直角坐标系伸缩变换(最终)
直角坐标系中的平移变换与伸缩变换
直角坐标系中的平移变换与伸缩变换目标：平移变换与伸缩变换的应用与明白得一.直角坐标系1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。
如此咱们就成立了直线上的坐标系 (即数轴)。
它使直线上任意一点P 都能够由惟一的实数x 来确信。
2.平面上，取定两条相互垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。
如此咱们就成立了平面直角坐标系。
它使平面上任意一点P 都能够由惟一的二元有序实数对),(y x 来确信。
3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线别离作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。
如此咱们就成立了空间直角坐标系。
它使空间中任意一点P 都能够由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确信。
事实上，直线上所有点的集合与全部实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全部二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全部三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应.二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换在平面内，将图形F 上所有点依照同一个方向，移动一样长度，称为图形F 的平移。
假设以向量a表示移动的方向和长度，咱们也称图形F 按向量a平移．在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =，平移后的对应点为),(y x P '''.那么有：),(),(),(y x k h y x ''=+ 即有：⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x .因此，咱们也能够说，在平面直角坐标系中，由⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x 所确信的变换是一个平移变换。
因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．因此，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离维持不变。
2.平面直角坐标系中的伸缩变换(学生版)
2 平面直角坐标系中的伸缩变换主备： 审核： 学习目标：1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换；2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况；3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况.学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习过程：一、课前准备阅读教材14P P -的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题：1.在直角坐标系中，已知点(,)M a b ，则①M 关于原点O 的对称点为 ； ②M 关于x 轴的对称点为 ； ③M 关于y 轴的对称点为 ； ④M 关于直线y x =的对称点为 ； ⑤M 关于直线y x =-的对称点为 ；⑥M 关于直线y x t =+的对称点为 .2．平移变换①平面上任一点P 的坐标(,)x y ，按向量(,)a h k = 平移后的坐标为(,)P x y '''，则有②曲线(,)0F x y =的图像，按(,)a h k = 平移后的曲线方程为 .3.填空题：（1）已知点(4,3)P -按向量(1,5)a = 平移到Q 点，则Q 的坐标为 ．（2）函数2()23f x x =-向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是 ()f x = .(3) 抛物线22y x =按向量(3,2)n =- 平移，得到的曲线的方程是 . 二、新课导学（一）新知：伸缩变换①一般地，由(0)kx x k y y '=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的k 倍；②由(0)x x k ky y '=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的k 倍；上面的变换中，当1k >时表示伸长；当01k <<时，表示压缩；③定义点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任一点，在变换(0,0)x x y y λλμμ'=⎧>>⎨'=⎩作用下，点(,)P x y 对应到(,)P x y '''称为平面坐标系中坐标的伸缩变换．（二）典型例题【例1】求曲线224x y +=按照32x x y y '=⎧⎨'=⎩做伸缩变换后的曲线方程. 【解析】【例2】．试述如何由1sin(2)33y x π=+的图象得到sin y x =的图象. 【解析】方法一：1sin(2)33y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的. 方法二：（1）先将1sin(2)33y x π=+的图象向右平移6π个单位，得1sin23y x =的图象； （2）再将1sin23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得1sin 3y x =的图象；（3）再将1sin 3y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到sin y x =的图象.*【例3】已知函数22()3sin()cos()(0)33f x x x ππωωω+-+>图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求()8πf 的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的表达式.【解析】（1）22())cos()33f x x x ππωω+-+＝2122)cos()323x x ππωω⎤+-+⎥⎣⎦＝2sin()2x πω+2cos x ω=， 因为函数图象的两相邻对称轴间的距离为2π. 即半个周期为2π，所以2T ππω==，所以2ω=. 故()2cos2f x x =， 因此()2cos 284f ππ=. （2）将()2cos2f x x =的图象向右平移个6π个单位后，得到2cos2()6y x π=-的图象， 再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()2cos2()2cos()4623x x g x ππ=-=-的图象. 动动手：将函数sin2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( )A .cos2y x =B .22cos y x =C .)42sin(1π++=x y D .22sin y x =【解析】三、总结提升：1．本学案总结了三种变换类型：对称变换、平移变换和伸缩变换，这三种变换都是在以前的教材或学习内容中遇到过的，通过这次的学习总结，希望起到加深理解、熟练运用的作用.2.在解决与变换有关的问题时，特别是对称或平移的问题时，应尽可能的画出图形，以帮助我们正确的使用变换公式.四、反馈练习：1．下列有关坐标系的说法错误的是（ ）A ．在直角坐标系中，直线经过伸缩变换还是直线B ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把圆变成椭圆C ．在直角坐标系中，平移不会改变图形的形状和大小D ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把双曲线变成抛物线2． 已知()sin ,()sin (0),()f x x g x x g x ωω==>的图像可以看作把()f x 的图像上各点的横坐标压缩成原来的13（保持纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ） A ． 12 B ． 2 C ． 3 D ． 13 3．曲线2(1,2)y x a ==- 按向量平移得到的曲线方程为（ ）A ． 22(1)y x +=-B ． 22(1)y x +=+C ． 22(1)y x -=-D ． 22(1)y x -=+4．点(,)10a b x y --=关于直线的对称点坐标为（ ）A ．(1,1)b a -+B ．(1,1)b a +-C ．(1,1)b a --D ．(1,1)b a ++5．已知曲线2211242x x x y y y ⎧'=⎪-=⎨⎪'=⎩通过伸缩变换后得到的曲线方程为（ ） A ．2214y x -= B ．221x y -= C ．221164x y -= D ．221416x y -= 6．已知圆2216x y +=经过伸缩变换后得到椭圆22116x y +=，则它经过的伸缩变换为．7．直线223403x x x y y y'=⎧+-=⎨'=⎩经过的伸缩变换得到的方程为 ． 五、学后反思：。
曲线在直角坐标系中的平移和伸缩变换
Ｊ（ 一 日， ’
） 一 ０；
Ｃ： ｘ， ｆ（ ）一 ０
以 — ｂ代 Ｙ． 线 沿 Ｙ 轴 向 上 平 移 ｂ个 单 位 曲
ｂ） 一 ０．
Ｏ ）的 图 像 ） 直 线 、 锥 曲线 等 方 程 的 化 简 是 通 ； 圆
ｆ（ Ｙ — ｘ，
过 坐 标 轴 的 平 移 和 旋 转 （ 实 质 是 同 一 曲 线 在 其
用 上 述 命 题 提 供 的 方 法 解 决 点 的 平 移 变 换 、 线 的平移变 换、 曲 曲线 的 伸 缩 变 换 ， 非 常 是 容 易 的 ． 其 是 高 三 的综 合 复 习 阶段 ， 用 上 述 尤 采
（ ）沿 轴 向左 平 移 ｎ个 单 位 后 ， 得 曲线 ２ 所
Ｃ２ 方 程 是 ｆ ｘ＋ 口 ） 的 （ ， ；
方 法 ， 将 函 数 的 图 像 、 线 、 锥 曲线 和 复 平 可 直 圆 面 内 曲 线 的平 移 变 换 、 缩 变 换 融 合 在 一 起 ， 伸 达
维普资讯
・ ６・ 重 庆 ４ 《 学 教 学 通 讯 ＞ ０ ２年 第 ８期 （ 第 １ ３期 ） 数 ＞ ０ ２ 总 ５
是 数 学 等 自然 学 科 中 经 常 遇 到 的 问题 ． 究 它 ， 研
碧 李Biblioteka 叔 珉 （ ）沿 ｙ轴 向 上 平 移 ｂ 单 位 后 ， 得 曲线 ３ 个 所
Ｃ 的 方 程 是 ｆ ｘ， （ Ｙ一 ６ ； ）
不 仅 可 以 深 化 数 形 结 合 、 价 转 换 的 数 学 思 想 等
命 题 １ 将 点 Ｍ （ ） ｘ，
（ ）沿 轴 向 右 平 移 ｎ个 单 位 后 ， 得 点 １ 所
Ｍ 坐 标 是 （ ＋ 口 Ｙ ； 的 ， ）
讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换
2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。
伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。
伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。
通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。
伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。
数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。
通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。
计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。
通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。
02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。
例如，点A的坐标为(3,4)。
点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。
原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。
坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。
例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。
向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。
例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。
距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。
平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。
直角坐标系伸缩变换(最终)
课前案知识梳理：(一)、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系： （二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
课中案例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：（1）、已知点（x,y ）经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则x= ，y= .（2）、已知点(x,y)经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则x= ，y= ； 例2、在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，求曲线C 的方程。
例 3.（1）在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换'3'x xy y=⎧⎨=⎩后的曲线方程是2299''y x +=，求曲线C 的方程。
（2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2变成直线2''4x y -=的伸缩变换例4.曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，求曲线C 的方程。
'(0):'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨=>⎩0,0λμ>>课后案1．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 2.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的31，得到点P '的坐标为（ ） A.)3,2(y x B.)3,2(y x C.)2,3(y x D.)2,3(y x3.曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y xx 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y ,则曲线C 的方程为 （ ） A.)2(log 312+=x y B.)2(log 32+=x yC.)231(log 2+=x y D.)23(log 2+=x y4.把函数sin 2y x =的图像作怎样的变换能得到sin(2)3y x π=+的图像 （ ）A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向右平移3π5.将()y f x =的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的31，则所得函数的解析式为（ ）A ．3(3)y f x = B. 1(3)3y f x =C. 13()3y f x =D. 11()33y f x = 6．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ； 7．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 8．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,s i n 2的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9.曲线)6s i n (π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 ； 10.曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .11.曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 .12.将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .13.函数R x x x x y ∈++=,1c o s s i n 23c o s 212. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由)(s i n R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是 ； 3．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？4. 函数31x y x =-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y x=？ 1．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .2．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 3．为得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，需将R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ） A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的曲线方程是 ；5．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 . 6.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。
平面直角坐标系及伸缩变换
＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，
求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解: 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为
x 轴建立平面直角坐标系．
y
由由|O|O1O1O2|＝2|＝4，4,得得OO11((－ -22, ,00)),、OO2(22(,20,0))．．
A1（- a，0），A2（a，0）
ec (e1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
ec (e1) a
y a x b
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
二 抛
物
yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
lll和和和lll的的的距距距离离离的的的最最最小小小值值值为为为|1|122||1±5±52441|±5.2|.45|.4 | .
O
x
∴∴∴点点点QQQ与与与ll的l的的最最最小小小值值值为为为88558555..5.
题 型 三 定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
所以有 x02
4
把①代入②,
y02
得
4
1.
(2x)2
②
(2y)2 1,
4
整理, 得 x24y21.
MP
O
x
所以点M的轨迹方程是 x24y21.
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换(201912)
思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到 曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 ，就得到正弦曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的 压缩变换，即：
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
8
6
4
2
5
10
-2
-4
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 ，在此基础上，将纵坐标变为原 来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
8
6
4
2
-10
-5
-2
-任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
1
x’= 2 x 3 y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变 换得到；
类型一平面直角坐标系中的伸缩变换
类型一 平面直角坐标系中的伸缩变换在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1. 将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1， 比较系数得λ＝13，μ＝12. 所以⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1. 亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 2. 【评析】求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求其变换式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得到伸缩变换式．将椭圆伸缩变换之后可得圆或离心率发生改变的椭圆；亦可直接将一个曲线方程变形，配凑成另一个方程的形式，然后比较对应项得出伸缩变换．求一个伸缩变换，使其对应满足下列曲线的变换：曲线y ＝2sin3x 变换成曲线y ＝3sin2x .解：将变换后的曲线y ＝3sin2x 改写为y ′＝3sin2x ′，设伸缩变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）， 代入得μy ＝3sin2(λx )，即y ＝3μsin2λx ，与曲线y ＝2sin3x 比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝3，3μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝32，μ＝32. 所以伸缩变换为φ：⎩⎨⎧x ′＝32x ，y ′＝32y .类型二 极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化(1)将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．①⎝⎛⎭⎫4，143π； ②(4，－43)(ρ≥0，0≤θ<2π)． 解：①∵x ＝4cos 143π＝4cos 2π3＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2，y ＝4sin 143π＝4sin 2π3＝23， ∴点A 的直角坐标是(－2，23)．②∵ρ＝42＋（－43）2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，又点(4，－43)在第四象限，∴θ＝5π3，∴对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫8，5π3.(2)将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y 2＝4x ; ②θ＝π3(ρ∈R )； ③ρ2cos2θ＝4; ④ρ＝12－cos θ. 解：①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.②当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝y x＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝3x . ③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4.④因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此 2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.【评析】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ以及ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，同时要掌握必要的技巧，详见本节“名师点津”栏．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得 ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M 点的极坐标为(2，0)；当θ＝π2时，ρ＝233，所以N 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233，所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。
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课前案知识梳理：(一)、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系： （二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
课中案例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：（1）、已知点（x,y ）经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则x= ，y= .（2）、已知点(x,y)经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则x= ，y= ； 例2、在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，求曲线C 的方程。
例 3.（1）在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换'3'x xy y=⎧⎨=⎩后的曲线方程是2299''y x +=，求曲线C 的方程。
（2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2变成直线2''4x y -=的伸缩变换例4.曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，求曲线C 的方程。
'(0):'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨=>⎩0,0λμ>>课后案1．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 2.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的31，得到点P '的坐标为（ ） A.)3,2(y x B.)3,2(y x C.)2,3(y x D.)2,3(y x3.曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y xx 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y ,则曲线C 的方程为 （ ） A.)2(log 312+=x y B.)2(log 32+=x yC.)231(log 2+=x y D.)23(log 2+=x y4.把函数sin 2y x =的图像作怎样的变换能得到sin(2)3y x π=+的图像 （ ）A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向右平移3π5.将()y f x =的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的31，则所得函数的解析式为（ ）A ．3(3)y f x = B. 1(3)3y f x =C. 13()3y f x =D. 11()33y f x = 6．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ； 7．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 8．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,s i n 2的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9.曲线)6s i n (π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 ； 10.曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .11.曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 .12.将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .13.函数R x x x x y ∈++=,1c o s s i n 23c o s 212. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由)(s i n R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是 ； 3．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？4. 函数31x y x =-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y x=？ 1．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .2．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 3．为得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，需将R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ） A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的曲线方程是 ；5．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 . 6.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。
问题一：（1）点（2，-3）经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的点的坐标是 ；解：变式1．（1，-1）；（2）点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ； 解：变式2．2,4=-=y x问题二：（1）．曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 1''22=+y x .（2）曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，则曲线C 的方程是 1''22=-y x .1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 3'2'后的点的坐标是 )3,(π； ； 3．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？解：在⎩⎨⎧==y y x x '2'的作用下，单位圆变成椭圆1'4'22=+y x ；在⎩⎨⎧==y y x x 2'2'的作用下，单位圆变成圆4''22=+y x ；4. 函数31x y x =-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y x=？ 解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。
方法一、（先伸缩，再平移）y 伸长到原来的3倍：1331x y x =- 得331xy x =- x 伸长到原来的3倍：13()1311113()13x x y x x x ===+---得111y x -=- 向左平移1个单位，再向下平移1个单位：1(1)1(1)1y x +-=+-得1y x=。
方法二、(先平移，再伸缩)向左平移13个单位: 11131393()13x y x x +==++-得1139y x -= 再向下平移13个单位：111()339y x +-=得19y x = x 伸长到原来的9倍：1119()9y x x == 方法三、（平移与伸缩的交替运用）x 伸长到原来的3倍：1133113()13x xy x x ==--得13111x y x x ==+-- 向左平移1个单位：11311(1)1y x x=+=++-y 伸长到原来的3倍：113()13y x =+得11y x=+向下平移1个单位：111y x +=+得1y x=评注：这是一道培养发散思维能力的好题。
,五，作业1．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x x π=，=y 2y =-.2．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 ⎩⎨⎧==y y xx 4'' .3．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（C ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'3'后的曲线方程是 )63'sin(2'π+=x y ；5．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21'2' .6.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。