等效问题辨析

等效问题辨析等效是不同中的“相同”，而不是在各个方面的“全同”．只是不同事物或不同现象在某些方面，某些条件下的“相同”．所以，对于物理学中两种物事或两种现象的等效是有条件的，有适用范围的．如果不符合特定条件或超出适用范围乱等效必然会导致错误结果．题组1：曲和直（物理过程等效注意点）题例：如图所示，曲面PC 和斜面PD 固定在水平面MN 上,C 、D 处平滑连接，O 点位于斜面顶点P 的正下方，OC ＝OD 。

某人从顶端P 由静止开始分别沿曲面和斜面滑下，经过C 、D 两点后继续运动，最后停在水平面的A 、B 两处。

各处材质相同，忽略空气阻力，则（ ）A ．此人在曲面PC 和斜面PD 上克服摩擦力做功一定相等B ．此人沿PCA 和沿PDB 运动克服摩擦力做功一定不相等C ．距离OA 一定等于OBD ．距离OA 一定小于OB问题：我们知道，物体从右图A 点沿粗糙斜面下滑，物体在AB 段下滑过程中, 克服动摩擦力所做的功W= mg OB ，若把曲面等效为由无数微小的斜面连接组成，上题选项A 是否正确？辨析：化曲为直、等效替代是物理学经常用到的方法，但这种等效替代不应改变两种情况下( 沿曲面和沿斜面下滑) 的等同性( 即效果相同)。

这里由曲面等效为无数微小斜面上的任意一点( 物体速度为零的点除外)，物体所受弹力的大小F N ≠ mg cos θ ( 设斜面的倾角为θ) 。

比较：如图所示，F=20N 作用于半径R=1m 的转盘边缘上，力F 的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周，力F 做的功是多少？强化训练：1、如图1 所示, 用同种材料制成的一个轨道ABC, AB 段为1/ 4 圆弧, 半径为R ,水平放置的BC 段长为R . 一个物块质量为m , 与轨道的动摩擦因数为L, 它由轨道顶端A 从静止开始下滑, 恰好运动到C 端停止, 物块在AB 段克服摩擦力做功为（ ）2、3．如图甲所示，一根不可伸长的轻绳一端拴着一个小球，另一端固定在竖直杆上，当竖直杆以角速度ω转动时，小球跟着杆一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角为θ，则图乙中关于ω与θ关系的图象正确的是()（当θ＝0°时与ω为0等效吗？情景已发生变化）D解析：对小球受力分析后列牛顿第二定律方程，设绳长为L，小球质量为m，则mg tanθ＝m(L sinθ)ω2，得ω2＝gL cosθ，再利用极限法，根据当θ＝0°和θ＝90°时cosθ分别为1和0即可判断出ω的变化规律应为D图．4、如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。

若水流速度不变，两人在靜水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为A．t甲＜t乙B．t甲＝t乙C．t甲＞t乙D．无法确定(特殊值不能取水流速度为零)C。

题组2：质心等效（物理模型等效注意点）题例：如图所示, 质量都是m的两个小球,分别固定在一长为l的轻杆的中点和一端.整个装置从水平位置下落到竖直位置时, 两球的速度分别是多大?问题：下面的解正确吗？辨析：质点组的动能为质心的动能与各质点对质心动能之和，这个关系叫柯尼希定理。

用公式表示是：∑=+=ni i i C k v m mv E 12'22121其中，m 表示质点组的总质量，i m 表示其中第i 个质点的质量，'i v 表示第i 个质点相对质心的速度。

比较与拓展：1、质量都是m 的两个小球, 分别固定在一长为l 的轻杆的中点和一端，如果整个装置绕固定端O 点在光滑水平面上运动，求OA 段轻杆的拉力，能否把A 、B 两球等效成质量为m 的C 球？练习：质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆的中点及端点，当棒在光滑的水平面上绕O 点匀速转动时，如图。

求棒的OA 段及AB 段的拉力之比。

2、2010年11月17日广州亚运会体操男子单杠决赛中，中国小将张成龙问鼎冠军．张成龙完成了一个单臂回环动作后恰好静止在最高点，如图所示．设张成龙的重心离杠l ＝1.1m ，体重51kg.忽略摩擦力，且认为单臂回环动作是圆周运动(g ＝10m/s 2)．试求：(1)达到如图所示效果，张成龙的重心在最低点的速度大小． (2)张成龙在最高点与最低点时对杠的作用力分别是多大． 解析： (1)根据机械能守恒，设张成龙在最低点的速度为v ，则mgh ＝12m v 2h ＝2l 所以v ＝2gh ＝2gl ＝211m/s ≈6.6m/s. (2)在最高点张成龙处于静止状态，故所受杠的支持力等于其重力：F N ＝mg ＝510N由牛顿第三定律，张成龙对杠的作用力为510N. 在最低点做圆周运动，设杠对张成龙的作用力为F N ′ 则F N ′－mg ＝m v 2l 故F N ′＝mg ＋m v 2l ＝2550N由牛顿第三定律知，张成龙对杠的作用力为2550N. 上题的解答选自某高三复习用书，上题的解答有问题吗？（可用等效重心法）3、如图所示，倾角为θ的光滑斜面上有两个质量均为m 的小球，中间有轻质细杆（长为l ）相连，下部的小球离地面高度为h ，放手后自静止滑下，求两球在水平面上一起运动的速度。

（接触面光滑，无能量损失，小球的大小忽略不计）（不得不用等效重心法）4、如图所示，一匀质链条对称的搭在一光滑的小定滑轮上。

书籍链条的质量为m ，长度为l ，现给其一微小扰动，使它由止滑离小定滑轮。

则它刚滑离小定滑轮时的速度是多少？5、如图所示，质量为m ，长为l 的均质链条一半搭在倾角为30=θ的斜面上。

现由静止释放，则链条刚离开斜面时的速度为多少？（击石起新浪）6、质量分布均匀的球体之间的万有引力可将球体的质量全部等效集中于质心(球心)计算，那么质量分布均匀的立方体之间的万有引力可否将立方体的质量全部等效到几何中心？总的来说，等效重心法是个不错的方法，不能因为有时候求出来的结果不对就否定它。

而应该了解它，进行正确的应用，避免错误的发生。

题组3、力的分解与速度分解的等效（物理量等效注意点） 假如一个人能看出当前即显而易见的差别，譬如，能区别一支笔与一头骆驼，我们不会说这人有了不起的聪明。

同样，另一方面，一个人能比较两个近似的东西，如橡树与槐树，或寺院与教堂，而知其相似，我们也不能说他有很高的比较能力。

我们所要求的，是要能看出异中之同和同中之异。

——黑格尔1、如图(a)所示，通过定滑轮的绳拉动放在水平地面上的物体A，当绳OC段与水平方向成θ角，求：(1)拉动绳的力为F时，物体在水平方向上受的拉力多大?(2)拉动绳的速度为v时，物体前进的速度多大?2、如图(a)所示，装置中P、Q、M为质量相同的三个物体，OA 与OB两段等长，当OA、OB与竖直方向都成θ角时，M下降的速度为v，求此时P、Q上升的速度多大?3、均匀杆AB可绕A端轴在竖直面内转动，在B端用跨过清轮的细绳吊起，绳的另一端挂有重物，重量为G，A、C在同一竖直线上，与AB的夹角为600，此时AC = AB.(1)杆此时所受压力多大?如图(a).(2)如果重物G此时向下的速度为v，则杆做圆周运动的速度多大?巩固训练：1、如图所示，竖直平面内放置一直角杆AOB，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两部分各有质量相等的小球A和B套在杆上，A、B间用轻绳相连，以下说法中正确的是（）A．若用水平拉力向右缓慢地拉A，则拉动过程中A受到的摩擦力不变B．若以一较明显的速度向右匀速地拉A，则拉动过程中A受到的摩擦力不变C．若以一较明显的速度向右匀速地拉A，则过程中A受到的摩擦力比静止时的摩擦力要大D．若以一较明显的速度向下匀速地拉B，则过程中A受到的摩擦力与静止时的摩擦力相等2．小球以一定的速度从A沿着光滑水平面匀速运动到B所需的时间为t1，以同样的速度从A沿着光滑对称曲面ACB运动到B所需的时间为t2，比较上面二种运动的时间，正确的是（）大于t2B．t1等于t2A．tC．t1小于t2D．无法确定答案：A3、如图所示．用一根长杆和两个定滑轮的组合装置用来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M ．C 点与O 点距离为l ，现在杆的另一端用力．使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平（转过了90°角）．此过程中下述说法正确的是A ．重物M 作匀速直线运动B ．重物M 作匀变速直线运动C ．重物M 的最大速度是l ωD ．重物M 的速度先减小后增大 答案：C4、如图所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A 点离滑轮的距离为H 。

人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B 点位置时，人的速度为v ，绳与水平面夹角为θ。

问在这个过程中，人对重物做了多少功？答案： 2cos sin )sin 1(22θθθmv mgH W +-=人5、在水平光滑细杆上穿着A 、B 两个刚性小球，两球间距离为L ，用两根长度同为L 的不可伸长的轻绳与C 球连接（如图20所示），开始时三球静止二绳伸直，然后同时释放三球。

已知A 、B 、C 三球质量相等，试求A 、B 二球速度V 的大小与C 球到细杆的距离h 之间的关系。

答案：V B =)()2/3(2222L h L h gh +-6、如图所示，轻质长绳水平地跨存相距为2L ，的两个小定滑轮A 、B 上，质量为m 的小物块悬挂在绳上的O 点，O 与A 、B 两滑轮的距离相等，在轻绳两端C 、D 分别施加竖直向下的恒力F =mg ，先托住物块，使绳处于水平拉直状态，由静止释放物块，在物块下落过程中，保持C 、D 两端力F 不变.问:（1）当物块下落距离h 为多大时，物块的加速度为零？（2）存物块下落上述距离的过程中克服C 端恒力F 做功W 为多少？ （3）物块下落过程中最大速度v MAX 和最大距离H 各为多少？答案： （1）L h 33= （2）mgL W 332= （3）L h 34=7、如图所示，有一光滑的T 字形支架，在它的竖直杆上套有一个质量为m 1的物体A ，用长为l 的不可伸长的细绳将A 悬挂在套于水平杆上的小环B 下，B 的质量m 2=m 1=m.开始时A 处于静止状态，细绳处于竖直状态.今用水平恒力F=3mg 拉小环B ，使A 上升.求当拉至细绳与水平杆成37°时，A 的速度为多大？答案：gl 588、如图所示，一根可伸长的细绳，两端各拴有物体A 和B （两物体可视为质点）.跨在一横截面为半圆形的、半径为R 的光滑圆柱面上，由图示位置从静止开始释放.若物体A 能到达半圆柱的顶点C ，则物体A 和B 的质量之比须满足什么条件？答案：131≤≤-BAm m π9、如图所示,半径为R 的1/4圆弧支架竖直放置,支架底AB 离地的距离为2R,圆弧边缘C 处有一小定滑轮,一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的物体,挂在定滑轮两边,且m1>m2,开始时m1、m2均静止,m1、m2可视为质点,不计一切摩擦.(1)求m1经过圆弧最低点A 时的速度.(2)若m1到最低点时绳突然断开,求m1落地点离A 点水平距离.(3)为使m1能到达A 点,m1与m2之间必须满足什么关系?答案： (1)21212)2(2m m gR m m +- （2）21212)2(4m m m m R+- (3)m 1≥22m10、某人骑自行车以10m/s 的速度在大风中向东行使，他感觉到风正以相当于车的速度从北方吹来，实际上风的速度是（ ）A ．14m/s ，方向为南偏西45° B．14m/s ，方向为北偏东45° C ．10m/s ，方向为正北 D ．10m/s ，方向为正南11、玻璃生产线上，宽9米的成型玻璃板以2米/秒的速度不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的割刀速度为10米/秒，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制，切割一次的时间多长？题组4：运动研究中的等效变换（物理过程等效）1、甲沿水平公路以0v 的速度做匀速运动，如图处于A 处的乙在公路一侧，此时甲与乙的连线与公路成030角，问乙追上甲的最小速度。