北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)数学(文)试题
北京市东城区高三数学5月综合练习(二模)试题理
北京市东城区2017届高三数学5月综合练习（二模）试题 理本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ð（A ）{|2x x ?或2}x ³ （B ）{|2x x <-或2}x >（C ）{|22}x x -<< （D ）{|22}x x -＃（2）下列函数中为奇函数的是（A ）cos y x x =+ （B ）sin y x x =+ （C）y （D ）||e x y -=（3）若,x y 满足10,00,x y x y y ì-+?ïï+?íï³ïî，则2x y +的最大值为（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）2 （4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15172a a +=，244a a =，则6=S （A ）2716 （B ）278 （C ）634 （D ） 632（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是 （A ）5432222221+++++ （B ）5432222225+++++ （C ）654322222221++++++ （D ）43222221++++（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（A ） （B ） （C ） （D ）（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B p ，B C p ，则A C p（B ）若A B p ，B C p 同时不成立，则A C p 不成立 （C ）A B p ，B A p 可同时不成立 （D ）A B p ，B A p 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
高三数学(文)二模金卷分项解析：专题11-数学文化(含答案)
【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】一、选择题【2017湖南娄底二模】我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（ ）A. 多712斤B. 少712斤C. 多16斤D. 少16斤 【答案】D【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等数列{}n a ,则123789104,3a a a a a a a ++=+++=,由等差数列的性质得28943,32a a a =+=， ()289431326a a a -+=-=-,故选D. 【2017重庆二诊】《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）A. 10日B. 20日C. 30日D. 40日【答案】B【2017安徽黄山二模】在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？ ” (加增的顺序为从塔顶到塔底). 答案应为 （ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】设顶层有x 盏灯，根据题意得： 2481632643813x x x x x x x x ++++++=⇒=故选D.点睛：这一个等比数列的实际运用，认真审题然后分析列式即可【2017安徽池州4月联考】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得其关，”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程，则下列说法错误的是（ ）A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第三天走的路程占全程的18D. 此人后三天共走了42里路【答案】C【2017安徽合肥二模】中国古代数学有着很多令人惊叹的成就.北宋沈括在《梦澳笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术.隙积术意即:将木捅一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab个木桶.每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶()()()226n a c b c a d d b ⎡⎤++++-⎣⎦个.假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层.则木桶的个数为（ ）A. 1260B. 1360C. 1430D. 1530【答案】B【解析】由题可知2,1,16,15,a b c d ====所以木桶的个数为()()15[221612162151413606⨯⨯+⨯+⨯+⨯+=,故本题选.B【河南郑州、平顶山。
北京市东城区2008届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)
北京市东城区2007-2008学年度第一学期期末教学目标检测高三数学 （文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
１．已知集合{}{}512,0342<+=<+-=x x N x x x M ，则N M 等于 （ B ） A ．{}31<<x x B ．{}21<<x x C ．{}3<x x D ．{}32<<x x 2．“34πα=”是“23sin -=α”的 （ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数)()(3R x x x x f ∈+= ( A ) A ．是奇函数且在),(+∞-∞上是增函数 B ．是奇函数且在),(+∞-∞上是减函数 C ．是偶函数且在),(+∞-∞上是增函数 D ．是偶函数且在),(+∞-∞上是减函数4． 5)2(-x 的展开式中含3x 项的系数是 （ C ）A ．10B ．10-C ．40D ．40- 5． 已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，有下列四个命题： ①若α⊂n n m ,//，则α//m ②若αα//,//n m ，且ββ⊂⊂n m ,，则βα// ③若αα⊂n m ,//，则n m // ④若βα//，α⊂m ，则β//m 其中正确命题的个数是 （ A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ D ）A ．9个B ．24个C ．3６个D ．54个7．如图，在ABC RT ∆中，2,4==CB CA ，M 为斜边AB 的中点，则MC AB ⋅的值为( B )A ．1B ．6C ．5D ． 108．如图，在平面直角坐标系xOy 中，)1,1(,)0,1(B A ，映射f 将xOy 的点),(y x P 对应到另一个平面直角坐标系v uO '上的点),2('22y x xy P -例如xOy 平面上的点)1,2(P 在映射f 的作用下对应到v uO '平面上的点)3,4('P ，则当点P 在线段AB 上运动时，在映射f 的作用下，动点'P 迹是（ B ）A. B ． C ． D ．北京市东城区2007-2008学年度第一学期期末教学目标检测高三数学（文科）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
北京市东城区2014届高三下学期综合练习二文科试卷(带解析)
北京市东城区2014届高三下学期综合练习二文科试卷（带解析）1．设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则A B =（ ）（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{1,0,1,2}- 【答案】B 【解析】试题分析：∵12x +≥，∴3x ≥，∴{|3}A x x =≥，∵={2,1,01,2}B --，∴{1,2}A B =.考点：集合的交集. 2．在复平面内，复数21i-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】A 【解析】 试题分析：22(1)11i (1i)(1+i)i i +==+--，对应的点为（1,1）在第一象限. 考点：复数的运算、复数和点的对应关系.3．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为（ ）（A ）2或2- （B ）1-或2- （C ）1或2- （D ）2或1- 【答案】C 【解析】试题分析：当0x ≥时，210x -=，即1x =；当0x <时，220x x +=，即2x =-，所以输入的x 的值为1或-2. 考点：程序框图.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是（ ） （A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）72 【答案】C 【解析】试题分析：∵6726a a =+，∴6676a a a +=+，∴5776a a a +=+，∴56a =， ∴195599()9()5422a a a a S ++===. 考点：等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式. 5．已知tan =2α，那么sin 2α的值是（ ） （A ）45-（B ）45 （C ）35- （D ）35【答案】B【解析】试题分析：2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++.考点：齐次式、倍角公式.6．已知函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，()(||)g x f x =，若),1()(lg g x g >则x 的取值范围是（ ）（A ）(0,10) （B ）(10,)+∞ （C ）1(,10)10 （D ）1(0,)(10,)10+∞ 【答案】D【解析】试题分析：∵()(||)g x f x =，∴)1()(lg g x g >(|lg |)(1)f x f ⇔>，∵函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，∴|lg |1x >，∴lg 1x >或lg 1x <-，∴10x >或110x <，又∵0x >，∴10x >或1010x <<. 考点：函数的单调性、不等式的解法.7．已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（ ）（A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)--【答案】A 【解析】试题分析：∵AB 的中点为（0,2），直线AB 的斜率为1k =-，∴线段AB 的垂直平分线为2y x =+，设(,)D a b ，则CD 中点为58(,)22a b ++在2y x =+上，且815CD b k a -==--， ∴85222815b ab a ++⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，∴67a b =⎧⎨=⎩，∴D 点坐标为(6,7).考点：中点坐标公式、直线的方程.8．对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ） （A ）(2,1)- （B ）[0,1] （C ）[2,0)- （D ）[2,1)- 【答案】D 【解析】试题分析：∵222224,234,141(1)(4)1,231,141x x x x x x y x x x x x x x ⎧+≤-≥⎧+---≥=-+==⎨⎨--≤≤----<⎩⎩或， ∵函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，∴2(1)(4)y x x =-+的图像与y k =-的图像有三个交点， ∴2(1)(4)y x x =-+的图像如图所示，根据图像得：12k -<-≤，∴21k -≤<.考点：函数图像.9．函数0.5log (43)y x =-的定义域是 ． 【答案】3[,)4+∞ 【解析】试题分析：只需430x ->，∴34x >，所以函数0.5log (43)y x =-的定义域是3[,)4+∞. 考点：函数的定义域.10．已知平面向量(1,2)=a ，(2,)m =-b ，且a ∥b ，则=b ．【答案】【解析】试题分析：∵a ∥b ，∴40m -=，∴4m =，∴(2,4)b =-，∴2||(2)b =-=考点：向量平行的充要条件、向量的模.11．在区间[0,6]上随机取两个实数x ，y ,则事件“26x y +≤”的概率为_________． 【答案】14【解析】试题分析：符合题意的区域范围如图所示，所以概率为13612664P ⨯⨯==⨯.考点：几何概型.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意*n ∈N ,有232n n S a =-，则1a = ；n S = ．【答案】2 31n - 【解析】试题分析：当1n =时，11232S a =-，∴12a =， ∵11232232,(2)n n n n S a S a n --=-⎧⎨=-≥⎩，∴1233n n n a a a -=-，即13nn a a -=， ∴数列{}n a 是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴2(13)3113n n n S -==--. 考点：由n S 求n a ，等比数列的前n 项和公式.13．过点(1,0)A -且斜率为(0)k k >的直线与抛物线24y x =相交于B ，C 两点，若B 为AC 中点，则k 的值是 ．【答案】3【解析】直线(1)y k x =+，设11(,)B x y ，22(,)C x y ，则由有B 为AC 中点，则2112121x x x x -+⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴12122x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则C 带入直线(1)y k x =+中，有(21)k =+，∴k =考点：直线方程、中点坐标公式.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），1PA PC m +=，①若2m =，则满足条件的点P 的个数为________；②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6，则m 的取值范围是________． 【答案】6{21}+ 【解析】试题分析：①2m =时，112PA PC AC +=>=结合椭圆定义知，动点P 轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心，1,A C 为焦点的椭圆体.⑴当椭圆体与AB 有交点时，则由对称性知椭圆体必与11C D 11,AD B C ，11,AA CC 有交点.设,(01)AP a a =<<，则1C P m a =因为10m '=<，所以1).m ∈由于2m =，所以此时有六个交点.⑵当椭圆体与11A B 有交点时，则由对称性知椭圆体必与CD 11,A D BC ，11,BB DD 有交点.设1,(01)A P a a =<<，则1C P m因为0m '==得1.2a =所以1).m ∈由于2m =，所以此时无有六个交点.说明：当0a =或1a =时，椭圆体与正方体交于除1,A C 外的六个顶点.②若m <则动点P 不存在.若m =则动点P 轨迹为线段1AC ，满足条件的点P的个数为2.因此m >即动点P 轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心，1,A C 为焦点的椭圆体.由①分析可知，要使得满足条件的点P 的个数为6，须使得){21}m ∈+. 考点：椭圆的标准方程及其性质.15．已知函数2()sin cos f x x x x =.（1）求()12f π的值； （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．【答案】（1）1()122f π=；（2）最小值0，最大值32.【解析】试题分析：本题主要考查诱导公式、倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式、三角函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、运用数学公式计算的能力，考查学生的数形结合思想.第一问，先利用诱导公式、倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，使之化简为()sin(+)+f x A x B ωϕ=的形式，再将12π代入求三角函数值；第二问，将已知x 的范围代入第一问化简的表达式中，求出角26x π-的范围，再数形结合得到最大值和最小值.（1）2()sin cos f x x x x =1cos 222x x -=+112cos 222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+．所以()16f π=． 7分（2）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤．所以，当266x ππ-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最小值0；当262x ππ-=时，即3x π=时，函数()f x 取得最大值32． 13分考点：诱导公式、倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式、三角函数最值.16．汽车的碳排放量比较大，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km ）．经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120g /km x =乙．（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率是多少？（2）求表中x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性． 【答案】（1）0.7；（2）120x =，乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. 【解析】试题分析：本题主要考查随机事件的概率、平均数、方差等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，5辆甲品牌汽车任取2辆，写出所有情况，在所有情况中选出至少有一辆二氧化碳的情况种数，相除得到概率；第二问，先利用乙品牌的平均数得到x 的值，再利用2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-求出甲、乙的方差，先比较甲和乙的平均数，如果相差不大或相等，再比较方差，方差越小表示二氧化碳排放量的稳定性越好.（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆， 共有10种不同的二氧化碳排放量结果：(80,110)，(80,120)，(80,140)，(80,150)，(110,120)， (110,140)，(110,150)，(120,140)，(120,150)，(140,150)．设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km ”为事件A ， 则事件A 包含以下7种不同的结果：(80,140)，(80,150)，(110,140)，(110,150)，(120,140)，(120,150)，(140,150)．所以 7()0.710P A ==． 即至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率为0.7． 6分 （2）由题可知，120x =乙，所以4801205x+=，解得 120x =． 22222215600.s ⎡⎤=++++⎣⎦=甲（80-120）（110-120）（120-120）（140-120）（150-120） 22222215480.s ⎡⎤=++++⎣⎦=乙（100-120）（120-120）（120-120）（100-120）（160-120）， 因为 22120x x s s ==>乙乙甲甲，，所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好． 13分 考点：随机事件的概率、平均数、方差.17．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °，平面PAB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点． （1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求证：AB PE ⊥；（3）求三棱锥P BEC -的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）P BEC V -=【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D 、E 分别为AB 、AC 中点，所以利用三角形的中位线得出DE ∥BC ，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由BC AB ⊥，而DE ∥BC 得DE AB ⊥，而D 为AB 中点，PA=PB ，得PD A B ⊥，所以利用线面垂直的判定得AB ⊥平面PDE ，再利用线面垂直的性质得AB PE ⊥；第三问，由于PD AB ⊥，利用面面垂直的性质得PD ⊥平面ABC ，所以PD 是三棱锥的高，而12BEC ABC S S ∆∆=，所以12P BEC P ABC V V --=. （1）因为D ，E 分别为AB ，AC 中点， 所以DE ∥BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以DE ∥平面PBC . 4分 （2）连结PD ，因为DE ∥BC ，又90=∠ABC °， 所以DE AB ⊥.又PA PB =，D 为AB 中点， 所以PD AB ⊥.所以AB ⊥平面PDE ，所以AB PE ⊥. 9分（3）因为平面PAB ⊥平面ABC ， 有PD AB ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ，所以11112322322P BEC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=. 14分 考点：线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积. 18．已知a ∈R ，函数3211()(2)62f x x a x b =+-+，()2ln g x a x =． （1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处的切线互相垂直，求a ，b 的值；（2）设()'()(F x f x g x =-，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()()F x F x a x x ->-，求a 的取值范围．【答案】（1）1a =，或12a =；（2）12a ≤-. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，由于()f x 与()g x 在(1,)c 处的切线互相垂直，所以两条切线相互垂直，即斜率相乘得-1，对()f x 和()g x 求导，将1代入得到两切线的斜率，列出方程得出a 的值；第二问，先将“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()()F x F x a x x ->-”转化为“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()()F x F x a x x ->-”，令()()G x F x ax =-，则原命题等价于()()G x F x ax =-在(0,)+∞是增函数，对()G x 求导，判断导数的正负，决定函数的单调性. （1）21'()(2)2f x x a x =+-，3'(1)2f a =-． 2'()ag x x=，'(1)2g a =． 依题意有'(1)'(1)1f g =-，可得32()12a a -=-，解得1a =，或12a = ． ６分 （2）21()(2)2ln 2F x x a x a x =+--． 不妨设12x x <， 则2121()()F x F x a x x ->-等价于2121()()()F x F x a x x ->-，即2211()()F x ax F x ax ->-． 设()()G x F x ax =-，则对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()F x F x a x x ->-，等价于()()G x F x ax =-在(0,)+∞是增函数．21()2ln 22G x x a x x =--，可得2222'()2a x x a G x x x x--=--=， 依题意有，对任意0x >，有2220x x a --≥．由2222(1)1a x x x ≤-=--，可得12a ≤-． 13分 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线.19．已知椭圆22221x y a b +=的一个焦点为(2,0)F（1）求椭圆方程；（2）过点(3,0)M 且斜率为k 的直线与椭圆交于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为C ，求△MBC 面积的最大值.【答案】（1）22162x y +=；（2）2. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、均值定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的焦点、离心率的定义列出方程，解出基本量a 和b ，得到椭圆的标准方程；第二问，利用点斜式先设出直线l 的方程，令直线与椭圆方程联立，消参得到关于x 的方程，利用韦达定理得到12x x +，12x x ，列出AMC ∆和ABC ∆的面积，从而得到MBC ∆的面积表达式，将12x x +，12x x 代入，最后利用均值定理得到最大值，注意要讨论最大值成立的条件.（1）依题意有2c =，c a =． 可得26a =，22b =． 故椭圆方程为22162x y +=． ５分 （2）直线l 的方程为(3)y k x =-． 联立方程组22(3),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得2222(31)182760k x k x k +-+-=． （*）设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 故21221831k x x k +=+，212227631k x x k -=+． 不妨设12x x <，显然12,x x 均小于3． 则111112(3)(3)2AMC S y x y x =⋅⋅-=-， 12112112()()2ABC S y x x y x x =⋅⋅-=-． 1212(3)(3)(3)MBC ABC AMC S S S y x k x x =-=-=-- 121223[93()]31k k xx x x k =-++=+ ≤=． 等号成立时，可得213k =，此时方程（*）为 22630x x -+=，满足0∆>． 所以MBC ∆面积S 13分 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、均值定理.20．设a 是一个自然数，()f a 是a 的各位数字的平方和，定义数列{}n a ：1a 是自然数，1()n n a f a -=（*n ∈N ，2n ≥）． （1）求(99)f ，(2014)f ；（2）若1100a ≥，求证：12a a >；（3）求证：存在*m ∈N ，使得100m a <．【答案】（1）(99)162f =，(2014)21f =；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题是一道新定义题，主要考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和转化能力.第一问，由于()f a 是a 的各位数字的平方和，所以22(99)99162f =+=，2222(2014)201421f =+++=；第二问，通过题干中给出的()f a 的定义设出1a 的值，利用21()a f a =，得到2a 的值，然后用作差法比较1a 和2a 的大小；第三问，用反证法，先假设不存在*m ∈N ，使得100m a <，经过推理得出矛盾即可.（1）22(99)99162f =+=；2222(2014)201421f =+++=． 5分（2）假设1a 是一个n 位数（3n ≥），那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+， 其中09i b ≤≤且i b ∈N （1i n ≤≤），且0n b ≠．由21()a f a =可得，2222221321n n a b b b b b -=+++++．1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+-12211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-+- 所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---．因为0n b ≠，所以1(10)99n n n b b --≥．而11(1)72b b -≤，所以120a a ->，即12a a >． 9分（3）由（2）可知当1100a ≥时， 12a a >．同理当100n a ≥时， 1n n a a +>．若不存在*m ∈N ，使得100m a <．则对任意的*n ∈N ，有100n a ≥，总有1n n a a +>．则11n n a a -≤-，可得1(1)n a a n ≤--．取1n a =，则1n a ≤，与100n a ≥矛盾．存在*m ∈N ，使得100m a <． 14分考点：归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想.。
【全国市级联考】北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)理数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. 或B. 或C. D.【答案】A【解析】，所以，故选择A.2. 下列函数中为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A和C为非奇非偶函数，为偶函数，令，定义域为，，故为奇函数，故选B.3. 若满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由约束条件，作出可行域如图：由，解得，化目标函数为直线方程的斜截式，得，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，最大，此时，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 设是非零向量，则“共线”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知等比数列为递增数列，是其前项和.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵数列为等比数列且，∴，又∵且为递增数列，∴，，则公比，故，故选D.6. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的，则程序框图计算的是（）A. B.C. D.【答案】A7. 动点从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周，两点间的距离与动点所走过的路程的关系如图所示，那么动点所走的图形可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：对于、，当位于，图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除、，对于，其图象变化不会是对称的，由此排除，故选C.点睛：本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答的过程当中充分体现了观察图形、分析图形以及应用图形的能力．体现了函数图象与实际应用的完美结合，在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点，包括对称性、圆滑性等，再结合所给，两点连线的距离与点走过的路程的函数图象即可直观的获得解答.8. 据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和,令,若中元索个数大于,則称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格,记作: ,现有三种蔬菜下列说法正确的是（）A. 若,则B. 若同时不成立，则不成立C. 可同时不成立D. 可同时成立【答案】C点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 复数在平面内所对应的点的坐标为__________．【答案】【解析】在复平面内对应点的坐标为.10. 在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．【答案】【解析】直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解得，故答案为1.点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，以及直线与圆的位置关系，难度一般；主要是通过，，将极坐标方程转化为直角坐标方程，即可得圆与直线的方程，圆与直线相切等价于圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离即可得到结果.11. 某校开设类选修课门，类选修课门，每位同学需从两类选修课中共选门.若要求至少选一门类课程，则不同的选法共有__________ 种.（用数字作答）【答案】【解析】可分为以下两类：①选一门类课程：；②选一门类课程：，则至少选一门类课程不同的选法共有种，故答案为.12. 如图，在四边形中，，则___________；三角形的面积为__________．【答案】(1). (2).13. 在直角坐标系中中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点，其中点在轴上方.若直线的倾斜角为，则__________．【答案】【解析】抛物线的焦点的坐标为，∵直线过，倾斜角为，∴直线的方程为：，即，代入抛物线方程，化简可得，∴，或，∵A在轴上方，故，则，则，故答案为.14. 已知函数.①若有且只有个实根，则实数的取值范围是__________．②若关于的方程有且只有个不同的实根，则实数的取值范闱是__________．【答案】(1). (2).【解析】函数图像如下图，根据上图，若只有1个实根，则；若将函数的图像向左平移T=2个单位时，如下图所得图像与的图像在上重合，此时方程有无穷多个解，所以若方程有且只有3个不同的实根，平移图像，如下图观察可知或，方法点睛：本题主要考查函数图像，理解函数并画出函数图像，然后将方程有且只有1个实根转化为两个函数图像有且只有一个交点，主要考查函数零点的划归与转化能力.另外本题考查函数图像平移，将方程有且只有个不同的实根，转化为平移后两个函数图像有且只有3个交点，考法新颖、创新性强，考查学生分析问题、解决问题的能力，重点考数形结合思想.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数.（1）若，求的值；（2）若在上单调递减，求的最大值.【答案】(1) ; (2) .试题解析：(1)因为，所以，所以.(2)由题意.其中，所以，且，所以当时，,所以.所以，所以，所以的最大值为.考点：1.三角恒等变换公式；2.正弦型函数的单调性.16. 小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园,根据旅游局统计数据，该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，以下为舒适，为一般，以上为拥挤），情况如图所示，小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览天.（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（2）设是小明游览期间遇上舒适的天数，求的分布列和数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）【答案】（1）；（2）的分布列为的期望；（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.试题解析：设表示事件“小明8月11日起第日连续两天游览主題公园”，根据题意，，且.（1）设为事件“小明连续两天都遇上拥挤”.则，所以.（2）由题意，可知的所有可能取值为.且；；，所以的分布列为故的期望.（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.考点：1.古典概型；2.离散性随机变量分布列和期望；3.方差.17. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析；(2) ；(3)见解析.试题解析：（Ⅰ）取中点，连结．因为分别为中点，所以∥．又平面且平面，所以∥平面，因为∥，，所以∥，．所以四边形为平行四边形．所以∥．又平面且平面，所以∥平面，又，所以平面∥平面．又平面，所以∥平面．（Ⅱ）取中点，连结，．因为，所以．因为平面平面，所以平面，．因为，，所以△为等边三角形．因为为中点，所以．设直线与平面成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）设是上一点，且，，因此点．．由，解得．所以在棱上存在点使得，此时．点睛：本题主要考查了线面平行的判定，利用空间向量求空间角以及探究性问题在立体几何中的体现，常见的证明线面平行的方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、通过面面平行得到线面平行等；直线的方向向量与平面的法向量所成的角满足，对于线线垂直转化为向量垂直，即数量积为0.18. 设函数）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围.【答案】(1) ；(2) 或.试题解析：(1)当时，因为，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.(2)“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”.因为，所以在上的最大值为.,令，得或.①当，即时，在上恒成立，在上为单调递增函数，的最大值大为，由，得；③当，即时，在上恒成立，在上为单调递减函数，所以的最大值大为，由，得，又因为，所以，综上所述，实数的取值范围是或.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题.方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”. 19. 已知椭圆的短轴长为，右焦点为，点时是椭圆上异于左、右顶点的一点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与直线交于点，线段的中点为.证明：点关于直线的对称点在直线上.【答案】(1) ；(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由短轴长为，得，结合离心率及可得椭圆的方程；（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”，设出直线的方程为，可解出，的坐标，联立直线与椭圆的方程可得点坐标，分为当轴时，即可求得的角平分线所在的直线方程，可得证，当时，利用点到直线的距离可求出点到直线的距离，即可得结果.① 当轴时，，此时．所以．此时，点在的角平分线所在的直线或，即平分．② 当时，直线的斜率为，所以直线的方程为，所以点到直线的距离．即点关于直线的对称点在直线上．20. 对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量. 对于两个维向量定义.（1）若, 求的值；（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量.(3) 现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的.【答案】(1) ；(2)见解析；（3）此时.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据的定义可求得其值；（Ⅱ）利用反证法，向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，根据，得出矛盾；（Ⅲ）根据题意可得.试题解析：（Ⅰ）由于，，由定义，可得.又因为，说明中的分量有个数值发生改变，进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾.所以该序列中不存在维向量.（Ⅲ）此时.。
北京市东城区2024届高三下学期5月二模试题 数学 含答案
北京市东城区2023-2024学年度第二学期高三综合练习（二）数学2024.5本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知梊合A=｛斗x+l$0},B ={x l -2釭<l}，则A `B= （）(A){xix< l }(C )｛斗立－2}CB) {xl-2sx<l}(D)伈|－2$x$-l}(2)下列函数中，在区间(1,+w ）上单调递减的是（）(A)f(x)＝石(8).f(x)=e 勺l CD) f (x) = In.xCC)f (x) = x +-冗7冗石(3)在丛ABC 中，A ＝一，C=-,b = ，则a = （(A)I4 12(B)五(C)石(D)2X2y 2(4)已知双曲线一－－－－＝l(a>a 2 b2 (a> O,b> 0)过点(3，五），且一条渐近线的倾斜角为30,则双曲线的方程为（）X2(A)—-y 2= l322Xy (C)—-—=1 622CB) x 2_2'..:.. = 13(D)x 2-4沪＝1(5)直线l:y = -1与圆E: x 2 + y 2 -4x = 0交千A,B 两点，若圆上存在点C,使得6ABC 为等腰三角形，则点C 的坐标可以为（(A)（O,0)(B)(4,0)CC)(1，f3)(D)(2,2)(6)袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球．从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机膜出l个小球，则两次膜到的小球颜色不同的概率为（2 3 4(A).:. (B).::.(C).:. (D)...:..5 5 5 5(7)已知函数f(x)=lx-lle x与直线y=l交千A(x i,y,),B（凸心）两点，则1斗－对所在的区间为（）(A)(0,1)CB) (1,2) CC){2,3)(D)(3,4)(8)已知平面向量ei 'e2'伤，e4是单位向批，且el..L今，则”ei.e3= e z. e4"是“e3·e4= 0"的（）(A)充分不必要条件(C)充分必要条件(B)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件(9)庐音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为2冗h(t) = Asin妞(A>O,u)>O)，其中A表示振幅，响度与振幅有关；T表示最小正周期，T＝—-，它是Q物体振动一次所需的时间；J表示频率，f=－，它是物体在单位时间里振动的次数下表为我国古代五T声音阶及其对应的频率j.：音宫商角徵习习归�Hz I 440Hz小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔－个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设3两次声音咱度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在［主＋00］上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（）(A)宫(B)商(C)角(D)徵(l0)设无穷正数数列忆｝，如果对任意的正整数n,都存在唯一的正整数m,使得a111 = a, +a2 +a产...+a n,那么称忆｝为内和数列，并令丸＝m,称｛bl，}为{a n}的伴随数列，则（）(A)若忆｝为等差数列，则忆｝为内和数列(B)若忆｝为等比数列，则忆｝为内和数列（C)若内和数列忆｝为递增数列，则其伴随数列{b,,}为递增数列(D)若内和数列忆｝的伴随数列仇｝为递增数列，则忆，，｝为递增数列第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
【全国市级联考】北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)文数(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集错误！未找到引用源。
是实数集错误！未找到引用源。
，右边的韦恩图表示集合错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为错误！未找到引用源。
，由题错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，故选择D.2. 已知向量错误！未找到引用源。
，且错误！未找到引用源。
，那么错误！未找到引用源。
的值为（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，故选择C.3. 下列函数既是奇函数，又在区间错误！未找到引用源。
上单调递减的是（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】选项A是奇函数，在区间错误！未找到引用源。
上不单调递减；选项B非奇非偶函数；选项D是偶函数；根据函数图像可知C正确.4. 在平面直角坐标系中，不等式组错误！未找到引用源。
，所表示的平面区域的面积为（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】不等式组表示的平面区域如下图，面积为1，故选择A.5. 已知错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，那么“错误！未找到引用源。
”的充分必要条件是（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
2018北京东城高三二模语文试题及答案
2018北京东城高三二模语文试题及答案北京市东城区2017—2018学年度第二学期高三综合练习（二）语文 2018.5 本试卷共10页，150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、本大题共8小题，共24分。
阅读下面的文字，回答1—8题。
材料一墨作为书写工具，同时也是重要的文化传承载体，已有几千年的历史。
殷商时代的甲骨文就以石墨、朱砂填色。
汉代纸料发明后，出现了一种以漆烟和松煤制成的丸状墨，这是日后用墨的滥觞．。
唐代是文化交流最广泛的朝代之一。
唐末奚超避乱至歙州，见此地多松且质优，新安江水质极佳，因此留在此地制墨。
因墨的主产区为歙州，故得名“歙墨”。
其后奚超之子改进捣烟、和胶的方法，制成了“拈来轻、嗅来馨、磨来清”“丰肌腻理、光泽如漆”的佳墨。
制墨工艺的改进，让书写更加流利，也加快了文化的传播速度。
宋室南渡后，宋墨的制作技艺臻．于成熟。
制墨业的繁荣表现在三个方面：第一，油烟墨的创立，开辟了中国制墨业的新领域。
千百年来，制墨主要以松烟为原料，由于长年累月取松烧烟，致使松树被砍伐殆．尽，新的制墨原料——桐油烟便应．运而生。
第二，制墨从业人员众多，名家辈出。
宋代制墨名家见诸史册的多达百余人，他们在选料、配方、烧制、用胶、捣杵等工艺方面，都有独到之处。
第三，达官贵人及文人墨客与制墨工匠切磋技艺，促进了制墨技艺的发展。
创造“瘦金体”书法的宋徽宗喜欢墨又懂制墨，他亲自实践，推动了制墨业的发展。
苏轼、陆游、黄庭坚等文人都有过参与制墨的经历。
宣和三年A.徽墨的发展经历了石墨、汉代丸状墨、唐代歙墨三个阶段B.唐墨以桐油烟为主要原料，墨色黑润，坚而有光，馨香浓郁C.清代徽墨墨雕题材丰富，一块徽墨的装饰图案汇集多种文化元素D.具有厚重历史文化的徽墨坚持创新，不断充实中国文化的内涵3.根据材料一，下列不属于．．．明代徽墨蓬勃发展原因的一项是（3分）A.新原料的应用B.新工艺的使用C.雕刻技术的进步D.文化人士的呼吁材料二作为传统工艺制品，徽墨因其装饰图案文化内容丰富，兼具实用与欣赏功能。
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北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）
数学 （文科） 第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
A ．2-
B ．4-
C ．8-
D ．16- 3．下列函数既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是
A ．x x f sin )(=
B ．()|1|f x x =+
C ．()f x x =-
D ．()cos f x x =
4．在平面直角坐标系中，不等式组0,
2,x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
所表示的平面区域的面积为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 5．已知,R x y ∈，那么“x y >
”的充分必要条件是
A ．22x
y
>B ．
lg lg x y >C ．
11
x y
>D ．22x
y > 6．已知直线(0)x y m m +=>与圆122=+y x 相交于P ，Q 两点，且︒=∠120POQ (其中O 为原点)，那么
m 的值是
A ．3
B ．2
C ．
7．日晷，是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”．其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久．下图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为
AB
CD
8．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为x ，装满纯酒精，乙容器容量为z ，其中装有体积为y 的水(,x y z <，单位：L). 现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计. 设经过n *()N n ∈次操作之后，乙容器中含有纯酒精n a (单位：L)，下列关于数,列{}n a 的说法正确的是
A ．当x y a ==时，数列{}n a 有最大值
2a
B ．设1n n n b a a +=-()*
n ∈N ，则数列{}n b 为递减数列
C ．对任意的*
n ∈N ，始终有n xy a z ≤
D ．对任意的*
n ∈N ，都有n xy a x y ≤
+
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知ABC ∆三内角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，且23
B π
=
，又边长3b c =，那么 sin C =
．
A
1
10．已知11
i 1i 2
n =-+，其中n 是实数，i 是虚数单位，那么=n ．
11．右面茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填_____；y 的位置应填_____.
12．已知函数()ln 26f x x x =+-的零点在区间1
(,
)22
k k +()k Z ∈内，
那么k = .
13．已知双曲线G 以原点O 为中心，过4)点，且以抛物线C ：2
4y x =的焦点为右顶点，那么双曲线G 的方程为．
14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC
D -中，
E 为对角线1B D 上的一点，,M N 为对角线AC 上的两个动点，且线段MN 的长度为1.
（1）当N 为对角线AC 的中点且DE =时，则三棱锥E DMN -的体
积是_______；
（2）当三棱锥E DMN -的体积为1
3
时，则=DE _______.
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题13分）
在等差数列{}n a 中，12a =-，1220a =.
（Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若12n n a a a b n
++= ，求数列{}3n b
的前n 项和.
16.（本小题13分）
函数()sin()(0,0)6
f x A x A π
ωω=+
>>的最大值为2, 它的最小正周期为2π.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若()cos ()g x x f x =⋅，求()g x 在区间ππ
[-,]64
上的最大值和最小值.
17．（本小题13分）
某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有50个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：
如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的10%，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报.
（Ⅰ）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率； （Ⅱ）从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率； （Ⅲ）当停车场乙发出饱和警报时，求停车场甲也发出饱和警报的概率.
18．（本小题14分）
如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，侧面11ADD A 和侧面11CDDC 都是矩形，//BC AD ，
ABD ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别为AD ，11A D 的中点. （Ⅰ）求证：1DD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11ADD A ； （Ⅲ）若//CF 平面1A BE ，求棱BC 的长度.
19．（本小题13分）
设函数x
e a x x
f ⋅-=)()(，a ∈R ．
（Ⅰ）当1=a 时，试求)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）试求)(x f 在]2,1[上的最大值；
（Ⅲ）当1=a 时，求证：对于[5,)x ∀∈-+∞，56
()5f x x e
++≥-恒成立．
20．（本小题14分）
已知椭圆2
2
:1(0)E mx y m +=>.
（Ⅰ）若椭圆E
的右焦点坐标为，求m 的值；
1
A。