形面求三角形面积、已知面积求全国卷Ⅰ17,2017 全国积相关的问卷Ⅲ 17,2016 全国卷★★★三角形元素题Ⅰ17,2015 全国卷Ⅱ17,2014 全国卷Ⅱ4三角形中范角的三角函数以及面积的2015 全国卷Ⅰ16,2014围和最值问全国卷Ⅰ16,2013 全国★★★最值和范围题卷Ⅱ17真题再现■[2017 - 2013] 课标全国真题再现1 [ 2017 ·全国卷Ⅰ] △的内角, , 的对边分别为, , 已知 sin sin (sin cos ) 0, 2,c=,. ABC A B C a b c. B+ A C- C = a=则C=()A.B.C.D.[ 分析 ] B由于sin B+sin A(sin C-cos C) =sin( A+C) +sin A sin C-sin A cos C=(sin A+cos A)sin C=0, 所以 sin A=-cos A,得 A= π . 又由正弦定理=, 得=, 解得 sin C= ,所以 C= .2 [ 2016 ·全国卷Ⅲ] 在△中,B=, 边上的高等于, 则 cosA=(). ABC BC BC A.B.C.-D.-[分析]C 如图 3- 22 1所示,作⊥ 交于点, 设3, 则1, ,AC= .由余弦定理得- AD BC BC D BC= AD=BD= AB=32=() 2+() 2- 2×××cos A,解得cos A=-.3. [ 2014 ·全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是, AB=1, BC=, 则AC=()A.5B.C.2D.1[ 分析 ] B依据三角形面积公式, 得BA·BC· sin B= ,即×1××sin B= ,得sin B= ,此中 C<A.若 B为锐角 , 则B= , 所以AC==1=AB,易知 A 为直角,此时△ ABC为直角三角形,所以 B为钝角,即B= ,所以AC==.4. [ 2017 ·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b, c,若2b cos B=a cos C+c cos A,则 B=.[答案][ 分析 ]由于2b cos B=a cos C+c cos A,由正弦定理有2sin B cos B=sin A cos C+sin C cosA=sin( A+C) =sinB,所以cos B= ,得 B= .5. [ 2016 ·全国卷Ⅱ]△ ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b, c,若cos A= ,cos C= , a=1,则 b=.[答案][分析]∵cosA=,cosC=, 且, 为三角形的内角 ,∴sinA=,sinC=,A C∴s in B=sin( A+C) =sin A cos C+cos A sin C= .由正弦定理得= , 解得b= .6. [ 2015 ·全国卷Ⅰ] 在平面四边形ABCD中,∠ A=∠ B=∠ C=75°,BC=2,则 AB的取值范围是.[答案]( - , + )[分析]2 2+22如图 3- 22- 2 所示.MB<AB<EB,在△BMC中 , CB=CM=2,∠BCM=30°, 由余弦定理知MB=2 - 2×2×2cos30°=8- 4 =( - ) 2, 所以MB= - . 在△ EBC中,设 EB=x,由余弦定理知4=x2+x2- 2×x×x cos 30°, 得x2 =8+4 =( + ) 2, 所以x= + ,即EB= + ,所以- <AB< + .7. [ 2014 ·全国卷Ⅰ] 已知 a, b, c 分别为△ ABC三个内角 A, B, C的对边, a=2,且(2 +b)·(sin A-sin) ( )sin , 则△面积的最大值为.B = c-bC ABC[答案][ 分析 ]依据正弦定理和a=2可得( a+b)( a-b ) =( c-b ) c,故得 b2+c2-a 2=bc,依据余弦定理得cos A== , 所以 A= . 依据 b2+c2-a 2=bc 及基本不等式得bc≥2bc-a 2,即 bc≤4,所以△ ABC面积的最大值为×4×=.8 [ 2017 ·全国卷Ⅱ] △的内角, , 的对边分别为, , , 已知 sin( ) 8sin 2.. ABC A B C a b c A+C=(1)求 cos B;(2)若 a+c=6,△ ABC的面积为2,求 b.解 :(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2, 故 sin B=4(1 - cos B),上式两边平方, 整理得 17cos 2B-32cos B+15=0,解得 cos B=1(舍去)或cos B= .(2) 由 cos B=得 sin B= ,故 S△ABC= ac sin B= ac. 又 S△ABC=2,则 ac=.由余弦定理及a+c=6得b2 =a2+c2- 2ac cos B=( a+c)2- 2ac(1 +cos B)=36- 2××=4,所以 b=2.9. [ 2017 ·全国卷Ⅰ]△ ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b, c,已知△ ABC的面积为.(1)求 sin B sin C;(2)若 6cos B cos C=1, a=3, 求△ABC的周长.解 :(1)由题设得ac sin B=, 即c sin B=,由正弦定理得sin C sin B=.故 sin B sin C= .(2) 由题设及 (1) 得 cos B cos C-sin B sin C=- , 即 cos( B+C ) =- ,所以 B+C= ,故 A=.由题设得 bc sin A=, 即 bc=8.由余弦定理得 b 2+c 2-bc=9, 即 ( b+c ) 2- 3bc=9, 得 b+c=.故△ ABC 的周长为 3+.10 . [ 2017·全国卷 Ⅲ ] △ 的内角 , , 的对边分别为, , c , 已知 sin + cos 0, 2 , 2ABC A B C a b A A= a= b= .(1) 求 c ;(2) 设 D 为 BC 边上一点 , 且 AD ⊥ AC , 求△ ABD 的面积 .解 :(1) 由已知可得 tan A=- , 所以 A = .在△ ABC 中, 由余弦定理得 28=4+c 2- 4c cos , 即 c 2+2c- 24=0,解得 c=- 6( 舍去 ) 或 c=4.(2) 由题设可得∠ CAD = , 所以∠ BAD=∠BAC-∠ CAD = .故△ ABD 的面积与△ ACD 的面积的比值为 =1.又△ ABC 的面积为 ×4×2sin ∠ BAC=2 , 所以△ ABD 的面积为.11. [ 2016·全国卷 Ⅰ] △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 已知 2cos C ( a cos B+b cos A ) =c.(1)求 C;(2) 若c= , △的面积为, 求△的周长.ABC ABC解 :(1) 由已知及正弦定理, 得 2cos C(sin A cos B+sin B cos A) =sin C,即2cos C sin( A+B) =sin C, 故 2sin C cos C=sin C, 可得 cos C= , 所以C= .(2)由已知 , 得ab sin C= .又C= , 所以ab=6.由已知及余弦定理得, a2+b2- 2ab cos C=7,故 a2+b2=13,从而( a+b)2=25,所以△ ABC的周长为5+.12. [ 2015·全国卷Ⅱ]△ ABC中,D是BC上的点,AD均分∠ BAC,△ ABD面积是△ ADC面积的2倍.(1)求;(2)若 AD=1, DC= ,求 BD和 AC的长 .解 :(1) S△ABD= AB·AD sin ∠BAD,S△ADC= AC·AD sin∠ CAD.由于 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠ CAD,所以 AB=2AC.由正弦定理可得= = .(2)由于 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= .在△ ABD和△ ADC中,由余弦定理知22 2AB=AD+BD- 2AD· BD cos∠ ADB,2 22 2 cos ∠AC=AD+DC- AD· DCADC.2 2 2 2 2故 AB+2AC=3AD+BD+2DC=6.由 (1) 知AB=2AC, 所以AC=1.13. [ 2013·全国卷Ⅰ]如图3-22-3所示,在△ ABC中,∠ ABC=90°,AB=, BC=1, P为△ABC内一点 , ∠BPC=90° .(1)若 PB=,求 PA;(2)若∠ APB=150°,求tan∠PBA.解 :(1) 由已知得 , ∠PBC=60°, 所以∠PBA=30°.2× cos 30°= .故PA= .在△ PBA中,由余弦定理得 PA=3+ - 2×(2)设∠ PBA=α,由已知得 PB=sinα .在△ PBA中,由正弦定理得=, 化简得cos α=4sinα.所以 tanα =, 即 tan ∠PBA= .14. [ 2013·全国卷Ⅱ]△ ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b, c,已知 a=b cos C+c sin B.(1)求 B;(2)若 b=2,求△ ABC面积的最大值 .解 :(1)由已知及正弦定理得sin A=sin B cos C+sin C sin B. ①又 A=π - ( B+C),故sin A=sin( B+C) =sin B cos C+cos B sin C.②由①②和 C∈(0,π)得sin B=cos B.又 B∈(0,π),所以 B= .(2) △ ABC 的面积 S= ac sin B= ac.由已知及余弦定理得4=a 2+c 2- 2ac cos .又 a 2+c 2≥ 2ac , 故 ac ≤, 当且仅当 a=c 时 , 等号建立 . 所以△ ABC 面积的最大值为 +1.■ [2017 - 2016] 其余省份近似高考真题1 [ 2017 ·山东卷 ] 在△中,角 ,, 的对边分别为 , ,c. 若△为锐角三角形 , 且知足 sin (1 2cos.ABCA B Ca bABCB+) 2sincoscos sin, 则以下等式建立的是()C =AC+ACA 2 bB 2 .a= .b= aC2BD2.A= .B= A[分析] A由 sin B+2sin B cos C=2sin A cos C+cos A sin C 得 sin B+2sin B cos C=sin A cos C+sin( A+C )=sinA cos C+sinB , 所以 2sin B cos C=sin A cos C.由于△ ABC 为锐角三角形 , 所以 cos C>0, 所以 2sin B=sin A , 再依据正弦定理得 2b=a , 应选 A .2. [ 2017 ·北京卷 ] 在△ ABC 中 , ∠ A=60°,c= a.(1) 求 sin C 的值 ;(2) 若 a=7, 求△ ABC 的面积 .解 :(1) 在△ ABC 中 , 由于∠ A=60°,c= a ,所以由正弦定理得sin C= = × =.(2) 由于 a=7, 所以 c= × 7=3.由余弦定理2222 bc cosA 得72 2 322 3 ,a =b +c - =b + - b × ×解得 b=8 或 b=-5( 舍) .所以△的面积S= bc sin 8 3 ×6ABC A=× × =.3 [ 2017 ·山东卷 ] 在△中 , 角, , 的对边分别为 , , 已知3, ·=- 6,△ABC3, 求 A 和a..ABC A B C a b c. b= S =解: 由于 · =-6,所以 bc cos A=-6,又 S △ABC =3,所以 bc sin A=6,所以 tan A=-1, 又 0<A<π ,所以A=.又 b=3, 所以 c=2.由余弦定理 a 2=b 2+c 2- 2bc cos A ,得 a 2=9+8- 2×3×2 × =29,所以 a=.4 [ 2017 ·天津卷 ] 在△ 中, 内角 , , 所对的边分别为 , , 已知 sin 4 sin , (22-c 2)..ABC A B C a b c. a A= b B ac= a -b(1) 求 cos A 的值 ;(2) 求 sin(2 B-A ) 的值 .解 :(1) 由 sin4 sin 及= , 得 2a A= bBa= b.由 ac=( a 2-b 2-c 2) 及余弦定理 , 得 cos A= = =- .(2) 由 (1) 可得 sin A= , 代入 a sin A=4b sin B , 得 sin B= = .由 (1) 知 , A为钝角 , 所以 cos B==.于是 sin 2 B=2sin B cos B= ,cos 2 B=1- 2sin2B= ,故 sin(2 B-A) =sin 2 B cos A-cos 2 B sin A= ×- ×=-.【课前双基稳固】知识聚焦1.b2+c2- 2bc cos A c2 +a2- 2ac cos B a2+b2- 2ab cos C2R sin B2R sin C sin A∶sin B∶sin C2.一解两解一解一解对点操练1.[ 分析 ]易知A=75°,角B最小,所以边b最短.由正弦定理=, 得=, 解得b=.2.[ 分析 ]由余弦定理得c2=a2+b2- 2ab cos C=52+(2) 2- 2×5×2 cos 30°=7, 所以c=.3. 60°[ 分析 ]由于cos C== ,所以 C=60°.4 4 [ 分析 ] 由于 sinC= = , 所以△的面积sin 4. ABC S= ab C= .5.A=B A>B [分析] 依据正弦定理知, 在△ABC中有 sin A=sin B? a=b? A=B,sin A>sin B? a>b? A>B.6 45° [分析] 由正弦定理知= , 则 sinB===.又, 则, 所以B为锐角 , 故 45°.. a>b A>B B= 7.[ 分析 ]易知c==, △ABC的面积等于×2×3×=.8 直角三角形或等腰三角形 [分析 ] 由已知有 cos (sinA- sin) 0, 所以有 cos0 或 sinsin,.CB =C=A=B解得90°, 或A=B.C=【讲堂考点研究】例 1 [ 思路点拨 ] (1) 依据正弦定理与两角和的正弦公式 , 化简条件等式 , 可得 (2cos B-1)sinA=0, 联合 sin 0 获得 cos , 从而解出 ;(2) 由余弦定理 , 可得出 1222再利用基本不等式求最大值 .A>BB =a +c -ac.解 :(1) ∵2c-a=2b cos A ,∴依据正弦定理 , 得 2sin C-sin A=2sin B cos A. ①∵A+B=π -C , ∴sin C=sin( A+B ) =sin B cos A+cos B sinA ,代入 ①式 , 得 2sin B cos A=2sin B cos A+2cos B sin A-sin A ,化简得 (2cos B-1)sinA=0.∵A 是三角形的内角 , ∴sin A>0, ∴2cos B-1=0, 解得 cos B= ,∵B ∈ (0, π), ∴B= .(2) 由余弦定理 b 2=a 2+c 2- 2ac cos B , 得 12=a 2+c 2-ac.∴( a+c ) 2- 3ac=12, ∴12≥ ( a+c ) 2- ( a+c ) 2, 当且仅当 a=c=2 时取等号 ,∴ a +c ≤ 4 ,即 a+c 的最大值为 4.变式题 (1)A (2)[分析](1)(a-b )(sin sin ) ( )sin ,∴ 由正弦定理可得∵ A+ B = c-b C( a-b )( a+b ) =( c-b ) c , 可化为 b 2+c 2-a 2 =bc. ∴由余弦定理可得 cos A== = , 又 A 为锐角 , ∴A= . ∵a= , ∴由正弦定理可得=2 2= =2, ∴b +c =(2sinB)2+2sin-B 2 =4+2sin2B-, ∵B∈,, ∴2B-∈,, ∴sin 2B-∈,1, 可得b2 +c2=4+2sin2B-∈(5,6].(2) 设AB=a,∵AB=AD,2 BD, BC=2BD,∴AD=a, BD= ,在△中,cos ∠=, ∴sin ∠ADB= , ∴ sin ∠ BDC= . 在△BDC中, = , ∴sin C= =.例2 [思路点拨合范围获得结论].设∠ BAD=α,∠ DAC=β,则由α +C=90°,可得β +B=90°,利用正弦定理获得关系式, 再结等腰三角形或直角三角形[ 分析] 设∠ BAD=α,∠DAC=β,则由α +C=90°,得β +B=90° . 在△ ABD中,由正弦定理得= , 即= , 同理得=. ∵BD=DC,∴=, ∴sin α sin C=sin β sinB. ∵α +C=90°,β +B=90°,∴sin C cos C=sinB+C=90°,∴△ ABC是等腰三角形或直角三角形B cos . B,即sin 2 C=sin 2 B,∵B,C∈(0, π ), ∴B=C或变式题等腰三角形[ 分析 ]由已知等式得a=2·· c,所以a2=a2+c2-b2,所以c2=b2,即c=b.故△ ABC 为等腰三角形 .例 3 [ 思路点拨 ] (1) 利用同角三角函数的基本关系, 余弦定理、正弦定理、两角和差的三角函数公式将已知条件进行化简整理;(2) 利用正弦定理可求出 b 的值,从而依据三角形面积公式即可计算得解.解 :(1)∵cos 2 cos 2 sin 2 sin sin , B- C- A=- A B∴s in 2C+sin A sin B=sin 2A+sin 2B,∴由正弦定理得c2+ab=a2+b2,∴cos C== = ,∵0<C<π , ∴C= .∵sin( A-B) =cos( A+B), ∴sin A cos B-cos A sin B=cos A cos B-sin A sin B, ∴sin A(sin B+cos B) =cos A(sin B+cos B),∴ s in A=cos A ,∴由 A 为锐角 , 可得 A= , B=π -A-C= .(2) ∵a= , A= , B= ,∴由正弦定理可得 b= =,∴三角形 ABC 的面积 S= ab sinC= × ×× =.变式题解:(1) 由 (sinA- sin ) ()(sinsin)及正弦定理 ,得 () ( )( ),a B = c-b C+ B a a-b = c-b c+b即 a 2+b 2-c 2=ab.所以 cos C= = ,又 C ∈ (0, π ), 所以 C= .(2) 由 (1) 知 a 2+b 2-c 2=ab ,所以 ( a+b ) 2- 3ab=c 2=7.又 S= ab sin C= ab= ,所以 ab=6,所以 ( a+b ) 2=7+3ab=25, 即 a+b=5.所以△ ABC 周长为 a+b+c=5+ .【备选原因】正、余弦定理 , 三角形面积公式及三角恒等变换的综合 ( 或此中两个知识点的综合 ) 已经是高考取考察三角函数和解三角形最主流的方式 , 下边三例均为此种种类 , 可在相应试点采用 .1 [ 配合例 1 使用 ] [ 2017·石家庄模拟]在△ ABC中,角A,B,C的对边长分别为a, b, c,且cos2 B-cos 2A=2sin C·(sin A-sin C) .(1)求角 B的大小;(2)若 b= ,求2a+c 的取值范围 .解 :(1)由cos 2B-cos 2A=2sin C·(sin A-sin C),可得sin2A-sin2B+sin2C=sin A·sin C.依据正弦定理得a2+c2-b 2 =ac,由余弦定理 , 得 cos B== ,∵0<B<π , ∴B= .(2) 由 (1) 得 2R==2,2 2 (2sin sin ) 2 2sin sin 5sinA+ cos2 sin( φ),a+c= R A+ C = A+ -A = A= A+ 此中 ,sinφ =,cosφ=, φ ∈0,,∵A∈0,, ∴A+φ ∈φ ,+φ,∴当 A+φ = 时,(2 a+c)max=2,当 A+φ = +φ时,2 a+c=2,当 A+φ =φ时,2 a+c= . 所以2sin( A+φ ) ∈(,2] .即 2a+c∈ ( ,2] .2[ 配合例 1 使用 ] [ 2017·莆田一中模拟 ] 如图 , 在△ABC中 , B= , D为边BC上的点 , E为AD上的点 , 且AE=8, AC=4, ∠CED=.(1)求 CE的长;(2)若 CD=5,求cos∠DAB的值 .解 :(1)∵∠AEC=π- =,22 2∴在△ AEC中,由余弦定理得AC=AE+CE- 2AE·CE cos∠ AEC,2∴160=64+CE+8CE,2∴CE+8CE-96=0,∴CE=4( 负值舍去 ) .(2) 在△CDE中 , 由正弦定理得=,∴5sin ∠CDE=4 × ,∴s in ∠CDE=,∵点 D在边 BC上,∴∠ CDE>B=,而 <,∴∠ CDE只好为钝角,∴cos∠CDE=-,∴cos ∠DAB=cos ∠ CDE-=cos∠ CDE cos +sin ∠ CDE sin =- × + ×= .3 [ 配合例 3 使用 ] [ 2017·大庆实验中学模拟] 在△ ABC中,角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且知足=sin C.(1)求角 C;(2)若△ ABC的中线 CD的长为1,求△ ABC的面积的最大值 .解 :(1)∵= sin ,∴cosC==sin ,C C即 tan C= , ∴C= .(2) 由三角形中线长定理得2( a2+b2) =22+c2=4+c2,由三角形余弦定理得c2=a2+b2-ab ,消去 c2得4-ab=a2+b2≥2ab, ab≤(当且仅当 a=b 时,等号建立), ∴S△ ABC= ab sin C≤× ×=.。

高三一轮复习精题组正弦定理、余弦定理及解三角形(有详细答案)

§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1．正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2. S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ ) (3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2． (2013·湖南)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3． (2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.5．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为( )A ．0B ．1C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )，故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________．答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．题型三解三角形的实际应用例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范．规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 3．合理利用换元法、代入法解决实际问题．失误与防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2． △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于 ( )A.17B.15C.152D ．3答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0，即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152.二、填空题6． (2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________. 答案2π3解析由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.7．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.答案 210解析由tan A ＝2得sin A ＝2cos A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________．答案 50 2 m 解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝50 2.三、解答题9． (2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A，∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·江西)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π，所以sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝3，即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A＝ 2.2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.3． (2013·浙江)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________. 答案63解析因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B ，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.4． (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.5．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]，所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。

正弦定理与余弦定理(高三一轮复习)

150°不符合题意，舍去．可得B＝30°.
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5．(易错题)在△ABC中，若ab＝ccooss AB，则△ABC的形状为( D )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
解析因为ab＝ccooss BA，所以由正弦定理可得ssiinn AB＝ccooss AB，即sin Acos A＝sin Bcos
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3．(2023·江门检测)在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，则cos A＝( A )
12 A.2 B. 2
3 C. 2
D．－
2 2
解析在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，由余弦定理得cos A＝ 422＋×342×－313＝16＋294－13＝12.
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针对训练 1．(2023·陕西渭南月考)在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC ＝( B ) A．2 2 B．3 C．6 D. 6 解析在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，故 49＝25＋BC2－2×5×BC× －12 ，即BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍去)．
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2．在△ABC中，若AB＝3，BC＝3 2，∠B＝45°，则△ABC的面积为( D )
A．2 2 B．4
7 C.2
9 D.2
解析由题意，S△ABC＝12AB·BC·sin∠B＝12×3×3 2× 22＝92.

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第七节正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bcsin A ＝12ac sinB ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sinB ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则cosB 为( ) A.74 B.34 C.73 D.13解析：选B ∵b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，∴b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定解析：选B ∵a sin A ＝b sin B ，∴sinB ＝b a sin A ＝2418sin 45°＝223.又∵a <b ，∴B 有两个解，即此三角形有两解．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c <b cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选A 依题意得sin C <sinBcos A ，所以sin(A ＋B )<sinBcos A ，即cos Bsin A＋sin Bcos A －sin Bcos A <0，所以cos Bsin A <0.又sin A >0，于是有cos B<0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°6．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·Bc sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：1534考点一利用正、余弦定理解三角形 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.66 B.65 C.64 D.63解析：选C 因为a ＝62b ，A ＝2B ，所以由正弦定理可得62b sin 2B ＝b sin B ，所以622sin B cos B ＝1sin B ，所以cos B ＝64. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin Bcos C ＋c sin Bcos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选A 由正弦定理得，sin A sin Bcos C ＋sin C sin Bcos A ＝12sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析：因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. 答案：1[题型技法] 利用正弦定理可解决两类问题4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34 D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )A.322B.332C.32D ．3 3解析：选B 由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝32，∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 6．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析：由2b cosB ＝a cos C ＋c cos A 及余弦定理，得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cosB ＝ac ＞0，cosB ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.答案：π3[题型技法] 利用余弦定理可解决两类问题1．避免失误准解题(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．2．运用知识结论巧解题(1)三角形的内角和定理A ＋B ＋C ＝π，由此可得到sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，tan A ＝－tan(B ＋C )；sin A 2＝cos B ＋C 2，cos A2＝sin B ＋C 2.(2)内角A ，B ，C 成等差数列⇔B ＝60°，A ＋C ＝120°. (3)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B·tan C .(4)△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列． (5)在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cosB.(6)在△ABC 中，最大内角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π，最小内角的取值范围是⎝⎛⎤0，π3. (7)在锐角△ABC 中，sin A >cos B ，sin B>cos C ，sin C >cos A 等．考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (重点保分型考点——师生共研)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选C ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D 因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B·cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin Bcos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．[解题师说]1．判定三角形形状的2种常用途径2．判定三角形形状的3个注意点(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；(3)还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[冲关演练]1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba＝2，则该三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选A 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2 B 2＝c －a2c ，则△ABC的形状一定是________．解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b22ac，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形考点三与三角形面积有关的问题 (重点保分型考点——师生共研)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .❶(1)求sinBsin C ；(2)若6cos Bcos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． ❸ ❷ [学审题]①看到△ABC 的面积为a 23sin A 想到三角形的面积公式，即可求出sin B sin C 的值；②看到要求△ABC 的周长想到求a ＋b ＋c 的值； ③看到cos Bcos C 的值想到第(1)问已求出sin Bsin C 的值，可求得A 的值，借助余弦定理可求得b ＋c .解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A.故sin Bsin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C －sin Bsin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.[解题师说]与三角形面积有关问题的解题模型[冲关演练]1．(2018·云南第一次统一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A.32 B ．3 C. 6D ．6解析：选B 由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.2．(2018·安徽两校阶段性测试)如图，在△ABC 中，AB ＝2，cosB ＝13，点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC ＝3π4，求AD 的长； (2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为423，求sin ∠BAD sin ∠CAD 的值．解：(1)在△ABC 中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝223.在△ABD 中，AB sin ∠ADB ＝ADsin B，又AB ＝2，∠ADB ＝π4，sin B ＝223，∴AD ＝83.(2)∵BD ＝2DC ，∴S △ABD ＝2S △ADC ，S △ABC ＝3S △ADC ，又S △ADC ＝423，∴S △ABC ＝42，∵S △ABC ＝12AB ·Bc sin B ，即42＝12×2×BC ×223，∴BC ＝6.∵S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD ，S △ABD ＝2S △ADC ， ∴sin ∠BAD sin ∠CAD＝2·AC AB ，在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，∴AC ＝42，∴sin ∠BAD sin ∠CAD＝2·AC AB ＝4 2.(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A.12B.14 C ．1D ．2解析：选A 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.4．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 5．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0，∴cos A ＝－12，A ＝2π3.6．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 解析：选A 由题意可知sin B ＋2sinBcos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sinBcos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.答案：29．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b .又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：410．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝________.解析：由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2·3·(a ＋2)·78⇒a ＝2.答案：2B 级——中档题目练通抓牢 1．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A.13B.12 C.15D.14解析：选D 由题意知，c ＝3a ，b 2－a 2＝52ac ＝c 2－2ac cos B ，所以cos B ＝c 2－52ac2ac ＝9a 2－152a 26a 2＝14. 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选C 法一：由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ，从而△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理可得sin A ＝2sin Bcos C ，因此sin(B ＋C )＝2sin Bcos C ，即sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ，故△ABC 为等腰三角形．3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－145．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD 的值为________．解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6(AB ＝－2舍去)，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝277，BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×277＝1277，CD ＝BC －BD ＝27－1277＝277，所以BD CD ＝6.答案：66．(2018·贵州适应性考试)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝4，b sin A ＝3.(1)求tan B 及边长a 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝9，求△ABC 的周长．解：(1)在△ABC 中，a cos B ＝4，b sin A ＝3，两式相除，有b sin A a cos B ＝sin B sin A sin A cos B ＝tan B ＝34，由sin 2B ＋cos 2B ＝1，sin B cos B ＝34，得cos B ＝45，又因为a cos B ＝4，所以a ＝5.(2)由(1)知，sin B ＝35，由S ＝12ac sin B ＝12×5×35c ＝9，得c ＝6.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25＋36－2×5×6×45＝13，得b ＝13.故△ABC 的周长为11＋13.7．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)．(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝2π3－π2＝π6. 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3. C 级——重难题目自主选做(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ，所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.在△ABC 中，A ＝45°，C ＝105°，BC ＝2，则AC 为( ) A.3－1 B ．1 C ．2D.3＋1解析：选B 因为A ＝45°，C ＝105°，所以B ＝180°－C －A ＝30°，由正弦定理得AC ＝BC sin Bsin A＝2×1222＝1.2．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选C 法一：由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ，从而△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理可得sin A ＝2sin Bcos C ，因此sin(B ＋C )＝2sin Bcos C ，即sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ，故△ABC 为等腰三角形．4．(2018·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：选C 由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c ＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：47．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.答案：28．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD 的值为________．解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6(AB ＝－2，舍去)，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝277，BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×277＝1277，CD ＝BC －BD ＝27－1277＝277，所以BD CD ＝6.答案：69.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2 B2，即sin B ＝4(1－cos B)，故17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.10．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝2π3－π2＝π6. 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3. B 级——拔高题目稳做准做1.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos A c＝2cos C ，则c 等于( )A ．27B ．2 3C ．4D ．3 3解析：选B 因为a cos B ＋b cos A c ＝sin A cos B ＋sin B cos A sin C ＝sin (A ＋B )sin (A ＋B )＝1，所以2cos C ＝1，所以C ＝60°.因为S △ABC ＝23，所以12ab sin C ＝23，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12，所以c ＝2 3. 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C,3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A.529B.729C. 2D.928解析：选D 在△ABC 中，由sin A －sin B ＝13sin C 结合正弦定理可得，c ＝3a －3b ，再根据3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，可得a ＝c,1≤a ≤3，由余弦定理可得b 2＝4a 29＝a 2＋a 2－2a ·a cosB ⇒cos B ＝79，可得sin B ＝429，所以S ＝12ac sin B ＝229a 2，故p ＝2a －S ＝2a －229a 2，根据二次函数的图象可得，当a ＝94时，p 取得最大值928.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65，∴a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654.答案：56544.(2018·洛阳统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝2 5，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________.解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，解得sin ∠ACD ＝255.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝55. 在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4.由正弦定理得，AD sin ∠ACD ＝CDsin A，即sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝55.在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，即BC ＝AC ·sin Asin B ＝4.答案：45.(2018·湖北七市联考)如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°.(1)若c ＝1，求△ABC 面积的最大值； (2)若a ＝2b ，求tan A .解：(1)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝1， ∴a 2＋b 2＋ab ＝1≥2ab ＋ab ＝3ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，∴ab ≤13，故S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤312，即△ABC 面积的最大值为312. (2)∵a ＝2b ，∴由正弦定理得sin A ＝2sin B ，又C ＝120°，故A ＋B ＝60°，∴sin A ＝2sin(60°－A )＝3cos A －sin A ， ∴3cos A ＝2sin A ，∴tan A ＝32.6.(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ，所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理BDsin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.[正、余弦定理强化练]A 组1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b，则A ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.π3或2π3解析：选B 由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝ca ＋b ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由A 为三角形的内角，知A ＝π3.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＝1，B ＝π4，tan A ＝22，则a ＝( )A.23B.34C.43D. 2解析：选C 由题意知，sin A ＝223，由a sin A ＝b sin B ，得a 223＝122，解得a ＝43.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＝2sin Bsin C ，且BC 边上的高为a 2，则c b ＋bc 的最大值为( )A ．2 B. 2 C ．2 2D ．4解析：选C 由sin A ＝2sinBsin C ，根据正弦定理，得a 2＝2bc sin A ，代入cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 中，得b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋sin A )，所以c b ＋bc ＝2(cos A ＋sin A )＝22sin A＋π4，当A ＝π4时，c b ＋b c 取得最大值2 2. 4．(2018·江西丰城中学测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＋b ＝2，△ABC 的面积为16sin C ，sin A ＋sinB ＝2sinC ，则C 的值为________．解析：由△ABC 的面积为12ab sin C ＝16sin C ，得ab ＝13.又a ＋b ＝2且sin A ＋sin B ＝2sin C ，所以a ＋b ＝2c ，c ＝1，所以a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝2－2×13＝43，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝43－123＝12，故C ＝π3.答案：π35．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B的取值范围是________．解析：由余弦定理得b 2－a 2＝(a 2＋c 2－2ac cos B)－(b 2＋c 2－2bc cos A )＝a 2－b 2＋2c (b cos A －a cos B)，即b 2－a 2＝c (b cos A －a cos B)＝ac ⇒b cos A －a cos B ＝a ⇒sin(B －A )＝sin A ⇒B ＝2A .又△ABC 为锐角三角形，所以π3<B <π2.则1tan A －1tan B ＝sin (B －A )sin A sin B ＝1sin B∈⎝⎛⎭⎫1，233.答案：⎝⎛⎭⎫1，233 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos A ＝(2c －a )cos B. (1)求B ；(2)若b ＝13，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长．解：(1)由b cos A ＝(2c －a )cos B ，得2c cos B ＝b cos A ＋a cos B.由正弦定理可得2sin C cos B ＝sin Bcos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，因为sin C ≠0，所以cos B ＝12.因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝3，所以ac ＝4.又13＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，所以a 2＋c 2＝17，所以a ＋c ＝5，故△ABC 的周长为5＋13.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，(sin A ＋sin C ＋sin B)(sinA ＋sin C －sin B)＝3sin A sin C .(1)求B ；(2)若sin B ＝2sin 2A －sin(C －A )，求△ABC 的面积．解：(1)∵(sin A ＋sin C ＋sin B)(sin A ＋sin C －sin B)＝3sin A sin C ，∴由正弦定理得(a ＋c ＋b )(a ＋c －b )＝3ac ， ∴(a ＋c )2－b 2＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)∵sin B ＝2sin 2A －sin(C －A )， ∴sin(C ＋A )＋sin(C －A )＝2sin 2A ，∴sin C cos A ＋cos C sin A ＋sin C cos A －cos C sin A ＝4sin A cos A ，即sin C cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，∴C ＝π6，∵b sin B ＝c sin C ，∴c ＝233，∴S △ABC ＝12bc ＝233；当cos A ≠0时，sin C ＝2sin A ，∴c ＝2a ，由(1)知，a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴a ＝233，c ＝433，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×433×32＝233.综上所述，△ABC 的面积为233.8．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，函数f (x )＝m·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．解：由题意得f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.(1)由f (x )＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3－x 2－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6－1＝－12. (2)已知a cos C ＋12c ＝b ，由余弦定理，可得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，从而B ＋C ＝2π3.所以0<B <2π3，0<B 2<π3，则π6<B 2＋π6<π2，所以1<sin ⎝⎛⎭⎫B 2＋π6＋12<32，故f (B )的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，32. B 组1．(2018·江西丰城中学测试)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，6)C ．(2，3)D ．(6，4)解析：选B ∵B ＝2A ，∴sinB ＝sin 2A ＝2sin A cos A ，∴ba ＝2cos A ．又C ＝π－3A ，C 为锐角，∴0<π－3A <π2⇒π6<A <π3，又B ＝2A ，B 为锐角，∴0<2A <π2⇒0<A <π4，∴π6<A <π4，22<cos A <32，∴2<b a <3，∴2<2b a < 6. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝312c ，则ab 的最小值为( ) A.12 B.13 C.16D ．3解析：选B 由题意，得2sin C cosB ＝2sin A ＋sin B ⇒2sinC cos B ＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C ＋sin B ⇒cos C ＝－12⇒sin C ＝32，∴S ＝12ab sin C ＝34ab ＝312c ⇒c ＝3ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ⇒－12＝a 2＋b 2－9a 2b 22ab ≥2ab －9a 2b 22ab ⇒ab (3ab －1)≥0⇒ab ≥13，当且仅当a ＝b ＝33时等号成立，所以ab 的最小值为13. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→·BC ―→ ＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，32 C.⎝⎛⎭⎫12，32D.⎝⎛⎤12，32解析：选B 由b 2＋c 2－a 2＝bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则A ＝π3，由AB ―→·BC ―→＞0知，B 为钝角，又asin A＝1，则b ＝sinB ，c ＝sinC ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝32sinB ＋32cosB ＝3sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， ∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝⎛⎭⎫32，32. 4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B ＝2C,2b cos C －2c cos B ＝a, 则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得2sin Bcos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ，即sin Bcos C ＝3sin C cos B ，∵B ＝2C ，∴sin 2C cos C ＝3sin C cos 2C,2cos 2C ＝3(cos 2C －sin 2C )，tan 2C ＝13，tan C ＝33，∵B ＝2C ，∴C 为锐角，∴C ＝π6，B ＝π3，A ＝π2.答案：π25．在△ABC 中，点D 是BC 的中点，若AB ⊥AD ，∠CAD ＝30°，BC ＝27，则△ABC 的面积为________．解析：因为D 是BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ABD ，即12AB ·AC sin 120°＝2·12AB ·AD ，所以AD ＝34AC . 在△ACD 中，CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即(7)2＝AC 2＋316AC 2－2AC ·34AC ·32，解得AC ＝4，所以AD ＝3，故S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12×3×4×12＝2 3.答案：2 36.如图，已知D 是△ABC 边BC 上一点．(1)若sin ∠ADC ＝7210，B ＝π4，且AB ＝DC ＝7，求△ADC 的面积； (2)当∠BAC ＝π2时，若BD ∶DC ∶AC ＝2∶1∶3，且AD ＝22，求DC 的长．解：(1)因为sin ∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝sin ∠ADC ＝7210，所以在△ABD 中，由正弦定理，得AD ＝AB ·sin Bsin ∠ADB ＝7×227210＝5，所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝12×5×7×7210＝4924.(2)由BD ∶DC ∶AC ＝2∶1∶3，设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x . 于是sin B ＝AC BC ＝33，cos B ＝63，AB ＝6x . 在△ABD 中，由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×63＝2x 2，解得x ＝2，即DC ＝2. 7.如图，在△ABC 中，B ＝π3，BC ＝2，点D 在边AB 上，AD ＝DC ，DE ⊥AC ，E 为垂足．(1)若△BCD 的面积为33，求AB 的长； (2)若DE ＝62，求角A 的大小．解：(1)∵△BCD 的面积为33，B ＝π3，BC ＝2， ∴12×2×BD ×sin π3＝33，∴BD ＝23. 在△BCD 中，由余弦定理可得CD ＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝4＋49－2×2×23×12＝273. ∴AB ＝AD ＋BD ＝CD ＋BD ＝273＋23＝27＋23.(2)∵DE ＝62，∴CD ＝AD ＝DE sin A ＝62sin A. 在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝CDsin B .∵∠BDC ＝2∠A ，∴2sin 2A ＝62sin A sinπ3，∴cos A ＝22. ∴A ＝π4.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,1＋tan A tan B ＝2c3b. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sinBcos C 的取值范围；(3)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝π4，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．解：(1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6.所以y ＝2sin 2B －2sin Bcos C ＝1－cos 2B －2sin Bcos ⎝⎛⎭⎫5π6－B ＝1－cos 2B ＋3sin Bcos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋12. 又△ABC 为锐角三角形，所以π3<B <π2⇒π2<2B －π6<5π6，所以12<sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6<1，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋12∈⎝⎛⎭⎫1，32. (3)法一：选择①②，可确定△ABC .因为A ＝π6，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，由余弦定理，得12＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ·3＋12b ·32，整理得b 2＝2，b ＝2，c ＝6＋22，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×6＋22×12＝3＋14. 法二：选择①③，可确定△ABC .因为B ＝π4，所以C ＝7π12. 又sin 7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24，故由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝1×sin 7π12sin π6＝6＋22，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×6＋22×22＝3＋14.。