高一数学必修四综合检测(含答案)

高一数学必修四综合检测
班级 学号 姓名
一、选择题
1． 已知△ABC 中，tan A ＝－5
12
，则cos A 等于
( )
A.12
13
B.513 C ．－513 D ．－12
13
2． 已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k 等于
( )
A.12
B ．－2
C ．－7
D ．3 3． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →
等于
( )
A ．－16
B ．－8
C ．8
D ．16 4． 已知sin(π－α)＝－2sin(π
2
＋α)，则sin αcos α等于
( )
A.2
5
B ．－25 C.25或－25
D ．－1
5
5． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π
2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达
式为( )
A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4
B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4
C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4
D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭
⎫π8x ＋π4 6． 若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b 等于
( )
A.3
2
B. 3
C ．2 3
D.12
7． 把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的图象向右平移π
3
个单位可以得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4等于 ( )
A ．－
3
2
B.3
2
C ．－1
D ．1
8． 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →
，则λ等于( )
A.23
B.13 C ．－13
D ．－2
3
9． 若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是
( )
A ．7,5
B ．7，－112
C ．5，－11
2
D ．7，－5
10．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π
3
)等于( )
A ．－
3
4
B ．－14
C.
3
4
D.14
11．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π
2
个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12 ( )
12．sin 2 010°＝________.
13．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫1
2，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________. 14．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →
上的投影为________．
15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π
2
)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且
过点(2，－1
2)，则函数f (x )＝________.
三、解答题
16．已知向量a ＝(sin x ，3
2
)，b ＝(cos x ，－1)．
(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π
2，0]上的最大值．
17．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .
18．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π
2
)．
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π
2，求cos φ的值．
19．已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函
数g (x )在区间[0，π
16
]上的最小值．
20. 已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1
sin (π4＋x )sin (π4
－x ).
(1)求f (－11π
12
)的值；
(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝1
2f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．
21．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝
25
5
. (1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－5
13
，求sin α.
答案
1．D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.B 7.D 8．A 9.D 10.B 11.B 12.－1
2 13.1
14.2105 15.sin(πx 2＋π6) 16．(1)2cos 2x －sin 2x ＝2013 (2)f (x )max ＝12
17．(1)解 因为a 与b －2c 垂直，
所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.
(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，
得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin 2β≤4 2. 又当β＝－π
4＋k π(k ∈Z )时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.
(3)证明 由tan αtan β＝16 得4cos αsin β＝sin α
4cos β
，所以a ∥b .
18．解 (1)∵a ⊥b ， ∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，
∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45. 又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝5
5.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，
∴cos φ＝sin φ. ∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12. 又∵0<φ<π2，∴cos φ＝2
2.
19．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx
2
＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π
2ω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝
22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22
sin ⎝⎛
⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以2
2≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22
. 故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π
16上的最小值为1. 20．解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22x sin (π2
＋2x )
＝2cos 22x
cos 2x ＝2cos 2x ，
∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π
6＝ 3.
(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4
)．
∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π
8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.
21．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)
＝1＋1－2cos(α－β)＝2－2cos(α－β)， |a －b |2＝(255)2＝4
5，
∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝3
5
.
(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝12
13.
∴sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝33
65
.。