港澳台数学全国联考复习数学综合练习二(试题及答案)

港澳台第二学期综合练习二(答案)姓名______________ 成绩 ___________一、本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）下列命题中，真命题的个数 B ①．存在四边相等的四边形不．是菱形 ②．1212,,z z C z z ∈+为实数的充分必要条件是12,z z 为共轭复数 ③．若,x y ∈R ，且2,x y +>则,x y 至少有一个大于1④．对于任意01,n n n n n N C C C ∈+++ 都是偶数A 4B 3C 2D 1 【答案】B【命题立意】本题考查命题的真假判断。

【解析】对于B,若21,z z 为共轭复数，不妨设bi a z bi a z -=+=21,，则a z z 221=+，为实数。

设di c z bi a z +=+=21,，则i d b c a z z )()(21+++=+，若21z z +为实数，则有0=+d b ，当c a ,没有关系，所以B 为假命题，选B. （2）已知a 是实数，i 1ia z +=-是纯虚数，(32)z i -对应的点在复平面中的位置 B（A ） 虚轴 （B ）第一象限 （C ）第四象限 （D ）实轴 （3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于 D（A ）1 （B ）53（C ） 3 （D ）2（4）42lim4x x →-=- A（A ）14（B ）14- （C ）4 （D ）4-（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 C （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）如图：在空间直角坐标系中有直三棱柱111A B C A B C -，12C A C C C B ==，则直线1BC 与直线1A B 夹角为（ A ）A. arccos5B.arccos(5- C. arccos 5π- D. arccos 5【答案】A.【解析】设a CB =||，则a CC CA 2||||1==，),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ， ),2,0(),,2,2(11a a BC a a a AB -=-=∴，55,cos 111111=>=<∴BC AB ，故选(7)设65432()1250279031257071004562f x x x x x x x =--+++- 则(3)f = B（A ） 230 （B ） 217 （C ） 214 （D ） 211(8) 点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为 （ C ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈答案C 2(2,2),()3k k Z ππ+∈都是极坐标(9) 已知三棱锥S A B C -的所有顶点都在球O 的求面上，A B C ∆是边长为1的正三角形，S C 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ A ）()A 6()B6()C3()D 2【答案】A【解析】A B C ∆的外接圆的半径3r =，点O 到面ABC的距离3d ==,S C 为球O 的直径⇒点S 到面ABC的距离为23d =此棱锥的体积为11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯=另：1236ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A.(10) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为 A(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100【答案】A【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以nn a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1100111011101312121111110110021=-=-++-+-=+a a a a ，选A.（11）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179xy-=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△A F K 的面积为 D（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（12）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为 C（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（13）若1sin 2α<-，则α 的取值范围是 _____________________ ．(360210,360330),k k k z ⋅︒+︒⋅︒+︒∈（14）点(1,2,0)A -在平面210x y z +-+=上的投影_____________________522(,,)333- （15）已知圆C ：22680x y x +-+=，则圆心C 的坐标为 ；（3,0 ）若直线y kx =与圆C 相切，且切点在第四象限，则k =．4-（16） 821⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中常数项为______________________ 835【解析】二项展开式的通项为k k k kk k k xC xx C T --+==48881)21()21()(，令04=-k ，解得4=k ，所以835)21(4845==C T ，（17）在直角三角形ABC 中，点D 是斜边A B 的中点，点P 为线段C D 的中点，则222P A P BP C+=_______________________ 10【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设0,),,0(),0,(>b a b B a A ，则)2,2(b a D ，)4,4(b a P ,所以1616)4()4(22222babaPC +=+=，16916)4()4(22222bab baPB+=-+=，16169)4()4(22222baba a PA +=+-=，所以22222222210)1616(101616916916PCbaba b aPBPA=+=+++=+,所以10222=+PCPBPA，（18）定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-， 则(2,2)f = ，(,2)f n = ． 2，22n -三、解答题：本大题共4小题，共60分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（19）（本小题共15分）已知函数2()cos cos f x x x x a =++．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值． （20）（本小题共15分）如图，在菱形A B C D 中，60DAB ∠=，E 是AB 的中点， M A ⊥平面A B C D ，且在矩形A D N M 中，2AD =，7AM =（Ⅰ）求证：A C ⊥B N ；（Ⅱ）求证：A N // 平面M E C ； （Ⅲ）求二面角M E C D --的大小.（21）（本小题共15分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=+-．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间(]0,e 上的最小值． （22）（本小题共15分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P到两点(0)，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为ABCDENM曲线C ，直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在△AO B 面积的最大值，若存在，求出△AO B 的面积；若不存在，说明理由.答案：13，(360210,360330),k k k z ⋅︒+︒⋅︒+︒∈ 14，522(,,)333- 15，（3,0 ）4-16，835 17，10 18，2， 22n -三、解答题（本大题共4小题，共60分）（19）解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x a +=++1sin(2)62x a π=+++.所以T =π． 由3222262k x k πππ+π≤+≤+π，得263k x k ππ+π≤≤+π．故函数()f x 的单调递减区间是2[,]63k k ππ+π+π（k ∈Z ）．（Ⅱ）因为63x ππ-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤．所以1sin(2)126x π-≤+≤．因为函数()f x 在[,]63ππ-上的最大值与最小值的和1113(1)()2222a a +++-++=， 所以0a =．（20）解：（Ⅰ）连结BD ，则A C B D ⊥.由已知D N ⊥平面A B C D ， 因为DN DB D = ，所以A C ⊥平面N DB .又因为B N ⊂平面N D B ，所以A C B N⊥（Ⅱ）C M 与B N 交于F ，连结EF . 由已知可得四边形B C N M 是平行四边形，所以F 是B N 的中点.因为E 是AB 的中点，所以//A NE F 又E F ⊂平面M E C ， A N ⊄平面M E C ，所以//A N 平面M E C .（Ⅲ）由于四边形A B C D 是菱形，E 是AB 的中点，可得D E A B ⊥. 如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，0,0)E , (0,2,0)C ，1,7M -.2.0)C E =-，(0,1,7EM =- .设平面M E C 的法向量为(,,)x y z =n .则0,0.C E EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n所以20,0.7y y z -=⎨-=⎪⎩令2x =.所以3=n .又平面A D E 的法向量(0,0,1)=m ， 所以1cos ,2⋅<>==m n m n m n.所以二面角M E C D --的大小是60°. （21）解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln 1f x x x=+-，),0(+∞∈x ，所以22111()x f x xxx-'=-+=，),0(+∞∈x .因此1(2)4f '=．即曲线)(x f y =在点(2,(2))f 处的切线斜率为14.又1(2)ln 22f =-，所以曲线)(x f y =在点(2,(2))f 处的切线方程为11(ln 2)(2)24y x --=-，即44ln 240x y -+-=． （Ⅱ）因为()ln 1a f x x x=+-，所以221()a x a f x xxx-'=-+=．令()0f x '=，得x a =．①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增，此时函数()f x 无最小值． ②若0e a <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减， 当(],e x a ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],e a 上单调递增， 所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln a ．③若e a ≥，则当(]0,e x ∈时，()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 所以当e x =时，函数()f x 取得最小值ea ．综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值；当0e a <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ； 当e a ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ea ．（22）解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0)，0)为焦点，长半轴长为2 的椭圆．故曲线C 的方程为2214xy +=．（Ⅱ）存在△AO B 面积的最大值.因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．则221,4 1.x y x m y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y m y +--=． 由22(2)12(4)0m m ∆=++>． 设1122()()A x y B x y ，，，． 解得1y =24y m =+则 21||4y ym -=+因为1212AO B S O E y y ∆=⋅-24m ==+．设1()g t t t=+，t =t ≥．则()g t 在区间)+∞上为增函数．所以()3g t ≥所以2AO B S ∆≤0m =时取等号，即m ax ()2AO B S ∆=．所以A O B S ∆的最大值为2．。