自动控制原理第5章 根轨迹法
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
《自动控制原理》第5章习题答案
jω
期望极点
期望极点
− p3
j
600
j0.58
− p2
-1
− p1
0 -j
-3
-2
σ
-2
19.150 -1
40.880 0.33 0
119.640
校核相角条件： 根据在图中主导极点位置的近似值－0.33 ± j 0.58 和开环极点的位置， 作由各开环极点到期望主导极点的向量，
Φ = －119.640 －40.880 －19.150 = －179.670≈－1800
− p2
-10 -5
− p1
0
σ
②计算期望主导极点位置。
超调量σ％ ≤ 20％，调整时间 ts ≤ 0.5s
4
ζω n
= 0.5s ， ζω n = 8
σ%=e
−
ζπ
1−ζ 2
= 0.2 ， ζ = 0.45 ， θ = 63.2 0
故，期望主导极点位置， s1, 2 = −8 ± j15.8
期望极点
Gc ( s ) =
4，控制系统的结构如图 T5.3 所示，Gc(s)为校正装置传递函数，用根轨迹法设计校正装置，
使校正后的系统满足如下要求，速度误差系数 Kv ≥ 20，闭环主导极点 ω n = 4 ，阻尼系数 保持不变。
R(s)
+ -
Gc(s)
4 s ( s + 2)
Y(s)
图 T5.3
解：①校核原系统。
14
+20
0dB
1
Φ (ω ) 度
900 00
5
ω rad/s
ω rad/s
2，控制系统的结构如图 T5.1 所示，试选择控制器 Gc(s)， 使系统对阶跃响应输入的超调量
自动控制原理根轨迹法知识点总结
自动控制原理根轨迹法知识点总结自动控制原理中的根轨迹法是一种常用的分析和设计控制系统的方法。
它通过在复平面上绘制系统的根轨迹，并结合数学分析的方法，可以帮助我们了解系统的稳定性及动态特性，并设计出合适的控制器来实现所需的性能要求。
本文将对根轨迹法的原理和关键知识点进行总结。
一、根轨迹法的基本原理根轨迹法是通过分析系统的开环传递函数来确定系统的极点和零点在复平面上的分布情况。
根轨迹是由系统的特征方程的解所决定的，即特征方程的根随参数的变化而移动，形成了一条曲线，这条曲线即为根轨迹。
根轨迹的形状和分布反映了系统的稳定性、动态响应及频率特性。
根轨迹法的基本步骤如下：1. 给定系统的开环传递函数：G(s)H(s)，其中G(s)为系统的传递函数，H(s)为控制器的传递函数。
2. 将开环传递函数表示为极点-零点的形式：G(s)H(s) = K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)，其中K为传递函数的增益，zi和pi为传递函数的零点和极点。
3. 根据传递函数的特征方程：1+G(s)H(s)=0，得到特征方程：1+K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm) = 0。
4. 以复平面为基准，根据特征方程的根（极点和零点），画出根轨迹。
5. 根据根轨迹的形状和分布，分析系统的稳定性和动态响应，设计合适的控制器参数。
二、根轨迹法的关键知识点1. 极点和零点：极点和零点是传递函数的根，它们对系统的稳定性和动态响应有着重要影响。
极点是使得特征方程为零的点，零点是使得传递函数的分子为零的点。
2. 稳定性判据：系统的稳定性和根轨迹的位置有直接关系。
当系统的极点全部位于左半平面时，系统是稳定的；若存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
3. 根轨迹与动态响应：根轨迹的形状和分布反映了系统的动态响应。
根轨迹与阻尼比、自然频率等参数有关，可以通过观察根轨迹的形状来判断系统的超调量、振荡频率等动态性能指标。
自动控制原理6 第五节根轨迹法设计校正网络
-6
5
4.画出校正以后系统根轨迹，求出 A1 点根轨迹增益
Kr
A1 A1 2 A1 9.6 A1 4
50.4
速度误差系数
Kv
K
Kr
2
4 9.6
10.51(
1
s
)
校正系统的开环传函为：
KcGc
(s)G(s)
50.4(s 4) s(s 2)(s 9.6)
6
用根轨迹法设计相位滞后校正网路
b
、b 0.2
；
（5）选 Zc和
Pc
：
1 bT
2.5，及
1 T
0.5
，zC
Pc
5
1 b
s+2.5 1 0.4s
Gc (s) 0.2 s+0.5 1 2s
校正后系统的开环传函
Gc G
2500k 0.2 (s 2.5) s(s 25)(s 0.5)
13
（6）画出校正后系统的根迹，除原点外，形状与原系统相似；
用根轨迹法设计相位超前校正网络 当品质指标以时域指标提出时，用根轨迹设计系统较方便。当
期望闭环主导极点位于未校正系统根轨迹的左边时，就可使用超前 校正。
在不考虑稳态指标时设计步骤如下：
1.根据所需要的动态品质指标要求，确定闭环主导极点A的位置；
2.画出未校正系统的根轨迹，求出使根轨迹通过A点所需要的补偿
（8）校验指标；
（9）求出网络参数 R,C ；
10
例：有一单位反馈控制系统的开环传函为 G(s) 2500k ，要求满
s(s 25)
足下列性能指标；
（1）当输入是一个1rad s的单位速度函数时，输出的速度函数
与输入速度函数的最终稳态误差不大于0.01rad； （2）单位阶跃响应的最大超调量 p 12% ，试设计一个相位滞
控制系统的根轨迹分析——自动控制原理
欠阻尼时共轭特征根为 s1,2 n j 1 2n
j 1 2n
闭环极点的张角 为：
n
cos
n
, cos1
( 1 2n )2 ( n )2
称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。而根据二阶系统性
能，在等阻尼线上，系统的超调量、衰减率也是相等的。
根轨迹图分析
根据根轨迹图定量估算系统动态性能
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
开环零极点对根轨迹的影响
❖ 增加开环极点：
增加的极点将对原根轨迹产生排斥作用，使原根 轨迹向背离所增极点的方向变形。
Root Locus 5
4
3
2
Imaginary Axis
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Real Axis
1
s(s 4)(s 6) s1.2 j2.1
解得：kg 44
由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点 为： p3 7.6
闭环单位阶跃响应
Amplitude
Step Response 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec)
根轨迹图分析
根据根轨迹图分析系统的稳定性 ✓ 闭环特征根在左半平面则稳定； ✓ 闭环特征根在右半平面则不稳定； ✓ 闭环特征根在虚轴上则临界振荡（无阻尼）； ✓ 一组闭环特征根如果有在右半平面的不稳定值，
自动控制原理第五章
自动控制原理第五章1. 频率特性:在正弦信号作用下，系统输出稳态分量与输入复数的比值;其中,比(W)的振幅输出的稳态分量的振幅输入称为振幅频率特性,和φ的差异之间的相位角(W)输出稳态组件和输入相角称为相位频率特性,即(公式)。
2. 频率特性的几何表示幅相频率特性曲线(简称幅相曲线或奈奎斯特曲线或极坐标图):w从0到∞变化时，G (JW)在复平面上的轨迹。
绘制方法:方法1:计算每个W值的幅值A (W)和相位角(W)，然后跟踪点并将其连接成光滑曲线;方法二:对每个W值计算U (W)和V (W)，然后跟踪点线。
对数频率特性曲线：（简称对数坐标图或伯德图）①对数幅频特性：[公式]②对数相频特性：[公式]③横坐标是频率w，采用对数分度，单位是rad/s；对数幅频特性曲线的纵坐标为对数幅频特性的函数值，采用均匀分度，单位是dB；对数相频特性曲线的纵坐标为相频特性的函数值，采用均匀分度，单位是（°）。
注：采用对数显著优点是将频率特性的幅值乘除变为相加减，简化作图。
3、典型环节的频率特性①比例环节G(s)=K幅相频率特性：G(jw)=K，幅频特性A(w)=K；相频特性φ(w)=0°；曲线为实轴上一点。
对数频率特性：L(w)=20lgK；φ(w)=0°改变K：幅频曲线升高或降低；相频曲线不变②积分环节G(S)= [公式]幅相频率特性：G(jw)= [公式]；幅频特性：A(w)= [公式] ；相频特性：-90°对数频率特性：L(w)=20lg [公式] =-20lgw；φ(w)=-90°③微分环节G(S)=S(纯微分)幅相频率特性：G(jw)=jw；幅频特性：A(w)=w；相频特性：φ(w)=90°对数频率特性：L(w)=20lgw；φ(w)=90°④惯性环节G(S)= [公式]幅相频率特性：G(jw)= [公式]；A(w)= [公式] ；φ(w)=-arctanTw 【当w=0时，A(0)=1，φ(0)=0°；当w=1/T时，A(1/T)= [公式] ，φ(1/T)=-45°；当w=∞时，A(∞)=0，φ(∞)=-90°】对数频率特性：L(w)=20lg[公式]，φ(w)=-arctanTw【[公式]时，L(w)≈20lg1=0，[公式]时，L(w)≈20lg [公式]】⑤振荡环节G(s)=[公式](式中T= [公式] , 0<ζ<1)；G(jw)= [公式] 幅相频率特性：A(jw)= [公式]；φ(w)=-arctan [公式]【当w=0时，A(0)=1，φ(0)=0°；当w=1/T=wn时，A(1/T)= 1/2ζ，φ(1/T)=-90°；当w=∞时，A(∞)=0，φ(∞)=-180°】【令[公式] =0，有谐振频率[公式] = [公式] ，谐振峰值：[公式]=A( [公式] )= [公式]当[公式]固定，[公式] 越小，[公式]越接近[公式]，[公式]越大；当ζ大于[公式] 时，将不发生谐振，即A(w)随着w增大而单调减小】⑥延时环节G(S)= [公式]幅相频率特性：G(jw)=[公式]；幅频特性：A(w)=1；相频特性：φ(w)=-57.3τw对数频率特性：L(w)=0；φ(w)=-57.3w4、绘图奈氏曲线制图方法：[公式]①起点:令w→0，则[公式]= [公式]0型系统：始于实轴(K,j0)的点Ⅰ型系统：始于相角为-90°的无穷远处;当w趋于0+时，曲线与虚轴平行Ⅱ型系统：始于相角为-180°的无穷远处;当w趋于0+时，曲线渐进与负实轴平行②终点: [公式] ,n>m。
自动控制原理第五章
第五章§5-1 引言§5-2频率特性§5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制§5-4开环和闭环系统Bode图的绘制方法§5-5 系统稳定性分析§5-6控制系统的相对稳定性分析第五章 控制系统的频率响应分析[教学目的]：掌握利用频域法进行系统分析的一般方法 ，为后面的校正及信号与系统分析打下基础。
掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握Nyquist 图和Bode 图的绘制方法，根据系统的Nyquist 图和Bode 图分析系统的性质。
本章的难点是Nyquist 稳定性分析。
[主要容]：一、引言 二、 频率特性 三、 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 四、 频率域稳定判据 五、 稳定裕度 六、 闭环系统的频域性能指标[重点]： 频率特性的基本概念，各种频域特性曲线的绘制，Nyquist 稳定判据的应用，及相对稳定裕度的分析，理解三频段的概念与作用。
[难点]：时域性能指标与频域性能指标之间的相互转换。
闭环频域性能指标的理解与应用[讲授方法及技巧]：联系传递函数，微分方程等数学模型，将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较，理解和掌握古典控制系统的完整体系。
准确理解概念，把握各种图形表示法的相互联系。
与时域法进行对比，以加深理解。
§5-1 引言1.时域分析法（特点）1)以传递函数和单位阶跃响应为分析基础构成的一整套解析法为主响应曲线图形分析法为辅的分析方法。
它具有直观、明确的物理意义，但就是运算工作量较大，参数的全局特征不明显。
2) 原始依据－－数学模型，得来不易，也同实际系统得真实情况有差异，存在较多的近似、假设和忽略，有时对于未知对象，还可能要用经验法估计。
3) 对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无能为力。
4) 在定性分析上存在明显的不足。
5) 属于以“点”为工作方式的分析方法。
2.根轨迹法（特点）1）根轨迹法弥补了时域分析法中参数全局变化时特征不明显的不足，在研究单一指定参数对整个系统的影响时很有用；2）增加零极点（增加补偿器）时，是一种很好的辅助设计工具； 3）以“线”和“面”为工作方式；4）为定性分析提供了一种非常好的想象空间和辅助思维界面。
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5.1 根轨迹法的基本概念
2．稳态性能 由图5-2可见，开环系统在坐标原点 有一个极点，系统属于Ⅰ型系统，因而 根轨迹上的K值就等于静态误差系数 Kv
。
当r(t)=1(t) 时，ess=0； 当r(t)=t时，ess=1/K=2/ K*
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第5章 根轨迹法
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5.1 根轨迹法的基本概念
5.1.3 闭环零、极点与开环零、 极点之间的关系
控制系统的一般结构如图
图5-3 系统结构图
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第5章 根轨迹法
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5.1 根轨迹法的基本概念
假设
G( s) K
* G g
(s z )
i i 1 i
f
(s p )
i 1
g
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第5章 根轨迹法
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5.1 根轨迹法的基本概念
* * K * KG KH 式中， 为系统根轨迹增益。对 于m个零点、n个极点的开环系统，其开 环传递函数可表示为
K G ( s) H ( s)
*
(s z )
i 1 i j
m
(s p
j 1
n
)
式中，zi表示开环零点，pi表示开环极点 。系统闭环传递函数为
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第5章 根轨迹法
4
5.1 根轨迹法的基本概念
控制系统如图所示。
图5-1控制系统结构图
其开环传递函数为
K K* G( s) s(0.5s 1) s(s 2)
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第5章 根轨迹法
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5.1 根轨迹法的基本概念
根轨迹增益K* =2K 。闭环传递函数为
G(s) ( s) 1 G( s) ( s) K
n * G
(s z ) (s p )
i 1 i j g 1 m * j j i 1 i
f
n
(s p ) K (s z )
第5章 根轨迹法
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5.1 根轨迹法的基本概念
3．动态性能 由图5-2可见，当0<K<0.5时，闭环特征 根为实根，系统呈现过阻尼状态，阶跃 响应为单调上升过程； 当K=0.5时，闭环特征根为二重实根，系 统呈现临界阻尼状态，阶跃响应仍为单 调过程，但响应速度较0<K<0.5时为快； 当K>0.5时，闭环特征根为一对共轭复根 ，系统呈现欠阻尼状态，阶跃响应为振 荡衰减过程，且随K增加，阻尼比减小， 超调量增大，但ts基本不变。
i 1
K H (s)
* H
因此
G(s) H (s)
j g 1
(s p )
j
j f 1 n
(s z )
j
m
K
*
(s z ) (s z )
i 1 i j f 1 n j i j g 1 j
f
m
(s p ) (s p )
7
5.1 根轨迹法的基本概念
利用计算结果在s平面上描点并用平滑曲 线将其连接，便得到 K （或 K* ）从零 变化到无穷大时闭环极点在s平面上移动 的轨迹，即根轨迹，如图
根轨迹图直观地表 示了参数K （或 K* ）变化时，闭环极 点变化的情况，全 面地描述了参数K对 闭环极点分布的影 响。
2017/6/16 第5章 根轨迹法
第5章 根轨迹法
1
本章内容
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本法则 广义根轨迹
利用根轨迹分析系统性能
Matlab在根轨迹法中的应用
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第5章 根轨迹法
2
引 言
在时域分析中已经看到，控制系统的性能 取决于系统的闭环传递函数，因此，可以 根据系统闭环传递函数的零、极点研究控 制系统性能。但对于高阶系统，采用解析 法求取系统的闭环特征方程根（闭环极点 ）通常是比较困难的，且当系统某一参数 （如开环增益）发生变化时，又需要重新 计算，这就给系统分析带来很大的不便。 1948年，伊万思根据反馈系统中开、闭环 传递函数间的内在联系，提出了求解闭环 特征方程根的比较简易的图解方法，这种 方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形 象，所以在控制工程中获得了广泛应用。
当系统参数 （ K*或K ）从零变化到无穷 大时，闭环极点的变化情况见表 K*
0 0.5 1 2 5 … ∞
K
0 0.25 0.5 1 2.5 … ∞
λ1
0 -0.3 -1 -1+j -1+j2 … -1+j∞
λ2
-2 -1.7 -1 -1-j -1-j2 … -1-j∞
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第5章 根轨迹法
2017/6/16 第5章 根轨迹法 11
5.1 根轨迹法的基本概念
上述分析表明，根轨迹与系统性能之间 有着密切的联系，利用根轨迹可以分析 当系统参数（K）增大时系统动态性能 的变化趋势。用解析的方法逐点描画、 绘制系统的根轨迹是很麻烦的。我们希 望有简便的图解方法，可以根据已知的 开环零、极点迅速地绘出闭环系统的根 轨迹。为此，需要研究闭环零、极点与 开环零、极点之间的关系。
2017/6/16 第5章 根轨迹法 3
5.1 根轨迹法的基本概念
5.1.1 根轨迹的基本概念
根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨 迹增益K*）从零变化到无穷时，闭环特 征方程的根在s平面上移动的轨迹。根轨 迹增益K*是首1形式开环传递函数对应的 系数。 先用直接求根的方法来说明根轨迹的含 义。
图5-2 系统根轨迹图
8
5.1 根轨迹法的基本概念
5.1.2 根轨迹与系统性能
依据根轨迹图（见图5-2），就能分析系 统性能随参数（如 K* ）变化的规律。 1．稳定性 开环增益从零变到无穷大时，图5-2 所示的根轨迹全部落在左半s平面，因此 ，当K>0时，图5-1所示系统是稳定的； 如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s平面 ，则在相应K值下系统是不稳定的；根 轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开 环增益。
C ( s) K* ( s ) 2 R( s ) s 2 s K *
闭环特征方程为 s 2 2s K * 0 特征根为：
1 1 1 K * 2 1 1 K *
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第5章 根轨迹法
6
* K 1 2
5.1 根轨迹法的基本概念