复平面上n次方程ωn=z根的分布情况
复变函数ppt课件
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
根轨迹法的基本法则
为求根轨迹从P3点处的出射角，在其附
近找一个实验点Sa，并认为该点在根轨
迹上，则它应满足幅角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
i 1
P3 s3 a
j j
-1 -2 -3 -4 (2k 1)180o 前提：Sa无限靠近P3
例如，某系统开环零极点分布 如图。现在要判断实轴上的某
P1j 1Fra bibliotek Sai 1
j
点Sa是不是根轨迹上的点. P5 Z2
各开环零、极点的幅角： P2
P4 Z1
P3
0
(sa - z2 ) 0o (sa - p5 ) 0o
(sa - p1) 1 (sa - p2 ) 2
G(s)
K (s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4 一个开环零点：-1
共有四条根轨迹，
实轴上的根轨迹为0→－1 , －4→－∞
渐近线与实轴交点：
n
m
＝
a
i 1
pi z j
j 1
nm
(0) (1
j) (1 4 1
求出重根为： s1、2 = - 2.07
之间找；若求出的重根点在 实轴上但不符合“实轴上根 轨迹”的判断规则就要舍去
法则六 根轨迹的起始角与终止角
复数极点附近根轨迹形态怎样？
在复数极点附近取一个试验点Sa，各零、极点到试 验点Sa的矢量幅角和应满足幅角条件，当Sa点无限 趋近该复数极点时，可求出根轨迹从该点出射方向。
i1
j 1
i1
闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：
复系数的一元n次方程有根证明
复系数的一元n次方程有根证明复系数的一元n次方程有根证明一、引言在数学的学习过程中，我们经常会遇到一元n次方程，而当这些方程的系数是复数时，我们可能会感到困惑。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨复系数的一元n次方程有根的证明方法，帮助读者更全面、深刻地理解这一主题。
二、复系数的一元n次方程基础概念在介绍复系数的一元n次方程有根的证明之前，首先我们需要了解一些基础概念。
一元n次方程通常具有如下形式：\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0\]其中，\(a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0\)为复数，\(x\)为未知数。
而复数可以表示为\(a+bi\)的形式，其中\(a\)为实部，\(b\)为虚部，\(i\)为虚数单位。
三、复系数的一元n次方程有根证明1. 根的存在性证明复系数的一元n次方程实际上与实系数的一元n次方程有相似的性质。
根据代数基本定理，复系数的一元n次方程在复数域上始终有n个复数根，不一定互异。
这一点可以通过利用代数基本定理进行证明。
代数基本定理指出，任何一个次数大于1的复系数多项式方程都有至少一个复数根。
这一定理的证明较为复杂，主要依赖于复数域的代数结构和欧拉定理的应用。
2. 根的性质证明一元n次方程的根的性质在复系数情况下也有所不同。
与实系数下的方程相比，复系数的一元n次方程的根可能会包含共轭复数对。
这是由复数域的性质决定的。
举例来说，对于方程\(x^2+1=0\)，它在实数域下无解，但在复数域下却有两个根\(x=i\)和\(x=-i\)，它们是共轭复数对。
3. 根的求解方法为了求解复系数的一元n次方程的根，我们可以借助复数的性质，使用韦达定理或牛顿-莱布尼茨公式来进行计算。
这些方法在复系数情况下同样适用，且能够有效地得出方程的所有根。
四、总结通过本文的探讨，我们对复系数的一元n次方程有根的证明有了更深入的理解。
复平面顶点的记法
复平面顶点的记法引言复平面是复数的一种图形表示方式，它将复数的实部和虚部分别映射到平面的横纵坐标上。
在复平面中，每个复数都可以表示为一个点，这个点的位置可以用来表示复数的大小和相位。
复平面顶点的记法是一种常用的方法，用来标记复平面中的特殊点，这些特殊点通常与复数的性质和运算有关。
符号表示在复平面中，我们用字母 z 来表示一个复数。
复数 z 可以表示为 z = x + yi 的形式，其中 x 是实部，y 是虚部。
复平面的横轴表示实部，纵轴表示虚部。
复平面顶点的记法通常使用大写字母来表示。
常见的复平面顶点原点复平面中的原点记作 O，它表示复数 0+0i。
原点是复平面的中心，它的实部和虚部都为零。
原点是复数加法的单位元，即任何复数与原点相加都等于其本身。
实轴上的顶点实轴是复平面中的横轴，它表示复数的实部。
在实轴上，我们可以找到一些特殊的顶点。
•正实轴顶点：记作 A，表示复数 a+0i，其中 a 是一个实数。
正实轴上的顶点是实数。
•负实轴顶点：记作 B，表示复数 -b+0i，其中 b 是一个正实数。
负实轴上的顶点是实数。
虚轴上的顶点虚轴是复平面中的纵轴，它表示复数的虚部。
在虚轴上，我们可以找到一些特殊的顶点。
•正虚轴顶点：记作 C，表示复数 0+ci，其中 c 是一个正实数。
正虚轴上的顶点是虚数。
•负虚轴顶点：记作 D，表示复数 0-di，其中 d 是一个正实数。
负虚轴上的顶点是虚数。
单位圆上的顶点单位圆是复平面中以原点为圆心、半径为 1 的圆。
在单位圆上，我们可以找到一些特殊的顶点。
•单位圆顶点：记作 E，表示复数cosθ + i sinθ，其中θ 是一个实数。
单位圆上的顶点是复数的模长为 1 的点，也称为极坐标形式。
复平面顶点的性质复平面顶点的记法是一种方便记忆和表示复数的方式，它具有以下性质：1.复平面中的原点是复数加法的单位元，任何复数与原点相加都等于其本身。
2.复平面中的实轴上的顶点是实数，正实轴上的顶点是正实数，负实轴上的顶点是负实数。
多项式之快速傅里叶变换（FFT）数论变换（NTT）常用套路【入门】
多项式之快速傅⾥叶变换（FFT ）数论变换（NTT ）常⽤套路【⼊门】多项式 之 快速傅⾥叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/例题与常⽤套路【⼊门】前置技能对复数以及复平⾯有⼀定的了解对数论要求了解：逆元，原根，中国剩余定理对分治有充⾜的认识对多项式有⼀定的认识，并会写 O (n 2) 的⾼精度乘法本⽂概要多项式定义及基本卷积形式 Karatsuba 乘法多项式的系数表⽰与点值表⽰，以及拉格朗⽇插值法复数与单位根快速傅⾥叶变换 (FFT ) 数论变换 (NTT ) 分治 FFT拆系数 FFT 和三模数 NTT 例题与套路前⾔ 近年来，多项式理论进⼊中国，在中国 OI 界逐渐占据⼀⽅，是⼀个值得我们去研究的理论。
现在， OI 题中出现次数越来越频繁的多项式题，也⿎励了许多 OIer 去学习多项式。
作为多项式的⼀个重要算法—— FFT ，它有着极其优越的作⽤。
⽐如，对于初学⾼精度时的你，是否听说过⾼精度乘法可以 O (n log n ) ？ FFT 可以来解决⼀类多项式卷积，是⽣成函数⼀系列操作的基础，可以解决很多计数问题。
于是，菜鸡博主去学了⼀下 FFT ，写了这篇总结。
多项式定义及基本卷积形式多项式 定义 多项式 为形如下式的代数表达式。
P (x )=n∑i =0a ix i=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n 其中 a 0,a 1,a 2,⋯,a n 称为多项式的 系数。
x 没有确定的值。
最⾼次项的指数 n 叫做多项式的 度 (Degree ,n =deg P ) ，也可以说是多项式的 次数。
多项式基本卷积形式 下⾯的这个多项式卷积就是多项式乘法。
定义两个多项式 g (x ),f (x ) ，设他们的度数分别为 n ,m ，则卷积具有如下形式：（设 g i 为 g 的 i 次项系数， f i 为 f 的 i 次项系数）h (x )=g (x )f (x )=n ∑i =0m∑j =0g i f jx i +j=n +m ∑i =0i∑j =0g j f i −jx i 请务必理解并记住第⼆⾏的卷积式，这将会在后⾯不停的出现。
复变函数第2讲x
单连通区域
多连通区域
14
§5 复变函数的极限与连续性
1、 复变函数的定义
定义 设G是一个复数z=x+iy的集合, 如果有一个确 定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每 一个复数z, 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数), 记 作：
w=f(z).
如果z的一个值对应着w的一个值, 则函数f(z) 是单值的; 否则就是多值的. 集合G称为f(z)的定 义集合, 对应于G中所有z对应的一切w值所成的 集合G*, 称为函数值集合.
15
在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平
面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数. 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个 实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实
去心邻域：由不等式 0<|z-z0|<δ所确定的点集。
以下设G为一平面点集.
z0
1.2 内点 z0为G中一点，若存在 z0 的某个邻域，
该邻域内的所有点都属于G，则称 z0为G的一个内点.
8
1.3 开集 若G内的每一点都是 内点，则称G是开集.
1.4 区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域.
2、 映射： 映射是现代数学中
的一个常用概念.
Af B
。
。b
a
定义：若对集合A中的任一元素a，按照某种对应关
系f，总有集B中的元素b相对应，则称 f 是集合A到
集合B的一个映射，记为f: a→b， a、b分别称为映射 的原象和象.
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第３ ２卷第 ５期
Ｖｏ１． ２ ３ Ｎｏ． ５
丽 水 学 院 学 报
Ｊ 刀 ＮＡＬ Ｓ ＯＩ Ｒ ｏＦ ＬＩ ＨＵＩ ⅡＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ Ｉ
第二种情形
定理 ２ 当ｚ ａｉ， ＝ ＋ 其中 ｂ ， 口ｂ ｂ ≠Ｏ 且 ， 为实数且 为偶数时 ， 凡次方程 Ｏ－ 的根关于原点对称分布在 ）Ｚ ＇ ￣
圆周 上。
证 明 由文 ［ ］ ， ｚｒ 则 次 １知 设 ：ｏ，
的 个根 的形式 为
ｉ＋ ｋｒ ２ ｌ Ｏ
一
（ Ｖ ） Ｖ ｅ
情况 作 出 回答 ， 为此 先对 有关 概 念加 以说 明 。 定义 １ 设 ｚｘ ｉ（ ， ＝ ＋ｙｘＹ∈Ｒ）则 的共 轭 复数 为． ｉ（ ， ， ＿—ｙｘＹ∈Ｒ） 。 由定 义 １ 知 ， 易 ｚ为实数 时 ， 。 ｚ
第一 种情形 当 为实 数 时 ， 们 有 以下 结论 ： 我
２１ ００年 ｌ ０月
０ ｔ２ ０ ｃ ． ０１
复平面上 次方程 ＝ 根 的分 布情况
兰 家诚
（丽水学院 数理学院 ， 浙江 丽水 ３ ３ ０ ２ ０ ０）
摘要 ： 对特殊 的 ｎ次方程ｏ＝ 根 的分 布情 况作 了分 析 ， 出一 些较 为 直观 和 实用 的规律 性 结果 。 ）ｚ ｎ ’ 给
定 理 １ 为实 数 时 ， 方 程 Ｏ＝ 共轭 复根 成对 出现 ， ｎ次 ） Ｚ的 ｎ 即若 复数 ∞是 ｎ次 方 程 ｔ － 根 ， ｏ ｚ的 ￣ 则 也
是该 方 程 的根 。
证明 由文 ［ ］ １ 中的
＝ １Ｚ知 ， ＝ ９ ＝ ＝ ， 为实数时 ， ∞满足 次方程 ∞ ＝ ， 一 一 一ｎ ｚ 即当 Ｚ・ ２ Ｏ 若 ｚ 则
。 ＝
： …６ ２ 订 （ ０１２３， ＋６０ Ｖ一 ｅ ： ｅ ＋育 ： ，，，）故 ４１： 共有４ １ Ｚ 个根：
、 （＋） 、 （ １ｉ， ＝ 一 一一） ， 、 （一） ／ １ｉ， ／ 一 ＋） ： （ １ｉ， ＝ ／ １ｉ。显然 与 共轭 ， 与 共轭。 ＝ 。 ， 当 ａ ｉ，， 为实数且 为偶数时， ＝＋ ｂ ｂ 不是该方程的根 ， 但我们有以下结论 ：
Ａｂｓ ｒ ｃ ： ｅ ｎ ｌ ｚ ｄ ｈ ｓｒｂ ｉｎ ｆ ｒ ｏ ｓ ｆ ｒ ｐ ｃ ａ ｔ ａ ｔ Ｗ ａ ａｙ ｅ ｔ ｅ ｄｉｔｉ ｕｔｏ ｏ ｏ ｔ ｏ ｓ ｅ ｉｌ ｉ ｔ ｉｉｅａ ｄ ｐ ａ ｉａ ｅ ｕ ａ ｉ ｅ ｕ ｔ． ｎ ｕ ｔ ｎ ｒ ｃｃ ｌｒ ｇ ｌｒｔ ｒ ｓ ｌｓ ｖ ｙ ｔｍｅ ｅ ａｉ ｎ ｆ∞“ ｉ ｓ ｑｕ ｔ ｏ ｏ ａ ｄ ａ ｅ ｓ ｍｅ ｍｏ ｅ ｎ ｇ ｖ ｏ ｒ
也 满足 凡次 方程 ∞ ＝ 定理 得 证 。 ， 注 １ 一 般地 ， 复 平 面 上 ， ｎ次 方 程 在 对 一．Ｉ…托 ＋００ 啦．Ｒ，＝ ， ， ， ） ｒ４ ｏ＇． ） － ∞ ｎ （ Ｅ ｉ０ １ … ｎ 的共 轭 复根 也 ＝
收 稿 日期 ：０ ０ ０ － ６ ２ １－ ３ １
关 键词 ： 方程 ； ； 轭 复数 ｎ次 根 共 ｄ ｉ１ ． ６ ／ｉ ｎ１ ０ — ７ ９２ １ ． ． １ ｏ：０３ ９ ． ｓ．０ ８ ６ ４ ．０ ００ ０ ９ ｊｓ ５０
中图分 类号 ： ７．１ ０１４５
文 献标 志码 ： Ａ
文章编 号 ：０ ８６ ４ （００ ０ —０ １０ １０ —７ ９ ２ １ ）５ ００ — ４
Ｏ ２ ｎ １ｗ ＋ （ ）
－
—
。
由 ＜知 当ｎ 偶 时ｋ 以 到 而 争 ｋ凡 ， 为 数 ， 取 手，当 ＝ 可
Ｋｅ ｒ ｓ ｎｔ ｓ ｑ ａ ｏ ； ｏ；ｏ ｊｆｔ ｙｗｏ ｄ ： ｍｅ ｕ ｔ ｎ ｒ ｔｃｎｕａｅ ｉ ｅ ｉ ｏ
在文［ ］ １ 中我们知道 次方程
的凡 个根是内接于圆周 的正 儿 边形 的 ｒ ｔ 个顶点 ， 于是有学生 问：
如果复数 ∞是 ｎ 次方程 ｏ－ 的根 ， ｇｚ ＇ ￣ 那么 （ 复数 的共轭复数 ） 也是该方程 的根 吗？ 本文就此问题分 ３ 种
基金项 目： 浙江省 自然科学基金资助 （ ６ ９ ６ １ Ｙ ０ｏ８ ） 作者简 介 ： 兰家诚 （９ ４ ）男 ， １６ 一 ， 浙江龙泉人 ， 教授。
２ 成对 出现 。 例 １ 解 方程 ｚ＋ ７ ０ ３２ ＝ 。 解 ￣ ｚ ２ ＝ ＝ ｔ３ ７ ０ ＝ ＋ ＞ ＝ｅ ３ 丁
ＴｈｅＤｉｔ ｉ ｕｔｏ ｆＲｏ ｔ ｏ ｍ ｅ ｕ ｔｏ ｆ ｓ ｒｂ ｉ ｎ ｏ ｏ ｓｆ ｒｎ Ｔｉ ｓＥｑ ａ ｉｎｏ
聆 ｎ ｔ ｅＣｏ ＝Ｚ ｏ ｍｐ ｅ ａ ｅ ｈ ｌｘＰｌ ｎ
Ｌ ｎ Ｊａ ｈ ｎ ａ ｉｃ ｅ ｇ
（ ｏ ｅｅ ｆ ａｈｍ ｔ ｓ ｎ ｈｓ ｓＬｓｕ ｎ ｅｓｙ Ｌｓｕ Ｚ ｅ ａｇ ３３ ０ ， ｈｎ ） Ｃ Ｕ ｇ Ｍ ｔｅ ａ ｃ ｄＰ ｙｉ ，ｉ ｉ ｉ ｒｉ ， ｉ ｉ ｈｊｎ ２ ０ ０ Ｃ ｉ ｏ ｉ ａ ｃ ｈ Ｕ ｖ ｔ ｈ ｉ ａ
丽 水 学 院 学 报
２１ ０ ０拄
（＝ ｋＯ
，
１） ２７共 ３根ｏ ＋、 ｉ ３＝ ，， ３＝ 有 个 ：手手／ 一 ２故 ＋ ０ ２ ＝ ３
一
妻、 ｉ ／ ， ： ， 显然２与 共轭 的共轭是它本身。 ０
例 ２ 解 方程 ｚ ６ ０ ％１ ＝ 。
解 由 １：＝ ： ＋６０＞ 二
其中 ｒ 为 的模 ， 是 的辐角 主值 。 ０ 由根 的形式 知 ， 些 根都 分布 在 半，一 ）
的 圆周上 ， 相邻 两根 之 间 的辐 角相 差
， 这 个 根 的
模相同 ， 辐角依次为 ， ＋ ， — ２ｒ Ｏ— ｒ
…
，
， —