自控原理练习题
自控习题课习题集合
45. 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 k / s(1 + 0.25s) ，求其在单位阶跃响应下的调节时间 ts？
46. 系统的控制框图如下所示，试画出该系统的信号流图，并用 MASON 公式计算该系统的闭环传 递函数。
47. 某随动系统方框图如下所示，试求当输入信号为 r（t）＝2t 时，系统的稳态误差。
16. 实轴上具有根轨迹的区间是，其右方开环系统的零点数和极点数的总和为 。
17. 系统的开环传递函数为 1 + 3s ，则其频特性ϕ(w) 为
。
1+ s
18. Ⅱ型系统 Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 19. 闭环系统的 Nyquist 曲线如右，则闭环系统
右半平面极点个数为 。 （P=0，为开环系统右半平面极点个数）
自动控制原理习题课练习题
1. 稳态误差表征的是自动控制系统的
性能指标。
2. 0 型系统在斜坡信号r(t)=t2 的作用下，系统稳态误差为
。
3. 对典型的二阶系统，当______时，最大超调量σ％为零。
4. 在调速系统中。转速与输入量之间的传递函数只与____有关。
5. 自动控制系统的基本要求为__、快速性和准确性。
相位系统。
41. 一个稳定的闭环系统，若它开环右半平面极点数为P，则它的开环传递函数的Nyquist曲线必
（
）时针绕(－1, j0)点P周。
42. 开环控制与闭环控制各有什么特点？
43. 如图 L-R-C 电路，输入电压为 u(t)，输出量为电容二端电压
i1
L
u(t)
R
C uc(t)
uc(t)，试确定其传递函数 G(S)，以及该传递函数的频率特性表达式。 44. 实验测得系统幅频渐近线如下图，求对应的传递函数以及系统的穿越频率 wc。
自动控制理论例题集锦-第1章
第1章 自动控制的一般概念例1 试分析如图1-1所示家用电冰箱控制系统，并画出温度控制系统的原理方块图。
冷却管电冰箱箱体图 1-1解：1. 电冰箱工作原理分析。
控制任务：保持电冰箱箱体温度不变。
被控对象——电冰箱箱体； 被控量——箱体的温度c T ；给定输入——给定温度r T ；（r T 是通过箱体内控制盒旋钮给出或通过按键设定） 干扰输入——环境温度或电冰箱门开启等； 执行元件——电动机和压缩机。
工作原理：由于受环境温度或电冰箱门开启等影响，当电冰箱箱体内的温度c T 大于给定值r T 时，则0>-=r c T T T ∆。
温度控制盒测量到偏差信号T ∆并将其转换为电信号u ∆，u ∆通过接触器和继电器起动电动机带动压缩机，压缩机将蒸发器中的高温低压气态的制冷剂送入冷却管散热，降温后的低温高压液态制冷剂进入蒸发器，在蒸发器中急速降压扩散为气态，这个过程需要吸收周围的热量，即吸收箱体的热量，从而使箱体内的温度降低。
压缩机又将蒸发器中的高温低压气态的制冷剂送入冷却管散热，……，循环往复，直至0=-=r c T T T ∆，即箱体内的温度c T 等于给定值r T ，使0=u ∆，电动机、压缩机停止工作。
2. 电冰箱温度控制系统原理方块图。
根据以上分析,电冰箱温度控制系统原理方块图可绘制如图1-2所示。
cT图 1-2例2 如图1-3中a U 是发电机的端电压，0U 是某电源电压，非常稳定，且等于发电机端电压的设定值。
由于负载变化及其它原因，发动机端电压会随时波动。
试分析图中端电压控制系统的工作原理，并画出方块图。
解：1. 端电压控制系统的工作原理控制任务：保持发电机端电压不变。
被控对象——发电机； 被控量——发电机端电压a U ； 给定输入——电源电压0U ； 干扰输入——负载扰动等； 执行元件——电动机和变阻器。
工作原理：由于0U 等于发电机端电压的设定值，所以在端电压a U 符合要求的正常情况下，00=-=a U U U 。
自动控制理论试题及答案
自动控制理论试题及答案一、选择题1. 在自动控制系统中，调节器的作用是：A. 检测被控对象的信息并传递给控制器B. 把控制器的输出信号转化为执行机构的动作C. 对系统进行建模和参数辨识D. 对系统的稳定性和性能进行分析和设计2. 控制系统中的“控制器”是指：A. 传感器B. 执行机构C. 调节器D. PID调节器3. 在自动控制系统中，反馈环节的作用是：A. 改善系统的鲁棒性B. 提高系统动态性能C. 校正系统的静态误差D. 抑制系统的振荡4. 关于PID控制器的描述，以下哪个是正确的？A. 仅由比例项组成B. 仅由积分项组成C. 仅由微分项组成D. 由比例项、积分项和微分项组成5. 对于一阶惯性环节，其传递函数形式为：A. G(s) = K/(Ts + 1)B. G(s) = K/(sT + 1)C. G(s) = K/(s + T)D. G(s) = K/(s + 1)二、填空题1. 按照惯例，控制系统的输入信号通常表示为______，输出信号通常表示为______。
2. 控制系统的闭环传递函数由开环传递函数和______组成。
3. 控制系统的校正系数是指在单位______条件下，系统输出与输入的______比值。
4. 控制系统的性能指标包括超调量、上升时间、______时间和稳态误差等。
5. 自动控制理论包括频率域分析、______分析和状态空间分析等方法。
三、简答题1. 简述PID控制器的工作原理及基本调节方法。
2. 什么是系统的稳定性？常用的稳定性判据有哪些？3. 请解释闭环控制系统中的超调量、上升时间、峰值时间和调节时间的概念。
4. 什么是系统的校正系数？如何通过调节PID参数来改变系统的校正系数？5. 简述频率域分析法在控制系统分析中的应用，并说明如何绘制Bode图。
四、计算题1. 给定一个PID控制器的传递函数为：Gc(s) = Kp + Ki/s + Kds，试求其闭环传递函数表达式。
自控原理复习练习题
一、单项选择题：1．控制系统的上升时间t r ，调节时间t s 等反映出系统的（ ）A ．相对稳定性B ．绝对稳定性C ．快速性D ．平稳性2．根据给定值信号的特征分类，控制系统可分为（ ）A ． 恒值控制系统、随动控制系统和程序控制系统B ． 反馈控制系统、前馈控制系统、反馈复合控制系统C ． 最优控制系统和模糊控制系统D ． 连续控制系统和离散控制系统3．系统的传递函数（ ）A ．与输入信号有关B ．与输出信号有关C ．完全由系统的结构和参数决定D ．既由系统的结构和参数决定，也与输入信号有关4．一阶系统的阶跃响应（ ）A ．当时间常数T 较大时有超调B ．当时间常数T 较小时有超调C ．有超调D ．无超调5．随动系统中最常用的典型输入信号是抛物线函数和（ ）A ．脉冲函数B ．阶跃函数C ．斜坡函数D ．正弦函数6．确定系统闭环根轨迹的充要条件是（ ）A ．根轨迹的模方程B ．根轨迹的相方程C ．根轨迹增益D ．根轨迹方程的阶次7．正弦信号作用于线性系统所产生的频率响应是（ ）A ．输出响应的稳态分量B ．输出响应的暂态分量C ．输出响应的零输入分量D ．输出响应的零状态分量8．Ⅱ型系统对数幅频特性的低频段渐近线斜率为（ ）A ． －60（dB/dec ）B ． －40（dB/dec ）C ． －20（dB/dec ）D ．0（dB/dec ）9．设开环系统频率特性G （j ω）＝3)1(10ωj +，则其频率特性相位移ϕ（ω）=－180ο时，对应频率ω为（ ）A ． 10（rad/s ）B ．3（rad/s ）C ．3（rad/s ）D ． 1（rad/s ）10. 进行串联滞后校正后，校正前的截止频率ωc 与校正后的截止频率ωc ′的关系，通常是（ ）A ．ωc = ωc ′B ． ωc > ωc ′C ． ωc < ωc ′D ． ωc 与 ωc ′无关11. 常用的比例、积分与微分控制规律的另一种表示方法是（ ）A ． PIB ． PDC ．ID D ． PID12. 伯德图中的高频段反映了系统的（ ）A ．稳态性能B ．动态性能C ．抗干扰能力D ．以上都不是13．结构类似的最小相位系统和非最小相位系统相比，最小相位系统一定满足 （ ）A ．两者幅频特性不同，相频特性也不同B 。
自动控制原理
《自动控制原理》课程练习题第一章自动控制的基本概念一、概念：1、自动控制原理中，对线性控制系统进行分析的方法有哪些？时域分析法、根轨迹法、频率特性法。
2、举例说明什么是闭环系统？它具有什么特点？如直流电动机转速闭环控制系统。
特点是：通过反馈回路使系统构成闭环，并按偏差的性质产生控制作用，以求减小或消除偏差的控制系统。
3、举例说明什么是开环系统？它具有什么特点？只有前项通道，无反馈通道，输出信号对输入信号无影响。
不存在系统稳定性问题。
(例子任意)。
4、闭环控制系统的基本环节有？给定、比较、控制、对象、反馈；5、自控系统各环节的输出量分别为？给定量、反馈量、偏差、控制量输出量；6、闭环控制系统由哪几个基本单元组成？由4个基本单元组成：控制器（调节器）、执行器（调节阀）、变送器（测量单元）和被控对象（过程、装置）；7、画出自动控制系统基本组成方框结构图？第二章 自动控制系统的数学模型一、概念：1、常见的建立数学模型的方法有哪几种？各有什么特点？分析法（机理建模法）、实验法（系统辨识）和综合法。
机理分析法：机理明确，应用面广，但需要对象特性清晰实验测试法：不需要对象特性清晰，只要有输入输出数据即可，但适用面受限综合法：以上两种方法的结合通常是机理分析确定结构，实验测试法确定参数，发挥了各自的优点，克服了相应的缺点 2、传递函数的定义？传递函数指线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比； 3、利用分析法建立系统微分方程的步骤？ （1）确定系统输入、输出变量；（2）分析元件工作仲所遵循的物理或化学规律，得到相应的微分方程； （3）消去中间变量，得到输入输出间关系的微分方程； 4、给出梅逊公式，及其中各参数意义？梅逊增益公式为：∑=∆∆=nk k k p P 11其中，k p ：从输入到输出的第k 条前向通路总增益； n ：从输入到输出的总路数；k ∆：流图余因子式，流图特征式中除去与第k 条前向通道相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余式； ∑∑-+-=∆ cbaLL L 1：∑a L 单独回路增益之和；∑c b L L 所有互不接触的回路中，每次取其中两个回路的回路增益之和；二、计算题1、求下面各电路传递函数：2、化简以下传递函数：)1/()(2++=RCs LCs RCs sG )]11(1/[2)(+-=Cs R R R s G3、RC 无源网络电路图如下图所示，试列写该系统的微分方程，并求传递函数Uc(s)/Ui(s)。
自动控制原理练习题
⾃动控制原理练习题第⼀章1．开环控制和闭环控制的主要区别是什么？是否利⽤系统的输出信息对系统进⾏控制 2. 电加热炉炉温控制中，热电阻丝端电压U 及炉内物体质量M 的变化，哪个是控制量？哪个是扰动？为什么？3. 简述⾃动控制所起的作⽤是什么？在没有⼈直接参与的情况下，利⽤控制装置，对⽣产过程、⼯艺参数、⽬标要求等进⾏⾃动的调节与控制，使之按照预定的⽅案达到要求的指标。
4. 简述⾃动控制电加热炉炉温控制的原理。
解答：⼀、⼯作原理：系统分析：受控对象——炉⼦；被控量——炉温；给定装置——电位器⼲扰——电源U ，外界环境，加热物件；测量元件——热电偶；执⾏机构——可逆电动机⼯作过程：静态 ?U=0动态 ?U ≠0⼯件增多（负载增⼤）↑↑→↑→↑→?↓→↓→↑→T U U U U T c a f （负载减⼩）↓↓→↓→↓→?↑→↑→↓→T U U U U T c a f ⼆、温控制系统框图5．⽐较被控量输出和给定值的⼤⼩，根据其偏差实现对被控量的控制，这种控制⽅式称为。
6．简述控制系统主要由哪三⼤部分组成？7.反馈控制系统是指：a.负反馈 b.正反馈答案a.负反馈8.反馈控制系统的特点是：答案控制精度⾼、结构复杂 9.开环控制的特点是：答案控制精度低、结构简单10.闭环控制系统的基本环节有：给定、⽐较、控制、对象、反馈11.⾃控系统各环节的输出量分别为：给定量、反馈量、偏差、控制量输出量。
第⼆章1．⾃控系统的数学模型主要有以下三种：微分⽅程、传递函数、频率特性 2．实际的物理系统都是：a.⾮线性的 b.线性的 a.⾮线性的 3．传递函数等于输出像函数⽐输⼊像函数。
4．传递函数只与系统结构参数有关，与输出量、输⼊量⽆关。
5．惯性环节的惯性时间常数越⼤，系统快速性越差。
6.由laplace 变换的微分定理，(())L x t ''= 。
7.如图质量、弹簧、摩擦系统，k 和r 分别为弹簧系数和摩擦系数，u(t)为外⼒，试写出系统的传递函数表⽰()()/()G s y s u s =。
自动控制原理练习题附部分答案(孙炳达主编)机械工业出版社
第一章1．开环控制和闭环控制的主要区别是什么？是否利用系统的输出信息对系统进行控制 2. 电加热炉炉温控制中，热电阻丝端电压U 及炉内物体质量M 的变化，哪个是控制量？哪个是扰动？为什么？3. 简述自动控制所起的作用是什么？在没有人直接参与的情况下，利用控制装置，对生产过程、工艺参数、目标要求等进行自动的调节与控制，使之按照预定的方案达到要求的指标。
4. 简述自动控制电加热炉炉温控制的原理。
解答：一、工作原理：系统分析：受控对象——炉子；被控量——炉温；给定装置——电位器干扰——电源U ，外界环境 ，加热物件 ； 测量元件——热电偶； 执行机构——可逆电动机 工作过程：静态 ∆U=0动态 ∆U ≠0工件增多（负载增大）↑↑→↑→↑→∆↓→↓→↑→T U U U U T c a f （负载减小）↓↓→↓→↓→∆↑→↑→↓→T U U U U T c a f二、 温控制系统框图5．比较被控量输出和给定值的大小，根据其偏差实现对被控量的控制，这种控制方式称为 。
6．简述控制系统主要由哪三大部分组成？7.反馈控制系统是指：a.负反馈 b.正反馈 答案a.负反馈8.反馈控制系统的特点是：答案 控制精度高、结构复杂 9.开环控制的特点是：答案 控制精度低、结构简单10.闭环控制系统的基本环节有：给定、比较、控制、对象、反馈11.自控系统各环节的输出量分别为： 给定量、反馈量、偏差、控制量输出量。
第二章1． 自控系统的数学模型主要有以下三种：微分方程、传递函数、频率特性 2． 实际的物理系统都是：a.非线性的 b.线性的 a.非线性的 3． 传递函数等于输出像函数比输入像函数。
4． 传递函数只与系统结构参数有关，与输出量、输入量无关。
5． 惯性环节的惯性时间常数越大，系统快速性越差。
6.由laplace 变换的微分定理，(())L x t ''= 。
7.如图质量、弹簧、摩擦系统，k 和r 分别为弹簧系数和摩擦系数，u(t)为外力，试写出系统的传递函数表示()()/()G s y s u s =。
自控原理题库
1. 自动控制理论的发展进程是（）。
B经典控制理论、现代控制理论、智能控制理论2. 被控量表示被控对象（）的物理量。
A工作状态3. 控制量也称给定量，表示对（）的期望运行规律D被控量4. 自动控制系统按其结构可分为（）。
A开环控制系统和闭环控制系统5. 在组成系统的元器件中，只要有一个元器件不能用线性方程描述，该控制系统即为（）控制系统。
C非线性6. 线性定常控制系统的微分方程或差分方程的系数是（）。
C常数7. 时变控制系统是指系统参数（）的系统。
B随时间变化8. 稳定性是系统正常工作的必要条件。
稳定性的要求是（）。
D系统达到稳态时，应满足稳态性指标9. 线性系统是由线性元件组成的、系统的运动方程式可以用（）。
B线性微分方程描述10. 下列系统中属于开环控制的为（）。
C普通车床11. 现代控制理论主要以（）为基础，研究多输入、多输出、变参数、非线性、高精度等控制系统的分析和设计问题。
B状态空间法D状态方程12. 自动控制系统按其结构可分为（）。
A开环控制系统和闭环控制系统B开环控制系统和反馈控制系统13. 按照系统参数是否随时间变化可将系统分为（）。
B时不变控制系统和时变控制系统D定常控制系统和时变控制系统14. 对控制系统的基本要求有（）。
A系统在暂态过程中，应满足动态性能指标要求B系统达到稳态时，应满足稳态性能指标C稳定性、准确性、快速性D系统应是稳定的15. 被控对象指需要（）的机械、装置或过程。
B控制C锅炉、水箱等需要控制的16. 自动控制理论的三个发展阶段是经典控制理论、现代控制理论和智能控制理论。
对17. 经典控制理论主要是以微分方程为基础，研究单输入单输出系统的分析和设计问题。
错18. 按照系统输入量的变化规律可将系统分成恒值控制系统、随动控制系统和程序控制系统。
对19. 线性系统是由若干不同元件组成的、系统的运动方程式可以用线性微分方程描述。
错20. 随动控制系统是指系统的给定量按照事先设定的规律或事先未知的规律变化，要求输出量能够迅速准确地跟随给定量的变化。
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2.1系统结构图如图1所示，试确定传递函数C(s)/R(s)。
图12132112()()()1()G G G C s R s G H G H +=++2.2系统结构图如图1所示，试确定传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。
1212121()()1G G C s R s G G G G H =++23112()()1(1)G G C s N s G H G =++例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为：t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。
解 因为22111)(ss s s s R +=+=)10()1(10109.09.01)]([)(22++=+-+==s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为 11.01)()()(+==s s R s C s φ 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。
试确定系统的传递函数。
解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。
系统模型为2223()2nn ns s s ωϕζωω=++ 然后由响应的%p M 、p t 及相应公式，即可换算出ζ、n ω。
%33334)()()(%=-=∞∞-=c c t c M p p 1.0=p t （s ）由公式得%33%p M eπζ-==0.1p t ==4 30 0.1 t图3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应h (t )换算求解得： 0.33ζ=、2.33=n ω例3-18 已知系统特征方程为0161620128223456=++++++s s s s s s试求：（1）在s 右半平面的根的个数；（2）虚根。
解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。
此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。
对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。
劳斯行列表为6s 1 8 20 16 5s 2 12 16 4s 2 12 16 3s 0 0由于3s 行中各项系数全为零，于是可利用4s 行中的系数构成辅助多项式，即16122)(24++=s s s P求辅助多项式对s 的导数，得s s ss dP 248)(3+= 原劳斯行列表中s 3行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。
此时，劳斯行列表变为6s 1 8 20 5s 2 12 164s 2 12 16 3s 8 24 2s 6 16 1s 2.67 0s 16新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。
对原点对称的根可解辅助方程求得。
令01612224=++s s得到 2j s ±=和2j s ±=例3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(1()(2+++=cs bs as s Ks G 试求： （1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；（2）当参考输入为)(1t r ⨯，)(1t rt ⨯和)(12t rt ⨯时系统的稳态误差。
解 根据误差系数公式，有位置误差系数为 ∞=+++==→→)1)(1(lim)(lim 2cs bs as s Ks G K s s p 速度误差系数为K cs bs as s Ks s sG K s s v =+++⋅==→→)1)(1(lim )(lim 2加速度误差系数为0)1)(1(lim )(lim 222=+++⋅==→→cs bs as s Ks s G s K s s a 对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。
参考输入为)(1t r ⨯，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为011=∞+=+=rK r e p ss参考输入为)(1t rt ⨯，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为Kr K r e v ss ==参考输入为)(12t rt ⨯，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为∞===22r K r e a ss 例3-20 单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(1(10)(21s T s T s s G ++=输入信号为r （t ）=A+ωt ，A 为常量，ω=0.5弧度/秒。
试求系统的稳态误差。
解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。
此时，输入信号的一般形式可表示为221021)(t r t r r t r ++= 系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。
所以，系统的稳态误差可按下式计算：av p ss K rK r K r e 2101+++=对于本例，系统的稳态误差为vp ss K K A e ω++=1 本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以∞=p K10)1)(1(10lim )(lim 210=++⋅==→→s T s T s s s sG K s s v系统的稳态误差为05.0105.0101011===+∞+=++=ωωωA K K A e v p ss例3-23 设复合控制系统如图3-38所示。
其中1221==K K ，s T 25.02= ，132=K K试求 )(1)2/1()(2t t t t r ++=时，系统的稳态误差。
解 闭环传递函数)1(22+s T s K K 1R (s )图3-38 复合控制系统24)5.0(41)(221222113+++=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=s s s K K s s T K K s K K s φ 等效单位反馈开环传递函数2)12(2)(1)()(s s s s s G +=-=φφ 表明系统为II 型系统，且2==K K a当)(1)2/1()(2t t t t r ++=时，稳态误差为5.0/1==a ss K e例4-1 设系统的开环传递函数为)2)(1(2)()(++=s s s Ks H s G试绘制系统的根轨迹。
解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。
（1）系统的开环极点为0，1-，2-是根轨迹各分支的起点。
由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。
（2）系统的根轨迹有3=-m n 条渐进线渐进线的倾斜角为3180)12()12(-︒⨯+=-+=K m n K a πϕ取式中的K =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为13)210(111-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==m i i nj j a z p m n σ 三条渐近线如图4-13中的虚线所示。
（3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图4-13中的粗实线所示。
（4）确定分离点 系统的特征方程式为022323=+++K s s s即)23(2123s s s K ++-=利用0/=ds dK ，则有0)26(2123=++-=s s ds dK 解得423.01-=s 和 577.12-=s由于在－1到－2之间的实轴上没有根轨迹，故s 2=－1.577显然不是所要求的分离点。
因此，两个极点之间的分离点应为s 1=－0.423。
（5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定劳斯行列表为 3s 1 2 2s32K 1s326K-s2K由劳斯判据，系统稳定时K 的极限值为3。
相应于K =3的频率可由辅助方程0632322=+=+s K s确定。
解之得根轨迹与虚轴的交点为2j s ±=。
根轨迹与虚轴交点处的频率为41.12±=±=ω方法二 令ωj s =代入特征方程式，可得02)(2)(3)(23=+++K j j j ωωω即0)2()32(22=-+-ωωωj K令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即0322=-ωK ，022=-ωω所以2±=ω 3=K（6）确定根轨迹各分支上每一点的K 值 根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与－1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点－2出发的根轨迹分支一定向左移动。
当前两条根轨迹分支和虚轴在K =3处相交时，可按式3)41.10()41.10(-=-+++j j x σ求出后一条根轨迹分支上K =3的点为οx =－3。
由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为－0.423±j 0。
因此，后一条根轨迹分支的相应点为3)423.0()423.0(-=-+-+x σ所以 ，οx =－2.154。
因本系统特征方程式的三个根之和为－2K ，利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一点的K 值。
现在已知根轨迹的分离点分别为－0.423±j 0和－2.154，该点的K 值为)154.2()423.0(22--=-K即，K =0.195。
系统的根轨迹如图4-1所示。
例4-6 已知控制系统如图4-18所示图4-1 例4-1系统的根轨迹S 平面σωj 图4-6R (s )C (s ) 4)15.0(+s K（1） 试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。
（2） 估算%3.16%=p M 时的K 值。
解 44)2()2(16)(+=+=s K s Ks G g （1）系统有四个开环重极点：p 1=p 2=p 3=p 4=0。
没有零点。
实轴上除－2一点外，没有根轨迹段。
根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为248-=-=a σ 44)12(ππϕ±=+=K a ，π43±下面证明根轨迹和渐近线是完全重合的。
将根轨迹上任一点s =s 1代入幅角方程，有π)12()2(41+=+∠K s即 π)12(41)2(1+=+∠K s 和渐近线方位角a ϕ的表达式比较，两者相等，于是有a s ϕ=+∠)2(1由于s 1的任意性，因此根轨迹和渐近线完全重合。
系统的根轨迹如图4-7所示。
图知，随着K g 的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于j 2和－j 2处。
将s =j 2代入幅值方程有1|)2(|4=+s K g解得开环根增益：K gc =64，开环增益：K c =K g /16=4．即当Ｋ＝４时，闭环系统有一对虚根±j ２，系统处于临界稳定的状态。
当K >4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。
所以，使系统稳定的开环增益范围为0<K <4。
（2）由超调量的计算公式及指标要求，有%3.16%21==--ξξπeM p解得，5.0=ξS 平面σ图4-7 例4-6系统的根轨迹j ω即，系统闭环极点的阻尼角为︒===--605.0cos cos 11ξβ。