安徽省合肥市肥东县第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试卷注意事项：1.考试时间120分钟，本试卷满分150分；2.请在答题卷規定位置注明班级、考号和姓名；3.请将所做答案填写在答题卷上，写在试卷上无效！交卷时，只需上交答题卷.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个答案正确）1.已知{}1,2,3,4U =，{}1,3,4A =，{}2,3,4B =，那么()U C A B =n ， ， A. {}1,2 B. {}1,2,3,4C.∅D. {}∅【答案】C 【解析】 【分析】先计算A B n ，再计算()U C A B n 即可.【详解】由{}1,2,3,4U =，{}1,3,4A =，{}2,3,4B =， 可得{}1,2,3,4A B =n ，所以()U C A B ϕ=n ， 故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集及补集的运算，属于基础题. 2.()sin 330︒-=（ ）A.12 B. 12-C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用正弦的诱导公式和特殊角的正弦值直接求解即可.【详解】()()sin 330sin 3601230sin 30︒︒︒︒-=-=+=. 故选：A【点睛】本题考查了正弦的诱导公式，考查了特殊角的正弦值，属于基础题.3.函数()f x =的定义域（ ）A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零、对数的真数为正数、非负实数有偶次方根，列出不等式组，解这个不等式组即可.【详解】由题意可知：12001log 1x x x >⎧⎪⇒<<⎨>⎪⎩.故选：B【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了对数不等式，考查了数学运算能力. 4.函数f(x)=21x a -+(a>0,a≠1)的图象恒过定点（ ）. A. (0,1) B. (0,2) C. (2,1) D. (2,2)【答案】D 【解析】试题分析：因为指数函数y xa =的图象过定点（0,1），f(x)=21x a -+的图象可看作y xa =的图象向右、项上先后平移2个单位、1个单位的结果，所以函数f(x)=21x a -+(a>0,a≠1)的图象恒过定点（2,2），选D ． 考点：本题主要考查指数函数图象．点评：简单题，注意到指数函数y xa =的图象过定点（0,1）．可按图象平移处理，也可直接令“幂指数”为0．5.设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2323b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a b c 、、的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性直接判断即可.【详解】因为函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，2133>，所以b c <； 因为函数23y x =是(0,)+∞上的增函数，2133>，所以a b <，故a b c <<.故选：A【点睛】本题考查了指数幂的大小比较，考查了指数函数、幂函数的单调性，属于基础题. 6.下列函数中，与函数(0)y x x =≥有相同图象的一个是（ ）A. y =B. 2y =C. yD. 2x y x=【答案】B 【解析】 【分析】逐一考查选项中的函数与所给的函数是否为同一个函数即可确定其图象是否相同. 【详解】逐一考查所给的选项：A . y x ==，与题中所给函数的解析式不一致，图象不相同；B . ()20y x x ==≥，与题中所给函数解析式和定义域都一致，图象相同；C . y =的定义域为R ，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；D . 2x y x=的定义域为{}|0x x ≠，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；故选B.【点睛】本题主要考查函数相等的概念，需要同时考查函数的定义域和函数的对应关系，属于中等题. 7.若函数()xf x a b =+的图象如左下图所示，则函数()log ()e g x x b =+的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】结合函数()xf x a b =+的图象，可以通过(0)f 的值，得到b -的取值范围，这样可以从四个选项中选出函数()log ()e g x x b =+的图象.【详解】由函数()xf x a b =+的图象，可得0(0)10111001f b b b <<⇒<+<⇒-<<⇒<-<，函数()log ()e g x x b =+的定义域为：{}x x b >-，该对数型函数的底数大于1，所以该函数是定义域内的增函数，故图象可能是选项C. 故选：C【点睛】本题考查了由指数型函数的图象判断对数型函数的图象，考查了数形结合思想，属于基础题.8.已知函数122,1()log ,1x x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，以下对函数单调性说法正确的是（ ）A. ()f x 是(,)-∞+∞上的减函数B. ()f x 是(,)-∞+∞上的增函数C. ()f x 是(,1)-∞与(1,)+∞上都是减函数，但在(,)-∞+∞上不具有单调性D. ()f x 是(,1)-∞与(1,)+∞上都是增函数，但在(,)-∞+∞上不具有单调性 【答案】A 【解析】 分析】根据分段函数的单调性的性质直接求解即可.【详解】当1x <时，一次函数2y x =-+是单调递减的，且此时1y >；当1x ≥时，对数函数12log y x =是单调递减的，且此时0y ≤，因为10>，所以()f x 是(,)-∞+∞上的减函数.故选：A【点睛】本题考查了分段函数的单调性的判断，考查了一次函数、对数函数的单调性，属于基础题.9.已知tan 3α=，则2(sin cos )cos2ααα+的值为（ ） A. 3-B. 3C. 2-D. 2【答案】C的【【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式、同角的三角函数关系式中的商关系直接求解即可.【详解】2222222222222(sin cos )cos 2sin cos 2sin cos cos sin sin cos 2sin cos cos cos sin cos tan 12tan 21tan αααααααααααααααααααα+++⋅=-++⋅=-++==-- 故选：C【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式，考查了同角的三角函数的商关系，考查了数学运算能力. 10.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x 一定存在零点的区间是( ) A. (),1∞- B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,∞+【答案】C 【解析】定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，由图知满足()()230f f <， 根据零点存在定理可知()f x 在()2,3一点存在零点. 故选C.点睛: 本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数()y f x =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b <g ,那么函数()y f x =在区间[a,b]内有零点,即存在(),c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的实数根.但是反之不一定成立.11.函数()cos f x x =，其定义域是[,]m n ，值域是1[1,]2-，则n m -的最大值是（ ） A.43π B.23π C. 2πD.53π 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数的图象、结合已知条件，分类讨论求解即可.【详解】因为函数()cos f x x =，其定义域是[,]m n ，值域是1[1,]2-， 所以有以下两种情况：（1）当52,22()33n k k m k k Z ππππππ=++≤≤+∈时，24()33n m k Z ππ∴≤-≤∈； （2）当52,22()33m k k n k k Z ππππππ=++≤≤+∈时，24()33n m k Z ππ∴≤-≤∈， 所以有n m -的最大值43π.故选：A【点睛】本题考查了已知余弦函数的定义域和值域求参数取值范围问题，考查了数形结合思想.12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且[0,2]x ∈时有12()log (1)=+f x x ，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论： 甲：(3)1f =；乙：函数()f x 在[6,2]--上是增函数； 丙：函数()f x 关于直线6x =对称；丁：若(0,1)m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[8,8]-上所有根之和为8-. 其中正确的是（ ） A. 乙、丁B. 乙、丙C. 甲、乙、丙D. 乙、丙、丁【答案】B 【解析】 【分析】甲：利用奇函数的性质，结合已知的等式和函数的解析式直接求解即可；乙：根据奇函数的性质求出函数在[2,0]-上的解析式，这样可以求出函数()f x 在[2,2]-上的解析式，再利用等式可以求出函数()f x 在[2,6]上的解析式，并判断出单调性，再根据奇函数的单调性的性质判断出函数()f x 在[6,2]--上的单调性；丙：根据已知等式可以求出函数的周期，这样就可以判断(6)(6)f x f x +=-是否成立即可； 丁：求出[6,8]x ∈时，函数的解析式，画出函数图象在[8,8]-的图象，结合图象进行判断即可. 【详解】甲结论：12(3)(3)[(1)](1)log 21f f f f =--=--===-，故甲结论不正确；乙结论：当[2,0]x ∈-时，12()()log (1)f x f x x =--=--+，所以当[2,2]x ∈-时，1212log (1),02()log (1),20x x f x x x +≤≤⎧⎪=⎨--+-≤<⎪⎩. 由(4)()()(4)f x f x f x f x -=-⇒=--，因此当[2,6]x ∈时，1212log (3),46()(4)log (5),24x x f x f x x x --≤≤⎧⎪=--=⎨-+≤<⎪⎩，显然当[2,4)x ∈，函数是单调递增函数，则有()0f x <，当[4,6]x ∈，函数是单调递增函数，则有()0f x ≥，所以函数在[2,6]x ∈时，是单调递增函数，故由奇函数的单调性的性质可知：函数()f x 在[6,2]--上是增函数，故乙结论是正确的； 丙结论：(4)()()(4)(4)(8)()(8)f x f x f x f x f x f x f x f x -=-⇒=-+⇒+=-+⇒=+，所以函数的周期为8，该函数是奇函数，所以(4)()()()(4)f x f x f x f x f x -=-=-⇒=--，因此有：(6)(64)(10)(1610)(6)f x f x f x f x f x +=---=--=--=-，所以函数关于直线6x =对称，故丙结论是正确的；丁结论：由上分析可知当[2,0]x ∈-时，12()()log (1)f x f x x =--=--+，所以当[6,8]x ∈时，根据周期性可知：12()(8)log (9)f x f x x =-=--+，所以函数()f x 在[8,8]-上的函数图象如下图所示：由图象可知：()f x 在[4,0]-上、[4,8]上，分别关于直线2,6x x =-=对称，而且函数()f x 与函数(01)y m m =<<有四个交点，从左到右设为：1234,,,x x x x ，因此有12342(2)268x x x x +++=⨯-+⨯=，故丁结论不正确.故选：B【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性、单调性，考查了方程根的情况，考查了数形结合思想，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知21,0()10,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则[(7)]f f 的值为_________. 【答案】8 【解析】 【分析】直接应用代入法求值即可.【详解】2[(7)](710)(3)(3)18f f f f =-=-=--=. 故答案为：8【点睛】本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题. 14.已知2sin 23α=，(0,)απ∈，则sin cos αα+=_________.【解析】 【分析】 由2sin 23α=，结合二倍角公式可以知道α的取值范围，再利用同角的三角函数的平方和关系直接求解即可.【详解】22sin 22sin cos 0(0,)(0,)332πααααπα=⇒⋅=>∈∴∈Q .sin cos 3αα+===.【点睛】本题考查了同角的三角函数关系中的平方和关系，考查了二倍角的正弦公式，考查了数学运算能力.15.方程31xk -=有两解，则k 的范围为__________．【答案】()0,1 【解析】方程31xk -=有两解等价于函数y =|3x −1|与y =k 的图象有两个交点， 在同一坐标系中画出y =|3x −1|与y =k 的图象，如图：∴k 的取值范围是：(0,1)点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 16.已知()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______． 【答案】143【解析】试题分析：由题意6324x πππ+==是函数()f x 的最小值点，所以32,432k k Z πππωπ⋅+=+∈，即148,3k k Z ω=+∈，又236T πππω=≥-，所以012ω<≤，所以143ω=．考点：三角函数的周期，对称性．【名师点睛】函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx ＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x ，利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝kπ＋2π(k∈Z)求解，令ωx ＋φ＝kπ＋2π(k∈Z)得其对称轴．【此处有视频，请去附件查看】三.解答题（本大题共6小题，第17题10分，其它每小题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设集合121|log ,28A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，{|B x y == （1）若2a =，求A B I ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|23}A B x x ⋂=≤≤；（2）(,1]-∞-. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数12log y x =的定义域求出函数的值域从而化简集合A 的表示，求解函数y =定义域化简集合B 的表示，再运用集合交集的定义运算即可； 【详解】（1）12138x y ≤≤∴-≤≤Q，因此{|13}A y y =-≤≤，因为2a =，所以有 23102x x --≥⇒≥，因此{|2}B x x =≥，{|23}A B x x ⋂=≤≤；（2）{|13}A y y =-≤≤.由310x a x a --≥⇒≥，因此{|}B x x a =≥， 因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，则有1a ≤-，故实数a 的取值范围是(,1]-∞-.【点睛】本题考查了交集的运算性质，考查了已知集合并集的结果求参数问题，考查了指数函数和对数函数的不等式的解法，考查了数学运算能力. 18.已知角α的终边经过点43,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭()1求sin α；()2求()()()sin tan 2sin cos 3πααππαπα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅+-的值．【答案】，1，35-，2，54.【解析】试题分析：（1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值． （2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=45，可得结果． 试题解析：（1）∵1OP =，∴点P 在单位圆上. 由正弦函数定义得3sin 5α=-. （2）原式cos tan sin 1sin cos sin cos cos αααααααα=⋅==--⋅，由余弦函数的定义得4cos 5α=.故所求式子的值为54. 19.已知α为第二象限角，3sin ,tan()15ααβ=+=,求cos 2tan αβ及的值． 【答案】7cos 225α=；tan 7β= 【解析】【详解】（1）由3sin ,5α=得2237cos 212sin 12()525αα=-=-⨯=;（2）由3sin ,5α=及α为第二象限角，得4cos ,5α=-3tan ,4α∴=-31tan()tan 4tan tan[()]731tan()tan 14αβαβαβααβα++-∴=+-===++- 20.已知函数3()ln3xf x x-=+ （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明； （2）设3()3xh x x-=+，用单调性定义证明函数()y h x =在()3,3-上是减函数； （3）求关于x 的不等式()21(22)0f xf x -++<的解集.【答案】（1）奇函数.证明见解析；（2）证明见解析；（3）112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义进行判断即可； （2）根据函数的单调性定义进行证明即可 （3）利用函数奇偶性和对数复合函数的单调性的性质求解即可.【详解】（1）由303xx ->+，得3x 3-<<，()f x ∴的定义域是()3,3-. 33()ln ln ()33x xf x f x x x+--==-=--+，()f x ∴是奇函数.（2）6()13h x x =-++12x x ∀<，且12,(3,3)x x ∈- ()()()()()2112121266603333x x h x h x x x x x --=-=>++++()()12h x h x ∴> ∴()f x 在定义域()3,3-上是减函数 （3）∵()f x 在定义域()3,3-上是减函数, ∴不等式可化为2(22)(1)f x f x +<-，231223x x ∴-<-<+<，解得112x -<<故解集为:112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断，考查了函数单调性的判断，考查了对数重合函数的单调性，考查了数学运算能力.21.已知函数1()sin 224f x x x =+ （1）求()f x 的值域；（2）求函数()f x 的最小正周期及函数的单调区间； （3）将函数()y f x =的图像向右平移3π个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 的表达式.【答案】（1）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）T π=，增区间为：5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，减区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ ；（3）1()sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的性质求出最值； （2）利用正弦型函数最小正周期公式、单调性直接求解即可；（3）按照正弦型函数变换的解析式的变化特点求解即可.【详解】（1）11()sin 2sin 2423f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. ()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ； （2）22T ππ== 由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得增区间为：5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； 由3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈得 减区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）由（1）知1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图像向右平移3π个单位后，得到11sin 2sin 223323y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数1sin 423y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，所以1()sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了正弦型函数的最小正周期公式、单调性，考查了辅助角公式，考查了正弦型函数的图象变换，考查了数学运算能力. 22.已知()221g x x ax =-+在区间[]13，上的值域为[]0,4． (1)求实数a 的值； (2)若不等式()240xxg k -⋅≥ 当[)x 1,∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）1-4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，. 【解析】【分析】(1)分类讨论二次函数的轴和区间的关系，分别讨论函数的单调性，进而得到函数的最值；（2）由已知得()22221?40xx x k -⨯+-≥在[)1,x ∈+∞上恒成立⇔ 2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)1,x ∈+∞上恒成立，令12xt =，且10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则上式2121,0,2k t t t ⎛⎤⇔≤-+∈ ⎥⎝⎦恒成立，根据二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）()()221g x x a a =-+- 当1a <时，()g x 在[]1,3上单调递增()()min 1220g x g a ∴==-=，即1a =，与1a <矛盾．故舍去．当13a ≤≤时，()()2min 10g x g a a ==-=，即1a =±，故1a =此时()()21g x x =-，满足[]1,3x ∈时其函数值域为[]0,4． 当3a >时，()g x 在[]1,3上单调递减()()min 31060g x g a ==-=，即53a =，舍去． 综上所述：1a =． （2）由已知得()22221?40xx x k -⨯+-≥在[)1,x ∈+∞上恒成立⇔ 2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)1,x ∈+∞上恒成立 令12xt =，且10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则上式⇔ 2121,0,2k t t t ⎛⎤≤-+∈ ⎥⎝⎦恒成立．记()221h t t t =-+10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦Q 时()h t 单调递减，()min 1124h t h ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭故14k ≤所以k 的取值范围为．【点睛】这个题目考查了二次函数在小区间上的最值问题，一般转化为轴动区间定或者轴定区间动的问题，分类讨论函数的单调性，进而得到最值；也考查到恒成立求参的问题，一般采用变量分离的方法，转化为最值问题.。