河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题-
高中数学压轴题题型名校模考题汇总
专题10压轴题题型汇总压轴题型一、保值函数型“保值函数”，又称为“k 倍值函数”，“和谐函数”，“美好区间”等等。
1、现阶段主要是一元二次函数为主的。
核心思路是转化为“根的分布”。
2、函数单调性是解决问题的入口之一。
3、方程和函数思想。
特别是通过两个端点值构造对应的方程，再提炼出对应的方程的根的关系。
如第1题1.（江苏省连云港市市区三星普通高中2020-2021学年高一上学期期中联考）对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2.（北京市昌平区2020-2021学年高一上学期期中质量抽测）已知函数2()f x x k =-.若存在实数,m n ，使得函数()f x 在区间上的值域为，则实数k 的取值范围为（）A ．(1,0]-B ．(1,)-+∞C ．2,0]D ．(2,)-+∞3.（广东省广州市第一中学2020-2021学年高一上学期11月考试）已知函数221()x f x x-=.（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）若不等式23()1x f x kx x +-≥在1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()()1(0)g x tf x t =+>的值域为[23,23]m n --，求实数t 的取值范围.4.(江苏省盐城市实验高级中学2020-2021学年高一上学期期中）一般地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”，（1）若[]1,b 为2()22f x x x =-+的跟随区间，则b =______；（2）若函数()f x m =m的取值范围是______.压轴题型二、方程根的个数1.一元二次型“根的分布”是期中考试的一个难点和热点。
河南省洛阳市2023-2024学年高一上学期10月月考试题 数学含解析
洛阳强基联盟高一10月联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{|2}|31M x N x x =<=≥，，则M N ⋂=（）A .{|0x x ≤<B.1{|3x x ≤<C.4|}13{x x ≤< D.{|34}x x ≤<2.命题“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是（）A.0∀∈-=R a ax 无实数解B.0∃∈-≠R a ax 有实数解C .0∀∈-≠R a ax 有实数解D.0∃∈-=R a ax 无实数解3.下列表示错误的是()A.{}{,}a ab ∈ B.{,}{,}a b b a ⊆ C.{1,1}{1,0,1}-⊆- D.{1,1}∅⊆-4.“1a >”是“0a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.不等式()()2120--≥x x 的解集为（）A.12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C.{|0.5x x ≤或}2x ≥ D.12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭6.已知集合A ={x ∈N|0≤x <m }有8个子集，则实数m 的取值范围为（）A.{m |2<m ≤3}B.{m |2≤m <3}C.{m |2≤m ≤3}D.{m |2<m <3}7.若12x >，则函数2()21=+-f x x x 的最小值为（）A. B.1+ C.4D.2.58.定义集合运算：2(,),2x A B x y A B y ⎧⎫⊕=∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合{}14A B x x ==∈<<N ，15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎬⎩⎭，则()A B C ⊕⋂=（）A.∅B.(){}4,1C.31,2⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭D.()24,1,6,3⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.9.已知a <b <0，则下列不等式成立的是（）A .|a |>|b |B.11a b <C.ab <b 2D.b a a b<10.（多选）如图所示，U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分表示的集合是（）A.()UAB ð B.()U B B⋂ð C.()U A B ⋂ð D.()U A A B ⋂⋂ð11.“23R,208x kx kx ∀∈+-<”的一个充分不必要条件可能是（）A.0k =B.30k -<<C.31k -<<- D.30k -<≤12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则（）A.a 2＋b 2≥12B.ab ≤14C.11a b+≤4 D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的________条件．14.若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____．15.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．16.已知命题:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是________________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{26},{39}A x x B x x =≤<=<<，（1）分别求(),()R R A B B A⋂⋃痧（2）已知{1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围18.（1）比较22x x -与22x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--.19.已知集合{}12A x x =-≤≤，()(){}10B x x a x a =---<，a ∈R.（1）若1B ∈，求实数a 的取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20.设集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2230C x x x =--=.（1）若A B A B = ，求实数a 的值；（2）若∅()A B 且A C ⋂=∅，求实数a 的值.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？22.已知集合(){}121212=,+=2,>0,>0D x x x x x x .（1）求2212x x +的最小值；（2）对任意(),a b D ∈，证明112223+≥++a b a b ．洛阳强基联盟高一10月联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{|2}|31M x N x x =<=≥，，则M N ⋂=（）A.{|0x x ≤<B.1{|3x x ≤<C.4|}13{x x ≤< D.{|34}x x ≤<【答案】C【分析】先解不等式，再利用集合的交集运算即可求解.【详解】因为{}1{|2}{|04}|31|3M x x x N x x x x ⎧⎫=<=≤<=≥=≥⎨⎬⎩⎭，，所以1{|4}.3M N x x ⋂=≤<故选:C.2.命题“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是（）A.0∀∈-=R a ax 无实数解B.0∃∈-≠R a ax 有实数解C.0∀∈-≠R a ax 有实数解D.0∃∈-=R a ax 无实数解【答案】D 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是“0∃∈-=R a ax 无实数解”．故选:D ．3.下列表示错误的是()A.{}{,}a a b ∈B.{,}{,}a b b a ⊆ C.{1,1}{1,0,1}-⊆- D.{1,1}∅⊆-【答案】A 【解析】【分析】根据集合间的关系逐项判断即可﹒【详解】A ：集合之间应该是包含或被包含的关系，∈是元素与集合的关系，故A 错误；B ：集合里面的元素具有无序性，一个集合是它本身的子集，故B 正确；C ：{1,1}-里面的元素都在{1,0,1}-里面，故{1,1}{1,0,1}-⊆-，故C 正确；D ：空集是任何集合的子集，故D 正确﹒故选：A ﹒4.“1a >”是“0a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】因为11a a >⇔<-或1a >，又1a <-时，不能得出0a >；0a >时，不能得出1a <-；所以“1a >”是“0a >”的既不充分也不必要条件.故选:D.5.不等式()()2120--≥x x 的解集为（）A.12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.122xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C.{|0.5x x ≤或}2x ≥ D.12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】直接解一元二次不等式可得答案.【详解】原不等式即为()()2210x x --≤，解得122x ≤≤，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.故选：B.6.已知集合A ={x ∈N|0≤x <m }有8个子集，则实数m 的取值范围为（）A.{m |2<m ≤3}B.{m |2≤m <3}C.{m |2≤m ≤3}D.{m |2<m <3}【答案】A 【解析】【分析】根据题意，集合元素的个数与子集的关系确定集合A 的元素个数，再求m 的取值范围.【详解】因为A 有8个子集，所以集合A 中含有3个元素，则2<m ≤3.故选:A.7.若12x >，则函数2()21=+-f x x x 的最小值为（）A. B.1+ C.4D.2.5【答案】D 【解析】【分析】由12x >，则210x ->，又()121()212212f x x x =-++-，从而利用均值不等式即可求解.【详解】解：因为12x >，所以210x ->，所以()212115()2121221222f x x x x x =+=-++≥=--，当且仅当()1221221x x -=-，即32x =时等号成立，所以函数2()21=+-f x x x 的最小值为2.5，故选：D.8.定义集合运算：2(,),2x A B x y A B y ⎧⎫⊕=∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合{}14A B x x ==∈<<N ，15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎬⎩⎭，则()A B C ⊕⋂=（）A.∅B.(){}4,1C.31,2⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭D.()24,1,6,3⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】求解集合,A B ，令22x=或3，22y =或3，计算,x y 的值，求解A B ⊕，即可计算结果.【详解】∵{}14A B x x ==∈<<N ，∴{2,3}A B ==，令22x=或3，22y =或3，则4x =或6,1y =或32，则22(4,1),4,,(6,1),6,33A B ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⊕=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，因为15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎩⎭，故2()(4,1),6,3A B C ⎧⎫⎛⎫⊕⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.9.已知a <b <0，则下列不等式成立的是（）A.|a |>|b |B.11a b <C.ab <b 2 D.b a a b<【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合不等式的性质逐项分析判断作答.【详解】因0a b <<，则0a b ->->，即||||a b >，A 正确；因0a b <<，即有0ab >，则a bab ab<，即11a b >，B 不正确；因0a b <<，则20ab b >>，C 不正确；由选项A 知，||||0a b >>，则22b a <，又0ab >，于是得22b a ab ab<，即b a a b <，D 正确.故选：AD10.（多选）如图所示，U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分表示的集合是（）A.()UAB ð B.()U B B⋂ð C.()U A B ⋂ð D.()U A A B ⋂⋂ð【答案】AD 【解析】【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x ，分析元素x 与集合A 、B 、A B ⋂的关系，可得出结果.【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x ，则x A ∈且x B ∉，或x A ∈且()x A B ∉故阴影部分区域所表示的集合为()U A B ð或()U A A B ⋂⋂ð.故选：AD.11.“23R,208x kx kx ∀∈+-<”的一个充分不必要条件可能是（）A.0k =B.30k -<<C.31k -<<-D.30k -<≤【答案】ABC 【解析】【分析】求出不等式恒成立时k 的取值范围，再利用充分不必要条件的意义判断得解.【详解】由23R,208x kx kx ∀∈+-<知，当0k =时，308-<恒成立，则0k =，当0k ≠时，2Δ30k k k <⎧⎨=+<⎩，解得30k -<<，则30k -<<，因此30k -<≤，显然{0}{|30}k k -<≤，{|30}k k -<<{|30}k k -<≤，{|31}k k -<<-{|30}k k -<≤，ABC正确；而{|30}{|30}k k k k -<≤=-<≤，D 错误.故选：ABC12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则（）A.a 2＋b 2≥12B.ab ≤14C.11a b+≤4 D.【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：因为()()22221a b a b +≥+=，故可得2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取得最小值，故A 正确；对B ：因为()21144ab a b ≤+=，当且仅当12a b ==时，取得最大值，故B 正确；对C ：0,0a b >>，又()1111224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取得最小值，故C 错误；对D ：0,0a b >>，又22222⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，+≤，当且仅当12a b ==时取得最大值，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的________条件．【答案】充分【解析】【分析】利用充分条件的定义和子集的定义求解.【详解】解：因为A B ⊆，所以当x A ∈时，则x B ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件．故答案为：充分14.若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____．【答案】()25，【解析】【分析】直接利用不等式的性质计算即可.【详解】23a << ，426a ∴<<①，又12b << ，21b ∴-<-<-②，①+②可得225a b <-<即2a b -的取值范围是()25，故答案为：()25，15.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．【答案】9【解析】【分析】以集合A 、B 分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，U 表示这个班所有的同学构成的集合，利用韦恩图法可求得结果.【详解】以集合A 、B 分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，U 表示这个班所有的同学构成的集合，如下图所示：由图可知，这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为()501515119-++=.故答案为：9.16.已知命题:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是________________.【答案】{|0a a ≤或5}a ≥【解析】【分析】根据命题p 为假命题，转化为{11}m mm ∀∈-≤≤∣，2532a a m -+≥+恒成立，即可求解.【详解】因为命题“:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+”且命题p 是假命题，可得命题“:{|11}p m m m ⌝∀∈-≤≤，2532a a m -+≥+”为真命题，即{11}m mm ∀∈-≤≤∣，2532a a m -+≥+恒成立，可得2533a a -+≥，即250a a -≥，解得0a ≤或5a ≥，即实数a 的取值范围是{|0a a ≤或5}a ≥.故答案为：{|0a a ≤或5}a ≥.【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及恒成立问题的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{26},{39}A x x B x x =≤<=<<，（1）分别求(),()R R A B B A⋂⋃痧（2）已知{1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围【答案】（1）(){R 3A B x x ⋂=≤ð或}6x ≥，{()6R B A x ⋃=<ð或}9x ≥；（2）[3,8]a ∈.【解析】【分析】（1）根据集合交并补集的概念即可求出结果；（2）根据集合的包含关系得到319a a ≥⎧⎨+≤⎩，解不等式组即可求出结果.【详解】解：（1）因为{36}A B x x ⋂=<<，所以(){R 3A B x x ⋂=≤ð或}6x ≥，因为{R 3B x x =≤ð或}9x ≥，，所以{()6R B A x ⋃=<ð或}9x ≥.（2）因为C B ⊆，所以319a a ≥⎧⎨+≤⎩，解之得38a ≤≤，所以[3,8]a ∈．18.（1）比较22x x -与22x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a b c a c b >--.【答案】（1）2222x x x x ->+-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过做差来比较大小即可；（2）通过做差来证明即可.【详解】（1）()()22222221021x x x x x x x --=-+--+=+>,2222x x x x ∴+-->；（2）()()()()()()()a cb bc a c a b a b c a c b c a c b c a c b -----==------，0c a b >>> ，0,0,0c a c b a b ∴->->->，0a b c a c b ∴->--，即a b c a c b>--，证毕.19.已知集合{}12A x x =-≤≤，()(){}10B x x a x a =---<，a ∈R.（1）若1B ∈，求实数a 的取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()0,1（2）[]1,1-【解析】【分析】（1）将元素1代入集合B 中的不等式中，解不等式求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.【小问1详解】若1B ∈，则()10a a --<，解得01a <<，即实数a 的取值范围()0,1【小问2详解】由题知，{}12A x x =-≤≤，()(){}{}101B x x a x a x a x a =---<=<<+，因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以集合B 是集合A 的真子集，即112a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得11a -≤≤.即实数a 的取值范围是[]1,1-.20.设集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2230C x x x =--=.（1）若A B A B = ，求实数a 的值；（2）若∅()A B 且A C ⋂=∅，求实数a 的值.【答案】（1）5（2）3-【解析】【分析】（1）首先求出集合B ，依题意可得A B =，从而得到2，3是方程22190x ax a -+-=的两个根，利用韦达定理计算可得；（2）首先求出集合C ，依题意可得A B ⋂≠∅，又A C ⋂=∅，所以2A ∈，即可求出a 的值，再检验即可.【小问1详解】由题可得{}{}25602,3B x x x =-+==，由A B A B = ，得A B =.从而2，3是方程22190x ax a -+-=的两个根，即2232319a a +=⎧⎨⨯=-⎩，解得5a =.【小问2详解】因为{}2,3B =，{}{}22301,3C x x x =--==-.因为∅()A B ，所以A B ⋂≠∅，又A C ⋂=∅，所以2A ∈，即242190a a -+-=，22150a a --=，解得5a =或3a =-.当5a =时，{}2,3A =，则A C ⋂≠∅，不符合题意；当3a =-时，{}5,2A =-，则∅{}2A B ⋂=且A C ⋂=∅，故3a =-符合题意，综上，实数a 的值为3-.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？【答案】（1）900cm（2）选择长、宽分别为350cm ，140cm 的海报纸，可使用纸量最少【解析】【分析】（1）根据宣传栏的面积以及60x =可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形ABCD 的周长；（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为y cm ，所以阴影部分的面积163360002S xy xy =⨯==，所以12000xy =，又60x =，故200y =，由图可知20220AD y =+=cm ，350230AB x =+=cm.海报纸的周长为()2220230900⨯+=cm.故海报纸的周长为900cm.【小问2详解】由（1）知12000xy =，0x >，0y >，()()350203605010003100049000ABCD S x y xy x y xy =++=+++≥++=，当且仅当65x y =，即100x =cm ，120y =cm 时等号成立，此时，350AB =cm ，140AD =cm.故选择矩形的长、宽分别为350cm ，140cm 的海报纸，可使用纸量最少.22.已知集合(){}121212=,+=2,>0,>0D x x x x x x .（1）求2212x x +的最小值；（2）对任意(),a b D ∈，证明112223+≥++a b a b ．【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式可求得2212x x +的最小值；（2）分析可知()()12216a b a b +++=⎡⎤⎣⎦，将代数式1122a b a b +++与()()1226a b a b +++⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可证得原不等式成立.【小问1详解】解：因为10x >，20x >且122x x +=，所以，()22221212121224222x x x x x x x x +⎛⎫+=+-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当121x x ==时，等号成立，故2212x x +的最小值为2.【小问2详解】解：由题意可知0a >，0b >且2a b +=，所以，()()12216a b a b +++=⎡⎤⎣⎦，故()()111112222622a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭122122262263a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当==1a b 时，等号成立，故原不等式得证.。
河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2,3}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {1,3}D. {1,2}2. 函数f (x )=e x +x −2的零点所在的一个区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)3. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =log 12x B. y =2−|x | C. y =x 2−1 D. y =x −14. 已知直线x +a 2y +6=0与直线(a −2)x +3ay +2a =0平行，则a 的值为( )A. 0或3或−1B. 0或3C. 3或−1D. 0或−15. 已知a =0.65.1，b =5.10.6，c =log 0.65.1，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b6. 已知四面体ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，球O 的半径为2，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB =√2，则四面体ABCD 体积的最大值为( )A. 7√26B. 73C. 2√2D. 27. 给出函数f(x)={(12)x ,(x ≥4)f(x +1),(x <4)，则f(log 23)等于( )A. 124B. 111C. −238D. 1198. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若n//m ，n ⊥α，则m ⊥αC. 若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥βD. 若m//α，n ⊥β，m//n ，则α//β9. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n ，则{a n }的通项公式是( )A. a n =2n−1B. a n =2nC. a n =2n −1D. a n =2n−1+110. 若点P(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=4内任意一点，当点P 在圆内运动时，直线x 0x +y 0y =4与圆的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相交或相切D. 相离11.三棱锥P−ABC中，AB=BC=√15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A. 253π B. 252π C. 833π D. 832π12.若圆x2+y2−6x−4y−5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax+by−a=0的距离为2√2，则直线ℓ倾斜角的取值范围是：()A. [π12,π4] B. [π12,5π12] C. [π6,π3] D. [0,π2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线x3−y2=1在y轴上的截距是___________．14.若函数f(x)=log12(x2−2ax+3)在(−∞,1]上为增函数，则实数a的取值范围____．15.圆C：(x−1)2+y 2=1关于直线l：x=0对称的圆的标准方程为______ ．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与A1B成45°角的棱有__________条．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠CBD=θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？18.已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素)．(1)若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；(2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)？19.在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA=√10，PD=3，PD⊥CD，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD；(2)求二面角C−PE−D的正切值．20.已知定义在R上的函数f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数．(1)求a的值，并判断f(x)的单调性(不用给证明)；(2)t为实数，且f(x−t)+f(x2−t2)≥0对一切实数x都成立，求t的值．21.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点(1)证明：AC//平面DMN；(2)若DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，求三棱锥B−ACE的体积．22.已知动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1．2(I)求动点P的轨迹方程；(II)若点A(−2,−2)，B(−2,6)，C(−4,2)，是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36.若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的并集运算，比较基础．根据交集的定义求解即可．解：集合A={1,2,3}，B={1,3,4}，则A∪B={1,2，3，4}．故选A．2.答案：C解析：f(−2)=e−2−2−2<0，f(−1)=e−1−1−2<0，f(0)=e0+0−2<0，f(1)=e+1−2>0，所以函数的零点所在区间为(0,1)．3.答案：B解析：本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性及单调区间，属于基础题．利用偶函数的定义，再利用函数的单调性得结论．解：A.函数y=log12x的定义域(0,+∞)不关于原点对称，故函数y=log12x为非奇非偶函数；B.函数y=2−|x|为偶函数，当x>0时，函数y=2−x在(0,+∞)单调递减；C.函数y=x2−1为偶函数，在(0,+∞)单调递增；D.函数y=x−1为奇函数，在(0,+∞)单调递减．综上所述，只有B符合题意．故选B．4.答案：D解析：本题主要考查了两直线平行充要条件的应用，属于基础题.解决此题的关键是根据两直线平行的条件建立关于a的方程求解，注意排除重合的情况．解：∵直线x+a2y+6=0与直线(a−2)x+3ay+2a=0平行，∴1×3a−a2(a−2)=0，即a(a2−2a−3)=0，解得a=0或a=−1或a=3，经验证当a=3时，两直线重合，故选D．5.答案：B解析：解：∵a=0.65.1∈(0,1)，b=5.10.6>1，c=log0.65.1<0，∴c<a<b．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，∴a2+b2=14，∴14≥2ab，∴ab≤7∴四面体ABCD体积V=√23×12ab≤7√26，∴四面体ABCD体积的最大值为7√26，故选：A．设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用体积公式，即可求出四面体ABCD体积的最大值．本题考查四面体ABCD体积的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.答案：A解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．推导出f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3=(12) log23+3，由此能求出结果．解：∵函数f(x)={(12)x (x ≥4)f(x +1)(x <4)∴f(log 23)=f(log 23+1)=f(log 23+2)=f(log 23+3)=(12)log 23+3=13×18=124．故选A ．8.答案：B解析：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，空间中的位置关系，熟练掌握空间中线面关系的定义、判定、性质及几何特征是解答本题的关键.根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案． 解：对于A ，m//α，n//α，m ，n 有异面和相交的可能，A 错误，对于B ，根据定理可知，两平行直线中的一条与一平面垂直，另一条也与该平面垂直，B 正确， 对于C ，m//α，n//β，m ⊥n ，两平面有平行的可能，C 错误， 对于Ｄ，m//α，n ⊥β，m//n ，两平面有相交的可能，Ｄ错误， 故选Ｂ，9.答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式的求解． 解：因为a n+1=2a n ，所以a n+1a n=2，所以{a n }是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−1．故选A ．10.答案：D解析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为P 为圆内一点，所以P 到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，根据求出的不等式即可得到d 大于半径r ，得到直线与圆的位置关系是相离． 解：圆心到直线的距离d =√x 0+y 0，由于点P(x 0,y 0)在圆内，所以x 02+y 02<4，所以d =√x 0+y>√4=2，即圆心到直线的距离大于半径，故直线与圆相离． 故选D ．11.答案：D解析：解：∵AB =BC =√15，AC =6， ∴cosC =√15，∴sinC =√6√15， ∴△ABC 的外接圆的半径=√152⋅√6√15=5√64，设三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为d ，则R 2=d 2+(5√64)2=(2−d)2+(5√64)2， ∴该三棱锥的外接球半径为R 2=838，表面积为：4πR 2=4π×838=832π，故选：D ．根据已知条件得出△ABC 的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．本题综合考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是关键，属于中档题．12.答案：B解析：解：圆x 2+y 2−6x −4y −5=0的圆心C(3,2)，r =12√36+16+20=3√2，∵圆x 2+y 2−6x −4y −5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax +by −a =0的距离为2√2， ∴圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于等于√2， 即d =|3a+2b−a|√a 2+b 2≤√2，b =0时，不符合，∴b ≠0， ∴d =√a 2+b 2=|2ab +2√a 2b2+1|≤√2，∴(ab )2+4⋅ab +1≤0.∴−2−√3≤ab ≤−2+√3.即2−√3≤k ≤2+√3，∴倾斜角的范围为[π12,5π12]. 故选：B ．由题意得到圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于√2，由此能求出倾斜角的范围． 本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.答案：−2解析：本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题． 解：直线x3−y2=1，令x =0，解得y =−2， ∴在y 轴上的截距是−2， 故答案为−2．14.答案：[1,2)解析：本题主要考查复合函数的单调性，解本题的关键是掌握复合函数的单调性“同增异减”，还要注意函数的单调区间必在函数的定义域内，不要忘了对数的真数要大于0，属于中档题．令u =x 2−2ax +3，则由题意可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0，可得{a ≥11−2a +3≥0，解得a 的范围． 解：令u =x 2−2ax +3，则y =log 12u 在(0,+∞)上单调递减． 由f(x)=log 12(x 2−2ax +3)在(−∞,1]上 为增函数，可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0， 可得{a ≥11−2a +3>0，解得1≤a <2，故答案为[1,2)．15.答案：(x +1)2+y 2=1解析：解：∵圆 C ：(x −1)2+y 2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1， ∴已知圆关于直线l ：x =0对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，因此，所求圆的标准方程为(x+1)2+y2=1．故答案为(x+1)2+y2=1：.求出圆C:(x−1)2+y2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1，可得对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，由此结合圆的标准方程即可得到所求圆的方程．本题给出圆C：(x−1)2+y2=1，求它关于定直线对称的圆的方程，着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．16.答案：8解析：此题考查异面直线所成的角，利用异面直线所成角的概念，通过找平行线求解．解：在正方体中，与A1B所成角为45°的面对角线有A1B1，AB，C1D1，CD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故答案为8．17.答案：解：在△BCD中，BC=1，∠BDC=60°，∠CBD=θ，由正弦定理知BCsin60°=BDsin(120°−θ)，所以BD=sin(120°−θ)sin60°=cosθ+√33sinθ，…(4分)在△ABD中，AB=1，∠ABD=60°+θ，由余弦定理知AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos(60°+θ)，…(8分)AD2=12+(cosθ+√33sinθ)2−2×1×(cosθ+√33sinθ)(12cosθ−√32sinθ)=1+43sin2θ+4√3 3sinθcosθ=53+43sin(2θ−30°)…(14分)当2θ−30°=90°，θ=60°时，跑道AD最长．…(16分)解析：首先利用正弦定理在△BCD中表示出BD，然后在△ABD中，利用余弦定理求出AD即可．本题考查了解三角形的实际应用；关键是利用两个定理得到三角形的边角关系，进一步解三角形．18.答案：解：(1)y=200(1+1%)x．(2)令y=210，即200(1+1%)x=210，解得x=log1.011.05≈5．答：约经过5年该城市人口总数达到210万．解析：(1)利用指数型增长模型得出函数关系式；(2)令y=210，计算x即可．本题考查了指数型函数增长模型的应用，属于基础题．19.答案：证明：(1)在菱形ABCD中，∵∠BAD=60°，E为AB的中点，∴DE⊥CD，又∵PD⊥CD，且DE∩PD=D，DE⊂平面PDE，PD⊂平面PDE，∴CD⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴PE⊥CD．解：(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH．由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∴∠CHD是二面角C−PE−D的平面角．由PE⊥CD，AB//CD，可得PE⊥AB，∵E为AB中点，PA=√10，∴PE=3．又PD=3，DE=√3，在△PDE中，由余弦定理得cos∠DEP=√36，∴sin∠DEP=√336，∴DH=DE⋅sin∠PED=√3×√336=√112．在Rt△CHD中，可得tan∠CHD=CDDH =4√1111．所以，二面角C−PE−D的正切值为4√1111．解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出DE⊥CD，PD⊥CD，从而CD⊥平面PDE，由此能求出PE⊥CD；(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH.由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∠CHD是二面角C−PE−D 的平面角，由此能求出二面角C−PE−D的正切值．20.答案：解：(1)∵f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数，∴f(0)=0，则1−a=0，解得a=1，即f(x)=2x−2−x=2x−(12)x，∵函数y=2x、y=−(12)x在定义域上是增函数，∴f(x)=2x−(12)x在R上单调递增；(2))∵f(x)是奇函数，且在R上是增函数，∴f(x−t)+f(x2−t2)≥0化为：f(x2−t2)≥−f(x−t)=f(−x+t)，∴x2−t2≥−x+t，则x2+x−t2−t≥0对一切实数x恒成立，∴△=12−4×1×(−t2−t)≤0，则(2t+1)2≤0，解得t=−12，∴t的值是−12．解析：(1)根据奇函数的性质：f(0)=0，列出方程求出a，利用指数函数的单调性判断f(x)的单调性；(2)由奇函数f(x)的单调性转化不等式，由二次函数的恒成立列出不等式求出t的值．本题考查函数单调性与奇偶性综合应用，以及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．21.答案：证明：(1)∵在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点，∴MN//A1C1//AC，∵AC⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，∴AC//平面DMN．解：(2)∵DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，∴E到平面ABC的距离为d=12AA1=2，S△ABC=12×6×6×sin120°=9√3，∴三棱锥B−ACE的体积：V B−ACE=V E−ABC=13×S△ABC×d=13×9√3×2=6√3．解析：(1)推导出MN//A1C1//AC，由此能证明AC//平面DMN．(2)三棱锥B−ACE的体积V B−ACE=V E−ABC，由此能求出三棱锥B−ACE的体积．本题考查线面平行的证明，考查的三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(I)设P(x,y)，则∵动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1，2∴2√(x−1)2+y2=√(x−4)2+y2，∴x2+y2=4，即动点P的轨迹方程是x2+y2=4；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y−6)2+(x+4)2+(y−2)2=36，∴3x2+3y2+16x−12y+32=0，∵x2+y2=4，∴4x−3y+11=0，>2，圆心到直线4x−3y+11=0的距离d=115∴直线与圆相离，∴不存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．解析：(I)利用直接法，求动点P的轨迹方程；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得3x2+3y2+16x−12y+32=0，得出公共弦的方程，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．。
2022-2023学年河南省许昌市、洛阳市数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题含解析
注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
对 D：A 类轮胎行驶的最远里程的方差为
94 1002 96 1002 99 1002 2 105 1002 107 1002 64 ，B 类轮胎行驶的最远里程的方差为
6
3
95 1002 2 98 1002 99 1002 104 1002 109 1002 76 64 ，故 A 类轮胎的性能更加稳定，
（）
A. f cos f cos
B. f sin f cos
C. f cos f sin
D. f sin f sin
5．命题： x Z, x2 2x 1 的否定是（ ）
A. x Z, x2 2x 1 C. x Z, x2 2x 1 6．函数 y (x 10) lg x 的最小值为（）
13、 2 3
【解析】根据给定条件求出扇形所在圆的半径即可计算作答.
心为
，故 D 正确.
故选：D. 9、C 【解析】由终边相同角的定义判断
【详解】与 600 终边相同角为 k 360 600k Z ，而 k 1时，360 240 240，其它选项都不存在整数
kHale Waihona Puke ，使之成立故选：C10、D
【解析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.
2021-2022学年河南省洛阳市高一年级上册学期10月第一次考试数学试题【含答案】
2021-2022学年河南省洛阳市高一上学期10月第一次考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）{}2|0,{|1}M x x x N x x =->=≥M N ⋂=A ．B ．C ．D ．或{|1}x x ≥{|1}x x >Φ{|1x x >0}x <【答案】B【解析】由一元二次不等式求集合A ，根据集合的交运算可得.M N ⋂【详解】由题意知：或，而，{1M x x =0}x <{|1}=≥N x x ∴{|1}M N x x ⋂=>故选：B2．下列说法正确的有（ ）①；；③；④；⑤1∈N *N 32∈Q 2+R π∈QA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断即可.【详解】1是自然数，故，故①正确；1∈N ，故②错误；*N 是有理数，故，故③正确；3232∈Q是实数，故，故④错误；22+R 是无理数，故，故⑤错误.ππ∉Q 故说法正确的有2个.故选:B.3．用列举法表示集合，正确的是2{(,)|}y x x y y x ⎧=⎨=-⎩A ．，B ．(1,1)-(0,0){(1,1),(0,0)}-C ．D ．{10,1}x y =-=或或0{1,0,1}-【答案】B【分析】解方程组解得，再根据集合的表示方法，列举即可得到答案．x 【详解】解方程组，可得或2y x y x ⎧=⎨=-⎩11x y =-⎧⎨=⎩00x y =⎧⎨=⎩故答案为()(){}1,1,0,0-故选B【点睛】本题主要考查了集合的方法，属于基础题，注意点集的表示方法．4．满足条件的集合的个数是（ ）{}{}1,2,3,41,2,3,4,5,6M ⊆⊆M A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】所求集合的个数即为的子集个数，求解即可.M {}5,6【详解】因为，{}{}1,2,3,41,2,3,4,5,6M ⊆⊆所以集合的个数即为的子集个数.M {}5,6因为集合的子集个数为，{}5,6224=所以满足条件的集合的个数是4.M 故选:D.5．设，则“”是“”的,x y R ∈x y ≥2()0x x y -≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】化简不等式，再根据包含关系确定选项.2()0x x y -≥【详解】因为，所以或，2()0x x y -≥0x =00x x y ≠⎧⎨-≥⎩因此“”是“”的充分不必要条件，选A.x y ≥2()0x x y -≥【点睛】本题考查充要关系，考查基本分析判断能力，属基础题.6．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）x ∀∈R 240x ax a +-≥a A ．B ．160a -≤≤160a -<<C ．D ．40a -≤≤40a -<<【答案】A【分析】根据题意可得方程的判别式小于等于0，求解即可.240x ax a +-=【详解】因为，，x ∀∈R 240x ax a +-≥所以，解得.()22414160a a a a -⨯⨯-=+≤160a -≤≤故实数的取值范围是.a 160a -≤≤故选:A.7．若命题：，，则命题的否定是（ ）p x ∀∈R 20x >p A ．，B ．，x ∀∈R 20x ≤x ∃∈R 2x ≤C ．，D ．，x ∃∈R 20x >x R ∀∉2x ≤【答案】B【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】全称命题的否定是特称命题，命题的否定是：，．p x ∃∈R 20x ≤故选：B ．8．如果，，那么下列不等式中成立的个数是（ ）0<a 0b >①；③；④.11a b <<22a b <a b>A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】可举例判断②③④，由不等式性质判断①．【详解】，则，①成立，0,0a b <>110ab <<满足题意，此时②③④均不正确，2,2a b =-=故选：B ．9．正实数，满足，则的最小值是（ ）x y 1x y +=11y x y ++A ．B ．C ．5D ．3+2+112【答案】B【分析】中的“1”用“”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解.11y x y ++x y +【详解】因为正实数，满足，x y 1x y +=所以1122y x y y x y y xx y x y x y +++++=+=++，22≥+=+当且仅当，即时等号成立.1x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩21==x y 故的最小值是11y x y ++2+故选:B.10．已知，关于的一元二次不等式的解集为（ ）a<0x ()2220ax a x -++>A ．，或B ．{2|x x a <}1x >2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．，或D ．{|1x x <2x a ⎫>⎬⎭2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】由于，可将不等式转化为，即可求得不等式的解集.a<0()()210ax x -+-<【详解】由于，依题意可化为，故不等式的解集为a<0()2220ax a x -++>()()210ax x -+-<.2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故选：B【点睛】本题考查含参数二次不等式的解法，属于基础题.11．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）x ∃∈R ()()222240a x a x -+--≥a A ．B ．C ．D ．22a -<<22a -<≤22a -≤≤22a -≤<【答案】B【解析】根据命题为假，得到，”是真命题，分别讨论，x ∀∈R ()()222240a x a x -+--<20a -=两种情况，结合一元二次不等式恒成立的问题求解即可.20a -≠【详解】因为命题“，”是假命题，x ∃∈R ()()222240a x a x -+--≥所以命题“，”是真命题，x ∀∈R ()()222240a x a x -+--<当时，不等式可化为显然恒成立，满足题意；20a -=2a =4<0-当时，只需，解得，20a -≠()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩22a -<<综上，.22a -<≤故选：B.12．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）x 220ax ax -+≥x a A ．或B ．a<08a >08a <<C ．D ．或08a ≤≤0a ≤8a >【答案】C【分析】分类讨论的值，由一元二次不等式的解法得出实数的取值范围.a a 【详解】当时，不等式对一切实数都成立.0a =2220ax ax -+=≥x 当时，要使得不等式对一切实数都成立，则，解得.0a ≠220ax ax -+≥x 20Δ80a a a >⎧⎨=-≤⎩08a <≤综上，.08a ≤≤故选：C二、填空题13．若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________.【答案】m ≥3【分析】先化简命题p ，q ，再根据p 是q 的充分不必要条件，由求解.332m +≥【详解】p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则，32m x +<因为p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，所以，332m +≥解得m ≥3.故答案为：m ≥314．设集合，，若，则实数________;2{|20}A x x x =--={}|1B x ax ==B A ⊆=a 【答案】或或01-12【分析】解方程求出集合，再分和两种情况，结合即可求解.A B =∅B ≠∅B A ⊆【详解】，{}()(){}{}2|20=|210=1,2A x x x x x x =--=-+=-当时，，满足，所以符合题意；0a =B =∅B A ⊆0a =当时，0a ≠{}1|1B x ax a ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭若，则或，可得或，B A ⊆11a =-12a =1a =-12a =综上所述：实数的值为或或，a 01-12故答案为：或或.01-1215．若实数a >b ，则a 2－ab ____ba －b 2.（填“>”或“<”）【答案】＞【分析】利用作差法比较，即可判断.【详解】因为（a 2－ab ）－（ba －b 2）＝（a －b ）2，又a >b ，所以（a －b ）2>0.故答案为：＞16． 设，，，则的最小值为__________.0x >0y >24x y +=(1)(21)x y xy ++【答案】.92【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+值．【详解】由，得，得24x y +=24x y +=≥2xy ≤，(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=等号当且仅当，即时成立．2x y =2,1x y ==故所求的最小值为．92【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．三、解答题17．已知，且，，且或:p x A ∈{}11A x a x a =-<<+:q x B∈{3B x x =≥}1x ≤(1)若，，求实数a 的值.A B ⋂=∅A B =R (2)若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)(,0][4,)-∞+∞ 【分析】（1）由题意结合数轴法易得，得到后再检验一下，进而确定；1113a a -=⎧⎨+=⎩2a =2a =（2）利用充要条件与集合之间的关系得到，结合数轴可得或，从而得到a A B ⊆11a +≤13a -≥的取值范围.【详解】（1）因为，，A B ⋂=∅A B =R 所以由数轴法可得，解得，1113a a -=⎧⎨+=⎩2a =此时，或，满足，，{}13A x x =<<{3B x x =≥}1x ≤A B ⋂=∅A B =R 故.2a =（2）因为p 是q 的充分条件，所以，A B ⊆又因为，{}11A x a x a =-<<+≠∅所以结合数轴可得，或，得或，11a +≤13a -≥0a ≤4a ≥所以满足p 是q 的充分条件的实数的取值范围为.a (,0][4,)-∞+∞ 18．已知集合A ＝{x |2≤x <7}，B ＝{x |3<x <10}，C ＝{x |}．x a ≤(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)若A ∩C ，求a 的取值范围．≠∅【答案】(1) {x |2≤x <10}, {x |7≤x <10};(2) 2a ≥【分析】（1）根据交、并、补集的运算分别求出A ∪B ，（∁R A ）∩B ；（2）根据题意和A∩C≠∅，即可得到a 的取值范围．【详解】解：(1)因为A ＝{x |2≤x <7}，B ＝{x |3<x <10}，所以A ∪B ＝{x |2≤x <10}．因为A ＝{x |2≤x <7}，所以∁R A ＝{x |x <2，或x ≥7}，则(∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}．(2)因为A ＝{x |2≤x <7}，C ＝{x |}，且A ∩C ≠∅，所以x a ≤2a ≥所以a 的取值范围为．2a ≥【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．19．已知集合，且，求的值.{},,1P a ab ab =-{}0,,Q a b =P Q =2202222022111a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】0【分析】先根据集合相等求出的值，然后代入计算即可求解.,a b 【详解】因为集合，且，{},,1P a ab ab =-{}0,,Q a b =P Q =所以且，则，即，此时，，0a ≠0b ≠10ab -=1ab ={,0,1}P a ={0,,}Q a b =所以，，则，故，，1a ≠a b a=1,1a b =-=-12a b +=-2212a b +=所以，，，212112n n a b +++=-2212n n a b +=Z n ∈所以.22022220221110a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20．已知函数.2()(2)2()f x x a x a a R =-++∈（1）求不等式的解集；()0f x <（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.x R ∈()4f x ≥-a 【答案】(1)见解析；(2)[]2,6a ∈-【分析】（1）不等式可化为：，比较与的大小，进而求出解集．()0f x <(2)()0x x a --<a 2（2）恒成立即恒成立，则，进而求得答()4f x ≥-2(2)240x a x a -+++≥2(2)4(24)0a a ∆=+-+≤案．【详解】解：（1）不等式可化为：，()0f x <(2)()0x x a --<①当时，不等无解；2a =()0f x <②当时，不等式的解集为；2a >()0f x <{}2x x a <<③当时，不等式的解集为.2a <()0f x <{}2x a x <<（2）由可化为：，()4f x ≥-2(2)240x a x a -+++≥必有：，化为，2(2)4(24)0a a ∆=+-+≤24120a a --≤解得：.[]2,6a ∈-【点睛】本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题．21．（1）已知，，，求证：；0a >0b >0c >222a b c a b cb c a ++≥++（2）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a b c +++【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）将两两组合，利用基本不等式即可证明；()222a b c a b c b c a +++++（2）,利用基本不等式即可证明.()()()111222a b c a b b c a c ++=+++++【详解】（1）()222222a b c a b c a b c b c a b c a b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2a b c ≥=++当且仅当时等号成立，a b c ==所以.222a b c a b c b c a ++≥++（2）()()()111222a b c a b b c a c ++=+++++≥当且仅当时等号成立，a b c ==因为a ，b ，c 为不全相等的正实数，所以a b c ++>22．已知正实数x ，y 满足．2520x y +=（1）求xy 的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数m 的取值范围．21014m mx y +≥+【答案】（1）；（2）.109122m -≤≤【解析】（1）根据的最大值，注意取等条件；25x y +≥xy （2）利用“”的代换结合基本不等式求解出的最小值，再根据求解出1101x y +2min1014m mxy ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭的取值范围.m 【详解】（1），2025x y =+≥10xy ≤当且仅当，取等号，5x =2y =∴最大值为．xy 10（2），1015559104421041041x y y x x x y x y y ⎛⎫⎛⎫++=++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=当且仅当，取等号，203x =43y =∴，解得．2944m m +≤9122m -≤≤【点睛】本题考查利用不等式求解最大值以及利用基本不等式解决恒成立问题，其中涉及到“”的1代换求最小值，难度一般.。
河南省洛阳市第一高级中学2018-2019学年高一5月月考数学试题(pdf版)
高一月考数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 012？B ．i >2 012?C ．i ≤2 014?D ．i >2 014?2．某网站对“双十二”网上购物的情况做了一项调查，收回的有效问卷共50 000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下表：已知在购买“家用电器”这一类中抽取了92份问卷，则在购买“服饰鞋帽”这一类中应抽取的问卷份数为( )A ．198B ．116C ．99D ．943．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是( ) A ．2 010 B ．－1 C.12 D ．24．一个k 进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k 不可能是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．75. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,86．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5 7．已知流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( )A ．2B ．3C ．5D ．78．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，则n 的值为( )A ．100B ．1 000C ．90D ．9009．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )A ．70,25B ．70,50C ．70,1.04D ．65,2510．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.7811．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差12．自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运动，点Q 在OB 上运动且保持PQ 为定值a (点P ，Q 不与点O 重合)，已知∠AOB ＝π3，a ＝7，则3PQ PO QP QO POQO⋅⋅+的取值范围为( )A ．(12，7]B ．(72，7]C ．(－12，7]D ．(－72，7]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．14．在2019年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：y ∧＝－3.2 x ＋a ∧(参考公式：回归方程 y ∧＝b ∧x ＋a ∧ ， a ∧＝y －b x )，则a ＝________.15．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．11sin cos ,1631()()=33().y a x b x c y f x f x f x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭= 16.已知图像上有一最低点，若图像上各点纵坐标不变，横坐标缩为原来的倍，再左移个单位得，又的所有根从小到大依次相差个单位，则的解析式为__________ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．18．(本小题满分12分)高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(1)根据上面图表，①②③④处的数值分别为________、________、________、________；(2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129,155]中的频率．19．(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)标准煤的几组对照数据．(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧=y －-b ∧x －)20．(本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0.(1)若a ∈{0，1，2，3}，b ∈{0，1，2}，求方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率； (2)若a ∈[0，3]，b ∈[0，2]，求方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率．21. (本小题满分12分)已知f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x 且x ≠2k π＋π2,k ∈Z,且x ≠k π＋π，k ∈Z .①化简f (x )；②是否存在x ，使得tan x2·f (x )与1＋tan 2x2sin x 相等？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0且A 为常数)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A 的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域．参考答案：一、CABDC ABABC DD二、13. 0.25；14. 40；15. [)1+∞，；16 ()=2sin 33f x x π+.三、17: 答案 (1)14 (2)1529解析 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.18. （1）1 0.025 0.1 1(2)略(3)总体平均数约为122.5，总体落在[129,155]上的频率约为0.315. 解析 (1)随机抽出的人数为120.300＝40，由统计知识知④处应填1；③处应填440＝0.1；②处应填1－0.050－0.1－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025；①处应填0.025×40＝1. (2)频率分布直方图如图． (3)利用组中值算得平均数：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129,155]上的频率为610×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.19. 解析 (1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x i 2＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ∧=66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ∧＝y －－b ∧x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故能耗减少了90－70.35＝19.65(吨)．20. 解析 用(a ，b)表示a ，b 取相应值时所对应的一个一元二次方程．要使x 2＋2ax ＋b ＝0有实根，则(2a)2－4b ≥0，即a ≥b.(1)(a ，b)的所有可能取值有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中满足a ≥b 的有9个． 故方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率为912＝34.(2)设事件A 表示“一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根”，则(a ，b)的所有可能取值构成的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，这是一个长方形区域，面积为2×3＝6；构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b}，如图中阴影部分，面积为2×3－12×22＝4.故方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率为46＝23.21.【解析】 ①∵1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＝2cos 2x 2－2sin x 2cos x 22sin 2x 2－2sin x 2cosx 2 ＝2cos x 2(cos x 2－sin x 2)－2sin x 2(cos x 2－sin x 2)＝－cos x2sin x 2， 同理得1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x ＝－sin x2cos x 2.∴f (x )＝－cos x 2sin x 2－sin x 2cos x 2＝－cos 2x 2＋sin 2x 2sin x 2·cos x 2＝－2sin x .且x ≠2k π＋π2，k ∈Z.②若tan x2·f (x )＝1＋tan 2x 2sin x ，则－2tan x 2sin x ＝1＋tan 2x2sin x . ∴2tan x 21＋tan 2x2＝－1，即sin x ＝－1. 此时x ＝2k π＋3π2，(k ∈Z )，即为存在的值．22. 解析 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到 y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像． 因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]． 故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．。
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题+PDF版含答案
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
值作代表）．
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18．已知圆 C 经过点 A（2，﹣1），和直线 x+y﹣1＝0 相切，且圆心在直线 y＝﹣2x 上． （1）求圆 C 的方程； （2）已知直线 l 经过（2，0）点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．
19．已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形，平面 PBC⊥平面 ABCD，点 E 在 AD 上，AD⊥平面 PEC． （1）求证：PC⊥平面 ABCD； （2）若 AE＝2ED，在线段 PB 上是否存在一点 F，使得 AF∥平面 PEC，请说明理由．
22．已知函数
．
（1）求函数 f（x）在区间
上的值域；
（2）求函数 f（ωx）（ω＞0）图象上的所有点向右平移 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来
的 倍（纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，若
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河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末数学测试一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A=，B=，则A. A B=B. A BC. A BD. A B=R【答案】A【解析】由得，所以，选A．点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2.已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【解析】【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条．【详解】圆C1：x2+y2﹣2x＝0化为标准形式是（x﹣1）2+y2＝1，圆心是C1（1，0），半径是r1＝1；圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0化为标准形式是x2+（y﹣2）2＝1，圆心是C2（0，2），半径是r2＝1；则|C1C2|r1+r2，∴两圆外离，公切线有4条．故选：D．【点睛】本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题．3.三个数大小的顺序是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，所以.考点：比较大小.4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A. 若则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】试题分析：若A．若则与可能平行、相交、异面，故A错误； B．若，，则，显然成立；C．若，，则或故C错误；D．若，，则或或与相交.考点：1.命题的真假；2.线面之间的位置关系.视频5.在四面体的四个面中，是直角三角形的至多有A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】作出图形，能够做到PA与AB，AC垂直，BC与BA，BP垂直，得解．【详解】如图，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，则CB⊥BP，故四个面均为直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了四面体的结构与特征，考查了线面的垂直关系，属于基础题.6.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是（）A. (4,6)B.C.D.【答案】A【解析】因为圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为5,所以要使圆上有且只有两个点到直线的距离等于1,r须满足.7.已知定义在上的函数满足，，则（ )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A. 3B. 2C. 2D. 2【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．故选：．9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（，），代入欧拉线方程得：2＝0，整理得：m﹣n+4＝0 ①AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0．联立，解得．∴△ABC的外心为（﹣1，1）．则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4．当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（﹣4，0）．故选：A．【点睛】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法．10.设函数的最小值为-1，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，为增函数，最小值为，故当时，，分离参数得，函数开口向下，且对称轴为，故在递增，，即.考点：分段函数的最值.【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当时，为增函数，最小值为.由于这一段函数值域已经包括了最小值，故当时，值域应该不小于，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.11.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】过圆心向已知直线引垂线，垂足为M，过点M做圆的切线，切线长最短，先求圆心到直线的距离，圆的半径为1，则切线长的最小值为，选B.12.已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C．考点：1、新定义；2、函数的图象．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. 【答案】12【解析】函数是定义在上的奇函数，，则，.14.在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是______．【答案】【答案】【解析】【分析】设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离．【详解】设该点的坐标是（x，y，z），∵该点到三个坐标轴的距离都是1，∴x2+y2＝1，x2+z2＝1，y2+z2＝1，∴x2+y2+z2，∴该点到原点的距离是．故答案为：．【点睛】本题考查了空间中点的坐标与应用问题，是基础题．15.函数的单调递增区间是______．【答案】（4，+∞）【解析】由得，，令，则，时，为减函数；时，为增函数；为增函数，故函数的单调区间是，答案为.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.16.如图，矩形中，，⊥平面，若在上只有一个点满足，则的值等于________.【答案】【解析】试题分析:利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，即a=2．故答案为：2．考点：直线与平面垂直的性质．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知：，：，分别求m的值，使得和：垂直；平行；重合；相交．【答案】（1）；（2）-1；（3）3；（4）且.【解析】【分析】（1）若l1和l2垂直，则m﹣2+3m＝0（2）若l1和l2平行，则（3）若l1和l2重合，则（4）若l1和l2相交，则由（2）（3）的情况去掉即可【详解】若和垂直，则,若和平行，则,,若和重合，则，若和相交，则由可知且【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线的不同位置的条件一般式方程的表示18.有两直线和，当a在区间内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值．【答案】.【解析】【分析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得y E＝2．根据S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB即可得出．【详解】∵0＜a＜2，可得l1：ax﹣2y＝2a﹣4，与坐标轴的交点A（0，﹣a+2），B（2，0）．l2：2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，与坐标轴的交点C（a2+1，0），D（0，）．两直线ax﹣2y﹣2a+4＝0和2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，都经过定点（2，2），即y E＝2．∴S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB|BC|•y E|OA|•|OB|（a21）×2（2﹣a）×（2）＝a2﹣a+3＝（a）2，当a时取等号．∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为．【点睛】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，在圆锥中，已知PO=，圆O的直径AB=2，C是弧AB的中点，D为AC的中点．（1）求异面直线PD和BC所成的角的正切值；（2）求直线和平面所成角的正弦值．【答案】（1）2；（2）【解析】试题分析：（1）异面直线所成的角，往往通过平移转化到一个三角形内求解．本题转化到直角三角形PDO中求解．（2）直线与平面所成的角，应先作出直线在平面内的射影，则斜线与射影所成的角即为所求．本题过点O向平面PAC作垂线，则即为直线与平面所成的角，进而求出其正弦值．试题解析：（1）O，D分别是AB和AC的中点OD//BC异面直线PD和BC所成的角为∠PDO在△ABC中，的中点又（2）因为又所以又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．在在考点：异面直线所成的角、斜线与平面所成的角．20.已知函数.（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；（2）若函数在上的最大值为3，求的值.【答案】(1)；（2）或.【解析】试题分析：（1）由函数在至少有一个零点，方程至少有一个实数根，，解出即可；（2）通过对区间端点与对称轴顶点的横坐标的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出函数在上的最大值，令其等于可得结果.试题解析：（1）由.（2）化简得，当，即时，；当，即时，，，（舍）；当，即时，，综上，或.21.如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且．（1）求证：；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据几何体的结构特征，可以为坐标原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.（1）证明即即可；（2）分别求出平面的一个法向量为和侧面的一个法向量为，根据求出的法向量的夹角来求二面角的大小.试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得（1）证明：，所以.（2），设平面的一个法向量为，由，得，即，解得，可取设侧面的一个法向量为，由，及可取.设二面角的大小为，于是由为锐角可得所以.即所求二面角的大小为.考点：空间向量证明直线与直线垂直及求解二面角.22.已知直线l：与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：相外切．求动圆圆心M的轨迹C的方程．若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（）（2）故不存在以为直径的圆恰好过点【解析】试题分析：（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程；（2）求出过原点且倾斜角为的直线方程，和曲线C联立后利用根与系数关系得到M，N的横纵坐标的和与积，由，得列式求解m的值，结合m的范围说明不存在以MN为直径的圆过点A．试题解析：（1）设动圆圆心为，则，化简得（），这就是动圆圆心的轨迹的方程.（2）直线的方程为，代入曲线的方程得显然.设，，则，，而若以为直径的圆过点，则，∴由此得∴，即.解得>-2故不存在以为直径的圆过点点睛：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的计算能力.。