河南省高一上学期数学第一次联考试卷

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河南名校高一上学期第一次联考数学试题A3打印版

（A） y 1 x 2
（B） y 1 x
（C） y x3
（D） y x 2 3
5.
已知
a

2
4 3
,
b

1
0
,
c

1
25 3
,则【
】
3
（A） a b c
（B） b c a
（C） a c b
（D） c a b
6. 已知函数 f x 1 3x 2 ,则 f x 的解析式是【】
（ A ） 0 M
（ B ） 0 M
（ C ） 0M
（D） 0 M
2. 函数 y 1 在 2,3上的最小值为【】
x 1
（A）2
（B） 1 2
（C） 1 3
3. lg 5 lg 20 的值是【】
（D） 1 2
（A）2
（B）1
（C） 1 2
（D） 1 2
4. 下列函数中是奇函数,又在定义域内为减函数的是【】
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题满分 10 分）计算下列各式:
（1）
0.027

2 3

27

1 3
2 7 0.5 ;
125 9
（2） lg 52 2 lg8 lg 5 lg 20 lg 22 .
于 x 的不等式 f x f 2 3x 4 的解集为【】
是【】
（A） ,0
（B） ,1
（A）

1 2
,2
（B）
0,

河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)

河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．下列关系式正确的是( )B. C. D.2．关于命题A.q 是存在量词命题,是真命题B.q 是存在量词命题,是假命题C.q 是全称量词命题,是真命题D.q 是全称量词命题,是假命题3．已知集合,则用列举法表示( )A. B. C. D.4．已知,,,则“”是“a ,b ,c 可以构成三角形的三条边”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,则的最小值为( )A.9B.6C.4D.36．已知集合,,,若C 恰有1个真子集,则实数( )A.2 B.6 C.-2或6 D.2或67．某花卉店售卖一种多肉植物,若每株多肉植物的售价为30元,则每天可卖出25株;若每株多肉植物的售价每降低1元,则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元,则每株这种多肉植物的最低售价为( )A.25元B.20元C.15元D.10元8．学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有( )A ．5名B ．4名C ．3名D ．2名Q 1-∈N ⊆Z N ⊆Q R:q a ∀<31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z A ={}2,0,1,2,4-{}2,0,2,4-{}0,2,4{}2,40a >0b >0c >a b c +>21b+=2a b +(){}2,1A x y y xax ==++(){},23B x y y x ==-C A B = a =二、多项选择题9．下列各组对象能构成集合的有( )A.南昌大学2024级大一新生B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员C.体型庞大的海洋生物D.唐宋八大家10．已知A. B. C. D.11．已知二次函数（a ,b ,c 为常数,且）的部分图象如图所示,则( )A.B.C.D.不等式的解集为三、填空题12．已知13．已知,,集合,则________.14．已知四、解答题15．已知全集,集合,.（1）若,求,;（2）若,求a 的取值范围.16．给出下列两个结论：①关于x 的方程无实数根;②存在,使.a b >>>2c =-1c =-1c =2c =2y ax bx c =++0a ≠0a b +>0abc >1320a b c ++>20bx ax c -->{}21x x -<<a ==a ∈R b ∈R {}{}2,,2,2,0a b a a +=()3a b -=m n <<U =R {}23A x x =-<<{}12B x a x a =-<<2a =A B U BðB A ⊆230x mx m +-+=02x ≤≤()130m x +-=(1)若结论①正确,求m 的取值范围;(2)若结论①,②中恰有一个正确,求m 的取值范围.17．已知正数a ,b ,c 满足.(1)若(2)求18．已知,函数.（1）当时,函数的图象与x 轴交于,两点,求;（2）求关于x 的不等式的解集.19．设A 是由若干个正整数组成的集合,且存在3个不同的元素a ,b ,,使得,则称A 为“等差集”.（1）若集合,,且B 是“等差集”,用列举法表示所有满足条件的B ;（2）若集合是“等差集”,求m 的值;（3）已知正整数,证明:不是“等差集”.1abc =c =+2222a b c ++a ∈R ()23223y ax a x a =++++1a =()23223y ax a x a =++++()1,0A x ()2,0B x 3312x x +1y ≥c A ∈a b b c -=-{}1,3,5,9A =B A ⊆{}21,,1A m m =-3n ≥{}23,,,,n x x x x ⋅⋅⋅参考答案1．答案：D对B ：不是自然数,故B 错误;对C ：整数不都是自然数,如是整数但不是自然数,故C 错误;对D ：有理数都是实数,故D 正确.故选：D.2．答案：D解析：对于命题q ,是全称量词命题,当,,所以q 为全称量词命题且为假命题.故选：D.3．答案：B解析：由题意可得可为、,即x 可为0,2,-2,4,即.故选：B.4．答案：B解析：当,,,得,a ,b ,c 不能构成三角形的三边长,若a ,b ,c 是某三角形的三边长,则有,所以“”是“a ,b ,c 可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件.故选：B.5．答案：A,则,,,所以当时,取得最小值9.故选:A1-1-3a =-2b =a <1x -1±3±{}2,0,2,4A =-5a =1b =2c =a b c +>a b c +>a b c +>21b+=12(2)1452922a b a b a b b b a a ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭=3=3b =3,3a b ==2a b +6．答案：C解析：由C 恰有1个真子集,故C 中只有一个元素,即与有且只有一个交点,将代入,有,即,解得或.故选：C.7．答案：D解析：设售价为x 元,则销售量为,销售额,整理可得,解得,所以最低售价为10元,故选：D.8．答案：B解析：设三个小组都参加的人数为x ，只参加音乐科学的人数为，只参加音乐体育的人数为，只参加体育科学的人数为，作出韦恩图，如图，由题意，，即，因为有12名学生只参加了2个兴趣小组，所以，代入解得，即三个兴趣小组都参加的有5人，所以参加兴趣小组的一共有人，21y x ax =++23y x =-23y x =-21y x ax =++()2240x a x +-+=()22160a ∆=--=6a =2a =-()255301755x x +-=-()17551250x x -≥2352500x x -+≤1025x ≤≤1y 2y 3y 12132324202122y x y y x y y x y +++++++++=++()12323632439y y y x +++=-=12312y y y ++=5x =2412541++=所以不参加所有兴趣小组的有人.故选：B9．答案：ABD解析：对于A ，因为南昌大学2024级大一新生是确定的，所以能构成集合，所以A 正确，对于B ，因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，所以B 正确，对于C ，因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，所以C 错误，对于D ，因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，所以D 正确.故选：ABD10．答案：AB由,故,即,即,故A 、B 正确;C 、D 错误.故选：AB.11．答案：BCD解析：由图象可知,该二次函数开口向上,故,与轴的交点为、,故,即、,对A ：,故A 错误;对B ：,故B 正确;对C ：,故C 正确;对D ：可化为,即,即,其解集为,故D 正确.故选：BCD.12．答案：解析：45414-=>1c a +>>0a b >>bc ac >()0a b c -<0c <0a >x ()1,0-()2,0()()22122y ax bx c a x x ax ax a =++=+-=--b a =-2c a =-()0a b a a +=+-=()()3220abc a a a a =⋅-⋅-=>13213480a b c a a a a ++=--=>20bx ax c -->220ax ax a --+>220x x +-<()()120x x -+<{}21x x -<<<a ===,所以.故答案为：.13．答案：8解析：由题设,若,则不满足元素的互异性,所以,显然满足题设,所以.故答案为:814．答案：解析：令,,则,.故答案为:.15．答案：（1）,b===>0>+><<a b<<a={}2,2,0a211a baa aba+=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=-⎩⎪≠⎩()3328a b-==1-m n x+=<0m n y-=<m==8242242x ym x y x ym n x xxyyy⋅⋅-+=-=--+-4441331y x y xx y x y⎛⎫=---=-+≤-=-⎪⎝⎭=11-{}24A B x x=-<<{}14UB x x x=≤≥或ð（2）解析：（1）当时,,则,因为,所以;（2）当时,成立,此时,解得,当时,由,得,解得综上,16．答案：(1)(2).解析：(1)若关于x 的方程无实数根,则有,即,解得;(2)若存在,使,由时,,故时有解,即有由(1)知,若结论①正确,则,故结论①,②中恰有一个正确时,.17．答案：(1)(2)8解析：(1)若,则,(2)32a ≤2a ={}14B x x =<<{}14U B x x x =≤≥或ð{}23A x x =-<<{}24A B x x =-<< B =∅B A ⊆12a a -≥1a ≤-B ≠∅B A ⊆121223a a a a -<⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩1a -<≤a ≤62m -<<6m -<<2≥230x mx m +-+=()2430m m ∆=--+<()()2412260m m m m +-=-+<62m -<<02x ≤≤()130m x +-=0x =()1330m x +-=-≠1m +=2x <≤1m +≥≥62m -<<6m -<<2≥1c =ab =3b +≥=====2222222882a b c a c b c ac bc ac bc +++=++++++,当且仅当、、时,即时,等号成立,故18．答案：（1）（2）见解析解析：（1）当时,.由题可知,是方程的两个实数根,则,.由,得,则.（2）由,得.当时,不等式整理为,解得,即原不等式的解集为.当时,令,得或当时,;当时,,则原不等式的解集为;当时,;当时,.19．答案：（1）答案见解析（2）（3）证明见解析8822ab bc ac bc ac bc≥=++++()828ab bc ac bc =++≥=+a c =b c =()2ab bc +=1=1a b c ===2222a b c ++50-1a =255y x x =++1x 2x 2550x x ++=125x x +=-125x x =211222550550x x x x ⎧++=⎨++=⎩32111322225555x x x x x x ⎧=--⎨=--⎩()()()233221212121212555225752550x x x x x x x x x x ⎡⎤+=-+-+=-+-+=-+=-⎣⎦1y ≥()232220ax a x a ++++≥0a =220x +≥1x ≥-{}1x x ≥-0a ≠()()()232221220ax a x a x ax a ++++=+++=1x =-x =0a >1->221a x x x a ⎧+⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或20a -<<221a a +-<-221a x x a ⎧+⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭2a =-1-=}1-2a <-1->221a x x a ⎧+⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭2m =解析：（1）因为集合,,存在3个不同的元素a ,b ,,使得,则或或.（2）因为集合是“等差集”,所以或或,计算可得或或又因为m 正整数,所以.（3）假设是“等差集”,则存在m ,n ,,,成立,化简可得,因为,,所以,所以与集合的互异性矛盾,所以不是“等差集”.{}1,3,5,9A =B A ⊆c B ∈a b b c -=-{}1,3,5,9B ={}1,3,5B ={}1,5,9B ={}21,,1A m m =-221m m =+-2211m m =+-()2221m m +=-m =0=2m =m =2m ={}22,,,,n x x x x ⋅⋅⋅{}1,2,3,,q n ∈ m n q <<2n m q x x x =+2m n q n x x --=+0m n x ->*x ∈N 1q n -≥21q n x x ->≥≥1x ={}22,,,,n x x x x ⋅⋅⋅{}22,,,,n x x x x ⋅⋅⋅。

2022-2023学年河南省南阳市六校高一上学期第一次联考数学试题(解析版)

2022-2023学年河南省南阳市六校高一上学期第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合{1,3},{3,5}A B ==，则A B ⋃等于（） A ．{3} B ．{1,3,5} C ．{1} D ．{5}【答案】B【分析】由题意，根据并集的定义，可得答案. 【详解】由题意，{}1,3,5A B =，故选：B.2．已知命题p“2,0x N x ∃∈≤”，则p ⌝为 A ．2,0x N x ∃∉≤． B ．2,0x N x ∃∈> C ．2,0x N x ∀∉> D ．2,0x N x ∀∈>【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题，由此得到选项.【详解】特称命题的否定是全称命题，C 选项应改为x ∈N ，这里不需要否定，故C 选项错误.所以选D.【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，在否定时要注意否定结论.属于基础题.3．下列函数中，定义域是其值域真子集的是（）A ．21y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=- 【答案】C【分析】逐一求出各选项的定义域及值域，再根据真子集的定义即可求解.【详解】对A ：函数21y x =+的定义域和值域均为R ，显然定义域不是值域的真子集；对B ：函数225y x x =--+的定义域为R ，值域为(],6-∞，显然定义域不是值域的真子集；对C ：函数y =[)1,+∞，值域为[)0,∞+，定义域是值域的真子集；对D ：函数11y x=-的定义域为()(),00,∞-+∞，值域为()(),11,-∞--+∞，显然定义域不是值域的真子集.故选：C.4．设a b c d R ∈，，，，a b >，c d <，则下列不等式中一定成立的是（） A ．a c b d +>+ B ．a c b d ->- C ．ac bd > D ．a b d c> 【答案】B【分析】利用特殊值法可判断ACD 的正误，根据不等式的性质，可判断B 的正误. 【详解】对于A 中，令1a =，1b =-，1d =，1c =-，满足a b >，c d <，但a c b d +=+，故A 错误；对于B 中，因为,a b c d ><，所以由不等式的可加性，可得a d b c +>+，所以a c b d ->-，故B 正确；对于C 中，令1a =，1b =-，1d =，1c =-，满足a b >，c d <，但ac bd =，故C 错误；对于D 中，令2a =，1b =-，1d =-，2c =-，满足a b >，c d <，但a b d c<，故D 错误．故选：B5．已知函数()2132f x x =++，则(3)f 的值等于（） A ．11 B ．2 C ．5 D ．-1【答案】C【分析】令213x +=解得1x =，进而代入求解即可. 【详解】解：令213x +=，解得：1x =．所以()33125f =⨯+=．故选:C ．6．已知1x >，则41y x x =+-取得最小值时x 的值为（） A ．3 B ．2C ．4D ．5【答案】A【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解. 【详解】1,10x x >∴->，则44111511y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立.故选：A7．函数2,[1,0]()1,(0,1]x x f x x x⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩的最值情况为（）.A ．最小值0，最大值1B ．最小值0，无最大值C ．最小值0，最大值5D ．最小值1，最大值5【答案】B【分析】根据二次函数和反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】当[1,0]x ∈-时，函数2yx 单调递减，所以[0,1]y ∈，当(0,1]x ∈时，函数1y x=单调递减，所以1y ≥，综上所述：0y ≥，所以()f x 有最小值0，无最大值. 故选：B.8．已知偶函数()f x ，当0x >时，2()f x x x =+，则当0x <时，()f x =（） A ．2x x -+ B ．2x x -- C ．2x x + D ．2x x -【答案】D【分析】由0x < 得0x ->，代入得()f x -，根据偶函数即可求解. 【详解】当0x < ，则0x -> ，()()()22f x x x x x -=-+-=-，又()f x 为偶函数，∴当x < 0时，()()2f x f x x x =-=-.故选：D二、多选题9．已知集合{}2|1A y y x ==+，集合{}2(,)|1B x y y x ==+，下列关系正确的是（）．A ．(1,2)B ∈ B ．A B =C ．0A ∉D ．(0,0)B ∉【答案】ACD【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．【详解】由已知集合{}1}[1,)A y y =≥=+∞，集合B 是由抛物线21y x =+上的点组成的集合，A 正确，B 错，C 正确，D 正确，故选：ACD ．【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．10．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，则下列说法正确的有（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是(2,)-+∞C ．0a b c ++<D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由不等式的解集的特征可知0a <，由韦达定理可求得,2b a c a =-=-，从而可判断BD 正确.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()(),12,-∞-+∞，则必有a <0，A 错误；且1-和2是方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得，()12,12b ca a-+=--⨯=，则,2b a c a =-=-，则20a b c a ++=->，C 错误；不等式0bx c +>，即20ax a -->，解得2x >-，B 正确；不等式20cx bx a -+<即为220,0ax ax a a -++<<，故不等式可化为2210x x --<，解得112x -<<，D 正确.故选：BD.11．下列说法中正确的有（）A ．不等式a b +≥恒成立B ．存在a ，使得不等式12a a+≤-成立C ．若,(0,)a b ∞∈+，则2b aa b +≥D ．y =的最小值为2【答案】BC【分析】通过举例来判断AB ；利用基本不等式以及等号的成立条件来判断CD.【详解】当0,0a b <<时，不等式a b +≥A 错误；当2a =-时，1522a a +=-≤-，即存在a ，使得不等式12a a +≤-成立，B 正确；若,(0,)a b ∞∈+，则0,0a b b a >>，2b a a b ∴+≥，当且仅当a b =时等号成立，C 正确；2y =≥=1时等号才能成立，但1=无解，故2y =>，D 错误.故选：BC.12．设函数21,()21,ax x af x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，当()f x 为增函数时，实数a 的值可能是（）A ．2B ．1-C ．12D ．1【答案】CD【分析】由题知222121a a a -≤-+，且0a >，进而解不等式即可得01a <≤,再结合选项即可得答案.【详解】解：当x a <时，()1f x ax =-为增函数，则0a >，当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=-+-为增函数，故()f x 为增函数，则222121a a a -≤-+，且0a >，解得01a <≤，所以，实数a 的值可能是(]0,1内的任意实数. 故选：CD.三、填空题13．已知幂函数()2232(1)mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.【答案】()2f x x =【分析】根据幂函数的定义和性质求解. 【详解】解：()f x 是幂函数，211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递减，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =.故答案为：()2f x x =14．已知集合{}2{32},230A xm x m B x x x =-<<+=--<∣∣，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是_____. 【答案】[]1,2【分析】由题知()1,3B =-，BA ，再根据集合关系求解即可.【详解】解：由题知{}{}()232,2301,3A x m x m B x x x =-<<+=--<=- ，∵“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件， ∴BA ，∴32m m ∴-<+且3123m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得：12m ≤≤．∴实数m 的取值范围是[]1,2．故答案为：[]1,215．已知函数2()21f x x kx =++在[1,2]上不具有单调性，则实数k 的取值范围为_____. 【答案】()8,4--【分析】由函数()f x 在[1,2]上不具有单调性，得出函数图像的对称轴在[1,2]内，解不等式即可.【详解】函数()f x 在[1,2]上不具有单调性，则有二次函数2()21f x x kx =++图像的对称轴在[1,2]内，即有124k<-<，解得：84k -<<-. 故答案为：()8,4--.16．若两个正实数,x y 满足2xy x y =+，且不等式2233x y m m +>-+恒成立，则实数m 的取值范围为_____.【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据 “乘1法”可求x y + 的最小值，进而求解22332m m -+<即可. 【详解】由2xy x y =+得112x y+=，且0,0x y >> ，故()11111222222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当y xx y=即1x y ==时等号成立.故问题转化为22332m m -+<，解得112m <<，故实数m 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题17．已知集合{}2{23},340A xx B x x x =-<<=+->∣∣. (1)求R A B ⋂；(2)若集合{21}C xa x a =<<+∣，且C A ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){}R 21A B x x ⋂=-<≤ (2)1a ≤【分析】（1）根据一元二次不等式的求解以及集合的交并补运算即可解答，（2）根据集合的包含关系即可求解.【详解】(1)由题意可得{4B x x =<-或}1x >，则{}R 41B x x =-≤≤ ，又{}23A x x =-<<，则{}R 21A B x x ⋂=-<≤ (2)①当21a a ≥+时，C =∅，此时1a ≤-，满足题意；②当21a a <+时，C =∅，由题意得212213a a a a <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩ ，则11a -<≤，综上可得1a ≤.18．已知2()(3)3f x x m x m =-++. (1)当1m =时，解不等式()0f x <；(2)若关于x 的不等式()0f x <的解集中恰有3个整数，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1,3 (2)[)(]1,06,7-⋃【分析】（1）根据一元二次不等式的求解即可得，（2）分类讨论一元二次不等式的解，即可根据整数个数得参数的范围.【详解】(1)当1m =时，()0f x <化为2430x x -+<，即()()310x x --<，解得1< x < 3，∴不等式的解集为()1,3；(2)不等式()0f x <即不等式()2330x m x m -++<，化为()()30x x m --<，当m > 3时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃. 19．设函数2()2||3,R f x x x a x =--+∈.(1)某同学认为，无论实数a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由；(2)若()f x 是偶函数，求实数a 的值；(3)在（2）的情况下，求函数()f x 的单调递增区间. 【答案】(1)观点正确，理由见解析 (2)0a =(3)[]1,0-和[)1,+∞（1,0和()1,+∞也正确）【分析】（1）假设可能会是奇函数，则满足()()0f a f a +-=，进而得矛盾，即可判断，（2）根据偶函数满足的关系式即可求解，（3）画出分段函数的图象，结合图象即可得单调区间，【详解】(1)该同学的观点正确，理由如下：()()223,43f a a f a a a =+-=-+ ，若()f x 为奇函数，则有()()0f a f a +-=， 2230a a ∴-+=，显然2230a a ∴-+=无实数解，f x 不可能是奇函数.(2)若()f x 为偶函数，则有()()f x f x =-，即222323x x a x x a x a x a --+=--⇒-=-++，同时平方得0,ax =又x 不恒为0，0a ∴=.(3)由（2）知()2222302323,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥⎪=+-+=⎨+<⎪⎩，，其图象如下图所示，由图象，知()f x 的单调递增区间为[]1,0-和[)1,+∞，写成1,0和()1,+∞也正确.20．清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境方面起到了立竿见影的作用.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为18立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为160元，池壁每平方米的造价为140元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少？【答案】当沼气池的底面是边长为3米的正方形时，总造价最低，最低是7800元【分析】根据题意可列出沼气池的总造价的函数关系式，根据基本不等式即可求解最值. 【详解】设沼气池的底面长为x 米，则宽为1892x x=米，可知池底总造价为9160⨯元；池壁总造价为9222140x x ⎛⎫+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭元，沼气池盖子的造价为3000元.设沼气池总造价为y 元，且x > 0，由题可得 930009160222140y x x ⎛⎫=+⨯++⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭94440560x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭94440560x x≥+⨯⋅444033607800=+=.当且仅当9x x=，即x =3时等号成立，所以当沼气池的底面是边长为3米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是7800元.21．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，当,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+成立．（1）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并给予证明；（2）若2()21f x m am ≤-+对任意的[1,1]a ∈-以及任意[1,1]x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）2m ≤-或0m =或2m ≤ 【分析】(1)利用函数单调性的定义证明抽象函数的单调性；(2)先根据(1)的单调性可求出max ()1f x =，代入不等式，不等式就可等价为2121m am ≤-+即202m am ≤-对任意的，[1,1]a ∈-恒成立，接下去有两种方法可求：一、把右边看成是关于x 的二次函数进行讨论求最小值；二、把右边看成是关于a 的一次函数求最小值即可.【详解】(1)证明：设12,[1,1]x x ∈-，且12x x <，则由()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数得： ()()()()()12121212f x f x f x f x x x x x -+-=-+-又因为当,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+成立，所以()()()()()121212120f x f x f x f x x x x x -+-=>-+-，即得()()120f x f x -<，所以()f x 在[1,1]-上为增函数．（2）解法一：由（1）有在[1,1]-上max ()(1)1f x f ==，所以有2121m am ≤-+对任意的，[1,1]a ∈-恒成立，则：（ⅰ）显然0m =满足题意；（ⅱ）当0m >，()22min2121m am m m -+=-+，即2121m m ≤-+，得2m ≥；（ⅲ）当0m <，()22min2121m am m m -+=++，即2121m m ≤++，得2m ≤-；综上有2m ≤-或0m =或2m ≤．（2）解法二：由（1）有在[1,1]-上max ()(1)1f x f ==，所以有2121m am ≤-+对任意的[1,1]a ∈-恒成立，则2121m m ≤-+且2121m m ≤++，得2m ≤-或0m =或2m ≤．【点睛】本题考查了利用函数单调性的定义判断证明抽象函数的单调性，利用函数解恒成立问题，一般两种方法：一、把右边看成是关于x 的二次函数进行讨论求最值恒成立；二、把右边看成是关于a 的一次函数求最值恒成立；属于较难题.22．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.第 11 页共 11 页 (1)求,a b 的值及()f x 的表达式；(2)当函数()f x 的定义域是[,1]t t +时，求函数()f x 的最大值()g t .【答案】(1)23a b =-⎧⎨=-⎩，()224f x x x =--+ (2)()225251,43351,844124,4t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪--+>-⎪⎩【分析】（1）根据不动点可列方程求解,a b ，（2）分类讨论定义域与对称轴的位置关系，结合二次函数的单调性即可求解.【详解】(1)依题意得()()2211f f -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，即()42242241a b a b ⎧-++=-⎨+++=⎩ ，解得23a b =-⎧⎨=-⎩. ()224f x x x ∴=--+.(2)①当区间[],1t t +在对称轴14x =-左侧时，即114t +≤-，也即54t ≤-时，()f x 在[],1t t +单调递增，则最大值为()21251f t t t +=--+；②当对称轴14x =-在[],1t t +内时，即114t t <-<+也即5144t -<<-时，()f x 的最大值为13348f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ③当[],1t t +在14x =-右侧时，即14t ≥-时，()f x 在[],1t t +单调递减，则最大值为()224f t t t =--+.所以()225251,43351,844124,4t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪--+>-⎪⎩.。

河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题

河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题一、单选题1．若集合{}2|20,A x mx x m m =++=∈R 中有且只有一个元素，则m 值的集合是（） A ．{}1- B ．{}0 C ．{}1,1- D ．{}1,0,1- 2．命题“1x ∃≥，210x ->”的否定是（）A ．1x ∃<，210x ->B ．1x ∀≥，210x -≤C ．1x ∀<，210x -≤D ．1x ∀<，210x ->3．满足集合{}1,2为M 的真子集且{}1,2,3,4M ⊆的集合M 的个数是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 表示同一个函数（）A ．()x f x x =，()1,0,1,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩B ．()0f x x =，()1g x =C ．()f x x =，()g x =D ．()1f x x=，()2x g x x = 5．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在AB 上，点F 在半圆O 上，且OF AB ⊥，设A C a =，BC b =，请你利用FC OF ≥写出一个关于a ，b 的不等式为（）A．)0,02a b a b +>> B ．()2220,0a b ab a b +≥>>C ．()20,02ab a b a b a b +≤>>+ D．)0,02a b a b +≥>> 6．已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0,3B ．[)2,+∞C ．()0,∞+D ．[]2,37．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 为不超过x 的最大整数，则函数()f x 的值域为（） A ．()0,1 B ．[)0,1 C ．(]0,1 D ．[]0,18．已知函数()()32220240x x f x t t x t+=+>+，若()()6f m f m +-=，则实数t 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、多选题9．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何?”现有如下表示：已知{}32,A x x n n +==+∈N ，{}53,B x x n n +==+∈N ，{}72,C x x n n +==+∈N ，若()x A B C ∈I I ，则下列选项中符合题意的整数x 可以为（）A ．9B ．23C ．128D ．23310．已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <或3}x >，则下列结论正确的是（）A ．0a D ．20cx bx a ++<的解集为1{|3x x <或1}x > 11．已知函数)1f x =+ ） A ．()()21f x x x =-∈R B ．()f x 的最小值为0C ．()23f x -的定义域为[)2,+∞D ．1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域为[)1,-+∞三、填空题12．若函数()222433m m y m m x +-=-+为幂函数，且在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为. 13．已知正实数a ，b 满足21a b +=，则11121a b +++的最小值为. 14．定义在[]2,4上的函数()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =-，对[]12,4x ∀∈，[]22,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为.四、解答题15．设集合U =R ，{}04A x x =≤≤，非空集合{}12B x m x m =-≤≤.(1)若2m =，求()U A B ⋃ð；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求m 的取值范围.16．已知函数()f x 为[]1,1-上的奇函数，当[]1,0x ∈-时，()2f x x ax b =-+，且()12f -=.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()f x 满足不等式()()12f t f t ->-，求实数t 的取值范围.17．解关于x 的不等式：()22120ax a x +-->.18．已知函数()f x 的定义域为R ，()12f =，且对于任意实数m ，n ，有()()()1f m n f m f n +=+-，当0x >时，()1f x >.(1)求()1f -的值；(2)求证：()f x 在定义域R 上是单调递增函数；(3)求证：()1f x -为奇函数.19．已知函数()()221f x x tx t =-+∈R .(1)若()f x 在(),2-∞上单调递减，求t 的取值范围；(2)设函数()f x 在区间[]2,1--上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式；(3)对（2）中的()g t ，当[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-时，恒有()23x mx g t --≤成立，求实数m 的取值范围.。

河南名校高一上学期第一次联考数学试题

河南名校高一上学期第一次联考数学试题考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合{}1,0=M ,则下列关系中,正确的是【】（A ）{}M ∈0 （B ）{}M ∉0 （C ）∈0M （D ）M ⊆02. 函数11-=x y 在[]3,2上的最小值为【】（A ）2 （B ）21 （C ）31 （D ）21-3. 20lg 5lg +的值是【】（A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）21- 4. 下列函数中是奇函数,又在定义域内为减函数的是【】（A ）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 （B ）x y 1= （C ）3x y -= （D ）32+-=x y5. 已知342=a ,031⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ,3125-=c ,则【】（A ）c b a >> （B ）a c b >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>6. 已知函数()231+=+x x f ,则()x f 的解析式是【】（A ）()13-=x x f （B ）()13+=x x f （C ）()23+=x x f （D ）()43+=x x f7. 已知函数()x f y =的定义域是[]3,2-,则()12-=x f y 的定义域是【】（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,0 （C ）[]4,1- （D ）[]5,5-8. 已知()x f 是定义在R 上的偶函数,对任意∈x R 都有()()x f x f =+3,且()41=-f ,则()2020f 的值为【】（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）59. 函数()b x a x f -=的图象如图所示,其中b a ,为常数,则下列结论正确的是【】（A ）1>a ,0>b a （C ）0,10><++=a a x x x f 满足()0<m f ,则【】（A ）()01=+m f （B ）()1+m f ≤0 （C ）()01>+m f （D ）()01<+m f11. 若函数()312x e t te x f xx +---=是奇函数,则常数t 等于【】（A ）1- （B ）e - （C ）0 （D ）e112. 已知函数()()21log 2019201922019++++-=-x x x f x x ,则关于x 的不等式()()432>-+x f x f 的解集为【】（A ）()0,∞- （B ）()1,∞- （C ）()2,∞- （D ）()+∞,1第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分,共20分）13. 设集合{}022=-=x x x A ,{}1,0=B ,则集合B A 的子集个数为__________. 14. 函数x x y -=的最大值为__________.15. 设函数()x f 对0≠x 的一切实数均有()x x f x f 320192=⎪⎭⎫⎝⎛+成立,则()=2019f __________.16. 已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤+=-221,2210,211x x x x f x ,若存在21,x x ,当0≤221<<x x 时,()()21x f x f =,则()()211x f x f x -的最小值为__________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）计算下列各式: （1）()5.0313297212527027.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-; （2）()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++.18.（本题满分12分）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=32221x x A ,集合{}22>-<=x x x B 或.（1）求B A ;（2）若{}1-≤=a x x C ,且C A ⊆,求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()122++=ax ax x f 的定义域为R . （1）求实数a 的取值范围;（2）若函数()x f 在[]1,2-上的最大值与最小值之积为1,求实数a 的值.20.（本题满分12分）定义在()+∞,0上的函数()x f 满足下面三个条件: ①对任意正数b a ,都有()()()ab f b f a f =+; ②对于y x <<0,都有()()y f x f >;③121=⎪⎭⎫⎝⎛f .（1）求()1f 和⎪⎭⎫⎝⎛41f 的值;（2）求满足不等式()()x f x f -+-3≥2-的x 取值集合.21.（本题满分12分）定义在[]4,4-上的奇函数()x f ,已知当[]0,4-∈x 时,()xx ax f 341+=（∈a R ）. （1）求()x f 在[]4,0上的解析式; （2）若[]1,2--∈x 时,不等式()x f ≤1312--x x m 恒成立,求实数m 的取值范围.22.（本题满分12分）已知函数()1212+-=x x x f .（1）判断函数()x f 的奇偶性;（2）判断并证明()x f 在其定义域上的单调性;（3）若()()02933<+-+⋅x x x f k f 对任意x ≥1恒成立,求实数k 的取值范围.河南名校高一上学期第一次联考数学试题解析版考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合{}1,0=M ,则下列关系中,正确的是【】（A ）{}M ∈0 （B ）{}M ∉0 （C ）∈0M （D ）M ⊆0 选择【 C 】解析: 本题考查元素与集合、集合与集合之间的关系.必须知道,元素与集合之间的关系是从属（即元素属于集合或元素不属于集合）关系,而集合与集合之间的关系是包含或真包含的关系.2. 函数11-=x y 在[]3,2上的最小值为【】（A ）2 （B ）21 （C ）31 （D ）21-选择【 B 】解析: 本题考查函数的最值问题.在给定的区间上求函数的最值,常用的方法有函数的单调性法、图象法、换元法以及配方法等. 本题中,函数11-=x y 为双曲函数,其图象可以由反比例函数xy 1=的图象向右平移1个单位长度得到,图象的形状没有发生改变,仍是双曲线,故称为双曲函数.关于双曲函数,有下面的结论:对于双曲函数dcx b ax y ++=:（1）函数的定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,,c d c d ; （2）通过分离参数法,可以将函数化为()0≠++=t nx tm y 的形式:①当0>t 时,函数在区间()n -∞-,和()+∞-,n 上单调递减,无单调递增区间; ②当0<t 时,函数在区间()n -∞-,和()+∞-,n 上单调递增,无单调递减区间. 其中,cd n =. 根据上面的结论,可知函数11-=x y 在区间()1,∞-和()+∞,1上单调递减 ∴函数11-=x y 在[]3,2上是减函数. ∴()211313min=-==f y .3. 20lg 5lg +的值是【】（A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）21- 选择【 B 】解析: 本题考查对数的性质和对数的运算性质: 若0>a ,且1≠a ,则1log =a a ,如果0>a ,且1≠a ,0,0>>N M ，那么()N M N M a a a log log log +=⋅.()110lg 205lg20lg 5lg ==⨯=+.4. 下列函数中是奇函数,又在定义域内为减函数的是【】（A ）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 （B ）x y 1= （C ）3x y -= （D ）32+-=x y 选择【 C 】解析: 本题考查奇函数和减函数的定义.要明确以下几点:（1）在判断函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,看函数的定义域是否关于原点对称.若定义域关于原点不对称,则函数不具有奇偶性;若定义域关于原点对称,再判断函数解析式是否满足关系式()()x f x f =-或()()x f x f -=-. （2）在整个定义域上单调的函数叫做单调函数.（3）函数的单调区间是定义域的子集.有些函数在定义域的某个区间上单调,但在整个定义域上不具有单调性,如函数xy 1=. （4）如果一个函数的图象关于原点对称,那么它是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么它是偶函数.对于（A ）,函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21为指数函数,其图象关于原点和y 轴都不具有对称性,为非奇非偶函数,但在R 上为减函数; 对于（B ）,函数xy 1=的图象关于原点对称,为奇函数,且在区间()0,∞-和()+∞,0上为减函数,但在整个定义域()()+∞∞-,00, 上却不具有单调性; 对于（C ）,符合题意;对于（D ）,函数32+-=x y 的图象关于y 轴对称,为偶函数,且在()0,∞-上为增函数,在()+∞,0上为减函数.在定义域内不具有单调性.5. 已知342=a ,031⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ,3125-=c ,则【】（A ）c b a >> （B ）a c b >> （C ）b c a >> （D ）b a c >> 选择【 A 】解析: 本题考查利用指数函数的性质比较幂的大小.对于既不同底也不同指数的幂比较大小,可利用中间量并结合指数函数的单调性比较大小.∵122034=>=a ,1310=⎪⎭⎫⎝⎛=b ,1251251253131=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛==-c ∴c b a >>.6. 已知函数()231+=+x x f ,则()x f 的解析式是【】（A ）()13-=x x f （B ）()13+=x x f （C ）()23+=x x f （D ）()43+=x x f 选择【 A 】解析: 本题考查函数解析式的求法.求函数的解析式,常用的方法有待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法（消元法）以及赋值法.已知()()x g f 的解析式,求()x f 的解析式,常用配凑法或换元法.使用换元法求函数解析式时,换元后要标明新元的取值范围,即函数()x f 的定义域.解法一（换元法）:设t x =+1,则1-=t x （∈t R ） ∴()()13213-=+-=t t t f ∴()13-=x x f .解法二（配凑法）:∵()231+=+x x f ∴()()1131-+=+x x f ,∴()13-=x x f .7. 已知函数()x f y =的定义域是[]3,2-,则()12-=x f y 的定义域是【】（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,0 （C ）[]4,1- （D ）[]5,5-选择【 A 】解析: 本题考查求抽象函数的定义域.已知)(x f 的定义域为A ,求))((x g f 的定义域,其实质是)(x g 的取值范围为A ,求x 的取值范围;∵函数()x f y =的定义域是[]3,2- ∴2-≤12-x ≤3,解之得:21-≤x ≤2. ∴()12-=x f y 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21.8. 已知()x f 是定义在R 上的偶函数,对任意∈x R 都有()()x f x f =+3,且()41=-f ,则()2020f 的值为【】（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 选择【 C 】解析: 本题考查偶函数的定义,雅慧,你可以课外了解一下什么是周期函数.∵()x f 是定义在R 上的偶函数,∴()()x f x f =-. ∵对任意∈x R 都有()()x f x f =+3 ∴()()()()411136732020=-==+⨯=f f f f .9. 函数()b x a x f -=的图象如图所示,其中b a ,为常数,则下列结论正确的是【】（A ）1>a ,0>b a （C ）0,10><-b ,∴0++=a a x x x f 满足()0<m f ,则【】（A ）()01=+m f （B ）()1+m f ≤0 （C ）()01>+m f （D ）()01<+m f 选择【 C 】解析: 本题考查二次函数的单调性.∵()412122-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=a x a x x x f∴其图象开口向上,对称轴为直线1-=x .∴()()010>=-=a f f . ∵()0<m f∴01<<-m ,∴110<+<m∵函数()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛-21上为增函数∴()()001>=>+a f m f . 可结合右图理解上述过程.11. 若函数()312x e t te x f xx +---=是奇函数,则常数t 等于【】（A ）1- （B ）e - （C ）0 （D ）e 1选择【 A 】解析: 本题考查函数奇偶性的应用:求参数的值.∵函数()312x e t te x f xx +---=是奇函数,函数3x y =也是奇函数,根据函数奇偶性的运算性质∴函数12---=xx e t te y 也是奇函数. ∴1212----=-----x x x x e t te e t te ,∴()()x x x x x x x x x e t te e e te t e e t te e ---=---=-----121212∴22--=--t te e te t x x x ,解之得:1-=t .12. 已知函数()()21log 2019201922019++++-=-x x x f x x ,则关于x 的不等式()()432>-+x f x f 的解集为【】（A ）()0,∞- （B ）()1,∞- （C ）()2,∞- （D ）()+∞,1选择【 B 】解析: 设()xxx g --=20192019,()()x x x h ++=1log 22019,易知函数()()x h x g ,都是R 上的增函数,且都是奇函数.∴()()()()2-=+=x f x h x g x m 也是R 上的增函数,且是奇函数. ∵()()432>-+x f x f ∴()()02322>--+-x f x f∴()()032>-+x m x m ,∴()()()2332-=-->x m x m x m ∴23->x x ,解之得:1<x . ∴该不等式的解集为()1,∞-.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分,共20分）13. 设集合{}022=-=x x x A ,{}1,0=B ,则集合B A 的子集个数为__________.答案 8解析: 本题考查用列举法表示一个集合和集合子集个数的确定. 若集合A 中含有n 个元素,则集合A 的子集有n 2个.∵{}{}2,0022==-=x x x A ,{}1,0=B ∴{}2,1,0=B A ,共有3个元素. ∴集合B A 的子集个数为823=.14. 函数x x y -=的最大值为__________.答案41 解析: 本题考查求函数的最值,可考虑使用换元法.设t x =,则t ≥0,2t x =,∴412122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=t t t y ,在∴()4121max max =⎪⎭⎫ ⎝⎛==f t f y .15. 设函数()x f 对0≠x 的一切实数均有()x x f x f 320192=⎪⎭⎫⎝⎛+成立,则()=2019f __________.答案 2017- 解析: 本题考查求抽象函数的解析式.解法一: ∵函数()x f 对0≠x 的一切实数均有()x x f x f 320192=⎪⎭⎫⎝⎛+ ∴()x x f x f 2019322019⨯=+⎪⎭⎫⎝⎛ 由方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 2019322019320192可得:()x x x f -⨯=20192.∴()20172019220192019201922019-=-=-⨯=f . 解法二（特殊值法）:分别取1=x 和2019=x 可得方程组:()()()()⎩⎨⎧⨯=+=+201931220193201921f f f f 解之得:()20172019-=f .16. 已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤+=-221,2210,211x x x x f x ,若存在21,x x ,当0≤221<<x x 时,()()21x f x f =,则()()211x f x f x -的最小值为__________.答案 169-解析: 本题以函数的最值问题为背景考查数形结合思想.画出函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤+=-221,2210,211x x x x f x 的图象如下页图所示.结合图象可知,若()()21x f x f =,则红色虚线应在两条粉红色虚线的中间区域,可以与下面的粉红色线重合,此时222211211==+-x ,所以2121-=x ,但不会与上面的粉红色虚线重合（因为对于函数()21+=x x f ,0≤21<x ）.∴当()()21x f x f =时,1x 应满足212-≤211<x ,即⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈21,2121x∴()()()11121121x f x x x f x f x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-（注意,这是因为()()21x f x f =）1694121212121211211121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=--+=x x x x x x .∵⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈21,21241∴当411=x 时,()()211x f x f x -取得最小值为169-. 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）计算下列各式: （1）()5.0313297212527027.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-; （2）()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++.解:（1）原式=()925125271027.0323-+09.0353509.0=-+=;（2）原式()()22lg 210lg 5lg 2lg 25lg 2+⨯++=()()()()3122lg 5lg 22lg 5lg 2lg 5lg 22lg 2lg 15lg 2lg 5lg 22=+=++=+++=++++=18.（本题满分12分）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=32221x x A ,集合{}22>-<=x x x B 或.（1）求B A ;（2）若{}1-≤=a x x C ,且C A ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）∵{}{}512223222151≤≤-=≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=-x x x xA x x ∴{{}52≤<=x xB A ;（2）∵{}51≤≤-=x x A ,{}1-≤=a x x C ,且C A ⊆ ∴1-a ≥5,解之得:a ≥6. ∴实数a 的取值范围是[)+∞,6.本题变式训练已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=32221x x A ,函数()4lg 2-=x y 的定义域为B .（1）求B A ;（2）若{}1-≤=a x x C ,且C A ⊆,求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()122++=ax ax x f 的定义域为R . （1）求实数a 的取值范围;（2）若函数()x f 在[]1,2-上的最大值与最小值之积为1,求实数a 的值.解:（1）∵函数()122++=ax ax x f 的定义域为R∴关于x 不等式122++ax ax ≥0的解集为R .当0=a 时,1≥0显然成立,故0=a 符合题意;当0≠a 时,则有⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:0≤a ≤1. 综上所述,实数a 的取值范围为[]1,0; （2）当0=a 时,()0=x f ,符合题意;当0≠a 时,由（1）可知,a <0 ≤1,设()122++=ax ax x g ,则其图象开口向上,对称轴为直线1-=x .∵∈x []1,2-,∴()()a g x g -=-=11min ,()()131max +==a g x g . ∴()a x f -=1min ,()13max +=a x f∵函数()x f 在[]1,2-上的最大值与最小值之积为1 ∴1131=+⋅-a a ,解之得:32=a . 综上所述,0=a 或32=a . 本题变式训练已知函数()122++=ax ax x f 的定义域为R . （1）求实数a 的取值范围; （2）若函数()x f 的最小值为22,解关于x 的不等式022<---a a x x . 20.（本题满分12分）定义在()+∞,0上的函数()x f 满足下面三个条件: ①对任意正数b a ,都有()()()ab f b f a f =+; ②对于y x <<0,都有()()y f x f >;③121=⎪⎭⎫⎝⎛f .（1）求()1f 和⎪⎭⎫⎝⎛41f 的值;（2）求满足不等式()()x f x f -+-3≥2-的x 取值集合.解:（1）令1==b a ,则有:()()()()11111f f f f =⨯=+,∴()01=f .令21==b a ,则有:⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛4121212121f f f f ,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛21241f f ∵121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,∴241=⎪⎭⎫⎝⎛f ;（2）∵()()x f x f -+-3≥2-∴()[]23+--x x f ≥0,∴()⎪⎭⎫⎝⎛+-4132f x x f ≥()1f∴()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x f 3412≥()1f .∵对于y x <<0,都有()()y f x f > ∴函数()x f 在()+∞,0上为减函数∴有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->->-13410302x x x x ,解之得:1-≤0<x .∴满足该不等式的x 取值集合为{}01<≤-x x . 21.（本题满分12分）定义在[]4,4-上的奇函数()x f ,已知当[]0,4-∈x 时,()xx ax f 341+=（∈a R ）. （1）求()x f 在[]4,0上的解析式; （2）若[]1,2--∈x 时,不等式()x f ≤1312--x x m 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:（1）∵函数()x f 为定义在[]4,4-上的奇函数∴()00=f ,∴01=+a ,解之得:1-=a . ∴当[]0,4-∈x 时,()xx x f 3141-=. 当[]4,0∈x 时,[]0,4-∈-x ,则()()x f x f xx xx -=-=-=---343141∴当[]4,0∈x 时,()x x x f 43-=; （2）∵[]1,2--∈x 时,不等式()x f ≤1312--x x m 恒成立 ∴x x 3141-≤1312--x x m 即m ≥xx⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛32221在[]1,2--∈x 上恒成立设()xxx g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=32221,只需m ≥()max x g 即可. ∵()x g 在[]1,2--∈x 上为减函数,∴()()2172942max =+=-=g x g ∴m ≥217,即实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,217. 22.（本题满分12分）已知函数()1212+-=x x x f .（1）判断函数()x f 的奇偶性;（2）判断并证明()x f 在其定义域上的单调性;（3）若()()02933<+-+⋅x x x f k f 对任意x ≥1恒成立,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知,函数()x f 的定义域为R ,关于原点对称.∵()()()()x f x f x x xx x x x x xx -=+--=+-=+-=+-=-----121221211********* ∴函数()x f 为R 上的奇函数;（2）函数()x f 在R 上为增函数,理由如下:()12211212+-=+-=x x x x f任取∈21,x x R ,且21x x <,则有()()()()()1212222122122122112212121122121++-=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-=-x x x x x x x x x f x f ∵∈21,x x R ,且21x x <∴012,012,0222121>+>+<-x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数()x f 在R 上为增函数;（3）∵()()02933<+-+⋅x x x f k f 对任意x ≥1恒成立 ∴()()()2392933--=+--<⋅x x x x x f f k f （()x f 为奇函数） ∵函数()x f 在R 上为增函数 ∴2393--<⋅x x x k ,即1323--<xx k 在x ≥1时恒成立设()1323--=xx x g ,只需()min x g k <即可. ∵函数()131231323-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=xx x xx g 在[)+∞∈,1x 上为增函数∴()()3413231min =--==g x g ,∴34<k . ∴实数k 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-34,.。

河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)

河南省名校联考2024-2025学年上期高一第一次月考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前两章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.1.下列关系式正确的是A.3∈QB.—1∈NC. Z⊆ND. Q⊆R2.关于命题q:∀a<b,|a|≤|b|,下列结论正确的是A. q是存在量词命题，是真命题B. q是存在量词命题，是假命题C. q是全称量词命题，是假命题D. q是全称量词命题，是真命题3.已知集合A={x∈Z|3x―1∈Z},则用列举法表示A=A.{—2,0,2,4}B.{—2,0,1,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}4.已知a>0,b>0,c>0,则“a+b>c”是“a,b,c可以构成三角形的三条边”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正数a，b满足1a +2b=1,则a+2b的最小值为A.9B.6C.4D.36.已知集合A={(x,y)|y=x²+ ax+1},B={(x,y)|y=2x-3},C=A∩B,若C恰有1|真子集，则实数a=A.2B.6C.2或6D.—2或67.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为A.25元B.20元C.15元D.10元【高一数学第1页(共4页)】 ·A18.学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有A.5名B.4名C.3名D.2名二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组对象能构成集合的有A.郑州大学 2024 级大一新生B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员C.体型庞大的海洋生物D.唐宋八大家10.已知a>b>0,则使得a+ca >b+cb成立的充分条件可以是A. c=-2B. c=-1C. c=1D. c=211.已知二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则A. a+b>0B. abc>0C.13a+b+2c>0D.不等式bx²―ax―c>0的解集为{x|-2<x<1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a=10―6,b=6―2,则a ▲ b.(填“◯”或“<”)13.已知a∈R,b∈R,集合{,则(a―b)³=.14.已知m<n<0,则8nm+n ―2mm―n的最大值为▲ .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知全集U=R,集合A={x|-2<x<3},B={x|a-1<x<2a}.(1)若a=2,求A∪B,C∪B;(2)若B⊆A,求a 的取值范围.【高一数学第2页(共4页)】 A116.(15分)给出下列两个结论：①关于x的方程.x²+mx―m+3=0无实数根；②存在0≤x≤2,使(m+1)x―3=0.(1)若结论①正确，求m 的取值范围；(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围.17.(15分)已知正数a,b,c 满足 abc=1.(1)若c=1,求2a +3b的最小值；(2)求a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值.A11918.(17分)已知a∈R,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3.(1)当a=1时,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3的图象与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点，求x31+x32;(2)求关于x的不等式y≥1的解集.19.(17分)设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a-b=b-c，则称A 为“等差集”.(1)若集合A=1,3,5,9,B⊆A,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；(2)若集合.A=1,m,m²―1是“等差集”，求m的值；(3)已知正整数n≥3,证明:{x,x²,x³,…,x"}不是“等差集”.【高一数学第4 页(共4 页)】 A1·数学参考答案1. D 3₃∉Q,-1∉N,N ⊆Z,Q ⊆R2. C 由-2<1,|-2|>|1|,知q 是假命题,且q 是全称量词命题.3. A 因为3=1×3=(--1)×(-3),所以A={-2,0,2,4}.4. B 取a=5,b=3,c=1,满足a+b>c,此时b+c<a,a,b,c 不可以构成三角形的三条边.由a,b,c 可以构成三角形的三条边,得a+b>c.故“a+b>c”是“a,b,c 可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件.5. A 因为 1a +2b =1,所以 a +2b =(1a +2b)(a +2b )=5+2b a+2a b.又a>0,b>0,所以 2ba + 2ab ≥22b a⋅2ab =4,当且仅当a=b=3时，等号成立，故a+2b 的最小值为9.6. D 因为C 恰有1个真子集，所以C 中只有1个元素.联立方程组 {y =x 2+ax +1,y =2x ―3,整理得 x ²+(a ―2)x +4=0,则 (a ―2)²―16=0,解得a=-2或6.7. D 设每株多肉植物的售价降低x(x∈N)元，则这种多肉植物每天的总销售额为(30-x)(25+5x)元.由(30-x)(25+5x)≥1 250,得5≤x≤20,故每株这种多肉植物的最低售价为30-20=10元.8. B 如图，由题可知 {a +b +9m +x ―20,a +c +m +z ―21,b +c +m +s ―21,a +b +c +1>22,a +b +z ―12,x +9z +z =24,则 3m=63-2(a+b+c)-(x+y+z)=15,则m=5,从而3个兴趣小组都没参加的学生有45-(a+b+c)-(x+y+z)-m=4名.9. ABD 由题可知，A ，B ，D 中的对象具有确定性，可以构成集合，C 中的对象不具有确定性，不能构成集合.10. AB 由a +c a>b +c b,得 a +c a ―b +cb=b (a +c )―a (b +c )ab=c (b ―a )ab>0.因为a>b>0,所以c<0.11. BCD 由图可知a>0,二次函数 y =ax ²+bx +c 的图象与x 轴相交于(--1,0),(2,0)两点，则 {a ―b +c =0,4a +2b +c =0,整理得 {b =―a ,c =―2a ,则 a+b=0, abc>0,A 不正确,B 正确. 由【高一数学·参考答案第 1页(共4 页)】 ·A1·{4a―2b+c>0,9a+3b+c>0,得13a+b+2c>0,C正确.因为{b=―a,c=―2a,所以bx²―ax―c=―ax²―ax+2a>0,即x²+x―2<0,,解得-2<x<1,D正确.12.<a―b=10+2―26,因为( 10+2)2=12+45,(26)2=24,45<12(所以(10+2)2<(26)2,则10+2<26,从而a<b.13.8 由a+b,a,2=a²,2,0,得a=0或a=a².若a=0,则a²=0,，不符合集合元素的互异性.若a=a²,则a=0(舍去)或a=1,所以a+b=0,即b=-1,从而((a―b)³=8.14.―18nm+n ―2mm―n―4(m+n)―4(m―n)m+n―(m+n)+(m―n)m―n=3―[4(m―n) m+n +m+nm―n].因为m<n<0,所以4(m―n)m+n >0,m+nm―n>0,则4(m―n)m+n+m+nm―n≥24(m―n)m+n⋅m+nm―n=4，当且仅当m=3n时，等号成立，故的最大值为-（1）由a=2,得B={x|1<x<4}, ... 1分 (1)则或x≥4}. ... 3分 (3)因为A={x|-2<x<3},所以A∪B={x|-2<x<4}................................................5分（2）若B=∅,则a-1≥2a,解得a≤-1,满足B⊆A (7)若B≠∅,则由B⊆A,得分 (9)解得 (11)综上所述，a的取值范围为 (13)16.解:（1）由结论①正确,得分 (3)解得-6<m<2 (5)故当结论①正确时，m的取值范围为{m|-6<m<2}....................................6分（2）若m=-1,则原方程转化为-3=0,恒不成立. ... 7分 (7)若m≠-1,则由（m+1）x-3=0,得分 (8)从而解得 (10)当结论①正确，结论②不正确时， (12)当结论②正确,结论①不正确时,m≥2 (14)综上所述，当结论①，②中恰有一个正确时，m的取值范围为或m≥2}..........15 17.解分 (1)则 (4)当且仅当时，等号成立，故的最小值为₆ (6)（2）因为, (8)当且仅当a=b=c=1时,等号成立,... 9分 (9)所以分 (10) (12)当且仅当 ac+ bc=2时,等号成立,此时a=b=c=1, ... 14分 (14)所以的最小值为8………………………………………………………………………………15分18.解:(1)当a=1时,y=x²+5x+5.由题可知x₁,x₂;是方程x²+5x+5=0的两个实数根， (2)由{x21+5x1+5=0, x22+5x2+5=0,得{x 31=―5x21―5x1,x32=―5x22―5x2, 4分则x i+x32=―5(x21+x22)―5(x1+x2)=―5[(x1+x2)2―2x1x2]+25=―75+25=―50.6分(2)由y≥1,得ax²+(3a+2)x+2a+2≥0.当a=0时，不等式整理为………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7分当a≠0时,令ax²+(3a+2)x+2a+2=(x+1)( ax+2a+2)=0,得x=---1或x=...............................................................................................................9分当a>0时,则原不等式的解集为或3x≥-1} (11)当--2<a<0时,―1<―2a+2a,则原不等式的解集为{x|―1≤x≤―2a+2a};当a=-2时,则原不等式的解集为{-1}；...............................................................15分当a<-2时,则原不等式的解集为 (17)【高一数学·参考答案第3页(共4页)】 ·A1·…13分1,3,5或1,5,9,………………………………………………………………………… (1)故满足条件的B可能是{1,3,5},{1,5,9},{1,3,5,9}...........................................4分（2）解:由A 是“等差集”,得, ... 5 分 (5)且m≥2,则 (6)（舍去）或m=2 (8)当m=2时,A={1,2,3}是“等差集”,故m=2 (9)（3）证明:假设{x,x²,x³, (10)则存在1≤i<j<k≤n,其中i,j,k∈N*,使得 (11)即则分 (12)因为1≤i<j<k≤n,所以k-i>j-i,从而k-i≥j-i+1,... 13分 (13)则2xʲ⁻ⁱ=1+xᵏ⁻ⁱ≥1+xʲ⁻ⁱ⁺¹, ……………………14分则分 (15)因为x≥2，所以从而2-x>0,即x<2, (16)不是“等差集” (17)【高一数学·参考答案第 4 页(共4页)】。

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