亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理
流体力学中有关涡旋的动力学性质的定理
流体力学中有关涡旋的动力学性质的一个著名定理。
它指出，在无粘性、正压流体中，若外力有势，则在某时刻组成涡线、涡面和涡管的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线、涡面和涡管，而且涡管强度在运动过程中恒不变。
中文名亥姆霍兹定理外文名Helmholtz'stheorems
流体力学中有关涡旋的动力学性质的一个著名定理。
它指出，在无粘性、正压流体中，若外力有势，则在某时刻组成涡线、涡面和涡管的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线、涡面和涡管，而且涡管强度在运动过程中恒不变。
意义
亥姆霍兹定理和开尔文定理合在一起全面地描述了在无粘性、正压、外力有势这三个条件下流体中涡旋的随体变化规律。
首先，流体运动的涡旋性是保持的，即某时刻有旋则永远有旋，某时刻无旋则永远无旋。
其次，对于有旋运动，涡线、涡管永远由相同的流体质点组成，并且涡管的强度不随时间改变，好像流体质点和涡旋强度冻结在涡线、涡管上，随涡线、涡管一起运动。
可见涡旋随体变化的最主要的性质是保持性或谓冻结性。
破坏涡旋保持性，使涡旋产生和消失的三个主要因素是：流体的粘性、流体的斜压性以及外力无势。
贸易风和船舶航行时船尾后面不断产生的涡旋便是斜压性、外力无势产生涡旋和粘性产生涡旋的两个例子。
2.4矢量场的环量及旋度分析
1 (er e ez ) r r z 1 (rFr ) 1 F Fz F (r ) r r r z
3) 在球面坐标系下： 1 1 (er e e ( ) ) r r r sin
1、散度的定义 在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 V ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
divA( r ) lim
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
F (r ) lim
s
F (r ) dS V
V
d lim V V dV
由于 F 是通量源密度， 即穿过包围单位体积的闭合面的 通量，对 F 体积分后，为穿 出闭合面S的通量
式中：S为包围V的闭合面
则在一定体积V内的总的通量为：
F (r )dV
S
( A) dS
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该 矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。
斯托克斯定理的证明： 由旋度的定义
S 0
c
lim
c
Α dl S
ˆn rot A e
c
A d l ( A) dS
)
c1
A dl ( A) dS1 A dl ( A ) dS2
旋度
ˆ S S n
A
矢量场除了有散度源外，还有另一种源—旋度源。
P
空间中，取一有向闭合路
1.6无旋场与无散场
q q 1 E 4r 4 r
1 'E (r ' )dV ' 4r V
q 4r
qr 4r 3
小结
1）矢量场的源 2）矢量场按源的分类 3）亥姆霍兹定理
二、矢量场按源的分类 1）无旋场 仅有散度源而无旋度源的矢量场 这种场一定无旋涡
F dl 0
l
这种场的旋度处处为零 因为
F 0
线积分和路径无关 因此是保守场
0
因此这种场可以用标量场的梯度表示
F
例：静电场
2)无散场
仅有旋度源而无散度源的矢量场 这种场无通量源 F dS 0
0
2
4）既可能有散，也可能有旋的矢量场 这样的场可分解为两部分： 无旋场部分和 无散场部分
F (r ) (r ) A(r )
无旋场部分 无散场部分
三、亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理 : 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界， 源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定 后，该矢量场可表示为
S
这种场的散度处处为零 因为
F 0
A 0
F A
因此这种矢量场可以表示为另一个矢量场的旋度
例如，恒定磁场
3）在要讨论的场区，既无旋又无散 源在要讨论的区域之外 F 0 F () 0 F 0
V
求远离散度源区域处的矢量场E 。
r' 在远离散度源区域处， ｜ｒ｜＞＞｜ ｜， 可近似认为 r r ' r
E
解：由亥姆霍兹定理，因为E是无旋场，则
1 ( r ) 4 ' E (r ' ) dV ' r r' V
《电磁场理论》1.6 亥姆霍兹定理
u0
2
4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
F (r ) Fl (r ) FS (r ) u(r ) A(r )
无旋场部分 无散场部分
无旋场与无散场可以看成是两种基本的矢量场，任一矢量场 都可以分解为无旋场部分与无散场部分之和，也就是说，任一矢 量场都可以表示为一标量场的梯度与另一矢量场的旋度之和。 4 F (r ) Fl (r ) Fs (r )
2)无源有旋场
若矢量场 F (r ) 在某区域V内，处处 F 0 ，但在 某些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该 区域V内，场 F (r ) 为有旋无源场。 2 说明：式中 J 为矢量场漩涡源密度。
F 0
重要性质：
S
F (r ) dS F (r )dV 0
由散度定理
AdV
V
S
A dS
S
A ndS
设 A ( 和 为空间区域内两个任意的标量函数）
A ( ) 2
2
A n n
dS 得格林第一恒等式 ( )dV V S n
说明：
F (r ) u (r ) A(r )
1）矢量场 F 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量 函数的旋度来表示。此标量函数由 F 的散度和 F 在 边界S上的法向分量完全确定；而矢量函数则由 F 的旋度和 F 在边界面S上的切向分量完全确定；
2）由于 [u (r )] 0, [ A(r )] 0 ，因而一个 矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和，即
1.6 亥姆霍兹定理和格林定理
一、矢量场的分类
1-4亥姆霍兹定理
— — Helmholtz Theorem
(1)总结了 (标量、矢量 )场的基本性质
(2)散度方程和旋度方程— — 矢场的基本微分方程
(3)闭合面通量和闭合线环流— — 矢场基本积分方程
(4)标量场性质完全可以由它的梯度来表明
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无旋＋F无散r
＝ − ∇U＋∇ × A
两个恒等式(可逆 )
(1)标量场梯度的旋度为零
r r ∇Ur= F无旋 保守r性
∫Q F无旋 • dl ≡ 0 Q∇ × F无旋 ≡ 0
C
— — 逆定理…？
(2)矢量场旋度的散度为零
r ∇ • (∇r × A) ≡ 0 ∇ • F无散 ≡ 0 — — 逆定理 … ？
亥姆霍兹定理(公理 )
定理的本质：
S
C
Helmholtz Theorem
Fr＝
−
∇U＋∇
×
r A
微分、积分方程
Helmholtz Theorem
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无旋＋F无散 r
＝ − ∇U＋∇ × A
矢场的基本微分方程
— — 散度方程和旋度方程
矢场的基本积分方程 — — 闭合面通量和闭合线环流
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无散＋F无旋
矢场的基本微分方程
— — 散度方程和旋度方程
r
rr
r
{ ∇ • Fr = ∇ • (Fr无散＋Fr无旋) = ∇ • Fr无旋 = ? ∇ × F = ∇ × (F无散＋F无旋 ) = ∇ × F无散 = ?
矢场的基本积分方程 — — 闭合面通量和闭合线环流
EM2014-Chapter-1-3-格林定理和亥姆霍兹定理
F (r ) J (r )
已知梯度场为无旋场，旋度场为无散场，因此，根据亥姆霍兹定理，任一矢 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和 。 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。
7
上述亥姆霍兹定理是针对无限区域 而言的，如果是有限区域 有限区域，任一 ，任一 上述亥姆霍兹定理是针对无限区域而言的，如果是 矢量场仍可表示为一个无旋场与无散场之和，但必须考虑区域边界上的 边值条件。 边值条件。 如果已知矢量场在有限区域的散度和旋度，以及矢量场的边值条件， 利用亥姆霍兹定理即可求出该矢量场的空间分布。因此，矢量场的散度 及旋度特性是研究矢量场的首要问题 。 及旋度特性是研究矢量场的首要问题。 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 定，有限区域中的矢量场被其散度、旋度和区域边界上的边值条件惟一 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 静电场、恒定磁场和时变电磁场时，将会把经过实验定律验证的矢量场 的散度和旋度作为基本假设 ，由此推导出描述矢量场特性 特性和计算矢量场 和计算矢量场 的散度和旋度作为基本假设，由此推导出描述矢量场 空间分布的相关公式或关系式。 空间分布的相关公式或关系式。
V
式中，S为包围V的闭合曲面，面元dS的方向为S表面的外法线方向。 以上两式称为矢量第一格林定理 ，或者，矢量格林第一恒等式 矢量格林第一恒等式，有时也称为 ，有时也称为 以上两式称为矢量第一格林定理，或者， 标量格林第一恒等式的矢量模拟 。 标量格林第一恒等式的矢量模拟。
矢量第一格林定理的证明
根据矢量恒等式
[ A ( B ) B ( A)] dS B [ ( A)] A [ ( B )] dV
[亥姆霍兹定理的证明.doc](可编辑修改word版)
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例16 求V3解由上节例中可知因此根据（1.41c）式式中代人，在r#r'，即及式0处V）J_ = A_ A^o R R3 V但由上式不能确定V2j在r-/点，即7?=0点的值，为此，计算▽■募V V 5以上应用了髙斯定理将体积分转换为面积分。
如果以上体积分中不包含/点，则在体积分体积中R^O,体积分的被积函数为零，积分也为零；如果以上体积分中包含r1点，可将积分体积设为中心在点，以a为半径的球，则在该球面上半径R=a为常数，X的方向与球面的法线方向相同，因此也就是—忐去=0对于三维＜函数8(R)^S(r-r')^S(x~x' )S(y~y' )5(z—/)，有S⑻=0 穴关0卜dv C比较可知-忐去4⑻即去=—inS(R)(1.4-12)去)dV =fl▽■▽I:-7▽ 2^dV=_V亥姆霣兹定理：若矢量场f•在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为F(r) =- ▽0(r) +V X A(r) 式中V 证根据5函数的性质F(r) = JJ - r)dW(1.6-3)(1-6-4)(1- 6-5)(1.6-6) 将= 代人上式，V考虑到微分运算与积分运算的变量不同，由上式可得v^v\AV ， V利用矢量恒等式,VXVX4=W-A-V !A,上式可写为 F(r> 二—▽▽ ■i^dW) + V X V X j^d^) V V即F(r) =—▽*+▽ x A 0(r) = V •仲)=v X i^VT dr > V(1.6-3)式得证。
将(1.6-8)和(1.6-9)式中的徽分与积分运算交换次序，分别得 中⑺：O=認▽ xV =—W X vVFC^ x v ，T^VT dv ，二 a厦,V V r X F<〆) 式中(1.6-7〉(1.6-8)(1.6-9〉V- M s(1.6-10)(1.6-11)打〆).v (t , \-|)dy ，A(r) = ▽ X<1.6-10)和(1.6-11)式的体积分是无限空间区域，封闭面积分是包围无限大空间区域的无限大的曲面。
亥姆霍兹定理
一、亥姆霍兹定理
在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界 条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是 亥姆霍兹定理的内容。
二、矢量场的分类
根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类： 调和场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处有： F 0和 F 0 则在该区域V内，场 F (r )为调和场。
已知
矢量F的通量源密度 矢量F的旋度源密度 场域边界条件
在电磁场中
电荷密度 电流密度J （矢量A唯一地确定） 场域边界条件
无源有旋场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处 F 0 ，但在某 些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该区域V 内，场 F (r )为无源有旋场。
有源有旋场
若矢量场F (r )在某区域V内，在某些位置或整个空间内，
有 F 0和 F J 0 ，则称在该区域V内，
场F (r )为有源有旋场。
注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。
有源无旋场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处 F 0 ，但在某
些位置或整个空间内，有 F 0 ，则称在该区域V
内，场 F (r )为有源无旋场。
讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理
c F(r ) dl 0
结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源 无旋场也称保守场。
有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场的叠加，即：
F (r ) F ) 0
Fs (r ) 0 Fs (r ) J
F (r ) Fl (r ) F (r ) Fs (r ) J
亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。
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➢ 为什么讨论？ ➢ 稳态场与时变场的对比 ➢ 稳态场方程是麦克斯韦方程的特例
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 研究思路、研究内容
实验定律、 定义物理量
亥姆霍兹定理
F ?
F ? F A
库仑定律和电场强度
静电场的环路定理 高斯通量定理 电位函数 电位移矢量
媒质分界面上场量 的方程
分界面上的衔接条件
静电场的源 静电场的时间特性
研究思路、研究内容
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 静电场的源 ➢ 为什么讨论？ ➢ 场源的特点决定着场的性质
➢ 相对于观察者静止且量值不随时间变化的电 荷 产生静电场
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 静电场的时间特性 ➢ 静电场是稳态场，物理量仅是空间位置的函数， 与时间无关，即 • 0
边界条件 微分方程1
介质1
衔接条件 微分方程 2 介质2
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 研究思路、研究内容
定解条件 (边值问题)
静电场的边值问题 唯一性定理
分析解法
镜像法和电轴法
和电路参数的关系
电容和部分电容
能量
静电场的能量
本节要点
➢ 本节的研究目的
本课程要研究哪些内容？
➢ 本节的研究内容
亥姆霍兹定理 — 研究电磁场的主线
F A
1 F(r)
(r)
dV
4 V rБайду номын сангаас r
1
A(r )
F(r) dV
4 V r r
亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理的意义—研究电磁场的主线 本课程的研究任务：场矢量的散度和旋度； 本课程的研究任务：场矢量的位函数； 本课程的研究任务：场矢量位函数的边值问题；
以静电场为例：介绍场的研究方法
亥姆霍兹定理
➢ 本节的研究目的
本课程要研究哪些内容？
➢ 本节的研究内容
亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理
在空间有限区域内的某一矢量场 F ，由它的散度、旋度和边 界条件(即包围V的闭合曲面S上的矢量场的分布)唯一地确定。 还可表述为：当给定了矢量场F 的通量源密度和漩涡源密度 以及场域的边界条件，就可以唯一地确定该矢量场。