2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业：第6章不等式及推理6-3[来源：学优高考网328192]
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第六章 统计、统计案例、不等式、推理与证明 第三节
课时作业一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.]2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2，2)D ．(1，1)D [约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1，1)时，(2x ＋y )min ＝3.]3．(2014·潍坊一模)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥12x ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋12y的最大值为( )A.14 B.34 C.56D.53C [作出如图可行域．则当目标函数过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13时取得最大值．∴z max ＝23＋12×13＝56，故选C.]4．(2014·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1，2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为 ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2D [如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0，1)处z max ＝2.故选D.]5．(2014·山东烟台模拟)已知A (3，3)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，设 Z 为OA →在OP →上的投影，则Z 的取值范围是( )A ．[－3， 3 ]B ．[－3，3]C ．[－3，3]D ．[－3， 3 ]B [约束条件所表示的平面区域如图.OA →在OP →上的投影为|OA→|·cos θ＝23cos θ(θ为OA →与OP →的夹角)， ∵∠xOA ＝30°，∠xOB ＝60°，∴30°≤θ≤150°，∴23cos θ∈[－3，3]．] 二、填空题6．(2014·成都月考)若点P (m ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ＜3表示的平面区域内，则m ＝________. 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －9＋1|5＝4，2m ＋3＜3，解得m ＝－3. 答案 －37．(2013·北京高考)已知点A (1，－1)，B (3，0)，C (2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为__________．解析 AP→＝λAB →＋μAC →，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y ＋1)．∴⎩⎨⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ， 得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33，∵1≤λ≤2，0≤μ≤1， 可得⎩⎨⎧6≤2x －y ≤9.0≤x －2y ≤3，如图．可得A 1(3，0)，B 1(4，2)，C 1(6，3)， |A 1B 1|＝（4－3）2＋22＝5， 两直线距离d ＝|9－6|22＋1＝35， ∴S ＝|A 1B 1|·d ＝3. 答案 38．(2014·来宾一模)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax＋y (其中a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围为__________． 解析 由约束条件表示的可行域如图所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过点(3，0)作l 的平行线l ′，则直线l ′介于直线x ＋2y －3＝0与直线x ＝3之间， 因此，－a ＜－12， 即a ＞12. 答案 (12，＋∞) 三、解答题9．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解析 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎨⎧5x ＋7y ＋4（100－x －y ）≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，整理得⎩⎨⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值． 由⎩⎨⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100， 得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝50，最优解为A (50，50)， 所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．10．变量x 、y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围． 解析 由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y )的可行域如图所示． 由⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1，1)． 由⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5，2)． (1)z ＝y x ＝y －0x －0表示的几何意义是可行域中的点与原点O 连线的斜率.观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围为[2，29]．。
2016届高考数学(理)大一轮复习同步训练第6章《不等式、推理与证明》课时作业43(新课标版)
课时作业43 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a，a≠1，n ∈N *”，在验证n ＝1时，左边是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：当n ＝1时，代入原式有左边＝1＋a.故选B. 答案：B2．如果命题p(n)对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p(n)对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A ．p(n)对所有正整数n 都成立B ．p(n)对所有正偶数n 都成立C ．p(n)对所有正奇数n 都成立D ．p(n)对所有自然数n 都成立 解析：归纳奠基是：n ＝2成立．归纳递推是：n ＝k 成立，则对n ＝k ＋2成立． ∴p(n)对所有正偶数n 都成立． 答案：B3．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3解析：求得a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：B4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．答案：A5．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.答案：B6．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k＋1)＋(k －1)][(k ＋1)＋k][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k＋k)(2k ＋1)(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k＋k)[2(2k ＋1)]，∴应增乘2(2k ＋1)． 答案：B 二、填空题7．使|n 2－5n ＋5|＝1不成立的最小的正整数是__________． 解析：n ＝1,2,3,4代入验证成立，而n ＝5验证不成立． 答案：58．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝2＋3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案：(k ＋1)2＋k 29．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是__________．解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；一个整数n 所拥有数对为(n －1)对．设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴－2＝60，∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12,12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)． 答案：(5,7) 三、解答题10．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1＋2.证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·＋2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k(k ∈N *，k≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1＋2.那么，当n ＝k ＋1时，则有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k＋1)2＝(－1)k －1＋2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k＋＋2.∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)知对任意n ∈N *，有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1＋2.11．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论． (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512.解：(1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n(n ＋1)(n ∈N *)，b n ＝(n ＋1)2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k(k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝＋2＋2＋2＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)①当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16<512.②当n≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝n(n ＋1)＋(n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)n. 所以1a n ＋b n <1＋.故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n<16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1＋＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1<16＋14＝512. 由①②可知原不等式成立．1．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n (n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1， b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13. ∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k(k≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上． 2．(2014·重庆卷)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b(n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c<a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 解：(1)解法1：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知 (a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)． 解法2：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立． 假设n ＝k 时结论成立， 即a k ＝k －1＋1.则a k ＋1＝k－2＋1＋1＝－＋1＋1＝＋－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)． (2)设f(x)＝－2＋1－1，则a n ＋1＝f(a n )． 令c ＝f(c)，即c ＝－2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题 a 2n <c<a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f(1)＝0，a 3＝f(0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c<a 2k ＋1<1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f(c)>f(a 2k ＋1)>f(1)＝a 2，即1>c>a 2k ＋2>a 2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c ＝f(c)<f(a 2k ＋2)<f(a 2)＝a 3<1. 故c<a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c<a 2(k ＋1)＋1<1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.。
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第六章 统计、统计案例、不等式、推理与证明 第六节
课时作业一、选择题1．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定B [∵S n ＝2n 2－3n ，∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)．∴a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，∴{a n }是等差数列．]2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数B [“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．]3．设0＜x ＜1，a ＞0，b ＞0，a 、b 为常数，a 2x ＋b 21－x的最小值是 ( )A ．4abB ．2(a 2＋b 2)C ．(a ＋b )2D ．(a －b )2C [⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x (x ＋1－x ) ＝a 2＋a 2（1－x ）x ＋b 2x 1－x ＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.] 4．设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立，其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．]5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0C [b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.]6．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列B [由已知条件，可得⎩⎨⎧a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc . ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x 2b ，c ＝y 2b .代入①，得x 2b ＋y 2b ＝2b ，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．]二、填空题7．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，则三边a，b，c 应满足________．解析由余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc＜0，所以b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2.答案a2＞b2＋c28．已知点A n(n，a n)为函数y＝x2＋1图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设c n＝a n－b n，则c n与c n＋1的大小关系为________．解析由条件得c n＝a n－b n＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，∴c n随n的增大而减小．∴c n＋1<c n.答案c n＋1<c n9．(2014·邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析若a＝12，b＝23，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案③三、解答题10．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：d＋a＜b＋c.证明要证d＋a＜b＋c，只需证(d＋a)2＜(b＋c)2，即a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需证ad＜bc，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．11．求证：a，b，c为正实数的充要条件是a＋b＋c＞0，且ab＋bc＋ca＞0和abc ＞0.证明必要性(直接证法)：∵a，b，c为正实数，∴a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，因此必要性成立．充分性(反证法)：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc＞0，则它们只能是两负一正，不妨设a＜0，b＜0，c＞0.又∵ab＋bc＋ca＞0，∴a(b＋c)＋bc＞0，且bc＜0，∴a(b＋c)＞0.①又∵a＜0，∴b＋c＜0.∴a＋b＋c＜0这与a＋b＋c＞0相矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数．12．设f(x)＝e x－1.当a＞ln 2－1且x＞0时，证明：f(x)＞x2－2ax.证明欲证f(x) ＞x2－2ax，即e x－1 ＞x2－2ax，也就是e x－x2＋2ax－1＞0.可令u(x)＝e x－x2＋2ax－1，则u′(x)＝e x－2x＋2a.令h(x)＝e x－2x＋2a，则h′(x)＝e x－2.当x∈(－∞，ln 2)时，h′(x)＜0，函数h(x)在(－∞，ln 2]上单调递减，当x∈(ln 2，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)在[ln 2，＋∞)上单调递增．所以h(x)的最小值为h(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.因为a＞ln 2－1，所以h(ln 2) ＞2－2ln 2＋2(ln 2－1)＝0，即h(ln 2)＞0.所以u′(x)＝h(x)＞0，即u(x)在R上为增函数．故u(x)在(0，＋∞)上为增函数．所以u(x)＞u(0)．而u(0)＝0，所以u(x)＝e x－x2＋2ax－1＞0.即当a＞ln 2－1且x＞0时，f(x)＞x2－2ax.。
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第6章 不等式、推理与证明-2
(1)
(2)
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第六第章二十九页第，二编辑节于星期五：二十一点 二十一
分。
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(3) ①如图(1)，当 g(x)的图像恒在 x 轴上方时，满足条件，有 Δ＝ a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.
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解析：∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0， ∴x＞1 或 x＜－12， 故原不等式的解集为－∞，－12∪(1，＋∞)，故选 D.
答案：D
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第六章 第二节 第十六页，编辑于星期五：二十一点 二十一分。
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1．一元一次不等式的解法 一元一次不等式ax＞b(a≠0)：
(1)当a＞0时，解集为□1 ______________. (2)当a＜0时，解集为□2 ______________.
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第六章 第二节 第五页，编辑于星期五：二十一点 二十一分。
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第六章 第二节 第十二页，编辑于星期五：二十一点 二十一分。
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3 个注意点——解含参数不等式应注意的问题 (1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集； 不要忘了二次项系数为零的情况． (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的 大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论， 分类要不重不漏． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第6章 不等式、推理与证明-6
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第六章 第六节 第二页，编辑于星期五：二十一点 二十二分。
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考 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合 纲 法；了解分析法和综合法的思考过程和特点． 导
2.了解反证法的思考过程和特点. 学
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第六章 第六节 第三页，编辑于星期五：二十一点 二十二分。
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第六章 不等式、推理与证明
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第六章 不等式、推理
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第六节 直接证明与间接证明
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
自主园地 备考套餐
开卷速查
(2)∵a，b，c 全不相等，且都大于 0.
∴ba与ab，ac与ac，bc与bc全不相等．
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第六章 第六节 第三十页，编辑于星期五：二十一点 二十二分。
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∴ba＋ab＞2，ac＋ac＞2，bc＋bc＞2， 三式相加得ba＋ac＋bc＋ab＋ac＋bc＞6， ∴ba＋ca－1＋cb＋ab－1＋ac＋bc－1＞3， 即b＋ac－a＋a＋bc－b＋a＋cb－c＞3.
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5．已知点 An(n，an)为函数 y＝ x2＋1图像上的点，Bn(n，bn) 为函数 y＝x 图像上的点，其中 n∈N*，设 cn＝an－bn，则 cn 与 cn＋1 的大小关系为__________．
解析：由题意知，an＝ n2＋1，bn＝n，∴cn＝ n2＋1－n＝ n2＋11＋n.显然，cn 随着 n 的增大而减小，
【优化探究】2016届高考数学理科(人教A版)一轮复习课件_第六章_不等式、推理与证明6-4
x＝y 时，xy 有最 大 值是
1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就 是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能 否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
a＋b2 ，要弄清它们的作用和使用 2．对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤ 2
条件及内在条件，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化关系．
a＋b2 (a，b∈R)． 3．ab≤ 2
a2＋b2 a＋b2 (a，b∈R)． 4. 2 ≥ 2
三、算术平均数与几何平均数 a＋b 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 2 ，几何平均数为 ab， 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ． 四、利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 1． 如果积 xy 是定值 p， 那么当且仅当 x＝y 是 2 p.(简记：积定和最小) 2．如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 p2 4 .(简记：和定积最大) 时， x＋y 有最 小 值
a＋b2 成立的条件是 ab>0.( (2)ab≤ 2
π 4 (3)函数 f(x)＝cos x＋cos x，x∈0，2 的最小值等于 4.(
x y (4)x>0 且 y>0 是y＋x≥2 的充要条件．( 1 (5)若 a>0，则 a ＋a2的最小值是 2 a.(
3
) ) )
(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的
x＋y2 182 ＝ ＝81，当且仅当 x＝y＝9 时等号成立，故选 解析：xy≤ 2 2
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第六章 统计、统计案例、不等式、推理与证明 第四节
课时作业一、选择题1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C [∵x ＜0，∴f (x )＝－ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x ＝－1时取等号．] 2．(2014·太原模拟)设a 、b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [命题p ：(a －b )2≤0⇔a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件．] 3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2A [∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2（x －1）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2 （x －1）3x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．] 4．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2A [设甲、乙两地的距离为s ，则从甲地到乙地所需时间为sa ，从乙地到甲地所需时间为sb ，又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ，2ab a ＋b >2ab2b＝a ， 即a <v <ab .]5．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在A [设正项等比数列{a n }的公比为q ， 由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0， 解得q ＝2. 由a m a n ＝4a 1，即2m ＋n －22＝4，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝nm 时等号成立．]6．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2C [由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－（a ＋b ）2ab ，而（a ＋b ）2ab ＝b a ＋ab ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－（a ＋b ）2ab≤－4，因此要使k ≥－（a ＋b ）2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.] 二、填空题7．已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________． 解析 ∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎨⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3.答案 38．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p ＞0)若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析 由题意得x －1＞0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4， 所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 答案 949．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 由题意知：P 、Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限中的点，则m ＞0，n ＞0，n ＝2m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋4m 2≥16，⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 2＝4m 2，即m ＝2时，取等号， 故线段PQ 长的最小值是4. 答案 4 三、解答题10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x －x 的最小值．解析 (1)∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x ) ≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（a －2x ）22＝a 28， 当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28. (2)y ＝1a －2x＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号． 故y ＝1a －2x－x 的最小值为2－a 2. 11．正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解析 (1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y ，即y ＝9x ＝18时取等号， 故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9xy ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解析 (1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x （x －1）2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )． (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f （x ）×10 0001 000x ＝10f （x ）x ＝10（x 2＋71x ＋100）x＝10x ＋1 000x ＋710≥2 10x ·1 000x ＋710＝910.当且仅当10x ＝1 000x ， 即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．。
【优化探究】2016届高考数学理科(人教A版)一轮复习课件_第六章_不等式、推理与证明6-2
的解集为R.(
4ac≤0.( )
)
(4) 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 在 R 上 恒 成 立 的 条 件 是 a<0 且 Δ ＝ b2 －
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m
1 4．不等式 <1 的解集为________． x－1
x－2 1 1 解析：由 <1 得 1－ >0，即 >0，解得 x<1，或 x>2. x－1 x－1 x－1
答案：{x|x<1或x>2}
一元二次不等式的解法(自主探究) 例1 (1)(2013 年高考江苏卷 ) 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当
(2)①原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.
4 4 解得－2≤x≤3，所以原不等式的解集为x－2≤x≤3 .
1 ②原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为 a>0，所以 x－a (x－1)<0.所 1 以当 a>1 时，解为a<x<1； 1 当 a＝1 时，解集为∅；当 0<a<1 时，解为 1<x<a.综上，当 0<a<1 时，
规律方法 解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据： (1) 二次项中若含有参数应讨论是小于 0 ，等于 0，还是大于 0，然 后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关 系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两 根的大小关系，从而确定解集形式．
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A 组 考点基础演练一、选择题1．(2015年三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24. 答案：B2．设A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，x ＋(1－x －y )>y ，y ＋(1－x －y )>x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >12，y <12，x <12.故选A. 答案：A3．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．4 B ．0 C ．2D ．－4解析：如图，阴影部分为封闭区域．作直线2x －y ＝0，并向左上平移，过点A 时，2x－y 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝|x －1|(x <1)，得A (－1,2)，∴(2x －y )min ＝2×(－1)－2＝－4. 答案：D4．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)解析：变形目标函数为y ＝－1m x ＋zm .作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx (m >1)，x ＋y ≤1表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)．∵m >1，∴－1<－1m<0.因此当直线l ：y ＝－1m x ＋zm 在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A处，直线l 的截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得交点A ⎝⎛⎭⎫11＋m ，m 1＋m .因此z ＝x ＋my 的最大值z max ＝11＋m ＋m 21＋m .依题意11＋m ＋m 21＋m <2，即m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故实数m 的取值范围是(1,1＋2)． 答案：A5．(2015年杭州模拟)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]解析：作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A (1,9)，C (3,8)．当y ＝a x 过A (1,9)时，a 取最大值，此时a ＝9；当y ＝a x 过C (3,8)时，a 取最小值，此时a ＝2，∴2≤a ≤9. 答案：C 二、填空题6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a ＝________.解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.答案：17．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，定点为A (2,0)，则|OP →|sin ∠AOP (O 为坐标原点)的最大值为________．解析：可行域如图阴影部分所示，A (2,0)在x 正半轴上，所以|OP →|·sin ∠AOP 即为P 点纵坐标，当P 位于点B 时，其纵坐标取得最大值225.答案：2258．(2013年高考江苏卷)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．解析：由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－2，12 三、解答题9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解析：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．10．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ：一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.画出可行域如图所示．让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移， z ＝2.5x ＋4y 在(4,3)处取得最小值，由此可知z ＝22.因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．B 组 高考题型专练1．(2014年高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由题中约束条件画出可行域如图中阴影部分所示：由图知，z ＝x ＋2y 在A (1,1)处取得最小值3. 答案：B2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.答案：C3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0，表示的平面区域的面积为________．解析：如图，作出可行域．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4＝0，x ＋3y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2. 则S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.答案：44．(2014年高考湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 的内部及其边界，由z＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z 过B 点时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝1，得B (3,1)，因此，当x ＝3，y ＝1时，z max ＝2×3＋1＝7，故答案为7.答案：75．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．解析：画出可行域如图，可行域为△ABC 的内部及其边界．设x ＋y ＝t ，则y ＝－x ＋t ，t 的几何意义为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，当直线通过点A 、B 时，t 取得最小值与最大值，可求得A 、B 两点的坐标分别为(1,0)和(2,1)，所以1≤t ≤3，即x ＋y 的取值范围是[1,3]．答案：[1,3]6．(2014年高考辽宁卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最大值为________．解析：画出可行域，z 4为目标函数的纵截距，作直线y ＝－34x ，平行移动得出z 的最大值．可行域如图阴影部分所示，z ＝3x ＋4y ，即y ＝－34x ＋z4.将直线y ＝－34x 向上平行移动，y 轴上的纵截距z4越来越大，当经过点B 时，z 取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴B (2,3),∴z 的最大值为z max ＝3×2＋4×3＝18.答案：18。