2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末考试数学(文)试题及答案

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河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期末考试+数学(文)答案

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2019-2020学年河南省洛阳一高高一(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年河南省洛阳一高高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若关于x 的不等式|x −1|+|x +m|>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−4)∪(2,+∞)B. (−∞,−4)∪(1,+∞)C. (−4,2)D. [−4,1]2.为了得到函数y =cos(3x −π4)的图象，只需把函数y =cos3x 的图象上所有点( )A. 向左平移π4个单位 B. 向右平移π4个单位 C. 向左平移π12个单位D. 向右平移π12个单位3.如果直线与直线(互相垂直，则( )A. B. C.，D.，，4.过点(−2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条5.将参加数学夏令营的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，求得间隔数k =100050=20，即每20人抽取一个人．在0001到0020中随机抽得的号码为0015，从0601到0785被抽中的人数为( )A. 8B. 9C. 10D. 116.已知平面向量a ⃗ =(2cos 2x,sin 2x)，b ⃗ =(cos 2x,−2sin 2x)，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，要得到y =√3sin2x +cos2x 的图象，只需要将函数y =f(x)的图象( )A. 向左平移π6个单位 B. 向右平移π6个单位 C. 向左平移π12个单位D. 向右平移π12个单位7.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A. 12πB. 4πC. 3π8. 某学校高中每个年级只有三个班，且同一年级的三个班的羽毛球水平相当，各年级举办班级羽毛球比赛时，都是三班得冠军的概率为( )A. 127B. 19C. 18D. 1369.设函数y =f(x)(x ∈R)的图象关于直线x =0及直线x =1对称，且x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，则f(−32)=( )A. 12B. 14C. 34D. 9410. 已知函数f(x)=cos(π6−2x)，把y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. g(π3)=√32B. g(x)的图象关于直线x =π2对称 C. g(x)的一个零点为(π2,0)D. g(x)的一个单调减区间为[−π12,5π12]11. 体积为2√153的三棱锥A −BCD 中，BC =AC =BD =AD =3，CD =2√5，AB <2√2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 20πB.613πC. 6112πD. 4912π12. 函数f(x)={e x +ax+ax+1,x >−1x 2+4x +3,x ≤−1，则关于x 的方程f[f(x)]=0的实数解最多有( )A. 4个B. 7个C. 10个D. 12个二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 15.已知直线过点且与圆相切，则该直线在轴正半轴上的截距等于___ ▲____；14. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，则AD 1与B 1C 所成角的大小为______ ．15. 已知矩形ABCD ，AB =2，BC =1，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16. 已知函数f(x)={e x −1,x ≤ax 2+x −2,x >a 恰有一个零点，则a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知，，其中(1)求证：与互相垂直； (2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．18. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，ED ⊥平面ABCD ，EF//DB ，M 是线段AE 的中点，DE =EF =12BD =2．(1)证明：DM//平面CEF ； (2)求多面体ABCDEF 的表面积．19. 中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道．某小区有1200户家庭，全部居民在小区的8栋楼内，各家庭在过年时各自包有肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子三种味道的饺子(假设每个家庭包有且只包有这三种味道中的一种味道的饺子)． (1)现根据饺子的不同味道用分层抽样的方法从该小区随机抽样抽取n 户家庭，其中有10户家庭包的是素馅饺子，在抽取家庭中包肉馅饺子和蛋馅饺子的家庭分布在8栋楼内的住户数记录为如图1所示的茎叶图，已知肉馅饺子数的中位数为10，蛋馅饺子数的平均数为5，求该小区包肉馅饺子的户数；(2)现从包肉馅饺子的y 2=4x 家庭中随机抽取100个家庭调查包饺子的用肉量(单位：kg)得到了如图2所示的频率分布直方图，若用肉量在第1小组[1.0,1.4)内的户数为x +y(x,y 为茎叶图中的x ，y)，试估计该小区过年时各户用于包饺子的平均用肉量(各小组数据以组中值为代表)．20.(本题满分12分)已知向量，设函数(Ⅰ)求函数的解析式和单调增区间；(Ⅱ)若，求的值．21. 已知椭圆:的一个焦点为且过点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．22. 已知函数f(x)=2acosx−sin2x，当x∈[−π6,2π3]时，求函数y=f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由于|x −1|+|x +m|表示数轴上的x 对应点到1和−m 的距离之和，它的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|>3，解得m >2，或 m <−4，故选：A ．由绝对值的意义可得|x −1|+|x +m|的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|>3，由此解得实数m 的取值范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得到|1+m|>3，是解题的关键，属于中档题．2.答案：D解析：解：把函数y =cos3x 的图象上所有点向右平移π12个单位，得到y =cos(3x −π4)的图象，故选：D ．直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．3.答案：C解析：试题分析：由于直线与直线互相垂直，则有，解得，故选C ．考点：两直线的位置关系4.答案：B解析：解：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y =−2x ，即2x +y =0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x −y =a ，将A(−2,4)代入得，a =−6， ∴此时所求的直线方程为x −y +6=0；共有2条，故选：B ．可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决．本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯．5.答案：B解析：本题主要考查系统抽样的应用，属于基础题．根据系统抽样的定义进行求解即可．解：由题意样本间隔为20，第一组抽到的号码为15，则第n组抽到的号码为15+20(n−1)=20n−5，由601≤20n−5≤785，得60620≤n≤79020，n为正整数．即31≤n≤39，共有39−31+1=9人，故选：B．6.答案：B解析：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数f(x)的解析式，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．解：函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =2cos2x⋅cos2x−2sin2x⋅sin2x=2(cos2x+sin2x)⋅(cos2x−sin2x)=2cos2x=2sin(2x+π2)=2sin2(x+π4)，∴要得到y=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)=2sin2(x+π12)的图象，只需要将函数y=f(x)=2sin(2x+π2)的图象向右平移π4−π12=π6个单位即可，故选B．7.答案：C解析：解：由三视图可知该三棱锥为棱长为1的正方体切去四个小三棱锥得到的几何体．设该三棱锥的外接球半径为R，∴2R=√12+12+12=√3，∴R=√32．∴外接球的表面积为S=4πR2=3π．故选：C．该三棱锥为棱长为1的正方体切去四个小三棱锥得到的，故正方体的体对角线等于外接球的直径．本题考查了常见几何体与外接球的关系，根据三视图得出三棱锥与正方体的关系是关键．8.答案：A解析：解：由于同一年级的三个班的羽毛球水平相当，故每个班得冠军的概率13，故都是三班得冠军的概率为13×13×13=127，故选：A．由于同一年级的三个班的羽毛球水平相当，故每个班得冠军的概率13，根据概率的乘法公式即可得到都是三班得冠军的概率．本题考查了概率的乘法公式，属于基础题．9.答案：B解析：解析：∵函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0对称，∴f(−x)=f(x)；∵函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=1对称，∴f(1−x)=f(1+x)；∴f(−32)=f(32)=f(1+12)=f(1−12)=f(12)=(12)2=14．选B．由于函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0及直线x=1对称，可得出f(−x)=f(x)和f(1−x)= f(1+x)，结合函数在[0,1]上的解析式即可求得f(−32)的值．本题考查利用函数的图象的对称性求值的问题，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．10.答案：D解析：解：函数f(x)=cos(π6−2x)=cos(2x−π6)，把y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，得到：g(x)=cos(2x+π3−π6)=cos(2x+π6)，故：①g(π3)=cos5π6=−√32，②当x=π2时，g(π2)=cos7π6=−√32≠±1，③当x=π3时，g(π3)=cos5π6=−√32≠0，故：A、B、C错误．故选：D．首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数和余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，所以V A−BCD=13AB⋅S CDE=13⋅AB⋅12CD⋅EP=16⋅AB⋅2√5⋅√DE2−(DC2)2=√5 3⋅AB⋅√AD2−(AB2)2−5=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为V A−BCD=2√153，所以2√153=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为AB<2√2，所以解得AB=2；AE=1，DE=CE=√AC2−(AB2)2=√32−1=2√2，所以sin∠ACE=AEAC =13，所以sin∠ACB=2sin∠ACE⋅cos∠ACE=2⋅13⋅2√23=4√29，由题意可得D在底面的投影在中线CE所在的直线上，设为F，设DF=ℎ，设底面ABC的外接圆的半径为r，设圆心为O′，2r=ABsic∠ACB=4√29，所以r=9√28，O′E=CE−r=2√2−9√28=7√28，V A−BCD=2√153=13S ABC⋅ℎ=13⋅12AC2⋅sin∠ACB⋅ℎ=16⋅9⋅2√2⋅ℎ，解得ℎ=√302，所以EF=√DE2−DF2=√8−304=√22，所以O′F=EF+O′E=√22+7√28=11√28，过O′作OO′⊥面ABC的垂线，作OH⊥DF于H，则四边形HFO′O为矩形，设外接球的半径为R，取OA=OB=OD=R，在三角形OHD中，OD2=OH2+(DF−FH)2，即R2=O′F2+(√302−OO′)2=(11√28)2+(√302−OO′)2，①在三角形OO′中，OC2=CO′2+OO′2=r2+OO′2即R2=(9√28)2+OO′2，②，由①②可得R2=6112，所以外接球的表面积S=4πR2=4π⋅6112=613π，故选：B．由题意取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，再由体积可得AB的值，进而求出底面外接圆的半径，及D到底面的高，由题意求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题12.答案：D解析：解：当x>−1时，f′(x)=xe x(x+1)2，∴f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．∴当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=1+a．当x≤−1时，由二次函数性质可知f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,−1]上单调递增，∴当x=−2时，f(x)取得极小值f(−2)=−1．不妨设1+a<0，则f(x)=0有4个解，不妨设从小到大依次为t1，t2，t3，t4，则t1=−3，t2=−1，−1<t3<0，t4>0．再令1+a<−3，作出f(x)的函数图象如图所示：∵f[f(x)]=0，∴f(x)=t i，(i=1,2，3，4)．由图象可知f(x)=−3由2解，f(x)=−1有3解，f(x)=t3有4解，f(x)=t4有3解，∴f(f(x))=0最多有12解．故选：D．判断f(x)的单调性，作出f(x)的大致函数图象，求出f(t)=0的解，再根据f(x)的图象得出f(x)=t 的解得个数即可得出结论．本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判定与函数极值的计算，属于中档题．13.答案：解析：14.答案：90°解析：解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵AD1//BC1，∴AD1与B1C所成角的大小为BC1与B1C所成角的大小，∵BCC1B1是正方形，∴BC1与B1C所成角的大小是90°，∴AD1与B1C所成角的大小为90°．故答案为：90°．利用正方形的性质求解．本题考查异面直线所成的角的大小的求法，解题时要认真审题，是基础题．15.答案：4解析：解：矩形ABCD ，AB =2，BC =1，∴CD =AB =2，∴DB =√BC 2+CD 2=√5，∴cos∠CDB =2√5，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠CDB =√5×2×√5=4，故答案为：4 根据矩形的性质和向量的数量积公式即可求出．本题主要考查矩形的性质，两个向量的数量积的运算，属于基础题．16.答案：[−2,0)∪[1，+∞)解析：解：由e x −1=0，可得x =0，由x 2+x −2=0，可得x =−2或1，可得a =0或0<a <1时，f(x)有两个零点0，1；若a <−2时，f(x)有两个零点−2，1；若f(x)的零点只有一个零点0，可得a ≥1；若f(x)的零点只有一个零点1，得a <0，且−2≤a <1；可得−2≤a <0或a ≥1，故答案为：[−2,0)∪[1，+∞)．求得f(x)的零点，讨论a =0，a >0，a <0，结合恰有一个零点，可得a 的范围．本题考查分段函数的零点个数，考查分类讨论思想，以及方程思想，属于基础题．17.答案：(1)。

河南省洛阳市河洛中学高一化学下学期期末试题含解析

河南省洛阳市河洛中学高一化学下学期期末试题含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. 如将两个铂电极插入KOH溶液中，向两极分别通入CH4和O2即构成甲烷燃料电池。

已知通入甲烷的一极，其电极反应为，下列叙述正确的是A.通入甲烷的一极为正极B通入氧气的一极发生氧化反应C.该电池总反应为D.该电池在工作时，溶液中的阴离子向正极移动参考答案：C2. 下列实验基本操作中正确的是A. 稀释浓硫酸时，将浓硫酸沿器壁缓慢注入水中，并不断搅拌B. 过滤时，漏斗里液体的液面要高于滤纸的边缘C. 胶头滴管的管口直接伸入试管里滴加液体，以免外溅D. 实验结束后，用嘴吹灭酒精灯参考答案：AA项，稀释浓硫酸时应将浓硫酸沿器壁缓慢注入水中，并不断搅拌，正确；B项，过滤时，漏斗里液体的液面要低于滤纸的边缘，错误；C项，胶头滴管应在试管的正上方向试管中滴加液体，不能伸入试管中，错误；D项，实验结束应用灯帽盖灭酒精灯，错误；答案选A。

3. 用N A表示阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A．1mol CH3+（碳正离子）中含有电子数为10N AB．常温常压下，17g NH3中含有原子数4N AC．常温常压下，22.4 L水中含有的共价键数为2N AD．在密闭容器中，1molN2与3molH2在一定条件下充分反应，生成氨气的分子数为2 N A参考答案：B4. 14C是一种放射性同位素，在高层大气中由宇宙射线产生的中子或核爆炸产生的中子轰击14N可使它转变为14C，14N +n → 14C+H，下列说法正确的是（）A．14C和14N互为同位素 B．14C和C60是同素异形体C．14CO2的摩尔质量为46 D．地球上活着的生物体内，由于新陈代射作用也存在14C参考答案：D略5. 下列关于电池的叙述不正确的是A.电池充电是使放电时的氧化还原反应的逆向进行B.较长时间不使用电器时，最好从电器中取出电池，并妥善存放C.氢氧燃料电池产物为无污染的水，周子环境友好电池D.燃料电池的能量转化率可达100%参考答案：D6. 对于放热反应，下列说法正确的是A．产物H2O所具有的总能量高于反应物H2和O2所具有的总能量B．反应物H2和O2所具有的总能量高于产物H2O所具有的总能量C．反应物H2和O2所具有的总能量等于产物H2O所具有的总能量D．反应物H2和O2具有的能量相等参考答案：B7. 下列实验操作中，错误的是（）A．分液时，分液漏斗中下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出B．蒸馏时，应使温度计水银球位于蒸馏烧瓶支管处C．用酒精萃取碘水溶液中的碘D．称量时，将称量物放在称量纸或烧杯中，置于托盘天平的左盘，砝码放在托盘天平的右盘中参考答案：C考点：分液和萃取；计量仪器及使用方法；蒸馏与分馏．专题：化学实验基本操作．分析：A、根据分液的正确操作分析；B、蒸馏时，温度计测量蒸汽的温度；C、酒精和水互溶；D、称量时，物体放左盘，砝码放右盘．解答：解：A、分液时，分液漏斗中下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出，故A正确；B、蒸馏时，温度计测量蒸汽的温度，所以应使温度计水银球位于蒸馏烧瓶支管处，故B 正确；C、酒精和水互溶，所以不能用酒精萃取碘水溶液中的碘，故C错误；D、称量时，物体放左盘，砝码放右盘，故D正确；故选C．点评：本题考查了实验基本操作，难度不大，注意萃取剂的选取方法8. 下列顺序不正确的是A. 失电子能力：Na＜KB. 碱性：NaOH＜KOHC. 得电子能力：S＜ClD. 酸性：HClO4＜H2SO4参考答案：A项，同主族元素的原子从上到下，原子半径逐渐增大，失电子能力逐渐增强，故失电子能力：Na＜K，A正确；B项，同主族元素从上到下，金属性增强，最高价氧化物对应水化物碱性增强，故碱性：NaOH＜KOH，B正确；C项，同周期元素的原子从左到右，原子半径逐渐减小，得电子能力逐渐增强，故得电子能力：S＜Cl，C正确；D项，同周期元素的原子从左到右，非金属性增强，最高价氧化物对应水化物酸性增强，故酸性：HClO4>H2SO4，D错误。

2019-2020学年河南省洛阳一高高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年河南省洛阳一高高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知非零实数a，b满足a＜b，则（）A．B．sin a﹣sin b＜0C．D．lg（b﹣a）＞02．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝cos2xC．y＝x3D．y＝cos（+x）3．已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则a的值为（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或34．已知直线过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣4＝0C．2x﹣y＝0或x+2y﹣2＝0D．2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝05．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47，的学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．26B．23C．17D．136．已知，β∈（0，π），且sinα＝，cosβ＝，则α﹣β＝（）A．﹣B．C．D．±7．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积（）A．B．C．10D．8．从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，则点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A．B．C．D．9．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）在区间[﹣，]上的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣11．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（）A．πB．πC．πD．5π12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（17，35）C．（18，34）D．（6，7）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知斜率为﹣的直线l的倾斜角为α，则cosα＝．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是．15．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为．16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝﹣x2，则函数g（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知单位向量，，两向量的夹角为60°，且＝﹣3，＝+．（1）求与的模；（2）求与夹角的余弦值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点．（1）求证：PQ∥平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ．19．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示，求英语成绩在[90，100）的人数．分数段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1：22：16：51：21：120．已知向量，，f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（）＝，其中，求cosα的值．21．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x﹣4y﹣4＝0截得的弦长为2．（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．22．对于定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）＝mf（x）+ng （x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）＝log3（9x﹣1+1），g（x）＝x﹣1”生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．求函数h（x）的解析式．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知非零实数a，b满足a＜b，则（）A．B．sin a﹣sin b＜0C．D．lg（b﹣a）＞0【分析】根据条件取特殊值，即可排除错误选项．解：根据非零实数a，b满足a＜b，取a＝﹣1，b＝1，则可排除A；取a＝，b＝，可排除B；取a＝﹣2，b＝﹣1，可排除D．故选：C．2．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝cos2xC．y＝x3D．y＝cos（+x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与周期性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝sin|x|，有f（﹣x）＝sin|﹣x|＝sin|x|＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于B，y＝cos2x，有f（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于C，y＝x3，为幂函数，是奇函数但不是周期函数，不符合题意；对于D，y＝cos（+x）＝﹣sin x，既是奇函数，又是周期函数，符合题意；故选：D．3．已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则a的值为（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或3【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得a（a+2）＝3，解可得a的值，据此分别验证两直线是否平行即可得答案．解：根据题意，已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则有a（a+2）＝3，即a2+2a﹣3＝0．解可得：a＝1或﹣3；当a＝1时，直线l1：3x+3y＝3，即x+y＝1，直线l2：x+y＝1，两直线重合，当x＝﹣3时，直线l1：﹣x+3y＝11，直线l2：x﹣3y＝1，两直线平行，故a＝﹣3；故选：A．4．已知直线过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣4＝0C．2x﹣y＝0或x+2y﹣2＝0D．2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝0【分析】根据题意，分直线l是否经过原点分2种情况讨论，分别求出直线l的方程，综合即可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①，直线l过原点，又由直线经过点（1，2），此时直线l的方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；②，直线l不过原点，设其方程为+＝1，又由直线经过点（1，2），则有+＝1，解可得a＝2，此时直线l的方程为2x+y﹣4＝0，故直线l的方程为2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝0，故选：D．5．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47，的学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．26B．23C．17D．13【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．解：样本间隔为60÷4＝15，则2+15＝17，即另外一个学生的编号为17，故选：C．6．已知，β∈（0，π），且sinα＝，cosβ＝，则α﹣β＝（）A．﹣B．C．D．±【分析】由已知分别求得cosα，sinβ的值，再求出α﹣β的范围及sin（α﹣β）的值，则答案可求．解：由，sinα＝，得cosα＝；由β∈（0，π），cosβ＝，得sinβ＝．且α﹣β∈（﹣π，），而sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝．∴α﹣β＝．故选：C．7．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积（）A．B．C．10D．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由棱台体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．∴该几何体的体积V＝．故选：B．8．从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，则点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件（a，b）总共有：n＝3×4＝12个，两平行直线的距离为，从而落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件，由此利用列举法能求出点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率．解：从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，基本事件（a，b）总共有：n＝3×4＝12个，两平行直线的距离为，所以落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件，所以满足条件的事件有（﹣1，﹣2），（2，4），（3，6），（2，6），（3，7），共5个，所以点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为p＝．故选：D．9．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为奇函数，排除BD，由，排除C．解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除B，D；又，故选：A．10．将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）在区间[﹣，]上的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的最值，得出结论．解：将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝sin（2x+）的图象；再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）＝sin（x+）的图象．在区间[﹣，]上，+∈[，]，故当+＝时，g（x）取得最小值为，故选：A．11．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（）A．πB．πC．πD．5π【分析】由已知将三棱锥P﹣ABC的外接球，转化为长2，宽2，高2的长方体的外接球，求出半径，可得答案．解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，故棱锥的底面面积为2，由PA⊥平面ABC，且三棱锥P﹣ABC的体积为，故棱锥的高为2，三棱锥P﹣ABC的外接球，相当于长2，宽2，高2的长方体的外接球，故球半径R＝[]＝，故球的体积V＝π，故选：A．12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（17，35）C．（18，34）D．（6，7）【分析】画出函数的图象，利用数形结合判断a、b、c的范围与关系，然后求解2a+2b+2c 的取值范围．解：画出函数f（x）＝的图象如图：互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（4，5），当图中红线，对应的函数值接近1时，函数趋向最小值：0+2+24＝18，当函数值趋向0时，表达式趋向最大值：1+1+25＝34．则2a+2b+2c的取值范围是（18，34）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知斜率为﹣的直线l的倾斜角为α，则cosα＝﹣．【分析】根据题意，由直线的斜率公式可得tanα＝＝﹣，分析可得cosα＜0，由同角三角函数的基本关系式分析可得答案．解：根据题意，直线l的倾斜角为α，其斜率为﹣，则有tanα＝＝﹣，则＜α＜π，必有cosα＜0，又由sin2α+cos2α＝1，解可得：cosα＝﹣；故答案为：﹣14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是60°．【分析】先作出异面直线EF与A1C1所成角，再在正△BA1C1中即可得解．【解答】解：连接A1B，则A1B∥EF，则∠BA1C1为异面直线EF与A1C1所成角，在正△BA1C1中，∠BA1C1＝60°，故答案为：60°．15．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为﹣．【分析】建立坐标系，由已知求出AO，OB长，设P点坐标为（0，b），求出两个向量的坐标，进而求出向量积的表达式，由二次函数的性质，可得答案．解：建立如图所示的坐标系，＝＝1，则AO＝1，又由菱形ABCD的边长为2，则OB＝，故A（﹣1，0），B（0，﹣），设P点坐标为（0，b），b∈[﹣，0]，则＝（1，b），＝（0，b+）＝，当b＝﹣时，取最小值﹣，故答案为：﹣16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝﹣x2，则函数g（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为8．【分析】根据条件判断函数的周期是4，求出函数在一个周期上解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解：因为f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（x）是R上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x2，x∈[0，1]时，f（x）＝x2，x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）＝﹣（x+2）2，x∈[1，2]时，f（x）＝（x﹣2）2，∴f（0）＝0，则f（﹣2）＝﹣f（0）＝0，f（2）＝0由h（x）＝（x﹣2）f（x）+1＝0得（x﹣2）f（x）＝﹣1，当x＝2时，（x﹣2）f（x）＝﹣1，不成立，即x≠2，则f（x）＝﹣，作出函数y＝f（x）和y＝﹣的图象如图：则两个函数关于点（2，0）对称，两个图象有4个交点，两两关于（2，0）对称，则函数h（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为4+4＝8，故答案为：8．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知单位向量，，两向量的夹角为60°，且＝﹣3，＝+．（1）求与的模；（2）求与夹角的余弦值．【分析】（1）利用向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可．（2）利用向量的数量积转化求解向量的夹角的余弦函数值即可．解：（1）因为，是夹角为60°的单位向量，所以，，，（2），又，，∴．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点．（1）求证：PQ∥平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ．【分析】（1）由已知证明OQ∥A1P，OQ＝A1P，可得四边形A1PQO为平行四边形，得到A1O∥PQ，再由线面平行的判定可得PQ∥平面A1BC1；（2）连AQ，由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得AA1⊥底面ABC，得到BC⊥AA1，再证明AQ⊥BC，可得BC⊥平面AQP，从而得到BC⊥PQ．【解答】证明：（1）如图，连B1C，BC1相交于点O，∵BQ＝CQ，OB＝OC1，∴OQ∥CC1，OQ＝CC1，∵A1P∥CC1，，∴OQ∥A1P，OQ＝A1P，∴四边形A1PQO为平行四边形，∴A1O∥PQ，∵A1O⊂平面A1BC1，PQ⊄平面A1BC1，∴PQ∥平面A1BC1；（2）连AQ，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1∵AB＝AC，BQ＝CQ，∴AQ⊥BC，∵AQ∩AA1＝A，∴BC⊥平面AQP，∵PQ⊂平面APQ，∴BC⊥PQ．19．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示，求英语成绩在[90，100）的人数．分数段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1：22：16：51：21：1【分析】（1）由频率分布直方图，能求出m；（2）根据频率分布直方图，能估计这200名学生的平均分；（3）这200名学生的数学成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有60人，40人，10人，按照表中给出的比例，则英语成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有50人，80人，10人，由此能求出英语成绩在[90，120）的人数．解：（1）由频率分布直方图，得：10×（2m+0.02+0.03+0.04）＝1，解得m＝0.005；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分为：0.05×75+0.4×85+0.3×95+0.2×105+0.05×115＝93；（3）这200名学生的数学成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有60人，40人，10人，按照表中给出的比例，则英语成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有50人，80人，10人，∴英语成绩在[90，120）的有140人．20．已知向量，，f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（）＝，其中，求cosα的值．【分析】（1）先利用数量积定义，求出f（x），然后将原式进行化简成A sin（ωx+θ）的形式，然后结合图象的性质即可求出结果；（2）根据已知条件，可先求出，进而求出，最后借助于两角差的余弦公式求出cosα．解：（1）依题意得：＝1+cos2x+sin2x＝．则．最小正周期为π．对称中心横坐标满足：，可得，故对称中心为．（2）由，可得．∵，∴．而上单调递增，故取值范围为（）；在上单调递减，取值范围为（）．∵，∴，则．∴，∴＝＝．21．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x﹣4y﹣4＝0截得的弦长为2．（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【分析】（1）设圆心坐标，利用弦心距，半弦长，半径所成直角三角形列方程可得圆心坐标，进而得方程；（2）利用P点所在直线设P点坐标，利用过A，P，C的圆以PC为直径，设圆上任一点M，满足MP⊥MC，结合数量积为0，可得圆系方程，解得定点坐标．解：（1）设圆心C（a，0）（a＞0），则C到直线3x﹣4y﹣4＝0的距离d＝，由弦长为，r＝2，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得d2＝r2﹣3，解得a＝3或a＝﹣（舍），∴圆C的方程为：（x﹣3）2+y2＝4；（2）由（1）知，C（3，0），设P（m，﹣m﹣5），∵PA为切线，∴PA⊥AC，∴过A，P，C的圆是以PC为直径的圆，设圆上任意一点M（x，y），则，∴（x﹣m，y+m+5）•（x﹣3，y）＝0，得（x﹣m）（x﹣3）+y（y+m+5）＝0，可得x2+y2﹣3x+5y﹣m（x﹣y﹣3）＝0，由解得或，故经过A，P，C三点的圆所过定点的坐标为（3，0）和（﹣1，﹣4）．22．对于定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）＝mf（x）+ng （x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）＝log3（9x﹣1+1），g（x）＝x﹣1”生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．求函数h（x）的解析式．【分析】（1）由题意设4x2+2x+3＝m（3x2+x）+n（kx+3），由恒等式可得m，n，k的关系，求得k；（2）设h（x）＝m log3（9x﹣1+1）+n（x﹣1），运用偶函数的定义和单调性的定义，求得m，n的关系，以及最值，可得m，n的值，进而得到所求解析式．解：（1）函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，设4x2+2x+3＝m（3x2+x）+n（kx+3），可得3m＝4，m+nk＝2，3n＝3，解得k＝；（2）设h（x）＝m log3（9x﹣1+1）+n（x﹣1），由h（﹣x+1）＝h（x+1），可得m log3（9﹣x+1）+n（﹣x）＝m log3（9x+1）+nx，即为m log3＝2nx，即m log39﹣x＝2nx，可得﹣2mx＝2nx，即m＝﹣n，可得h（x）＝m[log3（9x﹣1+1）﹣（x﹣1）]＝m log3，令y＝，x≥2，再令3x﹣1＝t（t≥3），则y＝t+，设3≤t1＜t2，可得y1﹣y2＝t1+﹣t2﹣＝（t1﹣t2）•，由3≤t1＜t2，可得t1﹣t2＜0，t1t2＞1，即有y1﹣y2＜0，即y1＜y2，则y＝t+在[3，+∞）递增，可得y＝t+≥，当t＝3时取得等号，可得log3≥log3，h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．可得m log3＝2（log310﹣1），即m＝2，n＝﹣2，则h（x）＝2log3（9x﹣1+1）﹣2（x﹣1），。

洛阳市2019-2020高一期末质检理数答案

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河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期质量检测(期末)数学试卷(理科)

洛阳市2019-2020学年高一质量检测数学试卷（理）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。

第I卷1至2页. 第II卷3至4页。

考试时间120分钟.第I卷(选择题，共60分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 考试结束，将答题卡交回.―、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线3x - √3y+ 1 = 0的倾斜角是A. 30°B.60°C. 120°D. 135°2. 某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为A. 710B.15C.π2D.3103. 已知函数f(x) = lnx+√16−2x，则f(x)的定义域为A. (0,1)B. (1,2]C.(0,4]D. (0.2]4. 已知直线a,b与平面α,β,γ,下列条件中能推出α// β的是A. a丄α，且a丄βB. α丄γ，且β丄γC. a⊂α，b⊂β,a//bD. a⊂α,b⊂αa// β,b// β5. 在区间[一1，1]上随机地取一个数x，则cosπx2的值介于0到12之间的概率为A.23B.2πC.12D.136. 某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加,成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小A. x甲<x乙，S甲2>S乙2 B. x甲>x乙，S甲2<S乙2C. x甲<x乙，S甲2<S乙2 D. x甲>x乙，S甲2>S乙27. 已知a = sin33°，b = cos55°，c = tan35°,则a，b，c，的大小关系是A. a < b < c.B. a < c< bC. b <a < cD. b < c <a8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3. 14.这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.则输出"的值为(参考数据：√3 ≈1. 732，sin15° ≈ 0. 2588， sin75°≈ 0. 1305 ) A. 12 B.24 C. 36 D. 489. 已知的ΔOMN 三个顶点为O(0,0)，M(6,0),N(8,4)过点（3,5)作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为 A. 10√6 B. 20√6 C.30√6 D.40√610. 已知体积为4√3的三棱锥O —ABC 的顶点A,B,C 都在球O 的表面上，且 AB = 6，BC =2√3，AC = 4√3，则球O 的表面积是 A.16 π B. 32π C.64 π D.72 π 11. 若向量a ⃗,b ⃗⃗,c ⃗的模均为1，且a ⃗ • b ⃗⃗ = 0,则| 3a ⃗+4b ⃗⃗−2c ⃗丨的最大值为A. 5 + 2√5B. 3C.5D.712. 已知函数 f (x )=sin(ωx −π6)(ω>0），当x ∈[0,π4]时，f(x)max =ω3时，则ω的值最多有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知 cos(3π2+α)=−13 ,且 α∈[−π2,π2]，则 tan α= .14. 若直线√3 x −3y −9=0 被圆(x −2)2+(y −3)2=r 2截得的弦长为√3 r ，则 r = 15. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√3，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,点 C 在 ∠AOB 内，且 ∠AOC = 30。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下期末考试数学试卷有答案

洛阳市2019-2020学年高一年级质量检测数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}0,5,10A =，集合{}22,1B a a =++，且{}5A B =，则满足条件的实数a 的个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A.2sin y x =+B. cos y x =C. ln y x =D. x x y e e -=- 3.已知平行四边形ABCD 中，60,1,2ABC AB BC ∠===,则BA BD ⋅= A. 1 B. 2 C. 13+ D.2-4.执行如图所示的程序框图，若输入a,b 的分别为78,182，则输出的a = A. 0 B. 2 C. 13 D. 265.为了了解某服装厂某种服装的年产量x （单位：千件）对价格y （单位：千元/千件）的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计情况如下表：如果y 关于x 的线性回归方程为ˆ12.386.9yx =-+，且1270,65y y ==，则345y y y ++= A. 50 B. 113 C. 115 D. 2386.设直线32120x y --=与直线4310x y ++=交于点M,若一条光线从点()2,3P 射出，经y 轴反射后过点M,则入射光线所在直线的方程为A.10x y --=B.10x y -+=C.50x y --=D.50x y +-= 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 12 B. 9 C. 6 D. 368.已知曲线11:sin ,:sin 23C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是A. 把1C 上个点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C9.在直三棱柱111ABC A B C -中，,6,8AB BC AB BC ⊥==若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为A. 624B.576C. 672D.72010.一位同学家里定了一份报纸，送报人每天都在早上6:20—7:40之间将报纸送达，该同学需要早上7:00——8:00之间出发上学，则该同学在离开家之前能拿到报纸的概率为 A.16 B. 13 C. 23 D.5611.在平面直角坐标系xoy 中，已知()150,0,,04O A ⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 上任一点M 满足4OM AM =，点P在直线)1y x =-上，如果曲线C 上总存在两点到P 的距离为2，那么点P 的横坐标t 的范围是A. 13t <<B. 14t <<C. 23t <<D. 24t << 12.已知两条直线()122:3,:261l y l y m m ==≤≤-，1l 与函数2log y x =的图象从左到右交于A,B 两点，2l 与函数2log y x =的图象从左到右交于C,D 两点，若,AC AB BD CD a B ABCD⋅⋅==，当m变化时，ba的范围是A. 352,4⎛⎫⎪⎝⎭B.352,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 172,32⎡⎤⎣⎦D.()172,32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1cos ,02απα=--<<，则角α= .（用弧度表示）14.某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了一些客户，得到了满意度评分的茎叶图，则这组评分数据的中位数为 .15.执行如图所示的程序框图，如果输入9x =时，299y =，则整数a 的值为 . 16.已知锐角,αβ满足()()sin cos 2cos sin αββαββ+=+，当α取得最大值时，tan 2α= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知点()()8,3,3,6-在函数()log ,02,0a x x x f x b x >⎧=⎨-≤⎩的图象上.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求不等式()0f x >的解集.18.（本题满分12分）已知向量2cos ,1,cos ,cos ,66a x b x x x R ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数().f x a b =⋅（1）求函数()f x 的图象的对称中心；（2）若,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值和最小值，并求出()f x 取得最值时x 的大小.19.（本题满分12分）学校高一数学考试后，对90分（含90分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，分数在120—130分的学生人数为30人. （1）求这所学校分数在90—140分的学生人数；（2）请根据频率分布直方图估计这所学校学生分数在90—140分的学生的平均成绩；（3）为进一步了解学生的学习情况，按分层抽样方法从分数子啊90—100分和120—130分的学生中抽出5人，从抽取的学生中选出2人分别做问卷A 和问卷B,求90—100分的学生做问卷A,120—130分的学生做问卷B 的概率.20.（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AB PC ⊥,其中3, 6.BP BC PC ===（1）点,E F 分别为线段,BP DC 的中点，求证：//EF 平面APD ；（2）设G 为线段BC 上一点，且2BG GC =，求证：PG ⊥平面ABCD .21.（本题满分12分）已知函数()()sin 0,0,,2f x A x B A x R πωϕωϕ⎛⎫=++>><∈ ⎪⎝⎭在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，当2x π=时，()f x 取得最大值5，当32x π=时，()f x 取得最小值-1. （1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,4x π∈时，函数()()()1212x x g x f x a +=-+有8个零点，求实数a 的取值范围.22.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足2216PA PB +=，设点P 的轨迹为1C ，从1C 上一点Q 向圆()2222:0C x y r r +=>做两条切线，切点分别为,M N ，且60.MQN ∠= （1）求点P 的轨迹方程和；（2）当点Q 在第一象限时，连接切点,M N ，分别交,x y 轴于点,C D ，求OCD ∆面积最小时点Q 的坐标.。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

洛阳市2019-2020学年第二学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin510︒=（）.A. 12B. 12- C.D. 【答案】A 【解析】【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】()1sin 510sin 360150sin150sin 302︒=︒+︒=︒=︒=. 故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式化简求值，属于简单题. 2.函数()44cos sin 22x xf x =-的最小正周期为（）. A.π2B. πC. 2πD. 4π【答案】C 【解析】【分析】先化简函数得()cos f x x =，即得函数的最小正周期. 【详解】由题得()442222cossin (cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x x =-=+-=. 所以函数的最小正周期为2π. 故选：C.【点睛】本题主要考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的应用，考查余弦函数的最小正周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.若2πk αθ=+,()21πk βθ=+-,其中k ∈Z ,则角α与β的终边（）.A. 关于原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于y x =对称【答案】C 【解析】【分析】根据角度的终边周期性分析即可.【详解】根据角度的性质有2πk αθ=+与θ的终边相同,()21πk βθ=+-与πθ-的终边相同,且θ的终边与πθ-的终边关于y 轴对称,故角α与β的终边关于y 轴对称. 故选：C【点睛】本题主要考查了角度性质辨析.属于基础题.4.如果单位向量a r 与b r的夹角为π3，则+=r r a b （）.A. 1B.C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】利用a b →→+==，结合,a b →→的模长和数量积进行求解.【详解】因为a b →→+==，又,a b →→为单位向量，且,a b →→的夹角为π3，所以1cos32a b a b π→→→→⋅==，所以a b →→+====故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的概念：cos ,a b a b a b →→→→→→⋅=，向量的模一般要转化为a →=来求，属于基础题.5.下面结论正确是（）.A. 若a r ，b r 是单位向量，a b =r rB. 若四边形ABCD 内一点O 满足OA OC OB OD +=+u u u r u u u ru u u r u u u r，则ABCD 是平行四边形C. 若向量a r ，b r共线，则a b a b +=+r r r r D. 若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r r【答案】B 【解析】【分析】根据单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，分别对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】选项A 中，a r，b r是单位向量，而单位向量也是有方向的，只有a r ，b r是单位向量且方向相同时，才有a b =r r，所以错误；选项B 中，因为点O 为四边形ABCD 内一点，OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u ru u u r u u u r ，所以BA CD =u u u r u u u r，又BA u u u r与CD uuu r不共线，所以可得BA CD =且∥BA CD ，所以ABCD 是平行四边形，所以正确；选项C 中，当向量a r ，b r 同向时，有a b a b +=+r r r r ，当向量a r ，b r反向时，有a b a b +=-r r r r ，所以错误；选项D 中，因为a c b c ⋅=⋅r r r r，所以cos ,cos ,a c a c b c b c ⋅=⋅r r r r r r r r 即cos ,cos ,a a c b b c =r r r r r r，不能得到a b =r r，所以错误.故选：B.【点睛】本题考查单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，属于简单题.6.满足tan cos sin ααα<<的α一个可能值为（）.的A.π12B.3π8C.9π16D.13π12【答案】C 【解析】【分析】借助三角函数的单调性，采用中间值法，逐一判断四个选项，即可得到答案.【详解】当12πα=时，coscos1242ππ>=，sin sin 1242ππ<=，不满足cos sin αα<，所以A 选项错误；当38πα=时，3tan tan 184ππ>=，3cos 18π<，不满足tan cos αα<，所以B 选项错误；当916πα=时，93tantan 1164ππ<<-，91cos 016π-<<，9sin 016π>，满足tan cos sin ααα<<，所以C 选项正确；当1312πα=时，135cos cos 124ππ<=135sin sin 124ππ>=，不满足cos sin αα<，所以D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的单调性，熟记特殊三角函数值是本题的解题关键，属于基础题. 7.下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是（）. A. sin y x x =B. 2cos y x x =-C. 1tan tan y x x=+D. sin cos y x x =+【答案】D 【解析】【分析】直接利用函数奇偶性的定义逐一判断四个选项，即可得到答案.【详解】对于A ，()sin y f x x x ==，定义域为R ，关于原点对称，()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，则sin y x x =为偶函数；对于B ，()2cos y f x x x ==-，定义域为R ，关于原点对称，()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，则2cos y x x =-为偶函数；对于C ，()1tan tan y f x x x ==+，定义域为(),2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，()()()()11tan tan tan tan f x x x f x x x -=-+=--=--，则1tan tan y x x=+为奇函数；对于D ，()sin cos y f x x x ==+，定义域为R ，关于原点对称，()()()sin cos sin cos f x x x x x -=-+-=-+，()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则sin cos y x x=+既不是奇函数，也不是偶函数. 综上，D 选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题.定义法判断函数的奇偶性，分为三步：（1）定义域关于原点对称，若不对称，则函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，若对称，则进行下一步；（2）求()f x -；（3）若()()f x f x -=，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数. 8.已知函数()ππsin 4cos 4136f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是（）.A. ()f x 的最小正周期为π2B. ()f x 的图象关于直线π24x =-对称 C. ()f x 的值域为[]1,3- D. ()f x 的图象关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换进行化简，再根据正弦型函数的图象和性质，即可得出答案.【详解】()ππsin 4cos 4136f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sincos 4cossin 4cos 4cossin 4sin13366x x x x ππππ=++++11cos 4sin 4cos 4sin 412222x x x x =++++4sin 41x x =++2sin 413x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭242T ππ==，所以，()f x 的最小正周期为π2，A 选项正确；()432x k k Z πππ+=+∈，解得()244k x k Z ππ=+∈，所以，B 选项错误；由1sin 413x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，得12sin 4133x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为[]1,3-，故C 选项正确； ()43x k k Z ππ+=∈，解得()124k x k Z ππ=-+∈，所以()f x 的对称中心为,1124k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，故D 选项正确. 故选：B【点睛】本题考查了三角恒等变换及正弦型函数的图象和性质，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.9.在边长为1的正方形ABCD 内,以AB 为直径作半圆,若点M 为半圆（包括端点A ,B ）上任意点,则MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是（）.A. 0,⎡⎣B. (0,C. 0,⎡⎣D. (0,【答案】A 【解析】【分析】设正方形的中心为O ,再根据平面向量的加法法则,将MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r 转换为MO u u u u r的关系表达,再分析取值范围即可.【详解】设,AB DC 的中点分别为,Q P ,正方形的中心为O .根据正方形的对称性可知O 为,Q P 中点..根据平面向量的加法有22224MA MB MC MD MQ MP MO MO +++=+==u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r.易得当M 在O 处4MO u u u u r 取最小值0；当M 在,A B 处4MO u u u u r 均可取最大值为4AO =u u u r.故MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是0,⎡⎣.故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的加法运用,需要根据题意结合平面向量的线性运算转换.属于中档题.10.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为()g x ，若()g x 的最小正周期是2π，且π12g ⎛⎫=⎪⎝⎭，π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）.A. 3-B. 3-C.3D.3【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换及最小正周期，求出ω值，再利用三角函数的对称轴及ϕ的范围，求出ϕ值，利用π12g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求出A 值，进而求出π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为()sin 2x g x A ωϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期是2π，所以222ππω=，解得2ω=，所以()()sin g x A x ϕ=+，()()sin 2f x A x ϕ=+，()22x k k Z πϕπ+=+∈，解得()242k x k Z πϕπ-=+∈，所以，函数()f x 关于()242k x k Z πϕπ-=+∈对称，所以()2342k k Z ππϕπ-=+∈，且π2ϕ<，解得6πϕ=-，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即sin 126A ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 13A π=，解得A =，所以()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π16336323f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换、利用最小正周期求参数、利用三角函数的对称轴求参数及特殊角的三角函数值，考查学生的运算求解能力，属于中档题. 11.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点(,且在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调,把()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合,若13π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,直线y t =与()y f x =有三个不同的交点,则实数t 的取值范围是（）.A. (-B. []0,2C. [)0,2D.)2【答案】D 【解析】根据()f x 过点(可得3πϕ=,再根据()f x 在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调,且()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合可得2ω=.进而求得()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.再根据三角函数图像性质数形结合分析实数t 的取值范围即可. 【详解】因为函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象过点(,故sin ϕ=,又π2ϕ<,故3πϕ=.又()f x 在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调且0>ω,故12521212πππω⋅≥-,即03ω<≤. 又因为()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合,故2,k k Z ππω⋅=∈,所以2ω=.故()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 当13π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,52,332x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.再分析()52sin ,,32g x x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭可得：2sin 33g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭数形结合可知当直线y t =与()g x 有三个交点时,)2t ∈.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质综合运用,包括三角函数解析式的求解、数形结合求解参数范围的问题等,需要结合三角函数的单调性与周期性等分析.属于难题. 12.已知点O 为ABC V 内一点，满足3OA OB OC λ+=u u u r u u u r u u u r，若13AOB ABC S S =△△，则λ=（）. A. 2- B. 12-C.12D. 2【答案】A 【解析】【利用数乘的定义作图，作13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r，构造出O 是11AB C △的重心，根据重心性质，及三角形面积比得出结论．【详解】∵点O 为ABC V 内一点，满足3OA OB OC λ+=u u u r u u u r u u u r，∴0λ<，如图，作13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r ，则110OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u u r r，∴O 是11AB C △的重心，∴11111113OAB OB C OAC AB C S S S S ===V V V V ，由13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r，知113OABOAB S S =V V ，111111133OBC OB C OB C S S S λλ=⨯=--V V V ，11OAC OAC S S λ=-V V ， ∴111:::():()33OAB OBC OCA S S S λλ=--V V V ， ∴113111333OAB ABCS S λλ==--V V ，解得2λ=-．故选：A ．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以O 为重心的11AB C △，然后利用面积比得出结论．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：13.若tan α=，则cos2α________．【答案】13- 【解析】【分析】先由二倍角公式将cos2α化为22cos sin αα-，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.【详解】因为tan α=，所以2222221tan 1cos21tan 3cos sin cos sin ααααααα--===-++. 【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型. 14.在平面直角坐标系中，已知()3,4A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转45︒到OB ，则点B 的横坐标为______.【答案】2-. 【解析】【分析】作出图形，求出OA ，以及sin AOC ∠，cos AOC ∠，利用两角和与差的三角函数求出点B 的横坐标，即可得解.【详解】如图，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，作AD y ⊥轴于点D ，作BE x ⊥轴于点E ，作BF y ⊥轴于点F ，由()3,4A ，则5OA =，4sin 5AOC ∠=，3cos 5AOC ∠=，将OA 绕原点O 逆时针旋转45︒到OB ，所以，点B 的横坐标为：()345cos 45552522AOC ︒⎛∠+=⨯⨯-⨯=- ⎝⎭.故答案为：2-. 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观.15.在梯形ABCD 中，//AB CD ，AC 为DAB ∠的平分线，且30CAB ∠=︒，若10AB =，AC =则AD CB ⋅=u u u r u u u r______.【答案】4- 【解析】【分析】由题意画出图形，由平面几何的知识可得4=AD ，利用平面向量线性运算法则可得()AD CB AD AB AC ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再利用平面向量数量积的运算律及定义即可得解.【详解】由题意画出梯形ABCD 的图形，如图：Q //AB CD ，AC 为A ∠的平分线，且30CAB ∠=︒，∴30CAD DCA CAB ∠=∠=∠=︒，60DAB ∠=︒，∴AD CD =，又10AB =，AC =取AC 的中点E ，连接DE，则4cos AE AD EAD ===∠， ∴()AD CB AD AB AC AD AB AD AC ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rcos cos AD AB DAB AD AC DAC =⋅⋅∠-⋅⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r1410442=⨯⨯-⨯=-.故答案为：4-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量数量积的运算律及定义，关键是对于条件进行合理转化，属于基础题. 16.已知函数()()π02f x x x =≥，设函数()f x 图象的最高点从左至右依次为0A ，1A ，2A ，…，()f x 与x 轴的交点从左至右依次为0B ，1B ，2B ，…，在线段22A B 上取10个不同的点1C ，2C ，3C ，…，10C ，则1112110OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u rL ______.【答案】100 【解析】【分析】由题意结合三角函数的性质画出函数图象，进而可得(1A，(2A ，()25,0B ，利用平面向量数量积的坐标运算可得1220OA B A ⋅=u u u r u u u u u r 即120n OA A C ⋅=u u u r u u u u u r，连接2OA ，由平面向量线性运算法则可得()1122n n OA OC OA OA A C ⋅=⋅+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u u r，再利用平面向量数量积的运算律及坐标运算即可得解.【详解】函数()π02y x x =≥的最小正周期242T ππ==，将函数()π02y x x =≥位于 x 轴上方的图象不变、位于 x 轴下方的图象翻折到x 轴上方后即可得函数()()π02f x x x =≥的图象，如图所示：可得(1A，(2A ，()25,0B ，所以(1OA =u u u r，(221,B A =u u u u u r ，所以122220OA B A ⋅=-=u u u r u u u u u r ，由()1,2,310n C n =⋅⋅⋅在线段22A B 上可得120n OA A C ⋅=u u u r u u u u u r，连接2OA，则(2OA =u u u u r，所以()11221212n n n OA OC OA OA A C OA OA OA A C ⋅=⋅+=⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u r24010=⨯+=，1,2,310n =⋅⋅⋅，所以11121101010100OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u rL . 故答案为：100.【点睛】本题考查了三角函数图象的应用，考查了平面向量线性运算、数量积的应用与运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）求值：sin 20cos110cos200sin70︒︒+︒︒；（2）已知α.【答案】（1）1-；（2）2cos α-. 【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用22sin cos 1αα+=即可得到结论；（2）根据α是第二象限角，得到sin α与cos α的符号，再利用二次根式的性质即可得到结论. 【详解】（1）原式()()()sin 20cos 9020cos 18020sin 9020︒︒︒︒︒︒︒=+++-()22sin 20sin 20cos 20cos 20sin 20cos 201︒︒︒︒︒︒=--=--=-（2）由α是第二象限角，则sin 0α>，cos 0α<，=2cos cos cos sin cos cos sin cos 21sin 1sin cos cos αααααααααααα-----+=+==--+. 【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键． 18.已知(),2A x ，()2,3B ，()2,5C -.（1）若1x =，判断ABC V 的形状，并给出证明；（2）求实数x 的值，使得CA CB +u u u r u u u r最小；（3）若存在实数λ，使得CA CB λ=u u u r u u u r，求x 、λ的值. 【答案】（1）ABC ∆为直角三角形；（2）5；（3）34,2x λ==. 【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明；（2）根据题意可得()6,5CA CB x +=+-u u u r u u u r，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.【详解】（1）当1x =时，ABC ∆为直角三角形.证明如下：当1x =时，由()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则()3,3AC =-u u u r ，()1,1AB =u u u r，此时31310AC AB ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r ，即AC AB ⊥u u u r u u u r ，即2A π∠=，所以，ABC ∆为直角三角形.（2）由题意，()2,3CA x =+-u u u r ，()4,2CB =-u u u r ，则()6,5CA CB x +=+-u u u r u u u r，所以，5CA CB +=≥u u u r u u u r，当且仅当6x =-时取等号.故当6x =-时，CA CB +u u u r u u u r取得最小值为5.（3）由题意，()2,3CA x =+-u u u r ，()4,2CB =-u u u r ，因CA CB λ=u u u r u u u r，所以2432x λλ+=⎧⎨-=-⎩，解得432x λ=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为3π，图象上一个最低点为()5π,2-.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,3πx ∈时，求()f x 的最值，以及取得最值时的x 值.【答案】（1）()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当0x =时，()f x 取最小值1-；当2x π=时，()f x 取最大值2. 【解析】【分析】（1）由函数的最低点可求得2A =，由函数图象与x 轴相邻两个交点的距离为3π可得6T π=，由2T πω=可得ω，再代入点()5π,2-求出ϕ后即可得解；（2）由[]0,3πx ∈可得15,3666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）Q 函数()f x 图像上的一个最低点为()5π,2-，0A >，∴2A =，又函数()f x 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为3π，∴函数的最小正周期6T π=即26ππω=，解得13ω=， ∴()12sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()15π2sin 5π23f ϕ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，∴5sin π13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴5π2,32k k Z πϕπ+=-+∈即132,6k k Z πϕπ=-+∈，又π2ϕ<，∴令1k =，6πϕ=-， ∴()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当[]0,3πx ∈时，15,3666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当1366x ππ-=-即0x =时，()f x 取最小值，()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当1362x ππ-=即2x π=时，()f x 取最大值，()max 2sin 22f x π==. ∴当0x =时，()f x 取最小值1-；当2x π=时，()f x 取最大值2.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了三角函数图象的确定与运算求解能力，关键是对于知识点的熟练应用，属于中档题.20.已知3a =r，(2,b =-r ，且a r 与b r夹角为2π3. （1）求2a b +r r；（2）若()()43a kb a b +⊥+r r r r，求实数k值.【答案】（1）7；（2）34-. 【解析】【分析】（1）由题意结合平面向量模的坐标表示可得4b =r ，利用平面向量数量积的定义可得a b ⋅r r ，再利用2a b +=r r化简即可得解；（2）由题意结合平面向量垂直的性质可得()()430a kb a b +⋅+=r r r r，由平面向量数量积的运算律化简即可得解.【详解】（1）Q (2,b =-r ，∴4b ==r，的又3a =r ，a r 与b r夹角为2π3，∴21cos 34632a b a b π⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭r r r r ， ∴27a b +====r r ；（2）Q ()()43a kb a b +⊥+r r r，∴()()()2243443324180a kb a b a k a b kb k +⋅+=++⋅+=+=r r rr r r r r ，∴34k =-.【点睛】本题考查了平面向量数量积的求解与应用，考查了运算求解能力，关键是对于条件的合理转化，属于基础题.21.已知正方形ABCD 的边长为1，P ，M ，N 分别为AB ，BC ，DA 上的点. （1）如图，当AP PB =uu u r uu r ，0PM PN ⋅=u u u u r u u u r时，求MPN △面积的最小值；（2）如图，当APN V 周长为2时，求PCN ∠的大小.【答案】（1）14；（2）4π. 【解析】【分析】（1）设MPB α∠=，则ANP α∠=，由题意结合三角函数的概念、正弦的二倍角公式可得1124sin 2MPN S PN PM α=⋅=△，求得sin 2α的最大值即可得解；（2）设AP x =，AN y =，PCB β∠=，DCN γ∠=，由题意结合正切的概念及和角公式可得()()2tan x y x y xyβγ-++=+-，再结合三角形周长即可得解.【详解】（1）由题意可得12AP PB ==，PM PN ⊥，设MPB α∠=，则ANP α∠=，∴1sin 2sin AP PN ANP α==∠，1cos 2cos PB PM MPB α==∠，∴11128sin cos 4sin 2MPN S PN PM ααα=⋅==△，当sin21α=即4πα=时，MPN △的面积取最小值，最小值为14；（2）设AP x =，AN y =，PCB β∠=，DCN γ∠=，则tan 1PB x BC β==-，tan 1DNy DCγ==-，则()()2tan tan tan 1tan tan x y x y xyβγβγβγ-+++==-⋅+-，Q APN V 周长为2，∴2x y ++=，化简得()22xy x y =+-，∴()()()()22tan 122x y x y x y xy x y x y βγ-+-++===+-+-+-⎡⎤⎣⎦，又02πβγ<+<，∴4πβγ+=，∴()24PCN ππβγ∠=-+=.【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.22.已知()4422sin2cos cos 2442x x xf x =++-. （1）试用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2πx ∈上的简图；（2）定义在(],5-∞上的减函数()g x ，若()22π12g a f x g a f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++≤++⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）⎡-⎢⎣⎦.【解析】【分析】（1）由题意结合降幂公式可得()cos f x x =，利用五点法即可得解；（2）由题意结合函数的单调性和定义域可得221cos sin 5a x a x ++≤-≤对x ∈R 恒成立，转化条件为22151sin 24a a x ⎛⎫--≥--+ ⎪⎝⎭、25sin a x -≤对x ∈R 恒成立，利用恒成立问题的解决方法结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意可得()4422sin2cos cos 2442x x xf x =++- 22221cos 1cos 2222cos 22cos 1cos 2222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪=⋅+⋅+-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，列表如下：则函数()f x 在[]0,2πx ∈上简图如下：；（2）Q ()g x 为定义在(],5-∞上的减函数，()22π12g a f x g a f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++≤++⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦对x ∈R 恒成立， ∴()22π152a f x a f x ⎛⎫++≤++≤ ⎪⎝⎭即22π1cos cos 52a x a x ⎛⎫++≤++≤ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立，∴221cos sin 5a x a x ++≤-≤对x ∈R 恒成立，的∴2222151cos sin 1sin sin sin 24a a x x x x x ⎛⎫--≥+=-+=--+ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立， 25sin a x -≤对x ∈R 恒成立，又x ∈R 时，2max 155sin 244x ⎡⎤⎛⎫--+=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()min sin 1x =-， ∴2251451a a a ⎧--≥⎪⎨⎪-≤-⎩，解得122a --≤≤， ∴实数a的取值范围为12,2⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查了降幂公式在三角函数化简上的应用，考查了函数的单调性、定义域及三角函数性质的应用，属于中档题.。

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2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末考试数学（文）试题及答案一、单选题1．tan 2y x =的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π2．某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A ．710B ．15C ．2πD ．3103．已知函数()ln f x x =+()f x 的定义域为（）A ．(0,1)B ．(1,2]C ．(0,4]D ．(0,2]4．已知直线,a b 与平面,,αβγ，下列条件中能推出//αβ的是（）A ．,a a αβ⊥⊥且B ．,αγβγ⊥⊥且C ．,,//a b a bαβ⊂⊂D ．,,//,//a b a b ααββ⊂⊂5．在区间[]1,1-上随机地取一个数x .则cos 2x π的值介于0到12之间的概率为（）.A ．23B ．2πC ．12D ．136．某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A ．x x <甲乙，22S S >甲乙B ．x x >甲乙，22S S <甲乙C ．x x <甲乙，22S S <甲乙D ．x x >甲乙，22S S >甲乙7．已知sin 33a =︒，cos55b =︒，tan 35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．b c a<<8．已知,a b 是不共线的非零向量，2AB a b =+ ，3BC a b =- ，23CD a b =-，则四边形ABCD 是（）A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（）（参考数据：001.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈）A ．48B ．36C ．24D ．1210．已知的OMN 三个顶点为()0,0O ，()6,0M ，()8,4N ，过点()3,5作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．11．已知体积为O ABC -的顶点A ，B ，C 都在球O 的表面上，且6AB =，BC =，AC =O 的表面积是（）A ．16πB ．32πC ．64πD ．72π12．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，22BDAB BC ===，AC CD ==，点E 在四边形ABCD 上运动，则EB ED ⋅的最小值是（）A ．3B ．1-C ．3-D ．4-二、填空题13．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．14．函数log (23)4a y x =-+的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数()f x 的图像上，则(3)f =__________．15390y -+=被圆()()22223x y r -+-=，则r =________.16．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________．三、解答题17．已知平面向量a =(1，x )，b=(2x +3，-x )，x ∈R .（1）若a ⊥b ，求x 的值；（2）若a∥b，求|a -b|的值.18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．()1根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；()2用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[)105,115中的概率．19．已知函数()2()log 21(R)xf x kx k =++∈．（1）若0k =求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 为偶函数，求k 的值．20．已知矩形ABCD 中， 2 2AD AB ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使二面角 D EF B '--为60︒．（1）求证 EF AD '⊥；（2）求四棱锥 A EFC D ''-的体积．21．已知函数()sin()0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）将函数()y f x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移3π个单位长度．得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间；（2）当,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数222123y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域．22．已知动点M 到两定点11A (，)，()2,2B 2．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与直线:260l x y +-=夹角为30°的直线，交l 于点Q ，求PQ 的最大值和最小值．数学（文）试题参考答案1-10ADCAD AAACB 13.17；14.9；15.2；16.-117.解：（1）若a ⊥b ，则a ·b=(1，x )·(2x +3，-x )=1×(2x +3)+x (-x )=0整理得x 2-2x -3=0，解得x=-1或x=3.（2）若a ∥b，则有1×(-x )-x (2x +3)=0，即x (2x +4)=0，解得x=0或x=-2.当x=0时，a =(1，0)，b =(3，0)，a -b=(-2，0)，∴|a -b |2；当x=-2时，a =(1，-2)，b =(-1，2)，a -b=(2，-4)，∴|a -b |=综上，可知|a -b|=2或18.解：⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：()101000.0041100.0201200.0281300.0321400.016123.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有()100.004100.025012⨯+⨯⨯=人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[)95105，有1人，用a 表示，分数在[)105115，中的有5人，用1b 、2b 、3b 、4b 、5b 表示，则基本事件有()1,a b 、()2,a b 、()3,a b 、()4,a b 、()5,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共15个，满足条件的基本事件为()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共10个，所以这两名同学分数均在[)105115，中的概率为102153P ==．19.解：（1）当0k =时，()2()log 21xf x =+，∵()2log 211212x x+>⇔+>，即21x >，∴0x >，即不等式的解集为(0,)+∞．（2）由于()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，所以()()22log 21log 21x xkx kx -+-=++，∴()()222log 21log 21x xkx -=+-+221log 21x x-+=+21log 2x x ==-对任意实数x 都成立，∴21k =-，所以12k =-．20.解：（1）∵ABCD 是矩形，且E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴EF AE ⊥，EF D E '⊥，又,,AE D E E AE D E ''=⊂ 平面AD E '，∴EF ⊥平面AD E '，∵AD '⊂平面AD E '，∴EF AD '⊥（2）取DE 的中点H ，连接AH ，HC '由EF ⊥平面AD E '可知AE EF ⊥，D E EF '⊥所以D EA '∠为二面角D EF B '--的平面角．∴60D EA '∠=︒．∵ 1AE D E '==，∴AD E ' 为等边三角形，∴AH D E '⊥．由（1）知平面EFC D ''⊥平面AD E '，且平面EFC D '' 平面AD E ED ''=，∴AH ⊥平面EFC D ''，在AED '△中，易知2AH =，∴13A EFC E C D F D S A V H''''-=⋅1331326=⨯⨯=．21.解：（1）由图得31134632T πππ=-=，∴2T π=，∴21T πω==．由1106f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得11sin 06A πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴112()6k k πϕπ+=∈Z ，∴112()6k k πϕπ=-∈Z ，∵02πϕ<<，∴6π=ϕ．由(0)2f =得sin 26A π=，∴4A =．∴()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴5()4sin 24sin 2366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．令5222()262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ．解得2()36k x k k ππππ-≤≤-∈Z ．∴()g x 的单调递增区间为2,()36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）224sin 2212342y f x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4sin 2cos cos2sin44x x xππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22x x=-4sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∵,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,4412x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴2sin 21,42x π⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴[4,y ∈-，即y 的值域为[4,-．22.解：解：（1）设(,)M x y=，化简得22222(1)2(1)(2)(2)x y x y -+-=-+-，∴224x y +=．即动点M 的轨迹C 的方程为224x y +=．（2）记圆C 上任意一点P 到直线l 的距离为d ，因为直线PQ 与直线l 夹角为30°，所以||2PQ d =．∵圆心()0,0C 到直线l5=，且圆C 的半径为2，∴max 6525d =+，min 6525d =-，∴max 125||45PQ =+，min 125||45PQ =-．。