【推荐】2017-2018学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷

2017-2018 学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5 分）已知集合M＝{0 ，1，2，3，4} ，N＝{ x|x＝2n﹣1，n∈N} ，P＝M∩N ，则P 的子集共有（）A ．2 个B ．3 个C．4 个D．5 个2 22．（5 分）方程x +y ﹣ax+by+c＝0 表示圆心为（1，2），半径为 1 的圆，则a、b、c 的值依次为（）A ．﹣2，﹣4，4B ．2，﹣4，4 C．2，﹣4，﹣4 D．﹣2，4，﹣4﹣33．（5 分）若a＝2 ，b＝π，c＝e，则有（）A ．a＞b＞cB ．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 4．（5 分）圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则圆锥的表面积为（）A ．B ．3πC．4πD．5π5．（5 分）已知m、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是（）A ．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β2 6．（5 分）若M（x0，y0）为圆x2＝r 2（r ＞0）上一点，则直线x0x+y0y＝r 2 与该圆的位置+y关系为（）A ．相切B ．相交C．相离D．相切或相交27．（5 分）已知y＝f（x）是定义在R 上的偶函数，当x≥0 时，f（x）＝x ﹣2x，若x?f（x）≥0，则x 的取值范围是（）A ．[一2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪[0，2] D．[ ﹣2，0] ∪[2，+∞）8．（5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）第1 页（共20 页）A ．2B ．C．4 D．9．（5 分）数学家欧拉在1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点为A（0，0），B（4，0），C（3，），则该三角形的欧拉线方程为（）A ．x﹣y﹣2 ＝0B ．x﹣y﹣2 ＝0 C．x﹣y﹣2＝0 D．x﹣y﹣2＝0 10．（5 分）已知函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R 且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数 a 的取值范围是（）A ．[3，+∞）B ．（3，+∞）C．（一∞，3）D．（一∞，3]11．（5 分）直线kx﹣y﹣k＝0 与曲线y＝交于M、N 两点，O 为坐标原点，当△OMN 面积取最大值时，实数k 的值为（）A ．﹣B ．﹣C．﹣1 D．1x12．（5 分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，满足f（f（x）﹣e ﹣2lnx ）＝e+1 ，则函数f （x）的零点所在区间为（）A ．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，e）二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共20 分.x）＝2x2﹣1，则f（1）＝．13．（5 分）已知f（214．（5 分）P（1，1，﹣2）是空间直角坐标系中一点，点P 关于平面xOy 对称点为M，点P 关于Z 轴对称点为N，则线段|MN |＝．第2 页（共20 页）15．（5 分）函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x）的单调递减区间是．16．（5 分）如图，正方形ABCD 边长为2，点M 在线段DC 上从点 D 运动到点C，若将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABC，则点D 在平面ABC 内射影所形成轨迹的长度为．三、解答题：本大题共 6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10 分）已知直线l1：3x+（m+1）y﹣6＝0，l 2：mx+2y﹣（m+2）＝0，分别求满足下列条件的m 的值（1）l1⊥l2；（2）l 1∥l218．（12 分）已知△ABC 的顶点A（1，2），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为x+2y﹣1＝0，∠ABC 的平分线BH 所在直线方程为y＝x．求：（1）顶点B 的坐标；（2）直线BC 的方程19．（12 分）如图，直线PA 垂直圆O 所在的平面，AB 为圆O 的直径，PA＝AB，C 是圆O 上除A、B 外一动点，点M、N 分别是线段PB、PC 的中点．（1）求证：AN⊥MN；（2）证明：异面直线PA 与CM 所成角为定值，并求其所成角的大小．20．（12 分）已知函数f（x）＝lg ，其中 a 为常数，（1）若函数f（x）为奇函数，求 a 的值；（2）设函数f（x）的定义域为Ⅰ，若[2，5]? I ，求实数 a 的取值范围．21．（12 分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD 的底面是边长为 2 的菱形，PA⊥平面ABCD ，E，第3 页（共20 页）．F 分别为CD，PB 的中点，AP＝2，AE＝（1）求证：EF ∥平面PAD；（2）求证：平面AEF ⊥平面PAB；（3）求二面角P﹣AE﹣F 的大小．2 2 2为半径），圆C 被x 轴截得弦长为 2 ，直线22．（12 分）已知圆C：x +（y﹣1）＝r （rl：y＝x+m（m∈R），O 为坐标原点（1）求圆的方程；|PQ|最短时，（2）若m＝﹣2，过直线l 上一点P 作圆C 的切线PQ，Q 为切点，求切线长点P 的坐标；（3）若直线l 与圆C 相交于M、N 两点，且OM ⊥ON，求实数m 的值．第4 页（共20 页）2017-2018 学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5 分）已知集合M＝{0 ，1，2，3，4} ，N＝{ x|x＝2n﹣1，n∈N} ，P＝M∩N ，则P 的子集共有（）A ．2 个B ．3 个C．4 个D．5 个【分析】容易求出M∩N＝{1 ，3} ，即得出P＝{1 ，3} ，从而可求出P 的所有子集，这样即可得出P 的子集个数．【解答】解：M∩N＝{1 ，3} ；∴P＝{1 ，3} ；∴P 的子集为：? ，{1} ，{3} ，{1 ，3} ，共四个．故选：C．【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，交集的运算，以及子集的定义．2 22．（5 分）方程x +y ﹣ax+by+c＝0 表示圆心为（1，2），半径为 1 的圆，则a、b、c 的值依次为（）A ．﹣2，﹣4，4B ．2，﹣4，4 C．2，﹣4，﹣4 D．﹣2，4，﹣4【分析】根据题意，由圆的一般方程分析可得，解可得a、b、c 的值，即可得答案．2 2【解答】解：根据题意，方程x +y ﹣ax+by+c＝0 表示圆心为（1，2），半径为 1 的圆，则，解可得：a＝2，b＝﹣4，c＝4，故选：B．第5 页（共20 页）【点评】本题考查圆的一般方程，注意由圆的一般方程求圆心坐标、半径的方法，属于基础题．﹣33．（5 分）若a＝2 ，b＝π，c＝e，则有（）A ．a＞b＞cB ．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】分别利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则比较三个数与0 和1 的大小得答案．【解答】解：∵0＜a＝2﹣3＜20＝1，b＝π＞1，c＝e＜，∴b＞a＞c．故选：D ．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则，是基础题．4．（5 分）圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则圆锥的表面积为（）A ．B ．3πC．4πD．5π【分析】利用轴截面为正三角形，很容易得到底面半径，母线长，代入公式求得底面积和侧面积，得解．【解答】解：如图，圆锥的轴截面ABC 为正三角形，边长为2，故底面半径r＝1，母线长l＝2，S 底＝πr 2＝π，S 侧＝πrl ＝2π，∴圆锥表面积为3π，故选：B．第6 页（共20 页）【点评】此题考查了圆锥表面积，属容易题．5．（5 分）已知m、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是（）A ．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β【分析】在A 中，α与β相交或平行；在 B 中，n 与α相交、平行或n?α；在C 中，由面面平行的判定定理得α∥β；在D 中，n 与β相交、平行或n?β．【解答】解：由m、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，知：在A 中，若m?α，n?β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若m∥α，m⊥n，则n 与α相交、平行或n?α，故B 错误；在C 中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故 C 正确；在D 中，若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n 与β相交、平行或n?β，故D 错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．2+y2＝r 2（r ＞0）上一点，则直线x0x+y0y＝r2 与该圆的位置6．（5 分）若M（x0，y0）为圆x关系为（）A ．相切B ．相交C．相离D．相切或相交【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由点到直线的距离公式分析可得圆心到直线的距离d＝＝r ，由直线与圆的位置关系即可得答案．【解答】解：根据题意，若M（x0，y0）为圆x2+y2＝r 2（r ＞0）上一点，2+y02＝r 2，则x02 2 2圆x +y ＝r （r＞0）的圆心为（0，0），半径为r，圆心到直线的距离d＝＝r ，2 与该圆相切；直线x0x+y0y＝r故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意直线与圆位置关系的判断方法，属于基础题．第7 页（共20 页）27．（5 分）已知y＝f（x）是定义在R 上的偶函数，当x≥0 时，f（x）＝x ﹣2x ，若x?f（x）≥0，则x 的取值范围是（）A ．[一2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪[0，2] D．[ ﹣2，0] ∪[2，+∞）【分析】根据题意，由函数在x≥0 时的解析式分析可得在区间（0，2）上，f（x）≤0，在（2，+ ∞）上，f（x）≥0，结合函数的奇偶性可得在区间（﹣2，0）上，f（x）≤0，在（﹣∞，﹣2）上，f（x）≥0；又由x?f（x）≥0，可得或，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，当x≥0 时，f（x）＝x2﹣2x，若f（x）≥0，即x2﹣2x≥0，解可得：x≥2，则在区间（0，2）上，f（x）≤0，在（2，+∞）上，f（x）≥0，又由f（x）为偶函数，则在区间（﹣2，0）上，f （x）≤0，在（﹣∞，﹣2）上，f（x）≥0 ，若x?f（x）≥0，即或，则有﹣2≤x≤0 或x≥2，即x?f（x）≥0 的解集为[﹣2，0]∪[2，+∞）；故选：D ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）＞0 和f（x）＜0 的解集．8．（5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．2B ．C．4 D．第8 页（共20 页）【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S＝2×2＝4，棱锥的高h＝1故棱锥的体积V＝＝，故选：D ．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．（5 分）数学家欧拉在1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点为A（0，0），B（4，0），C（3，），则该三角形的欧拉线方程为（）A ．x﹣y﹣2 ＝0B ．x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y﹣2＝0 D．x﹣y﹣2＝0【分析】△ABC 的顶点为A（0，0），B（4，0），C（3，），利用重心定理可得重心G．设△ABC 的外心为W（2，a），可得|OW|＝|WC|，解得a．利用点斜式即可得出欧拉线．【解答】解：△ABC 的顶点为A（0，0），B（4，0），C（3，），∴重心G ．设△ABC 的外心为W（2，a），则|OW|＝|WC|，即＝，解得a＝0．可得W（2，0）．则该三角形的欧拉线方程为y﹣0＝（x﹣2），化为：x﹣y﹣2 ＝0．故选：A．第9 页（共20 页）【点评】本题考查了直线方程、两点之间的距离公式、三角形的垂心外心重心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5 分）已知函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R 且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数 a 的取值范围是（）A ．[3，+∞）B ．（3，+∞）C．（一∞，3）D．（一∞，3]【分析】当＜1，即a＜2 时，由二次函数的图象和性质，可知存在x1，x2∈（﹣∞，1] 且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立；当≥1，即a≥2 时，若存在x1，x2∈R 且x1≠x2，使得f （x1）＝f（x2）成立，则﹣1+a＞3a﹣7，由此能求出实数 a 的取值范围．【解答】解：函数 f （x）＝，存在x1，x2∈R 且x1≠x2，使得f （x1）＝f（x2）成立，当＜1，即a＜2 时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，当≥1，即a≥2 时，若存在x1，x2∈R 且x1≠x2，使得f（x1）＝f （x2）成立，则﹣1+a＞3a﹣7，解得a＜3，∴2≤a＜3，综上所述：实数 a 的取值范围是（﹣∞，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性和运用，注意二次函数的对称轴和区间的关系，考查分类讨论思想和运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．（5 分）直线kx﹣y﹣k＝0 与曲线y＝交于M、N 两点，O 为坐标原点，当△OMN 面积取最大值时，实数k 的值为（）A ．﹣B ．﹣C．﹣1 D．1【分析】根据∠MON 为直角时，△OMN 的面积取到最大值，于是得到△OMN 为等腰直角三角形，根据三角形的相关知识求出原点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程可解出k 的值，但需要结合图形，得出k＜0，从而得出正解．【解答】解：由，知y≥0，将等式两边平方得y2＝1﹣x2，即x2 +y2＝1，2 2所以，曲线表示的图形是圆x +y ＝1 的上半部分，设∠MON ＝θ，则△OMN 的面积为，显然，当θ＝90°时，△OMN 的面积取到最大值，此时，△OMN 是等腰直角三角形，设原点到直线的距离为d，则，另一方面，由点到直线的距离公式可得，解得，结合图象可知，k＜0，因此，，故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将问题转化为圆心到直线的距离，是解本题的关键，属于中等题．x12．（5 分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，满足f（f（x）﹣e ﹣2lnx ）＝e+1，则函数f （x）的零点所在区间为（）A ．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，e）x x【分析】由题意可设t＝f（x）﹣e ﹣2lnx，则f（x）＝e+2lnx+t ，又由f（t）＝e+1，即te +2lnt +t＝e+1，解得t＝1，可得f（x）的解析式，运用函数零点存在定理即可得到所求结论．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣e x﹣2lnx] ＝e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣e x﹣2lnx 为定值，设t＝f（x）﹣e x﹣2lnx，则f（x）＝e x+2 lnx+t，又由f（t）＝e+1，t即e +2lnt +t＝e+1，解得t＝1，第11 页（共20 页）则f（x）＝1+2lnx+e x，xf′（x）＝+e ＞0，可得f（x）在x＞0 递增，f（）＝﹣2+1＞0，f（）＝﹣3＜0，则f（x）在（，）有零点．故选：B．【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查函数零点存在定理的运用，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共20 分.13．（5 分）已知f（2x）＝2x2﹣1，则f（1）＝﹣1 ．【分析】根据题意，在f（2x）＝2x2﹣1 中，令x＝0 可得：f（20）＝0﹣1＝﹣1，变形即可得答案．x 2 【解答】解：根据题意，f（2 ）＝2x﹣1，令x＝0 可得：f（20）＝0﹣1＝﹣1，即f（1）＝﹣1；故答案为：﹣ 1【点评】本题考查函数解析式的计算，注意用特殊值法分析，属于基础题．14．（5 分）P（1，1，﹣2）是空间直角坐标系中一点，点P 关于平面xOy 对称点为M，点P 关于Z 轴对称点为N，则线段|MN |＝ 2 ．【分析】由点P 关于平面xOy 对称点为M，求出M（1，1，2），由点P 关于Z 轴对称点为N，求N（﹣1，﹣1，﹣2），由此能求出线段|MN |．【解答】解：∵P（1，1，﹣2）是空间直角坐标系中一点，点P 关于平面xOy 对称点为M，∴M（1，1，2），∵点P 关于Z 轴对称点为N，∴N（﹣1，﹣1，﹣2），∴线段|MN |＝＝2 ．第12 页（共20 页）故答案为： 2 ．【点评】本题考查线段长的求法，考查空间直角坐标系中的对称问题、两点间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5 分）函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x）的单调递减区间是[1，4）．【分析】根据题意，先由函数的解析式求出函数的定义域，令t＝﹣x2 +2x+8，则y＝lnt；2 由复合函数单调性的判定方法分析可得：若函数f（x）为减函数，则t＝﹣x +2x+8 为减函数，由二次函数的性质分析t＝﹣x2 +2x+8 的递减区间，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），有，解可得﹣2＜x＜4，则f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x）＝ln（﹣x2+2x+8），令t＝﹣x2+2x+8 ，﹣2＜x＜4，则t＞0，则y＝lnt，为增函数，2若函数f （x）＝ln（x+2 ）+ln （4﹣x）＝ln（﹣x +2x+8）为减函数，则t＝﹣x2+2x+8 为减函数，其对称轴为x＝1，则其递减区间为[1，4）；则函数函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x）的单调递减区间是[1，4）；故答案为：[1，4）．【点评】本题考查复合函数的单调性，注意函数的定义域，属于基础题．16．（5 分）如图，正方形ABCD 边长为2，点M 在线段DC 上从点D 运动到点C，若将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABC，则点D 在平面ABC 内射影所形成轨迹的长度为．【分析】过D'作AM 的垂线，垂足为O，运用面面垂直的性质定理和平面几何圆的定义和弧长公式，计算可得所求值．【解答】解：过 D '作AM 的垂线，垂足为O，第13 页（共20 页）由平面AD 'M⊥平面ABC，可得 D 'O⊥平面ABC ，可得DO⊥OA，可得O 在以AD 为直径，的圆弧上运动，可得点D '在平面ABC 内射影O 所形成轨迹的长度为?2π＝．故答案为：．【点评】本题考查空间面面垂直的性质定理的运用，以及平面几何圆的定义，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共 6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10 分）已知直线l1：3x+（m+1）y﹣6＝0，l 2：mx+2y﹣（m+2）＝0，分别求满足下列条件的m 的值（1）l1⊥l2；（2）l 1∥l2【分析】（1）根据两直线垂直的关系可得3m+2（m+1 ）＝0，解得即可，（2）根据两直线平行的关系可得3×2﹣m（m﹣1）＝0，解得并需要验证．【解答】解：（1）若l 1⊥l 2，则3m+2（m+1）＝0，解得m＝﹣，（2）若l 1∥l 2，则3×2﹣m（m﹣1）＝0，解得m＝﹣3 或m＝2，当m＝﹣3 时，l1∥l 2，当m＝2 时，l 1 与l 2 重合，不符合题意，舍去，故m＝﹣3【点评】本题考查两直线平行的性质，两直线垂直的性质，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑斜率不存在的情况．18．（12 分）已知△ABC 的顶点A（1，2），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为x+2y﹣1 ＝0，∠ABC 的平分线BH 所在直线方程为y＝x．求：第14 页（共20 页）（1）顶点B 的坐标；（2）直线BC 的方程【分析】（1）设出B 的坐标，代入直线CM，求出m 的值，从而求出 B 的坐标即可；（2）设出A 的对称点，表示出A′B 的方程，即BC 的方程，整理即可．【解答】解：（1）由题意可知，点 B 在角平分线y＝x 上，可设点B 的坐标是（m，m），则AB 的中点（，）在直线CM 上，∴+2 ?﹣1＝0，解得：m＝﹣1，故点B（﹣1，﹣1）；（2）设A 关于y＝x 的对称点为A′（x0，y0），则由，解得：，直线A′B 的方程为：＝，直线A′B 的方程即直线BC 的方程，整理得BC 的方程是：2x﹣3y﹣1＝0．【点评】本题考查了求直线方程问题，考查对称问题以及转化思想，是一道常规题．19．（12 分）如图，直线PA 垂直圆O 所在的平面，AB 为圆O 的直径，PA＝AB，C 是圆O 上除A、B 外一动点，点M、N 分别是线段PB、PC 的中点．（1）求证：AN⊥MN；（2）证明：异面直线PA 与CM 所成角为定值，并求其所成角的大小．【分析】（1）推导出PA⊥BC，AC⊥BC，BC⊥平面PAC，求出BC⊥AN，MN ∥BC，由此能证明AN⊥MN ．（2）连结OM ，在△ABC 中，M，O 分别是PB ，AB 的中点，从而OM ∥PA，进而OM ⊥平面ABC ，OM⊥OC，由此能证明异面直线PA 与CM 所成角为定值，其所成角的大小为45°．【解答】证明：（1）∵PA⊥圆O 所在的平面，点B、C 在圆O 上，∴PA⊥BC，∵AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上除A，B 外一动点，∵AC⊥BC，∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∵AN? 平面PAC，∴BC ⊥AN，在△PBC 中，M，N 分别是线段PB，PC 的中点，∴MN ∥BC，∴AN⊥MN ．（2）连结OM ，在△ABC 中，M，O 分别是PB，AB 的中点，∴OM ∥PA，且OM＝PA，由题知PA⊥圆O 所在的平面ABC ，∴OM ⊥平面ABC ，∵OC? 平面ABC，∴OM ⊥OC，又∵OM ＝OC，∴△OCM 为等腰三角形，即OM 与MC 所成角为45°，∵OM ∥PA，∴异面直线PA 与CM 所成角为定值，其所成角的大小为45°．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查异面直线所成角为定值的证明及其大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（12 分）已知函数f（x）＝lg ，其中 a 为常数，（1）若函数f（x）为奇函数，求 a 的值；（2）设函数f（x）的定义域为Ⅰ，若[2，5]? I ，求实数 a 的取值范围．【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）＝lg +lg ＝lg ＝0，解可得 a 的值，验证即可得答案；（2）根据题意，分析可得在区间[2，5]上，＞0 恒成立，进而可得ax﹣3＞0 在[2，5]上恒成立；设g（x）＝ax﹣3，分析可得，接可得 a 的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝lg ，则f（﹣x）+f（x）＝lg +lg ＝lg ＝0，即＝1，分析可得a2＝1，即a±1，当a＝1 时，f（x）＝lg ，符合题意；当a＝﹣1 时，f（x）＝lg ，无意义，不符合题意；故a＝1；（2）若[2，5]? I，则在区间[2，5]上，＞0 恒成立；又由x+3＞0 在[2，5]上恒成立，则ax﹣3＞0 在[2，5]上恒成立；设g（x）＝ax﹣3，则有，解可得：a＞；即a 的取值范围为（，+∞）．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数函数的性质，属于综合题．21．（12 分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD 的底面是边长为 2 的菱形，PA⊥平面ABCD ，E，F 分别为CD，PB 的中点，AP＝2，AE＝．（1）求证：EF ∥平面PAD；（2）求证：平面AEF ⊥平面PAB；（3）求二面角P﹣AE﹣F 的大小．【分析】（1）取PA 的中点M，连结FM ，DM ，推导出四边形DEFM 为平行四边形，EF ∥DM ，由此能证明EF∥平面PAD．（2）推导出AE⊥DE ，AE⊥AB，PA⊥AE，从而AE⊥平面PAB，由此能证明平面AEF ⊥平面PAB．（3）由AE ⊥平面PAB，得AE⊥PA，AE⊥AF ，从而∠PAF 是二面角P﹣AE﹣F 的平面角，由此能求出二面角P﹣AE﹣F 的大小．【解答】证明：（1）取PA 的中点M，连结FM ，DM ，∵F，M 分别是PB，PA 的中点，∴FM ∥AB，且FM ＝，又∵点E 是CD 的中点，四边形ABCD 为菱形，∴DE∥AB，且DE＝，∴FM ∥DE，且FM ＝DE，∴四边形DEFM 为平行四边形，∴EF ∥DM ，∵EF? 平面PAD ，DM ? 平面PAD，∴EF∥平面PAD．（2）∵底面ABCD 是边长为 2 的菱形，AE＝，∴AE2+DE 2＝AD2，∴AE⊥DE ，∵DE ∥AB，∴AE⊥AB，∵PA⊥平面ABCD ，AE? 平面ABCD ，∴PA⊥AE，∵AB∩PA＝A，∴AE⊥平面PAB，∵AE? 平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB．解：（3）由（2）可知：AE⊥平面PAB ，∴AE⊥PA，AE⊥AF ，∵AE 为二面角P﹣AE ﹣F 的棱，AF ? 平面AEF ，PA? 平面PAE，∴∠PAF 是二面角P﹣AE﹣F 的平面角，在Rt△PAB 中，∵AB＝AP＝2，且F 为PB 的中点，∴∠PAF ＝45°，∴二面角P﹣AE ﹣F 的大小为45°．【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．2 2 222．（12 分）已知圆C：x +（y﹣1）＝r （r 为半径），圆C 被x 轴截得弦长为 2 ，直线l：y＝x+m（m∈R），O 为坐标原点（1）求圆的方程；（2）若m＝﹣2，过直线l 上一点P 作圆C 的切线PQ，Q 为切点，求切线长|PQ|最短时，点P 的坐标；（3）若直线l 与圆C 相交于M、N 两点，且OM ⊥ON，求实数m 的值．【分析】（1）由题意可知，圆心 C 在y 轴上，OC⊥x 轴，设x 轴与圆 C 交于A，B，可得|OA|＝，|OC|＝1，|AC|＝r，由勾股定理求解r，则圆的方程可求；（2）当m＝﹣2 时，直线l 的方程为y＝x﹣2，当|PC |最小时，切线长|PQ|最短，显然当PC⊥l 时，|PC|最小，求出直线PC 的方程，联立两直线方程可得P 的坐标；（3）设M（x1，y1），N（x2 ，y2），由题意可得：x1≠0，x2≠0，联立直线方程与圆的方程利用根与系数的关系结合OM ⊥ON 可得m 值．【解答】解：（1）由题意可知，圆心 C 在y 轴上，OC⊥x 轴，设x 轴与圆 C 交于A，B，|OA |＝，|OC|＝1，|AC|＝r，2 2 2∵△AOC 为直角三角形，∴|OA| +|OC| ＝|AC| ，即，∴r＝．2 2 ∴圆C的方程为x +（y﹣1）＝3；第19 页（共20 页）（2）当m＝﹣2 时，直线l 的方程为y＝x﹣2，∵△PQC 为直角三角形，∴|PQ|2＝|PC|2﹣|QC|2＝|PC|2 ﹣3．当|PC|最小时，切线长|PQ|最短，显然当PC ⊥l 时，|PC|最小，∵k PC＝﹣1，C（0，1），∴直线PC：y﹣1＝﹣1×（x﹣0），即y＝﹣x+1．由，解得，即P（）；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可得：x1≠0，x2≠0，2 2联立，得2x +2（m﹣1）x+m ﹣2m﹣2＝0．∴△＝4（m﹣1）2﹣8（m2﹣2m﹣2）＞0．．∵OM ⊥ON，∴，即x1x2+y1y2＝0，∴．即．2整理得：m ﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1 或m＝2．∴m＝﹣1 或m＝2．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．第20 页（共20 页）。