西工大附中高三数学(理)试题
陕西省西安市西工大附高2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题及参考答案
陕西省西安市西工大附高2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学及参考答案一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数52iz i=-，则共轭复数z 在复平面对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设函数()f x 满足()()f x f x -=，且()()1212,0,,x x x x ∀∈+∞≠有()()()1212[]0x x f x f x -->，则（）A ．()()()231f f f -<-<B ．()()()321f f f -<-<C ．()()()123f f f -<-<D ．()()()132f f f -<<-3．设集合{}{}20,21A x x x B x x =->=>，则A B ＝A ．1(0,2B ．1(,1)2C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞4．“3x >”是“不等式220x x ->”的A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件5．若递增等比数列{an }的前n 项和为S n ，a 2=2，S 3=7，则公比q 等于A ．2B ．12C ．2或12D ．无法确定6．设函数()sin 2cos 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为T ，则()f x 在()0,T 上的零点之和为（）A ．1312πB ．76πC ．1112πD ．56π7．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-8．作用在同一物体上的两个力1260N,60N F F ==，当它们的夹角为120︒时，则这两个力的合力大小为（）N .A ．30B ．60C ．90D ．1209．设() f x 2x 3=+，()()g x f x 2=-，则()g x 等于A ． 2x 1+B ． 2x 1-C ． 2x 3-D ． 2x 7+10．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（）A ．2256C C B ．2256C A C ．22225262C A C AD ．2256A A 11．已知1F ，2F 是椭圆E ：22221(0)x ya b a b +=>>的左、右焦点，点M 在椭圆E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 2MF F ∠=，则椭圆E 的离心率为A B ．3C ．3D ．212．已知数列{}n a 满足24a =，()()1111n n n n n a n a na +--=--（1n >且n *∈N ），数列{}n a 的前n 项和为Sn ，则（）A ．21202080S a =+B ．21202040S a =+C ．21202080S a =+D ．21202040S a =+二、填空题：本题5小题，共20分。
陕西省西安市工业大学附中高三数学理下学期期末试题含解析
陕西省西安市工业大学附中高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设f(x)是R上的任意函数，给出下列四个函数：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．则其中是偶函数的为()A．①② B．②③ C．③④ D．①④参考答案：D2. 某算法的程序框图如图所示，则输出S的值是（ )A.6B.24C.120D. 840参考答案：C3. 已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度参考答案：B4. 若，且函数在处有极值，则的最大值等于A．72 B．144 C．60 D．98参考答案：A5. 等比数列的前n项和为，已知，且的等差中项为，则=A．36 B．33 C．31 D．29参考答案：C6. 抛物线顶点为坐标原点O，对称轴为y轴，直线过抛物线的焦点，则该抛物线的方程为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据题意可确定抛物线的焦点在轴，把焦点代入直线即可。
【详解】由题意得抛物线的焦点在轴，设抛物线的方程为。
把焦点代入直线。
所以【点睛】本题考查了抛物线方程焦点及点与直线的关系，属于基础题.7. 已知，动点满足，则动点的轨迹所包围的图形的面积等于A． B． C．D．参考答案：B略8. 若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行判断即可．【解答】解：若a，b，c，d依次成等差数列，则a+d=b+c，即必要性成立，若a=2，d=2，b=1，c=3，满足+d=b+c，但a，b，c，d依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选：B．9. 是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A． B．C D．参考答案：D 10. 如下程序框图输出的结果是，则判断框内应填入的条件是A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设单位向量，的夹角为，，则.参考答案：12. 一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2；，3；，4；，5；，4；，2．则样本在上的频率是．参考答案：13. 已知在平面四边形中，，，，，则四边形面积的最大值为__________．参考答案：设,则在中,由余弦定理有,所以四边形面积 ,所以当时, 四边形面积有最大值.点睛: 本题主要考查解三角形, 属于中档题. 本题思路: 在 中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把 四边形面积写成这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当时, 四边形面积有最大值.14. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则_______．参考答案： 略 15. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .参考答案：-2<a<216.已知实数x ，y 满足则的取值范围为 ．参考答案：17. 已知两定点A(－1，0)和B(1，0),动点在直线上移动，椭圆C以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为 .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
西北工大附中高三数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列各数中，无理数是（）A. $\sqrt{16}$B. $\frac{1}{3}$C. $\pi$D. $\sqrt{3} + \sqrt{2}$2. 已知函数$f(x) = 2x - 3$，则函数$f(x)$的图像是（）A. 一次函数的图像B. 二次函数的图像C. 指数函数的图像D. 对数函数的图像3. 若复数$z$满足$|z-1| = |z+1|$，则$z$在复平面上的几何位置是（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限4. 下列各式中，等式成立的是（）A. $\sin^2x + \cos^2x = 1$B. $a^2 + b^2 = c^2$（其中$a, b, c$是三角形的三边）C. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$D. $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$5. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 1$，则数列的前10项和$S_{10}$是（）A. 110B. 105C. 100D. 956. 下列各函数中，定义域为全体实数的是（）A. $f(x) = \frac{1}{x}$B. $f(x) = \sqrt{x}$C. $f(x) = |x|$D. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$7. 若$y = ax^2 + bx + c$是关于$x$的二次函数，且$y$的值随着$x$的增大而增大，则下列选项中正确的是（）A. $a > 0, b > 0$B. $a > 0, b < 0$C. $a < 0, b > 0$D. $a < 0, b < 0$8. 在直角坐标系中，点$A(2, 3)$关于直线$x + y = 5$的对称点是（）A. $(-3, -2)$B. $(-2, -3)$C. $(-3, 2)$D. $(-2, 2)$9. 若$\triangle ABC$中，$a = 5, b = 6, c = 7$，则$\cos A$的值是（）A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{2}{3}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{4}{5}$10. 下列各命题中，正确的是（）A. 所有奇数都是素数B. 函数$f(x) = x^3$在其定义域内是单调递增的C. 数列$\{a_n\}$中，若$a_{n+1} = 2a_n + 1$，则$\{a_n\}$是等比数列D. 平行四边形的对角线互相平分二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2020年陕西省西安市工业大学附中高三数学理上学期期末试题含解析
2020年陕西省西安市工业大学附中高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点P，满足到直线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线离心率为A. B. C. D.参考答案：D略2. 当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A．y=±x B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦距2c=2=2，由二次函数的性质分析可得当m=1时，双曲线的焦距最小，将m的值代入双曲线方程可得此时双曲线的方程，由双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦距2c=2=2，分析可得：当m=1时，双曲线的焦距最小，此时双曲线的方程为：﹣=1，其渐近线的方程为y=±x，故选：B．3. 函数的图象大致为( )．参考答案：A4. 已知是的零点，且，则实数、、、的大小关系是A． B．C． D．参考答案：答案：A5. 如图，南北方向的公路,A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北300方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路和到A地距离相等。
现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、M到B修建费用都为a万元/km,那么，修建这条公路的总费用最低是（）万元A. (2+)aB. 2(+1)aC. 5aD. 6a参考答案：C略6. 为了得到y＝-2cos 2x的图象，只需把函数的图象A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度参考答案：D7. 如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为A． B．C．D．参考答案：C 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：D9. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（★ ）A． B．C． D．参考答案：A10. 设，则函数的零点位于区间（）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，若，则．参考答案：112. 如果关于的不等式和的解集分别为，和，，那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式与不等式为“对偶不等式”，且，，那么= .参考答案：13. 已知函数f （x ）=．若a ＞0，则函数y=f （f （x ））﹣1有 个零点．参考答案：3【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=f （f （x ））﹣1=0，求出f （x）的值，然后利用分段函数的表达式求解x 的值，推出结果．【解答】解：函数y=f （f （x ））﹣1，令f （f （x ））﹣1=0， 当f （x ）＞0时，可得log 2f （x ）=1，解得f （x ）=2，则log 2x=2，解得x=4，ax+1=2，解得x=（舍去）． 当f （x ）＜0，可得af （x ）+1=1，解得f （x ）=0，则log 2x=0，解得x=1，ax+1=0，解得x=﹣． 所以函数的零点3个． 故答案为：3．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力．14. 若等差数列的前项和为，，，则数列的通项公式为 . 参考答案：（）在等差数列中，设公差为，则由，得，，即，解得，所以。
陕西省西工大附中高三数学第十一次模拟考试试题 理 新人教A版
y 2.5 t 4 4.5x 3 4 5 6数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈,则集合M N =（ ）A.{}0B.{}0,1C. {}0,3D. {}1,3 2．抛物线22y x =-的准线方程是（ ）A.12x =B. 18x =C.12y =D. 18y = 3．由曲线x x y 22-=与直线0=+y x 所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．32B ．65C ．31D ．614．若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()4πθ-的值为（ ）A.-7B.17-C.7D.7-或17-5. 已知命题112:≤-x xp ，命题0)3)((:<-+x a x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A.(]1,3--B.[]1,3--C.()+∞,1D. (]3,-∞- 6.右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．根据右表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x ∧=+，那么表中t 的值为 （ ）A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.57．若变量,a b 满足约束条件6321a b a b a +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，23n a b =+，则n 取最小值时，21nx ⎛⎫⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为 （ ） A ． -80 B ．80 C ．40 D ．-208．已知P 是△ABC 所在平面内一点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．239．函数2(4)|4|()(4)x x f x a x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若函数2)(-=x f y 有3个零点，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．2D ．不存在10．已知两点(1,0),(1,3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于 （ ）A ．1-B ．2C ．1D ．2-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11. 已知P 是双曲线)0(1y 4x 222>=-b b 上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于12.某算法的程序框图如右边所示，则输出的S 的值为 13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则2012S =14. 四棱锥ABCD P -的三视图如右图所示,四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分 别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得 的线段长为22，则该球表面积为 .15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A ．（几何证明选讲选做题）如如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ．若PA PE =，60ABC ︒∠=，1PD =，9PB =，则EC =_____．B.(极坐标与参数方程选讲选做题) P 为曲线C 1：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上一点，则它到直线C 2：122x ty =+⎧⎨=⎩（t 为参数）距离的最小值为____。
陕西西安市西工大附中2022届高三第六次适应性训练理科数学试题和答案
2022年全国普通高等学校招生统一考试第六次适应性训练理科数学一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合1{|ln(1)},{|2,}x A x R y x B y R y x A −=∈=−=∈=∈，则()R C A B = ( ）A ．R B ．(][),01,−∞∪+∞ C ．[)1,+∞ D ．(],0−∞2．已知复数z 满足(1)2z i i −=−,则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球，现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为( )A ．310B ．25C ．35D ．7104．下列有关命题的说法正确的是( )A.命题 “若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”；B.命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠，则p 是q 的充分不必要条件；C.命题“对任意R x ∈均有210x x −+>”的否定是：“存在R x ∈使得210x x −+<”；D.命题“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题”.5．在2nx的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A.310 B.7 C.35D.7106．已知定义在R 上的函数()f x ，函数()2y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212[2,),x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x −<−.若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是( )A ．13,24 −B ．[2,1]−−C ．1,2−∞−D ．3,4 +∞7．已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，满足(0)f =，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线34x π=对称，则ω的取值可以为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4陕西省西安市西工大附中8．在ABC 中，||||,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=−==为BC 的三等分点，则AE AF ⋅=( )A ．109 B ．259C ．269D ．899．某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为( )A ．3π8B ．3π2 CD10．已知正项等比数列{}n a ，38a =，456a a +=，设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足312...123n T T T T t n++++<对任意的*n ∈N 恒成立的正整数t 的最小值为( ) A ．26 B ．27 C ．28 D ．2911．若F 为双曲线22: 145x y C −=的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，则14||||FA FB −的取值范围是( ) A ．11,54B ．11,55 −C ．1,04−D ．11,45 −12．已知不等式ln (1)0x a x e e x a −+−+≤在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1,]eB ．[1,)+∞C ．(,]e −∞D ．(,1]−∞二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数,x y 满足20,30,1,x y x y y −++− ，则目标函数2z x y =+的最大值为 ．14．已知数列{}n a 的前n 项和()22n n S n a n =≥，11a =，则n S = ．15．如图，,M N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边,BC CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论正确的是__________. ①MN 平面ABD ；②异面直线AC 与BD 所成的角为定值；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直；④三棱锥M ACN −．16．已知椭圆焦点坐标为12(1,0),(1,0)F F −，若该椭圆与直线2y x =+有且仅有一个公共点，则这椭圆的离心率e =．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17．(本题满分12分)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且b =，求ABC △面积的取值范围．18．(本题满分12分)2018年12月18日上午10时,在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城,40年砥砺奋进,40年春风化雨,中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗.会后,央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片,并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”,其作者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,作出频率分布直方图如下：(1)求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s (同一组数据用该区间的中点值作代表); (2)央视媒体平台从年龄在[)45,55和[)65,75的作者中,按照分层抽样的方法,抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会,现要从中选出3人作为代表发言,设这3位发言者的年龄落在区间[)45,55的人数是y ,求变量y 的分布列和数学期望．19．(本题满分12分)如图，三棱柱111ABC A B C −中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，ABC ∆和1A AC ∆都是正三角形，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1A DC ； （2）求二面角11A DC C −−的余弦值．20．(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为，过椭圆E 的焦点且与x 轴垂直的弦的长为1． （1）求椭圆E 的方程；（2）如图，F 是椭圆E 的右焦点，,A C 是椭圆C 上关于y 轴对称的两点（不在x 轴上），直线AF 交椭圆E 于另一点B ，若D 是ABC ∆外接圆的圆心，求||||AB DF 的最小值．21．(本题满分12分)设函数()()211ln 112()2f x x x ax a x a a =+−+++∈R ，()()g x f x ′=．(1)若1a =−，求函数()g x 的单调区间；(2)若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22.【选修4-4极坐标与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y ϕϕ=+=+,(ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交曲线C 于A B 、两点.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求l 和C 的极坐标方程；(2)当π0,4α∈时,求OA OB +的取值范围．23.【选修4-5不等式选讲】已知函数()()2,1f x x a g x x =+=−． （1）若()()2f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（2）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12，求实数a 的取值范围．六模理科数学答案一．选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 56 7 8 9 10 1112 选项B DCD BABACCDD二．填空题（每小题5分，共20分） 13. 5 14. 21n nS n =+ 15.①②④三、解答题：17. 解:（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC °++=，可得sin cos 22A C B+=，故cos 2sin cos 222B B B =．因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此3B π=．（2）由正弦定理得,2sin ,2sin sin sina ca A c C A C=∴== 2sin sin())36ABC S A C A A A ππ=−=−+又ABC △为锐角三角形, 所以51(,),2(,),sin(2)(,1]6266662A A A ππππππ∈∴−∈∴−∈∴S ∈∈ 18. 解:（1）这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为300.05400.1500.1560x =×+×+×+×0.35700.2800.1560,+×+×=2222(30)0.05(20)0.1(10)s =−×+−×+−×220.1500.35100.2200.15180.+×+×+×=（2）根据分层抽样，可知这7人中年龄在[)45,55内的有3人，在[)65,75内的有4人， 故Y 可能的取值为0,1,2,3,033437C C 4(0),C 35P Y ===123437C C 18(1),C 35P Y ===213437C C 12(2),C 35P Y ===303437C C 1(3),C 35P Y ===所以Y 的分布列为所以Y 的数学期望为4181219()0123.353535357E Y =×+×+×+×=19. 解:（1）如图，连接1AC ，交1A C 于点E ，连接DE ， 由于四边形11A ACC 是平行四边形，所以E 是1AC 的中点.因为D 是AB 的中点，所以1DE BC .因为DE ⊂平面11,A DC BC ⊂/平面1A DC ，所以1BC 平面1A DC .根据ABC 和1A AC 都是正三角形，得1,A O AC BO AC ⊥⊥.又平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ∩平面ABC AC =，所以1A O ⊥平面ABC ，于是1A O BO ⊥.以O 为坐标原点，分别以1,,OB OC OA的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.设2AC =，则111(0,1,0),,0,2A C D C−.所以11315,0,,,222CD A D DC =−=−= . 设平面1A DC 的法向量为(,,)x y z =m ，则100CD A D ⋅= ⋅=m m，即3021022y x y −= −= ，令3x =，则1y z ==，所以=m . 设平面1DCC 的法向量为(,,)a b c =n ，则100CD DC ⋅= ⋅=n n，即302502b b −= ++= ，令3a =，则1b c ==−，所以1)=−n . 设二面角11A DC C −−的大小为θ，由图易知θ为锐角，则||11cos ||||13θ⋅==⋅m n m n ，因此二面角11A DC C −−的余弦值为1113.20. 解:（1）由题知，2c =c =.由椭圆的对称性，不妨取椭圆的右焦点(,0)F c ，将x c =代入椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，得2b y a =±，所以过椭圆C 的焦点且与x 轴垂直的弦的长为221b a=，所以212b a =.又222b c a +=，所以2132a a +=，解得2a =（负值舍去），所以1b =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由题知，直线AB 的斜率不为0.设直线AB的方程为x my =，代入椭圆E 的方程，消去x 得()22410my ++−=.设()11,A x y ，()22,B x y，则12y y +=，12214y y m −=+， 所以()1212x x m y y +=++=，则线段AB的中点坐标为，2||AB y =−==()22414m m +=+. 因为D 是ABC 的外心，所以D 是线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点.线段AB 的垂直平分线的方程为y m x −=−− ，令0x=，得y =，即D. 又F ，所以||DF ==，所以||||AB DF==== 当且仅当0m =时取等号，所以||AB 的最小值为.21. 解: (1)因为函数()()211ln 1122f x x x ax a x a =+−+++，所以()f x 的定义域为(0)+∞,，()ln 11ln f x x ax a x ax a ′=++−−=+−. 又()()g x f x ′=，所以()ln g x x ax a =+−若1a =−，则()ln 1g x x x =−+，所以()111x g x x x−′=−=. 令()0g x ′>，得01x <<，即当01x <<时，函数()g x 单调递增.令()0g x ′<，得1x >，即当1x >时，函数()g x 单调递减.综上可知，函数()g x 的单调增区间为(0)1,，单调减区间为(1)+∞,. (2)因为()ln g x x ax a =+−，所以()11axg x a x x+′=+=，()100g a a =+−=.又()()g x f x ′=，所以()10f ′=.①当0a ≥时，()0g x ′>，所以函数()g x 在(0)+∞,上单调递增. 当)1(0x ∈,时，()0g x <，所以函数()f x 在(0)1,上单调递减； 当1()x ∈+∞,时，()0g x >，所以函数()f x 在(1)+∞,上单调递增.即当1x =时，()f x 取得最小值，为()()111011022f a a a =+−+++=.所以当0a ≥时，函数()f x 只有一个零点，所以0a ≥不满足题意.②当11a a <−<，即1a <−时，()1axg x x+′=. 令()0g x ′>，得10x a <<−；令()0g x ′<，得1x a >−.所以函数()g x 在10,a−上单调递增，在1,a +∞ -上单调递减.又()10g =，所以110,a x−∈ ∃，使()10g x =所以函数()f x 在1(0,)x 上单调递减，在1(,)1x 上单调递增，在(1)+∞,上单调递减. 要使函数()f x 有两个零点，则当x 趋近于0时，()0f x >， 即1102a +>，解得2a >−.所以a 的取值范围为(2,1)−−. ③当11a −=，即1a =−时，()1xg x x−′=. 令()0g x ′>，得01x <<；令()0g x ′<，得1x >.所以函数()g x 在(0)1,上单调递增，在(1)+∞,上单调递减， 所以()()10g x g ≤=，所以函数()f x 在(0)+∞,上单调递减.又()10f =，所以当1a =−时，函数()f x 只有一个零点，所以1a =−不满足题意.④当11a−>，即10a −<<时，()1ax g x x +′=. 令()0g x ′>，得10x a <<−；令()0g x ′<，得1x a >−.所以函数()g x 在10,a − 上单调递增，在1,a−+∞上单调递减.因为()10g =，所以21,x a∃∈−+∞，使()20g x =.所以函数()f x 在(0)1,上单调递减，在2(1,)x 上单调递增，在2(,)x +∞上单调递减. ()()所以当10a −<<时，函数()f x 有2个零点.综上可知，当()()2110a ∪∈−−−,,时，函数()f x 有两个零点.22. 解: (1)∵直线l 过原点且倾斜角为α∴直线l 的极坐标方程为：()R θαρ=∈曲线C 的普通方程为：22(2)(2)4x y −+−=∵222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=∴曲线C 的极坐标方程为：24(cos sin )40ρθθρ−++= (2)设12(,),(,)A B ραρα，且12,ρρ均为正数将θα=代入24(cos sin )40ρθθρ−++=得：24(cos sin )40ρααρ−++=当π0,4α∈时124(cos sin )ρραα+=+根据极坐标的几何意义知：,OA OB 分别是点,A B 的极径∴12π4(cos sin ))4OA OB ρρααα+=+=+=+当π0,4α ∈ 时，πππ(,]442α+∈∴πsin()4α+∈∴OA OB +的取值范围是(.23. 解:（1）函数()()2,1f x x a g x x =+=−．()()2221f x g x x a x +=++−()22222x a x a x a x =++−≥+−−21a =+=，解得1a =−或3a =−；（2）1,12x∈时，不等式()()1f x g x +<，即：211x a x ++−<，可得：211x a x ++−<，∴2x a x +<．∴3a x a −<<−，不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12，即：132a −<且1a −>，∴312a −<<−.实数a 的取值范围：3,12 −− ．。
2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三下学期3月月考数学(理)试题(解析版)
西工大附中2020级高三月考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，{}(,)|3x B x y y ==，则A B I 中的元素的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】分析出集合,A B 分别表示椭圆和函数图像上的点，然后数形结合得出集合的交集中元素的个数. 【详解】集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭表示椭圆2212x y +=上的点组成的集合. 集合B 表示函数3y x =的图像上的点组成的集合. 在同一坐标系中作出椭圆2212x y +=和函数3y x =的图像，如图.由图可知，椭圆2212x y +=和函数3y x =的图像有2个公共点. 所以A B I 有2个元素.故选：B【点睛】本题考查集合交集中元素的个数，属于基础题.2.复数2312i z i +=+-在复平面内对应的点到原点的距离是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将复数z 化简，然后得出复数z 在复平面内对应的点的坐标，再求它到原点的距离. 【详解】复数()()()()212233*********i +i i 5i z =+i i i +i ++=+=+=+-- 所以复数3z +i =在复平面内对应的点为()3,1.所以复数3z +i =故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，属于基础题.3.虚拟现实（VR ）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR 技术后，VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR 市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是( )A. 该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍B. 该地区2019年的VR 硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C. 该地区2019年的VR 软件收入是2018年的软件收入的3倍D. 该地区2019年的VR 软件收入是2017年的软件收入的6倍【答案】D【解析】【分析】根据统计图给出的信息和题目条件，对选项进行逐一判断，得出答案.【详解】设该地区2017年VR 市场收入为a ，则由VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番. 所以该地区2018年VR 市场收入为2a ，该地区2019年VR 市场收入为4a .A ．该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍,所以A 正确.B.由图可得该地区2019年的VR 硬件收入为40.7 2.8a a ⨯=.该地区2017年的VR 硬件收入为0.90.9a a ⨯=.该地区2018年的VR 硬件收入为20.8 1.6a a ⨯=. 由0.9 1.6 2.5 2.8a a a a +=<， 所以B 正确.C. 该地区2019年的VR 软件收入为：40.3 1.2a a ⨯=,2018年的软件收入为：20.20.4a a ⨯=.所以C 正确D. 该地区2019年的VR 软件收入为：40.3 1.2a a ⨯=,2017年的软件收入为：0.10.1a a ⨯=,所以D 不正确.故选：D【点睛】本题考查条形统计图的应用，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为0，则中可填入( )A. 2m m =+B. 1=+m mC. 1m m =-D. 2m m =-【答案】A【解析】【分析】 根据程序运行，将每一个选项代入试运行，算出其输出结果，从而选出答案.【详解】对选项A ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,8S m ==,则()8880S =⨯-=,所以输出结果0S =,所以正确.对选项B ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,5S m ==,则()4544S =⨯-=4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,7S m ==,则()87880S =⨯-=-<，输出结果8S =-,所以不正确.对选项C ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,3S m ==,则()43440S =⨯-=-<，输出结果4S =-,所以不正确.对选项D ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,2S m ==,则()42480S =⨯-=-<,所以输出结果8S =-,所以不正确.故选：A【点睛】本题考查程序框图中循环，考查补全程序结构，属于中档题.5.设124a -=，141log 5b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a << 【答案】B【解析】【分析】 利用对数的单调性可得411log 22b c >>>=，而12a =，可得答案. 【详解】12142a -==，1444411log log 51log 3log 252b ==>>>= 所以a c b <<故选：B【点睛】本题考查利用对数函数的单调性比较大小，属于中档题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是( ) A. 115 B. 110 C. 13 D. 130【答案】C【解析】【分析】先分析出,A B 区域可以填的数字，根据古典概率可知，当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2时，标记数字1的区域的面积最大，从而概率最大，得出答案.详解】由题意B 区域标记数字1,4.当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2.当B 区域标记数字4时，A 区域的数字可以为1或2.在图上随机取一点，要使得该点恰好取自标记为1的区域的概率最大，则只需标记数字1的区域的面积最大即可. 显然当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2时，标记数字1的区域的面积最大. 此时标记数字1的区域共有10个小正方形,而在图上共有30个小正方体. 所以所求概率的最大值为：101303P == 故选：C 【点睛】本题考查几何概率的求法，属于中档题.7.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是( )A. 卫星向径的最小值为a c -B. 卫星向径的最大值为a c +C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大【答案】D【解析】【分析】由题意向径即椭圆上的点与焦点的连线的距离，由椭圆的性质可得出答案.【详解】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离.根据椭圆的几何性质有：卫星向径的最小值为a c -，卫星向径的最大值为a c +，所以A, B 正确.【当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时， 由12111a c e a c e e--==-++++，可得e 越大，椭圆越扁，所以C 正确. 卫星运行速度在近地点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等.则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D 不正确.故选：D【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于中档题.8.已知在斜三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB =，14AA =，ABC V 的面积为5，截面1C EF 与截面CEF 将三棱柱111ABC A B C -分成三部分.若中间部分的体积为4，则1AA 与底面所成角的正弦值为( ) A. 12 B. 35 C. 45D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意可得中间部分的体积为原三棱柱体积的三分之一，得到原三棱柱的体积，设1AA 与底面所成角为α，由棱柱体积公式列式求得sin α的值．【详解】由点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB = 则//EF AB ，过EF 作平面//EFG 底面ABC ，如图. 则111113C EFG A B C EFG V V --=, 13C EFG ABC EFG V V --=. 所以中间部分的体积1111143E FCC ABC A B C V V --==所以11112ABC A B C V -=，设三棱柱111ABC A B C -的高为h 111512ABC A B C ABC V S h h -=⨯==△,则125h =, 设1AA 与底面所成角为α，则11235sin 45h AA α===故选：B【点睛】本题考查直线与平面所成角，关键是明确中间几何体的体积与原三棱柱体积的关系，考查棱柱体积公式的应用，是中档题．9.已知()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A. 或0B. 12-C. 12D. 【答案】D【解析】【分析】由()f x 是R 上的奇函数，可求出ϕπ=，()f x 的图象关于直线4x π=对称可得42,k k ω=+∈Z ，再根据()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数有，222211T πππω⎛⎫=≥⨯+ ⎪⎝⎭，从而得到答案. 【详解】由题意，()f x 是R 上的奇函数，则()0sin 0f ϕ==.又0ϕπ<≤，则ϕπ=，即()sin f x x ω=-根据()f x 的图象关于直线4x π=对称，则,42k k Z ππωπ⨯=+∈. 所以42,k k ω=+∈Z .()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，所以222211T πππω⎛⎫=≥⨯+ ⎪⎝⎭. 则223ω≤，又0>ω. 所以2ω=或6ω=.当2ω=时，()sin 2f x x =-，满足条件，()sin 632f ππ=-=- 当6ω=时，()sin 6f x x =-，此时函数()f x 在 ,2212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,1211ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，不满足条件.所以()62f π=- 故选：D【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的奇偶性、对称性和单调性，属于中档题.10.已知直线l 与曲线xy e =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点.若OAB V 的面积为3e ，则点P 的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】设切点()00,P x y ，由导数得出切线方程，求出切线与坐标轴的交点的坐标，利用面积公式可得()020112x S x e =-，即研究()()2112x f x x e =-的图像与3y e =的交点个数，利用导数求出函数()f x 的单调区间，结合图像可得答案.【详解】设()00,P x y ，e xy '=，则以P 为切点的切线的斜率为：0x k e = 以P 为切点的切线方程为：()000-=-x x y ee x x . 所以()()()0001,0,0,1x A x B x e-- 则()000111122x OAB S OA OB x x e =⨯⋅=⨯-⨯-△ ()020112x x e =- 设()()2112x f x x e =-，则()()()()()211111122x x x f x x e x e x x e '=--+-=+-. 由()0f x '>，得1x <-或1x >,()0f x '<,得11x -<<.所以()f x 在()1-∞-，上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1+¥，上单调递增.又()()2310,1f f e e=-=<，且恒有()0f x ≥成立. 如图所以()f x 的图像与3y e =有1个不同的交点. 所以OAB V 的面积为3e的点P 有1个. 故选：A 【点睛】本题考查利用函数导数研究过曲线上某点处的切线方程和方程的根的个数问题，属于中档题.11.知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF V 的内切圆与边2AF 切于点B .若124||FF AB =，则C 的渐近线方程为( )A. 0y ±=B. 0x ±=C. 20x y ±=D. 20x y ±= 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.【详解】如图所示：设,,G B N 分别为2MAF V 三边与其内切圆的切点，圆心为I .已知MGI △≌MNI △，2F BI △≌2F NI △,AGI △≌ABI △. 即22,,NM MG AG AB F B F N === 由双曲线的定义有：122MF MF a -=. 则121212MF MF MF MN NF MF MG BF -=--=--222AF BF AG AB AG AB =-+=+= 所以22AB a =,即AB a =.又124F F AB =.所以24c a =，又222+=a b c，解得b a= 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为：b y x a=±=. 故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、性质和渐进线方程，考查圆的切线性质，属于中档题.12.已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则( )A. sgn(())0f x >B. 404112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. sgn((2))0()f k k Z =∈D. sgn(())|sgn |()f k k k Z =∈ 【答案】C【解析】【分析】先根据函数的周期性和奇偶性作出函数()f x 的图像,再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合可对四个选项进行逐一判断，可得答案.【详解】由()f x 满足(2)()f x f x +=，所以()f x 是以2为周期的周期函数.当[0,1]x ∈时，()f x x =，又()f x 为偶函数，即()()f x f x =-. .当10x -≤≤时，01x ≤-≤，所以()()f x f x x =-=-所以当11x -≤≤时,(),01,10x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩,此时()[]0,1f x ∈.由()f x 是以2为周期的周期函数，()f x 的值域为[]0,1，其图象如下：所以()()()()011sgn 00f x f x f x <≤⎧=⎨=⎩，所以A 不正确.由()f x 是以2为周期的周期函数， 则404111120202222f f +f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以B 不正确.k Z ∈时，由函数的周期性()()200f k f ==.所以()sgn((2))sgn 00f k ==，所以C 正确.当2k =时，()20f =，所以()sgn((2))sgn 00f ==，而sgn 21=. 此时sgn((2))|sgn 2|f ≠，所以D 不正确. 故选：C【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶的应用，以及符号函数的性质应用，考查转化的方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(3,2)a =-r ，(1,1)b =-r ，若()a b a μ+⊥r r r ，则实数μ的值为________；若()//(2)a b a b μ++r r r r ，则实数μ的值为________. 【答案】 (1). 135 (2). 12【解析】 【分析】先求出a b μ+rr的坐标，利用()0a b a μ+⋅=rrr可求解第一个空. 然后利用两向量平行的坐标条件可求解第二.个空.【详解】向量(3,2)a =-r，(1,1)b =-r ， ()()()3,2,3,2a b μμμμμ+=-+-=--r r()a b a μ+⊥r r r,则()0a b a μ+⋅=r r r .又()()()33220a b a μμμ+⋅=-⨯-+⨯-=r rr ，解得:135μ=. ()()()26,41,15,3a b +=-+-=-rr()//(2)a b a b μ++r rr r ,则()()()33520μμ-⨯--⨯-=，解得：12μ=故答案为：（1）135 ，（2）12【点睛】本题考查利用向量的垂直和平行求参数，属于基础题.14.若对12233(1)1n n n n n n n x C x C x C x C x +=+++++…两边求导，可得11232(1)23n n n n n x C C x C x -+=++1n n n nC x -++…，通过类比推理，有723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，可得1234567234567a a a a a a a ++++++的值为________.【答案】35 【解析】 【分析】根据题目给出的方法，对723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++两边求导，然后令1x =，可得答案.【详解】由723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++两边求导得：()62345612345677554234567x a a x a x a x a x a x a x ⨯⨯-=++++++令1x =可得：123456723436755a a a a a a a =++++++ 故答案为：35.【点睛】本题考查类比方法的推理和赋值法的应用，属于中档题. 15.已知数列{}n a 中，111a =，121n n a a n n+=++，若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立，则实数t 的取值范围是________. 【答案】()4,2-【分析】先用累加法求出的n a 通项公式, 存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立,则()2max n a m t t >+，可求解答案.【详解】由121111n n n a a a n n n n +=+=+-++. ∴()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+L L1111111111121322n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 112n =- ∴11212n a n=-< 若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立.所以212m t t >+对任意的[1,4]m ∈恒成立.设()212f m mt t =+-，即()0f m <对任意的[1,4]m ∈恒成立.函数()f m 是关于m 的一次或常数函数.所以()()1040f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即221204120t t t t ⎧+-<⎨+-<⎩解得4362t t -<<⎧⎨-<<⎩，即42t -<<所以实数t 的取值范围是42t -<< 故答案为：()4,2-.【点睛】本题考查用累加法求数列的通项公式，考查恒成立和能成立问题，属于中档题.16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是a ，S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点，点Q 在正方形11DCC D 及其内部运动，若//PQ 平面1SBC ，则点Q 的轨迹的长度是________.【答案】2【解析】过点P 作一平面使之与平面1SC B 平行，则该平面与正方体的面11DCC D 的交线为动点Q 的轨迹，从而可求出答案.【详解】由S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点 在线段11D C 上取点M ，使得11114D M D C =，连接PM . 在线段CD 上取点N ，使得14CN CD =，连接MN . 设H 为11D C 的中点，连接1A H SH CH ，，,如图.则有111//,//PM A H A H SC ,所以1//PM SC . 所以//PM 平面1SC B .又//,//SB CH CH MN ,所以//MN SB ，//MN 平面1SC B ,且PM MN M ⋂=所以平面1//SC B 平面PMN .且平面PMN 与正方体的面11DCC D 相交于MN . 所以当点Q 在线段MN 上时，有//PQ 平面1SBC所以MN CH ===.所以点Q .故答案为：2. 【点睛】本题考查空间几何体中轨迹问题，直线与平面的平行的判定的应用，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.如图所示，在ABC V 中，点D 在边BC 上，且90DAC ︒∠=，cos 3DAB ∠=，AB =.（1）若sin C =，求BC 的值； （2）若BC 边上的中线2AE =，求AC 的值. 【答案】（1） 4 （2【解析】 【分析】（1）先由诱导公式sin BAC ∠的值，再由正弦定理求解BC .(2) 延长AE 到F ，使得AE EF =,连接,BF CF ,得到平行四边形ABFC ，然后在ABF V 中用余弦定理可解得答案.【详解】(1)由90DAC ︒∠=，cos 3DAB ∠=. 又()sin sin 90cos 3BAC BAD BAD ∠=∠+︒=∠=由正弦定理有sin sin BC ABBAC C=∠,所以sin 4sin AB BAC BC C ⋅∠===. 所以4BC =.(2)由90BAC BAD ∠=∠+︒,所以BAC ∠为钝角. 又由（1）有sin BAC ∠=，所以1cos 3BAC ∠=-又AE 为BC 边上的中线，延长AE 到F ，使得AE EF =,连接,BF CF ,如图.则四边形ABFC 为平行四边形,所以1cos cos 3ABF BAC ∠=-∠=则在ABF V 中,4AB AF ==所以2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-⋅∠即21166+3BF BF =-⨯，即23300BF --=.解得：3BF =或BF =（舍去）所以AC =【点睛】本题考查诱导公式，正弦定理和余弦定理的应用， 第（2）问还可以用向量法求解，属于中档题. 18.如图，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==，四边形ADEF 是矩形，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF AD λ=.（1）证明：DE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角B CF D --，求λ的值.【答案】(1)证明见解析. (2) 2λ=或λ=【解析】 【分析】(1) 取DC 的中点H ,连接,BH AH ，可得AH DE ⊥，再推导出AD DE ⊥，从而得证.(2) 由题目条件和（1）可知,,DA DC DE 两两垂直, 以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系,利用向量法，求出λ的值.【详解】(1)取DC 的中点H ,连接,BH AH . 由//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==. 则ABHD 为正方形.所以AH BD ⊥.又平面BDE ⊥平面ABCD ，且平面BDE ⋂平面=ABCD BD .AH ⊂平面ABCD ,所以AH ⊥平面BDE .又DE ⊂平面BDE .则AH DE ⊥.又四边形ADEF 是矩形，则AD DE ⊥,且AD BD D =I . ∴DE ⊥平面ABCD .(2)由题目条件和（1）可知,,DA DC DE 两两垂直故以点D 为原点，以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.如图. 设1AB =，则DE AF λ==.所以()1,0,0A ，()1,1,0B ,()0,2,0C ,()0,0,E λ,()1,0,F λ.则()1,1,0BC =-uu u r,()1,2,CF λ=-u u u r ,()=0,2,0DC u u u r . 设平面BFC 的一个法向量为()111,,n x y z =r. 所以00n BC n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即11111020x y x y z λ-+=⎧⎨-+=⎩ 取11,1,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭r设平面DFC 的一个法向量为()222,,m x y z =u r. 所以00m DC m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即2222020y x y z λ=⎧⎨-+=⎩.取(),0,1m λ=-u r二面角B CF D --.cos ,5m n m n m n⋅==⋅u r ru r r u r r 即2243+13=0λλ- ，解得：24λ=或213λ= 所以2λ=或λ=【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查根据二面角的正弦值求线段的长度之比，考查利用向量的方法解决空间角，属于中档题.19.如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆22:(3)(2)16E x y -+-=与C 交于M ，N 两点，且M ，E ，F ，N 四点共线.（1）求抛物线C 的方程；（2）设动点P 在直线1x =-上，存在一个定点(,0)(0)T t t ≠，动直线l 经过点T 与C 交于A ，B两点，直线PA ，PB ，PT 的斜率分别记为1k ，2k ，3k ，且2132k k k +-为定值，求该定值和定点T 的坐标. 【答案】（1）24y x = （2）()1,0T ，2132k k k +-的定值为0. 【解析】 【分析】(1)根据条件MN 为圆E 的直径，则8MN =，设()()1122,,,M x y N x y ，126x x +=，1268MN x x p p =++=+=，从而可求出p 的值；(2) 设()()3344,,,A x y B x y ，()1,P m -,直线x ny t =+,则3412334,,111+y m y m mk k k x x t--===-++，结合抛物线的方程，将抛物线方程与直线方程联立，写出韦达定理，代入化简即可得出答案. 【详解】(1)设()()1122,,,M x y N x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，M ，E ，F ，N 四点共线. 由条件圆心()3,2E 为MN 的中点，12124,6y y x x +=+=,8MN =. 所以直线MN 过焦点F ，则1268MN x x p p =++=+=.解得：2p =. 抛物线2:4C y x =.(2) 设()()3344,,,A x y B x y ，()1,P m -，直线x ny t =+.则24x ny t y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ny t --=. 34344,4y y n y y t +=⋅=-.()22223434342168y y y y y y n t +=+-=+3412334,,111+y m y m mk k k x x t--===-++. 233344223434122111112144y m y m y m y m m m++y y x x +t k k k +t =----+=+++++-+()()342234442441y m y m m+y +y ++t--=+()()()()()22343434222343444821416y y y y m y y m m+ty y y y ⎡⎤++-+-⎣⎦=++++ ()()()222444416882116416816n t m n t m m+tt n t ⎡⎤--+-⎣⎦=++++ 2224442224211n tn mn tm m mt n t +t----=++++ ()()()()()()2222222224141444442112211n t +mn t n mn nt mn t t n t +t t n t +t --+--==++++++ 当1t =时，()()()()222241412211n t +mn t t n t +t --+++为定值0.故一个定点(1,0)T ，使得21302k k k =+-为定值【点睛】本题考查利用抛物线的定义结合过焦点的弦长求p 的值，考查定点和定值问题，考查计数化简能力，属于难题. 20.随着智能手机普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数x （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数； （3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0的元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X （单位：元）的分布列和数学期望. 附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)P μσξμσ-<≤+0.9545≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.【答案】(1) 12 (2) 47 (3) 分布列见解析，()=216E X 【解析】 【分析】(1) 用每组数据中该组区间的中点值为代表，利用公式直接可求解. (2)由题意得()212,2N ξ∼，求出()1418P ξ<≤即可求解出答案.(3)由频率分布直方图可知每人获得奖金额为0元的概率为0.02，每人获得奖金额为100元的概率为：0.88，每人获得奖金额为200元的概率为：0.1,X 的取值为0，100，200,300,400. 分布求出概率，列出分布列，求出数学期望.【详解】（1） 由题意有0.005250.005270.04290.29211x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+0.112130.032150.0152170.00521911.6812⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈（千步）（2）由()2,N ξμσ:，由（1）得()212,2N ξ∼所以()()()()1141812+2123261810142P P P P ξξξξ<≤=<≤+⨯=<≤-<≤⎡⎤⎣⎦ ()10.99730.68270.15732≈-= 所以300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数：3000.1573=47⨯. (3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：0.00522=0.02⨯⨯.每人获得奖金额为100元的概率为：()0.04+0.29+0.112=0.88⨯ 每人获得奖金额为200元的概率为：0.1X 的取值为0，100，200,300,400.()200.02=0.0004P X ==()121000.020.880.0352P X C ==⨯⨯= ()1222000.020.1+0.880.7784P X C ==⨯⨯=()123000.10.880.176P X C ==⨯⨯=()24000.10.01P X ===所以X 的分布列为：()=00.0004+1000.0352+2000.7784+3000.176+4000.01=216E X ⨯⨯⨯⨯⨯ （元）【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均值，正态分布，离散型随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题. 21.已知函数()()21ln f x a x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．【答案】（1）f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数()23322a ax f x x x x --'=-+=()0x >，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的结果可知0f <，即2a e >，利用分析法，将需要证明想不等式转化为证明1221ae x x ea--<-，只需证明1212ae x x e a -<<<，利用函数的单调性和零点存在性定理可证明122ax e -<<，根据零点存在性定理和单调性证明. 【详解】（1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），且()23322a ax f x x x x --'=-+=，①当a≤0时，f'（x ）≤0，f （x ）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a ＞0时，由f'（x ）＞0得x >，故f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）∵f （x ）有两个零点，∴由（1）知a ＞0且2ln 022a a f a =+<，∴a ＞2e ，要证原不等式成立，只需证明211ln 2e x x a a ⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，只需证明1221a e x x e a--<-，只需证明1212ae x x e a -<<<．一方面∵a ＞2e 1<<，∴1111022111ln 0222a a a af e e a e e e --⎛⎫=+=->-=> ⎪⎝⎭，∴120a f f e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎫+∞⎪⎪⎭122ax e -<；另一方面，令()1ln g x x ex=+，（x ＞0）， 则()22111ex g x x ex ex -'=-=，当10x e<<时，g'（x ）＜0；当1x e >时，g'（x ）＞0； 故()min 1110g x g e ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，故g （x ）≥0即1ln x ex ≥-时x ∈（0，＋∞）恒成立，令ex a=， 则2ln e a a e >-，于是222222ln 0e ae a af a a ea e e ⎛⎫=+>-= ⎪⎝⎭，而2222222240e e a e ea a a ---=<<，故0e f a ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎛ ⎝单调递减，故1e x a <<综合上述，1212ae x x e a -<<<，即原不等式成立． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和不等式的证明，重点考查了构造函数和讨论的思想，属于难题，本题的难点是再证明0e f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，需要构造函数()1ln g x x ex =+，（x ＞0），并且证明不等式时，经常使用分析法转化.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线2C 的参数方程为2x aty t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）. （1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 和2C 相交于A 、B 两点，以线段AB 为一条边作1C 的内接矩形ABCD ，当矩形ABCD 的面积取最大值时，求a 的值.【答案】(1) 曲线1C 的直角坐标方程为：224x y +=;直线2C 的直角坐标方程为：20x ay -+=(2) ±1 【解析】 【分析】(1)曲线1C 利用平方可消去参数，直线2C 可用代入法消去参数，得到普通方程.(2)利用均值不等式的方法可求出圆的内接矩形面积最大时为内接正方形，即BD =,然后利用圆中的垂径定理结合点到直线的距离可求得答案.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.所以曲线1C 的直角坐标方程为：224x y +=. 直线2C 的参数方程为2x aty t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）.所以直线2C 的直角坐标方程为：20x ay -+=. (2)如图，直线20x ay -+=过定点()2,0-.设,AB m AD n ==. 因为ABCD 为1C 的内接矩形.则BD 为直径,即=4BD 所以2216m n +=.矩形ABCD 对的面积为S ,S mn =.2216822m n mn +≤==,当且仅当m n ==时取等号.圆1C 的半径2r =，圆心到直线2C的距离为：d =由m AB ====，解得：1a =±. 【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程，圆的性质，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|||22|()f x x a x a R =+--∈. （1）证明：()||1f x a ≤+；（2）若2a =，且对任意x ∈R 都有(3)()k x f x +≥成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析. (2) 314k ≤≤ 【解析】 【分析】(1)由()()111x a x x a x a +--≤+--=+结合10x --≤可得221x a x a +--≤+，再由绝对值的三角不等式可证.(2设()()()3g x k x f x =+-分段打开绝对值，即()0g x ≥在R 上恒成立，则每一段均要满足恒大于等于0，从而得到答案. 【详解】【详解】(1)因为()()111x a x x a x a +--≤+--=+……①当且仅当()()101x a x x a x ⎧+-≥⎪⎨+≥-⎪⎩时取等号. 又10x --≤………② 当且仅当1x =时取等号.由①+②得：221x a x a +--≤+,当且仅当1x =时取等号.所以()11f x a a ≤+≤+当且仅当10x a =⎧⎨≥⎩时取等号.(2)当2a =时，()4222232141x x f x x x xx x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+≥⎩设()()()()()()1342333211341k x k x g x k x f x k x kx k x k x ⎧-++≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪++-≥⎩依题意可知()0g x ≥在R 上恒成立.则需()()102601=43010k g k g k k -≤⎧⎪-=+≥⎪⎨-≥⎪⎪+≥⎩ ，即16341k k k k ≤⎧⎪≥-⎪⎪⎨≥⎪⎪≥-⎪⎩，解得314k ≤≤.实数k 的取值范围:314k ≤≤ 【点睛】本题考查含绝对值不等式的证明，考查绝对值中的三角不等式的应用，考查恒成立问题，属于中档题.。
陕西省西安市西北工业大学附属中学2022届高三下学期一模理科数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 已知正方形的边长为，现将沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（）A ．平面B ．三棱锥体积的最大值为C．三棱锥的外接球的表面积为定值D．与平面所成角的范围是2.已知直线与直线平行，则的值为（ ）A ．4B．C ．2或D ．或43. 已知是定义在R 上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）A．B．C ．3D ．64. “”是“函数的最小正周期为”的.A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又必要条件5. 经团委统计，某校申请“志愿服务之星”的10名同学在本学期的志愿服务时长（单位：小时）分别为26、25、23、24、29、25、32、25、24、23，记这一组数据的平均数为，上四分位数为，众数为，则（ ）A．B．C．D．6. 已知，则（ ）A．B．C．D．7. 数列的一个通项公式是（ ）A．B．C．D．8. 定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均数时，取较大整数），令函数，如：，，，，则（ ）A ．17B．C ．19D．9. 双曲线，圆，双曲线与圆有且仅有一个公共点，则取值可以是（ ）A ．2.2B ．2.4C ．2.5D ．2.710. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点，若，则（ ）A ．直线的斜率为B．陕西省西安市西北工业大学附属中学2022届高三下学期一模理科数学试题 (2)陕西省西安市西北工业大学附属中学2022届高三下学期一模理科数学试题 (2)三、填空题四、解答题C．D．11. 如图，正方体的棱长为1，点，分别为和的中点，则（）A ．直线平面B ．直线与直线为异面直线C．点到平面的距离为D．若点为线段上的动点（含端点），则的范围为12. 若数列是等比数列，则（ ）A．数列是等比数列B ．数列是等比数列C．数列是等比数列D ．数列是等比数列13.若向量=，=，则的值等于__________；与夹角的余弦值等于___________．14. 若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递__________（填增或减），函数的零点个数为__________．15. 已知函数（，），若为奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值为______.16. 已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，求的取值范围.17.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，设（i ）证明：有唯一正零点：（ii）记的正零点为，证明：当时，18. .19. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第七次适应性训练数 学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2={1,},={2,1},{4},A a B a A B -=若则实数a 等于（ ） A ．4 B ．0或4 C ．0或2 D ．2 2．函数()34x f x x =+的零点所在的区间是（ ）A ．（一2，一1）B ．（一1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）3．下列有关命题的说法中错误的是（ ） A ．若p q 或为假命题，则p 、q 均为假命题. B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件. C ．命题“若2320,x x -+=则1x =”的逆否命题为：“若1,x ≠则2320x x -+≠”. D ．对于命题:p x R 存在∈使得21x x ++＜0，则:p x R 非存在∈，使210x x ++≥.4．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =( )A ．22B ．23C ．24D ．255．二项式12)2(xx +展开式中的常数项是（ ） A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项 6．函数()y f x =的图象在点(5,(5))P f 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f '+=（ ）A. 12B.1C.2D.07．已知在三棱锥P-ABC 中侧面与底面所成的二面角相等，则P 点在平面α内的射影一定是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 8． 函数c o s ()(0,0)y x ωϕωϕ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，且||AB =，则该函数图象的一条对称轴为 （ ）A.2π=xB.2π=x C.2x = D.1x =9．任取]3,3[-∈k ，直线3+=kx y 与圆4)3()2(22=-+-y x 相交于M 、N 两点，则|MN|32≥的概率为 （ ）A ． 21B ．23C ． 31D ．33正视图 侧视图俯视图 3 1 2 2 3 2 B A C S （第14题图） 10. 设F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，c ＝a 2－b 2，若直线x＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由 密文→明文（解密），已知加密规则如图所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ；12．函数()sin cos ()f x x x x R =+∈的图象按向量(,0)m 平移后，得到函数()y f x '=的图象，其中：()-m ππ∈，则m 的值是___；13.对于三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0≠a ），定义：设)(x f ''是函数y ＝f(x)的导数y ＝)(x f '的导数，若方程)(x f ''＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f(x 0))为函数y ＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有…拐点‟；任何一个三次函数都有对称中心；且…拐点‟就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数3231()324f x x x x =-+-，则它的对称中心为_____；14.三棱锥S ABC -的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）．则这个三棱锥的体积为 _______ ；15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A.(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上的动点(,)P x y 到直线l 距离的最大值为 ．B.（不等式选讲选做题）若存在实数x 满足不等式2|3||5|x x m m -+-<-,则实数m的取值范围为 ．C ．（几何证明选讲选做题）如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ．已知O 的半径为3，2PA =，则PC = ．OE = ． 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 63f x x x x ππ=+-++. （1）求()12f π的值；（2）求)(x f 的最大值及相应x 的值． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 是递增．．数列，且满473815,8.a a a a ⋅=+=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令1111(2),93n n n b n b a a -=≥=，求数列{}n b 的前n 项和.n S18. （本小题满分12分）在直角梯形PBCD 中A 为PD 的中点，如下左图。
4,2,2====∠=∠PD CD BC C D π，将PAB ∆沿AB 折到SAB ∆的位置，使BC SB ⊥，点E 在SD 上，且SD SE 31=，如下右图。
（1）求证：⊥SA 平面ABCD ；（2）求二面角E —AC —D 的正切值．19.（本小题满分12分）为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ 用户推出了多款QQ 应用，如“QQ 农场”、“QQ 音乐”、“QQ 读书”等.某校研究性学习小组准备举行一次“QQ 使用情况”调查，从高二年级的一、二、三、四班中抽取10B(1)从这10名学生中随机选出2名，求这2人来自相同班级的概率；(2) 假设在某时段，三名学生代表甲、乙、丙准备分别从QQ 农场、QQ 音乐、QQ 读书中任意选择一项，他们选择QQ 农场的概率都为16；选择QQ 音乐的概率都为13；选择QQ 读书的概率都为12；他们的选择相互独立.设在该时段这三名学生中选择QQ 读书的总人数为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.20.（本小题满分13分）已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点．（1）证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； （2）求ANB ∆面积的最小值；（3）当点M 的坐标为(,0)m ，(0m >且1)m ≠．根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ②ANB ∆面积的最小值是多少？21．（本小题满分14分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=（1）若关于x 的不等式0)(≥-m x f 在]1,0[-e 有实数解，求实数m 的取值范围；（2）设1)()(g 2--=x x f x ，若关于x 的方程p x =)(g 至少有一个解，求p 的最小值.（3）证明不等式：nn 131211)1ln(++++<+ )(*N n ∈2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第七次适应性训练高三数学（理科）参考答案二、填空题:（每小题5分，共25分） 11．6,4,1,7 12. 2π-13. (12, 1) 14. 43m 15．A．310+B.(,1)(2,)-∞-+∞ C.94,5三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（1）2()sin(2)cos(2)2cos 1212612312f ππππππ=⨯+-⨯++sin cos 1cos 326πππ=-++01=-++ 1（2）2()sin(2)cos(2)2cos 63f x x x x ππ=+-++s i n 2c o s c o s 2s i n c o s 2c o s s i n 2s in 2c o s 216633x x x x x ππππ=+-+++ cos212sin(2)16x x x π++=++，∴当sin(2)16x π+=时，max ()213f x =+=，此时，22,62x k ππ+=π+即()6x k k π=π+∈Z ，17．（本小题满分12分）解：（1）根据题意：38478,a a a a +==+4715a a ⋅=，知： 47,a a 是方程28150x x -+=的两根，且47a a <解得473,5a a ==，设数列{}n a 的公差为d ，由742(74),.3a a d d =+-⋅=得故等差数列{}n a 的通项公式为：4221(4)3(4)33n n a a n d n +=+-⋅=+-⋅= （2）当2n ≥时，111212199()()3333n n nb a a n n -==-+1(21)(21)n n =-+111()22121n n =--+又1111(1)323b ==-12111111(1)23352121n n S b b b n n ∴=+++=-+-++--+ 11(1)221n =-+21n n =+ 18. （本小题满分12分） 解：（1）证明：在图中，由题意可知，ABCD PD BA ,⊥为正方形，所以在图中，2,=⊥SA AB SA ，四边形ABCD 是边长为2的正方形， 因为BC SB ⊥，AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面SAB ，………………………3分 又⊂SA 平面SAB ，所以BC ⊥SA ，又SA ⊥AB ， 所以SA ⊥平面ABCD ，………………………6分（2）解法一： 在AD 上取一点O ，使AD AO 31=，连接EO 。
因为SD SE 31=，所以EO//S A…………………………7分所以EO ⊥平面ABCD ，过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， 则AC ⊥平面EOH ，所以AC ⊥EH 。
所以EHO ∠为二面角E —AC —D 的平面角，………………………9分 .3432==SA EO 在AHO Rt ∆中，.32223245sin ,45=⨯=︒⋅=︒=∠AO HO HAO …11分 22tan ==∠OHEOEHO ，即二面角E —AC —D 的正切值为.22………12分解法二：如图，以A 为原点建立直角坐标系，24(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,,)33A B C D S E ……………7分易知平面ACD 的法向为)2,0,0(=AS 设平面EAC 的法向量为),,(z y x n =)34,32,0(),0,2,2(==……………………9分由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n AC n ，所以⎩⎨⎧=+=+020z y y x ，可取⎪⎩⎪⎨⎧=-==122z y x所以).1,2,2(-=n ………………………………11分所以31322,cos =⨯=>=<n 所以22,tan >=<n ,即二面角E —AC —D 的正切值为.22…………12分 19.（本小题满分12分）解：(I)记这两名学生都来自第i 班为事件(1,2,3,4)i A i =则()221210145C P A C ==；()232210345C P A C ==；()243210645C P A C ==；()40P A =．∴()()()()1234102459P P A P A P A P A =+++==．…………6分 （Ⅱ）ξ的取值为0,1,2,3．311(0)28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；31313(1)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； 32313(2)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；33311(3)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ξ的分布列为：012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．或2E np ξ==．…………12分20.（本小题满分13分）（1）设直线l 的方程为()1(0)y k x k =-≠． 由()21,4,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 可得 ()2222240k x k x k -++=．设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k++==．-------3分 ∴124y y =- 又()1,0N -∴1212221212441144NA NB y y y yk k x x y y +=+=+++++ ()()()()()()2212212112222212124444(4444)04444y y y y y y y y yy yy ⎡⎤+++-+-+⎣⎦===++++．又当l 垂直于x 轴时，点,A B 关于x 轴，显然0,NA NB NA NB k k k k +==-． 综上，0,NA NB NA NB k k k k +==-． ----------6分（2）12NAB S y y ∆=-=4． 当l 垂直于x 轴时，4NAB S ∆=．∴ANB ∆面积的最小值等于4． -----------11分 （3）推测： ①NA NB k k =-；②ANB ∆面积的最小值为4 ----------- 13分 21．（本小题满分14分）解：（1）依题意得m x f m ≥ax )(,[0,1]x e ∈-()12212)1(2)(++=+-+='x x x x x x f ，而函数)(x f 的定义域为),1(∞+- ∴)(x f 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数， 则)(x f 在]1,0[-e 上为增函数2)1()(2max -=-=∴e e f x f即实数m 的取值范围为22-≤e m（2）1)()(g 2--=x x f x )]1ln(x [2)1ln(22x x x +-=+-=则xx x x g +=+-='12)111(2)( 显然，函数)(g x 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数 则函数)(g x 的最小值为0)0(g =所以，要使方程p x =)(g 至少有一个解，则0≥p ，即p 的最小值为0 （3）由（2）可知： 0)]1ln(x [2)(g ≥+-=x x 在),1(∞+-上恒成立 所以 x x ≤+)1l n (，当且仅当x=0时等号成立令)(1x *N n n ∈=，则)1,0(∈x 代入上面不等式得：n n 1)11ln(<+ 即n n n 11ln <+， 即 nn n 1ln )1ln(<-+ 所以，11ln 2ln <-，212ln 3ln <-，313ln 4ln <-，…，nn n 1ln )1ln(<-+将以上n 个等式相加即可得到：nn 131211)1ln(++++<+。