复变函数第三章复变函数的积分第四节原函数与不定积分

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3. 不定积分的定义 不定积分的定义:
称 f ( z ) 的原函数的一般表达式 F ( z ) + c (c 为任意常数 )为 f ( z ) 的不定积分 , 记作
∫ f ( z )dz = F ( z ) + c .
类似于牛顿-莱布尼兹公式) 定理三 (类似于牛顿-莱布尼兹公式) 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析 ,
z z0
(注意: 这一段与∫ f (ζ )dζ 的 ) 路线相同
然后从 z 沿直线到 z + ∆z ,
B
z0 ⋅
ζ
•
⋅ z + ∆z z⋅
K
5
于是 F ( z + ∆z ) − F ( z ) = ∫z
z + ∆z
f (ζ )dζ ,
因为 ∫
z + ∆z
z
f ( z )dζ = f ( z )∫z
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思考题答案
两者的提法和结果是类似的. 两者的提法和结果是类似的
但在复积分中要求 f ( z ) 为单连域中的解析函数 , 且积分路线是曲线 C , 因而 z0 , z都是复数;
在实积分中要求 f ( x ) 为区间 [a , b] 上的连续实函 数, a , x都是实数 .
两者对函数的要求差异很大. 两者对函数的要求差异很大
0
πi
∫0
πi
1 πi z cos z dz = ∫ cos z 2dz 2 2 0
2
πi
1 1 1 2 2 = sin z = sin( − π ) = − sin π 2 . 2 2 2 0
(使用了微积分学中的“凑微分”法) 使用了微积分学中的“凑微分” 使用了微积分学中的
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例3 解
求∫
1+ i
ln( z + 1) dz 的值. 求∫ 1 z +1 ln( z + 1) 在所设区域内解析 , 解 函数 z +1 2 ln ( z + 1) , 它的一个原函数为 2 i i ln( z + 1) ln 2 ( z + 1) 1 2 dz = = [ln (1 + i ) − ln 2 2] ∫1 z + 1 2 2 1
F(z) = ∫ f (ζ )dζ
z0
z
∫ f (z)dz = F(z) + c
∫z
z1
0
f (z)dz = G(z1 ) − G(z0 )
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思考题
解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼 解析函数在单连通域内积分的牛顿 莱布尼 兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有 兹公式与实函数定积分的牛顿 莱布尼兹公式有 何异同? 何异同
K
6
因为 f ( z ) 在 B 内解析, 所以 f ( z ) 在 B 内连续, 故 ∀ε > 0, ∃δ > 0,
使得满足 ζ − z < δ 的一切 ζ 都在 K 内,
总有 f (ζ ) − f ( z ) < ε ,
由积分的估值性质, 由积分的估值性质 即 ∆z < δ 时,
⋅ z + ∆z z⋅
第四节 原函数与不定积分
一、主要定理和定义 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理和定义
1. 两个主要定理: 两个主要定理 定理一
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析 , 那末积分 ∫ f ( z )dz 与连结起点及终点的路 线
C
C 无关.
由定理一可知: 由定理一可知 解析函数在单连通域内的积分只与起点 和终点有关, 如下页图 如下页图) 和终点有关 (如下页图
显然F(z) = ∫ f (ζ )dζ 是 f (z) 的一个原函数.
z0
z
原函数之间的关系: 原函数之间的关系:
f ( z ) 的任何两个原函数相差 一个常数 .
证
设 G ( z ) 和 H ( z ) 是 f ( z ) 的任何两个原函数 ,
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′ 那末 [G ( z ) − H ( z )] = G ′( z ) − H ′( z )
G ( z ) 为 f ( z ) 的一个原函数 , 那末
∫z
z1
0
f ( z )dz = G ( z1 ) − G ( z0 )
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.
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证
因为∫ f (z)dz 也是 f (z)的原函数,
z0
z
所以∫ f (z)dz = G(z) + c定理, 当 z = z0 时, 根据柯西 古萨基本定理
1
ze z dz 的值.
利用分部积分法可得
ze 的一个原函数为 ( z − 1)e ,
z z
∫1
1+ i
ze dz = ( z − 1)e
z
z 1+ i 1
= ie 1+ i = ie(cos 1 + i sin 1).
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例4 试沿区域 Im( z ) ≥ 0, Re( z ) ≥ 0 内的圆弧 z = 1,
= f (z) − f (z) ≡ 0
于是 G ( z ) − H ( z ) = c . (c 为任意常数 )
根据以上讨论可知: 根据以上讨论可知
[证毕 证毕] 证毕
如果 f ( z ) 在区域 B 内有一个原函数 F ( z ),
那末它就有无穷多个原函数, 那末它就有无穷多个原函数
一般表达式为 F ( z ) + c (c 为任意常数 ).
z + ∆z
dζ = f ( z ) ∆ z ,
F ( z + ∆z ) − F ( z ) 所以 − f (z) ∆z 1 z + ∆z = ∫z f (ζ )dζ − f ( z ) ∆z 1 z + ∆z = ∫z [ f (ζ ) − f ( z )]dζ ∆z
B
z0 ⋅
ζ
•
⋅ z + ∆z z⋅
F ( z + ∆z ) − F ( z ) 于是 lim − f ( z ) = 0, ∆z → 0 ∆z
即 F ′( z ) = f ( z ).
[证毕 证毕] 证毕
此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似. 定理完全类似
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2. 原函数的定义 原函数的定义:
如果函数 ϕ ( z ) 在区域 B 内的导数为 f ( z ), 即 ϕ ′( z ) = f ( z ), 那末称 ϕ ( z ) 为 f ( z ) 在区域 B 内 的原函数 .
放映结束， Esc退出. 放映结束，按Esc退出. 退出
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z0
z
3
定理二
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析 , 那末函数 F ( z ) = ∫ f (ζ )dζ 必为 B 内的一个解
z0 z
析函数 , 并且 F ′( z ) = f ( z ).
证 利用导数的定义来证. 利用导数的定义来证
z⋅
K
设 z 为 B 内任一点,
以 z 为中心作一含于 B 内的 小圆 K ,
K
F ( z + ∆z ) − F ( z ) − f (z) ∆z
B
z0 ⋅
ζ
•
7
1 F ( z + ∆z ) − F ( z ) − f (z) = ∆z ∆z
∫z
z + ∆z
[ f (ζ ) − f ( z )]dζ
1 ≤ ∆z
∫
z + ∆z
z
1 ⋅ ε ⋅ ∆z = ε . | f (ζ ) − f ( z ) | dS ≤ ∆z
2
如果起点为 z0 , 终点为 z1 ,
B B
z0 ⋅
C1 C2
⋅ z1
C1
z0 ⋅
C2
⋅ z1
∫ f (z)dz = C f (z)dz = ∫z ∫ C
1 2
z1
0
f (z)dz
如果固定 z0 , 让 z1 在 B 内变动, 并令 z1 = z ,
便可确定B内的一个单值函数F(z) = ∫ f (ζ )dζ .
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二、典型例题
例1 解
求 ∫ zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数 , 它的原函数是 z , 2
由牛顿-莱布尼兹公式知 由牛顿 莱布尼兹公式知, 莱布尼兹公式知
z
1 2 1 1 2 2 ∫z0 zdz = 2 z z = 2 ( z1 − z0 ). 0
z1
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例2 解
求 ∫ z cos z 2dz 的值.
得 c = −G ( z0 ),
所以∫ f (z)dz = G(z) − G(z0 ),
z0
z
或 ∫ f (z)dz = G(z1 ) − G(z0 ).
z0
z1
[证毕 证毕] 证毕
说明: 有了以上定理, 说明: 有了以上定理 复变函数的积分就可以用 跟微积分学中类似的方法去计算. 跟微积分学中类似的方法去计算
B
4
取 ∆z 充分小使 z + ∆z 在 K 内, 由 F ( z ) 的定义,
F ( z + ∆z ) − F ( z ) =∫
z + ∆z
0
z + ∆z
z0
f (ζ )dζ − ∫ f (ζ )dζ
z0
z
由于积分与路线无关, 由于积分与路线无关
∫z
f (ζ )dζ 的积分路线可先取 z0 到 z ,
i
2 1 1 π π2 3 2 π ln 2 2 = ln 2 + i − ln 2 = − − ln 2 + i. 2 2 4 32 8 8