2020年上海市交大附中高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年上海市交大附中高考数学考前试卷(附解析)
2020年上海市交大附中高考数学考前试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “x ∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x ”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要2. 已知F 为抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是( )A. x 1x 2=p 24 B. y 1y 2=−p 2C. 1|FA|+1|FB|=2pD. x 1x 2+y 1y 2=−3p 243. 已知曲线Γ的参数方程为{x =t 3−tcosty =ln(t +√t 2+1)，其中参数t ∈R ，则曲线Γ( )A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 没有对称性4. 已知数列{a n }与{b n }前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗，b n =2n +1(2n +a n )(2n+1+a n+1)，对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，则k 的最小值是( )A. 1B. 12C. 13D. 16二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={x||x|≤2,x ∈R}，B ={x|√x ≤4,x ∈Z}，则A ∩B = ______ ．6. 函数y =√3sin2x +cos2x 的最小正周期是______．7. 抛物线y =x 2的准线方程是______．8. 已知方程∣∣∣x−1bx −2∣∣∣=0的一个根是a +2i(其中a ∈R ，i 是虚数单位)，则实数b =______．9. 设x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0，则z =2x +y 的最小值是____________10. 若a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，则n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2na n)=______．11. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为______．12.为抗击此次疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是______．13.若关于x的方程1|x−1|+|2x+2|−4=a的解集为空集，求实数a的取值范围______．14.已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)=f(x−3)+x，数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)= 27，则a1+a2+⋯+a9=______．15.已知整数数列{a n}共5项，其中a1=1，a5=4，且对任意1≤i≤4，都有|a i+1−a i|≤2，则符合条件的数列个数为______．16.已知点P(0,2)，椭圆x216+y28=1上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则|2x1+3y1−12|+|2x2+3y2−12|的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥O−ABCD的底面是边长为1的菱形，OA=2，∠ABC=60°，OA⊥平面ABCD，M、N分别是OA、BC的中点．(1)求证：直线MN//平面OCD；(2)求点M到平面OCD的距离．18.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，∠AOB=60°，设∠POB=θ．(1)求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值(精确到0.1平方米)．19.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(−x0)=−f(x0)，则称f(x)为“M类函数”．(1)已知函数f(x)=2cos(x−π3)，试判断f(x)是否为“M类函数”？并说明理由；(2)若f(x)={log2(x2−2mx)−2,x≥3,x<3为其定义域上的“M类函数”，求实数m取值范围．20.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点N(√2,√22)．(1)求椭圆M的方程；(2)若斜率为−12的直线l1与椭圆M交于P，Q两点(点P，Q不在坐标轴上)；证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．(3)设直线l2与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值．21.已知f(x)是定义在[0,+∞)上的函数，满足：①对任意x∈[0,+∞)，均有f(x)>0；②对任意0≤x1<x2，均有f(x1)≠f(x2).数列{a n}满足：a1=0，a n+1=a n+1f(a n)，n∈N∗．(1)若函数f(x)=a⋅2x−1(x≥0)，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N∗，使得n>n0时，均有a n>M；(3)求证：“函数f(x)在[0,+∞)上单调递增”是“存在n∈N∗，使得f(a n+1)<2f(a n)”的充分非必要条件．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=arcsinx的定义域为[−1,1]，∴sin(arcsinx)=x⇔x∈[−1,1]，∵x∈[−π2,π2]推不出x∈[−1,1]，x∈[−1,1]⇒x∈[−π2,π2 ]，∴“x∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x”的必要非充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：P(p2,0)，若A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：x=my+p2，代入y2=2px可得：y2−2pmy−p2=0，∴y1y2=−p2，∴x1x2=y12y224p =p24．∴x1x2+y1y2=p24−p2=−3p24，又|FA|=x1+p2，|FB|=x2+p2，∴1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=x1+x2+pp22+p2(x1+x2)=x1+x2+pp2(x1+x2+p)=2p，设B关于x轴的对称点为B′(x2,−y2)，显然A，F，B′满足条件x1x2=p24，且|FB|=|FB′|，但此时A，F，B′三点不共线，故A，C错误；若x1x2+y⋅y2=−3p24，则y12y224p2+y1y2+3p24=0，解得y1y2=−p2或y1y2=−3p2，故D错误，故选：B．当A，B，F共线时计算各结论，再根据对称点的坐标关系判断是否等价．本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查曲线的参数方程，属于基础题型．设出当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)，判断出(−x 0,−y 0)也在曲线上，进而求出结果． 【解答】解：设当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)， 此时有{x 0=t 03−t 0cost 0y 0=ln(t 0+√t 02+1), 设x =f(t)=t 3−tcost ，y =g(t)=ln(t +√t 2+1)， 对于每一个参数t ，都有唯一对应的x 和y ， 则当t =−t 0时，有{(−t 0)3−(−t 0)cos (−t 0)=−(t 03−t 0cost 0)=−x 0ln[(−t 0)+√(−t 0)2+1]=−ln(t 0+√t 02+1)=−y 0, 即点(−x 0,−y 0)也在曲线Γ上，而点(x 0,y 0)和点(−x 0,−y 0)关于原点对称， 故曲线Γ关于原点对称． 故选：C ．4.【答案】C【解析】解：数列{a n }的前n 项和分别为S n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗， 当n ≥2时，2S n−1=a n−12+a n−1，两式相减得2a n =a n 2−a n−12+a n −a n−1，所以(a n +a n+1)(a n −a n−1−1)=0，整理得a n −a n−1=1(常数)．当n =1时，2a 1=a 12+a 1，解得a 1=1(a 1=0舍去)，故数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n =n(首项符合通项)． 所以b n =2n +1(2n +an )(2n+1+an+1)=12n +n −12n+1+n+1，所以T n =(13−16)+(16−111)+⋯+12n +n −12n+1+n+1=13−12n+1+n+1<13， 所以对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，只需k ≥13即可． 即k 的最小值为13．故选C．首先利用已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法、放缩法和恒成立问题的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法和恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．5.【答案】{0,1，2}．【解析】解：∵集合A={x||x|≤2,x∈R}={x|−2≤x≤2}，B={x|√x≤4,x∈Z}={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．6.【答案】π【解析】解：y=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π6)，∵ω=2，∴T=2π2=π．故答案为：π函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及周期公式，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．7.【答案】4y+1=0【解析】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=12，所以：p2=14，∴准线方程y=−p2=−14，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．8.【答案】5【解析】解：方程∣∣∣x −1b x −2∣∣∣=0可化为 x(x −2)+b =0，把x =a +2i 代入方程，得(a +2i)(a −2+2i)+b =0， 即(a 2−2a −4+b)+(4a −4)i =0，所以{a 2−2a −4+b =04a −4=0， 解得a =1，b =5； 所以实数b =5． 故答案为：5．根据行列式列出方程，把根代入方程，利用复数的运算性质列出方程组求出a 、b 的值． 本题考查了行列式与复数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.【答案】−15【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0的可行域如图：z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由{y =−32x −3y +3=0，解得A(−6,−3)， 则z =2x +y 的最小值是：−15． 故答案为：−15．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．10.【答案】8【解析】解：∵a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，又(2+x)n 的展开式的通项公式为T r+1=C n r ⋅2n−r ⋅x r ，令r =2，可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2．∴a n =C n 2⋅2n−2．∴n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n )=n →∞lim(221+23C n 2⋅2+⋯+2n C n 2⋅2n−2)=n →∞lim(221+22C 32+⋯+22C n 2)=n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1C n2)=n →∞lim4⋅(11+22×3+23×4…+2n(n−1))=n →∞lim8⋅(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n)=n →∞lim8⋅(1−1n)=8，故答案为：8．由题意可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2，即a n =C n 2⋅2n−2.再把要求的式子 n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n) 化为n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1Cn2)，即n →∞lim8⋅(1−1n)，从而得到结果．本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，极限及其运算，属于中档题．11.【答案】√33【解析】解：由三视图可知AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB =BD =CD ，以D 为原点建立空间坐标系如图所示：设AB =1，则A(1,0，1)，B(1,0，0)，C(0,1，0)，D(0,0，0)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)， ∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1√3×1=−√33． 设AC 与BD 所成的角为α，则cosα=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√33． 故答案为：√33．根据三视图得出三棱锥的结构特征，建立空间坐标系，利用平面向量计算异面直线所成角．本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．12.【答案】611【解析】解：根据题意，有3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士共12人，从中选出5人，有C 125=792种选法，其中没有内科医生的选法有C 95=126种，没有重症科医生的选法有C 85=56种， 内科医生和重症科医生都没有，即只有护士的选法有1种， 则有792−126−56+1=611种选派方法；故答案为：611根据题意，首先计算从12人中选出5人的选法，进而计算其中“没有内科医生”、“没有重症科医生”和“内科医生和重症科医生都没有”的选法，分析可得答案．本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．13.【答案】(−12,0]【解析】解：由已知设y=1|x−1|+|2x+2|−4={13x−3,x≥11 x−1,−1<x<11−3x−5,x≤−1，所以函数的值域为{y|y>0，或y≤−12}，要使1|x−1|+|2x+2|−4=a的解集为空集，只要函数y=1|x−1|+|2x+2|−4与y=a没有交点，所以满足条件的a的取值范围为−12<a≤0．故答案为：(−12,0]．设y=1|x−1|+|2x+2|−4，得到函数的值域，利用y=a在函数值域的补集中即可．本题考查了方程解的个数问题；关键是正确求出函数的值域．14.【答案】27【解析】解：因为函数f(x)为定义域上的奇函数，则f(x)关于(0,0)对称．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，所以ℎ(x)关于(3,0)对称，则ℎ(x)+ℎ(6−x)=0．由g(a1)+g(a2)+⋯…+g(a9)=27可得：f(a1−3)+a1+f(a2−3)+a2+⋯…+f(a9−3)+a9=27，所以f(a1−3)+a1−3+f(a2−3)+a2−3+⋯…+f(a9−3)+a9−3=0即ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0又数列{a n}为等差数列，且ℎ(x)在R上是单调递增函数，所以必有ℎ(a1)+ℎ(a9)=0，则有a1−3+a9−3=0，所以2a5=a1+a9=6，即a5=3所以a1+a2+⋯…+a9=9a5=27故答案为：27．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，则可得ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0，综合等差数列的性质可得；a1+a9=a2+a8=⋯…=a5+a5，再利用函数ℎ(x)的单调性和对称性，即可计算得出．本题主要考查函数综合，函数概念与性质以及等差数列，属于中档题．15.【答案】52【解析】解：根据题意，设x 1=a 2−a 1，x 2=a 3−a 2，x 3=a 4−a 3，x 4=a 5−a 4，x 5=a 5−a 4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{−2,−1,0，1，2}， 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，则(x 1,x 2,x 3,x 4)=(−2,1，2，2)，(−1,1，1，2)，(−1,0，2，2)，(0,0，1，2)，(0,1，1，1)共五类，则符合条件的数列个数为4C 42C 21+4=52，故答案为：52．根据题意，设x 1=a 2−a 1，x 2=a 3−a 2，x 3=a 4−a 3，x 4=a 5−a 4，x 5=a 5−a 4，可得x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{−2,−1,0，1，2}，再利用组合知识进行求解．本题考查排列组合的应用，涉及数列的表示方法，属于基础题．16.【答案】24【解析】解：如图所示，满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1]． 直线l 的方程为：2x +3y −12=0． 点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=|2x 1+3y 1−12|√13，d 0=√13=√13，d 2=22√13．∴|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0=√13，可得√13(d 1+d 2)=12． λ=3−2√2时，d 1+d 2=√2√13+√3√13=√13.可得√13(d 1+d 2)=24．λ∈[3−2√2,1].可得：d 1+d 2∈[12,24]．则|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|的最大值为24． 故答案为：24．如图所示，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1].直线l 的方程为：2x +3y −12=0.点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=11√13，d 0=√13=√13，d 2=22√13.|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0.λ=3−2√2时，可得√13(d 1+d 2)=24.进而得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】(1)证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点，∴PM//AD ，且PM =12AD ，NC//AD ，且NC =12AD ，∴PM//NC ，且PM =NC ，则PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，∵PC ⊂平面OCD ，MN ⊄平面OCD ， ∴直线MN//平面OCD ；(2)解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由(1)得，点N 到平面OCD 的距离为d ，设三棱锥O −CDN 的体积为V ，则V =13×S △CDN ×OA =13×S △OCD ×d ， 依题意，S △CDN =12×CD ×CN ×sin∠BCD =√38， ∵AC =AD =CD =1，∴OC =OD =√5，则S △OCD =12×CD ×√5−14=√194．由13×√38×2=13×√194×d ，得点M 到平面OCD 的距离d =√5719．【解析】(1)取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，再由直线与平面平行的判定可得直线MN//平面OCD ； (2)连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ，可得点N 到平面OCD 的距离为d ，然后利用等体积法求点M 到平面OCD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．18.【答案】解：(1)△OPN 中，由正弦定理得，OPsin2π3=ONsin(π3−θ)，即√32=ONsin(π3−θ)，解得ON =40√3sin(π3−θ)；所以停车场面积S 关于θ的函数关系式为S =40√3sin(π3−θ)⋅60sinθ=2400√3sin(π3−θ)sinθ，其中θ∈(0,π3)；(2)由S =2400√3sin(π3−θ)sinθ=2400√3(√32cosθ−12sinθ)⋅sinθ =1200√3(√3sinθcosθ−sin 2θ) =1200√3(√32sin2θ+12cos2θ−12) =1200√3[sin(2θ+π6)−12]；当2θ+π6=π2，即θ=π6时，停车场面积S 最大，最大值为： 1200√3×(1−12)=600√3=600×1.732=1039.2(平方米)．【解析】(1)由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； (2)化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)在定义域内存在实数x 0，满足f(−x 0)=−f(x 0)，可得2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)，即cos(−x 0−π3)=−cos(x 0−π3)，整理得√3cosx 0=0，所以存在x 0=π2满足f(−x 0)=−f(x 0)所以函数f(x)=2cos(x −π3)是“M 类函数”．(2)由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，可得m <32，因为f(x)={log 2(x 2−2mx)−2x ≥3x <3为其定义域上的“M 类函数”，所以存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，①当x 0≥3时，则−x 0≤−3，所以−2=−log 2(x 02−2mx 0)，所以x 02−2mx 0=4，即m =12x 0−2x 0，因为函数y =12x −4x ，x ≥3为单调增函数，所以m ≥56； ②当−3<x 0<3时，−3<−x 0<3，此时−2=2，不成立；③当x 0≤−3，则−x 0≥3，所以log 2(x 02+2mx 0)=2，所以m =−12x 0+2x 0因为函数y =−12x +4x (x ≤−3)为单调减函数，所以m ≥56； 综上所述，求实数m 取值范围[56,32)．【解析】(1)根据题意只需2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)有解，即可判断f(x)是否为“M 类函数”．(2)由对数函数的性质可得由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，即m <32；若是“M 类函数”，则存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，分①当x 0≥3时，②当−3<x 0<3时，③当x 0≤−3，三种情况分析方程f(−x 0)=−f(x 0)，能否有解，即可得m 的取值范围． 本题考查函数的新定义，“M 类函数”，解题中注意三角形数性质的应用，属于中档题． 20.【答案】解：(1)根据题意，设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)， 则△B 1B 2F 1是正三角形，所以2b =√c 2+b 2=a ，则椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1．将(√2,√22)代入椭圆方程，可得24b 2+12b 2=1，解得a =2，b =1．故椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 由{y =−12x +mx 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0则△=4m 2−8(m 2−1)=4(2−m 2)>0，且x 1+x 2=2m >0，x 1x 2=2(m 2−1)>0； 故y 1y 2=(−12x 1+m)(−12x 2+m) =14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2=m 2−12，k OP k OQ =y 1y 2x 1x 2=14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=14=k PQ2． 即直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)由题意，设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n ，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2knk 2+4，y 1y 2=n 2−4k 2+4， 因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C(2,0)，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，则(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0， 将x 1=ky 1+n ，x 2=ky 2+n 代入上式并整理得(k 2+1)y 1y 2+k(n −2)(y 1+y 2)+(n −2)2=0， 则(k 2+1)(n 2−4)k +4+−2k 2n(n−2)k +4+(n −2)2=0，化简得(5n −6)(n −2)=0，解得n =65或n =2， 因为直线x =ky +n 不过点C(2,0)，所以n ≠2，故n =65.所以直线l 恒过点D(65,0)． 故S ABC =12|DC||y 1−y 2|=12×(2−65)√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =25√(−125k k 2+4)2−4(3625−4)k 2+4=825√25(k 2+4)−36(k 2+4)2，设t =1k 2+4(0<t ≤14)，则S ABC =825√−36t 2+25t 在t ∈(0,14]上单调递增， 当t =14时，S ABC =825√−36×116+25×14=1625，所以ABC 面积的最大值为1625．【解析】(1)设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)，椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1．将(√2,√22)代入椭圆方程，解得a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由{y =−12x +m x 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0利用韦达定理，转化求解直线的斜率乘积，然后说明直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合斜率的数量积为0，转化求解n ，得到直线恒过的定点，推出三角形的面积，然后求解最大值．本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(1)由f(x)=a ⋅2x −1>0，即a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，所以a >1，当a >1时，f(x)在x ∈[0,+∞)上单调递增，所以对任意0≤x 1<x 2，均有f(x 1)≠f(x 2)， 综上，实数a 的取值范围为：a >1；证明(2)：由函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，即对一切x ∈[0,+∞)，均有f(x)≤f(0)， 所以对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，可得：a n+1=a n +1f(a n)≥a n +1f(0)，所以：a n =a n −a n−1++a 2−a 1+a 1≥n−1f(0)，对一切n ≥2， 对任意正实数M ，取n 0=[Mf(0)]+2∈N ∗， 当n >n 0时，a n ≥n−1f(0)>n 0−1f(0)>Mf(0)+1−1f(0)=M ；证明：(3)非必要性：取f(x)={x +13−x ，x ∈[0,1]∪[2,+∞)x ∈(1,2)，在[0,+∞)不为增函数，但a 1=0，a 2=a 1+1f(a 1)=1，a 3=a 2+1f(a 2)=32，f(a 2)=2，f(a 3)=32<2f(a 2)，充分性：假设对一切n ∈N ∗，均有f(a n+1)≥2f(a n )>0， 所以：f(a n )≥2n−1f(a 1)=2n−1f(0)，①由递推式a n+1=a n +1f(a n)≤a n +12n−1f(0)≤≤a 1+1f(0)(12n−1++12+1)<2f(0)，因为f 为增函数，所以f(a n+1)≤f(2f(0))，②由①②可知：2n f(0)≤f(2f(0))对一切n ∈N ∗，n ≥2均成立，又A =f(0)>0，B =f(2f(0))>0可知，当n >log 2(AB )时，上述不等式不成立， 所以假设错误，即存在n ∈N ∗，使得f(a n+1)<2f(a n ).【解析】(1)根据定义可得a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，即可求出a 的范围； (2)根据函数的单调性可得对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，即可证明； (3)分别从必要性和充分性两个方面证明即可．本题考查了数列的函数特征，不等式的证明，充分性和必要性，考查了转化与化归能力，逻辑推理能力，属于难题．。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2020年上海交通大学附属中学高三数学文摸底试卷含解析
2020年上海交通大学附属中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为( )A．+y2=1 B．+=1C．+y2=1或+=1 D．+y2=1或+x2=1参考答案：C考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的性质，得a=2b，再讨论焦点的位置，即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程．解答：解：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，由于椭圆经过点（2，0），则若焦点在x轴上，则a=2，b=1，椭圆方程为=1；若焦点y轴上，则b=2，a=4，椭圆方程为=1．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意讨论焦点位置，考查运算能力，属于基础题和易错题．2. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（）A. B. C. D.参考答案：C3. 函数的值域为( )A. B. C. D.参考答案：B4. P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，且，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．B． C． D．参考答案：D5. 等比数列的各项均为正数，且，则（）A B C D参考答案：B6. 若，则复数＝ ( )A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋参考答案：D7. 若复数是纯虚数，则实数的值为（）...或.参考答案：B由且得，选B；8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．C．2 D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示：该几何体的体积V==．故选：D．9. 函数的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）参考答案：C略10. 设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若数列满足，则数列的通项公式为.参考答案：；故12. 计算：_____________.参考答案：.13. 若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n= ．参考答案：5【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】由题意可得T r+1=C n r（2x）r=2r C n r x r分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系数，从而可求【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，T r+1=C n r（2x）r=2r C n r x r令r=3可得含x3项的系数为：8C n3，令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为：514. ．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是．参考答案：6【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；算法和程序框图．【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i的关系．最终得出结论．【解答】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；第二次循环：S=+=，i=2+1=3；第三次循环：S=+=，i=3+1=4；第四次循环：S=+=，i=4+1=5；第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；∴判断框中的条件为i＜6？故答案为：6．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题15. 除以5的余数是______________.参考答案：316. 已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形最大角为_____________.参考答案：略17. （文）已知，关于的不等式的解集是.参考答案：原不等式等价为，即，因为，所以不等式等价为，所以，即原不等式的解集为。
2020年上海市交大附中高考数学考前试卷(7月份)(有解析)
2020年上海市交大附中高考数学考前试卷(7月份)一、单项选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “sinα=cosα”是“α=π4+2kπ,(k ∈Z)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，A ，B 为抛物线上两个不同的点，满足|AF|+|BF|=8，且线段AB 的中点坐标为(3,3)，则p =( )A. 12B. 2C. 4D. 83. 参数方程{x =t +1,y =2−t(t ≥1)表示的曲线为直线．( ) A. √ B. ×4. 在已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1,a 2=2,且a n+1−a n =a n −a n−1(n ≥2)，记T n =1S 1+1S 2+⋯1Sn，则T 2018= ( )A. 40342018B. 20172018C. 40362019D. 20182019二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={y|y =x 2−1,x ∈R}，B ={y|y =x 2+1,x ∈R}，则A ∩B =______．6. 函数f (x )=sin4x −√3cos4x 的最小正周期是_____________．7. 抛物线y =px 2经过点(1,4)，则抛物线的准线方程为______．8. 已知∣∣∣x −112∣∣∣=3，则x =______．9. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −y −2≤02x −y −2≥0，则z =y+1x+1的最小值为______．10. 设(1+2x)n 展开式中二项式系数之和为a n ，各项系数之和为b n ，则n →∞lima n −bn a n+b n=______．11. 如图，在三棱锥P −ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA =PC =4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为______．12.从3名骨科医生、4名脑外科医生和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是____________.(用数字作答)13.已知函数f(x)=x|x−2|在[0,a]上的值域为[0,1]，则实数a的取值范围是______．14.已知函数f(x)=x2−2x，若数列{f(a n)}为递增数列，且f(a2)=0，则a1的取值范围为________．15.数列{a n}共有12项，其中a1=0，a5=−2，a12=3，且|a k+1−a k|=1(k=1,2，3，…11)，则满足这种条件的不同数列的个数为______ ．16.已知C，D是椭圆x24+y2=1上的两个动点，且点M(0,2).若MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的取值范围为_________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在底面为正方形的四棱锥S−ABCD中，SD⊥平面ABCD，E、F是AS、BC的中点，(Ⅰ)求证：BE//平面SDF；(Ⅱ)若AB=5，求点E到平面SDF的距离．18.已知AB=2，梯形ABCD内接于以AB为直径的圆O，∠AOD=θ，(1)用θ表示出梯形ABCD的面积；(2)求出面积的最大值，并指出θ为何值时取到．19. 对于函数y =f(x)，若在定义域内存在实数x 0，使得f(x 0+1)=f(x 0)+f(1)成立，称x 0函数的“漂移点”．(1)证明函数f(x)=2x “漂移点”，并求出“漂移点”； (2)若函数f(x)=ln(a⋅2x x 2)在(0,+∞)上有“漂移点”，求实数a 的取值范围．20. 已知点M (2√2,2√33)在椭圆G ：x 2a +y 2b =1(a > b >0)上，且点M 到两焦点距离之和为4√3．(1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为P(−3,2)，求△PAB 的面积．21.已知命题p：方程x2+y2−4x+2my+2m2−m+2=0表示圆；命题q：方程x2m−1+y25−a=1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由“sinα=cosα”得：α=kπ+π4，k ∈Z ， 故sinα=cosα是“α=π4+2kπ,(k ∈Z)”的必要不充分条件， 故选：B ．根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查三角函数以及集合的包含关系，是一道基础题．2.答案：B解析：求得抛物线的焦点坐标和准线方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由抛物线的定义和中点坐标公式，解方程可得p 的值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查中点坐标公式和方程思想，以及运算能力，属于基础题． 解：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F(p2,0)，准线方程为x =−p2， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得|AF|=x 1+p2，|BF|=x 2+p2， |AF|+|BF|=x 1+x 2+p =8， 又线段AB 的中点坐标为(3,3)， 可得x 1+x 2=6， 即6+p =8，解得p =2． 故选：B ．3.答案：B解析：本题主要考查参数方程与直角方程之间的关系，属于基础题． 解：参数方程{x =t +1,y =2−t (t ≥1)表示的曲线为射线，故错误． 故选B ．4.答案：C解析：本题考查等差数列的判定及通项公式，同时等差的求和及裂项相法求和，属于中档题，由已知{a n}为等差数列，求出S n，然后裂项相消法求和即可．解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+1−a n=a n−a n−1(n≥2)，n=1时a1=1，也满足，则数列{a n}为等差数列，设公差为d，则：d=a2−a1=2−1=1，则a n=1+n−1=n，n=1时a1=1，也满足上式，故：S n=1+2+⋯+n=n(n+1)2，则：1S n =2⋅(1n−1n+1)，所以：T n=1S1+1S2+⋯+1S n，=2⋅(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)，=2⋅(1−1n+1)，=2nn+1．所以：T2018=2×20182018+1=40362019．故选C．5.答案：{y|y≥1}解析：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．解：∵集合A={y|y=x2−1,x∈R}={y|y≥−1}，B={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}，∴A∩B={y|y≥1}．故答案为{y|y≥1}．6.答案：π2解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出它的最小正周期．解：函数，∴f(x)的最小正周期是T=2π4=π2．故答案为π2．7.答案：y=−116解析：解：由抛物线过(1,4)，代入抛物线的方程可得：4=p⋅12，解得p=4，所以抛物线的标准方程为：x2=14y，所以抛物线的焦点坐标为：(0,116)，准线方程为y=−116，故答案为：y=−116由题意将点的坐标代入抛物线的方程可得p的值，进而求出准线方程．本题考查抛物线的性质，属于基础题8.答案：1解析：解：∵∣∣∣x−112∣∣∣=3，∴2x+1=3，解得x=1．故答案为：1．利用二阶行列式展开式直接求解．本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：13解析：解：实数x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −y −2≤02x −y −2≥0的可行域如图：则z =y+1x+1几何意义是可行域内的点与P(−1,−1)连线的斜率，由图形可知PA 的斜率最小， 由{x +y −2=0x −y −2=0，解得A(2,0)， 则z =y+1x+1的最小值为：13． 故答案为：13．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10.答案：−1解析：解：∵(1+2x)n 展开式中二项式系数之和为a n ，各项系数之和为b n ， 则2n =a n ，b n =3n ， ∴n →∞lima n −b nan +b n=n →∞lim2n −3n2n +3n =n →∞lim(23)n −1(23)n +1=0−10+1=−1，故答案为−1．则由题意可得2n=a n ，b n =3n，n →∞lima n −b na n +b n=n →∞lim2n −3n2n +3n =n →∞lim(23)n −1(23)n +1，再利用数列极限的运算法则求得结果．本题主要考查二项式系数系数和、二项式的系数和的区别，求数列的极限，数列极限的运算法则，属于中档题．11.答案：√24解析：解：取AC 的中点O ，连结OP ，OB ， ∵PA =PC ，∴AC ⊥OP ，∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，∴OP ⊥平面ABC ，又∵AB =BC ，∴AC ⊥OB ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵△PAC 是等腰直角三角形，PA =PC =4，△ABC 为直角三角形， ∴A(2√2,0，0)，C(−2√2,0，0)，P(0,0，2√2)，D(√2,√6,0)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√2,0，0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√6,−2√2)， ∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=42×4=−√24． ∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为√24．故答案为：√24．取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与PD 所成角的余弦值．本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．12.答案：590解析：本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．解：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C 33C 41C 51=20种， 1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C 31C 43C 51=60种， 1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C 31C 41C 53=120种， 2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C 32C 42C 51=90种， 1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C 31C 42C 52=180种， 2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C 32C 41C 52=120种，共计20+60+120+90+180+120=590种 故答案为590．13.答案：[1,1+√2]解析：解：f(x)=x|x −2|={x 2−2x,x ≥2−x 2+2x,x <2，其图象如图：由x 2−2x =1，解得：x =1−√2(舍)，或x =1+√2．∴要使函数f(x)=x|x −2|在[0,a]上的值域为[0,1]，则实数a 的取值范围是：[1,1+√2]． 故答案为：[1,1+√2]．写出分段函数解析式，画出图象，数形结合得答案．本题考查函数值域的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：(0,2)解析：本题考查了数列的单调性，属于基础题． 已知f(a 2)=0，则f(a 1)<0，解不等式即可． 解：数列{f(a n )}为递增数列，且f(a 2)=0，则f(a 1)=a 12−2a 1<0，解得0<a 1<2．所以答案为(0,2)．15.答案：28解析：解：∵|a k+1−a k |=1， ∴a k+1−a k =1或a k+1−a k =−1， 即数列{a n }从前往后依次增加或减小1， ∵a 1=0，a 5=−2，a 12=3，∴从a 1到a 5有3次减小1，1次增加1，故有C 41=4种， 从a 5到a 12，6次增加1，1次减小1，故有C 71种，∴满足这种条件的不同数列的个数为4×7=28． 故答案为：28．根据题意，分别确定从a 1到a 5，a 5到a 12满足条件的个数，然后利用组合知识，即可得到结论． 本题考查数列知识，考查组合知识的运用，正确利用|a k+1−a k |=1，是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题．16.答案：[13,3]解析：设直线CD 的方程，代入椭圆方程，由△≥0，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得λ的取值范围．本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．解：假设CD 的斜率存在时，设过点M(0,2)得直线方程为y =kx +2， 联立方程{y =kx +2x 2+4y 2=4，整理可得(1+4k 2)x 2+16kx +12=0， 设C(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则△=(16k)2−4×(1+4k 2)×12≥0，整理得k 2≥34， x 1+x 2=−16k1+k 2，x 1x 2=121+4k 2， 由MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得，x 1=λx 2代入到(∗)式整理可得(1+λ)2λ=64k 23(1+4k 2)=643(4+1k 2)，由k 2≥34，可得4≤(1+λ)2λ≤163，解可得13≤λ≤3且λ≠1，当M 和N 点重合时，λ=1，当斜率不存在时，则D(0,1)，C(0,−1)，或D(0,1)，C(0,−1)，则λ=13或λ=3 ∴实数λ的取值范围[13,3]． 故答案为[13,3]．17.答案：证明：(Ⅰ)取SD 的中点Q ，连接QF 、QE ，由于点E为侧棱AS的中点，Q为SD的中点，故在△DAS中，QE=//12AD，由于F是BC的中点故BF=//12AD，则QE=//BF，故BFQE为平行四边形，故BE//QF，又QF⊂平面SDF，BE⊄平面SDF，故BE//平面SDF；解：(Ⅱ)由DS⊥面ABCD，又AB⊂面ABCD，故D S⊥AB又AB⊥AD，AD∩DS=D，AD，DS⊂面ADS，故AB⊥面ADS，又BC//面ADS，故F到面ADS的距离为AB的长，即为5．设点E到平面SDF的距离为h．又V F−SED=V E-SDF，故53×12×12SD×5=13ℎ×12SD×5√52，解得ℎ=√5，所以点E到平面SDF的距离ℎ=√5．解析：本题考查线面平行的判定，考查等体积方法求点到平面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)取SD 的中点Q ，连接QF 、QE ，证明BFQE 为平行四边形，可得BE//QF ，即可证明：BE//平面SDF ；(Ⅱ)若AB =5，利用等体积方法求点E 到平面SDF 的距离．18.答案：解：(1)由点D 作，垂足为M ，则ℎ=DM =sin θ,OM =cos θ,CD =2OM =2cos θ， 故S =12(2cosθ+2)sinθ=sinθcosθ+sinθ,θ∈(0,π2)． (2)S′=cos θcos θ−sin θsin θ+cos θ=2cos 2θ+cos θ−1，解2cos 2θ+cosθ−1>0得cosθ>12，又y =cos x 在(0,π2)上单调递减 故θ<π3，故S(θ)在(0,π3)上单调递增，在(π3,π2)上单调递减，所以x =π3时，S(θ)取到最大值为S(θ)max =S(π3)=3√34．解析：本题主要考查三角函数模型，利用导数研究函数的最值，属于基础题． (1)用θ分别表示梯形ABCD 的高和下底，代入梯形面积公式，即可求解．(2)由(1)所得函数，求其导函数，判断函数S(θ)在(0,π2)上的单调性，即可求出最值．19.答案：解：(1)根据“漂移点”定义得：2x+1=2x +2，2⋅2x =2x +2，2x =2，方程有解x =1，所以1是函数f(x)=2x 的“漂移点”． (2)根据“漂移点”定义可得：方程f(x +1)=f(x)+f(1)在x ∈(0,+∞)有解． 即有ln(a⋅2x+1(x+1)2)=ln a⋅2x x 2+ln2a 且a >0，所以a⋅2x+1(x+1)2=a⋅2x x 2×2a ，整理得：(a −1)x 2+2ax +a =0在(0,+∞)有解且a >0， ①当a =1时，2x +1=0，x =−12，不满足有条件，舍去． ②当a >1时，方程是关于x 的一元二次方程， 根据韦达定理可得{x 1+x 2=−2aa−1<0x 1x 2=a a−1>0，则有两负根，不满足条件，舍去．③当0<a <1时，该方程是关于x 的一元二次方程，若有根，根据韦达定理可得x 1+x 2=−2aa−1>0，则有正根， 所以只需要满足△≥0，即4a 2−4(a −1)a ≥0，解得a ∈(0,1)， 综上所述：a ∈(0,1)．解析：本题考查函数是否有“飘移点”的判断与求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质、运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、是中档题． (1)根据“漂移点”定义得：2x+1=2x +2，即可解出方程的根，即“漂移点”．(2)根据题意方程f(x +1)=f(x)+f(1)在x ∈(0,+∞)有解，整理得：(a −1)x 2+2ax +a =0在(0,+∞)有解且a >0，分三种情况①当a =1时，②当a >1时，③当0<a <1时，进行讨论，即可求出实数a 的取值范围．20.答案：解：(1)由题意2a =4√3，∴a =2√3， 又点M(2√2,2√33)在椭圆G 上，∴23+43b 2=1，解得b 2=4， ∴椭圆G 的方程为：x 212+y 24=1；(2)设直线l 的方程为y =x +m ，由{y =x +m x 212+y 24=1，得4x 2+6mx +3m 2−12=0.①，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E(x 0,y 0)， 则x 0=x 1+x 22=−3m 4，y 0=x 0+m =m4．因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ， 故PE 的斜率k =2−m4−3+3m 4=−1，解得m =2，此时方程①为4x 2+12x =0，解得x 1=−3，x 2=0， 所以y 1=−1，y 2=2.所以|AB|=3√2．此时，点P(−3,2)到直线AB ：x −y +2=0的距离d =√2=3√22，所以△PAB 的面积S =12|AB|⋅d =92．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)由2a =4√3，可得a =2√3.又点M(2√2,2√33)在椭圆G 上，可得23+43b 2=1，解得b 2，即可得出．(2)设直线l 的方程为y =x +m ，与椭圆方程联立得4x 2+6mx +3m 2−12=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E(x 0,y 0)，利用中档坐标公式可得E 坐标．因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB.解得m.利用两点之间的距离公式可得|AB|.点P(−3,2)到直线AB ：x −y +2=0的距离d ，可得△PAB 的面积S =12|AB|⋅d ．21.答案：解：命题P ：方程x 2+y 2−4x +2my +2m 2−m +2=0即(x −2)2+(y +m)2=−m 2+m +2表示圆，∴−m 2+m +2>0，解得−1<m <2， 命题q ：方程x 2m−1+y 25−a =1表示焦点在y 轴上的椭圆． ∴5−a >m −1>0，解得1<m <6−a ，(a <5)． 若p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒p ， ∴1<6−a ≤2，解得4≤a <5． ∴实数a 的取值范围是4≤a <5．解析：根据椭圆的方程求出命题q 的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行转化求解即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据圆和椭圆的特点求出命题的等价条件是解决本题的关键，是中档题．。
2020年上海市交大附中高考数学二模试卷 (解析版)
2020年高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）.1．计算矩阵的乘积：（ab ）(3c00)= ．2．C n 0+3C n 1+32C n 2+⋯⋯+3n C n n = ．3．已知sin θ2+cos θ2=2√33，则sin θ的值等于 ．4．若双曲线x 24−y 2m=1的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为 ．5．在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 项．6．如图，二面角α﹣l ﹣β的大小是π3，线段AB ⫋α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为π6，则AB 与平面β所成的角是 （用反三角函数表示）．7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2且（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，则△ABC 面积的最大值为 ．8．已知函数f （x ）＝lg （x +1），g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g （x ）＝f （x ），则函数y ＝g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数是y ＝ ．9．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的函数，方程f （2019+x ）×f （2020﹣x ）＝0恰好有7个解，则这7个解的和为 ．10．设0.a ⋅b ⋅是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a ≠b ，b ≠0，若集合A ={n|1n=0.a ⋅b ⋅，n ∈N ∗}，则A 中所有元素的和为11．已知数列{a n }满足a n+1={3a n +1a n 为奇数a n 2a n 为偶数（n ∈N *），a 1=2k ⋅7（k 是一个已知的正整数），若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，则p ＝ 12．若实数x ，y 满足2cos 2（x +y ﹣1）=(x+1)2+(y−1)2−2xy x−y+1，则xy 的最小值为 ．二.选择题13．已知函数y ＝f （x ）是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1＜x 2”是“f （x 1）＜f（x 2）”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．非充分非必要14．已知z 1≠﹣1，z 1−1z 1+1=bi （b ∈R ），z =4(z 1+1)2−1，则z 对应的点在（ ）A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|=OA →•OB →=2，则点集{P |OP →=λOA →+μOB →，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4√2D ．4√316．已知a 1，a 2，a 3，a 4∈{1，2，3，4}，N （a 1，a 2，a 3，a 4）为a 1，a 2，a 3，a 4中不同数字的种类，如N （1，1，2，3）＝3，N （1，2，2，1）＝2，求所有的256个（a 1，a 2，a 3，a 4）的排列所得的N （a 1，a 2，a 3，a 4）的平均值为（ ） A ．8732B ．114C ．17764D ．17564三.解答题17．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ．18．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示． （1）求出函数f （x ）的解析式；（2）若将函数f （x ）的图象向右移动π3个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数y ＝g （x ）的图象，求出函数y ＝g （x ）的单调递增区间及对称中心．19．若函数y＝f（x）满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在x2，使f（x1）f（x2）＝λ成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①f（x）＝2x，②g（x）＝log2x是否为“依附函数”，并说明理由；（2）若函数y＝h（x）的值域为[m，n]，求证：“y＝h（x）是‘依附函数’”的充要条件是“0∉[m，n]”．20．如图，已知点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C：y＝x2上存在不同的两点A、B满足PD→=λDA→，PE→=λEB→，其中λ为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．（1）若P点坐标为（1，﹣2），λ＝3时，求弦AB所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A点的直线l1与抛物线C只有一个交点，过B点的直线l2与抛物线C也只有一个交点，求证：若l1和l2的斜率都存在，则l1与l2的交点N在直线PM上；（3）若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．21．设数列{a n}（n∈N*）是公差不为零的等差数列，满足a3+a6＝a9，a5+a72＝6a9；数列{b n}（n∈N*）的前n项和为S n，且满足4S n+2b n＝3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）在b1和b2之间插入1个数x11，使b1，x11，b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21，x22，使b2，x21，x22，b3成等差数列；……；在b n和b n+1之间插入n个数x n1，x n2，…，x nn，使b n，x n1，x n2，…x nn，b n+1成等差数列．（i）求T n＝x11+x21+x22+…+x n1+x n2+…+x nn；（ii）是否存在正整数m，n，使T n=a m+12a m成立？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．参考答案一.填空题1．计算矩阵的乘积：（ab ）(3c00)= （3aac ） ．【分析】利用矩阵的乘积运算法则即可得出． 解：∵3a +b ×0＝3a ，ac +b ×0＝ac ， ∴（ab ）(3c00)=（3aac ）．故答案为：（3aac ）．2．C n 0+3C n 1+32C n 2+⋯⋯+3n C n n = 4n ．【分析】根据二项式展开式定理，逆用即可．解：C n 0+3C n 1+32C n 2+⋯⋯+3n C n n=C n 0+C n 1•3+C n 2•32+⋯⋯+C n n •3n＝（1+3）n ＝4n ． 故答案为：4n ．3．已知sin θ2+cos θ2=2√33，则sin θ的值等于 13．【分析】把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出sin θ的值．解：把sin θ2+cos θ2=2√33两边平方得：（sin θ2+cos θ2）2＝（2√33）2， 即sin 2θ2+2sin θ2cos θ2+cos2θ2=1+sin θ=43，∴sin θ=13． 故答案为：134．若双曲线x 24−y 2m=1的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为 2√5 ．【分析】通过双曲线的焦距，求出m ，然后求解双曲线的虚轴长． 解：双曲线x 24−y 2m=1的焦距为6，可得√4+m =3，解得m =√5． 所以双曲线的虚轴长为：2√5． 故答案为：2√5．5．在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 5 项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：可得，等比数列的通项公式a n ＝21×(12)n−1，则数列单调递减，a 5﹣1=2116−1=516，1﹣a 6＝1−2132=1132， 故当n ＝5时，数列的项与1最接近． 故答案为：5．6．如图，二面角α﹣l ﹣β的大小是π3，线段AB ⫋α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为π6，则AB 与平面β所成的角是 arcsin √34 （用反三角函数表示）．【分析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，可得∠ADC 为二面角α﹣l ﹣β的平面角，连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角，在直角三角形ABC 中即可求解． 解：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ， 在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ， 连接AD ，由三垂线定理可知AD ⊥l ， 故∠ADC 为二面角α﹣l ﹣β的平面角，为π3，又由已知，∠ABD =π6，连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角． 设AD ＝2，则AC =√3，CD ＝1，AB =ADsin π6=4．∴直线AB 与平面β所成的角的正弦值sin ∠ABC =AC AB =√34，即AB 与平面β所成的角是arcsin √34．故答案为：arcsin√34．7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2且（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，则△ABC 面积的最大值为 √3 ．【分析】由正弦定理化简已知可得2a ﹣b 2＝c 2﹣bc ，结合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求bc ≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解． 解：因为：（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ⇒（2+b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ⇒2a ﹣2b +ab ﹣b 2＝c 2﹣bc ， 又因为：a ＝2，所以：a 2−b 2=c 2−bc ⇒b 2+c 2−a 2=bc ⇒cosA =b 2+c 2−a 22bc =12⇒A =π3，△ABC 面积S =12bcsinA =√34bc ，而b 2+c 2﹣a 2＝bc ⇒b 2+c 2﹣bc ＝a 2 ⇒b 2+c 2﹣bc ＝4 ⇒bc ≤4所以：S =12bcsinA =√34bc ≤√3，即△ABC 面积的最大值为√3．故答案为：√3．8．已知函数f （x ）＝lg （x +1），g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g （x ）＝f （x ），则函数y ＝g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数是y ＝ 3﹣10x （x ∈[0，lg 2]） ． 【分析】结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解． 解：当x ∈[1，2]时，2﹣x ∈[0，1]，∴y ＝g （x ）＝g （x ﹣2）＝g （2﹣x ）＝f （2﹣x ）＝lg （3﹣x ）， 由单调性可知y ∈[0，lg 2]， 又∵x ＝3﹣10y ，∴所求反函数是y ＝3﹣10x ，x ∈[0，lg 2]． 故答案为：3﹣10x ，x ∈[0，lg 2]．9．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的函数，方程f （2019+x ）×f （2020﹣x ）＝0恰好有7个解，则这7个解的和为 3.5 ．【分析】构造函数g （x ）＝f （2019+x ）×f （2020﹣x ），则函数g （x ）满足g （1﹣x ）＝g （x ），即函数g （x ）关于直线x =12对称，所以方程g （x ）＝0的7个解有一个根为12，左右各对应3个根，从而求出这7个解的和．解：设g （x ）＝f （2019+x ）×f （2020﹣x ）， 则g （1﹣x ）＝f （2020﹣x ）×f （2019+x ）， ∴函数g （x ）满足g （1﹣x ）＝g （x ）， ∴函数g （x ）关于直线x =12对称，∴方程g （x ）＝0的所有实数根也是关于12在数轴上对称分布，∴一旦在12的左侧取到实数根，一定也能在12的右侧取到相应实数根，且两根之和为1，∵方程f （2019+x ）×f （2020﹣x ）＝0恰好有7个解，即方程g （x ）＝0恰好有7个解， ∴有一个根为12，左右各对应3个根，∴这7个解的和为1+1+1+12=3.5， 故答案为：3.5．10．设0.a ⋅b ⋅是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a ≠b ，b ≠0，若集合A ={n|1n=0.a ⋅b ⋅，n ∈N ∗}，则A 中所有元素的和为 143【分析】先由题意得到0.a ⋅b ⋅=10a+b99⇒n =9910a+b ，再利用列举法求出满足题意的n 即可．解：由题意可知0.a ⋅b ⋅=10a+b99，∴n =9910a+b ．又∵a 和b 分别为10以内的非负整数，且a ≠b ，b ≠0，∴①当a ＝0时，b ＝1，3，9，此时n 依次等于99，33，11； ②当a ≠0时，n 均不存在．综合①②知：A ＝{99，11，33}，故A 中所有元素的和为99+11+33＝143． 故答案为：143．11．已知数列{a n }满足a n+1={3a n +1a n 为奇数a n 2a n 为偶数（n ∈N *），a 1=2k ⋅7（k 是一个已知的正整数），若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，则p ＝ ﹣1 【分析】推导出a n ＝p ，a n +1＝3p +1，a n +2=3p+12=p ，由此能求出p ． 解：若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ， 则a n ＝p ，a n +1＝3p +1，a n +2=3p+12=p ， 解得p ＝﹣1． 故答案为：﹣1．12．若实数x ，y 满足2cos 2（x +y ﹣1）=(x+1)2+(y−1)2−2xy x−y+1，则xy 的最小值为 14． 【分析】配方可得2cos 2（x +y ﹣1）=(x−y+1)2+1x−y+1=（x ﹣y +1）+1x−y+1，由基本不等式可得（x +y +1）+1x−y+1≤2，或（x ﹣y +1）+1x−y+1≤−2，进而可得cos （x +y ﹣1）＝±1，x ＝y =kπ+12，由此可得xy 的表达式，取k ＝0可得最值． 解：∵2cos 2(x +y −1)=(x+1)2+(y−1)2−2xy x−y+1，∴2cos 2（x +y ﹣1）=x 2+2x+1+y 2−2y+1−2xyx−y+1∴2cos 2（x +y ﹣1）=x 2+y 2+2x−2y−2xy+1+1x−y+1，故2cos 2（x +y ﹣1）=(x−y+1)2+1x−y+1=（x ﹣y +1）+1x−y+1， 由基本不等式可得（x ﹣y +1）+1x−y+1≥2，或（x ﹣y +1）+1x−y+1≤−2， ∴2cos 2（x +y ﹣1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos 2（x +y ﹣1）＝2， 故cos 2（x +y ﹣1）＝1，即cos （x +y ﹣1）＝±1，此时x ﹣y +1＝1，即x ＝y ∴x +y ﹣1＝k π，k ∈Z ，故x +y ＝2x ＝k π+1，解得x =kπ+12， 故xy ＝x •x =(kπ+12)2，当k ＝0时，xy 的最小值14， 故答案为：14二.选择题13．已知函数y ＝f （x ）是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1＜x 2”是“f （x 1）＜f （x 2）”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．非充分非必要【分析】利用增函数的定义即可判断出关系．解：函数y ＝f （x ）是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1＜x 2”⇔“f （x 1）＜f （x 2）”， 故选：C ． 14．已知z 1≠﹣1，z 1−1z 1+1=bi （b ∈R ），z =4(z 1+1)2−1，则z 对应的点在（ ）A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上【分析】由已知求得z 1，代入z 化简得到z ＝﹣b 2﹣2bi ，设P （x ，y ），则{x =−b 2y =−2b ，消去b 即可得到点P 的轨迹． 解：因为z 1−1z 1+1=bi ，所以z 1=1+bi1−bi， 则z =4(z 1+1)2−1=4(1+bi 1−bi+1)2−1＝（1﹣bi ）2﹣1＝﹣b 2﹣2bi ，∴复数z 在复平面内所对应的点为P （﹣b 2，﹣2b ）， 设P （x ，y ），则{x =−b 2y =−2b ，消去b 得：y 2＝﹣4x （y ≠0）．故z 对应的点在抛物线上， 故选：B ．15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|=OA →•OB →=2，则点集{P |OP →=λOA →+μOB →，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4√2D ．4√3【分析】由两定点A ，B 满足|OA→|=|OB→|=OA →⋅OB →=2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P 点坐标，由平面向量基本定理，把P 的坐标用A ，B 的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P 所表示区域的面积． 解：由两定点A ，B 满足|OA→|=|OB→|=OA →⋅OB →=2，AB →=OB →−OA →，则|AB →|2＝（OB →−OA →）2=|OB|2−2OA →•OB →+|OA →|2=4，则|AB →|＝2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A （√3，−1），B （√3，1）．再设P （x ，y ）．由OP →=λOA →+μOB →，得：(x ，y)=(√3λ，−λ)+(√3μ，μ)=(√3(λ+μ)，μ−λ)．所以{λ+μ=√33x μ−λ=y ，解得{λ=√36x −12yμ=√36x +12y ①． 由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于{ √36x −12y ≥0√36x +12y ≥0x ≤√3或{ √36x −12y ≥0√36x +12y ＜0y ≥−1或{ √36x −12y ＜0√36x +12y ≥0y ≤1或{ √36x −12y ＜0√36x +12y ＜0x ≥−√3． 可行域如图中矩形ABCD 及其内部区域，则区域面积为2×2√3=4√3． 故选：D ．16．已知a 1，a 2，a 3，a 4∈{1，2，3，4}，N （a 1，a 2，a 3，a 4）为a 1，a 2，a 3，a 4中不同数字的种类，如N （1，1，2，3）＝3，N （1，2，2，1）＝2，求所有的256个（a 1，a 2，a 3，a 4）的排列所得的N （a 1，a 2，a 3，a 4）的平均值为（ ） A ．8732B ．114C ．17764D ．17564【分析】根据题意，依次分析N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝1、2、3、4时的情况数目，结合“不同数字的种类”的定义分析可得答案．解：根据题意，（a 1，a 2，a 3，a 4）的排列共有256种，其中当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝1时，即排列中只有1个数字，有4种情况，当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝2时，即排列中有2个不同的数字，若有3个数字相同，有C 42C 43A 22＝48种情况，若有2个数字相同，有C 42C 42＝36种情况， 此时有48+36＝84种情况，当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝3时，即排列中有3个不同的数字，有3×C 43C 42A 22＝144种情况，当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝3时，即排列有4个不同的数字，有A 44＝24种情况， 则N （a 1，a 2，a 3，a 4）的平均值为4×1+84×2+144×3+24×4256=700256=17564；故选：D ． 三.解答题17．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ．【分析】（1）设圆锥底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则l ＝10厘米，利用半圆周长等于圆锥底面周长列式求得r ＝5厘米，则表面积可求，再求出圆锥的高，则体积可求．（2）由（1）知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，可得最高点到底面的距离为等边三角形的高．解：（1）设圆锥底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则l ＝10厘米，且2πr ＝πl ， 解得：r ＝5厘米，表面积S ＝πrl ＝50π（平方厘米）， 圆锥的高h =√l 2−r 2=5√3（厘米），∴体积V =13πr 2h =125√3π3（立方厘米）．（2）由（1）知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米， ∴最高点到底面的距离为等边三角形的高，h =5√3厘米． 故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d =5√3厘米．18．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示． （1）求出函数f （x ）的解析式；（2）若将函数f （x ）的图象向右移动π3个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数y ＝g （x ）的图象，求出函数y ＝g （x ）的单调递增区间及对称中心．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A 和b ，由周期求出ω，最高点求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数y ＝g （x ）的单调递增区间及对称中心．解：（1）由函数f （x ）的图象可得 {A +b =6−A +b =−2，解得：{A =4b =2．又由T2=2π得：T =2πω=4π，∴ω=12． 而f(π3)=6 得：π6+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴φ=π3，综上：f(x)=4sin(12x +π3)+2．（2）显然g(x)=4sin(2x +π6)+2，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得g （x ）的单调递增区间为[kπ−π3，kπ+π6]，k ∈Z ，由2x +π6=kπ，k ∈Z 得：对称中心是(kπ2−π12，2)，k ∈Z ． 19．若函数y ＝f （x ）满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在x 2，使f （x 1）f （x 2）＝λ成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①f （x ）＝2x ，②g （x ）＝log 2x 是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数y ＝h （x ）的值域为[m ，n ]，求证：“y ＝h （x ）是‘依附函数’”的充要条件是“0∉[m ，n ]”．【分析】（1）根据“依附函数”的定义直接判断即可； （2）从必要性及充分性两个角度，利用反正法求证即可．解：（1）①可取λ＝1，则对任意x 1∈R ，存在x 2＝﹣x 1∈R ，使得2x 1⋅2x 2=1成立， （说明：可取任意正数λ，则x 2＝log 2λ﹣x 1……2分） ∴f （x ）＝2x 是“依附函数”，……②对于任意正数λ，取x 1＝1，则g （x 1）＝0，……此时关于x2的方程g（x1）g（x2）＝λ无解，∴g（x）＝log2x不是“依附函数”．……（2）证明：必要性：（反证法）假设0∈[m，n]，∵y＝h（x）的值域为[m，n]，∴存在定义域内的x1，使得h（x1）＝0，……∴对任意正数λ，关于x2的方程h（x1）h（x2）＝λ无解，即y＝h（x）不是依附函数，矛盾，……充分性：假设0∉[m，n]，取λ＝mn＞0，……则对定义域内的每一个值x1，由h（x1）∈[m，n]，可得λℎ(x1)∈[λn，λm]=[m，n]，而y＝h（x）的值域为[m，n]，∴存在定义域内的x2，使得λℎ(x1)=h(x2)，即h（x1）h（x2）＝λ成立，∴y＝h（x）是“依附函数”．……20．如图，已知点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C：y＝x2上存在不同的两点A、B满足PD→=λDA→，PE→=λEB→，其中λ为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．（1）若P点坐标为（1，﹣2），λ＝3时，求弦AB所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A点的直线l1与抛物线C只有一个交点，过B点的直线l2与抛物线C也只有一个交点，求证：若l1和l2的斜率都存在，则l1与l2的交点N在直线PM上；（3）若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出D、E坐标，设A（3，9），B（﹣1，1），然后判断求解弦AB所在的直线方程．（2）设l1：y﹣9＝k1（x﹣3），与C：y2＝x联立，并令△＝0，可得k1＝6，同理l2的斜率k 2＝﹣2，求出交点坐标，然后推出直线PM 的方程即可．（3）设P （x 0，y 0），设出A 、B 坐标，由PD →=λDA →，求出D(x 0+λx 11+λ，y 0+λx 121+λ)，代入y ＝x 2，说明x 1、x 2是方程λx 2−2λx 0x +(1+λ)y 0−x 02=0的两个不同的根，利用韦达定理，求出P 、Q 坐标，然后求解线段比例即可．【解答】（1）解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由PD →=3DA →，PE →=3EB →， 可得D(1+3x 14，−2+3y 14)，E(1+3x 24，−2+3y 24)， 由D 点在C 上可得：−2+3y 14=(1+3x 14)2，化简得：x 12−2x 1−3=0，同理可得：x 22−2x 2−3=0，∵A 、B 两点不同，不妨设A （3，9），B （﹣1，1）， ∴弦AB 所在的直线方程为2x ﹣y +3＝0．（2）证明：由（1）可知，A （3，9），B （﹣1，1），设l 1：y ﹣9＝k 1（x ﹣3）， 与C ：y 2＝x 联立，并令△＝0，可得k 1＝6，同理l 2的斜率k 2＝﹣2， ∴l 1：6x ﹣y ﹣9＝0，l 2：2x +y +1＝0，解方程组得：交点N （1，﹣3），而直线PM 的方程为x ＝1，得证． （3）证明：设P （x 0，y 0），A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，由PD →=λDA →，得D(x 0+λx 11+λ，y 0+λx 121+λ)， 代入y ＝x 2，化简得：λx 12−2λx 0x 1+(1+λ)y 0−x 02=0， 同理可得：λx 22−2λx 0x 2+(1+λ)y 0−x 02=0，显然x 1≠x 2，∴x 1、x 2是方程λx 2−2λx 0x +(1+λ)y 0−x 02=0的两个不同的根， ∴x 1+x 2＝2x 0，x 1⋅x 2=(1+λ)y 0−x 02λ，∴x M =x 1+x 22=x 0，即直线PM 的方程为x ＝x 0， ∵y M =x 12+x 222=(1+2λ)x 02−(1+λ)y 0λ，y Q =x 02，∴y M −y Q =(1+λ)x 02−(1+λ)y 0λ，y Q −y P =x 02−y 0， ∴线段PQ 与QM 的比为定值1+λλ．21．设数列{a n }（n ∈一、选择题*）是公差不为零的等差数列，满足a 3+a 6＝a 9，a 5+a 72＝6a 9；数列{b n }（n ∈N*）的前n 项和为S n ，且满足4S n +2b n ＝3． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）在b 1和b 2之间插入1个数x 11，使b 1，x 11，b 2成等差数列；在b 2和b 3之间插入2个数x 21，x 22，使b 2，x 21，x 22，b 3成等差数列；……；在b n 和b n +1之间插入n 个数x n 1，x n 2，…，x nn ，使b n ，x n 1，x n 2，…x nn ，b n +1成等差数列． （i ）求T n ＝x 11+x 21+x 22+…+x n 1+x n 2+…+x nn ；（ii ）是否存在正整数m ，n ，使T n =am+12a m成立？若存在，求出所有的正整数对（m ，n ）；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设数列{a n }的公差为d ，（d ≠0），利用等差数列的通项公式求出d ＝1，从而a n ＝n ．再由4S n +2b n ＝3，当n ≥2时，4S n ﹣1+2b n ﹣1＝3，推导出{b n }是首项为12，公比为13的等比数列，由此能求出b n ．（2）（i ）在b n 和b n ﹣1之间插入n 个数x n 1，x n 2，…，x n n ，推导出d n =bn+1−b n(n+2)−1=−1n，从而x nk ＝b n +kd n =12(13)n−1−k 3n(n+1)，进而T n ＝x 11+x 21+…+x n 1+x n 2+…+x nn =13+132+⋯+n3n ，由此利用错位相减法能求出T n ． （ii ）m =2⋅3n 3n −2n−3=2+4n+63n −2n−3，当n ＝1时，m ＝2+10−2=−3∉N *，当n ＝2时，m ＝2+142=9*，当n ＝3时，m ＝2+1＝3∈N *，再证明当n ≥4（n ∈N *）时，3n ﹣6n ﹣9＞0，由此能求出所有的正整数对．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，（d ≠0），则由a 3+a 6＝a 9，得（a 1+2d ）+（a 1+5d ）＝a 1+8d ，∴a 1＝d ，∵a 5+a 72＝6a 9，∴（a 1+4d ）+（a 1+6d ）2＝6（a 1+8d ）， 将a 1＝d 代入上式，得5d +49d 2＝54d ，∴49d 2＝49d ， ∵d ≠0，∴d ＝1，∴a n ＝n ． 由4S n +2b n ＝3，①当n ≥2时，4S n ﹣1+2b n ﹣1＝3，②①﹣②，得4b n +2b n ﹣2b n ﹣1＝0，∴b n =13b n−1，（n ≥2），又4b 1+2b 1＝3，∴b 1=12≠0， ∴{b n }是首项为12，公比为13的等比数列， ∴b n =12×(13)n−1，（n ∈N *）． （2）（i ）在b n 和b n ﹣1之间插入n 个数x n 1，x n 2，…，x n n ， ∵b n ，x n 1，x n 2，…x nm ，b n +1成等差数列，设公差为d n ，∴d n =b n+1−b n (n+2)−1=(12)(13)n−(12)(13)n−1n+1=−13n(n+1)，则x nk ＝b n +kd n =12(13)n−1−k3n(n+1)，∴∑ n k=1x nk =12(13)n−1•n −13n(n+1)⋅n(n+1)2=n3n ，∴T n ＝x 11+x 21+…+x n 1+x n 2+…+x nn =13+132+⋯+n 3n ，① 则13T n =132+133+⋯+n−13n+n 3n+1，②①﹣②，得23T n =13+132+⋯+13n −n 3n+1=13[1−(13)n]1−13−n 3n+1=12（1−1n ）−n 3n+1， ∴T n =34−14⋅3n−1−n 2⋅3n =m+12m =12+12m ． （ii ）假设存在正整数m ，n ，使T n =am+12a m 成立，=34−14⋅3n−1−n2⋅3n =m+12m =12+12m ． m =2⋅3n 3n −2n−3=2(3n −2n−3)+4n+63n −2n−3=2+4n+63n −2n−3， 当n ＝1时，m ＝2+10−2=−3∉N *， 当n ＝2时，m ＝2+142=9∈N *， 当n ＝3时，m ＝2+1＝3∈N *，下证，当n ≥4（n ∈N *）时，有3n ﹣2n ﹣3＞4n +6，即证3n ﹣6n ﹣9＞0，设f（x）＝3x﹣6x﹣9，x≥4，则f′（x）＝3x ln3﹣6＞3x﹣6＞0，∴f（x）在[4，+∞）上单调递增，故n≥4时，3n﹣6n﹣9＞34﹣6×4﹣9＝48＞0，∴0＜4n+63n−2n−3＜1，∴n≥4时，m不是整数，∴所有的正整数对（m，n）为（9，2）及（3，3）．。
2020年上海市交大附中高考数学二模试卷
2020年上海市交大附中高考数学二模试卷一、单项选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知函数y =f(x)是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1<x 2”是“f(x 1)<f(x 2)”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要2. 已知z 1≠−1，z 1−1z1+1=bi(b ∈R)，z =4(z1+1)2−1，则z 对应的点在( )A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上3. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则点集{P|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( ) A. 2√2 B. 2√3 C. 4√2 D. 4√34. 已知a 1，a 2，a 3，a 4∈{1,2，3，4}，N(a 1,a 2,a 3,a 4)为a 1，a 2，a 3，a 4中不同数字的种类，如N(1,1，2，3)=3，N(1,2，2，1)=2，求所有的256个(a 1,a 2,a 3,a 4)的排列所得的N(a 1,a 2,a 3,a 4)的平均值为( )A. 8732B. 114C.17764D.17564二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 计算矩阵的乘积：(ab)(3c00)=______． 6. C n 0+3C n 1+32C n 2+⋯…+3n C n n=______． 7. 已知sin θ2+cos θ2=2√33，则sinθ的值等于______ ．8. 若双曲线x 24−y 2m =1的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为______．9. 在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第______项． 10. 如图，二面角α−l −β的大小是π3，线段AB ⫋α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为π6，则AB 与平面β所成的角是______(用反三角函数表示)．11. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a =2且(2+b)(sinA −sinB)=(c −b)sinC ，则△ABC 面积的最大值为 ．12. 已知函数f(x)=lg(x +1)，g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g(x)=f(x)，则函数y =g(x)(x ∈[1,2])的反函数是y =______．13. 已知y =f(x)是定义在R 上的函数，方程f(2019+x)×f(2020−x)=0恰好有7个解，则这7个解的和为______．14.设0．a⋅b⋅是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a和b分别为10以内的非负整数，且a≠b，b≠0，若集合A={n|1n =0.a⋅b⋅,n∈N∗}，则A中所有元素的和为______15.已知数列{a n}满足a n+1={3a n+1a n为奇数a n2a n为偶数(n∈N∗)，a1=2k⋅7(k是一个已知的正整数)，若存在m∈N∗，当n>m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p=______16.若实数x，y满足2cos2(x+y−1)=(x+1)2+(y−1)2−2xyx−y+1，则xy的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．(1)求该圆锥的表面积S和体积V；(2)求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d．18.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示．(1)求出函数f(x)的解析式；(2)若将函数f(x)的图象向右移动π3个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14(纵坐标不变)得到函数y=g(x)的图象，求出函数y=g(x)的单调递增区间及对称中心．19. 若函数y =f(x)满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在x 2，使f(x 1)f(x 2)=λ成立”，则称该函数为“依附函数”．(1)分别判断函数①f(x)=2x ，②g(x)=log 2x 是否为“依附函数”，并说明理由；(2)若函数y =ℎ(x)的值域为[m,n]，求证：“y =ℎ(x)是‘依附函数’”的充要条件是“0∉[m,n]”．20. 如图，已知点P 是x 轴下方(不含x 轴)一点，抛物线C ：y =x 2上存在不同的两点A 、B 满足PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λEB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M ．(1)若P 点坐标为(1,−2)，λ=3时，求弦AB 所在的直线方程； (2)在(1)的条件下，如果过A 点的直线l 1与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线l 2与抛物线C 也只有一个交点，求证：若l 1和l 2的斜率都存在，则l 1与l 2的交点N 在直线PM 上；(3)若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值．21.设数列{a n}(n∈N∗)是公差不为零的等差数列，满足a3+a6=a9，a5+a72=6a9；数列{b n}(n∈N∗)的前n项和为S n，且满足4S n+2b n=3．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)在b1和b2之间插入1个数x11，使b1，x11，b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21，x22，使b2，x21，x22，b3成等差数列；……；在b n和b n+1之间插入n个数x n1，x n2，…，x nn，使b n，x n1，x n2，…x nn，b n+1成等差数列．(i)求T n=x11+x21+x22+⋯+x n1+x n2+⋯+x nn；(ii)是否存在正整数m，n，使T n=a m+1成立？若存在，求出所有的正整数对(m,n)；若不存在，请说2a m明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】利用增函数的定义即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【解答】解：函数y =f(x)是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1<x 2”⇔“f(x 1)<f(x 2)”，故对任意x 1，x 2∈R ，“x 1<x 2”是“f(x 1)<f(x 2)”的充分必要条件． 故选：C ．2.【答案】B【解析】解：因为z 1−1z 1+1=bi ，所以z 1=1+bi 1−bi，则z =4(z1+1)−1=4(1+bi1−bi+1)2−1=(1−bi)2−1=−b 2−2bi ，∴复数z 在复平面内所对应的点为P(−b 2,−2b)， 设P(x,y)，则{x =−b 2y =−2b ，消去b 得：y 2=−4x(y ≠0)．故z 对应的点在抛物线上， 故选：B ．由已知求得z 1，代入z 化简得到z =−b 2−2bi ，设P(x,y)，则{x =−b 2y =−2b ，消去b 即可得到点P 的轨迹．本题点的轨迹方程，考查复数代数形式的乘除运算，考查曲线的参数方程，是中档题．3.【答案】D【解析】解：由两定点A ，B 满足∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|OB|2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形． 不妨设A(√3,−1)，B(√3,1).再设P(x,y)．由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得：(x,y)=(√3λ,−λ)+(√3μ,μ)=(√3(λ+μ),μ−λ)． 所以{λ+μ=√33xμ−λ=y，解得{λ=√36x −12yμ=√36x +12y①.由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于{ √36x −12y ≥0√36x +12y ≥0x ≤√3或{ √36x −12y ≥0√36x +12y <0y ≥−1或{ √36x −12y <0√36x +12y ≥0y ≤1或{ √36x −12y <0√36x +12y <0x ≥−√3． 可行域如图中矩形ABCD 及其内部区域，则区域面积为2×2√3=4√3． 故选D ．由两定点A ，B 满足∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P 点坐标，由平面向量基本定理，把P 的坐标用A ，B 的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P 所表示区域的面积．本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式(组)所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查排列、组合的应用，是新定义的题型，关键是理解题目中“不同数字的种类”的定义，属于一般题．根据题意，依次分析N(a 1,a 2,a 3,a 4)=1、2、3、4时的情况数目，结合“不同数字的种类”的定义分析可得答案． 【解答】解：根据题意，(a 1,a 2,a 3,a 4)的排列共有44=256种，其中当N(a 1,a 2,a 3,a 4)=1时，即排列中只有1个数字，有4种情况，当N(a 1,a 2,a 3,a 4)=2时，即排列中有2个不同的数字，若有3个数字相同，有2C 42C 43=48种情况， 若有2个数字相同，有C 42C 42=36种情况，此时有48+36=84种情况，当N(a1,a2,a3,a4)=3时，即排列中有3个不同的数字，有3×C43C42A22=144种情况，当N(a1,a2,a3,a4)=4时，即排列有4个不同的数字，有A44=24种情况，则N(a1,a2,a3,a4)的平均值为4×1+84×2+144×3+24×4256=17564．故选：D．5.【答案】(3a ac)【解析】解：∵3a+b×0=3a，ac+b×0=ac，∴(ab)(3c00)=(3a ac)．故答案为：(3a ac)．利用矩阵的乘积运算法则即可得出．本题考查了矩阵的乘积运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】4n【解析】【分析】本题考查了二项式展开式定理的逆用问题，是基础题．【解答】解：C n0+3C n1+32C n2+⋯…+3n C n n=C n0+C n1⋅3+C n2⋅32+⋯…+C n n⋅3n=(1+3)n=4n．故答案为：4n．7.【答案】13【解析】解：把sinθ2+cosθ2=2√33两边平方得：(sinθ2+cosθ2)2=(2√33)2，即sin2θ2+2sinθ2cosθ2+cos2θ2=1+sinθ=43，∴sinθ=13．故答案为：13把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出sinθ的值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．8.【答案】2√5【解析】解：双曲线x24−y2m=1的焦距为6，可得√4+m=3，解得m=√5．所以双曲线的虚轴长为：2√5．故答案为：2√5．通过双曲线的焦距，求出m，然后求解双曲线的虚轴长．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．9.【答案】5【解析】解：可得，等比数列的通项公式a n=21×(12)n−1，则数列单调递减，a5−1=2116−1=516，1−a6=1−2132=1132，故当n=5时，数列的项与1最接近．故答案为：5．由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．10.【答案】arcsin√34【解析】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α−l−β的平面角，为π3，又由已知，∠ABD=π6，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD=2，则AC=√3，CD=1，AB=ADsinπ6=4．∴直线AB与平面β所成的角的正弦值sin∠ABC=ACAB =√34，即AB与平面β所成的角是arcsin√34．故答案为：arcsin√34．过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，可得∠ADC为二面角α−l−β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中即可求解．本题考查平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．11.【答案】√3【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于较难题．由正弦定理化简已知可得a2−b2=c2−bc,结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4,再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：因为：a=2,所以由正弦定理得(a+b)(a−b)=(c−b)c所以：a2−b2=c2−bc⇒b2+c2−a2=bc⇒cosA=b2+c2−a22bc =12，又A∈(0,π)，⇒A=π3△ABC面积，而b2+c2−a2=bc⇒b2+c2−bc=a2⇒b2+c2−bc=4⇒bc≤4,当且仅当b=c时取等号，所以：S =12bcsinA =√34bc ≤√3，即△ABC 面积的最大值为√3．故答案为√3．12.【答案】3−10x (x ∈[0,lg2])【解析】解：当x ∈[1,2]时，2−x ∈[0,1]，∴y =g(x)=g(x −2)=g(2−x)=f(2−x)=lg(3−x)， 由单调性可知y ∈[0,lg2]， 又∵x =3−10y ，∴所求反函数是y =3−10x ，x ∈[0,lg2]． 故答案为：3−10x ，x ∈[0,lg2]． 结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．13.【答案】3.5【解析】解：设g(x)=f(2019+x)×f(2020−x)， 则g(1−x)=f(2020−x)×f(2019+x)， ∴函数g(x)满足g(1−x)=g(x)， ∴函数g(x)关于直线x =12对称，∴方程g(x)=0的所有实数根也是关于12在数轴上对称分布，∴一旦在12的左侧取到实数根，一定也能在12的右侧取到相应实数根，且两根之和为1， ∵方程f(2019+x)×f(2020−x)=0恰好有7个解，即方程g(x)=0恰好有7个解， ∴有一个根为12，左右各对应3个根， ∴这7个解的和为1+1+1+12=3.5， 故答案为：3.5．构造函数g(x)=f(2019+x)×f(2020−x)，则函数g(x)满足g(1−x)=g(x)，即函数g(x)关于直线x =12对称，所以方程g(x)=0的7个解有一个根为12，左右各对应3个根，从而求出这7个解的和． 本题主要考查了函数的对称性，是中档题．14.【答案】143【解析】解：由题意可知0．a ⋅b ⋅=10a+b 99，∴n =9910a+b .又∵a 和b 分别为10以内的非负整数，且a ≠b ，b ≠0， ∴①当a =0时，b =1，3，9，此时n 依次等于99，33，11； ②当a ≠0时，n 均不存在．综合①②知：A ={99,11，33}，故A 中所有元素的和为99+11+33=143． 故答案为：143． 先由题意得到0．a ⋅b ⋅=10a+b 99⇒n =9910a+b，再利用列举法求出满足题意的n 即可．本题主要考查两位的循环纯小数的形式及用列举法求集合中的元素，属于基础题．15.【答案】−1【解析】解：若存在m ∈N ∗，当n >m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ， 则a n =p ，a n+1=3p +1，a n+2=3p+12=p ，解得p =−1． 故答案为：−1．推导出a n =p ，a n+1=3p +1，a n+2=3p+12=p ，由此能求出p ．本题考查常数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】14【解析】解：∵2cos 2(x +y −1)=(x+1)2+(y−1)2−2xyx−y+1，∴2cos 2(x +y −1)=x 2+2x +1+y 2−2y +1−2xyx −y +1∴2cos 2(x +y −1)=x 2+y 2+2x−2y−2xy+1+1x−y+1，故2cos 2(x +y −1)=(x−y+1)2+1x−y+1=(x −y +1)+1x−y+1，由基本不等式可得(x −y +1)+1x−y+1≥2，或(x −y +1)+1x−y+1≤−2， ∴2cos 2(x +y −1)≥2，由三角函数的有界性可得2cos 2(x +y −1)=2， 故cos 2(x +y −1)=1，即cos(x +y −1)=±1，此时x −y +1=1，即x =y ∴x +y −1=kπ，k ∈Z ，故x +y =2x =kπ+1，解得x =kπ+12，故xy=x⋅x=(kπ+12)2，当k=0时，xy的最小值14，故答案为：14配方可得2cos2(x+y−1)=(x−y+1)2+1x−y+1=(x−y+1)+1x−y+1，由基本不等式可得(x+y+1)+1x−y+1≤2，或(x−y+1)+1x−y+1≤−2，进而可得cos(x+y−1)=±1，x=y=kπ+12，由此可得xy的表达式，取k=0可得最值．本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos(x+y−1)=±1是解决问题的关键，属中档题．17.【答案】解：(1)设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则l=10厘米，且2πr=πl，解得：r=5厘米，表面积S=πrl=50π(平方厘米)，圆锥的高ℎ=√l2−r2=5√3(厘米)，∴体积V=13πr2ℎ=125√3π3(立方厘米)．(2)由(1)知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，∴最高点到底面的距离为等边三角形的高，ℎ=5√3厘米．故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d=5√3厘米．【解析】(1)设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则l=10厘米，利用半圆周长等于圆锥底面周长列式求得r=5厘米，则表面积可求，再求出圆锥的高，则体积可求．(2)由(1)知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，可得最高点到底面的距离为等边三角形的高．本题考查圆锥表面积与体积的求法，考查圆锥侧面积公式的应用，考查计算能力，是中档题．18.【答案】解：(1)由函数f(x)的图象可得{A+b=6−A+b=−2，解得：{A=4 b=2．又由T2=2π得：T=2πω=4π，∴ω=12．而f(π3)=6得：π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=π3，综上：f(x)=4sin(12x+π3)+2．(2)显然g(x)=4sin(2x+π6)+2，由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得g(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，由2x +π6=kπ，k ∈Z 得：对称中心是(kπ2−π12,2)，k ∈Z ．【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A 和b ，由周期求出ω，最高点求出φ的值，可得函数的解析式． (2)由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数y =g(x)的单调递增区间及对称中心． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A 和b ，由周期求出ω，最高点求出φ的值，正弦函数的单调性，以及图象的对称性，属于中档题．19.【答案】解：(1)①可取λ=1，则对任意x 1∈R ，存在x 2=−x 1∈R ，使得2x 1⋅2x 2=1成立，(2分)(说明：可取任意正数λ，则x 2=log 2λ−x 1……2分) ∴f(x)=2x 是“依附函数”，……(3分)②对于任意正数λ，取x 1=1，则g(x 1)=0，……(5分) 此时关于x 2的方程g(x 1)g(x 2)=λ无解， ∴g(x)=log 2x 不是“依附函数”.……(6分) (2)证明：必要性：(反证法)假设0∈[m,n]，∵y =ℎ(x)的值域为[m,n]，∴存在定义域内的x 1，使得ℎ(x 1)=0，……(8分) ∴对任意正数λ，关于x 2的方程ℎ(x 1)ℎ(x 2)=λ无解， 即y =ℎ(x)不是依附函数，矛盾，……(9分) 充分性：假设0∉[m,n]，取λ=mn >0，……(11分)则对定义域内的每一个值x 1，由ℎ(x 1)∈[m,n]，可得λℎ(x 1)∈[λn ,λm ]=[m,n]，而y =ℎ(x)的值域为[m,n]，∴存在定义域内的x 2，使得λℎ(x 1)=ℎ(x 2)，即ℎ(x 1)ℎ(x 2)=λ成立，∴y =ℎ(x)是“依附函数”.……(14分)【解析】(1)根据“依附函数”的定义直接判断即可； (2)从必要性及充分性两个角度，利用反正法求证即可．本题以新定义为载体，旨在考查学生的逻辑推理能力，以及接受新知识运用新知识的能力，考查创新意识及应用意识，属于中档题．20.【答案】(1)解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得D(1+3x 14,−2+3y 14)，E(1+3x 24,−2+3y 24)，由D 点在C 上可得：−2+3y 14=(1+3x 14)2，化简得：x 12−2x 1−3=0，同理可得：x 22−2x 2−3=0，∵A 、B 两点不同，不妨设A(3,9)，B(−1,1)， ∴弦AB 所在的直线方程为2x −y +3=0．(2)证明：由(1)可知，A(3,9)，B(−1,1)，设l 1：y −9=k 1(x −3)， 与C ：y 2=x 联立，并令△=0，可得k 1=6，同理l 2的斜率k 2=−2， ∴l 1：6x −y −9=0，l 2：2x +y +1=0，解方程组得：交点N(1,−3)，而直线PM 的方程为x =1，得证．(3)证明：设P(x 0,y 0)，A(x 1,x 12)，B(x 2,x 22)，由PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得D(x 0+λx 11+λ,y 0+λx 121+λ)，代入y =x 2，化简得：λx 12−2λx 0x 1+(1+λ)y 0−x 02=0， 同理可得：λx 22−2λx 0x 2+(1+λ)y 0−x 02=0，显然x 1≠x 2，∴x 1、x 2是方程λx 2−2λx 0x +(1+λ)y 0−x 02=0的两个不同的根，∴x 1+x 2=2x 0，x 1⋅x 2=(1+λ)y 0−x 02λ，∴x M =x 1+x 22=x 0，即直线PM 的方程为x =x 0， ∵y M =x 12+x 222=(1+2λ)x 02−(1+λ)y 0λ，y Q =x 02，∴y M −y Q =(1+λ)x 02−(1+λ)y 0λ，y Q −y P =x 02−y 0， ∴线段PQ 与QM 的比为定值1+λλ．【解析】(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，求出D 、E 坐标，设A(3,9)，B(−1,1)，然后判断求解弦AB 所在的直线方程．(2)设l 1：y −9=k 1(x −3)，与C ：y 2=x 联立，并令△=0，可得k 1=6，同理l 2的斜率k 2=−2，求出交点坐标，然后推出直线PM 的方程即可．(3)设P(x 0,y 0)，设出A 、B 坐标，由PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出D(x 0+λx 11+λ,y 0+λx121+λ)，代入y =x 2，说明x 1、x 2是方程λx 2−2λx 0x +(1+λ)y 0−x 02=0的两个不同的根，利用韦达定理，求出P 、Q 坐标，然后求解线段比例即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，是难题．21.【答案】解：(1)设数列{a n }的公差为d ，(d ≠0)，则由a 3+a 6=a 9，得(a 1+2d)+(a 1+5d)=a 1+8d ，∴a 1=d ，∵a 5+a 72=6a 9，∴(a 1+4d)+(a 1+6d)2=6(a 1+8d)，将a 1=d 代入上式，得5d +49d 2=54d ，∴49d 2=49d ，∵d ≠0，∴d =1，∴a n =n ． 由4S n +2b n =3，①当n ≥2时，4S n−1+2b n−1=3，②①−②，得4b n +2b n −2b n−1=0，∴b n =13b n−1，(n ≥2)， 又4b 1+2b 1=3，∴b 1=12≠0， ∴{b n }是首项为12，公比为13的等比数列， ∴b n =12×(13)n−1，(n ∈N ∗).(2)(i)在b n 和b n−1之间插入n 个数x n 1，x n 2，…，x n n ， ∵b n ，x n1，x n2，…x nm ，b n+1成等差数列，设公差为d n ， ∴d n =b n+1−b n (n+2)−1=(12)(13)n −(12)(13)n−1n+1=−13n (n+1)，则x nk =b n +kd n =12(13)n−1−k3n (n+1)，∴∑x nk n k=1=12(13)n−1⋅n −13n (n+1)⋅n(n+1)2=n3n ，∴T n =x 11+x 21+⋯+x n1+x n2+⋯+x nn =13+132+⋯+n 3n，①则13T n =132+133+⋯+n−13n +n 3n+1，②①−②，得23T n =13+132+⋯+13n −n3n+1=13[1−(13)n ]1−13−n 3n+1=12(1−13n )−n3n+1，∴T n =34−14⋅3n−1−n2⋅3n =m+12m=12+12m ．(ii)m =2⋅3n 3n −2n−3=2(3n −2n−3)+4n+63n −2n−3=2+4n+63n −2n−3，当n =1时，m =2+10−2=−3∉N ∗， 当n =2时，m =2+142=9∗，当n =3时，m =2+1=3∈N ∗，下证，当n ≥4(n ∈N ∗)时，有3n −2n −3>4n +6，即证3n −6n −9>0， 设f(x)=3x −6x −9，x ≥4，则f′(x)=3x ln3−6>3x −6>0， ∴f(x)在[4,+∞)上单调递增，故n ≥4时，3n −6n −9>34−6×4−9=48>0， ∴0<4n+63n −2n−3<1， ∴n ≥4时，m 不是整数，∴所有的正整数对(m,n)为(9,2)及(3,3)．【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ，(d ≠0)，利用等差数列的通项公式求出d =1，从而a n =n.再由4S n +2b n =3，当n ≥2时，4S n−1+2b n−1=3，推导出{b n }是首项为12，公比为13的等比数列，由此能求出b n ．(2)(i)在b n 和b n−1之间插入n 个数x n 1，x n 2，…，x n n ，推导出d n =b n+1−b n(n+2)−1=−13n (n+1)，从而x nk =b n +kd n =12(13)n−1−k 3n (n+1)，进而T n =x 11+x 21+⋯+x n1+x n2+⋯+x nn =13+13+⋯+n3，由此利用错位相沽法能求出T n ． (ii)m =2⋅3n 3n −2n−3=2+4n+63n −2n−3，当n =1时，m =2+10−2=−3∉N ∗，当n =2时，m =2+142=9∗，当n =3时，m =2+1=3∈N ∗，再证明当n ≥4(n ∈N ∗)时，3n −6n −9>0，由此能求出所有的正整数对． 本题考查数列的通项公式、前n 项和、整数对的求法，考查等差数列、等比数列的性质、错位相减求和法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2023年上海交大附中高考数学模拟试卷+答案解析(附后)
2023年上海交大附中高考数学模拟试卷1. 设集合，，则______.2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则__________.3. 在平面直角坐标系内，直线l：，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为______.4. 已知，，则_____________.5. 设定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集是______.6. 在平面直角坐标系xOy中，有一定点，若OA的垂直平分线过抛物线C：的焦点，则抛物线C的方程为______.7. 设某产品的一个部件来自三个供应商，这三个供应商的良品率分别是，，，若这三个供应商的供货比例为3：2：1，那么这个部件的总体良品率是______ 用分数作答8. 记的展开式中第m项的系数为，若，则______.9.从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望______.10. 已知函数有两个零点1，2，数列满足，若，且，则数列的前2023项的和为______ .11. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为______ .12. 已知，函数的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若恒成立，则a的最大值是______.13. “”是“”的条件.( )A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要14. 设，为两条不同的直线，为一个平面，则下列命题正确的是( )A. 若直线平面，直线平面，则B. 若直线上有两个点到平面的距离相等，则C. 直线与平面所成角的取值范围是D.若直线平面，直线平面，则15. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )A. 1B. 2C.D.16. 已知函数，若存在实数，，，满足，其中，则取值范围是( )A. B. C. D.17. 如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，D为侧棱的中点求证：平面；求二面角的大小结果用反三角函数值表示18. 已知函数求函数的单调递增区间；将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求方程的解．19. 如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少，于是选择沿路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；求B、C两处垃圾之间的距离；精确到求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角的大小；用反三角函数表示20. 如图，设F是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P若，求k的值；求证：；求面积的最大值．21.已知正项数列，满足：对任意正整数n，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，求证：数列是等差数列；求数列，的通项公式；设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】【解析】解：，或，则，故答案为：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，根据集合的基本运算实是解决本题的关键．2.【答案】1【解析】【分析】本题考查了复数求模问题，考查解方程组问题以及对应思想，是一道基础题．设出，得到，根据实部虚部对应相等得到关于a，b的方程组，解出a，b的值，求出z，从而求出z的模．【解答】解：设，则，，，解得，故，故答案为：3.【答案】【解析】解：由题意可知：，，方法二：由题意可知绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则，故答案为由题意此几何体的体积可以看作是：，求出积分即得所求体积，方法二由题意可得绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积．本题考查用定积分求简单几何体的体积，求解的关键是找出被积函数来及积分区间，属于基础题．4.【答案】【解析】解：，，，，，，解得：，，故答案为：由已知等式化简可得，结合范围，解得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角的正切函数公式可求的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.【答案】【解析】解：当，则，此时，是奇函数，，，即，，当时，由，得，当时，成立，当时，由，得，即，则，综上或，即不等式的解集为故答案为：根据函数奇偶性的性质，先求出函数的解析式，然后解不等式即可．本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．6.【答案】【解析】解：点，依题意我们容易求得直线的方程为，把焦点坐标代入可求得焦参数，从而得到抛物线C的方程为：故答案为：先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．本题主要考查抛物线的基本性质．基本性质的熟练掌握是解答正确的关键．7.【答案】【解析】解：部件的总体良品率是：故答案为：部件的总体良品率是，计算得到答案．本题主要考查全概率公式，属于基础题．8.【答案】5【解析】解：根据二项式定理，可得，根据题意，可得，解得，故答案为根据题意，结合二项式定理可得，，解可得答案．本题考查二项式定理，要区分二项式系数与系数两个不同的概念．9.【答案】【解析】解：如图所有棱长均为2的正四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，，，，，的可能取值为，，，故答案为：所有棱长均为2的正四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，推导出的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出其数学期望本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，巧妙地把立体几何和概率有机地结合在一起，是一道难得的好题．10.【答案】【解析】解：函数有两个零点1，2，，，，，为首项为，公比为2的等比数列，数列的前2023项的和为，故答案为：计算，，代入计算得到，确定为首项为，公比为2的等比数列，求和得到答案．本题考查函数的零点的概念，根据数列的递推公式求通项公式，等比数列的定义与通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属中档题．11.【答案】【解析】解：焦点，设，则，，设M 到准线的距离等于d，则令，，则，当且仅当时，等号成立故的最大值为，故答案为设M 到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得，化简为，令，则，，利用基本不等式求得最大值．本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把化为，是解题的关键和难点，属于中档题．12.【答案】【解析】解：，，，直线l的方程为设恒成立恒成立，在上小于等于0恒成立①或时，恒成立．②时，由基本不等式得：此时的最大值为由A、B的坐标可以将直线l的方程找到，通过M点坐标可以得到N的坐标，将其纵坐标做差可以得到关于a的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a的最大值．本题考查通过两点坐标求直线l方程，去绝对值，以及由基本不等式确定a的范围．13.【答案】B【解析】解：时，，，得出，得不出，即不是的充分条件；时，，，得出，是的必要条件．故选：可看出时，；而时，，从而可得出正确的选项．本题考查了充分条件和必要条件的定义，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：对选项A：平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，错误；对选项B：当直线与平面相交时，也满足有两个点到平面的距离相等，错误；对选项C：直线与平面垂直时夹角为，错误；对选项D：垂直于同一平面的两条直线平行，正确．故选：平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，A错误，当直线与平面相交时，也成立，B错误，直线与平面垂直时夹角为，C错误，D正确，得到答案．本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量的数量积的定义和性质，同时考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．由向量垂直的条件可得，运用向量的平方即为模的平方，可得，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由题意可得，可得，所以，，即为，，当，，即，同向时，的最大值是故选：16.【答案】B【解析】【分析】本题考查分段函数的应用，对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，进行转化是解决本题的关键，属于中档题．先画出函数的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．【解答】解：函数的图象如下图所示：若满足，其中，则，，则，即，则，同时，，，关于对称，，则，则，则，，，即，故选：17.【答案】证明：底面是等腰直角三角形，且，平面，，，平面解：以C为原点，直线CA，CB，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，由得是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则，由图形知二面角的大小是锐角，二面角的大小为【解析】推导出，，由此能证明平面以C为原点，直线CA，CB，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.【答案】解：函数，由得：，则的单调递增区间是；由已知得：，由得：，，则【解析】把函数的解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调区间，求出x 的范围，即为函数的单调递增区间；根据平移规律“左加右减”，由的解析式得到向右平移2个单位后的解析式，令，得到，根据正弦函数的图象与性质即可求出x 的值，即为方程的解．此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，函数平移的规律，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．19.【答案】解；设，则，，由题意得，在中，由余弦定理得：解得由知，，【解析】设，则，，，利用余弦定理列方程解出x ；利用的结论得出三角形ABC 的三边长，使用余弦定理求出，得到B 的大小．本题考查了余弦定理，解三角形的实际应用，属于基础题．20.【答案】解：联立，得，直线与椭圆相交于A、B两点，，即或，设，，则，，，，代入上式，解得证明：由图形得要证明，等价于证明直线AF与直线BF的倾斜角互补，即等价于，，解：或，令，则，，，当且仅当，即，取等号，面积的最大值为【解析】联立，得，由此利用韦达定理、根的判别式、向量相等，结合已知条件能求出证明，等价于证明等价于，由此能证明令，利用基本不等式性质能求出面积的最大值．本题考查直线的斜率的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、向量相等、基本不等式、弦长公式、椭圆性质的合理运用．21.【答案】解：由已知，得①，②．由②得③．将③代入①得，对任意，，有即是等差数列．分设数列的公差为d，由，经计算，得，分由得不等式化为即设，则对任意正整数n恒成立．当，即时，不满足条件；当，即时，满足条件；当，即时，的对称轴为，关于n递减，因此，只需解得，综上，分【解析】通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到，利用等差数列的定义得证利用等差数列的通项公式求出，求出，先通过裂项求和的方法求出，代入化简得到关于n的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值，令最大值小于0，求出a的范围．证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通过分离参数，构造新函数，转化为求新函数的最值．。
2020年上海交通大学第二附属中学高三数学文联考试题含解析
2020年上海交通大学第二附属中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知公差不为零的等差数列等于A．4 B．5 C．8 D．10参考答案：A由得，即。
所以，所以,选A.2. （2）设，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A3. 若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（）A．或 B．或 C．或D．或参考答案：【知识点】直线与圆的位置关系. H4【答案解析】D 解析：圆心的直线的距离d=，由垂径定理得解得a=-1或a=3，故选 D.【思路点拨】根据点到直线的距离及垂径定理求解.4. 在△ABC中，tan A是以-2为第三项，6为第七项的等差数列的公差，tan B是以为第二项，27为第七项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上都不对参考答案：B，都是锐角。
故选：B5. 已知两个平面α，β和三条直线，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为θ1，直线和平面β所成的角的大小为θ2，直线所成的角的大小为θ3，则A．θ1=θ2≥θ3 B．θ3≥θ1=θ2C．θ1≥θ3，θ2≥θ3 D．θ1≥θ2，θ3≥θ2参考答案：D6. (文科)某中学有学生3000人，其中高一、高三学生的人数是1200人、800人，为了解学生的视力情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个480人的样本，则样本中高一、高二学生的人数共有（）人。
A.288B.300C.320D.352参考答案：略7. 已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m．即可．【解答】解：画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选C．8. 函数的零点个数是（）A．个 B．个 C．个D．个参考答案：A9. 已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B?A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得：若B?A，必有a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3，分2种情况讨论可得答案．【解答】解：∵B?A，∴a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3．①由a2﹣2a=﹣1得a2﹣2a+1=0，解得a=1．当a=1时，B={1，﹣1}，满足B?A．②由a2﹣2a=3得a2﹣2a﹣3=0，解得a=﹣1或3，当a=﹣1时，B={1，3}，满足B?A，当a=3时，B={1，3}，满足B?A．综上，若B?A，则a=±1或a=3．故选：B．【点评】本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．10. 如图平行四边形ABCD中， =， =，F是CD的三等分点，E是BC中点，M是AB中点，MC∩EF=N，若=λ1+λ2，则λ1+λ2=（）A．B．1 C．D．﹣参考答案：A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本道理列出方程解出．【解答】解： ==， =，设，，则， =，∵==+=（）+（），∴，解得．∴λ1+λ2==．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数x，y满足x2+x+y2+y=0，则x+y的范围是．参考答案：[﹣2，0]【考点】圆的一般方程．【分析】将圆x2+x+y2+y=0，化为参数方程，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得x+y 的范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+x+y2+y=0，∴（x+）2+（y+）2=，即2（x+）2+2（y+）2=1，令（x+）=cosθ，（y+）=sinθ，∴x=，y=，x+y==sin（）﹣1∈[﹣2，0]，故x+y的范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]【点评】本题考查的知识点是圆的方程，其中将一般方程化为参数方程，进而转化求三角函数的最值，是解答的关键．12. 在实数集上定义运算，并定义：若存在元素使得对，有，则称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是参考答案：；根据“零元”的定义，，故13. 已知，且，则与夹角的取值范围是.参考答案：14. 已知函数为上的偶函数，当时，，则▲，▲ .参考答案：．，15. 用符号表示超过的最小整数，如，记．（1）若，则不等式的解集为；（2）若，则方程的实数解为．参考答案：。
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2020年上海市交大附中高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知函数是R上的增函数，则对任意，，“”是“”的条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要2.已知，，，则z对应的点在A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上3.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足，则点集所表示的区域的面积是A. B. C. D.4.已知，，，2，3，，为，，，中不同数字的种类，如1，2，，2，2，，求所有的256个的排列所得的的平均值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.计算矩阵的乘积：______．6.______．7.已知，则的值等于______ ．8.若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为______．9.在首项为21，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第______项．10.如图，二面角的大小是，线段，，AB与l所成的角为，则AB与平面所成的角是______用反三角函数表示．11.已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则面积的最大值为______．12.已知函数，是以2为周期的偶函数，且当时，有，则函数的反函数是______．13.已知是定义在R上的函数，方程恰好有7个解，则这7个解的和为______．14.设0．是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a和b分别为10以内的非负整数，且，，若集合，则A中所有元素的和为______15.已知数列满足，是一个已知的正整数，若存在，当且为奇数时，恒为常数p，则______16.若实数x，y满足，则xy的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．求该圆锥的表面积S和体积V；求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d．18.已知函数的图象如图所示．求出函数的解析式；若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到函数的图象，求出函数的单调递增区间及对称中心．19.若函数满足“存在正数，使得对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立”，则称该函数为“依附函数”．分别判断函数，是否为“依附函数”，并说明理由；若函数的值域为，求证：“是依附函数”的充要条件是“”．20.如图，已知点P是x轴下方不含x轴一点，抛物线C：上存在不同的两点A、B满足，，其中为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．若P点坐标为，时，求弦AB所在的直线方程；在的条件下，如果过A点的直线与抛物线C只有一个交点，过B点的直线与抛物线C也只有一个交点，求证：若和的斜率都存在，则与的交点N在直线PM上；若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．21.设数列是公差不为零的等差数列，满足，；数列的前n项和为，且满足．求数列、的通项公式；在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入n个数，，，，使，，，，成等差数列．求；是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：函数是R上的增函数，则对任意，，“”“”，故选：C．利用增函数的定义即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：因为，所以，则，复数z在复平面内所对应的点为，设，则，消去b得：．故z对应的点在抛物线上，故选：B．由已知求得，代入z化简得到，设，则，消去b即可得到点P的轨迹．本题点的轨迹方程，考查复数代数形式的乘除运算，考查曲线的参数方程，是中档题．3.答案：D解析：解：由两定点A，B满足，，则，则，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设，再设．由，得：．所以，解得由．所以等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选D．由两定点A，B满足，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及，表示，把不等式去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式组所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．4.答案：D解析：【分析】本题考查排列、组合的应用，是新定义的题型，关键是理解题目中“不同数字的种类”的定义，属于一般题．根据题意，依次分析、2、3、4时的情况数目，结合“不同数字的种类”的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，的排列共有种，其中当时，即排列中只有1个数字，有4种情况，当时，即排列中有2个不同的数字，若有3个数字相同，有种情况，若有2个数字相同，有种情况，此时有种情况，当时，即排列中有3个不同的数字，有种情况，当时，即排列有4个不同的数字，有种情况，则的平均值为．故选：D．5.答案：解析：解：，，．故答案为：．利用矩阵的乘积运算法则即可得出．本题考查了矩阵的乘积运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：解析：【分析】本题考查了二项式展开式定理的逆用问题，是基础题．【解答】解：．故答案为：．7.答案：解析：解：把两边平方得：，即，．故答案为：把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出的值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．8.答案：解析：解：双曲线的焦距为6，可得，解得．所以双曲线的虚轴长为：．故答案为：．通过双曲线的焦距，求出m，然后求解双曲线的虚轴长．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．9.答案：5解析：解：可得，等比数列的通项公式，则数列单调递减，，，故当时，数列的项与1最接近．故答案为：5．由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．10.答案：解析：解：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角，为，又由已知，，连接CB，则为AB与平面所成的角．设，则，，．直线AB与平面所成的角的正弦值，即AB与平面所成的角是．故答案为：．过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，可得为二面角的平面角，连接CB，则为AB与平面所成的角，在直角三角形ABC中即可求解．本题考查平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．11.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理化简已知可得结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：因为：所以由正弦定理得所以：，面积，而当且仅当时取等号，所以：，即面积的最大值为．故答案为．12.答案：解析：解：当时，，，由单调性可知，又，所求反函数是，．故答案为：，．结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．13.答案：解析：解：设，则，函数满足，函数关于直线对称，方程的所有实数根也是关于在数轴上对称分布，一旦在的左侧取到实数根，一定也能在的右侧取到相应实数根，且两根之和为1，方程恰好有7个解，即方程恰好有7个解，有一个根为，左右各对应3个根，这7个解的和为，故答案为：．构造函数，则函数满足，即函数关于直线对称，所以方程的7个解有一个根为，左右各对应3个根，从而求出这7个解的和．本题主要考查了函数的对称性，是中档题．14.答案：143解析：解：由题意可知0．，又和b分别为10以内的非负整数，且，，当时，，3，9，此时n依次等于99，33，11；当时，n均不存在．综合知：11，，故A中所有元素的和为．故答案为：143．先由题意得到0．，再利用列举法求出满足题意的n即可．本题主要考查两位的循环纯小数的形式及用列举法求集合中的元素，属于基础题．15.答案：解析：解：若存在，当且为奇数时，恒为常数p，则，，，解得．故答案为：．推导出，，，由此能求出p．本题考查常数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，故，由基本不等式可得，或，，由三角函数的有界性可得，故，即，此时，即，，故，解得，故，当时，xy的最小值，故答案为：配方可得，由基本不等式可得，或，进而可得，，由此可得xy的表达式，取可得最值．本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出是解决问题的关键，属中档题．17.答案：解：设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则厘米，且，解得：厘米，表面积平方厘米，圆锥的高厘米，体积立方厘米．由知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，最高点到底面的距离为等边三角形的高，厘米．故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离厘米．解析：设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则厘米，利用半圆周长等于圆锥底面周长列式求得厘米，则表面积可求，再求出圆锥的高，则体积可求．由知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，可得最高点到底面的距离为等边三角形的高．本题考查圆锥表面积与体积的求法，考查圆锥侧面积公式的应用，考查计算能力，是中档题．18.答案：解：由函数的图象可得，解得：．又由得：，．而得：，，，，综上：．显然，由，，得的单调递增区间为，，由，得：对称中心是，．解析：由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，可得函数的解析式．由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数的单调递增区间及对称中心．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，正弦函数的单调性，以及图象的对称性，属于中档题．19.答案：解：可取，则对任意，存在，使得成立，分说明：可取任意正数，则分是“依附函数”，分对于任意正数，取，则，分此时关于的方程无解，不是“依附函数”分证明：必要性：反证法假设，的值域为，存在定义域内的，使得，分对任意正数，关于的方程无解，即不是依附函数，矛盾，分充分性：假设，取，分则对定义域内的每一个值，由，可得，而的值域为，存在定义域内的，使得，即成立，是“依附函数”分解析：根据“依附函数”的定义直接判断即可；从必要性及充分性两个角度，利用反正法求证即可．本题以新定义为载体，旨在考查学生的逻辑推理能力，以及接受新知识运用新知识的能力，考查创新意识及应用意识，属于中档题．20.答案：解：设，，由，，可得，，由D点在C上可得：，化简得：，同理可得：，、B两点不同，不妨设，，弦AB所在的直线方程为．证明：由可知，，，设：，与C：联立，并令，可得，同理的斜率，：，：，解方程组得：交点，而直线PM的方程为，得证．证明：设，，，由，得，代入，化简得：，同理可得：，显然，、是方程的两个不同的根，，，，即直线PM的方程为，，，，，线段PQ与QM的比为定值．解析：设，，求出D、E坐标，设，，然后判断求解弦AB所在的直线方程．设：，与C：联立，并令，可得，同理的斜率，求出交点坐标，然后推出直线PM的方程即可．设，设出A、B坐标，由，求出，代入，说明、是方程的两个不同的根，利用韦达定理，求出P、Q坐标，然后求解线段比例即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，是难题．21.答案：解：设数列的公差为d，，则由，得，，，，将代入上式，得，，，，．由，当时，，，得，，，又，，是首项为，公比为的等比数列，，在和之间插入n个数，，，，，，，，成等差数列，设公差为，，则，，，则，，得，．，当时，，当时，，当时，，下证，当时，有，即证，设，，则，在上单调递增，故时，，，时，m不是整数，所有的正整数对为及．解析：设数列的公差为d，，利用等差数列的通项公式求出，从而再由，当时，，推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出．在和之间插入n个数，，，，推导出，从而，进而，由此利用错位相沽法能求出．，当时，，当时，，当时，，再证明当时，，由此能求出所有的正整数对．本题考查数列的通项公式、前n项和、整数对的求法，考查等差数列、等比数列的性质、错位相减求和法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。