1.4 数学归纳法 同步课件(北师大版选修2-2)

基本步骤：
①验证： n＝1 时，命题成立； ②在假设 n＝k(k≥1) n＝k＋1 时命题成立的前提下，推出
时，命题成立．
根据①②可以断定命题对一切正整数n都成立．
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3．数学归纳法的框图表示：
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：数学归纳法的第一步中n的初始值怎样确定？ 提示 数学归纳法的第一步中 n 的初始值应根据命题的具
成立的参数的值或范围；
(3)猜想并证明对正整数n都成立的一般性命题．
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3．应用数学归纳法的注意事项 (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 提醒：用数学归纳法可证明与正整数有关的问题，但并不 是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要
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1 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋ ＋ . k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)可知，对一切正整数 n 等式都成立．
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题型二 几何问题
【例2】 几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个
都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点
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1 1 1 1 1 【训练 1】 用数学归纳法证明： 1－ ＋ － ＋„＋ － 2 3 4 2n－1 2n 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋ (n∈N＋) 2n n＋1 n＋2
1 1 解 (1)当 n＝1 时，左边＝1－ ＝ ， 2 2 1 1 右边＝ ＝ . 1＋1 2 左边＝右边．等式成立．
§4 数学归纳法
【课标要求】 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【核心扫描】 1．数学归纳法的原理及用数学归纳法证明数学命题的步
骤．(重点、难点)
2．学会用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题．ຫໍສະໝຸດ (重点、难点)课前探究学习
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自学导引
1．数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与 正整数n 有关的数学命题的 一种方法． 2．数学归纳法证明步骤
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(2)假设 n＝k(k≥1)时等式成立，即 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋„＋ － 2k－1 2k 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋ ， 2k k＋1 k＋2 则当 n＝k＋1 时，
1－1＋1－1＋ 1 － 1 1 － 1 ＋2k＋1 2k＋2 2 3 4 2 k 2 k － 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ － ＝ 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2
最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)．
[思路探索] 验证n＝2时成立 ―→ 文字说明fk＋1－fk的增量 ―→ 验证fk＋1＝k＋12成立
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解 (1)如图， n＝2 时， 两个半圆交于一点， 则分成 4 段圆弧， 故 f(2)＝4＝22. (2)假设 n＝k 时，f(k)＝k2 成立，当 n＝k＋1 时，第 k＋1 个半 圆与原 k 个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不 能交于一点， 所以第 k＋1 个半圆把原 k 个半圆中的每一个半 圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出 k 条圆弧，另外原 k 个半圆把第 k＋1 个半圆分成 k＋1 段， 这样又多出了 k＋1 段 圆弧． ∴f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 由(1)，(2)可知命题得证．
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证明 (1) 当 n＝1时，左边＝ 1×4 ＝ 4，右边＝ 1×22 ＝4 ，左边
＝右边，等式成立．
(2) 假设当 n ＝ k(k∈N ＋ ， k≥1) 时等式成立，即 1×4 ＋ 2×7 ＋ 3 ×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2， 那么，当n＝k＋1时， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝ k(k ＋ 1)2 ＋ (k ＋ 1)[3(k ＋ 1) ＋ 1] ＝ (k ＋ 1)(k2 ＋ 4k ＋ 4) ＝ (k ＋ 1)[(k ＋1)＋1]2，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．
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用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，
关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边
各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时，等式两边会增加多少项．难点在于寻找n＝k时和n＝k＋1时 的等式的联系．
②就没有意义了．
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说明： 归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方
法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明
猜想． “观察 ——猜想—— 证明”是解答与自然数有关命题的 有效途径．
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2．数学归纳法的主要应用 利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代 数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题 等等，所涉及的题型主要有以下几个方面： (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和； (2) 由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题
体情况而确定，不一定是n0＝1，如证明n边形的内角和为
(n－2)·180°时，其初始值n0＝3.
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名师点睛
1．数学归纳法中两个步骤的作用及关系
步骤①是命题论证的基础，步骤②是判断命题的正确性能
否递推下去的保证． 这两个步骤缺一不可，如果只有步骤①缺少步骤②，无法 对 n 取 n0 后的数时结论是否正确做出判断；如果只有步骤 ②缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤
具体问题具体分析.
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题型一 恒等式问题
【例1】 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋
1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)． [思路探索] 第(1)步先验证等式成立的第一个值n0；第(2)步 在n＝k时等式成立的基础上，等式左边加上n＝k＋1时新增 的项，整理出等式右边的项．