工程数学 习题七、九、十、十一解答
2021自考本科工程数学(线性代数、复变函数)习题答案
2021自考本科工程数学（线性代数、复变函数）习题答案一、单项选择题：1. A2. C3.C4.C5.C6.B7.B8.C9.D 10. B 11. C 12. A 13.B 14.A 15.D 16.A 17.D 18.D 19.D 20. A 21. D 22. C 23.D 24.A 25.D 26.D 27.A 28.B 29.D 30. B 31. A 32. A 33.B 34.B 35.B 36.C 37.D 38.D 39.C 40. D 41. D 42. B 43.B 44.A 45.A 46.D 47.B 48.B 49.C 50. C 51. C 52. D 53.A 54.B 55.A 56.B 57.B 58.C 59.D 60. D 61. C 62. B 63.A 64.A 65.D 66.D 67.C 68.A 69.D 70. B 71. C 72. B 73.D 74.C 75.B 76.B 77.C 78.C 79.D 80. D 二、填空题81.2- 82.()E A 321+ 83.1+x 84.6- 85.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-302022221086.i e 2π- 87．()为整数k k i ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+422ln 21ππ 88. 089.()z e z z z +-+cos 1sin 90. 291.⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-12-2-92.7 93.4- 94.()9-5-04- 95.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-01-21-01-196.i z -3-= 97．iπe z 2=98. 0 99.()41-5z 100. 发散 101.3102. 无关 103.3 104.18105.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----110122021 106.常数 107．πi π23+23sin cos108. 0 109.ze z z z +-sin cos 110.22111. 6112. -7 113. 27 114. -1115.32232221442x x x x x +--116.i 8-117.⎪⎭⎫⎝⎛+4sin4cos2ππi 118.0 119.21z - 120.收敛121.5 122. 1± 123.AB 124.相125.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3021022121211126.i 16316-- 127．i e 32π128. 0 129.2- 130. 3 131.3或2- 132.E A 5351- 133.3 134.1 135.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121240101136.133 137.）4sin 4(cos 22ππi z +=138.0 139.8- 140.1 141. 2-142. 6143. ⎛ ⎝ 144. 2 145.211130101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭146.3- 147. 2 148. 0149. 1- 150. 1 151.2±152. 1153.()565，， 154.7- 155.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---321210102156.ie42π- 157．3 158. 0 159.61-160.22 三、计算题161.由已知有B A AX -=2且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-4613513411A故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-11-13-211102811=-2=1-)(B A A X162．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=0000031000101102010162963462644121121112),,,(4321αααα 故421,,ααα是一个极大无关组且4215421332,0αααααααα--=+--=163. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=00001531005101101311122121~A 可得一般解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3335351x x x X得到一个特解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0100η导出组基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=153511η通解为()为任意常数k k X 10ηη+=164. 由0)5)(1)(2(2341432=--+=+----=-λλλλλλλA E得A 的特征值5,2,1321=-==λλλ对于11=λ，解齐次线性方程组0)(=-X A E ，得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0131η故属于11=λ的全部特征向量为1ηk (k 为任意非零常数)对于22-=λ，解齐次线性方程组0)2(=--X A E ，得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1218751ξ故属于22-=λ的全部特征向量为1ξk (k 为任意非零常数)对于53=λ，解齐次线性方程组0)5(=-X A E ，得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111ν故属于53=λ的全部特征向量为1νk (k 为任意非零常数) 165．21=3+1-3⋅-1-12+1=2iii i iz 166．在C 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周1C 与2C ，1C 只包含奇点1=z ，2C 只包含奇点1-=z故⎰⎰⎰+--+-+-=+--2111231123)1)(1(23C C C dz z z z dz z z z dz z z z 1112321232-==--++-=z z z z i z z i ππi π6=167.()()()()∑∞=----=----=---=--=0111111*********n nz z z z z z z z z f168．2233y x x u -=∂∂，xy y u 6-=∂∂，x x u 622=∂∂，x yu 622-=∂∂ 22220u ux y∂∂+=∂∂，故(,)u x y 为调和函数 ()()()2223633z xy i y x z f =---=' ()C z z f +=3由(0)f i =得C i =故()i z z f +=3169.()()01-1-1+2=1+1+1+2=+++y x y x xy y x yxx yx y x y y x yxyx x y x y y x y x()()[]()332+2-=---+2=y x xy y x y x170.由()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000111012101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210253143212=4321~αααα故12,αα为一个极大无关组，(1分) 则有214213+=+21=αααααα，.171.对增广矩阵B 进行初等行变换，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000021-101-201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6-91-4132-835-42-14132=~B 可得一般解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2+1-2-=333x x x X得到一个特解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021-=0η导出组基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112-=1η通解为 172. 由0)4)(1(322=+-=+=-λλλλλA E得A 的特征值4,121-==λλ （2分）对于11=λ，解齐次线性方程组0)(=-X A E ，得基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121η故属于11=λ的全部特征向量为1ηk (k 为任意非零常数)（2分）对于42-=λ，解齐次线性方程组0)4(=--X A E ，得基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211ξ故属于42-=λ的全部特征向量为1ξk (k 为任意非零常数)（2分） 173.因为()i i i i i i z 25-23=3+3-21--=-13-1=所以()()25-=23=z z Im ,Re .174.i e πie πdz z e z zCz22=2=2=2-⎰.175.2222101111121111112112(1)(2)1211z z z z z z z z z z z+++=-+=-⋅+⋅------ ()为任意常数k k X 10ηη+=z <+∞，从而2121,1z z<<z <<+∞内有2(1)122200010111111221()()()[2(1112)11](1)(2)n n n nn n n n z z z z z z z z z z z∞∞∞++===++=-⋅+⋅=⋅+---∑∑∑ 176.因为()1sin sin cos +++=∂∂y y x y y e x vx ，()1cos sin cos ++-=∂∂y x y y y e yv x 由()1cos sin cos ++-=∂∂=∂∂y x y y y e yv x u x ， 得()[]()()y g x y y y x e dx y x y y y eu x x++-=++-=⎰sin cos 1cos sin cos ，由yux v ∂∂-=∂∂，得 ()()）y g y y y y x e y y x y y e x x (sin cos sin 1sin sin cos '-++=+++ 故()c y y g +-=因此()c y x y y y x e u x+-+-=sin cos而()()()[]y x y x y y ei c y x y y y x e z f xx+++++-+-=sin cos sin cos()()c i iy i x e iye e xe iy x iy x ++++++=11即为()()c z i ze z f z+++=1由0)0(=f ，得0=c ，所以所求的解析函数是()()z i ze z f z++=1 177.()18=2111110016=1322133211=13262132000132123------ 178.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1000011011101111~0220200022201111~131********11111)(4321αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000100001-100201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000100001-100111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100011-101111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001-00011-101111~~~~ 所以：3)(4321=ααααr ，421,,ααα是一个极大无关组,且421302αααα+-= 179.对增广矩阵B 进行初等行变换，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000100021021-211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11-1-12212-24111-12=~B 得到一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021=0η导出组基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01021=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00121-=11ηη,通解为22110++=ηk ηk ηX 为任意常数）（21k k , 180.αλαA 1=故⎪⎩⎪⎨⎧3=2-2-=10+=6-111λs λt λ, 解得9=2=6-=1s t λ,, 181. 由于()()()i y x i y x i y i x +1=18-5+3-+4-3+5341=3+53-+1+ 比较等式两端的实部和虚部，得⎩⎨⎧52=5+3-38=3+5y x y x ，得11=1=y x , 182.()i πi πdz i z z C 14=3+42=⎪⎭⎫⎝⎛2+3+1+4⎰ 183.()()011111233313nn n z f z z z ∞=+==-=-+-⎛⎫- ⎪⎝⎭∑=()1013nn n z ∞+=+-∑,1<31+z 184.因为223123y xy x yv x u -+=∂∂=∂∂，所以 ()()()⎰+-+=-+=x g y xy y x dy y xy x y x v 32222633123,，因为yux v ∂∂-=∂∂,所以())666(66222y xy x x g y xy ---='++ ()26x x g -='，即()c x dx x x g +-=-=⎰3226，且()c x y xy y x y x v +--+=3322263,，由，得，故()=z f ()321z i -185.71134-017-18-09--=71120-215-4-27--=711025102021421403417189=----=186.初等行变换矩阵),,,,(54321ααααα到行最简梯矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=000000110031310103132001~121304601421110325271),,,,(54321ααααα 可得向量组的秩为3，向量组的一个极大无关组为321,,ααα，且41235122111,3333ααααααα=++=-+187. 对增广矩阵B 进行初等行变换，有()()()ic z i c x y xy y x i y xy y x x z f +-=+--++--+=333223223212632360)0(=f 0=c⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=000004147231045432301~089514431311311B 此时齐次线性方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧47+23=43-23=432431x x x x x x ，分别令1=0=0=1=4343x x x x ，；，得齐次线性方程的一组基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10474301232321X X ，得非齐次线性方程组的一个特解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0041450X由此得原方程的全部解为22110++=X k X k X X ，（其中21k k ,为任意常数）188.()31+-=-2-01-3-3-521--2=-λλλλE λA ，故A 的特征值为1-=λ 对于特征值为1-=λ，由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+000110101~101325213E A得方程()0=+x E A 的基础解系()Tp 1-11=1,,，向量1p 就是对应于特征值1-=λ的特征值向量。
工程数学(本)形考1-5参考答案
参考答案1（数学里面公式只能以图片形式显示）
参考答案2（数学里面公式只能以图片形式显示）试题
1：
试题
2：
参考答案3（数学里面公式只能以图片形式显示）
参考答案4（数学里面公式只能以图片形式显示）
试题10答案：
证明：（A+A′）′=A′+(A′) ′=A′+A=A+A′
∴A+A′是对称矩阵
试题11答案：
证明：∵A是n阶方阵，且AA′=I
∴|AA′|=|A||A′|=|A|2=|I|=1
∴|A|=1或|A|= -1
试题12答案：
证明：设AX=B为含n个未知量的线性方程组
该方程组有解，即R（?）= R（A）=n
从而AX=B有唯一解当且仅当R（A）=n
而相应齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是R(A)=n
∴AX=B有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX=0只有零解
参考答案5（数学里面公式只能以图片形式显示）。
工程数学参考答案
工程数学参考答案工程数学参考答案工程数学是一门应用数学学科，它主要研究数学在工程领域中的应用。
在工程实践中，数学是一种重要的工具，它可以帮助工程师解决实际问题，优化设计方案，并提高工程的效率和质量。
在学习工程数学的过程中，参考答案是一个非常重要的辅助工具，它可以帮助学生检查自己的答案，理解问题的解决方法，并提高解题能力。
工程数学涉及的内容非常广泛，包括微积分、线性代数、概率统计、离散数学等。
每个学科都有一套特定的解题方法和技巧。
在学习过程中，学生需要通过大量的练习来巩固所学的知识，并培养解决实际问题的能力。
参考答案可以帮助学生检查自己的答案是否正确，找出解题过程中的错误，并了解正确的解题思路。
在使用参考答案时，学生需要注意以下几点。
首先，参考答案只是一种参考，学生不能完全依赖答案来解题，而应该通过自己的思考和分析来解决问题。
其次，学生应该理解答案的解题思路和方法，而不仅仅是记住答案。
只有理解了解题思路，学生才能在遇到类似问题时独立解决。
最后，学生在使用参考答案时，应该注重练习和实践，通过大量的练习来巩固所学的知识，并提高解题能力。
除了参考答案，学生还可以通过其他途径来提高工程数学的学习效果。
例如，可以参加数学建模竞赛，这是一个锻炼解决实际问题能力的好机会。
此外，学生还可以参加相关的学术讲座和研讨会，了解最新的研究成果和应用案例，拓宽自己的视野。
工程数学的学习不仅仅是为了应付考试，更重要的是培养学生的实际问题解决能力。
在实际工程中，数学是一种强有力的工具，它可以帮助工程师分析和解决复杂的问题。
因此，学生在学习工程数学的过程中，应该注重理论与实践的结合，培养解决实际问题的能力。
综上所述，工程数学参考答案是学生学习的重要辅助工具。
通过参考答案，学生可以检查自己的答案，理解解题思路，并提高解题能力。
然而，学生在使用参考答案时应该注意合理使用，注重理解和实践，才能真正提高工程数学的学习效果。
希望本文对工程数学学习有所帮助，让学生更好地掌握这门学科。
工程数学单元测试参考答案
工程数学单元测试参考答案工程数学单元测试参考答案一、选择题1.答案：B。
根据题意，两个向量相加的结果是另一个向量，所以选项B正确。
2.答案：C。
根据题意，两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值，所以选项C正确。
3.答案：A。
根据题意，两个向量的叉积是一个向量，所以选项A正确。
4.答案：D。
根据题意，两个向量的叉积的模长等于它们的模长乘积与它们夹角的正弦值，所以选项D正确。
5.答案：C。
根据题意，两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值，所以选项C正确。
二、填空题1.答案：2。
根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式不等于0可知，方程组有唯一解，所以填2。
2.答案：(1, 2)。
根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式等于0可知，方程组有无穷多解，所以填(1, 2)。
3.答案：-1/2。
根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式等于0可知，方程组无解，所以填-1/2。
三、计算题1.答案：(2, -1)。
根据题意，对于二维向量的加法，将两个向量的对应分量相加即可，所以计算结果为(2+0, -1+(-1))=(2, -1)。
2.答案：(3, 0, -4)。
根据题意，对于三维向量的加法，将两个向量的对应分量相加即可，所以计算结果为(1+2, 0+0, (-1)+(-3))=(3, 0, -4)。
3.答案：(1, -1, -1)。
根据题意，对于两个向量的数量积，将两个向量的对应分量相乘再相加即可，所以计算结果为(1×1+(-1)×(-1)+(-1)×(-1))=(1, -1, -1)。
四、证明题1.答案：证明：设向量a=(a1, a2, a3)，向量b=(b1, b2, b3)，向量c=(c1, c2, c3)。
根据向量的数量积的性质，有：a·(b+c) = a1(b1+c1) + a2(b2+c2) + a3(b3+c3)= a1b1 + a1c1 + a2b2 + a2c2 + a3b3 + a3c3= (a1b1 + a2b2 + a3b3) + (a1c1 + a2c2 + a3c3)= a·b + a·c所以，向量的数量积满足分配律。
工程数学练习习题
综合练习一、单项选择题1．设为阶矩阵，则下列等式成立的是（）．A．B．C．D．正确答案：A2．方程组相容的充分必要条件是（），其中，．A．B．C．D．正确答案：B3．下列命题中不正确的是（）．A．A与有相同的特征多项式B．若是A的特征值，则的非零解向量必是A对应于的特征向量C．若=0是A的一个特征值，则必有非零解D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量正确答案：D4．若事件与互斥，则下列等式中正确的是(）．A．B．C．D．正确答案：A5．设是来自正态总体的样本，则检验假设采用统计量U =(）．A．B．C．D．正确答案：C6．若是对称矩阵，则等式()成立．A.B。
C.D。
正确答案：B7．( ）．A。
B。
C。
D。
正确答案：D8．若（)成立，则元线性方程组有唯一解．A。
B。
C。
D。
的行向量线性相关正确答案：A9. 若条件(）成立，则随机事件,互为对立事件．A.或B。
或C。
且D。
且正确答案：C10．对来自正态总体（未知）的一个样本，记,则下列各式中（）不是统计量．A。
B。
C.D.正确答案: C二、填空题1．设，则的根是．应该填写：1，—1，2，—22．设4元线性方程组AX=B有解且r（A)=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有个解向量．应该填写:33．设互不相容，且，则．应该填写:04．设随机变量X ~ B(n，p），则E（X)= ．应该填写：np5．若样本来自总体,且，则．应该填写：6．设均为3阶方阵,，则．应该填写：87．设为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量，使得，则称为相应于特征值λ的特征向量．应该填写：8．若，则．应该填写：0.39．如果随机变量的期望，,那么．应该填写：2010．不含未知参数的样本函数称为．应该填写：统计量三、计算题1．设矩阵，求．解：由矩阵乘法和转置运算得利用初等行变换得即2．求下列线性方程组的通解．解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即→→→方程组的一般解为：，其中,是自由未知量．令，得方程组的一个特解．方程组的导出组的一般解为：，其中，是自由未知量．令,,得导出组的解向量；令，，得导出组的解向量．所以方程组的通解为：，其中，是任意实数．3．设随机变量X ~ N（3，4）．求：（1）P（1< X〈7);（2）使P(X〈a）=0。
工程数学作业题参考答案
《工程数学》作业题参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1. i =5，k = 4；2. 40；3. 2-n A；4. 2442222136x x x x x x --+；5.2-；6. 充分。
7. 1. 16；8.n 2;9. r = n ， r<n ; 10. -17; 11. 11<<-t 。
二、简答题（每小题4分，12分）1． 举出任何反例皆可。
当BA AB =时，等式2222)(B AB A B A ++=+成立。
2． 一定不为零。
若A 的特征值0=λ，则存在0 ≠x 使得0 ==x x A λ，即方程0=x A 有非零解，所以0=A ，即A 不可逆，与已知矛盾。
3． 不相似。
否则有可逆阵C 使C -1AC=B ，即A=B ，矛盾。
4． 分别是A B A k B A B ==-=,,(4分)。
5． 不相似(2分)。
否则，存在可逆阵C 使C-1AC=B ，即A=B ，矛盾(2分)。
6．B A +一定为正定阵因为0,00,,>>≠∈∀x B x x A x x R x ，B A T T n有所以为正定阵，从而0)(>+x B A x T ，所以B A +一定为正定阵。
三、计算题（一）（每小题8分，共32分） 1. 值为120（答案错误可适当给步骤分）。
2. 解：由X A E AX +=+2化简得))(()(E A E A X E A +-=-，E A E A --=-故,1可逆，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=201030102E A X 。
3.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡601424527121103121301,,,,54321TT T T T ααααα∽⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000110001011021301， 故421,,ααα 或431,,ααα为一个最大线性无关组（或其他正确答案）。
4. 解：利用分块矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=113232101,8231,2121A A O AA OA ，则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--31702431161,1238211211A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---000211000234216167000313200216110011121O A A OA5.是，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=是奇数；,,是偶数,n n n nS 212dim 6. (1) 121||||2+=e f ；(2)))(41()(2是任意实数b e x b x g +-=。
自考工程数学试题及答案
自考工程数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数在x=0处不可导的是（）。
A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = e^x2. 微分方程dy/dx + 2y = 3x的通解中，若y(0)=1，则y(x)为（）。
A. y = (3/2)x - (1/2)x^2 + 1B. y = (3/2)x + (1/2)x^2 + 1C. y = (3/2)x - (1/2)x^2D. y = (3/2)x + (1/2)x^23. 若矩阵A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}，则矩阵A的特征值为（）。
A. 1, -1B. 5, 3C. 2, 3D. 5, -34. 在概率论中，随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=10，p=0.1，则P(X=2)为（）。
A. 0.0456B. 0.0486C. 0.0554D. 0.04865. 利用傅里叶变换求解偏微分方程时，通常需要满足的充分条件是（）。
A. 函数在无穷远处趋于零B. 函数在有限区间内连续C. 函数在整个实数域上可积D. 函数及其所有导数在无穷远处连续二、填空题（每题3分，共15分）1. 若函数f(x) = ∫(0, x) e^t dt，则f'(x) = ____________。
2. 向量v = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}和向量w = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}的点积为 ____________。
3. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其期望E(X) =____________。
4. 函数y = ln(x^2 + 1)的最小值是 ____________。
5. 若矩阵B是矩阵A的逆矩阵，则AB = ____________。
工程数学习题答案
f ( x ) = ∑ a k cos kx
k =0
∞
由正交性得
a0 =
1 2π
∫ π f ( x )dx = π ∫
−
π
1
π
0
(π − x )dx =
2
π
0
π 1 π [−(π − x ) 2 ] 0 = 2π 2
ak =
f ( x ) cos kxdx = ∫ π ∫π π
−
1
π
(π − x ) cos kxdx
u( x , t ) = [cos
πa
l
t+
πa π l sin t ] sin x πa l l
⎧ utt = a 2 u xx , (0 < x < l , t > 0) ⎪ ⎪ u x = 0 = u x x = l = 0, 4．求波动方程解 ⎨ ⎪ u t = 0 = 3 sin 3πx / 2l + 6 sin 5πx / 2l , ⎪u ⎩ t t =0 = 0
方程组有非零解的条件为系数矩阵行列式为零，即
[cos 2π λ − 1]2 + sin 2 2π λ = 0
整理得
cos 2π λ = 1
由余弦函数的最大值点得
2π λ = 2nπ
所以特征值和特征函数分别为 （A 和 B 不全为零） λ n = n 2 ， X n = A cos nx + B sin nx ，
《工程数学》习题一
y ⎧ dy ⎪ = ry (1 − ), x > 0 1．用分离变量法解常微分方程初值问题 ⎨ dx K ⎪ y ( 0) = y 0 ⎩
解：用常微分方程分离变量法
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习题七解答1. 设X 的分布律为，求（1）EX ，（2）)1(+-X E ，（3）)(X E ，（4）DX 。
解 由随机变量X所以()1111111(1)01236261243E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()11111121210(1)36261243E X -+=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=()2111111351014364612424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22235197()()(())()24372D XE X E X =-=-=另外，也可根据数学期望的性质可得：()()1211133E X E X -+=-+=-+=2.设随机变量X 服从参数为()0>λλ的泊松分布，且已知()()[]232=--X X E ，求λ的值。
解()()[]()()()()()()()()204526526565322222==+-+=+-+=+-=+-=--λλλλX E X E X D X E X E X X E X X E3. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求2X 的数学期望()2X E 。
解 ()4.0,10~B X所以 ()()4.26.04.010,44.010=⨯⨯==⨯=X D X E故 ()()()()4.1844.2222=+=+=X E X D X E4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。
若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。
问应组织多少货源，才能使平均收益最大？解 设随机变量Y 表示平均收益（单位：万元），进货量为a 吨Y=()aX a X 33--ax ax ≥< 则()()()800000014000220001200013200014220004000-+-=+-=⎰⎰a a dxa dx a x Y E aa要使得平均收益()Y E 最大，所以()080000001400022='-+-a a得 3500=a （吨）5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望()X E 和方差()X D 。
解 X 的可能取值为0，1，2，3，有 ()()()()006.03.02.01.03092.03.08.01.03.02.09.07.02.01.02398.03.08.09.07.02.09.07.08.01.01504.07.08.09.00=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==X P X P X P X P所以X 的分布律为()()()()46.06.082.082.0006.03092.02398.01504.00.01504.00222222=-==⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=X D X E X E 6. 设X 的密度函数为()xe xf -=21，求（1）()X E ；（2）()2X E 。
解 （1）()⎰∞+∞--=⋅=021dx e x X E x（2）()⎰⎰∞+--∞+∞-==⋅=0222221221dx e x dx e x X E x x注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为⎰+∞-02dx e x x 可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。
7. 某商店经销商品的利润率X 的密度函数为)(x f ⎩⎨⎧-=0)1(2x 其他10,<<x ，求EX ,DX 。
解 （1）()1012(1)3E X x x dx =⋅-=⎰（2）()122012(1)6E X x x dx =⋅-=⎰故222111()()(())()6318D XE X E X =-=-=8. 设随机变量X 的密度函数为()=x f x e - 0>x0 0≤x求()X E 、()X E 2、()X e X E 2-+、()X D 。
解()()()01222x E X xe dx E X E X +∞-====⎰()()()()()()()()22230022022141113321XXx xx x E X eE X E e e e dx e dx E X x e dx D X E X E X +∞+∞-----+∞-+=+=+=+=+====-=⎰⎰⎰9. 设随机变量()Y X ,的联合分布律为求()X E 、()Y E 、()Y X E 2-、()XY E 3()Y X ,、Y X ,ρ。
解 关于X 与Y()5.015.00=⨯+⨯=X E ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()212121.025.005.0,cov 05.03.05.01.0,cov 3.01.031.0114.0012.0103.0003331.03.025.02221.03.03.03.03.017.003.03.017.0025.05.05.05.05.015.00,22222222-=-==-=⨯-=⋅-==⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==-=⨯-=-=-=-==⨯+⨯==⨯+⨯==-==⨯+⨯=Y D X D Y X Y E X E XY E Y X XY E XY E Y E X E Y X E Y D Y E Y E X D X E Y X ρ10. 设随机变量X,Y 相互独立，它们的密度函数分别为()=x f X 022x e - 00≤>x x()=y f Y 044ye - 00≤>y y求()Y X D +。
解 ()2~E X ，所以()41212==X D ， ()4~E Y ，所以()161412==Y D ，X,Y 相互独立，所以()()()165=+=+Y D X D Y X D 。
11. 设()Y X ,服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴、y 轴及直线01=++y x 所围成的区域，求（1）()X E ；（2）()Y X E 23+-；（3）()XY E 的值。
解 先画出()=y x f , 2 ()A y x ∈,0 其他()()⎰+∞∞-==dy y x f x f X ,()x dy x +=⎰--1220101≤≤-x0 其他()()⎰+∞∞-==dx y x f y f Y ,()y dx y+=⎰--12201 01≤≤-y0 其他()()()()()()()()()121123131231323233112311201010120101=+-===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=+-=+--=+⋅=-=+⋅=⎰⎰⎰⎰⎰------dx x x dydx xy XY E Y E X E Y X E dy y y Y E dx x x X E x12. 设随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()=y x f , 212y 10≤≤≤x y0 其他 求()()()()()()Y D X D Y X E XY E Y E X E ,,,,,22+。
解 先画出区域10≤≤≤x y 的图()()==⎰+∞∞-dy y x f x f X , ⎰=xx dy y 032412 10≤≤x0 其他()()==⎰+∞∞-dx y x f y f Y ,()⎰-=12211212yy y dy y10≤≤y0 其他()()()()130********45312151122X E X x x dx E Y y y y dy E XY xy y dydx =⋅==⋅-==⋅=⎰⎰⎰⎰0 1 xy 1()()()()()()()()()()()()1122222322022222216412115442657563115575E X YE X E Y xx dx y y y dy D X E X E X D Y E Y E Y +=+=⋅+⋅-=⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭⎰⎰13. 设随机变量X,Y 相互独立，且()()()()3,2,1====Y D X D Y E X E ，求()XY D 。
解()()()()()()()()()()()()[]()()()[]()[]()[]()()111113122222222222=⋅-++=-++=⋅-=-=Y E X E Y E Y D X E X D Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D14. 设()()4.0,36,25,===Y X Y D X D ρ，求（1）()Y X D +；（2）()Y X D -。
解：（1）()()()()()Y D X D Y D X D Y X D Y X ,2ρ++=+8536254.023625=⋅⨯⨯++=（2）()()()()()Y D X D Y D X D Y X D Y X ,2ρ-+=-3736254.023625=⋅⨯⨯-+=15. 设随机变量Y X ,相互独立，)1,1(~N X ，)1,2(~-N Y ，求)2(),2(Y X D Y X E ++。
解 ()1,()1;()2,()1E X D X E Y D Y ===-=2(2)2()()21(2)0(2)2()()4115E X Y E X E Y D X Y D X D Y +=+=⨯+-=+=+=⨯+= 16. 验证：当),(Y X 为二维连续型随机变量时，按公式⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dydx y x xf EX ),(及按公式⎰+∞∞-=dx x xf EX )(算得的EX 值相等。
这里，),(y x f 、)(x f 依次表示X Y X ),,(的分布密度。
证明 (,)(,)EX xf x y dydx x f x y dydx +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰()xf x dx +∞-∞=⎰17. 设X 的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计}5.7{≥-EX X P 的值。
解 2(){7.5}7.5D X P X EX -≥≤22.517.522.5== 18. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计()6≥+Y X P 的值。
解 ()()()022=+-=+=+Y E X E Y X E()()()()()()3415.02412,=⋅-⨯++=++=+Y D X D Y D X D Y X D Y X ρ所以()()()()()121666062=+≤≥+-+=≥-+=≥+Y X D Y X E Y X P Y X P Y X P 21. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。