2016长春一模理数答案及解析(9-3)

长春市普通高中2016届高三质量监测（一）数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合{012}A =，，，{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈，则B =A. {}0,1,2,3,4B. {}0,1,2C. {}0,2,4D. {}1,22. 复数1+1ii-（i 是虚数单位）的虚部为 A. i B. 2i C. 1 D. 23.抛物线24y x =-的准线方程为 A. 1y =-B. 1y =C. 1x =-D. 1x =4. 已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为 A.C.5.下列说法中正确的是A.“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件；B. 若2000:,10p x x x ∃∈-->R .则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R ；C. 若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题；D. “若6πα=,则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠,则1sin 2α≠”. 6. 若实数,x y 满足2211x y y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =-的最小值为A. 2-B. 1-C. 1D. 27.执行如图所示的程序框图,输出20152016s =.那么判断框内应填A. 2015?k ≤B. 2016?k ≤C. 2015?k ≥D. 2016?k ≥8.在ABC ∆中, 2,3AB AC ==,BC 边上的中线2AD =,则ABC ∆的面积为A.9. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 4+B. 6+C. 2+D. 2+10.已知函数3||x x y e=,则其图像为A. B.C. D. 11. 函数()sin()cos()66f x x x ππ=++，给出下列结论: ① ()f x 的最小正周期为 π ②()f x 的一条对称轴为6x π=③()f x 的一个对称中心为(,0)6π④ ()6f x π-是奇函数 其中正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 412.设函数()f x 在R 上的导函数为()f x ',且22()()f x xf x x '+>.下面的不等式在R 上恒成立的是A. ()0f x >B. ()0f x <C. ()f x x >D. ()f x x <二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 61(2)x x-的展开式中常数项是___________.14. 已知随机变量ξ服从正态分布()2N m σ，，若(3)(4)P P ξξ-=≤≥，则m=________.15.已知三棱锥S ABC -中, SA BC ==SB AC =SC AB ==则该三棱锥的外接球表面积为________.16.如图,等腰梯形ABCD 中, 2AB DC = ,32AE EC =.一双曲线经过C ,D ,E 三点,且以A ,B 为焦点,则该双曲线离心率是 ________.三、解答题17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a = ,且满足112()n n n a S n +*+=+∈N .(1)证明数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列; (2)求12n S S S +++ .18.(本小题满分12分)为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下:男生:(1)从这20名男生中随机选出3人,求恰有一人睡眠时间不足7小时的概率;(2)完成下面2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19.(本小题满分12分) 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =.(1)过BC 的截面交1A A 于P 点,若PBC ∆为等边三角形,求出点P 的位置; (2)在(1)条件下,求平面PBC 与平面11PB C 所成二面角的大小. 20. (本小题满分12分)设点A ,B 的坐标分别为(2,0)-,(2,0),直线AP ,BP 相交于点P ,且它们的斜率之积是14-. (1)求点P 的轨迹C 的方程;(2) D ,E ,F 为曲线C 上的三个动点, D 在第一象限, E ,F 关于原点对称,且||||DE DF =,问DEF ∆的面积是否存在最小值?若存在,求出此时D 点的坐标;若不存在,请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数()1x f x e ax =--. (1)判断函数()f x 的单调性;(2)若()ln(1)ln x g x e x =--,当(0,)x ∈+∞时,不等式(())()f g x f x <恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲.已知ABC ∆中, AB AC =,以点B 为圆心,以BC 为半径的圆分别交AB ,AC 于两D ,E 两点,且EF 为该圆的直径.(1)求证: 2A F ∠=∠; (2)若112AE EC ==.求BC 的长. 23. (本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程.已知曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值. 24.(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲. 已知函数()|||5|f x x a x =-+-.(1)若不等式()3f x ≥恒成立,求a 的取值范围; (2)当2a =时,求不等式2()815f x x x -+≥的解集.长春市普通高中2016届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 简答与提示：1.A 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与集合的性质.【试题解析】A 题意可知，集合{|,,}{0,1,2,3,4}B z z x y x A y A ==+∈∈=，故选A.2.C 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数虚部的概念.【试题解析】C21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，虚部为1，故选C. 3.D 【命题意图】本题考查抛物线的准线的概念，是对学生的基础知识的直接考查. 【试题解析】D 由题意，抛物线24y x =-的准线为1x =，故选D. 4.D 【命题意图】本题主要对向量的基本运算进行考查.【试题解析】D ()()(4,2)2a b a b a ++-==-，()()(1,8)2a b a b b +--==- ，则,a b 的夹角余弦值为cos 13||||a b a b θ⋅===⋅. 故选D. 5.D 【命题意图】本题是对逻辑问题的综合考查，全面考查考生对各种逻辑问题的理解.【试题解析】D 选项A 中，由奇函数定义可知，“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的既不充分也不必要条件；选项B 中，若p ：0x ∃∈R ，20010x x -->，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x --≤；选项C 中，若p q ∧为假命题，只能判定,p q 中至少有一个为假命题；选项D 的说法正确，故选D. 6.B 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】B 图为可行域，而目标函数2z x y =-可化为2y x z =-，即z -为该直线在y 轴上的截距，当直线过(0,1)时，截距取得最大值，此时z 取得最小值为1-，故选B.7.A 【命题意图】本题考查程序框图的基本运作过程，同时通过程序框图也对数列中的裂项求和进行考查.【试题解析】A 由程序框图，当2015k =时，还应该进入循环，而当2016k =时，不再进入循环，故应填2015k ≤，故选A.8.C 【命题意图】本题主要考查解三角形，以及利用余弦定理搭建三角形中边与角的关系式.【试题解析】C 由题意，设CD BD x ==，根据余弦定理可得，2294944cos 23232x x C x x +-+-==⋅⋅⋅⋅，可得x =且cos C =sin C =，故1sin 2ABC S AC BC C =⋅⋅=C. 9.B 【命题意图】本题主要考查考生对三视图的理解，以及简单几何体表面积的计算.【试题解析】B锥，且顶点在底面上的投影为斜边的中点，据此可求得该几何体的表面积为6故选B.10.A 【命题意图】本题考查对图像特征的理解，以及利用求导等手段发现函数特点的方法.【试题解析】A 函数3||x x y e=为奇函数，且0|0x y ='=，可推出在原点处切线的斜率为0，故选A.11.B 【命题意图】本题考查三角变换公式，以及sin()y A x ωϕ=+中各个量对函数图像的影响.【试题解析】B 由题1()sin()cos()sin(2)6623f x x x x πππ=++=+，可知①④正确，故选B.12.A 【命题意图】本题是利用导数考查抽象函数的特征问题，目的在于考核考生对导数的理解，包括函数的特征点，以及导数对函数图像的影响等.【试题解析】A 当0x =时，可得()0f x >；当0x >时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+>，即23[()]0x f x x '>>，则2()x f x 在0x >时单调递增，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >；当0x <时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+<，即23[()]0x f x x '<<，则2()x f x 在0x <时单调递减，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >，综上可得到()0f x >. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）简答与提示：13. 160-【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】常数项为333461(2)()160T C x x=-=-.14.12【命题意图】本题考查正态分布的基本知识，特别是正态分布2(,)N μσ中各个量的意义.【试题解析】由正态分布的性质可知，34122m -+==. 15.14π【命题意图】本题考查了球的内接几何体问题，特别涉及到了长方体，以及长方体的局部几何体的外接球问题.【试题解析】由条件，可将三棱锥S ABC -放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为,,a b c ，有22213,a b SC +== 22222210,5c b SB a c SA +==+==，得到22214a b c ++=，该长方体的外接球也就是三棱锥的外14π.本题通过平面几何的性质考查双曲线的标准方程以及离心率，对学生的运算求解能力提出很高要求，是一道较难题.【试题解析】设双曲线的标准方程为22221x y a b-=(0,0)a b >>，0(,0),(,)2c A c C y -，由23AE EC = ，得022(,)55y c E -，从而满足2202222022144412525y c a b y c a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去202y b ，解得227c a =，离三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用. 【试题解析】 (1) 证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，整理得11122n n n n S S ++-=，所以数列{}2nnS 是以1为首项，1为公差的等差数列. （6分） (2) 由(1)可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，令12n n T S S S =+++ 212222n n T n =⋅+⋅++⋅ ①21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅ ，整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. （12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 设所求事件概率为P ，则121283202895C C P C ==. （6分）(2)20(126148)400.440 2.7062026142091k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”（12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）由题意PC PB ==，在三棱柱中，由1AA ⊥平面ABC且2AB AC ==可得，2PA =，故点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处.（4分）（2）以A 为坐标原点，CA 方向为x 轴，AB 方向为y 轴，1AA 方向为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，有11(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,3),(2,0,3)P B C B C --设平面11PB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，有1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020x z y z +=⎧⎨+=⎩， 令2z =-，得(1,1,2)n =- ，同理可得平面PBC 的一个法向量为(1,1,1)m =，可得0m n ⋅=，所以平面PBC 与平面11PB C 所成角为直二面角，大小为90︒.（12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 设点P 的坐标为(,)x y ，由题意可知14PA PB k k ⋅=-，即1224y y x x ⋅=-+-，因此点P 的轨迹方程为2214x y +=(2)x ≠±. （5分） (2) 由题意知OD EF ⊥，设:EF y kx =(0)k <，1:OD y x k=-设111122(,),(,),(,),E x y F x y D x y --由2214x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22(14)4k x +=，所以1||2|EF x ==同理可得2x =，||OD ==所以1||||2DEF S OD EF ∆===当21112k =+，即21,1k k ==-时，DEF S ∆取最小值，此时(55D . （12分） 21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1) ()1xf x e ax =--，()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0x f x e a '=-=，得ln x a =，则()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. （4分） (2) 不妨先证明0()g x x <<(0)x >，即0ln(1)ln x e x x <--<， 先证ln(1)ln 0x e x -->，即1xe x >+，显然成立. 再证ln(1)ln x e x x --<，只需证1xxe xe -<，设()1x x h x xe e =-+，则()0x x x x h x e xe e xe '=+-=>， 即()(0)0h x h >=，0()g x x <<得证.由当0a ≤时，则()f x 在R 上单调递增，可知(())()f g x f x <，当01a <≤时，ln 0a ≤，又()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，(())()f g x f x <， 当1a >时，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，(())()f g x f x >与条件不符.综上1a ≤. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】 (1) 因为AC AB =，所以ABC ACB ∠=∠，又因为BC BE =，所以BEC ECB ∠=∠，所以BEC ABC ∠=∠，所以2A EBC F ∠=∠=∠. （5分）(2) 由(1)可知ABC ∆∽BEC ∆，从而EC BCBC AC=，由1,2,3AE EC AC ===，得BC .（10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 曲线C 的普通方程为2213x y +=，直线l 的直角坐标方程为40x y +-=. （5分）(2) 设点P坐标为,sin )θθ，点P 到直线l的距离)3d πθ==+所以点P 到直线l距离的最大值为 （10分）24.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 由于()|||5||5|f x x a x a =-+-≥-，所以()3|5|3f x a ≥⇔-≥，解得2a ≤或8a ≥.（5分）(2) 72,2()|2||5|3,2527,5x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，原不等式等价于2272815x x x x <⎧⎨-≥-+⎩，或2253815x x x ≤≤⎧⎨≥-+⎩，或2527815x x x x >⎧⎨-≥-+⎩2016长春一模理科 第 11 页 共 11 页解得25x ≤≤{|25x x ≤≤. （10分）。