函数y=Asin(ωx+φ)教案及练习

5.6 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(第1课时)1．A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响：(2)ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响：(3)A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响：2．由正弦曲线y ＝sin x 到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的变换过程 y ＝sin x的图象――――――――――――→向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象――――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――――――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象可以看作是由y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度D 解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的． 2．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D 解析：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为T ＝2π2＝π，向右平移14个周期，即向右平移π4个单位长度后，得到图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 2的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度C 解析：因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝sin 12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，所以要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x2的图象向左平移2π3个单位长度．4．将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π4B 解析：y ＝sin x →y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4→y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4.5．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的解析式为________．y ＝－cos 2x解析：y ＝sin(－2x )―――――――――――→左移π4个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x .【例1】要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度C 解析：因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，就得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．【例2】要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向左平移π6个单位长度A 解析：因为y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，所以要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象向右平移π6个单位长度．已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：(1)将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A ，ω及名称相同的结构．(2)找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪φω. (3)明确平移的方向．若将某函数的图象向右平移π2个单位长度后所得到的图象的函数表达式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则原来的函数表达式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π4B. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4D. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4A 解析： 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4移回原位置，即向左平移π2得原来的函数表达式.【例3】要得到y ＝sin 12x 的图象，则( )A ．只需将函数y ＝sin x 的图象向右平移12个单位长度B ．只需将函数y ＝sin x 的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍C ．只需将函数y ＝sin x 的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍D ．只需将函数y ＝sin x 的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标也伸长到原来的2倍C 解析：这里的ω＝12<1，故将函数y ＝sin x 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍即可．【例4】将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的5倍，然后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的5倍，可得到函数________的图象．y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3 解析：将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的5倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象，然后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的5倍，可得到函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象．对于函数y ＝sin x 的图象，若横坐标伸长到原来的ω(ω>1)倍，则得到函数y ＝sinxω的图象；若纵坐标伸长到原来的A (A >1)倍，则得到函数y ＝A sin x 的图象．两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换．下列变换中，正确的是( )A ．将y ＝sin 2x 图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y ＝sin x 的图象B ．将y ＝sin 2x 图象上各点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)即可得到y ＝sin x 的图象C ．将y ＝－sin 2x 图象上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标变为原来的相反数，即得到y ＝sin x 的图象D ．将y ＝－3sin 2x 图象上各点的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的13倍，且变为相反数，即得到y ＝sin x 的图象A 解析：y ＝sin(ωx ＋φ)的图象是由y ＝sin(x ＋φ)图象上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1ω倍(纵坐标不变)得到的．探究题1 将函数y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π4个单位长度得曲线C ，则曲线C 对应的函数解析式是________．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π8 解析：y ＝cos x →y ＝cos x 2→y ＝cos 12⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π8.探究题2 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象先向左平移π6个单位长度，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos x B. y ＝sin 4x C ．y ＝sin x D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6C 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――――――――→左移π6个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3＝sin 2x ――――――→横坐标变为2倍纵坐标不变y ＝sin x .探究题3 把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．解：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――――――――――――→向左平移π6个单位长度y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x .所以f (x )＝3cos x .(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象？ 解：法一：y ＝sin x ―――――――――――→向右平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3―――――――――――→将各点的横坐标缩短为原来的12倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3―――――――――――――――→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.法二：y ＝sin x ―――――――――――――――→将各点的横坐标缩短为原来的12倍y ＝sin 2x ――――――――――――→向右平移π6个单位长度y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6―――――――――――――――→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.5．6 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(第2课时)1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤 第一步：列表.ωx ＋φ0 π2 π 3π2 2π x －φωπ2ω－φω πω－φω3π2ω－φω 2πω－φωyA－A第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0的性质名称 性质 定义域 R 值域[－A ，A ]名称 性质 周期性 T ＝2πω对称性 对称中心⎝⎛⎭⎫k π－φω，0(k ∈Z) 对称轴x ＝π2ω＋k π－φω(k ∈Z)奇偶性当φ＝k π(k ∈Z)时是奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时是偶函数单调性通过整体代换可求出其单调区间1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π6对称 A 解析：因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，所以ω＝2，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以f (x )关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称．2．下列函数中，图象的一部分如图所示，则下列解析式正确的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6D 解析：由题图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求． 3．关于函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4，以下说法： ①其最小正周期为2π3；②图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；③直线x ＝－π4是其一条对称轴．其中正确说法的序号是________．①②③ 解析：T ＝2πω＝2π3，①正确；当x ＝π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4－3π4＝0，所以图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称，②正确；当x ＝－π4时，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫－3π4－3π4＝2，所以直线x ＝－π4是其一条对称轴，③正确.【例1】用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间． 解：(1)列表如下： 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π x －π6 π12 π3 7π12 5π6 y2－2(2)描点、连线，如图所示．由图象知，在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z)；单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z)．(1)用“五点法”作图时，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点．(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图象．已知f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，画出f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－54π，34π. 列表如下： x －π2－38π －π8 0 π8 38π π2 2x －π4－54π －π －π2－π40 π2 34π f (x )211－2 011＋22(2)描点、连线，如图所示．【例2】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．解：法一(逐一定参法)：由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上，∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ，∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)． ∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二(待定系数法)：由图象知A ＝3. ∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧5πω6＋φ＝2π，πω3＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧φ＝π3，ω＝2. ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法三(图象变换法)：由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以所求函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．如图所示的是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的部分图象，那么( )A ．ω＝1011，φ＝π6B ．ω＝1011，φ ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ ＝－π6C 解析：将函数图象上的特殊点(0，1)，⎝⎛⎭⎫1112π，0代入y ＝2sin(ωx ＋φ)， 得⎩⎪⎨⎪⎧2sin φ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫ω·1112π＋φ＝0，∵|φ|<π2，∴φ＝π6. 由ω·1112π＋π6＝2π，得ω＝2.故选C .探究题1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋52π的图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D. x ＝－5π4A 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋52π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，再由2x ＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2，k ∈Z ，此即为原函数图象的对称轴方程，故选A.探究题2 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称A 解析：∵T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝0. ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，故选A.探究题3 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值． 解：(1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z ，令k π2＋π4－φ2＝π8，k ∈Z ，得φ＝k π＋π4，k ∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．同理可得函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π8，k π＋9π8(k ∈Z)．当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z)时，函数取得最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z)，即x ＝k π＋π8(k ∈Z)时，函数取得最小值－1.(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k ⎝⎛⎭⎫其中ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 成轴对称图形，也就是说过波峰或波谷且与x 轴垂直的直线为其对称轴．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x j ，0)(其中ωx j ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形，也就是说函数图象与x 轴的交点(平衡位置点)是其对称中心．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2上最高点为(2，2)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x 轴交于点(6，0)．(1)求函数的解析式；(2)求函数在x ∈[－6，0]上的值域． 解：(1)由题意可知A ＝2，T4＝6－2＝4，∴T ＝16，即2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ.又图象过最高点(2，2)，∴sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，故π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π4＋2k π，k ∈Z.由|φ|≤π2，得φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.(2)∵－6≤x ≤0，∴－π2≤π8x ＋π4≤π4，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4≤1.即函数在x ∈[－6，0]上的值域为[－2，1]．练习（第一课时） (70分钟 100分)1.(5分)下列命题中正确的是( )A ．将y ＝sin x 的图象沿x 轴向右平移π2个单位长度，得到y ＝cos x 的图象B ．函数y ＝sin(x ＋φ)的图象，当φ>0时由y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位长度得到C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的图象可由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13得到D ．y ＝2sin 3x 的图象可由y ＝sin 3x 的图象上各点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12得到C 解析：y ＝sin x →y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，A 不正确．当φ>0时，y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度可得y ＝sin(x ＋φ)的图象，B 不正确． C 正确．y ＝sin 3x 图象上各点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍可得y ＝2sin 3x 的图象，D 不正确．2．(5分)函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象可以看作是把函数y ＝12sin 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度得到的B ．向右平移π6个单位长度得到的 C ．向右平移π12个单位长度得到的D ．向左平移π6个单位长度得到的B 解析：y ＝12sin 2x ――――――――――――――→向右平移π6个单位长度y＝12sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 3．(5分)要得到y ＝tan 2x 的图象，只需把y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度C 解析：设平移φ个单位长度得到y ＝tan 2x 的图象， y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6，2φ＋π6＝0，∴φ＝－π12.4．(5分)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度A 解析：因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以要得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需要将y ＝sin 2x 的图象向左平行移动12个单位长度．5．(5分)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向右平移m (m >0)个单位长度后，得到y ＝sin x的图象，则m 的最小值为( )A.π6B.5π6C.π3D.2π3C 解析：依题意，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －m ＋π3＝sin x ，∴m －π3＝2k π(k ∈Z)，∴m ＝π3＋2kπ(k ∈Z)．又m >0，∴m 的最小值为π3.6．(5分)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度C 解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π6，所以只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度．7．(5分)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数D 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数． 8．(5分)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x －1B 解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .9．(5分)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12B 解析：对于B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象． 10．(5分)为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)C 解析：先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象．11．(5分)要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上的所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度C 解析：∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――→纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍y ＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋π4―――――――――――→向左平移π4个单位长度y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2.12.(5分)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平行移动φ个单位长度⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，所得图象关于y 轴对称，则φ＝________．π4 解析：y ＝3sin[2(x ＋φ)]＝3sin(2x ＋2φ)为偶函数，2φ＝π2，φ＝π4. 13.(5分)为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位长度得到，那么φ的最小正值是________．32π 解析：y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位长度后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2，∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z . ∴φ的最小正值是32π.14.(5分)函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12sin 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．右π8 解析：y ＝12sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度可得 y ＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 15.(5分)将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. 16.(10分)使函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位长度得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．解：y ＝f (x )――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝ f (2x )――→沿x 轴向左平移π6个单位长度y ＝f ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x .令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3， 即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.17.(15分)已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2.求： (1)函数的周期及单调增区间；(2)函数的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：(1)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z. 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.∴函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.(2)y ＝sin x ―――――――――――→向左平移π4个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4―――――――――――――→横坐标变为原来的12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――――――――――――→纵坐标变为原来的2倍y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ――――――――――→向上平移2个单位长度y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2.练习（第二课时） (70分钟 90分)1.(5分)用“五点法”作函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象时，所取的“五点”是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，0，⎝⎛⎭⎫5π12，1，⎝⎛⎭⎫2π3，0，⎝⎛⎭⎫11π12，－1，⎝⎛⎭⎫7π6，0 B.⎝⎛⎭⎫π6，0，⎝⎛⎭⎫5π12，1，⎝⎛⎭⎫2π3，0，⎝⎛⎭⎫11π12，－1，⎝⎛⎭⎫11π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π6，0，⎝⎛⎭⎫5π12，1，⎝⎛⎭⎫2π3，1，⎝⎛⎭⎫11π12，－1，⎝⎛⎭⎫7π6，0 D.⎝⎛⎭⎫π6，0，⎝⎛⎭⎫5π12，0，⎝⎛⎭⎫2π3，0，⎝⎛⎭⎫11π12，－1，⎝⎛⎭⎫7π6，0 A 解析：令2x －π3＝0可得x ＝π6，所以五点的坐标依次是⎝⎛⎭⎫π6，0，⎝⎛⎭⎫5π12，1，⎝⎛⎭⎫2π3，0，⎝⎛⎭⎫11π12，－1，⎝⎛⎭⎫7π6，0. 2．(5分)如图是周期为2π的三角函数y ＝f (x )的部分图象，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝sin(1＋x )B ．f (x )＝sin(－1－x )C ．f (x )＝sin(x －1)D ．f (x )＝sin(1－x )D 解析：由图象过点(1，0)排除A ，B ，由x ＝0时，y >0，排除C ，故选D. 3．(5分)已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )D 解析：当a ＝0时，f (x )＝1，C 符合，当0<|a |<1时，T >2π，且最小值为正数，A符合，当|a |>1时，T <2π，B 符合．排除A ，B ，C ，故选D.4．(5分)y ＝f (x )是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如图所示，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝3sin(x ＋1)B ．y ＝－3sin(x ＋1)C ．y ＝3sin(x －1)D ．y ＝－3sin(x －1)D 解析：A ＝3，ω＝2πT ＝1，由ω×1＋φ＝π，∴φ＝π－1，∴f (x )＝3sin[x ＋(π－1)]＝－3sin(x －1)．5．(5分)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z)D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z)B 解析：由题意，将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，故选B. 6．(5分)若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则有f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．3或0B ．－3或0C ．0D ．－3或3D 解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x 知，x ＝π6是函数的对称轴，解得f ⎝⎛⎭⎫π6＝3或－3，故选D.7．(5分)把函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移π6个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g (x )，则ω和φ的值分别为( )A ．1，π3B ．2，π3C.12，π6D.12，π3B 解析：依题意得f (x )第一次变换得到的函数解析式为m (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ω2x ＋φ，则函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ12＋φ.因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，则g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ.又因为函数g (x )为奇函数，所以φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝π3. 8．(5分)已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ·⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3 C ．T ＝6π，φ＝π6 D ．T ＝6π，φ＝π3A 解析：由题意知f (0)＝2sin φ＝1， 又|φ|<π2，所以φ＝π6，T ＝2ππ3＝6，故选A.9．(5分)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D 解析：由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D. 10．(5分)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω>0，|φ|<π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0D ．f (x )的最大值是A C 解析：由题意得ω＝2， 且2×2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝－5π6＋k π，k ∈Z ，又∵|φ|<π2，故当k ＝1时，φ＝π6，则f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (0)＝12A ，故A 错；对于B 和D ，由于A 的符号不能确定，所以B 和D 都错；对于C ，当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，故C 正确．11.(5分)应用“五点法”作函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的图象时，图象的最高点的坐标是________．⎝⎛⎭⎫5π2，32 解析：由13x －π3＝π2可得x ＝5π2，所以图象的最高点的坐标是⎝⎛⎭⎫5π2，32.12.(5分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．32 解析：由图象可知三角函数的周期为T ＝4×π3＝2πω，∴ω＝32. 13.(5分)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________．9π10 解析：由图象知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为2⎝⎛⎭⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45.∵当x ＝3π4时，y 有最小值－1， ∴45×3π4＋φ＝2k π－π2 (k ∈Z)． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.14.(5分)把函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3的图象向左平移m 个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是________．5π6 解析：把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3的图象向左平移m 个单位长度，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋2π3，其图象关于y 轴对称，∴m ＋2π3＝k π＋π2，k ∈Z ， 即m ＝k π－π6，k ∈Z.∴取k ＝1，m 的最小正值为5π6. 15.(10分)已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解：(1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π，ω＝2πT ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤2x ＋π4≤9π4， 列出x ，y 的对应值表： x 0 π8 38π 58π 78π π 2x ＋π4π4 π2 π 32π 2π 9π4 y12－21描点、连线，如图所示．16.(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0，0<φ<π2)的周期为π，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值．解：(1)由函数f (x )图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2.由周期T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，所以4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－11π6(k ∈Z)，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k ＝1，φ＝π6， 所以函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，函数f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，函数f (x )取得最大值 3.。