精品高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案

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人教版高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案

教案【一】教學準備教學目標進一步熟悉正、余弦定理內容，能熟練運用余弦定理、正弦定理解答有關問題，如判斷三角形的形狀，證明三角形中的三角恒等式.教學重難點教學重點：熟練運用定理.教學難點：應用正、余弦定理進行邊角關係的相互轉化.教學過程一、復習準備：1.寫出正弦定理、余弦定理及推論等公式.2.討論各公式所求解的三角形類型.二、講授新課：1.教學三角形的解的討論：①出示例1：在△ABC中，已知下列條件，解三角形.分兩組練習→討論：解的個數情況為何會發生變化?②用如下圖示分析解的情況.(A為銳角時)②練習：在△ABC中，已知下列條件，判斷三角形的解的情況.2.教學正弦定理與余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦.分析：已知條件可以如何轉化?→引入參數k，設三邊後利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判斷三角形的類型.分析：由三角形的什麼知識可以判別?→求角余弦，由符號進行判斷③出示例4：已知△ABC中，，試判斷△ABC的形狀.分析：如何將邊角關係中的邊化為角?→再思考：又如何將角化為邊?3.小結：三角形解的情況的討論;判斷三角形類型;邊角關係如何互化.三、鞏固練習：3.作業：教材P11B組1、2題.教案【二】一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是學生學習了平面向量之後要掌握的兩個重要定理，運用這兩個定理可以初步解決幾何及工業測量等實際問題，是解決有關三角形問題的有力工具。

(2)重點、難點。

重點：正余弦定理的證明和應用難點：利用向量知識證明定理(二)教學目標(1)知識目標：①要學生掌握正余弦定理的推導過程和內容;②能夠運用正余弦定理解三角形;③瞭解向量知識的應用。

(2)能力目標：提高學生分析問題、解決問題的能力。

(3)情感目標：使學生領悟到數學來源於實踐而又作用於實踐，培養學生的學習數學的興趣。

(三)教學過程教師的主要作用是調控課堂，適時引導，引導學生自主發現，自主探究。

正弦定理教案优秀5篇

正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容：本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。

二、教材分析：1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。

数学必修5》（A 版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实，感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证实；难点是三角形外接圆法证实。

三、教学目标：1、知识目标：把握正弦定理，理解证实过程。

2、能力目标：（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。

（3）发展学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观：（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。

（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。

四、教学设想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。

让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

「高中数学必修5正余弦定理教案」

「高中数学必修5正余弦定理教案」教案：高中数学必修5正余弦定理教学目标：1.了解正弦定理和余弦定理的概念和公式。

2.能够根据给定的边长和角度，求解三角形的其他边长和角度。

3.能够应用正弦定理和余弦定理解决实际问题。

教学重点：1.理解正弦定理和余弦定理的概念和原理。

2.掌握正弦定理和余弦定理的应用方法。

教学难点：1.将实际问题转化为三角形求解问题。

2.独立应用正弦定理和余弦定理解决问题。

教学准备：1.教科书《高中数学必修5》。

2.教具：直尺、三角板。

3. PowerPoint课件和多媒体设备。

教学过程：一、导入（10分钟）1.引入三角形的概念，复习三角形的基本性质。

2.引出正弦定理和余弦定理的背景和重要性。

二、系统学习（30分钟）1.正弦定理的概念和公式的讲解。

a. 引出正弦定理的公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

b.通过示例和图示讲解正弦定理的应用方法。

c.引导学生推导正弦定理的公式。

2.余弦定理的概念和公式的讲解。

a. 引出余弦定理的公式：c² = a² + b² - 2abcosC。

b.通过示例和图示讲解余弦定理的应用方法。

c.引导学生推导余弦定理的公式。

三、案例分析与练习（40分钟）1.结合教科书上的例题，解析应用正弦定理和余弦定理解决问题的步骤和方法。

2.给学生提供一些练习题，让他们独立应用正弦定理和余弦定理解决问题。

a.从实际生活中选取一些与角度和边长相关的问题。

b.引导学生分析问题，设计求解方案。

c.学生独立解答问题，并讲解自己的解题思路和方法。

d.教师给予指导和点评，纠正错误。

四、总结与拓展（10分钟）1.总结正弦定理和余弦定理的概念及其应用方法。

2.引导学生思考其他情境中可以应用正弦定理和余弦定理的问题。

五、课堂小结（5分钟）1.学生回答课堂小结问题，检查掌握程度。

2.教师对本节课的教学进行总结，评价学生的表现。

六、作业布置（5分钟）1.布置练习题目，要求学生通过应用正弦定理和余弦定理计算求解。

高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)-最新

高中数学正余弦定理教案模板（精选7篇）作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。

如何把教案做到重点突出呢？这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案，方便大家学习。

下面是的为您带来的7篇《高中数学正余弦定理教案模板》，希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。

余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。

下面我分别从教材分析。

教学目标的确定。

教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。

一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。

平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。

本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。

在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。

二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。

引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。

人教版高中数学必修(五)1.1正弦定理和余弦定理教案(6)

1.1.1 正弦定理教学目标：1、掌握正弦定理及其证明；2、会初步运用正弦定理解斜三角形；3、在问题解决中，培养学生的自主学习和探究能力。

教学重点与难点：正弦定理及其证明过程教学过程：一、情境创设如图，在Rt △ABC 中，有 =,=,=1=a a c SinA SinB SinC c c c ，所以有a b c SinA SinB SinC== 问题：上述结论，对任意三角形也成立吗？二、学生讨论三、建构数学猜想：对任意三角形ABC ，都有a b c SinA SinB SinC== 不妨设C 为最大角，若C 为直角，结论已成立，如何证明C 为锐角、钝角结论也成立？师生共同活动，探讨证明思路？思路：b ac C A B (2)D B A c a b (1)D B A C b c正弦定理：△ABC 中，a b c SinA SinB SinC== 讨论：⑴正弦定理用语言可表述为：⑵正弦定理中含了哪几个等式？它们可解决斜三角形中哪些类型问题？四、数学运用例1、下列哪些条件可以使用正弦定理解三角形？例2、在△ABC 中，A=30°，C=100°，a=10，求b,c(精确到0.01)五、课堂检测△ABC 中：⑴已知A=75°，B=45°，C=C ，b ；⑵已知A=30°，B=120°，b=12，求a,c 。

六、回顾小结：课后反思： (4)(5)(3)(1)(2)96︒ 45︒89︒60︒ 45︒ 75︒ 20︒5799101088。

最新人教版高中数学必修5第一章《正弦定理和余弦定理》示范教案2

第二章解三角形本章教材分析1.本章知识框图2.解三角形一章既是初中解直角三角形内容的直接延伸,也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用,是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值.本章的中心内容是解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上.本章共分三节：§1正弦定理与余弦定理,§2三角形中的几何计算,§3解三角形的实际应用举例.正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系,它们是解三角形的两个重要定理.在实际测量中有许多应用,教科书介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用.本章内容具有很强的实践性,教科书安排了一个利用本章知识解决测量问题的实习作业.3.本章的引言从台风问题引入,若台风中心现位于某沿海城市正东方向300 km处,正以40 km/h的速度向西北方向移动,距离台风中心250 km范围内将会受其影响.如果风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间?这是我们经常听到的问题,也是我们经常关注的问题.要解决此类问题,有力工具之一便是解三角形的有关知识.这就点出了本章数学知识的实际背景,使学生初步认识学习解三角形知识的必要性.然后以一系列的实际问题引出本章要学习的数学知识.在初中,我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的一些测量问题.在实际工作中我们还会遇到许多其他的测量问题,这些问题仅用锐角三角函数就不够了.例如：(1)在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离;(2)测量底部不可到达的建筑物的高度;(3)在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度;(4)测量海上航行的轮船的航速和航向.这些问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识.在本章中,我们要学习正弦定理和余弦定理,并学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中的一些问题.4.本章的中心内容是解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上.章前图有与本章内容密切相关的海港和海上灯塔的背景图以及月球环形山照片,期望能够反映解三角形的理论和知识在天文、航海等人类探索自然的实践过程中所起的重要作用.5.本章的课程目标：学生在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系,并能运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理整体设计教学分析本节的主要任务是引入并证明正弦定理,在课型上属于定理教学课.做好正弦定理的教学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生的应用意识和实践操作能力,以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力.在初中学习过关于任意三角形中大边对大角,小边对小角的边角关系,本节内容是处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系;这里一个重要的问题是,是否能得到这个边、角关系准确量化的表示.由于涉及边角之间的数量关系,就比较自然地引导到三角函数上去.让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？”在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”.这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构.在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力.本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算,这是一种基本运算能力,学生基本上已经掌握了.若在解题中出现了错误,则应及时纠正,若没出现问题就顺其自然,不必花费过多的时间.三维目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法,会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.2.通过正弦定理的探究学习,培养学生探索数学规律的思维能力,培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力.通过学生的积极参与和亲身实践,并成功解决实际问题.3.通过本节学习,激发学生对数学学习的热情,培养学生独立思考和勇于探索的创新精神. 重点难点教学重点:正弦定理的证明及其基本运用.教学难点:正弦定理的探索和证明;已知两边和其中一边的对角解三角形时,判断解的个数. 课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(特例导入)教师可先通过直角三角形特殊性质引导学生推出正弦定理形式,如Rt △ABC 中的边角关系,若C 为直角,则有a=csinA,b=csinB,这两个等式间存在关系吗？学生可以得到Bb A a sin sin ,进一步提问,等式能否与边c 和∠C 建立联系？从而展开正弦定理的探究.思路2.(情境导入)如图1,某农场为了及时发现火情,在林场中设立了两个观测点A 和B,某日两个观测点的林场人员分别测到C 处出现火情发生.在A 处测到火情在北偏西40°方向,而在B 处观测到火情在北偏西60°方向,已知B 在A 的正东方向10千米处.现在要确定火场C 距A 、B 多远？将此问题转化为数学问题,即“在△ABC 中,已知∠CAB ＝130°,∠CBA ＝30°,AB=10千米,求AC 与BC 的长”.这就是一个解三角形的问题.为此我们需要学习一些解三角形的必要知识,今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理,由此展开新课的探究学习.图1推进新课新知探究提出问题①阅读本章引言,明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题?②回忆初中学习过的任意三角形中的边角关系,根据三角函数的定义,能否得到直角三角形中边、角量化的准确表示?③由②得到的关系式,对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然成立?④正弦定理的内容是什么,你能用文字语言叙述它吗?你能用哪些方法证明它?⑤利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢?活动:教师引导学生阅读本章引言,通过台风问题点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要,使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性.如教师可提出以下问题:怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识,让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理,并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题.关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系,教师引导学生探究其数量关系.先观察特殊的直角三角形.如图2,在Rt △ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c,图2根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有c a =sinA,c b =sinB, 又sinC=1=c c ,则A a sin =B b sin =Cc sin =c. 从而在Rt △ABC 中,A a sin =B b sin =Cc sin . 那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立呢?教师引导学生画图讨论分析.如图3,当△ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=asinB=bsinA,则.A a sin =Bb sin同理,可得C c sin =Bb sin . 从而A a sin =B b sin =Cc sin .图3(当△ABC 是钝角三角形时,解法类似锐角三角形的情况,由学生自己完成.)通过上面的讨论和探究,我们知道在任意三角形中,上述等式都成立.这就是我们今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即上述的探究过程就是正弦定理的证明方法,即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明.教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想,同时点拨学生观察正弦定理的特征.它指出了任意三角形中,各边与其对应角的正弦之间的一个关系式.正弦定理的重要性在于非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系,描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系.因为如果∠A<∠B,由三角形性质,得a<b.当∠A 、∠B都是锐角,由正弦函数在区间(0,2π)上的单调性,可知sinA<sinB.当∠A 是锐角,∠B 是钝角时,由于∠A+∠B<π,因此∠B<π-∠A,由正弦函数在区间(2π,π)上的单调性,可知sinB>sin(π-A)=sinA,所以仍有sinA<sinB.正弦定理的证明方法很多,除了上述的证明方法以外,教师点拨学生也可以借助于向量方法或利用初中所学的平面几何知识证明正弦定理.平面几何法:如图4,在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于C′,设BC′=2R,则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′=90°,∠C=∠C′,图4∴sinC=sinC ′=R c 2. ∴Cc sin =2R.同理,可得A a sin =2R,Bb sin =2R. ∴A a sin =B b sin =Cc sin =2R. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式A a sin =B b sin =Cc sin . 这种证明方法简洁明快.在巩固平面几何知识的同时,将任意三角形与其外接圆联系在一起,且引入了外接圆半径R,得到A a s i n =B b sin =Cc sin =2R 这一等式,其变式为a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可以更快捷地实现边角互化.特别是可以更直观看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系,为正弦定理的应用带来更多的便利. 向量法证明:教师可引导学生回忆思考向量知识,向量的主要作用之一是讨论几何度量问题,例如,长度和角度问题,从向量数量积的定义:a ·b =|a ||b |cosθ,其中θ为两向量的夹角.我们知道两个向量的数量积与它们之间夹角的余弦值有联系.向量的方法为我们探索三角函数提供了一种非常重要的思想方法,我们曾用它推导了两角差的余弦公式.如用它推导正弦定理首先需考虑通过三角函数的诱导公式sinθ=cos(90°-θ)将正、余弦转化,这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索.证明过程如下:(1)如图5,△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A,j 与的夹角为90°-C.图5 由向量的加法原则可得AC +CB =AB ,为了与图5中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到j·(AC +CB )=j AB , 由分配律可得j·AC +j·CB =j·AB . ∴|j|||cos90°+|j|||cos(90°-C)=|j|||cos(90°-A).∴asinC=csinA.∴A a sin =Cc sin . 同理,可得C c sin =B b sin .∴. A a sin =B b sin =Cc sin (2)如图6,△ABC 为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A-90°,j 与CB 的夹角为90°-C. 由A =+,得A j j j ∙=∙+∙,即a·cos(90°-C)=c·cos(A-90°),∴asinC=csinA. ∴A a sin =Cc sin .图6同理,可得B b sin =Cc sin . ∴A a sin =B b sin =C c sin . (3)当△ABC 为直角三角形时,A a sin =B b sin =Cc sin 显然成立. 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立.课本上用坐标法结合向量很巧妙地证出了正弦定理,过程如下:如图7所示,以A 为原点,以射线AB 的方向为x 轴正方向建立直角坐标系,C 点在y 轴上的射影为C′.图7 因为向量与在y 轴上的射影均为|C O '|,即|C O |=|AC |cos(A-90°)=bsinA, |C O |=|BC |sinB=asinB,所以asinB=bsinA, 即A a sin =Bb sin . 同理,A a sin =Cc sin . 所以A a sin =B b sin =C c sin .若A 为锐角或直角,也可以得到同样的结论.分析正弦定理可知,应用正弦定理可解决两类解三角形问题:(1)已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一角,并由正弦定理计算出三角形的另两边,即“两角一边问题”.这类问题的解是唯一的.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角,可以计算出另一边的对角的正弦值,进而确定这个角和三角形其他的边和角,即“两边一对角问题”.这类问题的解有时不是唯一的,需根据实际情况分类讨论.讨论结果:①—⑤略.应用示例例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩〔如图8(1)〕,其一角已破损.现测得如下数据:BC=2.57 cm,CE=3.57 cm,BD=4.38 cm,B=45°,C=120°.为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm).(1) (2)图8活动:如图8(2)所示,将BD,CE 分别延长相交于一点A.在△ABC 中,已知BC 的长及角B 与C,可以通过正弦定理求AB,AC 的长.解:将BD,CE 分别延长相交于一点A.在△ABC 中,BC=2.57 cm,B=45°,C=120°,A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°. 因为A BC sin =BAC sin , 所以AC=A B BC sin sin =15sin 45sin 57.2. 利用计算器算得AC≈7.02(cm).同理,AB≈8.60(cm).答:原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.点评:(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角及两角所夹的边,也是先利用三角形内角和定理180°求出第三个角,再利用正弦定理.(2)解三角形的实际问题中,数字计算往往较繁,可借助计算器或其他的计算工具.变式训练在△ABC 中(结果保留两个有效数字),(1)已知c=3,A=45°,B=60°,求b;(2)已知b=12,A=30°,B=120°,求a.解:(1)∵C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°,B b sin =Cc sin ,∴b==AB c sin sin 75sin 60sin 3≈1.6. (2)∵A a sin =Bb sin , ∴a=120sin 30sin 12sin sin =B A b ≈6.9. 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生在黑板上解答,以增强其自信心.例2 台风中心位于某市正东方向300 km 处,正以40 km/h 的速度向西北方向移动,距离台风中心250 km 范围内将会受其影响.如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到0.1 h)?活动:这是本章章头引言提到的问题,教学时可引导学生动手先画图,加强直观感知,明确两解的实际情况.这样学生在运用正弦定理求边、求角时,会感到目的明确,思路清晰流畅. 如图9所示,设该市在点A,台风中心从点B 向西北方向移动,AB=300 km.在台风中心移动过程中,当该中心到点A 的距离不大于250 km 时,该市受台风影响.图9解:设台风中心从点B 向西北方向沿射线BD 移动,该市位于点B 正西方向300 km 处的点A. 假设经过t h,台风中心到达点C,则在△ABC 中,AB=300 km,AC=250 km,BC=40t km,B=45°, 由正弦定理ABC C AB B AC sin sin sin sin ==, 知sinC=25325045sin 300sin == AC B AB ≈0.848 5. 利用计算器算得角C 有两个解:C 1≈58.05°,C 2≈121.95°.当C 1≈58.05°时,A=180°-(B+C 1)≈180°-(45°+58.05°)=76.95°,所以BC 1=45sin 95.76sin 250sin sin 1=B A AC ≈344.4(km), t 1=404.344401=BC ≈8.6(h). 同理,当C 2≈121.95°时,BC 2≈79.83 km,t 2≈2.0 h.t 1-t 2≈8.6-2.0=6.6(h).答:约2 h 后将要遭受台风影响,持续约6.6 h.点评:通过本例我们发现,已知两边和其中一边的对角,解三角形时会出现两解的情况.变式训练1.在△ABC 中,已知a=60,b=50,A=38°,求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).解:已知b<a,∴B<A,因此B 也是锐角.∵sinB=6038sin 50sin=a A b ≈0.513 1, ∴B≈31°.∴C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°.∴c=38sin 111sin 60sin sin =A C a ≈91. 点评:同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边c 的两个解.此题属于a≥b 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边、小角对小边这一边角关系来排除B 为钝角的情形.教师可点拨学生模仿例题,先画图观察.2.在△ABC 中,已知a=28,b=20,A=120°,求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).解:∵sinB=28120sin 20sin=a A b ≈0.618 6, ∴B≈38°或B≈142°(舍去).∴C=180°-(A+B)=22°.∴c=120sin 22sin 28sin sin =A C a ≈12. 点评:(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.本题中A 为钝角且a>b,所以有一解,可让学生画图观察.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解.例3 在△ABC 中,A=45°,B ∶C=4∶5,最大边长为10,求角B 、C,外接圆半径及面积S.活动:教师引导学生分析条件B ∶C=4∶5,由于A+B+C=180°,由此可求解出B 、C,这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形,显然其解唯一,结合正弦定理的平面几何证法,由此可解三角形,教师让学生自己探究此题,对于思路有阻的学生可给予适当点拨.解:由A+B+C=180°及B ∶C=4∶5,可设B=4k,C=5k,则9k=135°,故k=15°.那么B=60°,C=75°.由正弦定理R=︒2sin7510=5(26-), 由面积公式S=21bc·sinA=21c·2RsinB·sinA=75-253. 点评:求面积时,b 未知但可转化为b=2RsinB,从而解决问题.变式训练1.在△ABC 中,(a 2+b 2)sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,则△ABC 是…( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析:运用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB 以及结论sin 2A-sin 2B=sin(A+B)sin(A-B), 由(a 2+b 2)sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,∴(sin 2A+sin 2B)sin(A-B)=(sin 2A-sin 2B)sinC=sin(A+B)·sin(A-B)·sinC.若sin(A-B)=0,则A=B.若sin(A-B)≠0,则sin 2A+sin 2B=sin 2C ⇒a 2+b 2=c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D.答案:D2.在△ABC 中,若acosA=bcosB,则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案:D3.已知△ABC 中,A ∶B ∶C=1∶2∶3,那么a ∶b ∶c 等于( )A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.1∶3∶2D.2∶3∶1答案:C例4 如图10,在△ABC 中,=(x,y),=(u,v).求证:△ABC 的面积S=21|xv-yu|. 活动:教师引导学生从三角形面积入手,借助向量的模的运算解决.图10证明:S=21|AB |·|AC |sinA=21=21=21=21因为=(x,y),=(u,v), 所以S=2122222)())((yu xu v u y x +-++ =212yu)-(xv=21|xv-yu|. 点评:通过本例体现三角与向量的交汇,突出向量的工具性.知能训练课本本节练习1和练习2.课堂小结1.先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形需要注意的问题,特别是两解的情况应怎样理解.2.我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想,以“直角三角形”作为问题情境,由此展开问题的全面探究;同时结合平面几何知识、结合向量的数量积与三角函数的关系,我们又探究了正弦定理的另外两种证明方法.要注意领悟这些证明方法的思想内涵,并要求学生课下继续探究正弦定理的其他证明方法.作业1.课本习题2—1 A 组3、4.2.预习下一节余弦定理.设计感想本教案设计思路是：立足于所创设的情境,通过学生自主探索、合作交流,让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程,使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”,切身感受创造的快乐,知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实.本教案的设计流程清晰流畅,环环相扣,课堂容量较大,时刻注意引导并鼓励学生提出问题.一方面鼓励学生大胆地提出问题;另一方面注意妥善处理学生提出的问题,启发学生抓住问题的数学实质,将问题逐步引向深入.。

高中数学余弦定理教案(优秀5篇)

高中数学余弦定理教案（优秀5篇）高中数学余弦定理教案篇一一、说教材(一)教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。

本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了边与角的互化，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。

(二)教学目标根据上述教材内容分析以及新课程标准，考虑到学生已有的认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为：⒈知识与技能：掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形⒈过程与方法：在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。

⒈情感、态度与价值观：培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值；(三)本节课的重难点教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。

教学关键是：熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。

下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、说学情从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程；从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。

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高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案
【导语】高考竞争异常激烈，千军万马争过独木桥，秋天到了，而你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。

这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡之中的张力却只有真正的勇士才可以破译。

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教案【一】
教学准备
教学目标
进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.
教学重难点
教学重点：熟练运用定理.
教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.
教学过程
一、复习准备：
1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.
2.讨论各公式所求解的三角形类型.
二、讲授新课：
1.教学三角形的解的讨论：
①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化?
②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)
②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.
2.教学正弦定理与余弦定理的活用：
①出示例2：在△ABC中，已知
sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦.
分析：已知条件可以如何转化?→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.
②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.
分析：由三角形的什么知识可以判别?→求角余弦，由符号进行判断
③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.
分析：如何将边角关系中的边化为角?→再思考：又如何将角化为边?。