1-3动 力 学2

第四章
动能定理
动能定理
功 动能 动能定理 机械能守恒定律 动力学均衡定律应用
动能定理
•常力在直线运动中的功
功
W F S FS cos
•变力在曲线运动中的功
W F dr Fx dx Fy dy Fz dz W F dr Fx dx Fy dy Fz dz

２、定轴转动刚体的动能
1 2 T Mvc 2
1 1 2 2 vi ri T mi ri ( mi ri 2 ) 2 2 2 1 2 T J z 2
动能定理
３、平面运动刚体的动能
动能
1 2 T JP 2
J P J c M PC
2
1 1 2 2 T J c Mvc 2 2
2 ml mg cos FN
2、由质心运动定理
3 mg 令 FN=0 B 1 arccos 5 Fs 4 3g FN v C y l
5l
5
动能定理
3、由动量矩守恒定理
动力学均衡定律的应用
const t 1 2 H vC yt gt l (1 cos 1 ) 2 1 4 2 2 5l l g l 2 3g 5 5 l 2 (25 24 12) 30
动能定理
质点系动能定理
例3：求图示机构运动时，物块B的加速度，初始时 系统静止。 解： T0 0
M
r
A
x
2 1 1 2 11 2 x 2 Mr ( ) ( M 2m) x T mx 2 22 r 4 W mgx T T0 W 4mg 2 x x M 2m 2m m B g aB x M 2m
令 n 1

B
A
动能定理
动力学均衡定律的应用
•例6：图示系统，匀质轮A质量为M、半径R，匀质轮 B质量为m、半径r。如果系统由静止开始运动，试求 轮心B的加速度。 解：1、由动能定理
A
1 1 2 1 2 2 2 2 A mx B mgx 0 mr MR 4 4 2
MM 0
称质点由某一位置运动到所指定的零位置时势力场所 作的功为质点在该位置时所具有的势能
F V
动能定理
•机械能守恒定律
机械能守恒定律
T2 T1 U 2 U1 U 0 U1 (U 0 U 2 ) V1 V2
T1 V1 T2 V2
E const
平面运动刚体的动能等于刚体绕质心转动的动 能与刚体随质心平动动能之和。
动能定理
动能
4、质点系的动能（König’s theorem)
r vi vc vi r r 2 2 2 r vi vi vi (vc vi ) (vc vi ) vc vi 2vc vir r 1 2 1 r2 T mi vc mi vi mi vc vi 2 2 1 2 r T Mvc Tc 2
动能定理
质点的动能
动能
1 2 T mv 2
mv是以机械运动来度量机械运动；½ mv2是 以机械运动转化为一定量的其他形式的运动的能 力来度量机械运动。
质点系的动能
1 2 T Ti mi vi 2
动能定理
•质点系的动能 １、平动刚体的动能
动能
1 2 T mi vi 2
vi vc
when h 0
k 2Q
动能定理
动力学均衡定律的应用
•例5：匀质杆AB长2l，竖直放在桌子的边缘。给一小 扰动，杆将向外绕B点转动。求杆离开桌子时的角速度。 如果杆落地时垂直打击地面，则桌子应多高？ 解：1、由动能定理

B
A
A
2 2 2 ml mgl (1 cos ) 3
2、由运动学
2 D 2 2 2 cos v r x 2rx

B
3、由水平方向动量守恒
2(M m )g sin mg sin 2 a 2 3(M m ) 2m cos r [3(M m ) 2m cos 2 ]
m (x r cos ) 0 Mx
W mgdz d (mgz)
k ( )
1 2 2 1 2 2
r1



动能定理
功
3、作用于定轴转动刚体上力的功：
z
r y
F
x o
W F dr F v dt F ( r )dt (r F )dt dt M o (F ) k M z ( F ) d
动能定理
•势力场 if F dr 0
机械能守恒定律
then 单值、连续函数 U U ( x, y, z ) F U grad U U U U W F dr dx dy dz dU x y z
W dU U ( x2 , y2 , z2 ) U ( x1 , y1 , z1 )
3、由动量矩定理
A
1 A m( R A r B )( R r ) MR 2 2 1 B mg (R r ) mr 2 2 5M m R A r B aB x g 3M 2m
B
动能定理
动力学均衡定律的应用
总结
1、对于单自由度的系统，应用动能定理较为简单。 2、如果对于单自由度的系统涉及到需要求解力时， 则先应用动能定理求速度或加速度，再应用质心运动定 理或刚体平面运动微分方程求解力。 3、如果是多自由度系统则直接采用质心运动微分方 程或刚体平面运动微分方程。
2、 Qv1 ( P Q)v2
动能定理
动力学均衡定律的应用
1 PQ 2 1 P P 2 2 v2 ( P Q) k (( ) ( ) ) 2 g 2 k k 2 1 Q h 2 k Q 0 2 PQ
2kh k Q(1 1 ) PQ
B
B A r R x 1 1 2 2 A m( R A r B )2 MR 4 2 1 2 2 B mg ( R A r B ) 0 mr 4
2、运动学关系
?
动能定理
动力学均衡定律的应用
1 1 2 2 2 1 2 2 B mg ( R A r B ) 0 MR A m( R A r B ) mr 4 2 4
动能定理
动力学均衡定律的应用
•例8：半径为r，质量为m的匀质圆盘可绕通过盘心C且垂 直盘面的光滑水平轴自由转动，质量为m/20的甲虫A处 在盘的最底点，系统静止。突然，甲虫以不变的相对盘 子的速率v沿边缘爬行。试求1）圆盘的初始角速度；2） v为多大时，甲虫能爬过顶点。
C

A
动能定理
动力学均衡定律的应用
•例7：三棱柱体ABC质量为M，ABC=，放在光滑的水 平面上。质量为m半径r的匀质圆柱体D沿斜面AB无滑动 地滚下，求三棱柱体的加速度和圆柱体的角加速度。 解：1、由动能定理
D
x A
C
1 1 1 2 2 mv D mr 2 2 mgr sin Mx 2 2 4
2
2
0
在一般情况下，功与路径有关。
动能定理
•几种常见力的功： 1、重力： F mg k
z2
功
W (mg )dz mg( z1 z2 ) z1 r 0 0 2、弹性力： F k (r r )r r 0 r W F dr k (r r0 )r 0 dr k (r r0 )dr r2 2 2 1 W k (r r0 )dr 2 k (r1 r0 ) (r2 r0 )
r1 r2
U（x，y，z）称为势力场的力函数或势函数
动能定理
•势能
机械能守恒定律
v1 v2
M1 ( x1 , y1 , z1 ) M 2 ( x2 , y2 , z2 )
1 2 1 2 mv2 mv1 W W U ( x2 , y2 , z2 ) U ( x1 , y1 , z1 ) 2 2 V W U ( x0 , y0 , z0 ) U ( x, y, z )
质点动能的微分等于外力的元功
动能定理
•质点系的动能定理
质点系动能定理
(e)
(e)
dTi Wi
dT Wi
Wi
(i )
(i )
Wi
质点系动能的微分等于作用在质点系上所有外力 元功与内力元功的总和
T2 T1 Wi
(e)
Wi
(i )
在某一过程中，质点系动能的改变等于作用在质 点系上所有外力与内力在这一过程中所作功的总和
l AB
l AB
l AB
l AB
动能定理
功
•例1 F i xy j 试计算沿下列路径所做的功 1. l1 : x : 0 1, y 0; x 1, y : 0 1
2. l2 : x 0, y : 0 1; x : 0 1, y 1 解： Wl1 F dr Fx dx Fy dy dx xydy l1 l1 l1 1 1 3 dx ydy 0 0 2 1 Wl2 F dr dx xydy 0 dx 1 l l
o
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动能定理
质点系动能定理
•质点的动能定理 dv dv m dr F dr m F dt dt dv dv 1 2 dv m dr m v dt m vdt mvdv d ( mv ) dt dt 2 dt