2020西工大附中中考数学试卷及答案
2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学六模试卷 解析版
2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学六模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣4的相反数是（）A．B．4C．D．﹣42．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．15°B．25°C．35°D．50°4．（3分）下面计算正确的是（）A．x3+4x3＝5x6B．a2•a3＝a6C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y25．（3分）已知一个正比例函数的图象经过A（﹣2，4）和（n，﹣6）两点，则n的值为（）A．﹣12B．12C．3D．﹣36．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：4B．5：3C．4：3D．3：47．（3分）已知点A（x1，a），B（x1+1，b）都在函数y＝﹣2x+3的图象上，下列对于a，b 的关系判断正确的是（）A．a﹣b＝2B．a﹣b＝﹣2C．a+b＝2D．a+b＝﹣28．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．4C．D．59．（3分）如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC 与∠BOC互补，则线段BC的长为（）A．B．3C．D．610．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x 轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．3二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）在数3.16，﹣10，2π，，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有个无理数．12．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，BC＝15，平移距离为5，则阴影部分的面积为．13．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，过点A作AC⊥x轴垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为．14．（3分）如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为．三、解答题（共11小题，计78分.解答题应写出过程）15．（5分）计算：﹣12020﹣|1﹣|+6tan30°．16．（5分）先化简，再求值：，其中x＝2﹣．17．（5分）如图，∠ACB＝∠CDB＝90°，在线段CD上求作一点P，使△APC∽△CDB．（不写作法，保留作图痕迹）18．（5分）已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB ＝DE．19．（7分）为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情趣和爱好，友谊学校学生开展了课外社团活动．学校政教处为了解学生分类参加情况，进行了抽样调查，制作出如图不完整的统计图．请根据上述统计图，完成以下问题：（1）这次共调查了名学生，请把统计图1补充完整；（2）在扇形统计图中，求出表示“书法类”所在扇形的圆心角的度数；（3）若年级共有学生1600名，请估算有多少名学生参加汉服类社团？20．（7分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E 处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．21．（7分）去年暑假的某一天，小亮家和王叔叔家从同一地点分别驾车去离家270km处的陕南华阳古镇某景点旅游，小亮家按原商量好的时间早上7：00准时出发，但王叔叔因家中有事8：00才出发，于是小亮家便减慢了速度，为了追上小亮家，王叔叔加快了行驶速度，结果比小亮家先到，此时小亮家知道后便以最初的速度全力向景区驶去，已知他们离家的距离y（km）与小亮家出发的时间x（h）之间的函数关系如图所示．（1）求线段AB对应的函数解析式；（2）在什么时刻，王叔叔追上了小亮家？22．（7分）篮球运动是全世界最流行的运动之一，近年流行千百少年之间的“3对3”篮球将登上2020年奥运会赛场．为备战某市中学生“3对3”篮球联赛，某校甲、乙、丙三位同学作为“兄弟战队”的主力队员进行篮球传球训练，篮球由一个人随机传给另一个人，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的．现在由甲开始传球．（1）求甲第一次传球给乙的概率；（2）三次传球后．篮球在谁手中的可能性大？请利用树状图说明理由．23．（8分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝4，BC＝2，求DE的长．24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）问题提出（1）如图①，已知△ABC，请在直线AB上方平面内画出使∠APB＝∠C的所有点P．问题探究（2）如图②，扇形AOB的半径OA＝12，的长为4π，四边形OEFG为其内接平行四边形，其中E在OB上，G在OA上，F在AB上，EF∥OG，OE∥FG，求▱OEFG 周长的最大值．问题解决（3）南岭国家植物园准备在十一国庆节前后举办花卉展，如图③是一块半圆形的展览用地，O为圆心，半圆的直径AB为200米，工作人员计划在半圆内划分出一个四边形ABCD，在四边形ABCD内部种植新培育的都金香，其中C，D两点在半圆上，且CD＝100米，AD、AB、BC，CD为四条观赏小道（不计宽度），半圆内其它部分为草地，为观赏方便，请问能否设计四条小道的总长（即AB+BC+CD+AD）最长且四边形ABCD的面积尽可能大？如果能，请计算四边形ABCD面积的最大值；如果不能，请说明理由．2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学六模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣4的相反数是（）A．B．4C．D．﹣4【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣4的相反数是：4．故选：B．2．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：如图所示：几何体的俯视图是：．故选：D．3．（3分）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．15°B．25°C．35°D．50°【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．故选：C．4．（3分）下面计算正确的是（）A．x3+4x3＝5x6B．a2•a3＝a6C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2【分析】根据合并同类项即可判断A；根据同底数幂的乘法法则求出即可判断B；根据积的乘方和幂的乘方的运算法则求出即可判断C；根据平方差公式求出即可判断D．【解答】解：A、x3+4x3＝5x3，故本选项错误；B、a2•a3＝a5，故本选项错误；C、（﹣2x3）4＝16x12，故本选项正确；D、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故本选项错误；故选：C．5．（3分）已知一个正比例函数的图象经过A（﹣2，4）和（n，﹣6）两点，则n的值为（）A．﹣12B．12C．3D．﹣3【分析】根据点A的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值．【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），将A（﹣2，4）代入y＝kx，得：4＝﹣2k，解得：k＝﹣2，∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．当y＝﹣6时，﹣2n＝﹣6，解得：n＝3．故选：C．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：4B．5：3C．4：3D．3：4【分析】过D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得出DF＝DC，再根据三角形的面积公式求出△ABD和△ACD的面积，最后求出答案即可．【解答】解：过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），∴DF＝CD，设DF＝CD＝R，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，∴S△ABD＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，故选：B．7．（3分）已知点A（x1，a），B（x1+1，b）都在函数y＝﹣2x+3的图象上，下列对于a，b 的关系判断正确的是（）A．a﹣b＝2B．a﹣b＝﹣2C．a+b＝2D．a+b＝﹣2【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a，b的值（用含x1的代数式表示），二者做差后即可得出结论．【解答】解：∵点A（x1，a），B（x1+1，b）都在函数y＝﹣2x+3的图象上，∴a＝﹣2x1+3，b＝﹣2x1+1，∴a﹣b＝2．故选：A．8．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．4C．D．5【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，∴BC＝5，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24，∵S菱形ABCD＝BC×AH，∴BC×AH＝24，∴AH＝故选：C．9．（3分）如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC 与∠BOC互补，则线段BC的长为（）A．B．3C．D．6【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC＝120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC＝∠BOC＝60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．【解答】解：∵∠BAC与∠BOC互补，∴∠BAC+∠BOC＝180°，∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BOC＝120°，过O作OD⊥BC，垂足为D，∴BD＝CD，∵OB＝OC，∴OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOC＝60°，∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，在Rt△DOC中，OC＝6，∴OD＝3，∴DC＝3，∴BC＝2DC＝6，故选：C．10．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x 轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．3【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到点A1的坐标，从而可以求得OA1的长度，然后根据题意，即可得到点P（21，m）中m的值和x＝1时对应的函数值互为相反数，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，∴点A1（4，0），∴OA1＝4，∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，∴m＝﹣3，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）在数3.16，﹣10，2π，，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有2个无理数．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：在数3.16，﹣10，2π，﹣，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有2π，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）是无理数，一共2个无理数．故答案为：2．12．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，BC＝15，平移距离为5，则阴影部分的面积为．【分析】证明阴影部分的面积＝梯形ABEH的面积即可解决问题．【解答】解：∵△DEF是由△ABC平移得到，∴S△ABC＝S△DEF，∴S阴＝S梯形ABEH，∵HE∥AB，∴＝，∴＝，∴EH＝，∴S阴＝×（10+）×5＝13．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，过点A作AC⊥x轴垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为2+1．【分析】依据点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AC⊥x轴，AC＝1，可得OC＝2，再根据CD垂直平分AO，可得OB＝AB，再根据△ABC的周长＝AB+BC+AC ＝OC+AC进行计算即可．【解答】解：∵点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AC⊥x轴，∴AC×OC＝2，∵AC＝1，∴OC＝2，∵OA的垂直平分线交x轴于点B，∴OB＝AB，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝OB+BC+AC＝OC+AC＝2+1，故答案为2+1．14．（3分）如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为．【分析】如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH＝AD，连接EH，BH，DE．想办法证明AF＝DE＝EH，BE+AF的最小值转化为EH+EB 的最小值．【解答】解：如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH＝AD，连接EH，BH，DE．∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵C，D关于AB对称，∴DA＝DB，∠DAB＝∠CAB＝45°，∠ABD＝∠ABC＝45°，∴∠CAD＝∠CBD＝∠ADC＝∠C＝90°，∴四边形ACBD是矩形，∵CA＝CB，∴四边形ACBD是正方形，∵CF＝AE，CA＝DA，∠C＝∠EAD＝90°，∴△ACF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE，∴AF+BE＝ED+EB，∵CA垂直平分线段DH，∴ED＝EH，∴AF+BE＝EB+EH，∵EB+EH≥BH，∴AF+BE的最小值为线段BH的长，BH＝＝，∴AF+BE的最小值为，故答案为．三、解答题（共11小题，计78分.解答题应写出过程）15．（5分）计算：﹣12020﹣|1﹣|+6tan30°．【分析】直接利用绝对值的性质结合特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1﹣（﹣1）+6×＝﹣1﹣+1+2＝．16．（5分）先化简，再求值：，其中x＝2﹣．【分析】先把分式化简：先除后减，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分；做减法运算时，应是同分母，可以直接通分．最后把数代入求值．【解答】解：原式＝＝＝；当x＝2﹣时，原式＝＝﹣．17．（5分）如图，∠ACB＝∠CDB＝90°，在线段CD上求作一点P，使△APC∽△CDB．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】过点A作AP⊥CD即可得．【解答】解：如图所示，点P即为所求．18．（5分）已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB ＝DE．【分析】由平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，证出AC＝DF，证明△ABC≌△DEF（SAS），即可得出AB＝DE．【解答】证明：∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AF＝DC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AB＝DE．19．（7分）为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情趣和爱好，友谊学校学生开展了课外社团活动．学校政教处为了解学生分类参加情况，进行了抽样调查，制作出如图不完整的统计图．请根据上述统计图，完成以下问题：（1）这次共调查了50名学生，请把统计图1补充完整；（2）在扇形统计图中，求出表示“书法类”所在扇形的圆心角的度数；（3）若年级共有学生1600名，请估算有多少名学生参加汉服类社团？【分析】（1）先根据图形中的信息列出算式，再求出即可；（2）求出“书法类”占总数的百分比，再乘以360°即可；（3）求出“汉服类”占的百分比，再乘以1600即可．【解答】解：（1）20÷40%＝50（名），即这次共调查了50名学生，如图所示：，故答案为：50；（2）360°×＝72°，答：在扇形统计图中，求出表示“书法类”所在扇形的圆心角的度数是72°；（3）1600×＝480（名），答：若年级共有学生1600名，则有480名学生参加汉服类社团．20．（7分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E 处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．【分析】首先根据DO＝OE＝1m，可得∠DEB＝45°，然后证明AB＝BE，再证明△ABF ∽△COF，可得＝，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．【解答】解：延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE＝90°，∵OD＝1m，OE＝1m，∴∠DEB＝45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，设AB＝EB＝xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴＝，∴＝，解得：x＝4．经检验：x＝4是原方程的解．答：围墙AB的高度是4m．21．（7分）去年暑假的某一天，小亮家和王叔叔家从同一地点分别驾车去离家270km处的陕南华阳古镇某景点旅游，小亮家按原商量好的时间早上7：00准时出发，但王叔叔因家中有事8：00才出发，于是小亮家便减慢了速度，为了追上小亮家，王叔叔加快了行驶速度，结果比小亮家先到，此时小亮家知道后便以最初的速度全力向景区驶去，已知他们离家的距离y（km）与小亮家出发的时间x（h）之间的函数关系如图所示．（1）求线段AB对应的函数解析式；（2）在什么时刻，王叔叔追上了小亮家？【分析】（1）根据速度＝路程÷时间求出小亮家的最初速度，结合点C的坐标即可得出点B的坐标，再根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出线段AB对应的函数解析式；（2）根据点D、E的坐标，利用待定系数法即可求出线段DE对应的函数解析式，联立线段AB、DE对应的函数解析式成方程组，通过解方程组即可求出王叔叔追上小亮家的时间．【解答】解：（1）小亮家的最初的速度为60÷1＝60（km/h），点B的纵坐标为270﹣60×（5﹣4）＝210．设线段AB对应的函数解析式为y＝kx+b，将A（1，60）、B（4，210）代入y＝kx+b中，，解得，∴线段AB对应的函数解析式为y＝50x+10（1≤x≤4）．（2）设线段DE对应的函数解析式为y＝mx+n，将E（1，0）、D（4，270）代入y＝mx+n中，，解得，7：00+2.5时＝9：30，即在9：30，王叔叔追上了小亮家．22．（7分）篮球运动是全世界最流行的运动之一，近年流行千百少年之间的“3对3”篮球将登上2020年奥运会赛场．为备战某市中学生“3对3”篮球联赛，某校甲、乙、丙三位同学作为“兄弟战队”的主力队员进行篮球传球训练，篮球由一个人随机传给另一个人，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的．现在由甲开始传球．（1）求甲第一次传球给乙的概率；（2）三次传球后．篮球在谁手中的可能性大？请利用树状图说明理由．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）画出树状图，然后找到落在谁手上的结果数多即可得．【解答】解：（1）甲第一次传球给乙的概率为；（2）根据题意画出树状图如下：可看出三次传球有8种等可能结果，篮球在乙、丙手中的可能性大．23．（8分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝4，BC＝2，求DE的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG＝tan∠ACB，＝，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠AOD＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，∴OD＝，过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG＝CG＝OD＝，∵DE∥AC，∴∠CEG＝∠ACB，∴tan∠CEG＝tan∠ACB，∴＝，即＝，解得：GE＝，∴DE＝DG+GE＝．24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，即可求解；（2）S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解；（3）分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax ﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×y P+×OC×|x P|﹣×CO×OD ＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；（3）存在，理由：△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况（△M1N1O）：设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝（舍去负值），则点N1（，）；N2的情况（△M2N2O）：同理可得：点N2（，）；②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（，）、（，）．综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．25．（12分）问题提出（1）如图①，已知△ABC，请在直线AB上方平面内画出使∠APB＝∠C的所有点P．问题探究（2）如图②，扇形AOB的半径OA＝12，的长为4π，四边形OEFG为其内接平行四边形，其中E在OB上，G在OA上，F在AB上，EF∥OG，OE∥FG，求▱OEFG 周长的最大值．问题解决（3）南岭国家植物园准备在十一国庆节前后举办花卉展，如图③是一块半圆形的展览用地，O为圆心，半圆的直径AB为200米，工作人员计划在半圆内划分出一个四边形ABCD，在四边形ABCD内部种植新培育的都金香，其中C，D两点在半圆上，且CD＝100米，AD、AB、BC，CD为四条观赏小道（不计宽度），半圆内其它部分为草地，为观赏方便，请问能否设计四条小道的总长（即AB+BC+CD+AD）最长且四边形ABCD的面积尽可能大？如果能，请计算四边形ABCD面积的最大值；如果不能，请说明理由．【分析】（1）作△ABC的外接圆解决问题即可．（2）如图②中，连接OF．以EF为边向上作等边△EFT，以OF为边向下作等边△OFG，连接EG．利用全等三角形的性质证明OT＝EG，求出EG的最大值即可解决问题．（3）能．如图③中，延长BC到E，使得CE＝AD，过点O作DF∥DE交⊙O于F，连接EF，OF，BF．证明△DAO≌△ECD（SAS），推出OD＝DE＝OF，∠AOD＝∠CDE，再证明四边形DEFO是菱形，推出EF＝OD＝100（米），证明△OFB是等边三角形，点F是定点，推出AD+BC＝CE+BC＝BE≤BF+EF≤200，当点C与点F重合时，“＝“号成立，此时CD∥AB，即四边形ABCD的周长最大，再证明面积最大时，CD∥AB即可解决问题．【解答】解：（1）如图①中，满足条件的点P在优弧AB上（不包括端点）．（2）如图②中，连接OF．以EF为边向上作等边△EFT，以OF为边向下作等边△OFG，连接EG．设∠AOB＝n．由题意，4π＝，解得n＝60°，∵EF∥OG，OE∥FG，∴四边形OEFG是平行四边形，∴∠OEF＝180°﹣∠AOB＝120°，∵∠EFT＝∠OFG＝60°，∴∠TFO＝∠EFG，∵FT＝FE，FO＝FG，∴△TFO≌△EFG（SAS），∴EG＝OT，∵EF＝ET，∴OE+OF＝OE+ET＝OT＝EG，∵∠OEF＝120°，∠OGF＝60°，∴∠OEF+∠OGF＝180°，∴O，E，F，G四点共圆，∴当弦EG是四边形OEFG的外接圆的直径时，EG的值最大，最大值＝24，∴OE+EF的最大值为24，∴平行四边形OEFG的周长的最大值为48．（3）能．理由：如图③中，延长BC到E，使得CE＝AD，过点O作DF∥DE交⊙O于F，连接EF，OF，BF．∵CD＝OD＝OC＝100米，∴△ODC是等边三角形，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∠A+∠DCB＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵AD＝CE，AO＝CD，∴△DAO≌△ECD（SAS），∴OD＝DE＝OF，∠AOD＝∠CDE，∵OF∥DE，∴四边形DEFO是平行四边形，∵OD＝DE，∴四边形DEFO是菱形，∴EF＝OD＝100（米），∵∠ODC＝60°，∠DOF+∠EDO＝180°∴∠CDE+∠DOF＝120°，∴∠AOD+∠DOF＝120°，∴∠FOB＝60°，∵OF＝OB，∴△OFB是等边三角形，点F是定点，∴AD+BC＝CE+BC＝BE≤BF+EF≤200，当点C与点F重合时，“＝“号成立，此时CD∥AB，即四边形ABCD的周长最大，过点D作DM⊥AB于M，过点G作GH⊥AB于H，过点C作CN⊥AB于N．∵S四边形ABCD＝S△AOD+S△COD+S△OBC＝•OA•（DM+CN）+×1002，∴当DM+CN的值最大时，四边形ABCD的面积最大，∵DM∥GH∥CN，DG＝GC，∴MH＝HN，∴GH＝（DM+CN），∴DM+CN＝2GH≤2OG＝100，当点H与O重合时，“＝”号成立，此时CD∥AB，∴当四边形ABCD的周长最大时，四边形ABCD的面积最大，最大面积＝3××1002＝7500（平方米）．。
2020西北工大附中中考数学七模试卷(解析版)
2020陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学七模试卷（文库独家）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）1．﹣的倒数等于（）A．B．﹣ C．﹣2 D．22．在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下面计算正确的是（）A．6b﹣5b=1 B．2m+3m2=5m3C．﹣（c﹣d）=﹣c+d D．2（a﹣b）=2a﹣b 4．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=29°，则∠BED的度数是（）A．18°B．29°C．58°D．38°5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，AB=4，则CD的长为（）A．2 B．6 C．4 D．37．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'位置，此时AC'的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AD=3，则△AEC的面积为（）A．12 B．4 C．3 D．68．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，0）9．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P．则tan∠APD的值是（）A．2 B．1 C．0.5 D．2.510．在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（1，0），C（0，﹣2），D（3，4），求过其中三个点的抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（，）二、填空题（共1小题，每小题3分，计12分）11．因式分解：a3﹣9ab2=．请从12,13两个小题中任选一个作答，若多选，则按第12题计分．12．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA=．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.3，BC=2.8，则∠A的度数约为（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．14．设A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线y=﹣图象上的点，若x1＞x2时y1＜y2，则点B（x2，y2）在第象限．15．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO+BO=5，延长AO到C，使OC=3，延长BO 到D，使OD=4，连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为．三、解答题（共11小题，计78分）16．计算：．17．解方程：．18．如图，已知矩形ABCD，分别在边AD，BC上找一点E和F，使四边形DEBF是菱形．19．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：（1）本次抽测的男生有人，抽测成绩的众数是；（2）请将条形图补充完整；（3）若规定引体向上6次以上（含6次）为体能达标，则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标？20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分别以直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，过点E，作EF⊥AB，垂足为F，连结DF．求证：AE=DF．21．某中学教学楼的后面靠近一座山坡，坡面下是一块草地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=160米，坡度i=：1，为防止山体滑坡，保障学生安全，学校决定不仅加固教学楼，还对山坡进行改造，当坡角不超过45°时可保证山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC进到E处，问BE至少是多少米？（结果保留根号）22．如图，某公司组织员工假期去旅游，租用了一辆耗油量为每百公里约为25L的大巴车，大巴车出发前油箱有油100L，大巴车的平均速度为80km/h，行驶若干小时后，由于害怕油箱中的油不够，在途中加了一次油，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：（1）汽车行驶h后加油，中途加油L；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式；（3）若当油箱中剩余油量为10L时，油量表报警，提示需要加油，大巴车不再继续行驶，则该车最远能跑多远？此时，大巴车从出发到现在已经跑了多长时间？23．如图是一个被平均分成6等份的转盘，每一个扇形中都标有相应的数字，甲乙两人分别转动转盘，设甲转动转盘后指针所指区域内的数字为x，乙转动转盘后指针所指区域内的数字为y（当指针在边界上时，重转一次，直到指向一个区域为止）．（1）直接写出甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率；（2）用树状图或列表法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率．24．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=∠BAC．（1）求证：AB=AC；（2）若sin∠BAC=，求tan∠PCB的值．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点在原点右侧，与y轴交于C点，点P是x轴下方的抛物线上的一动点．（1）求A、B、C三点坐标；（2）当点P运动到什么位置时，CP∥AB，且AC=BP，直接写出此时P点的坐标：P （，）（3）连接PO、PC，并把抛物线沿CO翻折，此时，可得到四边形POP'C，那么，是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．阅读理解如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：①②③；反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC．理解运用三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．（1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG延CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为F、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；（2）在（1）所得图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR，求证：AR ∥BC；综合实践（3）如图3，某个区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB=400米、BC=600米，∠ABC=45°；准备在△ABC内建设一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短的矩形？并求出对角线EG最短距离（不要求证明）．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）1．﹣的倒数等于（）A．B．﹣ C．﹣2 D．2【考点】倒数．【专题】常规题型．【分析】根据倒数定义可知，﹣的倒数是﹣2．【解答】解：﹣的倒数是﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．下面计算正确的是（）A．6b﹣5b=1 B．2m+3m2=5m3C．﹣（c﹣d）=﹣c+d D．2（a﹣b）=2a﹣b【考点】整式的加减．【分析】根据合并同类项得法则进行计算即可．【解答】解：A、6b﹣5b=b，故A错误；B、2m+3m2，不能合并，故B错误；C、﹣（c﹣d）=﹣c+d，故C正确；D、2（a﹣b）=2a﹣2b，故D错误；故选C．【点评】本题考查了整式的加减，掌握去括号与合并同类项是解题的关键．4．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=29°，则∠BED的度数是（）A．18°B．29°C．58°D．38°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠ABC=∠C=29°，再根据角平分线的定义得到∠ABC=∠EBC=29°，然后利用三角形外角性质计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C=29°，又∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠EBC=29°，∴∠BED=∠C+∠EBC=29°+29°=58°．故选C．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．也考查了三角形外角性质以及角平分线的定义．5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x≥2，故此不等式组得解集为：x≥2．在数轴上表示为：．故选A．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组得解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，AB=4，则CD的长为（）A．2 B．6 C．4 D．3【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接OC，如图所示：则∠BOC=2∠A=60°，∵AB⊥CD，AB=4，∴OE=OC=，∴CE=3，∴CD=2CE=6．故选B．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及三角函数；熟练掌握圆周角定理，由垂径定理求出CE是解决问题的关键．7．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'位置，此时AC'的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AD=3，则△AEC的面积为（）A．12 B．4 C．3 D．6【考点】旋转的性质；矩形的性质．【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD 中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，根据正切的概念求出CD，确定出EC 的长，即可求出三角形AEC面积．【解答】解：由旋转的性质可知：AC=AC'，∵D为AC'的中点，∴AD=AC，∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD=30°，∵AB∥CD，∴∠CAB=30°，∴∠C'AB'=∠CAB=30°，∴∠EAC=30°，∴AE=EC，∴DE=AE=CE，∴CE=2DE，CD=AD=3，∴EC=2，∴△AEC的面积=×EC×AD=3，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数，三角形面积计算等知识点，清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．8．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，0）【考点】垂径定理；坐标与图形性质．【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．【解答】解：如图所示，连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．∵点A的坐标为（﹣2，3），∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣3，0）．故选：D．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．9．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P．则tan∠APD的值是（）A．2 B．1 C．0.5 D．2.5【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；解直角三角形．【分析】直接利用平移的方法将∠APD平移到格点上，进而求出答案．【解答】解：连接AE，BE，由网格可得：AE∥DC，则∠EAB=∠APD，故tan∠APD=tan∠EAB===2．故选：A．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确转化角的位置上是解题关键．10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（1，0），C（0，﹣2），D（3，4），求过其中三个点的抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（，）【考点】二次函数的性质．【分析】如图，由图象可知，B、C、D共线，所以抛物线过A、B、D三点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有，求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可．【解答】解：如图，由图象可知，B、C、D共线，∴抛物线过A、B、D三点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3=（x﹣）2﹣，∴顶点坐标为（，﹣）．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、配方法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用配方法求顶点坐标，属于基础题．二、填空题（共1小题，每小题3分，计12分）11．因式分解：a3﹣9ab2=a（a﹣3b）（a+3b）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：a3﹣9ab2=a（a2﹣9b2）=a（a﹣3b）（a+3b）．故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．【点评】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．请从12,13两个小题中任选一个作答，若多选，则按第12题计分．12．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA=36°．【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD=CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，∴∠C=180°﹣72°=108°，∵CD=CB，∴∠CDB=36°，∵AF∥CD，∴∠DFA=∠CDB=36°．故答案为：36°．【点评】本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．13．（2016•碑林区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.3，BC=2.8，则∠A的度数约为27.8°（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．【考点】计算器—三角函数．【分析】根据题意画出直角三角形，再利用tanA==，结合计算器得出答案．【解答】解：如图所示：tanA==，则∠A≈27.8°．故答案为：27.8°．【点评】此题主要考查了计算器求三角函数值，正确应用计算器是解题关键．14．设A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线y=﹣图象上的点，若x1＞x2时y1＜y2，则点B（x2，y2）在第二象限．【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】由双曲线解析式中k=﹣1即可得出该双曲线在第二、四象限，且在每个单调区间内单调递减，再根据x1＞x2、y1＜y2即可得出x1＞0＞x2，由此即可得出点B在第二象限．【解答】解：∵双曲线y=﹣中k=﹣1，∴该双曲线在第二、四象限，且在每个单调区间内单调递减．∵x1＞x2，y1＜y2，∴x1＞0＞x2，∴点B（x2，y2）在第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握“当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大”是解题的关键．15．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO+BO=5，延长AO到C，使OC=3，延长BO 到D，使OD=4，连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为18．【考点】二次函数的最值．【分析】设AO=x，则BO=5﹣x，得到AC=x+3，BD=9﹣x，得到二次函数的解析式，于是得到结论．【解答】解：设AO=x，则BO=5﹣x，∵OC=3，OD=4，∴AC=x+3，BD=9﹣x，∴S四边形ABCD=AC•BD=（x+3）（9﹣x）=﹣x2+3x+=﹣（x﹣3）2+18，∴当x=3时，四边形ABCD的面积有最大值为18，即四边形ABCD面积的最大值为18，故答案为：18．【点评】本题考查了二次函数的最值，四边形的面积的计算，能根据题意列出函数关系式是解题的关键．三、解答题（共11小题，计78分）16．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的化简、特殊三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可．【解答】解：原式=3﹣6×+2﹣1=1．【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握有关运算的相关法则．17．解方程：．【考点】解分式方程．【分析】直接找出最简公分母，进而去分母求出答案．【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2）得：（x+2）2﹣x（x﹣2）=16，整理得：x=2，检验：当x=2时，（x+2）（x﹣2）=0，故此方程无解．【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤是解题关键．18．如图，已知矩形ABCD，分别在边AD，BC上找一点E和F，使四边形DEBF是菱形．【考点】矩形的性质；菱形的判定．【分析】如图，连接AC、BD交于点O，过点O作BD的垂线交AD于E，交BC于F．则四边形DEBF是菱形，根据邻边相等四边形是菱形即可证明．【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O，过点O作BD的垂线交AD于E，交BC于F．则四边形DEBF是菱形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，AD∥BC，∴∠EDB=∠FBO．在△EDO和△FBO中，，∴△EDO≌△FBO，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵OB=OD，EO⊥BD，∴EB=ED，∴四边形DEBF是菱形．【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，菱形的判定，属于中考常考题型．19．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：（1）本次抽测的男生有25人，抽测成绩的众数是6次；（2）请将条形图补充完整；（3）若规定引体向上6次以上（含6次）为体能达标，则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用7次的人数除以7次所占的百分比即可求得总人数，然后求得6次的人数即可确定众数；（2）补齐6次小组的小长方形即可．（2）用总人数乘以达标率即可．【解答】解：（1）观察统计图知达到7次的有7人，占28%，∴7÷28%=25人，达到6次的有25﹣2﹣5﹣7﹣3=8人，故众数为6次；…（4分）（2）（3）（人）．答：该校125名九年级男生约有90人体能达标．…【点评】本题考查了条形统计图的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分别以直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，过点E，作EF⊥AB，垂足为F，连结DF．求证：AE=DF．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】求出∠ABC=60°，根据等边三角形的性质得出等边三角形，∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°，AB=AE，AC=AD，根据AAS推出Rt△ABC≌Rt△AEF，根据全等得出EF=AC=AD，求出∠DAB=∠AFE，推出AD∥EF，得到四边形ADFE是平行四边形，进而得到结论．【解答】证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∵△ACD、△ABE是等边三角形，∴∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°，AB=AE，AC=AD，∵EF⊥AB，即∠AFE=90°，∴△AEF是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△AEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△AEF（AAS），∴EF=AC=AD，∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°，∴∠DAB=∠AFE，∴AD∥EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE=DF．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．21．某中学教学楼的后面靠近一座山坡，坡面下是一块草地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=160米，坡度i=：1，为防止山体滑坡，保障学生安全，学校决定不仅加固教学楼，还对山坡进行改造，当坡角不超过45°时可保证山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC进到E处，问BE至少是多少米？（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】首先过点E作EF⊥AD于F，过点B作BH⊥AD于H，由BC∥AD，可得四边形EFHB是矩形，即可得BE=FH，EF=BH，然后分别在Rt△ABH中与Rt△AEF中，利用三角函数的知识求得AH，AF，EF的长，继而求得答案．【解答】解：过点E作EF⊥AD于F，过点B作BH⊥AD于H，∵BC∥AD，∴四边形EFHB是矩形，∴EF=BH，BE=FH，∵斜坡AB=40米，坡度i=：1，∴tan∠BAH=，∴∠BAH=60°，在Rt△ABH中，BH=AB•sin∠BAH=40×=20（米），AH=AB•cos∠BAH=40×=20（米），∴BH=20米，∴EF=20米，∵∠EAF=45°，∴在Rt△AEF中，AF===20（米），∴BE=FH=AF﹣AH=20﹣20（米）．∴BE至少是（20﹣20）米．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意能借助于坡度坡角的定义构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．22．如图，某公司组织员工假期去旅游，租用了一辆耗油量为每百公里约为25L的大巴车，大巴车出发前油箱有油100L，大巴车的平均速度为80km/h，行驶若干小时后，由于害怕油箱中的油不够，在途中加了一次油，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：（1）汽车行驶2h后加油，中途加油190L；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式；（3）若当油箱中剩余油量为10L时，油量表报警，提示需要加油，大巴车不再继续行驶，则该车最远能跑多远？此时，大巴车从出发到现在已经跑了多长时间？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由图象可以直接看出汽车行驶两小时后加油，汽车2小时耗油25×=40，由此可知加油量为：250﹣（100﹣40）=190；（2）根据每百公里耗油量约为25L，可知每公里耗油0.25L，根据余油量=出发前油箱油量﹣耗油量列出函数表达式即可；（3）由于速度相同，因此每小时耗油量也是相同的，可知k不变，设加油后的函数为y=﹣20x+b，代入（2，250）求出b的值，然后计算余油量为10时的行驶时间，计算行驶路程即可．（1）由图象可以直接看出汽车行驶两小时后加油，汽车2小时耗油25×【解答】解：=40，由此可知加油量为：250﹣（100﹣40）=190；故答案为：2，190；（2）y=100﹣80×0.25▪x=﹣20x+100；（3）由于速度相同，因此每小时耗油量也是相同的，设此时油箱剩余油量y与行驶时间x的解析式为y=kx+b把k=﹣20代入，得到y=﹣20x+b，再把（2，250）代入，得b=290，所以y=﹣20x+290，当y=10时，x=14，所以14×80=1120，因此该车从出发到现在已经跑了1120km，用时14h．【点评】此题主要考查了一函数应用以及待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知图象获取正确信息是解题关键．23．如图是一个被平均分成6等份的转盘，每一个扇形中都标有相应的数字，甲乙两人分别转动转盘，设甲转动转盘后指针所指区域内的数字为x，乙转动转盘后指针所指区域内的数字为y（当指针在边界上时，重转一次，直到指向一个区域为止）．（1）直接写出甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率；（2）用树状图或列表法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据古典概率的知识，利用概率公式即可求得答案；（2）根据题意列出表格，然后根据表格即可求得所有等可能的结果与点（x ，y ）落在第二象限内的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵一共有6种等可能的结果，甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的有：﹣1，﹣2共2种情况，∴甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率为： =；甲 乙 ﹣1 ﹣2 0 2 3 4﹣1 （﹣1，﹣1） （﹣2，﹣1）（0，﹣1） （2，﹣1） （3，﹣1） （4，﹣1） ﹣2 （﹣1，﹣2） （﹣2，﹣2）（0，﹣2） （2，﹣2） （3，﹣2） （4，﹣2） 0 （﹣1，0） （﹣2，0） （0，0） （2，0） （3，0） （4，0） 2 （﹣1，2） （﹣2，2） （0，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （﹣1，3） （﹣2，3） （0，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4（﹣1，4） （﹣2，4）（0，4）（2，4）（3，4）（4，4）（2）根据题意，列表得：∴点（x ，y ）的坐标一共有36种等可能的结果，且每种结果发生的可能性相等，其中点（x ，y ）落在第二象限的结果共有6种， ∴点（x ，y ）落在第二象限内的概率为：=．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 交BC 于D ，过C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于P，∠PCB=∠BAC．（1）求证：AB=AC；（2）若sin∠BAC=，求tan∠PCB的值．【考点】切线的性质．【分析】（1）连接AD，由切线的性质及圆周角定理可证明∠CAD=∠BAD，可证明∠ABC=∠ACB，可证明AB=AC；（2）过B作BE⊥AC于点E，可得∠PCB=∠CBE，在Rt△ABE和△BCE中可求得tan∠PCB．【解答】（1）证明：如图1，连接AD，∵AC为直径，PC为⊙O的切线，∴∠PCA=∠CDA=90°，∴∠PCB+∠DCA=∠DCA+∠DAC，∴∠PCB=∠DAC，又∵∠PCB=∠BAC，∴∠BAD=∠PCB，∴∠DAC=∠DAB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（2）解：如图2，过B作BE⊥AC于点E，∵sin∠BAC=，∴可设BE=3x，则AB=5x，在Rt△ABE中，由勾股定理可求得AE=4x，又∵AC=AB=5x，∴CE=AC﹣AE=5x﹣4x=x，∴tan∠CBE==，又∵PC⊥AC，∴BE∥PC，∴∠CBE=∠PCB，∴tan∠PCB=．【点评】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的判定和三角函数的定义，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，在（2）中注意三角函数的定义．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点在原点右侧，与y轴交于C点，点P是x轴下方的抛物线上的一动点．（1）求A、B、C三点坐标；（2）当点P运动到什么位置时，CP∥AB，且AC=BP，直接写出此时P点的坐标：P（2，﹣3）（3）连接PO、PC，并把抛物线沿CO翻折，此时，可得到四边形POP'C，那么，是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点在原点右侧，与y轴交于C点，从而可以求得A、B、C三点坐标；（2）根据二次函数的图象具有对称性，由点C的坐标和对称轴即可得到点P的坐标；（3）根据菱形的性质和二次函数图象上点的特征，翻折的性质即可求得使四边形POP'C 为菱形的点P的坐标．【解答】解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3，∴当y=0时，0=x2﹣2x﹣3，得x1=﹣1，x2=3，当x=0时，y=﹣3，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3）；（2）∵CP∥AB，且AC=BP，点C（0，﹣3），y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴点P的坐标为（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）；（3）存在点P，使四边形POP'C为菱形，∵四边形POP'C为菱形，∴PP′⊥OC，且PP′平分OC，∵点O（0，0），点C（0，﹣3），∴点P的纵坐标为y=﹣1.5，将y=﹣1.5代入y=x2﹣2x﹣3，得﹣1.5=x2﹣2x﹣3，解得，x1=，x2=，即点P的坐标为（）或（）．【点评】本题考查二次函数综合题、菱形的性质、翻折的性质，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合和二次函数以及翻折的性质解答．26．阅读理解如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：①②③；反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC．理解运用三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．（1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG延CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为F、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；（2）在（1）所得图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR，求证：AR ∥BC；综合实践（3）如图3，某个区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB=400米、BC=600米，∠ABC=45°；准备在△ABC内建设一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短的矩形？并求出对角线EG最短距离（不要求证明）．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据条件画出矩形PBQH即可．（2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．由PH∥BC，推出=，由DG∥BC，推出=，由PH=DG，推出=，推出AR∥HG，由HG∥BC，即可证明AR∥BC．（3）如图2中，作AR∥BC，BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB 于P交AB于D交AC于G．作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F．则四边形DEFG 是矩形，此时矩形的对角线最短．由（2）可知BH=EG，求出BH即可解决问题．【解答】解：（1）矩形PBQH如图1所示．（2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．∵PH∥BC，∴=，∵DG∥BC，∴=，∵PH=DG，∴=，∴AR∥HG，∵HG∥BC，∴AR∥BC．（3）如图2中，作AR∥BC，BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB 于P交AB于D交AC于G．作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F．则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短．（BH是垂线段，垂线段最短，易证EG=BH，故此时矩形的对角线EG最短）．在Rt△RBC中，∵BC=600，BR=200，∴CR===200，∴BH===．由（2）可知EG=BH=．【点评】本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用（2）中的添加辅助线的方法解决问题（3），灵活应用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．。
2020届西安市碑林区西北工大附中中考数学八模试卷(含解析)
2020届西安市碑林区西北工大附中中考数学八模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在数轴上标注了4个区间，则表示√2的点落在区间()A. ①B. ②C. ③D. ④2.用完全相同的小立方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是()A.B.C.D.3.下列运算正确的是()A. x8÷x4=x2B. (x−1)2=x2−1C. −2(a−5)=−2a−10D. (−x−3)(−x+3)=x2−94.如图，已知a//b，∠1=115°，则∠2的度数是()A. 45°B. 55°C. 65°D. 85°5.正比例函数y=(n+1)x图象经过点(2,4)，则n的值是()C. 3D. 1A. −3B. −126.一个正方形的边长为3，则它的对角线长为()A. 3B. 3√2C. √6D. 2√6x+1平移2个单位，使它经过点(−2,0)，则平移的方向是() 7.将直角坐标系中的直线y=−12A. 左B. 右C. 上D. 下8.折叠一张长为5，宽为3的矩形纸片，折痕长不可能是()A. 3B. 4C. 5D. 69.图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a，矩形面积为b.若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？()A. 4a+2bB. 4a+4bC. 8a+6bD. 8a+12b10.如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在线段AB上移动，若A、B的坐标分别为(−2,3)，(1,3)，点M的横坐标的最小值为−5，则点N的横坐标的最大值为()A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.不等式2x+2>6的解集是______．12.一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于______cm2．13.已知点A(1,y1)，B(2,y2)，都在反比例函数y=−k2−1的图象上，则y1，y2的大小关系是______．x14.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=√2，则AC=______．三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）15.证明：一个正整数是至少两个连续正整数的和，必须而且只须它不是2的乘幂．16.计算：(1)cab −abc；(2)1x−3−13+x；(3)aa2−1+3a+1a2−1+2a+31−a2；(4)(1a +1b)2÷(ab−ba)；(5)m−1+2m−6m2−9÷2m+2m+3；(6)(2m −1n)÷(m2+n2n−5n)⋅(m2n+2nm+2)．17.如图，直线AB⊥CD，垂足为P，测得∠ACP=45°，AC=6cm．(1)用尺规在图中作一条劣弧，使得它在A、C两点分别与直线AB和CD相切；(2)求该圆弧的长．18.综合与实践问题背景：如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且CE=DF，BC=3．观察与发现：(1)试猜想线段CF与BE有何位置关系，并证明你的结论．操作与探究：(2)如图2，当∠CBE=30时，将△BCE绕点B逆时针旋转15°得到△BC′E′.BE′与FC交于点O，求点O到BC边的距离．(3)如图3，在图2的基础上，将△BC′E′继续旋转得到△BC″E″，使得BC″落在BE上．求证：点E″在AD边上．19.某班全体同学在“献爱心”活动中都捐了图书，捐书的情况如下表：每人捐书的册数/册5101520相应的捐书人数/人172242根据题目中所给的条件回答下列问题：(1)该班的学生共多少名？(2)全班一共捐了多少册书？(3)若该班所捐图书拟按图所示比例分，则给山区学校的书比送给本市兄弟学校的书多多少册？20.芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1米，√3≈1.732)(元/ 21.某商店将甲、乙两种糖果混合运算，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价=a1m1+a2m2m1+m2千克)，其中m1，m2分别为甲、乙两种糖果的重量(千克)，a1，a2分别为甲、乙两种糖果的单价(元/千克).已知a1=20元/千克，a2=16元/千克，现将10千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合(搅拌均匀)销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入5千克乙种糖果，再出售时混合糖果的单价为17.5元/千克，问这箱甲种糖果有多少千克？22.在一个不透明的袋子中装有(除颜色外)完全相同的红色小球1个，白色小球1个和黄色小球2个(列表法或者树状图求概率)(1)从中先摸出一个小球，记录下它的颜色后，将它放回袋中搅匀，再摸出一个小球，记录下颜色，求摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是多少？(2)如果摸出第一个小球之后不放回袋中，再摸出第二个小球，这时摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是多少？23.已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=78º，点C是⊙O上的异于A、B的任意一点，求∠ACB的度数.(要求学生自己作图并解答)24.如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．(1)若抛物线y=14x2是由抛物线y=14(x+2)2−1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0,−1)，过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1,5)，求QP+PF的最小值．25.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=10，AC=BD=8.求△ABC的面积．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵1.42<2<1.52，∴1.4<√2<1.5，故选：D．依据被开方数越大，对应的算术平方根越大，可估算出√2的大致范围．本题主要考查的是估算无理数的大小与数轴，掌握算术平方根的性质是解题的关键．2.答案：D解析：解：从左面看有两层，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，左齐．故选：D．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的正面看得到的视图．3.答案：D解析：解：A、原式=x4，不符合题意；B、原式=x2−2x+1，不符合题意；C、原式=−2a+10，不符合题意；D、原式=x2−9，符合题意．故选：D．各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．4.答案：C解析：解：如图，∵a//b，∠1=115°，∴∠3=180°−∠1=180°−115°=65°，∴∠3=∠2=65°．故选C．根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据对顶角相等解答．本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5.答案：D解析：解：∵正比例函数y=(n+1)x图象经过点(2,4)，∴4=2(n+1)，∴n=1．故选：D．本题可直接将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．此类题目可直接将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．6.答案：B解析：解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠A=90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵正方形的边长为3，∴它的对角线的长为：BD=√AD2+BD2=3√2．故选B．首先根据题意画出图形，由正方形的边长为3，可得△ABD是等腰直角三角形，且AD=AB=3，继而求得对角线BD的长．此题考查了正方形的性质、勾股定理的运用以及等腰直角三角形性质，熟记正方形的各种性质是解题关键．7.答案：D解析：解：设平移后的解析式为：y=−12x+b，把(−2,0)代入可得：0=−12×(−2)+b，解得：b=−1，所以将直角坐标系中的直线y=−12x+1向下平移2个单位解析式为：y=−12x−1，故选：D．。
2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学八模试卷 (含答案解析)
2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学八模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列实数中，为有理数的是()A. √3B. πC. √23D. 12.如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图()A.B.C.D.3.下列各运算中，计算正确的是()A. a2⋅2a2=2a4B. x8÷x2=x4C. (x−y)2=x2−xy+y2D. (−3x2)3=−9x64.如图，DF是∠BDC的平分线，AB//CD，∠ABD=118°，则∠1的度数为()A. 31°B. 26°C. 36°D. 40°5.一个正比例函数的图象经过(1,−3)，则它的表达式为()A. y=−3xB. y=3xC. y=−3x D. y=−x36.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边DC上，且DE=1，BE与AD的延长线交于点F，则DF的长度为()A. 1B. 34C. 43D. 237.在平面直角坐标系中，把直线y=−2x+3沿y轴向上平移2个单位长度后，得到的直线的函数关系式为()A. y=−2x+1B. y=−2x−5C. y=−2x+5D. y=−2x+78.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BD=3，则tan∠BAC的值为()A. √52B. √53C. 2√55D. 3√559.如图，将边长为2的等边三角形ABC绕点C旋转120°，得到△DCE，连接BD，则BD的长为()A. 2B. 2.5C. 3D. 2√310.在平面直角坐标系中，某二次函数图象的顶点为(−2,1)，此函数图象与x轴交于P、Q两点，且PQ=6.若此函致图象经过(−3,a)，(−1,b)，(3,c)，(1,d)四点，则实数a，b，c，d中为负数的是()A. aB. bC. cD. d二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）x+1>3的解集是______．11.不等式−12=________12.如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则APAB(k>0)上的动点A作AB⊥x轴于点B，P是直线AB上的点，且满足AP=2AB，13.过双曲线y=kx过点P作x轴的平行线交此双曲线于点C.如果△APC的面积为8，则k的值是______．14.如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=3，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线M折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为______．三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）15.计算：(12)−1−|−√3|+√12+(1−π)016.计算aa+1÷(a−1−2a−1a+1)17.(1)四边形ABCD为矩形，△BCE中，BE=CE，请用无刻度的直尺作出△BCE的高EH；(2)四边形ABCD为矩形，E，F为AD上的两点，且∠ABE=∠DCF，请用无刻度的直尺找到BC的中点P．18.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且CE=CF，连接AE，AF，EF.求证：∠BAF=∠DAE．19.学校为了了解该校学生对“军运会”的熟悉程度，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为A，B，C三类，A表示“非常熟悉”，B表示“比较熟悉”，C 表示“不熟悉”，得到如下统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次随机调查的人数是______人；(2)扇形图中C类所对应的圆心角的度数为______度；(3)若该校共有1500人，请你估计该校B类学生的人数．20.如图，一个数学兴趣小组在活动课上测得学校旗杆的高度，已知小明站着测量，眼睛与地面的距离(AB)是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为32°小红蹲着测量，眼睛与地面的距离(CD)是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°.两人相距5米且位于旗杆同侧(点B、D、F在同一直线上).求旗杆EF的高度．(结果精确度0.1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)21.某超市用2000元第一次购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨6000元资金第二次购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量比第一次多300千克，超市二次均按每千克15元的价格全部售出．(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？(2)超市二次销售这种干果一共盈利多少元？22.有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．(1)从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为______．(2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率．23.在△ABC中，∠C=90°，0为AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作⊙O交AB于另一点D，OD=DB．(1)如图1，若⊙O与BC相切于E点，连接AE，求证：AC=√3CE；(2)如图2，若⊙O与BC相交于E，F两点，且F为AE⏜的中点，连接AF，求tan∠CAF的值．24.19.如图所示，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=√3，CB=2√3，∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它的顶点坐标。
2020年碑林区西北工大附中中考数学二模试卷(含答案解析)
2020年碑林区西北工大附中中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各数是无理数的是()C. 0.010010001D. πA. −2B. 2272.如图是五个相同的正方体组成的一个几何体，它的左视图是()．A.B.C.D.3.下列计算正确的是()A. b3⋅b3=2b3B. (a+2)(a−2)=a2−4C. (ab2)3=ab6D. (8a−7b)−(4a−5b)=4a−12b4.如图，已知AB//CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C的度数是()A. 100°B. 110°C. 120°D. 150°5.如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2,m)，B(n,3)，那么一定有()A. m>0，n>0B. m>0，n<0C. m<0，n>0D. m<0，n<06.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是()A. 18°B. 24°C. 30°D. 36°7.在平面直角坐标系中，把直线y=x向上平移一个单位长度后，得到的直线解析式为()．A. y=xB. y=x−1C. y=x+1D. x=y+18.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若AH=DH，则∠DHO的度数是()A. 25°B. 22.5°C. 30°D. 15°9.如图，点A，B，C，D四个点均在⊙O上，AO//DC，∠AOD=20°，则∠B为()A. 40°B. 60°C. 80°D. 70°10.抛物线y=x2−2x+3向左平移4个单位长度后的顶点坐标是()A. (2,3)B. (3,−2)C. (−3,2)D. (4,2)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.分解因式：2x2−8y2=______．12.圆内接正六边形的边心距为2√3cm，则这个正六边形的面积为______cm2．(>0)与过点M(−2,0)的直线l：y=13.如图所示，反比例函数y=3kxkx+b的图象交于A，B两点，若△ABO的面积为16，则直线l3的解析式为______．14.如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC.若sin∠BAC=13，则tan∠BOC=____．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）15.化简：a−2a2−1÷(a−1−2a−1a+1)四、解答题（本大题共10小题，共80.0分）16.计算：3tan30°−|1−√3|+(12)−217.已知：线段a，b，求作：△ABC，使∠C=90°，AC=a，AB=b.(不写作法，保留作图痕迹)18.如图，点B，F，C，E在同一直线上，∠A=∠D，BF=CE，AB//DE，求证：AC=DF．19.某市正在开展“太极拳进校园”活动，为了解学生太极拳的练习情况，随机抽取了部分学校学生进行问卷调查，将调查结果按照“A每周练习6次或7次，B每周练习4次或5次，C每周练习2次或3次，D每周练习0次或1次”四类分别进行统计，并绘制了下列两幅尚不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：(1)此次共调查了___________名学生；(2)在扇形统计图中，扇形D的圆心角度数为__________；(3)请将条形统计图补充完整；(4)若该市约有30万名学生，请你估计每周练习太极拳不少于4次的学生的人数．20.如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？(结果保留根号)21.求下列函数的自变量的取值范围．(1)y=2x+1.(2)y=1．x−1(3)y=√x−5.(4)y=−1．x222.将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．(1)搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是;(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重复无缝隙拼接)23.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF//BC．(1)判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=6，AE=12√35，CE=4√75，求BD的长．24.已知直线y=kx+m(k<0)与y轴交于点M，且过抛物线y=x2+bx+c的顶点P和抛物线上的另一点Q．(1)若点P(2,−2)①求抛物线解析式；②若QM=QO，求直线解析式．(2)若−4<b≤0，c=b2−44，过点Q作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点E，当PE=2EQ 时，求△OMQ的面积S的最大值．25.已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN．(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；(2)在(1)的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系______；(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的选项即可．解：根据无理数的三种形式可知：π为无理数，故选D．2.答案：D解析：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．解：从左面看易得第一列有1个正方形，第二列有2个正方形．故选D．3.答案：B解析：解：A、原式=b6，不符合题意；B、原式=a2−4，符合题意；C、原式=a3b6，不符合题意；D、原式=8a−7b−4a+5b=4a−2b，不符合题意，故选：B．各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4.答案：C解析：本题考查了平行线的性质，平角的定义以及角平分线的定义以及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠CDB=∠ABD，再根据平角的定义求出∠CDB的度数，再根据三角形内角和求出∠C的度数即可．解：∵AB//CD，∴∠CDB=∠ABD，∵∠CDB=180°−∠CDE=180°−150°=30°，∴∠ABD=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠C=180°−∠CBD−∠CDB=180°−30°−30°=120°．故选C．5.答案：D解析：解：A、m>0，n>0，A(2,m)，B(n,3)都在第一象限，A、B两点在同一象限，故A错误；B、m>0，n<0，A(2,m)在第一象限，B(n,3)在第二象限，A、B两点不可能在同一个正比例函数的图象上，故B错误；C、m<0，n>0，A(2,m)在第四象限，B(n,3)在第一象限，A、B两点不可能在同一个正比例函数的图象上，故C错误；D、m<0，n<0，A(2,m)在第四象限，B(n,3)在第二象限，A、B两点可能在同一个正比例函数的不同象限，故D正确．故选：D．根据m、n的正负可判断出正比例函数图象所在象限，符合题意即可．此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x的增大而减小．6.答案：A解析：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°−72°=18°．故选：A．7.答案：C解析：本题考查一次函数图象的平移，掌握平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式．解：根据平移法则上加下减可知：把直线y=x向上平移一个单位长度时“b”加1；因此平移后所得的解析式为：y=x+1．故选C．8.答案：B解析：解：∵AH=DH，DH⊥AB，∴∠DAH=∠ADH=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAO=1∠DAB=22.5°，AC⊥BD，2∴∠AOD=90°，∠ADO=67.5°，∴∠HDO=∠ADO−∠ADH=22.5°，∵∠DHB=90°，DO=OB，∴OH=OD，∴∠DHO=∠HDO=22.5°故选：B．求出∠HDO，再证明∠DHO=∠HDO即可解决问题；本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．关键是判断OH为直角三角形斜边上的中线．9.答案：C解析：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接OC，如图，利用平行线的性质得∠ODC=∠AOD=20°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOC=160°，然后根据圆周角定理可计算出∠B的度数．解：连接OC，如图，∵AO//DC，∴∠ODC=∠AOD=20°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=20°，∴∠DOC=180°−20°−20°=140°，∴∠AOC=20°+140°=160°，∴∠B=1∠AOC=80°．2故选：C．10.答案：C解析：解：抛物线y=x2−2x+3=(x−1)2+2，顶点坐标是(1,2)，将其向左平移4个单位，得到的点是(−3,2)．故选：C．先将抛物线y=x2−2x+3化为顶点式，找出顶点坐标，利用平移的特点即可求出新的抛物线顶点坐标．考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．解决本题的关键是得到所求抛物线顶点坐标，利用平移的规律解答．11.答案：2(x+2y)(x−2y)解析：考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法(平方差公式).要求灵活运用各种方法进行因式分解．观察原式2x2−8y2，找到公因式2，提出公因式后发现x2−4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得．解：2x2−8y2=2(x2−4y2)=2(x+2y)(x−2y)．故答案为：2(x+2y)(x−2y)．12.答案：24√3解析：解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG=2√3，∠AOG=30°，∵OG=OA⋅cos30°，∴OA=OGcos30∘=√3√32=4cm，∴这个正六边形的面积为6×12×4×2√3=24√3cm2．故答案为：24√3．根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．13.答案：y =43x +83解析：解：把M(−2,0)代入y =kx +b ，可得b =2k ，∴y =kx +2k ，由{y =3k x y =kx +2k消去y 得到x 2+2x −3=0， 解得x =−3或1，∴B(−3,−k)，A(1,3k)，∵△ABO 的面积为163，∴12⋅2⋅3k +12⋅2⋅k =163，解得k =43，∴直线l 的解析式为y =43x +83．故答案为：y =43x +83．解方程组 {y =3k x y =kx +2k，即可得出B(−3,−k)，A(1,3k)，再根据△ABO 的面积为163，即可得到k =43，进而得出直线l 的解析式为y =43x +83．本题考查一次函数与反比例函数图象的交点、待定系数法、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14.答案：√22解析：本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据切线的性质得到AB ⊥BC ，设BC =x ，AC =3x ，根据勾股定理得到AB =2−BC 2=√(3x)2−x 2=2√2x ，于是得到结论．解：∵AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，∴AB ⊥BC ，∴∠ABC=90°，∵sin∠BAC=BCAC =13，∴设BC=x，AC=3x，∴AB=√AC2−BC2=√(3x)2−x2=2√2x，∴OB=12AB=√2x，∴tan∠BOC=BCOB =√2x=√22，故答案为：√22．15.答案：解：原式=a−2(a+1)(a−1)÷(a2−1a+1−2a−1a+1)=a−2(a+1)(a−1)÷a(a−2)a+1 =a−2(a+1)(a−1)⋅a+1a(a−2)=1a(a−1)．解析：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．16.答案：解：原式=3×√33−(√3−1)+4=√3−√3+1+4=5．解析：直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.答案：解：如图所示：△ABC即为所求．解析：先作一个直角∠ACB=90°，再作AC=a，以A为圆心AB=b为半径画弧，连接AB即可．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18.答案：证明：∵BF =CE ，∴BF +FC =FC +CE ，∴BC =EF ．∵AB//DE ，∴∠B =∠E ．在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠E∠A =∠D BC =EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AC =DF ．解析：由BF =CE 得到BC =EF ，由平行线的性质得出∠B =∠E ，然后根据“AAS ”判断△ABC≌△DEF ，即可得出结论．本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19.答案：解：(1)160;(2)36∘;(3)详见解析；(4)22.5万人解析： 本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用以及用样本估计总体的知识，熟知条形统计图和扇形统计图的相关知识是解题的关键．(1)用条形统计图中A 的人数除以扇形统计图中A 所占的百分比即得调查的总人数；(2)先求出C 在扇形统计图中所占的百分比，进而求出D 在扇形统计图中所占的百分比，再乘以360°即得答案；(3)分别求出B 、D 的人数即可将条形统计图补充完整；(4)估计每周练习太极拳不少于4次的学生的人数就是估计A 与B 的总人数，只要用扇形统计图中A 与B 所占百分比的和乘以30万即可．【详解】解：(1)48÷30%=160，故答案为160．(2)24÷160=15%，1−30%−45%−15%=10%，360°×10%=36∘，故答案为36∘．(3)B的人数为：160×45%=72人，D的人数为：160×10%=16人．补全的条形统计图如下图所示．(4)30×(30%+45%)=22.5(万人)．答：该市30万名学生中，每周练习太极拳不少于4次的学生约有22.5万人．20.答案：解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴AD=CE，设BE=x米，在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAE =√33，=√3x，则AE=BEtan∠BAE∵∠EAC=45°，∴EC=AE=√3x，由题意得，BE+CE=120，即√3x+x=120，解得，x=60(√3−1)，∴AD=CE=√3x=180−60√3(米)，∴DC=180−60√3(米)，答：两座建筑物的地面距离DC为(180−60√3)米．解析：作AE⊥BC于E，设BE=x，利用正切的定义用x表示出BE，EC，结合题意列方程求出x，计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21.答案：解：(1)y=2x+1，x是全体实数；(2)y=1，分母不等于零，得x≠1；x−1(3)y=√x−5，被开方数是非负数，得x−5≥0，解得x≥5；(4)y=−1分母不能等于零，得x≠0．x2解析：本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式含有算数平方根时，被开方数为非负数．(1)由于函数表达式是整式，所以自变量可取全体实数；(2)根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x−1≠0，解之可得自变量x的取值范围；(3)根据算数平方根中被开方数是非负数；分析原函数式可得关系式x−5≥0，解之可得自变量x的取值范围；(4)根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x2≠0，解之可得自变量x的取值范围．22.答案：解：(1)23(2)列表如下：由表格，得共有6种等可能的结果，其中拼成的图形是轴对称图形的结果有2种，所以P(拼成的图形是轴对称图形)=26=13．解析：本题主要考查了轴对称图形、中心对称图形、概率公式、列表法与树状图法等知识点；(1)搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有两种，即可得出答案；(2)列表法得出有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的结果有2种，即可得出答案．解：(1)因为正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，所以在这三种图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有两种，所以P(既是轴对称图形又是中心对称图形)=23．故答案为：23；(2)见答案．23.答案：解：(1)DF与⊙O相切，理由：连接OD，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD=∠CAD，∴BD⏜=CD⏜，∴OD⊥BC，∵DF//BC，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；(2)∵∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠C，∴△ABD∽△AEC，∴ABAE =BDCE，∴12√35=4√75，∴BD=2√217．解析：本题主要考查了相似三角形的性质和判定、切线的判定、角平分线的定义、垂径定理的知识点，证得∠BAD=∠DAC是解题的关键．(1)连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，求得BD⏜=CD⏜，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，于是得到DF与⊙O相切；(2)根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．24.答案：解：(1)①∵P(2,−2)，∴y=(x−2)2−2，∴抛物线的解析式为y=x2−4x+2．②令x=0，y=m，∴M(0,m)，∵直线经过点P(2,−2)，∴2k+m=−2，∴k=−1−m2，令kx+m=x2−4x+2，解得x1=2，x2=1−m2，∴Q(1−m2,14m2+m−1)，∵QM=QO，∴√(1−m2)2+(14m2−1)2=√(1−m2)2+(14m2+m−1)2解得m 1=−1+√5，m 2=−1−√5，∵k <0，∴m =−1+√5，∴k =−12−√52， ∴直线的解析式为y =−1+√52x +√5−1．(2)设直线PQ 的解析式为y =−2x +b′，顶点P(−b 2,−1)，代入上式得到：−1=b +b′，∴b′=−1−b ，∴直线PQ 为y =−2x −1−b ，∴点M 的坐标为(0,−1−b)，由{y =−2x −1−b y =x 2+bx +b 2−44 解得{x =−2−b 2y =3或{x =−b 2y =−1∴Q(−2−b 2,3)， ∵−4<b ≤0，①−1≤b ≤0时，∴S △OQM =12(2+b 2)⋅(1+b)=14(b +52)2−916，∴当x =0时，△QOM 的面积最大，最大值为1．②−4<b <−1时，S △QOM =12(2+b 2)⋅(−1−b)=−14(b +52)+916，∵−14<0，∴当b =−52时，△QOM 的面积最大，最大值为916，综上所述，△QOM 的面积最大值为1．解析：(1)①已知抛物线的顶点坐标和a 的值，直接可以写出抛物线的顶点式，解析式可求． ②令x =0，可得到点M 的坐标，直线经过点P ，代入可以用含m 的式子表示k ，联立抛物线和直线的解析式，求出点Q的坐标，用两点间距离公式表示QM和OQ，求出m的值，直线解析式可解．(2)由题意可以假设直线PQ的解析式，利用方程组求出点Q的坐标，分两种情况讨论，构建二次函数，根据二次函数的性质即可解决问题．此题考查了二次函数的性质，两点间距离公式，利用二次函数的性质求最值为解题关键．25.答案：(1)如图1，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，∠PBM=∠PCN=90°，{PM=PNPB=PC，∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)，∴BM=CN；(2)AM+AN=2AC;(3)如图2，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，∠PBM=∠PCN=90°，{PM=PNPB=PC，∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)，∴BM=CN，∴S△PBM=S△PCN∵AC：PC=2：1，PC=4，∴AC=8，∴由(2)可得，AB=AC=8，PB=PC=4，∴S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM=S△APN+S△APB+S△PCN=S△APC+S△APB=12AC⋅PC+12AB⋅PB=12×8×4+12×8×4=32．解析：解：(1)见答案；(2)AM+AN=2AC．∵∠APB=90°−∠PAB，∠APC=90°−∠PAC，点P为∠EAF平分线上一点，∴∠APC=∠APB，即AP平分∠CPB，∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴AB=AC，又∵BM=CN，∴AM+AN=(AB−MB)+(CN+AC)=AB+AC=2AC；故答案为：AM+AN=2AC．(3)见答案．(1)根据PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，利用HL判定Rt△PBM≌Rt△PCN，即可得出BM=CN；(2)先已知条件得出AP平分∠CPB，再根据PB⊥AB，PC⊥AC，得到AB=AC，最后根据BM=CN，得出AM+AN=(AB−MB)+(CN+AC)=AB+AC=2AC；(3)由AC：PC=2：1，PC=4，即可求得AC的长，又由S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM= S△APN+S△APB+S△PCN=S△APC+S△APB，即可求得四边形ANPM的面积．此题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．解决问题的关键是运用全等三角形的性质与转化思想，将四边形ANPM的面积转化为四边形ABPC的面积．。
2020届西安市碑林区西北工大附中中考数学四模试卷(有解析)
2020届西安市碑林区西北工大附中中考数学四模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若方程(m−2)x|m−2|−x=3是一元一次方程，那么m=()A. 3B. 2C. 1D. 2或12.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是()A.B.C.D.3.下列计算正确的是()A. (2a3)4=8a12B. (a+b)2=a2+b2C. a4⋅a3=a7D. a4÷a3=14.如图，若AB//CD，EF⊥CD，∠1=54°，则∠2=()A. 36°B. 46°C. 54°D. 126°5.如图，直线y=−x+4与两坐标轴交于P，Q两点，在线段PQ上有一动点A(点A不与P，Q重合)，过点A分别作两坐标轴的垂线，垂足为B，C，则下列说法不正确的是()A. 点A的坐标为(2,2)时，四边形OBAC为正方形B. 在整个运动过程中，四边形OBAC的周长保持不变C. 四边形OBAC面积的最大值为4D. 当四边形OBAC的面积为3时，点A的坐标为(1,3)6.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则ON=()A. 6B. 5C. 4D. 37.将直线y=−2x−1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为()A. y=−2x−5B. y=−2x−3C. y=−2x+1D. y=−2x+38.在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2，以A为圆心，AD为半径画弧交线段BC于E，连接DE，则阴影部分的面积为()A. π4B. 2√2−π4C. π2D. 2√2−π29.已知弦AB把圆周分成1：3的两部分，则弦AB所对的圆周角的度数为()A. 45°2B. 135°2C. 90°或270°D. 45°或135°10.如图，函数y=x2−2x+m(m为常数)的图象如图，如果x=a时，y<0；那么x=a−2时，函数值()A. y<0B. 0<y<mC. y=mD. y>m二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.如果y=−3x+7，当x______ 时，y<0；当x______ 时，y≥4．12.直角三角形中有一个锐角为30°，它的对边长为4cm，则斜边上的高是______．13.若A(−1,m)与B(2,m−3)是反比例函数y=kx图象上的两个点，则m=______．14.如图，直线l1、l2分别经过正五边形ABCDE的顶点A、B，且l1//l2，若∠1=58°，则∠2=______°.三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.如图，在⊙O中，弦AC与BD交于点E，AB=8，AE=6，ED=4，求CD的长．四、解答题（本大题共10小题，共80.0分）16.计算：(4−π)0+(−12)−1−2cos60°+|−3|17.解方程：3xx2+2x−2=318.尺规作图(不写作法、保留作图痕迹)已知线段a，b，求作：线段MN，使MN=a−b．19.如图，在下列18×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A(−8,0)、B(−4.3)都是格点．(1)直接写出△ABO的形状：(2)要求在图中仅用无刻的直尺画图：将△ABO绕点O顺时针旋转得△DEO，且点B的对应点E落在x轴正半轴上．操作如下：第一步：在x 正半轴上找一个格点E ，使OE =OB ；第二步：找一个格点F ，使∠EOF =∠AOB ；第三步：找一个格点M ，作直线AM 交直线OF 于D ，连DE ，则△DEO 即为所作出的图形．请你按以上操作完成画图．并直接写出点E ，F ，M 三点的坐标．20. 甲、乙两运动员的射击成绩(靶心为10环)统计如下表(不完全)： 运动员环数次数1 2 3 4 5甲10 8 9 10 8 乙 10 9 9 a b 某同学计算出了甲的成绩平均数是9，方差是S 甲2=15[(10−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(10−9)2+(8−9)2]=0.8，请作答： (1)在图中用折线统计图将甲运动员的成绩表示出来；(2)若甲、乙射击成绩平均数都一样，则a +b = ______ ；(3)在(2)的条件下，当乙比甲的成绩较稳定时，请列举出a 、b 的所有可能取值，并说明理由．21. 下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．题目测量小河的宽度测量目标示意图相关数据BC=1m，DE=1.5m，BD=5m22.某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：每月每户用水量每吨价(元)不超过10吨部分0.50超过10吨而不超过20吨部分0.75超过20吨部分 1.50(1)现已知小明家四月份用水22吨，应缴水费______元；(2)写出每月每户的水费y(元)与用水量x(吨)之间的关系式；(3)若小明家五月缴水费17元，问：他家该月用水多少吨？23. 在一个不透明的袋子中，装有除颜色外都完全相同的2个红球和若干个黄球．(1)如果从袋中任意摸出一个球是红球的概率为2，那么袋中有黄球多少个？3(2)在(1)的条件下，如果从袋中摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，利用列表或画树状图的方法求出两次摸出不同颜色球的概率．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−4x+m与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴负半轴交于点C，已知线段AB长为6．(1)求抛物线解析式以及点C坐标．(2)抛物线顶点为D，求四边形ACDB的面积．(3)在抛物线的对称轴上求一点Q，使得QA+QC的值最小，请直接写出点Q的坐标为______．25. 如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=23cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形．(1)求证△AEF∽△BCE；(2)设BE的长为xcm，AF的长为ycm，求y与x的函数关系式，并写出线段AF长的范围；(3)若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B运动过程中，点H移动的距离．【答案与解析】1.答案：D解析：解：由题意得：①|m−2|=1，且m−2−1≠0，解得：m=1，②m−2=0，解得：m=2，故选：D．根据一元一次方程定义可得：①|m−2|=1，且m−2−1≠0或②m−2=0，再解即可．此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．2.答案：A解析：解：从上边看是一个田字，故选：A．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3.答案：C解析：解：(A)原式=16a12，故A错误；(B)原式=a2+2ab+b2，故B错误；(D)原式=a，故D错误；故选：C．根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．4.答案：A解析：解：∵AB//CD，∠1=54°，∴∠GFD=∠1=54°，∵EF⊥CD，∴∠EFD=90°，即∠2+∠GFD=90°，∴∠2=36°．故选：A．根据平行线的性质可求解∠GFD的度数，再结合垂线的定义可求解．本题主要考查平行线的性质，垂线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．5.答案：D解析：解：点A分别作两坐标轴的垂线，垂足为B，C，得到矩形OBAC，当点A的坐标为(2,2)时，则OB=AB=2，所以四边形OBAC为正方形，故A说法正确；设点A的坐标为(m,−m+4)(0<m<4)，则OB=m，OC=−m+4，∴C矩形OBAC =2(OB+OC)=2×4=8，S矩形OBAC=OB⋅OC=m(−m+4)=−(m−2)2+4，即四边形OCPD的周长为定值，四边形OBAC面积的最大值为4，故B、C说法正确；当四边形OBAC的面积为3时，则OB⋅OC=m(−m+4)=3，解得m=3或1，即A为(3,1)或(1,3)，故D说法错误，故选：D．根据正方形的判定方法即可判断A，根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点A的坐标为(m,−m+4)，根据矩形的周长公式即可得出C矩形OBA=4，S矩形OBAC=OB⋅OC=m(−m+4)=−(m−2)2+4，即可判断B、C，由S矩形OBAC=OB⋅OC=m(−m+4)=−(m−2)2+4=3，求得A的坐标即可判断D．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点A的坐标是解题的关键．6.答案：B解析：解：过P作PD⊥OB于点D，在Rt△OPD中，∵∠ODP=90°，∠POD=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=12OP=12×8=4，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=12MN=1，∴ON=OD+DN=4+1=5．故选：B．过P作PD⊥OB于点D，在直角三角形POD中，利用含30度直角三角形的性质求出OD的长，再由PM=PN，利用等腰三角形三线合一的性质得到D为MN中点，根据MN=2求出DN的长，由OD+ DN即可求出ON的长．此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．7.答案：C解析：解：直线y=−2x−1向上平移两个单位，所得的直线是y=−2x+1，故选：C．根据函数图象向上平移加，向下平移减，可得答案．本题考查了一次函数图象与几何变换，图象平移的规律是：上加下减，左加右减．8.答案：D解析：解：根据题意得：AE=AD=BC=2，∠BAD=∠ABC=90°，∵AB=√2，∴BE=√AE2−AB2=√2=AB，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE=45°，∴∠DAE=45°，∴阴影部分的面积=矩形ABCD的面积−扇形ADE的面积=2×√2−45π×22360=π2=2√2−π2；故选：D．证明△ABE是等腰直角三角形，求出∠DAE=45°，阴影部分的面积=矩形ABCD的面积−扇形ADE 的面积，即可得出答案．本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．9.答案：D解析：解：∵弦AB把⊙O分成1：3两部分，∴∠AOB=14×360°=90°，∴∠ACB=12∠AOB=45°，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠ADB=180°−∠ACB=135°．∴这条弦所对的圆周角的度数是：45°或135°．故选：D．首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得∠ADB的度数，继而可求得答案．此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．10.答案：D解析：试题分析：把x=a代入函数y=x2−2x+m中求出函数a、a−2与0的关系，进而确定x= a−2时，函数y=x2−2x+m的值．x=a代入函数y=x2−2x+m中得：y=a2−2a+m=a(a−2)+m，∵x=a时，y<0，∴a(a−2)+m<0，由图象可知：m>0，∴a(a−2)<0，又∵x=a时，y<0，∴a>0则a−2<0，由图象可知：x=0时，y=m，又∵x<1时y随x的增大而减小，∴x=a−2时，y>m．故选：D．11.答案：>7；≤13解析：解：根据题意得：−3x+7<0，即−3x<−7，；解得：x>73−3x+7≥4，即−3x≥−3，则x≤1．故答案是：>7，≤1．3根据y的值，即可列出不等式，解不等式即可求解．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．12.答案：2√3cm解析：解：∵直角三角形中有一个锐角为30°，它的对边长为4cm，∴其斜边长为8cm，∴另一条直角边的长为：√82−42=4√3，设斜边上的高为h，则8ℎ=4×4√3，解得：ℎ=2√3，故答案为：2√3cm．首先根据30°角所对的直角边是斜边的一半确定斜边的长，然后利用勾股定理确定另外一条直角边的长，然后利用等积法确定斜边上的高即可．本题考查了含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是能够了解利用等积法确定斜边上的高，难度不大．13.答案：2得：−m=k，2(m−3)=k，解析：解：把A(−1,m)与B(2,m−3)分别代入反比例函数y=kx∴−m=2(m−3)，解得m=2．故答案为2．根据反比例函数图象上点的坐标特征得−m=k，2(m−3)=k，消掉k得到−m=2(m−3)，然后解关于m的一元一次方程即可．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．14.答案：22解析：此题考查的知识点是平行线的性质及正多边形的性质，属于基础题．先求得正五边形的内角，再根据平行线的性质解答即可．解：因为正五边形ABCDE的内角和为(5−2)×180°=540°，则其一个内角是108°，∵l1//l2，∠1=58°，∴∠ABF=108°−58°=50°，∠2=180°−108°−50°=22°，故答案为：22．15.答案：解：∵∠B=∠C，∠A=∠D，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD =AEDE，即8CD=64，∴CD=163．解析：根据圆周角定义得到∠B=∠C，∠A=∠D，则可判断△ABE∽△CDE，然后根据相似比计算CD的长．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了相似三角形的判定与性质．16.答案：解：原式=1−2−2×12+3=1−2−1+3=1．解析：根据零整数指数幂、负整数指数幂、绝对值和三角函数计算即可．此题考查零整数指数幂、负整数指数幂、绝对值和三角函数，关键是根据实数的运算顺序计算．17.答案：解：方程两边同乘(x+2)(x−2)，得3x(x−2)+2(x+2)=3(x+2)(x−2)，整理得−6x+2x+4=−12，解得x=4．检验：将x=4代入(x+2)(x−2)≠0．∴x=4是原方程的解．解析：观察可得方程最简公分母为：(x+2)(x−2).方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．18.答案：解：如图线段MN即为所求．解析：作射线MF，在射线MF上截取MG=a，在线段GM上截取GN=b，线段MN即为所求．本题考查作图−复杂作图，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.答案：解：(1)∵AB=OB=√32+42=5，∴△ABO是等腰三角形．(2)如图，△ODE即为所求．E(5,0)，F(4,3)，M(1,3)．解析：(1)利用勾股定理求出AB，OB即可判断．(2)根据要求作出点E(5,0)，点F(4,3)，取格点M(1,3)，使得AM平分∠BAO，直线AM交OF于D，连接DE，△ODE即为所求．本题考查作图−旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.答案：(1)如图：(2)17 ；(3)∵乙比甲的成绩较稳定，∴S 甲2 >S 乙2，即15[(10−9)2+(9−9)2+(9−9)2+(a −9)2+(b −9)2]<0.8，∵a +b =17，∴b =17−a ，代入上式整理可得：a 2−17a +71<0，解得：17−√52<a <17+√52，∵a 、b 均为整数，∴a =8时，b =9；a =9时，b =8．解析：解：(1)如图所示：(2)由题意知，10+9+9+a+b5=9，∴a +b =17，故答案为：17；(3)∵乙比甲的成绩较稳定，∴S 甲2>S 乙2，即15[(10−9)2+(9−9)2+(9−9)2+(a −9)2+(b −9)2]<0.8， ∵a +b =17，∴b =17−a ，代入上式整理可得：a 2−17a +71<0，解得：17−√52<a <17+√52，∵a 、b 均为整数，∴a =8时，b =9；a =9时，b =8．(1)根据表中数据描点、连线即可得；(2)根据平均数的定义列出算式，整理即可得；(3)由a +b =17得b =17−a ，将其代入到S 甲2>S 乙2，即15[(10−9)2+(9−9)2+(9−9)2+(a −9)2+(b −9)2]<0.8，得到a 2−17a +71<0，求出a 的范围，根据a 、b 均为整数即可得出答案．本题主要考查折线统计图、平均数、方差，熟练掌握平均数和方差的计算公式及解一元二次不等式是解题的关键．21.答案：解：由题意可得：△ABC∽△ADE ，则AB AD =BC DE ，即AB AB+5=11.5，解得：AB =10，答：小河的宽度为10m ．解析：直接利用相似三角形的判定与性质得出AB AB+5=11.5，进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 22.答案：解：(1)0.5×10+0.75×10+1.50×(22−20)=15.5(元)；(2)y ={0.5x(0≤x ≤10)0.5×10+0.75(x −10)(10<x ≤20)0.5×10+0.75(20−10)+1.50(x −20)(x >20)；(3)0.5×10=5(元)，0.5×10+0.75×(20−10)=12.5(元)，∵17>12.5，∴他家用水必定超过了20吨，设他家用水a 吨，由题意得：0.50×10+0.75(20−10)+1.50(a −20)=17，解得：a =23．答：他家五月份用水23吨．解析：(1)根据表格可知他家用水的花费=前10吨的费用+超过10吨的10吨部分的花费+超过20吨的2吨部分的花费；(2)阶梯计价，分三种情况讨论，分别列出函数关系式即可；(3)首先通过计算讨论出他交水费17元所用的水的吨数所在范围，再利用函数关系式计算即可． 此题主要考查了一次函数的应用，根据实际问题列函数关系式，关键是看懂图表的意思，分情况分别列出函数关系式．23.答案：解：(1)设黄球有x个，由题意得，2 2+x =23，解得，x=1，答：黄球有1个；(2)袋中2个红球，1个黄球，两次摸球所有可能出现的情况如下：共有9种等可能的情况，其中两次颜色不同的有4种，∴P(两次颜色不同)=49，解析：(1)根据概率的计算方法，列方程求解即可；(2)用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用次方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．24.答案：(1)令y=0，x2−4x+m=0，解得：x1=2−√4−m，x2=2+√4−m，∴点A(2−√4−m,0)，点B(2+√4−m,0)，∵AB=6，∴2+√4−m−(2−√4−m)=6，解得：m=−5，∴抛物线的解析式为：y=x2−4x−5，令x=0，y=−5，∴点C(0,−5)；(2)根据抛物线的顶点公式可得：−b2a =−−42×1=2，4ac−b24a=−20−164=−9，∴顶点D(2,−9)，∴S四边形ACDB =S△AOC+S梯形OCDE+S△BDE=12×1×5+12×(5+9)×2+12×3×9=2.5+14+13.5=30；(3)(2,−3)解析：解：(1)见答案；(2)见答案；(3)点Q(2,−3)，连接BC 与DE 交于点Q ，此时QA +QC 的值最小．由(1)可知，点B(5,0)，点C(0,−5)，设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，∴{b =−55k +b =0，解得：{k =1b =−5， ∴直线BC 的解析式为：y =x −5，当x =2时，y =2−5=−3，∴点Q(2,−3)，故答案为：(2,−3)．(1)令y =0，求出抛物线与x 轴的交点坐标，利用AB 的长度，即可求得m 的值，进而可得抛物线的解析式，令x =0时，即可求得抛物线与y 轴的交点坐标；(2)利用顶点坐标公式，求出顶点坐标，利用S 四边形ACDB =S △AOC +S 梯形OCDE +S △BDE 直接计算即可；(3)连接BC 与DE 交于点Q ，即可得QA +QC 的值最小．本题主要考查抛物线与x 轴的交点坐标、二次函数的性质、待定系数法、最短距离的综合应用，解决此题时，能用含m 的式子表示出点A 、B 的坐标是关键．25.答案：解：(1)在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，∴∠AEF +∠ZFE =90°，∵EF ⊥CE ，∴∠AEF +∠BEC =90°，∴∠AFE=∠BEC，∴△AEF∽△BCE；(2)由(1)△AEF∽BEC得AF BE =AEBC，yx=2√3−x2，∴y=−12x2+√3x，∵y=−12x2+√3x=−12(x−√3)2+32，当x=√3时，y有最大值为32，∴0≤AF≤32；(3)如图1，连接FH，取EF的中点M，在等边三角形EFG中，∵点H是EG的中点，∴∠EHF=90°，∴ME=MF=MH，在直角三角形AEF中，MA=ME=MF，∴MA=ME=MF=MH，则A、E、H、F在同一圆上；如图2，连接AH，∵△EFG为等边三角形，H为EG中点，∴∠EFH=30°∵A、E、H、F在同一圆上∴∠EAH=∠EFH=30°，如图2所示的线段AH即为H移动的路径，在直角三角形ABH中，AHAB =sin60°=√32，∵AB=2√3，∴AH=3，所以点H移动的距离为3．解析：(1)根据已知证明∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEC即可证明三角形相似；(2)由(1)中三角形相似得出AFBE =AEBC，代入变量整理即可得出解析式；把二次函数配方即可确定AF的最值；(3)连接FH，取EF的中点M，证明MA=ME=MF=MH即可；先确定如图2所示的线段AH即为H移动的路径，在解直角三角形即可；此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．。
2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学自测试卷 (Word 含解析)
2020年中考数学自测试卷一、选择题1．数轴上表示1-的点与表示3的点之间的距离为( ) A ．2B ．3C ．4D ．52．如图是一个零件的示意图，它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．3．计算231()2x y -，结果正确的是( )A ．6318x y -B ．5318x yC ．6316x y -D ．5316x y4．如图，//AB CD ，40E ∠=︒，120A ∠=︒，则C ∠的度数为( )A ．60︒B ．80︒C ．75︒D ．70︒5．已知点(,)P a b 在正比例函数13y x =-的图象上，下列结论正确的是( )A ．30a b -=B ．30a b +=C ．30a b -=D ．30a b +=6．如图，底边BC 为43，顶角A 为120︒的等腰ABC ∆中，DE 垂直平分AB 于D ，则ACE ∆的周长为( )A ．53B ．443+C ．423+D ．83+7．已知直线1:12l y x =-+与x 轴交于点P ，将l 绕点P 顺时针旋转90︒得到直线l '，则直线l '的解析式为( )A ．112y x =- B ．21y x =- C ．142y x =- D ．24y x =-8．如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若3BC =，则折痕CE 的长为( )A ．23B ．332C ．3D ．69．如图，边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的等边AEF ∆均内接于O e ，则ba的值是( )A ．2B 3C 2D 610．已知抛物线2(21)1y ax a x a =-++-与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，若11x <，22x >，则a 的取值范围是( )A ．3a <B ．03a <<C ．3a >-D ．30a -<<二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．将实数7-，π-，0，1由大到小用“>”连起来，可表示为 ．12．如图所示，将Rt ABC ∆绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt ADE ∆，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，若1AB =，30C ∠=︒，则CD 的长为 ．13．如图，A 、B 是双曲线ky x=上的两点，过A 点作AC x ⊥轴，交OB 于D 点，垂足为C ，若ADO ∆的面积为3，D 为OB 的中点，则k 的值为 ．14．如图，等边ABC ∆中，6AB =，点D 、点E 分别在BC 和AC 上，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，则CF 的最小值为 ．三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15．计算：11(3)|8|363---+--⨯．16．化简：22441(1)11x x x x x x-+-+÷--． 17．如图，已知在ABC ∆中，90A ∠=︒，请用尺规作P e ，使得圆心P 在AC 边上，且P e 与AB ，BC 两边都相切（保留作图痕迹，不写作法）．18．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：)m ，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图1中a 的值为 ；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．19．正方形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，CD 上，AE ，BF 交于点O ，若AE BF =，求证：AE BF ⊥．20．如图，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，数学兴趣小组的同学在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45︒，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP 攀行了26米，在坡顶A 处又测得该塔的塔顶B 的仰角为76︒．求古塔BC 的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin 760.9703︒≈，cos760.2419︒≈，tan 76 4.0108)︒≈21．图中的折线ABC 表示某汽车的耗油量(/)y L km 与速度(/)x km h 之间的函数关系(30120)x 剟．已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1/km h ，耗油量增加0.002/L km ．（1）当30120x 剟时，求y 与x 之间的函数表达式． （2）该汽车的速度是多少时，耗油量最低？最低是多少22．西西正参加我市电视台组织的智力竞答节目，只要答对最后两道单选题就能顺利通关，每道单选题都有A 、B 、C 三个选项．这两道题西西都不会，只能在A 、B 、C 三个选项中随机一项．（1）西西答对第一道单选题的概率是 ．（2）若西西可以使用“求助”（每使用“求助”一次可以让主持人去掉一个错误选项）．但是她只有两次“求助”机会，现有两种方案可供西西选择： 方案一：在第一道中一次性使用两次“求助”机会． 方案二：每道题各使用一次“求助”机会．请你用画树状图或者列表的方法帮助西西分析哪种方案更有利（三个选项中正确项用“√”表示，错误项用“⨯”表示）．23．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 是AC 的中点，过A 、B 、D 三点的圆交CB 的延长线于点E ． （1）求证：AE CE =．（2）若EF 与过A 、B 、D 三点的圆相切于点E ，交AC 的延长线于点F ，若2CD CF cm ==，求过A 、B 、D 三点的圆的直径．24．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点(2,0)A -，(6,0)B ，与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的函数解析式；（2）点(4,)D m 在抛物线上，连接BC 、BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足PBC DBC ∠=∠？如果存在，请求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．25．如图，正方形ABCD 是绿地公园的一块空地，其边长为100米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将空地中的四边形DEBF 部门作为儿童活动区，并用围拦挡起来，只留三个出入口，即点D 、点E 、点F ，而且根据实际需要，要使得45EDF ∠=︒，并将儿童活动区（即四边形)DEBF 划分为DEF ∆和BEF ∆两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．（1）请直接写出线段AE ，EF ，CF 之间的数量关系： ． （2）如图②，若25AE =米，请你计算儿童活动区的面积．（3）请问是否存在一种设计方案，使得儿童活动区的面积最大？若存在，请求出儿童活动区面积的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．数轴上表示1-的点与表示3的点之间的距离为()A．2B．3C．4D．5【分析】可把1-、3表示在数轴上，观察数轴得到两点间的距离；也可以用右边点表示的数减去左边点表示的数，求出两点间的距离．解：法一、如图所示，点A表示1-，点B表示3，∴两点间的距离是4；故选C．法二、3(1)4--=故选：C．2．如图是一个零件的示意图，它的俯视图是()A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．解：从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，故选：C．3．计算231()2x y -，结果正确的是( )A ．6318x y -B ．5318x yC ．6316x y -D ．5316x y【分析】根据积的乘方运算法则计算即可． 解：23323363111()()()228x y x y x y -=-=-g g ．故选：A ．4．如图，//AB CD ，40E ∠=︒，120A ∠=︒，则C ∠的度数为( )A ．60︒B ．80︒C ．75︒D ．70︒【分析】根据平行线的性质得出180A AFD ∠+∠=︒，求出60CFE AFD ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理求出即可． 解：//AB CD Q ， 180A AFD ∴∠+∠=︒， 120A ∠=︒Q ， 60AFD ∴∠=︒， 60CFE AFD ∴∠=∠=︒， 40E ∠=︒Q ，180180406080C E CFE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B ．5．已知点(,)P a b 在正比例函数13y x =-的图象上，下列结论正确的是( )A ．30a b -=B ．30a b +=C ．30a b -=D ．30a b +=【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出3b a =-，进而即可找出结论． 解：Q 点(,)P a b 在正比例函数13y x =-的图象上，13b a ∴=-，即3b a =-，30a b ∴+=．故选：D ．6．如图，底边BC 为43，顶角A 为120︒的等腰ABC ∆中，DE 垂直平分AB 于D ，则ACE ∆的周长为( )A ．53B ．443+C ．423+D ．843+【分析】过A 作AF BC ⊥于F ，根据等腰三角形的性质得到30B C ∠=∠=︒，得到4AB AC ==，根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =，即可得到结论．解：过A 作AF BC ⊥于F ， AB AC =Q ，120A ∠=︒，30B C ∴∠=∠=︒，23BF CF ==，cos30CFAC︒=Q ， 4AB AC ∴==，DE Q 垂直平分AB ， BE AE ∴=，43AE CE BC ∴+==，ACE ∴∆的周长443AC AE CE AC BC =++=+=+，故选：B ．7．已知直线1:12l y x =-+与x 轴交于点P ，将l 绕点P 顺时针旋转90︒得到直线l '，则直线l '的解析式为( )A ．112y x =- B ．21y x =- C ．142y x =- D ．24y x =-【分析】设直线l '的解析式为y kx b =+，根据直线l '⊥直线l ，即可得到2k =，再根据(2,0)P ，即可得出直线l '的解析式为24y x =-．解：设直线l '的解析式为y kx b =+， Q 直线l '⊥直线l ， 112k ∴-⨯=-，即2k =，在直线1:12l y x =-+中，令0y =，则2x =，(2,0)P ∴，代入2y x b =+，可得 04b =+，解得4b =-，∴直线l '的解析式为24y x =-，故选：D ．8．如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若3BC =，则折痕CE 的长为( )A ．23B 332C 3D ．6【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC 的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．解：CEO ∆Q 是CEB ∆翻折而成，BC OC ∴=，BE OE =，90B COE ∠=∠=︒， EO AC ∴⊥，O Q 是矩形ABCD 的中心，OE ∴是AC 的垂直平分线，2236AC BC ==⨯=， AE CE ∴=，在Rt ABC ∆中，222AC AB BC =+，即22263AB =+，解得33AB =， 在Rt AOE ∆中，设OE x =，则33AE x =-，222AE AO OE =+，即222(33)3x x -=+，解得3x =，33323AE EC ∴==-=．故选：A ．9．如图，边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的等边AEF ∆均内接于O e ，则b a的值是( )A ．2B 3C 2D 6【分析】可以构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形来解决问题． 解：设其半径是r 3r ，2r 23．6:3．即则b a 的值66==， 故选：D ．10．已知抛物线2(21)1y ax a x a =-++-与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，若11x <，22x >，则a 的取值范围是( )A ．3a <B ．03a <<C ．3a >-D ．30a -<<【分析】根据抛物线解析式求得抛物线经过定点(1,2)-，结合一元二次方程根的分布情况进行解答．解：22(21)1(21)1y ax a x a x x a x =-++-=-+--．令2210x x -+=，则1x =，2y =-，∴抛物线经过定点(1,2)-，令2()(21)1f x y ax a x a ==-++-，则f （1）20=-<，∴该抛物线开口方向只能向上．0a ∴>．f ∴（2）22(21)10y ax a a ==-++-<，解得3a <．综上所述，a 的取值范围是：03a <<．故选：B ．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．将实数7-，π-，0，1由大到小用“>”连起来，可表示为 107π>>>- ．【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小解答可得． 解：|||7π->-Q ，7π∴-<-， 则实数7-，π-，0，1由大到小用“>”连起来，可表示为107π>>->-， 故答案为：107π>>->-．12．如图所示，将Rt ABC ∆绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt ADE ∆，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，若1AB =，30C ∠=︒，则CD 的长为 1 ．【分析】由直角三角形的性质可求22BC AB ==，60B ∠=︒，由旋转的性质可得AB AD =，可证ABD ∆是等边三角形，可得1BD AB ==，即可求解． 解：1AB =Q ，30C ∠=︒，90CAB ∠=︒，22BC AB ∴==，60B ∠=︒，Q 将Rt ABC ∆绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt ADE ∆，AB AD ∴=，ADB ∴∆是等边三角形，1BD AB ∴==，1CD BC BD ∴=-=，故答案为：1．13．如图，A 、B 是双曲线k y x=上的两点，过A 点作AC x ⊥轴，交OB 于D 点，垂足为C ，若ADO ∆的面积为3，D 为OB 的中点，则k 的值为 8 ．【分析】过点B 作BE x ⊥轴于点E ，根据D 为OB 的中点可知CD 是OBE ∆的中位线，即12CD BE =，设(,)k A x x ，则(2,)2k B x x ，4k CD x =，4k k AD x x=-，再由ADO ∆的面积为1求出y 的值即可得出结论．解：过点B 作BE x ⊥轴于点E ，D Q 为OB 的中点，//CD BE ，CD ∴是OBE ∆的中位线，即12CD BE =． 设(,)k A x x ，则(2,)2k B x x ，4k CD x =，4k k AD x x=-， ADO ∆Q 的面积为3，∴132AD OC =g ，1()324k k x x x-=g ， 解得8k =，故答案是：8．14．如图，等边ABC ∆中，6AB =，点D 、点E 分别在BC 和AC 上，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，则CF 的最小值为 23 ．【分析】首先证明120AFB ∠=︒，推出点F 的运动轨迹是O 为圆心，OA 为半径的弧上运动(120,23)AOB OA ∠=︒=，连接OC 交O e 于N ，当点F 与N 重合时，CF 的值最小． 解：如图，ABC ∆Q 是等边三角形，AB BC AC ∴==，60ABC BAC BCE ∠=∠=∠=︒，BD CE =Q ，()ABD BCE SAS ∴∆≅∆BAD CBE ∴∠=∠，又AFE BAD ABE ∠=∠+∠Q ，AFE CBE ABE ABC ∴∠=∠+∠=∠，60AFE ∴∠=︒，120AFB ∴∠=︒，∴点F 的运动轨迹是O 为圆心，OA 为半径的弧上运动(120,23)AOB OA ∠=︒=， 连接OC 交O e 于N ，当点F 与N 重合时，CF 的值最小，最小值432323OC ON =-=-=．故答案为23．三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）15．计算：11(3)|8363---+． 【分析】先利用负整数指数幂的意义、绝对值的意义几何二次根式的乘法法则进行计算，然后合并即可．解：原式1123633=+-⨯11223233=+-- 2=-．16．化简：22441(1)11x x x x x x-+-+÷--． 【分析】将括号内部分通分相减，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可． 解：原式221[(1)]1(21)x x x x x -=----g 222211[]11(21)x x x x x x x -+-=----g 22111(21)x x x x --=--g 112x=-．17．如图，已知在ABCe与e，使得圆心P在AC边上，且PA∆中，90∠=︒，请用尺规作PAB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法）．【分析】作ABCe；∠的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出P解：如图所示，则Pe为所求作的圆．18．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：)m，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图1中a的值为25；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．【分析】（Ⅰ）用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；（Ⅲ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．解：（Ⅰ）根据题意得：----=；120%10%15%30%25%则a的值是25；故答案为：25；（Ⅱ）观察条形统计图得： 1.502 1.554 1.605 1.656 1.703 1.6124563x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++； Q 在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是1.65；将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是1.60，则这组数据的中位数是1.60．（Ⅲ）能；Q 共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，∴根据中位数可以判断出能否进入前9名；1.65 1.60m m >Q ，∴能进入复赛．19．正方形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，CD 上，AE ，BF 交于点O ，若AE BF =，求证：AE BF ⊥．【分析】想办法证明ABE BCF ∆≅∆，再根据全等三角形的性质进行证明即可；【解答】证明：Q 四边形ABCD 是正方形，90ABE BCF ∴∠=∠=︒，AB BC CD ==，又CE DF =，BE CF ∴=，ABE BCF ∴∆≅∆，BAE CBF ∴∠=∠，90BAE BEA ∠+∠=︒Q ，90CBF BEA ∴∠+∠=︒，180()90BOE CBF BEA ∴∠=︒-∠+∠=︒，AE BF ∴⊥．20．如图，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，数学兴趣小组的同学在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45︒，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP 攀行了26米，在坡顶A 处又测得该塔的塔顶B 的仰角为76︒．求古塔BC 的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin 760.9703︒≈，cos760.2419︒≈，tan 76 4.0108)︒≈【分析】先过点A 作AH PO ⊥，根据斜坡AP 的坡度为1:2.4，得出512AH PH =，设5AH k =，则12PH k =，13AP k =，求出k 的值，延长BC 交PO 于点D ，根据BC AC ⊥，//AC PO ，得出BD PO ⊥，四边形AHDC 是矩形，再根据45BPD ∠=︒，得出PD BD =，然后设BC x =，得出14AC DH x ==-，最后根据在Rt ABC ∆中，tan 76BC AC︒=，列出方程，求出x 的值即可．解：过点A 作AH PO ⊥，垂足为点H ，延长BC 交PO 于点D ，Q 斜坡AP 的坡度为1:2.4，∴512AH PH =， 设5AH k =，则12PH k =，由勾股定理，得13AP k =，1326k ∴=，解得2k =，10AH ∴=，BC AC ⊥Q ，//AC PO ，BD PO ∴⊥，∴四边形AHDC 是矩形，10CD AH ==，AC DH =，45BPD ∠=︒Q ，PD BD ∴=，设BC x =，则1024x DH +=+，14AC DH x ∴==-，在Rt ABC ∆中，tan 76BC AC ︒=，即 4.0114x x ≈-． 解得：19x ≈， 经检验19x ≈是原方程的解．答：古塔BC 的高度约为19米．21．图中的折线ABC 表示某汽车的耗油量(/)y L km 与速度(/)x km h 之间的函数关系(30120)x 剟．已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1/km h ，耗油量增加0.002/L km ．（1）当30120x 剟时，求y 与x 之间的函数表达式． （2）该汽车的速度是多少时，耗油量最低？最低是多少【分析】（1）分别设出AB 段和BC 段的一次函数解析式，利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图形发现，两线段的交点即为最低点，因此求两函数解析式组成的方程组的解即可．解：（1）设AB 的解析式为：y kx b =+，把(30,0.15)和(60,0.12)代入y kx b =+中得：300.15600.12k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得0.0010.18k b =-⎧⎨=⎩， AB ∴段一次函数的解析式为：0.0010.18y x =-+，设BC 的解析式为：y mx n =+，把(90,0.12)和(100,0.14)代入y mx n =+中得：900.121000.14m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得0.0020.06m n =⎧⎨=-⎩， BC ∴段一次函数的解析式为：0.0020.06y x =-；（2）根据题意得0.0010.180.0020.06y y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得800.1x y =⎧⎨=⎩， 答：速度是80/km h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1/L km ．22．西西正参加我市电视台组织的智力竞答节目，只要答对最后两道单选题就能顺利通关，每道单选题都有A 、B 、C 三个选项．这两道题西西都不会，只能在A 、B 、C 三个选项中随机一项．（1）西西答对第一道单选题的概率是 3． （2）若西西可以使用“求助”（每使用“求助”一次可以让主持人去掉一个错误选项）．但是她只有两次“求助”机会，现有两种方案可供西西选择：方案一：在第一道中一次性使用两次“求助”机会．方案二：每道题各使用一次“求助”机会．请你用画树状图或者列表的方法帮助西西分析哪种方案更有利（三个选项中正确项用“√”表示，错误项用“⨯”表示）．【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）分别计算出在第一题使用“求助”顺利通关的概率和每道题各使用一次“求助”顺利通关的概率即可求得答案．解：（1）Q第一道单选题有3个选项，∴西西答对第一道题的概率是13，故答案为：13；（2）如果在第一道中一次性使用两次“求助”机会，则西西一定能答对第一题，而他能答对第二题的概率为13，所以此时西西能通关的概率为13；如果每道题各使用一次“求助”机会，画树状图如下：由树状图可知，西西能通关的概率为14；因为11 34 >，所以第一种方案对西西更有利．23．如图，在Rt ABC∆中，90ABC∠=︒，D是AC的中点，过A、B、D三点的圆交CB的延长线于点E．（1）求证：AE CE=．（2）若EF与过A、B、D三点的圆相切于点E，交AC的延长线于点F，若2CD CF cm==，求过A、B、D三点的圆的直径．【分析】（1）连接DE，求出AE是直径，求出90ADE∠=︒，根据线段垂直平分线性质求出即可．（2）证ADE AEF∆∆∽，得出比例式，代入求出即可．【解答】（1）证明：连接DE，90ABC∠=︒Q，90ABE∴∠=︒，AE∴是过A、B、D三点的圆的直径，90ADE∴∠=︒，DE AC∴⊥，又DQ是AC的中点，DE∴是AC的垂直平分线，AE CE∴=．（2）解：2CD CF cm==Q，6AF AC CF cm∴=+=，EFQ与过A、B、D三点的圆相切于点E，90AEF ADE∴∠=︒=∠，又DAE FAE∠=∠Q，ADE AEF∴∆∆∽，∴AE AD AF AE=，即26AEAE=，23 AE cm∴=．24．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点(2,0)A -，(6,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点(4,)D m 在抛物线上，连接BC 、BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足PBC DBC ∠=∠？如果存在，请求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得点C 的坐标，设抛物线的解析式为(2)(6)y a x x =+-，将(0,6)C 代入可求得a 的值；（2）先求得点D 的坐标，作点//DE x 轴，过点B 作//BE y 轴，作点D 关于BC 的对称点D '，则BD BD ='，过点D '作D F x '⊥轴，垂足为F ．接下来，证明DEB ∆≅△D FB '，则可得到点D '的坐标为(0,2)，然后求得直线BD '的解析式为123y x =-+，最后将123y x =-+与21262y x x =-++联立求得点P 的坐标即可． 解：（1）当0x =时，6y =，∴点C 的坐标为(0,6)．设抛物线的解析式为(2)(6)y a x x =+-，将(0,6)C 代入得：126a -=，解得12a =-． ∴抛物线的解析式为1(2)(6)2y x x =-+-，整理得：21262y x x =-++．（2）将4x =代入得：6y =．(4,6)D ∴．如图所示：作点//DE x 轴，过点B 作//BE y 轴，作点D 关于BC 的对称点D '，则BD BD ='，过点D '作D F x '⊥轴，垂足为F ．(6,0)B Q ，(0,6)C ，OB OC ∴=．45OBC ∴∠=︒．OBC EBC ∴∠=∠．又D BC DBC ∠'=∠Q ，DBE D BF ∴∠=∠'．在DEB ∆和△D FB '中，D FB DEB DBE D BF BD BD ∠'=∠⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩，DEB ∴∆≅△D FB '．2D F ED ∴'==，6BF BE ==．∴点D '的坐标为(0,2)．设BD '的解析式为2y kx =+，将点B 的坐标代入得：620k +=，解得13k =-， BD ∴'的解析式为123y x =-+． 将123y x =-+代入21262y x x =-++得：21122632x x x -+=-++，整理得：2314240x x --=，解得：6x =（舍去）或43x =-．将43x =-代入得：14422()223399y =-⨯-+=+= ∴点P 的坐标为4(3-，22)9． 25．如图，正方形ABCD 是绿地公园的一块空地，其边长为100米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将空地中的四边形DEBF 部门作为儿童活动区，并用围拦挡起来，只留三个出入口，即点D 、点E 、点F ，而且根据实际需要，要使得45EDF ∠=︒，并将儿童活动区（即四边形)DEBF 划分为DEF ∆和BEF ∆两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．（1）请直接写出线段AE ，EF ，CF 之间的数量关系： AE CF EF += ．（2）如图②，若25AE =米，请你计算儿童活动区的面积．（3）请问是否存在一种设计方案，使得儿童活动区的面积最大？若存在，请求出儿童活动区面积的最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1中，将DAE ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCH ∆．只要证明FDE FDH ∆≅∆，即可解决问题；（2）利用（1）中结论，设CF x =，构建方程即可解决问题；（3）存在．如图2中，设AE x =，CF y =．在Rt BEF ∆中，根据222EF BE BF =+，可得222()(100)(100)x y x y +=-+-，推出10000100100xy x -=+，推出()()21100001001110000100501000050000010000001001001001002000050100210022100100100BEF DEF BEDF x x x x S S S x x x x x x x ∆∆---++⎛⎫⎡⎤=+=⋅--+⋅⋅+⋅⋅==-++ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦四边形利用不等式的性质：1000000100000050(100)50(100)100100x x x x +++⨯++…，即100000050(100)100002100x x +++…BEDF 的面积等最大值为20000100002-，此时100000050(100)100x x +=+，解方程即可解决问题；解：（1）如图1中，将DAE ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCH ∆．DAE DCF ∆≅∆Q ，DE DH ∴=，ADE CDH ∠=∠，AE CH =， 90ADC ∠=︒Q ，45EDF ∠=︒，45ADE FDC CDF FDC ∴∠+∠=∠+∠=︒， FDE FDH ∴∠=∠，DF DF =Q ，DE DH =，FDE FDH ∴∆≅∆，EF FH FC CH AE CF ∴==+=+． 故答案为EF AE CF =+．（2）如图1中，设CF x =，25AE =Q 米，(25)EF AE CF x ∴=+=+米，100AB BC ==Q 米，75BE ∴=米，(100)BF x =-米， 在Rt BEF ∆中，222(25)75(100)x x +=+-， 解得60x =米，40BF ∴=，1754015002BEF S ∆∴=⨯⨯=，185********DEF DFH S S ∆∆==⨯⨯=， ∴儿童活动区的面积为2150042505750m +=．（3）存在．如图2中，设AE x =，CF y =．EF AE CF x y =+=+Q ，100BE x =-，100BF y =-， 在Rt BEF ∆中，222EF BE BF =+Q ， 222()(100)(100)x y x y ∴+=-+-， 10000100100x y x -∴=+， ()()21100001001110000100501000050000010000001001001001002000050100210022100100100BEF DEF BEDF x x x x S S S x x x x x x x ∆∆---++⎛⎫⎡⎤=+=⋅--+⋅⋅+⋅⋅==-++ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦Q 四边形1000000100000050(100)250(100)100100x x x x +++⨯++Q …， 即100000050(100)100002100x x +++… ∴四边形BEDF 的面积等最大值为20000100002- 此时100000050(100)100x x +=+， 解得1002100x =-，∴当(1002100)AE =-米时，四边形BEDF 的面积最大，最大值为(20000100002)-平方米．。
陕西省西安市碑林区西北工大附中2020年中考数学一模试卷 解析版
2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣2B．C．﹣D．22．（3分）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列各运算中，计算正确的是（）A．（3a2）2＝6a4B．a12÷a3＝a9C．2a+3a＝5a2D．（a+b）2＝a2+b24．（3分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，则∠AEB的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．（3分）若一个正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．则下列各点在该正比例函数图象上的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，﹣9）D．（2，9）6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝80°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，将△ACD沿AD折叠，使点C与AB上的点E重合，若CD＝4，则BE的长为（）A．3B．4C．4D．37．（3分）已知一次函数y＝﹣2x+4的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值可能为（）A．5B．6C．7D．88．（3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（）A．8B．4C．D．9．（3分）如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD 的中点，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．12°B．15°C．18°D．20°10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中y与x的部分对应值如表：x﹣2﹣10.5 1.5y50﹣3.75﹣3.75下列结论正确的是（）A．abc＜0B．4a+2b+c＞0C．若x＜﹣1或x＞3时，y＞0D．方程ax2+bx+c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝3二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）已知在实数﹣2，﹣，π，中，最小的一个数是．12．（3分）已知正六边形的边长为6，那么边心距等于．13．（3分）如图，点D是菱形AOCB的对称中心，点A坐标为（3，4），若反比例函数的图象经过点D，则反比例函数表达式为．14．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为．三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出必要的过程）15．（5分）计算：﹣﹣|sin30°|+（）﹣1．16．（5分）解方程：﹣1＝．17．（5分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，请作△ABC的外接圆．（保面作图痕迹，不写作法）18．（5分）如图，点P为菱形ABCD对角线BD上一点，连接P A、PC．点E在边AD上，且∠AEP＝∠DCP．求证：PC＝PE．19．（7分）为发展学生的核心索养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课程：乐器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题．学生选修课程统计图：（1）补全条形统计图，补全扇形统计图中乐器所占的百分比．（2）本次调查学生选修课程的“众数”是．（3）若该校有1600名学生，请你估计选修绘画的学生大概有多少名？20．（7分）小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆AB的高度．小明站在点D处利用测倾器测得旗杄顶端A的仰角为45°，小华在BD之间放置一个镜子，并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点E处时，位于点D处的小明正好在镜子中看到旗杆顶端A，此时DE的距离为1.4米，已知测倾器的高为1.75米．请你根据以上信息，计算旗杆AB的高度．21．（7分）某弹簧在所挂物体质量不超过25kg时弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间近似的满足一次函数关系．经实验可知：当所挂物体的质量为10kg时，弹簧的长度为17cm；当所挂物体的质量为20kg时，弹簧的长度为19cm．（1）求y与x之间的函数表达式及该弹簧不挂物体时的长度；（2）若弹簧挂上一个物体后，弹簧长度为16cm，求这个物体的质量．22．（7分）图①是一个转盘，转盘被等分成三个区域，并分别标有数字2、3、7，图②是一个正五边形棋盘，现通过转动转盘的方式玩跳棋游戏．规则如下：将转盘转动后，看转盘指针指向的数字是几，就从图②中的A点开始在正五边形边上沿着顺时针方向连续跳过几个边（指针指向边界不计），第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．（1）随机转动一次转盘，则棋子跳动到点C处的概率是；（2）随机转动两次转盘，用画树状图或列表的方法．求棋子最终跳动到点A处的概率．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E．（1）求证：DC＝DE；（2）若DE＝6，tan∠CDA＝，求AD的长．24．（10分）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点（1，15）和（0，8），顶点为M，抛物线L 关于原点O对称的抛物线为L′，点M的对应点为点N．（1）求抛物线L的表达式及点M的坐标；（2）点P在抛物线L′上，点Q在抛物线L上，且四边形PMQN为周长最小的菱形，求点P的坐标．25．（12分）问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为；问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积；问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣2B．C．﹣D．2【分析】根据绝对值的定义进行计算．【解答】解：﹣的绝对值是．故选：B．2．（3分）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看是上下两个矩形，上面矩形靠左．故选：C．3．（3分）下列各运算中，计算正确的是（）A．（3a2）2＝6a4B．a12÷a3＝a9C．2a+3a＝5a2D．（a+b）2＝a2+b2【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝9a4，不符合题意；B、原式＝a9，符合题意；C、原式＝5a，不符合题意；D、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意．故选：B．4．（3分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，则∠AEB的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵BE∥AD，∴∠ABE＝∠BAD＝20°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝20°，∵∠C＝90°，∴∠AEB＝∠C+∠CBE＝90°+20°＝110°，故选：B．5．（3分）若一个正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．则下列各点在该正比例函数图象上的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，﹣9）D．（2，9）【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可找出在正比例函数图象上的点（四个选项中的点）．【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）．将（﹣3，6）代入y＝kx，得：6＝﹣3k，解得：k＝﹣2，∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．当x＝1时，y＝﹣2x＝﹣2，∴点（1，﹣2）在正比例函数y＝﹣2x的图象上，点（1，2）不在正比例函数y＝﹣2x 的图象上；当x＝2时，y＝﹣2x＝﹣4，∴点（2，﹣9），（2，9）均不在正比例函数y＝﹣2x的图象上．故选：A．6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝80°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，将△ACD沿AD折叠，使点C与AB上的点E重合，若CD＝4，则BE的长为（）A．3B．4C．4D．3【分析】根据折叠的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的判定即可得到结论．【解答】解：∵∠C＝80°，∠BAC＝60°，∴∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵将△ACD沿AD折叠，使点C与AB上的点E重合，∴∠AED＝∠C＝80°，DE＝DC＝4，∵∠BDE＝∠AED﹣∠B＝80°﹣40°＝40°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE＝4，故选：C．7．（3分）已知一次函数y＝﹣2x+4的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值可能为（）A．5B．6C．7D．8【分析】先在直线y＝﹣2x+4上任意取一点（1，2），然后根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数求出这点的对应点的坐标，然后代入平移后函数解析式计算即可求出m 值．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象经过一二四象限，∴一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移m个单位得到的图象与原图象关于原点对称，∴平移后的函数的解析式为y＝﹣2x+4﹣m，∵直线y＝﹣2x+4经过点（1，2），该点关于原点的对称点为（﹣1，﹣2），将（﹣1，﹣2）代入y＝﹣2x+4﹣m，得﹣2＝2+4﹣m，解得m＝8，故选：D．8．（3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（）A．8B．4C．D．【分析】如图，连接BD交AC于点O，连接EF．证明四边形EGFH是平行四边形，求出△OEG的面积即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，连接EF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠EAG＝∠FCH，∵点E、F分别为AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AC＝4AG＝4CH，∴AG＝OG＝OH＝CH，∴△EAG≌△FCH（SAS），∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，∴∠EGH＝∠FHG，∴EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴GH与EF互相平分，∴EF经过点O，∵S△AEO＝S正方形ABCD＝×16＝2，又∵AG＝OG，∴S△EOG＝S△AEO＝1，∴S平行四边形EGFH＝4S△EOG＝4．故选：B．9．（3分）如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD 的中点，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．12°B．15°C．18°D．20°【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，∠BAC＝50°，由圆周角定理可求∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，可求∠AOD＝30°，即可求解．【解答】解：如图，连接AO，BO，CO，DO，∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°，∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，∵点C是弧BD的中点，∴，∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°，∵∠AOC＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°，故选：B．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中y与x的部分对应值如表：x﹣2﹣10.5 1.5y50﹣3.75﹣3.75下列结论正确的是（）A．abc＜0B．4a+2b+c＞0C．若x＜﹣1或x＞3时，y＞0D．方程ax2+bx+c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝3【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），利用交点式求出y＝x2﹣2x﹣3，然后对各选项进行判断．【解答】解：∵x＝0.5，y＝﹣3.75；x＝1.5，y＝﹣3.75，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∵设y＝a（x+1）（x﹣3），把（﹣2，5）代入得5＝a×（﹣2+1）（﹣2﹣3），解得a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3，∴abc＞0，所以A选项错误；4a+2b+c＝4﹣4﹣3＝﹣3＜0，所以B选项错误；∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴x＜﹣1或x＞3时，y＞0，所以C选项正确；方程ax2+bx+c＝5表示为x2﹣2x﹣3＝5，解得x1＝﹣2，x2＝4，所以D选项错误．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）已知在实数﹣2，﹣，π，中，最小的一个数是﹣2．【分析】根据任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，分析得出答案．【解答】解：﹣2＜﹣＜0＜＜π．故最小的是﹣2．故答案为：﹣2．12．（3分）已知正六边形的边长为6，那么边心距等于．【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求出边心距．【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OA＝6，∠AOG＝30°，∴OG＝OA•cos 30°＝6×＝3．13．（3分）如图，点D是菱形AOCB的对称中心，点A坐标为（3，4），若反比例函数的图象经过点D，则反比例函数表达式为y＝．【分析】求出OA＝5，则点B的坐标可求出，求出点D的坐标，则反比例函数表达式可求出．【解答】解：∵点A坐标为（3，4），∴OA＝＝5，∵四边形AOCB是菱形，∴AB∥OC，∴B（8，4），∵点D是菱形AOCB的对称中心，∴D（4，2），设反比例函数表达式为y＝，∴2＝，∴k＝8，∴反比例函数表达式为y＝．故答案为：．14．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为3+3．【分析】如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC 于H．解直角三角形求出OE，OB，求出BE的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵EC＝2AE＝4，∴AE＝2，∴AC＝AE+EC＝6，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH＝HC＝3，EH＝AH﹣AE＝1，∵∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OH＝AH•tan30°＝，∴OE＝＝＝2，OA＝2OH＝2，∴OB＝OA＝2，∵BE≤OB+OE，∴BE≤2+2，∴BE的最大值为2+2，∵BE＝2DE，∴DE的最大值为1+，∴BD的最大值为3+3．故答案为3+3．三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出必要的过程）15．（5分）计算：﹣﹣|sin30°|+（）﹣1．【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣2﹣|﹣4×|+2＝﹣2﹣（2﹣）+2＝﹣2﹣2++2＝﹣．16．（5分）解方程：﹣1＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4＝x﹣2，解得：x＝﹣6，经检验x＝﹣6是分式方程的解．17．（5分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，请作△ABC的外接圆．（保面作图痕迹，不写作法）【分析】作AB的垂直平分线得到AB的中点O，再以O点为圆心，OA为半径作⊙O即可．【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；18．（5分）如图，点P为菱形ABCD对角线BD上一点，连接P A、PC．点E在边AD上，且∠AEP＝∠DCP．求证：PC＝PE．【分析】根据菱形的性质得到AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，根据全等三角形的性质得到AP＝CP，∠DCP＝∠DAP，等量代换得到∠DAP＝∠AEP，于是得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP与△CDP中，，∴△ADP≌△CDP，∴AP＝CP，∠DCP＝∠DAP，∵∠AEP＝∠DCP，∴∠DAP＝∠AEP，∴AP＝PE，∴PC＝PE．19．（7分）为发展学生的核心索养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课程：乐器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题．学生选修课程统计图：（1）补全条形统计图，补全扇形统计图中乐器所占的百分比．（2）本次调查学生选修课程的“众数”是舞蹈．（3）若该校有1600名学生，请你估计选修绘画的学生大概有多少名？【分析】（1）舞蹈人数及其所占百分比求得总人数，总人数乘以书法对应百分比可得其人数，依据各科目人数之和等于总人数求得绘画人数，再用乐器人数除以总人数可得其对应百分比；（2）根据众数的定义求解可得；（3）用总人数乘以样本中绘画对应的比例即可得．【解答】解：（1）被调查的总人数为20÷40%＝50（人），书法的人数为50×10%＝5（人），绘画的人数为50﹣（15+20+5）＝10（人），则乐器所占百分比为15÷50×100%＝30%，（2）本次调查学生选修课程的“众数”是舞蹈，故答案为：舞蹈；（3）估计选修绘画的学生大约有1600×＝320（人）．答：估计选修绘画的学生大概有320名．20．（7分）小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆AB的高度．小明站在点D处利用测倾器测得旗杄顶端A的仰角为45°，小华在BD之间放置一个镜子，并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点E处时，位于点D处的小明正好在镜子中看到旗杆顶端A，此时DE的距离为1.4米，已知测倾器的高为1.75米．请你根据以上信息，计算旗杆AB的高度．【分析】过点C作CF⊥AB于点F，可得四边形FBDC是矩形，根据入射角等于反射角可得，∠CED＝∠AEB，所以tan∠CED＝tan∠AEB，进而可求AF的长，最后求出AB 的长．【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，可得四边形FBDC是矩形，∴FB＝CD＝1.75，FC＝BD＝BE+1.4，根据题意，得∠ACF＝45°，∴AF＝CF，根据入射角等于反射角可知：∠CED＝∠AEB，∴tan∠CED＝tan∠AEB，∴＝，＝，∵AF＝FC，∴解得AF＝14，∴AB＝AF+FB＝14+1.75＝15.75（米）．答：旗杆AB的高度为15.75米．21．（7分）某弹簧在所挂物体质量不超过25kg时弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x （kg）之间近似的满足一次函数关系．经实验可知：当所挂物体的质量为10kg时，弹簧的长度为17cm；当所挂物体的质量为20kg时，弹簧的长度为19cm．（1）求y与x之间的函数表达式及该弹簧不挂物体时的长度；（2）若弹簧挂上一个物体后，弹簧长度为16cm，求这个物体的质量．【分析】（1）利用待定系数法解答即可求出y与x之间的函数表达式，由解析式即可得出该弹簧不挂物体时的长度；（2）把y＝16代入（1）的结论解答即可．【解答】解：（1）设弹簧的长度与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得，解得，即弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数表达式为：y＝0.2x+15；当x＝0时，y＝15，该弹簧不挂物体时的长度为15cm．（2）当y＝16时，0.2x+15＝16，解得x＝5．答：这个物体的质量为5kg．22．（7分）图①是一个转盘，转盘被等分成三个区域，并分别标有数字2、3、7，图②是一个正五边形棋盘，现通过转动转盘的方式玩跳棋游戏．规则如下：将转盘转动后，看转盘指针指向的数字是几，就从图②中的A点开始在正五边形边上沿着顺时针方向连续跳过几个边（指针指向边界不计），第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．（1）随机转动一次转盘，则棋子跳动到点C处的概率是；（2）随机转动两次转盘，用画树状图或列表的方法．求棋子最终跳动到点A处的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出数字之和为5的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）随机转动一次转盘，则棋子跳动到点C处的概率＝；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中棋子最终跳动到点A处的结果数为4，所以棋子最终跳动到点A处的概率＝．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E．（1）求证：DC＝DE；（2）若DE＝6，tan∠CDA＝，求AD的长．【分析】（1）根据切线的性质和三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质健康得到结论；（2）由（1）知，CD＝DE＝6，根据余角的性质得到∠COD＝∠CDE，于是得到tan∠CDA＝tan∠CDA＝＝，求得OC＝，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）连接BC，OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCB+∠DCB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO＝∠DCB，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠DCB，∵DE⊥AD，∴∠A+∠E＝∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠E，∵∠ABC＝∠BDC+∠DCB，∠DCE＝∠A+∠CDB，∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DCE＝∠E，∴CD＝DE；（2）由（1）知，CD＝DE＝6，∵∠OCD＝∠ADE＝90°，∴∠CDO+∠COD＝∠CDO+∠CDE＝90°，∴∠COD＝∠CDE，∴tan∠CDA＝＝，∴OC＝8，∴OD＝＝10，∴AD＝10+8＝18．24．（10分）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点（1，15）和（0，8），顶点为M，抛物线L 关于原点O对称的抛物线为L′，点M的对应点为点N．（1）求抛物线L的表达式及点M的坐标；（2）点P在抛物线L′上，点Q在抛物线L上，且四边形PMQN为周长最小的菱形，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）求出M，M′的坐标，利用菱形的性质可知MM′⊥PQ，求出直线PQ的解析式，构建方程组确定点P的坐标，再根据周长最小，判定点P的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c经过点（1，15）和（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+6x+8，∵抛物线L：y＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，∴顶点M（﹣3，﹣1），（2）∵抛物线L′与抛物线L关于原点对称，抛物线L的顶点M（﹣3，﹣1），∴抛物线L′的顶点M′（3，1），解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1＝﹣x2+6x﹣8∵四边形PMQM′是菱形，∴PQ⊥MM′，∵直线MM′的解析式为y＝x，∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x，由，解得或，∴P（1，﹣3）或（8．﹣24）．∵菱形PMQM′的周长最小，∴P（1，3）．25．（12分）问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为10；问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积；问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点A作AH⊥BC，根据等边三角形的性质、正弦的定义求出AH，根据三角形的面积公式计算，得到答案；（2）将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH，根据三角形的面积公式计算即可；（3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°并缩小为，得到△ABG，根据角平分线的性质、三角形的面积公式得到＝，根据圆周角定理、结合图形求出△AQE的面积的最小值，计算即可．【解答】解：（1）如图①，过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴△ACD的面积＝×CD×AH＝×4×10•sin60°＝10，故答案为：10；（2）如图②，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠EAH＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EH＝EF＝5，∴S△AEF＝S△AEH＝×5×6＝15；（3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°并缩小为，得到△ABG，则AG＝AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，过点E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N，∵∠EAG＝∠EAF，EM⊥AG，EN⊥AF，∴EM＝EN，∴＝，设△AGE的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OE，过得O作OH⊥GE于H，则∠GOE＝2∠EAG＝90°，设△AGE的外接圆的半径为R，则GE＝R，OH＝R，由题意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得，R≥8﹣4，∴△AGE的面积≥××（8﹣4）×4＝16﹣16，∴△AGE的面积的最小值为16﹣16，∴△AEF的面积的最小值为24﹣24．。