浅谈线性变换的两个定理及证明
（， “ ）＝Ａ ｉ＝ １２ …， ）于是 Ａ ＝０是 特征值 当且仅 当有非零 向量 Ｕ （ ，， ｎ 满足 （ ， ｕ ）＝０ ｉ＝ １２ … ， ， ， ｎ即是说 ｕ ∈ ， 和 ∈： ∈ 都正交 ， … 从而与 ｖ的子空 间 （ ， … ， ） 岛， 正交 。所 以Ａ Ｏ ＝ 是特征值 的充要 条件为 向量组 ∈， ∈ … ∈ 线性相关 ， ， ： 非 零向量 ｕ 是 的属于特征值Ａ ０的特征 向量 ， ＝ 当且仅 当ｕ （ ，ｚ …， ） 在 ， 的正交子空间 内。
２ １ 年 ０ 月 ００ ３
内 蒙 古 民 族 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｅ ｎ ｏｉ ｉｅ ｓｔ ｒＮ ｔ ｎ ｌ ｉｓ ｏ ｒ ａ ｎ ｒ ｏＩ Ｍｏ ｇ ｌ Ｕｎｖ ｒｉ ｆ ａｉ ａｉｅ ａ ｙｏ ｏ ｔ
Ｍ ａ ．０１ ｒ２ ０
第 ｌ卷 ６
第２ 期
Ｖ０ ．６ Ｎｏ２ １１ ．
下 面讨 论 一 般 情 况 ：
设 ｔ 一Ａ ，是 Ｖ上 的恒等变换 。显 然ｒ ｖ上 的线性 变换 。并且Ａ ｒ＝ Ｉ， 是 是 的特征值 ， 当且只 当０ － 是７ 的特征值 。非 零向
量ｕ 是 的属于特征值Ａ 的特征 向量 当且仅 当非零 向量 Ｕ 的属于特征值 ０的特征 向量 。 是 对于任意／ ∈Ｖ 设 『 １ ／ ， ， 上＝ １＋Ｕ ２ ２＋… ＋／ ， ２ 则 ｎ
是 ｖ上 的线 性 函数 ， 有 唯 一 的 ∈ Ｖ （ ＝ （ ， ） Ｖ ∈ Ｖ 故 使 ） “ ，
从而证明 了定理 中的第一部分 ， 定理 的第 二部分是显然 的。 定理 ２ 设 Ｖ上的线性变换 Ｖ中的向量 ∈ ， ∈ 满 足定理 ｌ １ 式 ， 和 ∈… 的（ ） 则实数 是 叮的特征值 当且仅当向量 组 ： 。一Ａ —Ａ ， ， 一Ａ 线 性 相 关 ， 零 向量 ｕ是 的属 于 特 征 值 Ａ的 一 个 特 征 向 量 ， 且 仅 当 ｕ属 于 ｄ， ：… 非 当
［ 文章 编号］０ ８ ５ ４ （０ ０ ０ — ０ ７ ０ １０ — １９ ２ １ ｝２ ０ ０ — １
假 设 Ｖ是 ｎ 欧 氏空 问 ， ｔ ， ， ｝是 Ｖ的 一 个 标 准 正 交 基 ， Ｖ上 的 一个 线性 变 换 。 维 ｛ ， … ： 是
定理 １ 对于 ｖ上 的线性变换 ， ｖ中有 唯一确定 的向量组 ∈ ， ∈ 使ｏ（）＝（ ， ） 一 “邑） ＋… ＋（ 毒） 在 ∈… － ｕ “ 十（ ， － ｕ Ｖ Ｖ 反之 ， Ｖ中任给 ｎ 向量 ∈ ∈： ∈ 有线性变换 在 个 ， … ， 满足 （ ） １。 证 ： 是 ｖ 的线性变换 ， 设 对每个 ∈ Ｖ 令 ｏ（ ， ｒ ）＝ １ Ｈ １＋ （ ２＋… ＋ （ ， （） ２ ） ） 则每个 ｌｉ＝ １２ … ， ） （ ， ， １ ７ ，
ｒ ） （ 一 （ ＝∑（ 一 ∑Ｕ ＝∑［“ ） Ａ】 （ ＝ “ Ａ） ） “） Ａ ｉ ， （ 一 ，
＝பைடு நூலகம்
∑ ［ ，） Ａ“ 】 ＝∑ （， Ａ （ 一 （， ａ ） ｕ 一 ）
令＇ 一Ａ ， １２ …， 则 由定理 １线性变换ｒ 向量组７， … ， ７ ＝ ｉ＝ ， ， ， 和 卵 ， 叼 具有（ ） １ 的关 系 ， 对于线性变换ｆ 用已证结 应 果 ， ０是７ 特 征 值 当 且仅 当７ ， ， 叼 线 性 相 关 ， 零 向 量 １ ｒ 属 于 特 征 值 ０的 的 特 征 向量 ， 的 ７ …， 非 １ 是 的 当且 仅 当 Ｕ属 于
浅谈线性变换 的两个定理及证明
潘 玉 春
（ 峰 平 煤 集 团培 训 中 心技 工 学 校 ， 蒙 古 赤峰 赤 内 ［ 摘 要 ］ 文讨 论 了线 性 变 换 的 两 个 定 理 及 证 明 。 本 ０４０ ） ２０ ０
［ 关键词］ 线性 变换 ； 向量
［ 中图分类号１ ５ ｏ１
［ 文献标识 码］ Ａ
Ｌ ｌ—Ａ （ 一 一Ａ ） 正 交 子 空 间 。 ， 的
证 非零 向量 ｕ 是 的属 于特 征值Ａ的一个 特征 向量 ， 须且 只需等 式ｏ ｕ 必 － ）＝Ａ （ 成立， ＝“ ＋ｔ０ 设 。 。 ／￣ ２ －２＋… ＋Ｕ０ ｎｎ。 ￣
由 定 理 １ 和 （） 必 须 且 只 需 １ （ ，１ｄ Ｍ ） Ｉ＋（， ） ／ ２＋… ＋（ ） ＝Ａ ／ ／ ， ， （， ／ １ ｌ＋ｔ ｔ ２＋… ＋ｕｄ ） 亦 即 ２
（ 责任校对
郑
瑛］
［ 收稿 日期 ］０ ９ ０ — ９ ２ ０ — ７ ０ ［ 作者 简介 ］ 潘玉春 （９ ２ ）男 （ １６ 一 ， 蒙古族 ） 内蒙古赤峰人 ， ， 高级讲师 。
７
， 叩 ， ： …， 正交子空 间 ， Ｊ 。’ ， 叩 ） （ ７ 换言之 ， 是Ｏ的特征值 当且仅 当 一Ａ ， 一Ａ ｚ … ， 一Ａ Ａ － ｔ ａ， ａ 线性相关 ， 非零 向量 ｕ 是 的
属于特 征值Ａ的特征 向量 当且仅 当ｕ 属于 Ｌ 一Ａ 。 ：一Ａ ， 一Ａ ） （ ａ， ： …， 的正交子空间 。定理证毕 。
线性变换初步线性变换的定义表示与性质
线性变换初步线性变换的定义表示与性质线性变换初步线性变换是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性变换的定义、表示以及一些性质。
1. 定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的变换。
具体来说，对于两个向量u和v以及一个数k，如果对于线性变换T有以下两个性质成立：a) T(u + v) = T(u) + T(v)b) T(ku) = kT(u)则称T为一个线性变换。
线性变换可以将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
2. 表示线性变换可以用矩阵表示。
设V和W分别是两个向量空间，假设它们的维度分别为n和m。
如果存在一个n×m的矩阵A，使得对于任意的向量u∈V，都有T(u) = Av，则称矩阵A表示线性变换T。
例如，对于一个二维平面上的旋转变换，可以通过一个2×2的矩阵来表示。
对于一个三维向量的缩放变换，可以通过一个3×3的矩阵来表示。
3. 性质线性变换具有一些重要的性质：a) 线性变换保持向量加法。
即，对于线性变换T和任意的向量u、v，有T(u + v) = T(u) + T(v)。
b) 线性变换保持数乘运算。
即，对于线性变换T和任意的向量u以及数k，有T(ku) = kT(u)。
c) 线性变换保持零向量。
即，对于线性变换T，有T(0) = 0。
d) 线性变换保持线性组合。
即，对于线性变换T和任意的向量组u₁, u₂, ..., uₙ以及对应的系数k₁, k₂, ..., kₙ，有T(k₁u₁ + k₂u₂ + ... + kₙuₙ) = k₁T(u₁) + k₂T(u₂) + ... + kₙT(uₙ)。
e) 线性变换的复合仍然是线性变换。
即，如果T₁表示线性变换S₁，T₂表示线性变换S₂，则T₁∘T₂表示线性变换S₁∘S₂。
这些性质使得线性变换在代数运算和几何变换中具有重要的应用。
总结线性变换是保持向量加法和数乘运算的变换。
线性变换考研知识点总结
线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。
1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。
则称T为从V到W的线性变换。
1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。
若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。
1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。
（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。
二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。
（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。
2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。
（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。
2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。
线性变换与线性映射
线性变换与线性映射线性变换和线性映射是线性代数中非常重要的概念，它们在许多数学和科学领域中扮演着重要角色。
本文将介绍线性变换和线性映射的概念、性质、表示以及它们在实际问题中的应用。
一、线性变换线性变换是指将一个向量空间中的向量变换成另一个向量空间中的向量，并且满足以下两个性质：保持向量加法和标量乘法。
具体而言，设V和W是两个向量空间，如果存在一个映射T：V→W，对于任意的向量u和v以及任意的标量c，满足以下两个条件：1. T(u+v) = T(u) + T(v)，即线性变换保持向量的加法；2. T(cu) = cT(u)，即线性变换保持标量与向量的乘法；则称T为从V到W的线性变换。
线性变换的特点在于它们保持向量空间的线性结构，即维度和线性关系不会发生改变。
同时，线性变换也保持向量空间的零向量不变。
二、线性映射线性映射是线性代数中另一种重要的概念，它可以看作是线性变换的一种具体形式。
线性映射也被称为线性函数或线性算子。
设V和W是两个向量空间，如果存在一个映射L：V→W，对于任意的向量u和v以及任意的标量c，满足以下两个条件：1. L(u+v) = L(u) + L(v)，即线性映射保持向量的加法；2. L(cu) = cL(u)，即线性映射保持标量与向量的乘法；则称L为从V到W的线性映射。
线性映射与线性变换的概念相似，但线性映射通常更强调其作为一种函数的性质。
线性映射将向量空间V中的每个向量映射到向量空间W中的一个向量，并且保持了向量间的线性关系。
三、线性变换与线性映射的表示线性变换和线性映射可以通过矩阵来表示。
对于线性变换T：V→W，我们可以选择向量空间V和W的基，然后将V中的每个向量表示为一个列向量，将T作用于这些列向量，得到对应的W中的列向量。
将这些列向量按顺序排列，就得到一个矩阵A，称作线性变换T 的矩阵表示。
同样，对于线性映射L：V→W，也可以采用同样的方法进行表示。
矩阵表示的优势在于它可以将复杂的线性变换或线性映射问题转化为矩阵运算问题，简化了计算过程。
线性变换的基本概念与定理
R X(t) R
温敏电阻
Y(t)
1、变换的基本概念
分类：确定性变换、随机变换 线性变换、非线性变换
X (t )
线性放大器 线性滤波器
2 T × β ( )
Y (t )
平方律检波 全波线性检波
线性变换
非线性变换
1、变换的基本概念
线性变换：设 Y (t ) = L[ X (t )] , 如果
L[ A1 X 1 (t ) + A2 X 2 (t )] = A1 L[ X 1 (t )] + A2 L[ X 2 (t )]
X (t )
T
Y (t )
1、变换的基本概念
分类： 确定性变换、随机变换
设e1和e2分别为两个随机试验的结果，Y(t)=T[X(t)]，如果
x (t , e1 ) = x (t , e2 )
则T称为确定性变换。
y (t , e1 ) = y (t , e2 )
1、变换的基本概念
分类：确定性变换、随机变换
其中 A1 ， A2 为随机变量， X1(t) ， X2(t) 为随机过 程。则称L为线性变换。 对于线性变换, 若有
Y (t + ε ) = L[ X (t + ε )]
则称线性变换L是线性时不变的。
2、线性变换的基本定理
定理1： 设 Y (t ) = L[ X (t )] 则 E {Y (t )} = L{E[ X (t )]}
定理2：设 Y (t ) = L[ X (t )] 则 RXY (t1 , t 2 ) = Lt 2 [ RX (t1 , t 2 )]
RY (t1 , t 2 ) = Lt1 [ RXY (t1 , t 2 )] = Lt1 ⋅ Lt 2 [ RX (t1 , t 2 )]
线性代数线性变换分析
线性代数线性变换分析线性代数线性变换分析线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间、线性映射、线性方程组等概念和性质。
其中，线性变换是线性代数中的一个重要概念，也是线性代数的核心内容之一。
本文将对线性变换进行深入分析。
一、线性变换的定义线性变换是指将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间的元素，同时满足两个条件：保持加法运算和标量乘法运算的线性性。
换句话说，对于任意向量a和b，以及任意标量c，线性变换T满足以下等式：1. T(a+b) = T(a) + T(b)2. T(c * a) = c * T(a)二、线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，具体方法如下：设有一个线性变换T，原向量空间为V，目标向量空间为W。
若V中的一个向量a经过线性变换T后得到目标向量空间W中的向量b，可以表示为T(a) = b。
若选定了V和W的一组基，可以得到V和W的坐标系，进而可以得到向量a和b在各自坐标系中的坐标。
设V的基为{v_1, v_2, ..., v_n}，W的基为{w_1, w_2, ..., w_m}，则线性变换T可以表示为一个m x n的矩阵A，使得：[T(a)]_W = A * [a]_V其中，[a]_V表示向量a在坐标系V中的坐标，[a]_W表示向量b在坐标系W中的坐标。
三、线性变换的性质线性变换具有以下几个重要的性质：1. 线性变换保持直线的性质：线性变换对原空间中的直线进行映射后，得到的是目标空间中的直线。
这是因为直线上的任意两点经过线性变换后仍然是目标空间中的两点，同时线性变换保持加法运算，所以线性变换对直线的保持是自然的。
2. 线性变换对原点的保持：线性变换将原点映射到目标空间的原点。
这是因为线性变换对加法运算的保持，所以线性变换将原点映射到目标空间中的零点是必然的。
3. 线性变换对向量的放缩：线性变换对向量的放缩具有可加性，即T(c * a) = c * T(a)。
这是因为线性变换对标量乘法运算的保持，所以线性变换对向量的放缩也是保持的。
线性变换的特性与判别定理
线性变换的特性与判别定理线性变换在数学、物理、计算机科学等领域中都有着非常重要的应用。
一个线性变换可以描述一个向量从一种形式转换为另一种形式。
在这个过程中，向量的长度和夹角都可能会被改变。
在本文中，我们将探讨线性变换的特性以及如何使用判别定理来判断一个变换是否是线性变换。
一、线性变换的特性1. 线性变换是保持向量加法的。
一个线性变换必须满足以下条件：$$T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$$其中$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是任意向量。
这个条件意味着如果我们对两个向量进行线性变换，然后将它们的结果相加，那么这个结果将等于将这两个向量相加，然后再对它们进行线性变换得到的结果。
这个特性对于计算机图形学中的变换非常有用，因为它允许我们使用矩阵来描述变换，从而简化计算。
2. 线性变换是保持向量数乘的。
一个线性变换还必须满足以下条件：$$T(c\mathbf{v})=cT(\mathbf{v})$$其中$c$是任意标量，$\mathbf{v}$是任意向量。
这个条件意味着线性变换将向量的长度缩放到$c$倍。
同样，这个特性对于计算机图形学中的变换非常有用，因为它允许我们使用矩阵来描述变换，从而简化计算。
3. 线性变换是保持原点不变的。
在一个向量空间中，原点是一个特殊的向量，它的坐标为$(0,0,...,0)$。
一个线性变换必须保持原点不变，也就是说$T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$。
这个特性是任何线性变换都必须满足的，因为没有这个特性的话，那么变换不再是一个向量空间到自身的映射了。
4. 线性变换可以用矩阵来表示。
上述三个特性意味着我们可以使用矩阵来描述一个线性变换。
给定一个向量$\mathbf{v}$，我们可以使用矩阵$A$来表示它的变换：$$T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}$$其中$A$是一个$n\times n$的矩阵，$\mathbf{v}$是一个$n$维的向量。
线性变换的相关知识点总结
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
高等代数--第七章 线性变换_OK
45
线性变换的乘法
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
(A B )() A (B ()) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，
(A B )( ) A (B ( )) A (B () B ())
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
14
又如果1 , 2 ,, r之间有一线性关系式 k11 k22 krr 0,
那么它们的象之间也有同样的关系
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
15
3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性 相关的向量组.
A x1A 1 x2A 2 xnA n x1B 1 x2B 2 xnB n B .
20
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它 在一组基上的作用所决定。
2.设 1,2,,n是线性空间V的一组基。对于
任意一组向量 1,2,,n一定有一个线性变换A
使
A i i ,i 1, 2, , n.
46
A (B ()) A (B ( )) (A B )( ) (A B )( ),
(A B )(k) A (B (k)) A (kB ())
kA (B ()) k(A B )().
这说明AB是线性的。
既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换
的乘法当然也适合结合律，即
(A B )C A (B C ).
29
例3 在 F 22 中定义线性变换 A
X
a c
b
d
X
线性变换总结篇高等代数
第 7章 线性变换知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ,都有：()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=; 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换;2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα∀∈;性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关,那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关;性质3. 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,ααα线性无关,那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关;注：设V 是数域P 上的线性空间,12,,,m βββ,12,,,s γγγ是V 中的两个向量组,如果：11111221221122221122s s s s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是,若()dim V n =,12,,,n ααα是V 的一组基,σ是V 的线性变换, 12,,,m βββ是V 中任意一组向量,如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组,如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组,那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组,因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B ;4. 线性变换举例1设V 是数域P 上的任一线性空间;零变换： ()00,V αα=∀∈； 恒等变换：(),V εααα=∀∈;幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果存在正整数m ,使得σ=m 0,就称σ为幂零变换;幂等变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果2σσ=,就称σ为幂等变换;2nV P =,任意取定数域P 上的一个n 级方阵A ,令：111222n n n n x x x x x x A ,P x x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∀∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 3[]V P x =,()()()()[]D f x f x ,f x P x '=∀∈; 4n nV P⨯=,()ij A a =是V 中一固定矩阵,()n n X AX ,X P τ⨯=∀∈;二．线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法1 定义： 设V 是数域P 上的线性空间,,στ是V 的两个线性变换,定义它们的和στ+、乘积στ分别为：对任意的V α∈()()()()στασατα+=+,()()()()σταστα=任取k P ∈,定义数量乘积k σ为：对任意的V α∈()()()k k σασα=σ的负变换-σ为：对任意的V α∈()()()-=-σασα则στ+、στ、k σ与-σ都是V 的线性变换;2()L V ={σσ为V 的线性变换},按线性变换的加法和数乘运算做成数域P 上的维线性空间;2. 线性变换的矩阵1定义：设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,12,,,n ααα是V 的一组基,如果：()()()11111221221122221122n n n n n n n nn na a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=+++那么称矩阵112111222212n n nnnn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为线性变换σ在基12,,,n ααα下的矩阵;此时：()()()()()()121212,,,,,,,n n n A σααασασασαααα==2线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：设12,,,n ααα是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基,(),L V στ∀∈,设它们在12,,,n ααα下的矩阵分别为A,B ;1():n n f L V P ⨯→,A σ是数域P 上的线性空间()L V 到数域P 上的线性空间n n P ⨯的同构映射,因此()n n L V P ⨯≅;2σ可逆⇔A 可逆3①στ+、στ与-σ在基12,,,n ααα下的矩阵分别为A B,AB +与A -； ② 任取k P ∈,k σ在基12,,,n ααα下的矩阵为kA ；③ 若σ为可逆线性变换,则1σ-在基12,,,n ααα下的矩阵为1A -；④ 设()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++为数域P 上的任一多项式,那么()1110m m m m f a a a a σσσσε--=++++ε为V 的恒等变换在基12,,,n ααα下的矩阵为：()1110m m m m n f A a A a A a A a E --=++++;三．特征值、特征向量与对角矩阵1. 矩阵的特征值与特征向量1矩阵的特征多项式：设A 为n 级复方阵,将多项式()λλ=-A n f E A 称为A 的特征多项式;注： 1若()ijnnA a =,则：()()()()1112211λλλλ-=-=+-+++++-nn n A n nn f E A a a a A()()()11tr 1λλ-=+-++-nn n A A2 将λ-n E A 称为矩阵A 的特征矩阵,0λ-=n E A 称为矩阵A 的特征方程;2 定义：n 级方阵A 的特征多项式()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根都叫做其特征值根,设0λ∈C 是A 的特征值,齐次线性方程组()0λ-=n E A X 的每个非零解都叫做矩阵A 的属于其特征值0λ的特征向量;3求法：1求()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根12λλλn ,,,重根按重数计算；2对()1λ=k k ,n 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l =-k l n 秩()λ-k n E A ,则矩阵A 的属于特征值λk 的全部特征向量为1122,,ηηη+++k k k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,k k k k l s s s 为不全为零的任意常数复数;4 重要结论：1设0λ∈C 是A 的特征值,0X 是A 的属于其特征值0λ的特征向量,()g x 为一复系数多项式;① ()0λg 为()g A 的特征值,0X 为()g A 的属于特征值()0λg 的特征向量； ② 如果A 还是可逆矩阵,那么1λ与λA分别为1-A 和*A 的特征值,0X 为1-A 的属于特征值1λ的特征向量,0X 为*A 的属于特征值λA的特征向量,③ 若12λλλn ,,,是矩阵A 的全部特征值,那么()()()12λλλn g ,g ,,g 就是()g A 的全部特征值,如果A 还是可逆矩阵,则12111λλλn,,,为1-A 的全部特征值,12λλλnA A A,,,为*A 的全部特征值；2若12λλλn,,,是矩阵A的全部特征值,那么()12tr λλλ=+++n A ,12λλλ=n A ;2. 线性变换的特征值与特征向量1定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,0λ∈P ,若存在0α≠∈V ,使得()0σαλα=,就称0λ为σ的一个特征值,α为σ的一个属于特征值0λ的特征向量;2线性变换的特征多项式设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,任取V 的一组基12,,,n ααα,设σ在该基下的矩阵为A ,称矩阵为A 的特征多项式λ-n E A 为σ的特征多项式,记为()σλλ=-n f E A ,即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式;3求法：设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换;1取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；2求()σλλ=-n f E A 在P 中的所有根12λλλm ,,,0≤≤m n ,重根按重数计算,且0=m 表示σ无特征值;3若0>m ,对()1λ=k t ,s 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l =-k l n 秩()λ-k n E A ,则线性变换σ的属于特征值λk 的全部特征向量为()()121122,,,,,αααηηη+++k k n k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,k k k k l s s s 为P 中不全为零的任意常数;3. 矩阵相似1定义：设A,B 是数域P 上的两个n 级方阵,如果存在数域P 上的n 级可逆矩阵T ,使得1-=T AT B ,就称矩阵A 相似于矩阵B ,记为A B ;2性质：1矩阵相似是等价关系,即：设A,B,C 都是n 级方阵,那么：①A A ； ② 若A B ,那么B A ；③ 若A B 且B C ,则A C ;2若AB ,那么()()λλλλ=-==-A n B n f E A f E B ,因此矩阵A 与矩阵B 有相同的特征值,相同的迹()()tr tr =A B ,相同的行列式=A B ;3两个实对称阵相似⇔它们有相同的特征值;3有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似;4若1-=T AT B ,那么1-+=∀∈kkB T A T ,k Z ;4. 线性变换与矩阵可对角化 1矩阵可对角化1设A 是n 级方阵,如果存在n 级可逆矩阵T ,使得1-T AT 为对角阵,则称A 可对角化;2n 级方阵A 可对角化⇔A 有n 个线性无关特征向量; 3如果n 级方阵A 有n 个不同的特征值,则A 可对角化; 4设12λλλk ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值,()()()()1212λλλλλλλλ=-=---klll A n k f E A称()12=i l i ,,,k 为λi 的代数重数；称=-i s n 秩()()12λ-=i n E A i ,,,k 为λi 的几何重数；()12≤=i i s l i ,,,k ；n 级方阵A 可对角化⇔对12=i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数;注：1. 设齐次线性方程组()0λ-=i n E A X 的解空间为i W ,则()dim =i i s W2. 称{}λααλα=∈=i ni V CA 为n 级方阵A 的属于特征值λi 的特征子空间,那么()dim λ=i i s V2线性变换可对角化1 设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,如果存在V 的一组基,使得σ 在该基下的矩阵为对角阵,就称σ可对角化;2数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换σ可对角化⇔σ有n 个线性无关特征向量; 3设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,如果σ有n 个不同的特征值,则σ可对角化;4设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,σ在V 的一组基下的矩阵为A , 设12λλλk ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值;① 若12λλλ∈k ,,,P ,那么：σ可对角化⇔对12=i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数;② 若12λλλk ,,,不全在数域P 中,则σ不可对角化;注：λi 的几何重数 =()dim λi V ,其中(){}λασαλα=∈=i iV V 为σ的属于特征值λi 的特征子空间;四．线性变换的值域与核1.定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,将()(){}100V σασα-=∈=,(){}V V σσαα=∈分别称为线性变换σ的核与值域()10σ-与V σ也分别记为ker σ与Im σ;2.线性变换的秩与零度： V σ与()10σ-都是V 的子空间,将()dim V σ 与()()1dim 0σ-分别称为σ的秩和零度;3. 有限维线性空间的线性变换的值域与核设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,12,,,n ααα为V 的一组基,σ 在该基下的矩阵为A ,=r 秩()A ,1122n n a a a V αααα=+++∈;1()1210n a a a ασ-⎛⎫ ⎪ ⎪∈⇔ ⎪ ⎪⎝⎭是齐次线性方程组0=AX 的解;2若12,,,ηηη-n r 是0=AX 的一个基础解系,那么12,,,γγγ-n r 其中()()12,,,1,2,,γαααη==-k n k k n r 就是()10σ-的一组基,于是：()()1dim0n r σ-=-()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈因此σ的秩和零度为n r -; 3()()()()12n V L,,,σσασασα=于是()()()12σασασαn ,,,的一个极大线性无关组就是V σ的一组基,而()()()12σασασαn ,,,的秩等于秩()A =r ,所以()dim V r σ=,即σ的秩为秩()A =r ; 4()()()1dim dim 0V n σσ-+=;3. 求法：设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换; 1()10σ-的求法：① 取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；② 解齐次线性方程组0=AX ,得其一个基础解系12,,,ηηη-n r =r 秩()A ；③ 令()()12,,,1,2,,γαααη==-k n k k n r ,得()10σ-的一组基12,,,γγγ-n r ,()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈2V σ的求法：① 取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；② 设矩阵A 的列向量组为12,,,n ηηη,求出12,,,n ηηη的一个极大线性无关组12,,,r i i i ηηη就得到()()()12σασασαn ,,,的一个极大线性无关组()()()12σασασαri i i ,,,,()()()12σασασαri i i ,,,就是V σ的一组基;()()()()12ri i i V L ,,,σσασασα=()()(){}112212σασασα=+++∈r r r i i i i i i i i i l l l l ,l ,,l P五．不变子空间1. 定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间,如果对α∀∈W ,都有()σα∈W 即()σ⊆W W ,就称W 是σ的不变子空间,也称σ-子空间; 2. 设V 是数域P 上的线性空间,那么{}0与V 都是V 的任一线性变换的不变子空间; 3. 设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,λ是σ的任意一个特征值,那么σ的特征子空间(){}λασαλα=∈=V V 都是σ的不变子空间;4. 线性变换的循环子空间：设σ是数域P 上的0n >维线性空间V 的线性变换,任取0V α≠∈,必存在正整数m ,使得()()1m ,,,ασασα-线性无关,而()()m ,,,ασασα线性相关,令()()()1m W L ,,,ασασα-=,则W 是σ的不变子空间,称W 为σ的循环子空间;5. 设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,W 是σ的不变子空间,()0<dim =<W m n ,取W 的一组基12,,,αααm ,将其扩充为V 的一组基121,,,,,,ααααα+m m n ,那么σ在该基下的矩阵为1230⎛⎫⎪⎝⎭A A A ,其中1A 为σW在W 的基12,,,αααm 下的矩阵;六．若尔当 Jordan 标准形1.若尔当块与若尔当形矩阵： 1若尔当块：形式为()0000100000100001t tJ ,t λλλλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若尔当块,其中λ为复数;2若尔当形矩阵：由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如：12s A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中：111i ii ii ii k k A λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,且12s ,,,λλλ中有些可以相等;2. 复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵1设σ是复数域C 上的0n >维线性空间V 的任意一个线性变换,那么必存在V 的一组基,使得σ在该基下的矩阵为若尔当形矩阵;2每个n 级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似;3. 设σ是复数域上的0n >维线性空间V 的线性变换,那么σ幂零⇔σ的特征值都为零;。
线性变换的定义和性质
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• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。