高中数学第二章几何变换与矩阵21二价方阵与平面向量乘法同步练习新人教A版4-2
高中数学人教A版_必修4_各章节同步练习+章节测试汇编300页含答案
A. 420o B. 860o
【答案】B
C. 1060o
D. 1260o
【解析】 4200 3600 600 终边位于第一象限， 8600 23600 1400 终边位于第二象限，选 B.
4 ．已知圆的半径为 ，则 600 圆心角所对的弧长为（ ）
A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3
【答案】B
【解析】由扇形面积公式 S 1 lr ，则 l 4 ，又 l 4 2 ．故本题答案选 B ．
2
r2
8．已知 A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于 90°的角}，那么 A、B、C 关系是（ ）
A.
B.
C.
D. A=B=C
【答案】B
【解析】 锐角必小于
,故选 B.
9．已知 是锐角，则 2 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 小于180o的正角 D. 第一或第二象限角
【答案】C
【解析】 是锐角,∴ 2 0， ，∴ 2 是小于180o的正角.
A. 3
B. 2 3
【答案】C
C. 2 3
D. 2 2 3
【解析】 60o 化为弧度制为 ，由弧长公式有 l r 2 ，选 C.
3
3
3
5．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A. { | 900 1800}
B. { | 2700 k 3600 1800 k 3600, k Z}
第 1 页 共 314 页
专题一任意 角和弧度制
测试卷（A 卷）
（测试时间：120 分钟 满分：150 分）
高中数学矩阵与变换(二)课后练习二新人教版选修4-2
2已知矩阵A =-4题2设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿 y 轴方向伸长为原来5倍的伸压变换.(1) 求直线4x 10y 1在M 作用下的方程； (2) 求M 的特征值与特征向量.题3.1 2已知a € R 矩阵A =，对应的线性变换把点 P (1,1)变成点P (3,3)，求矩阵 A 的特征a 1值以及每个特征值的一个特征向量.题4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A (0,0) , B ( — 2,0) , C ( — 2,1).设k 为非零实数，矩阵 Mk 0 0 1=o 1，N = 1 o ，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为 A 、B 、C , △ ABC 的面积是厶ABC 的面积的2倍，求k 的值.题51 01 1已知矩阵AB2 ,若矩阵AB 对应的变换把直线1 : x y 2 0变为直线0 20 1I'，求直线I'的方程.专题：矩阵与变换(二)，求满足AX B 的二阶矩阵X .所以所求曲线的方程为 4x 2y 1.(2)矩阵M 的特征多项式f( )1( 1)( 5) 0,5所以M 的特征值为1 1, 2 5 .当 二 11时，由M 11 1 1，得特征向量1当25时，由M 22 2，得特征向量21题3.1 1 答案：特征值为入 1 = — 1,入2= 3;特征向量为和 —1 11 21 33 详解：由题意= =, a 1 1a +13课后练习详解91 答案： 25—3 1详解：由题意得A 1=2 2,2 11 9— 4—1 - — 1 2 =2—3 115 — 1答案: (1) 4x 2y详解：(1) M设(x, y)是所求曲线上的任一点,所以x x, y 5y,x x ,所以 1 代入4x 10y 1得，4x y -y,52y题13 •/ AX B ,「. X = A 1B = 2得a+ 1 = 3,即a= 2,矩阵A的特征多项式为•••直线I 的方程为4x y 8 0入一1 — 2f （入）==（入一1）2 — 4=（入 + 1）（入一3）,—2 入一 1 令f （入）=0，所以矩阵 A 的特征值为 入1=— 1,入2= 3.2x + 2y = 0 ①对于特征值 入1 = 一1,解相应的线性方程组2x + 2y = 0x = 1得一个非零解，y =— 11因此，a = 是矩阵A 的属于特征值 入1=— 1的一个特征 —1 向量；2x — 2y = 0x = 1②对于特征值⑴3,解相应的线性方程组—2x + 2y = 0 ，得一个非零解y = 1，1因此，（3 = 是矩阵A 的属于特征值入2= 3的一个特征向量.1 题4.答案：—2或2.详解: 由题设得 MN= k 00 1 0 1 0 1 0 = 1 k 0 .由0 k 0 0 0 k —2 0 0 k — 2 k 由1 0 0 = 0， 1 0 0 = — 2， 1 0 1 = — 2， 可知」 A(0,0), B(0，- -2), C (k ,— 2).计算得△ ABC 的面积是1, △ ABC 的面积是| k | , 由题设知| k | = 2X 1= 2,所以k 的值为一2或2. 题5 答案：4x y 8 0.1 0 AB0 2y 20 中得 x — y — 2 0,4 2在直线I 上任取一点P （x, y ），经矩阵 AB 变换为点Q （x,y ）,11 x2 0 2 y11x y .x x y 2 , •22y y 2y详解：易得 1x y 4代入xy 2。
人教A版高中数学选修4-2-2.1-复合变换与二阶矩阵的乘法-课件(共28张PPT)
1. 什么是复合变换? 其变换公式是怎样 的?
2. 矩阵的乘法是怎样计算的? 它有什么 性质?
问题1. 如图,
已知向量
a=
x y
,
依次作两次旋转
变换 Rq 1, Rq 2 , 两次变换是否可以用一次变换得到? 若第一次作旋转变换 Rq 1, 第二次作关于 x 轴的反射 变换呢? 如果两次变换可以用一次变换得到? 那么变
.
（2）R90·s :
x y
=
0 1
1 0
1 2 0
0 1
x y
=
0
1 2
1 0
x y.
则复合变换公式为
x y
= =
1 2
y, x.
（3）∵ 0 1 10
1 2 0
0 1
1 0
=
0
1 2
1 0
1 0
=
0
1.
2
0 1 10
1 2 0
0 1
0 1
=
0
1 2
1 0
0 1
=
1 0
.
复合变换 R90·s 把单位正方形区域变成了以向量
x y
=
cos(q1 q2) sin(q1 q2)
sin(q1 q2) cos(q1 q2)
x y
=
xcos(q1 q2) ysin(q1 q2) xsin(q1 q2) ycos(q1 q2)
.
∴变换公式为
x y
= =
xcos(q1 q2) xsin(q1 q2)
ysin(q1 ycos(q1
q2), q2).
2 1
1 1
0 1
高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做 ，长度为 的向量叫做零向量(zero vector)，记做 ．零向量的方向不确定．长度等于 个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 （parallel vectors），向量 、 平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量 与 相等，记做 ．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若 ， 是单位向量，则 ；⑥ 若非零向量 与 是共线向量，则四点 共线．其中真命题的个数为（ ）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（ ）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为 ，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示， 是正六边形 的中心．（1）与 的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与 长度相等、方向相反的向量？（3）与 共线的向量有哪些？解：（1）因为 的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有 个，所以共有 个与 的模相等的向量．（2）存在，是 ．（3）有 、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学 第二章 平面向量专题强化训练 新人教A版必修4(2021年最新整理)
高中数学第二章平面向量专题强化训练新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量专题强化训练新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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平面向量(30分钟50分)一、选择题(每小题3分，共18分)1。
下列说法中正确的是（）A。
—= B.+=0C。
0·=0 D.++=【解析】选D.A错误.—=；B错误。
+=0;C错误。
0·=0;D正确。
由向量加法法则可知++=。
2。
设a,b都是单位向量，且a与b的夹角为60°，则|a+b｜=（)A.3B.C.2D.【解析】选B。
|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×1×cos60°+1=3，所以|a+b｜=。
3.（2015·荆州高一检测)如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点,那么=( ）A。
+ B.-—C。
-+D。
-【解析】选D。
在△CEF中，有=+，因为E为DC的中点，所以=.因为点F为BC的中点，所以=.所以=+=+= +=-。
4.已知向量|a|=10,｜b|=12，且a·b=—60,则向量a与b的夹角为( ）A.60°B。
120° C.135° D.150°【解析】选B。
由a·b=｜a|｜b|·cos<a，b>=—60得cos<a，b>=—，故<a,b>=120°.5。
高中数学 几何变换与矩阵 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法学案 苏教版选修4-2(2021年
2016-2017学年高中数学几何变换与矩阵2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法学案苏教版选修4-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学几何变换与矩阵2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法学案苏教版选修4-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
1。
2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1。
掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则.2。
理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.[基础·初探]1。
行矩阵错误!与列矩阵错误!的乘法规则错误!错误!＝错误!.2。
二阶矩阵错误!与列向量错误!的乘法规则错误!错误!＝错误!。
3.平面向量的变换一般地,对于平面上的任意一个点（向量)（x,y)，按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点(向量）（x′，y′），则称T为一个变换,简记为：T:(x，y)→（x′，y′)或T：错误!→错误!.4.由二阶矩阵与平面列向量的乘积确定的平面向量的变换一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为T:错误!→错误!＝错误!，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T：错误!→错误!＝错误!错误!的矩阵形式，反之亦然（a，b，c，d∈R)。
由矩阵M确定的变换T，通常记作T M.根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射.当α＝错误!表示某个平面图形F上的任意一点时,这些点就组成了图形F，它在T M的作用下，将得到一个新的图形F′--原象集F的象集F′。
人教版高中数学A版目录
新课标高中数学人教版A版目录必修1第一章集合与函数概念1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数2.2对数函数2.3幂函数第三章函数的应用3.1函数与方程3.2函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.2直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4.1圆的方程4.2直线、圆的位置关系4.3空间直角坐标系必修3第一章算法初步1.1算法与程序框图1.2基本算法语句1.3算法案例第二章统计2.1随机抽样2.2用样本估计总体2.3变量间的相关关系第三章概率3.1随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图象与性质1.5函数sin()y A x ωϕ=+1.6三角函数模型的简单应用第二章 平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2简单的三角恒等变换必修5第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章 数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n 项和2.4等比数列2.5等比数列前n 项和第三章 不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.42a b + 选修1-1（文科）第一章 常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章 圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章 导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2（文科）第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用1.2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图选修2-1（理科）第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算、阅读与思考、向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法选修2-2（理科）第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3（理科）第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何1.1古埃及的数学1.2两河流域的数学1.3丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学2.1希腊数学的先行者2.2毕达哥拉斯学派2.3欧几里得与《原本》2.4数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝3.1《周髀算经》与赵爽弦图3.2《九章算术》3.3大衍求一术3.4中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生4.1坐标思想的早期萌芽4.2笛卡儿坐标系4.3费马的解析几何思想4.4解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生5.1微积分产生的历史背景5.2科学巨人牛顿的工作5.3莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星6.1分析的化身──欧拉6.2数学王子──高斯第七讲千古谜题7.1三次、四次方程求根公式的发现7.2高次方程可解性问题的解决 7.3伽罗瓦与群论7.4古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考8.1古代的无穷观念8.2无穷集合论的创立8.3集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展9.1中国现代数学发展概观9.2人民的数学家──华罗庚9.3当代几何大师──陈省身选修3-3第一讲从欧氏几何看球面1.1平面与球面的位置关系1.2直线与球面的位置关系和球幂定理1.3球面的对称性第二讲球面上的距离和角2.1球面上的距离2.2球面上的角第三讲球面上的基本图形3.1极与赤道3.2球面二角形3.3球面三角形①球面三角形②三面角③对顶三角形④球极三角形第四讲球面三角形4.1球面三角形三边之间的关系4.2球面“等腰”三角形4.3球面三角形的周长4.4球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等5.1“边边边”(..s s s)判定定理5.2“边角边”(..s a s)判定定理5.3“角边角”(..a s a)判定定理5.4“角角角”(..a a a)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式6.1球面多边形及其内角和公式6.2简单多面体的欧拉公式6.3用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系7.1球面上的正弦定理和余弦定理7.2用向量方法证明球面上的余弦定理①向量的向量积②球面上余弦定理的向量证明7.3从球面上的正弦定理看球面与平面7.4球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何8.1平面几何与球面几何的比较8.2欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型8.3欧氏几何与非欧几何的意义选修3-4第一讲平面图形的对称群1.1平面刚体运动①平面刚体运动的定义②平面刚体运动的性质1.2对称变换①对称变换的定义②正多边形的对称变换③对称变换的合成④对称变换的性质⑤对称变换的逆变换1.3平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念2.1n元对称群Sn2.2多项式的对称变换2.3抽象群的概念①群的一般概念②直积第三讲对称与群的故事3.1带饰和面饰3.2分子的对称群3.3晶体的分类3.4伽罗瓦理论选修4-1（理科）第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1平行线等分线段定理1.2平行线分线段成比例定理1.3相似三角形的判定及性质①相似三角形的判定②相似三角形的性质1.4直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系2.1圆周角定理2.2圆内接四边形的性质与判定定理2.3圆的切线的性质及判定定理2.4弦切角的性质2.5与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨3.1平行射影3.2平面与圆柱面的截线3.3平面与圆锥面的截线选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵1.1线性变换与二阶矩阵①几类特殊线性变换及其二阶矩阵⑴旋转变换⑵反射变换⑶伸缩变换⑷投影变换⑸切变变换②变换、矩阵的相等1.2二阶矩阵与平面向量的乘法1.3线性变换的基本性质①线性变换的基本性质②一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法2.1复合变换与二阶矩阵的乘法2.2矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵3.1逆变换与逆矩阵①逆变换与逆矩阵②逆矩阵的性质3.2二阶行列式与逆矩阵3.3逆矩阵与二元一次方程组①二元一次方程组的矩阵形式②逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量4.1变换的不变量──矩阵的特征向量①特征值与特征向量②特征值与特征向量的计算4.2 特征向量的应用①n A 的简单表示②特征向量在实际问题中的应用选修4-4（文理科）第一讲坐标系1.1平面直角坐标系1.2极坐标系1.3简单曲线的极坐标方程1.4柱坐标与球坐标简介第二讲参数方程2.1曲线的参数方程2.2圆锥曲线的参数方程2.3直线的参数方程2.4渐开线与摆线选修4-5（理科）第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式①不等式的基本性质②基本不等式③三个正数的算术-几何平均不等式1.2绝对值不等式①绝对值三角不等式②绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法2.2综合法与分析法2.3反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式3.3排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法4.2用数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除1.1整除①整除的概念和性质②带余除法③素数及其判别法1.2最大公因数与最小公倍数①最大公因数②最小公倍数1.3算术基本定理第二讲同余与同余方程2.1同余①同余的概念②同余的性质2.2剩余类及其运算2.3费马小定理和欧拉定理2.4一次同余方程①一次同余方程②大衍求一术2.5拉格朗日插值法和孙子定理2.6弃九验算法第三讲一次不定方程3.1二元一次不定方程3.2二元一次不定方程的特解3.3多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用4.1信息的加密与去密4.2大数分解和公开密钥选修4-7（文理科）第一讲优选法1.1什么叫优选法1.2单峰函数1.3黄金分割法——0.618法①黄金分割常数②黄金分割法——0.618法1.4分数法①分数法②分数法的最优性1.5其他几种常用的优越法①对分法②盲人爬山法③分批试验法④多峰的情形1.6多因素方法①纵横对折法和从好点出发法②平行线法③双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步2.1正交试验设计法①正交表②正交试验设计③试验结果的分析④正交表的特性2.2正交试验的应用选修4-9第一讲风险与决策的基本概念1.1风险与决策的关系1.2风险与决策的基本概念①风险﹙平均损失﹚②平均收益③损益矩阵④风险型决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介4.1马尔可夫链简介①马尔可夫性与马尔可夫链②转移概率与转移概率矩阵4.2马尔可夫型决策简介4.3长期准则下的马尔可夫型决策理论①马尔可夫链的平稳分布②平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则③平稳准则的应用案例。
高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算练习(含解析)新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算练习（含解析）新人教A版必修4A级基础巩固一、选择题1．已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：由平面向量基本定理知①正确；若a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a －c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d的坐标为( )A．(2，6) B．(－2，6) C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a －4b＋4c＝(－2，－6)．答案：D3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎪⎫－45，35解析：AB→＝(3，－4)，则与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：A4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)解析：因为4a ，3b －2a ，c 对应有向线段首尾相接，所以4a ＋3b －2a ＋c ＝0，故有c ＝－2a －3b ＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．答案：D5．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为a ⊗b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q ＝( )A ．(－3，2)B ．(3，－2)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)解析：设向量q ＝(x ，y )，根据题意可得x ＝－3，2y ＝－4，解得x ＝－3，y ＝－2，即向量q ＝(－3，－2)．答案：D二、填空题6．设向量a ，b 满足a ＝(1，－1)，|b |＝|a |，且b 与a 的方向相反，则b 的坐标为________． 解析：因为向量a 与b 的方向相反，且|b |＝|a |，所以b ＝－a ＝－(1，－1)＝(－1，1)．答案：(－1，1)7．作用于原点的两个力F 1＝(1，1)，F 2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F 3＝________． 解析：因为F 1＋F 2＋F 3＝0，所以F 3＝－F 1－F 2＝－(1，1)－(2，3)＝(－3，－4)．答案：(－3，－4)8．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析：OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝ 2. a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 所以a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)． 10．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)．(1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R)，求λ与y 的值．解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1.所以B (3，1)． 同理可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(2)由PB →＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )，BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)， 又PB →＝λBD →(λ∈R)，所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.B 级 能力提升1．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m ⊗n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝a ⊗b ，那么向量b 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－45 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－45 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，45 解析：设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a ⊗b ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y .解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45. 答案：A2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：PQ →－PA →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ ＝QC →，所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)3．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n 的值；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝a ＝(5，－5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N (9，2)，所以MN →＝(9，－18)．。
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二价方阵与平面向量乘法
同步练习
一、选择题
1、设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是
A 、),2()2,21(+∞⋃-
B 、(2，+∞)
C 、(21-，+∞)
D 、(－∞，2
1-)
2、设=(x 1，y 1)，=(x 2，y 2)，则下列为与共线的充要条件的有 ①存在一个实数λ，使=λ或=λ；②|·|=||·||； ③
2
121y y x x =；④(a +b )//(a －b ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、若函数y=2sin(x+θ)的图象按向量(6
π
，2)平移后，它的一条对称轴是x=
4
π
，则θ
的一个可能的值是
A 、
125π B 、3π C 、6
π D 、12π 4、ΔABC 中，若BC BA AC AB ⋅=⋅，则ΔABC 必为
A 、直角三角形
B 、钝角三角形
C 、锐角三角形
D 、等腰三角形
5、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点P 与ΔABC 的关系是
A 、P 在ΔABC 内部
B 、P 在ΔAB
C 外部
C 、P 在直线AB 上
D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点上 6、在边长为1的正三角形ABC 中，=，AB c =，CA b =，则⋅+⋅+⋅= A 、1.5 B 、－1.5 C 、0.5 D 、－0.5 二、填空题
1、已知=(cos θ，sin θ)，=(3，－1)，则|2－|的最大值为____________
2、已知P(x ，y)是椭圆14
22
=+y x 上一点，F 1、F 2是椭圆的两焦点，若∠F 1PF 2为钝角，则x 的取值范围为________________
3、设=(a,b)，=(c,d)，规定两向量m, n 之间的一个运算“×”为×
=(ac －bd ，
ad+bc)，若已知p =(1，2)，p
×
q =(－4，－3)，则q =____________
4、将圆x 2
+y 2
=2按=(2，1)平移后，与直线x+y+λ=0相切，则实数λ的值为____________ 三、解答题
1、已知平面内三向量、、的模为1，它们相互之间的夹角为1200。
（1）求证：c b a ⊥-)(；（2）1||>++c b a k ，求k 的取值范围。
2、设两个向量1e 、2e 满足|1e |=2，|2e |=1，1e 与2e 的夹角为600
，若向量2172e e +=λ与向量21e e λ+=的夹角为钝角，求实数λ的取值范围。
3、△ABC 内接于以o 为圆心，l 为半径的圆，且=++543，求：⋅，
⋅，⋅。
4、抛物线2
2
x y -=与过点M(1，0)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若⋅=0，
求直线l 的方程。
5、设a =(m ，n)，b =(p ，q)，定义向量间运算“*”为：a *b =(mp －nq ，mq+np)。
（1）计算|a |、|b | 及 |a *b |；（2）设c =(1，0)，计算cos<a *b ，a >及cos<b ，c >； （3）根据（1）、（2）的结果，你能得到什么结论？
6、已知a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，0<α<β<π。
（1）求证：a +b 与a －b 垂直；
（2）若k a +b 与a －k b 的长度相等，求β－α的值（k 为非零的常数）
7、已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos α，sin α)。
（1）若1-=⋅，求sin2α的值；（2）若13||=+，且α∈(0，π)，求与的夹角。
8、已知=(2，2)，与的夹角为
4
3π
，且·=－2。
（1）求向量；（2）若=(1，0)，且⊥，=(cosA ，2cos 2
2
C
)，其中A 、C 是△ABC 的内角，若A 、B 、C 依次成等差数列，求|b +c |的取值范围。
9、已知向量、、、及实数x 、y ，且||=||=1，=+(x 2
－3)，=－y +x ，
⊥，若⊥，且||≤10。
（1）求y 关于x 的函数关系y=f(x)及定义域； （2）求函数f(x)的单调区间。
10、平面向量=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，点M 为直线OP 上一动点。
（1）当⋅取最小值时，求的坐标；（2）当点M 满足（1）中的条件和结论时，求∠AMB 的余弦值。
11、已知P(x ，y)，A(－1，0)，向量与=(1，1)共线。
（1）求y 是x 的函数；（2）是否在直线y=2x 和直线y=3x 上分别存在一点B 、C ，使得满足∠BPC 为锐角时x 取值集合为{x| x<－7或x>7}？若存在，求出这样的B 、C 的坐标；若不存在，说明理由。
12、已知21e e a -=，2134e e b +=，其中1e =(1，0)，2e =(0，1)。
（1）计算a ·b ，|a +b |的值；
（2）如果存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使o a k a k a k n n =+⋅⋅⋅++2211成立，则称n 个向量1a ，2a ，…，n a “线性相关”，否则为“不线性相关”，依此定义，三个向量1a =(－1，1)，2a =(2，1)，3a =(3，2)是否为“线性相关”的，请说明你的判断根据；
参考答案
选择题1－6 ACADDB
填空题 1. 4 ，2 ( ，3 （－2，1）， 4 －1或－5，
解答题1：k>0 或k<－2
2：1(7,()22
2-⋃-
3：⋅＝0，⋅＝－0.8，⋅＝－0.6 4：y=2x-2
5： |a |b a *b cos<*，>= cos<，
6:2
π
βα-=
7: sin2α=59-
;6
π
8(1) (-1,0);(0,-1) (2)[
22
9: y=x 3
-3x [x ∈ 增区间(,1];[1,)-∞-+∞ 减区间[1,1]-
10：（1）（4，2）（2）17
-
11：（1）y=x+1 (2)存在 B(2,4);C(-1,-3)或91841123(,),(,)772828
B C -
-
12 （1）·＝1，|+|（2）线性相关。