宁波市高三五校适应性考试 (2)

2015年宁波市高三五校适应性考试数学（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

注意：本卷考试时间120分钟，请考生将所有题目都做在答题卷上。

参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式S =4πR 2V =Sh 球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2)锥体的体积公式 其中S 1,S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高选择题部分(40分)一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知命题“:p 0>∃x ，x x <ln ”，则p ⌝为( )A.0≤∃x ，ln x x ≥B.0>∀x ，ln x x ≥C.0≤∃x ，x x <lnD.0>∀x ，x x <ln2.已知互不相等的正数q p d c b a ,,,,,满足d b c a ,,,成等差数列，q b p a ,,,成等比数列，则( ) A.q d p c ><,B.q d p c >>,C.q d p c <>,D.q d p c <<,3.已知直线b a ,，平面βα,，且α⊥a ，β⊂b ，则“b a ⊥”是“βα//”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数1211111(),(),,(),,()()n n f x f x f x x x f x x f x +===++L L 则函数2015()f x 是（ ） A.奇函数但不是偶函数B.偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数5.已知不存在整数x 使不等式2(4)(4)0ax a x ---<成立，则实数a 的取值范围为( )A.(0,)+∞B.(0,2]C.[1,2]D.[1,4]6.已知某几何体的三视图(单位：cm )，如图所示，则此几何体的外接球的体积为( )A.392cm πB.336cm π C.3643cm πD.39cm π7.已知过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的中心的直线交双曲线于点,A B ，在双曲线C 上任取与点,A B 不重合的点P ，记直线,,PA PB AB 的斜率分别为12,,k k k ，若12k k k >恒成立，则离心率e 的取值范围为( )A.1e <<B.1e <≤C.e >D.e ≥8.设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是（）A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[3,11]D ．[3,10]非选择题部分(110分)二、填空题（本大题共7小题，9～12小题每题6分，其它小题每题4分，共36分） 9.已知直线012:1=-+y ax l ，直线03:2=-+by x l ，且1l 的倾斜角为4π，则a = ；若21l l ⊥，则b = ；若21//l l ，则两直线间的距离为 ．10.太阳光的入射角(光线与地面所成的角)为6π，要使长为m 的木棒在地面上的影子最长，则木棒与地面所成的角应为 ，其最大影长为.(第6题图)俯视图侧视图11.已知α为第二象限角，且1tan 41tan 3αα+=-，则tan()28απ+= ，sin()12πα+= .12.设函数2|1|1,0(),0x x f x x x x +-<⎧=⎨-+≥⎩，则((2))f f = ，函数(())y f f x =的零点个数为 .13.已知实数,x y 满足log 2log log 4a x x x a y ++=，其中常数1a >，当y 取最大值2时，对应的x 的值为 .14.已知抛物线24y x =过焦点F 的弦AB ，过弦AB 的中点作准线l 的垂线，垂足为M ，则MA MB⋅u u u r u u u r的值为 .15.已知函数()sin,2f x x π=任意的,t R ∈记函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为(),M t 最小值为()m t ，则函数()()()h t M t m t =-的值域为 .三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分15分)ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1)cos(32cos ++=C B A ．(Ⅰ）求角A 的大小；(Ⅱ)若81cos cos -=C B ，且ABC ∆的面积为32，求a ．17.(本小题满分15分)如图，四边形ABCD 为平行四边形，5AB =，4,3AD BD ==，将BCD ∆沿着BD 翻折到平面1BC D 处(不与平面ABCD 重合)，,E F 分别为对边1,AB C D 的中点，(Ⅰ)求证：EF BD ⊥；(Ⅱ)若异面直线1,EF BC 所成的角为30o，求二面角1C AB D --的平面角的正切值.第17题图CA18.(本小题满分15分)如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，右焦点为F ，右顶点为A ，P 为直线54x a =上的任意一点，且()2PF PA AF +⋅=u u u r u u u r u u u r . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若过点P 所作椭圆C 的切线l 与坐标轴不平行，切点为Q ，且交y 轴于点T ，试确定x 轴上是否存在定点M ，使得sin 2|cos |OTQ TQM ∠=∠.若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.19.(本小题满分15分)已知数列{}n a 满足2233312(1)4n n n a a a ++++=L ，n *∈N .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)证明：对任意的n N *∈，都有12331212342222n n a a a a na a a a a a a a ++++<----L .20.(本小题满分14分)已知二次函数()2f x x bx c =++，其中常数,b c R ∈.(Ⅰ)若任意的[1,1]x ∈-，()0,(2)0f x f x ≥+≤，试求实数c 的取值范围； (Ⅱ)若对任意的[]12,1,1x x ∈-，有()()124f x f x -≤，试求实数b 的取值范围．(第18题图)2015年五校高三适应性考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：16.(Ⅰ）由1)cos(32cos ++=C B A 得，02cos 3cos 22=-+A A ，……………2分 即0)2)(cos 1cos 2(=+-A A ，所以，21cos =A 或2cos -=A (舍去)……………4分 因为A 为三角形内角，所以3π=A .…………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ）知21)cos(cos =+-=C B A ， 则21sin sin cos cos -=-B A C B ； 由81cos cos -=C B ，得83sin sin =B A ，………………………9分 由正弦定理，有C cB b A a sin sin sin ==，即3sin 2B a b =，3sin 2C a c =，……………12分 由三角形的面积公式，得22833sin sin sin 21a C B a A bc S ===，即32832=a ， 解得4=a .………………………15分17.解法一：(Ⅰ)连结1CC ，并取1CC 的中点M ，连结,FM BM . 因为F 分别为1C D 的中点，所以，//FM DC 且12FM DC =； 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以，//DC AB =；又E 分别为AB 的中点，所以，//FM EB =，即四边形FMBE 为平行四边形；………………………3分所以，//EF MB .因为5AB =，4,3AD BD ==，即222AD BD AB +=； 所以，BD AD ⊥，BD BC ⊥，1BD BC ⊥； 所以，BD ⊥平面1BCC .又因为BM ⊂平面1BCC ，所以BD BM ⊥，BD EF ⊥.………………………6分 (Ⅱ)取BC 的中点N ，过N 作线段AB 的垂线交AB 的延长线于点H .由(1)知，异面直线1,EF BC 所成的角为1C BM ∠，故130C BM ∠=o；因为1BC BC =，M 为1CC 的中点，所以，160C BC ∠=o，即1C BC ∆为正三角形.所以1C N BC ⊥.………………………9分由(Ⅰ)知，异面直线1,EF BC 所成的角为1C BM ∠，故130C BM ∠=o；因为1BC BC =，M 为1CC 的中点，所以，160C BC ∠=o，即1C BC ∆为正三角形.所以1C N BC ⊥.又BD ⊥平面1BCC ，所以，平面ABCD ⊥平面1BCC ；因为平面ABCD I 平面1BCC BC =，所以1C N ⊥平面ABCD ，1C N AB ⊥； 所以，1C HN ∠为二面角1C AB D --的平面角.………………………12分在1Rt C NH ∆中，1C N ==16sin 25BD NH NB NBH BC AB =⋅∠=⋅=，所以，11tan 3C N C HN NH ∠==，即二面角1C AB D --的平面角的正切值为3.………………………15分解法二：(Ⅰ)因为5AB =，4,3AD BD ==，即222AD BD AB +=； 所以，BD AD ⊥，BD BC ⊥，1BD BC ⊥； 所以，BD ⊥平面1BCC .………………………2分 以B 为原点，直线,BC BD 分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系.………………………3分 则(4,0,0),(0,3,0),(4,3,0)C D A -，设1(0,)CBC θπ∠=∈，则1(4cos ,0,4sin )C θθ，所以，中点33(2,,0),(2cos ,,2sin )22E F θθ-，所以，(2cos 2,0,2sin )EF θθ=+u u u r ，(0,3,0)BD =u u u r，所以，0EF BD ⋅=u u u r u u u r，即BD EF ⊥.………………………6分(Ⅱ)因为异面直线1,EF BC 所成的角为30o，所以，11||||||cos 6EF BC EF BC π⋅=⋅⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r，即88cos θ+=1cos 2θ=，3πθ=.即1C .…………8分 设平面1C AB 的一个法向量(,,)m x y z =r，则100m AB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r，即43020x y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取4y =，则3,x z ==，即(3,4,m =r . ………………………11分又平面ABD 的一个法向量(0,0,1)n =r，………………………12分所以cos ,||||m n m n m n ⋅===r rr r r r，tan ,3m n =-r r ， 因为二面角1C AB D --为锐二面角，所以二面角1C AB D --的平面角的正切值为|tan ,|3m n =r r .………………………15分18.(Ⅰ)由题意，知右顶点(,0)A a ，设5(,)4P a m ，右焦点(,0)F c ，则2a c =，由()2PF PA AF +⋅=u u u r u u u r u u u r，得(23)()4c a c a --=，………………………2分EA解得2,1a c ==，所以2223b a c =-=………………………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ………………………5分(注：取P 为特殊点求值，只能得4分)(Ⅱ)设切点0000(,),0Q x y x y ≠，切线方程为00()y y k x x -=-，与椭圆方程联立，得2220000(34)8()4()120k x k y kx x y kx ++-+--=有相等实根，所以，2220000[8()]4(34)[4()12]0k y kx k y kx ∆=--+--=，解得，034x k y =-， 又22003412x y +=，所以，切线方程为0034120x x y y +-=.………………………8分(注：用隐函数求导得切线方程同样得分)则切线与y 轴的交点03(0,)T y ，且原点O到切线的距离d =所以sin ||dOTQ OT ∠==.………………………11分若x 轴上存在定点(,0)M m 使sin 2|cos |OTQ TQM ∠=∠，由220000000033(,)(,),(,)4y x QT x x QM m x y y y -=-=-=--u u u r u u u ur 得，|||cos |||||QT QM TQM QT QM ⋅∠==⋅u u u r u u u u u ru u u r u u u u r 13分=对任意的0||(0,2)x ∈恒成立，化简，得21m =，1m =±.所以，x 轴上存在定点(1,0)M ±即椭圆C 的两焦点使sin 2|cos |OTQ TQM ∠=∠.………………………15分19.(Ⅰ)因为2233312(1)4n n n a a a ++++=L ，当1n =时，311a =，即11a =. ………………………2分当2n ≥时，22333121(1)4n n n a a a --+++=L ，作差，得222233(1)(1)44n n n n n a n +-=-=， n a n =，………………………4分且11a =也满足此式；………………………5分(不检验，此步不得分) 所以，{}n a 的通项公式为n a n =.………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得22n n a nn a nna =--，因为12(1)2(21)2210n n n n n n n +-+=-+->-≥->， 所以，02nna na a >-，………………………8分又122(2)02(2)2n n n a n n n a n n n n n a ---=≤--，即122n n a n n a n a -≤-.………………………11分所以，123312112131112312322222222n n a a a a n na a a a n a a a a ----++++≤++++----L L ， 记11213111232222n nS ----=++++L ， 由错位相减法，得211111122222n n n n S --=++++-L ，即22242n n S +⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.………………………14分所以12331212342222n n a a a a na a a a a a a a ++++<----L .………………………15分20.(Ⅰ)因为11x -≤≤，则123x ≤+≤，由已知，有对任意的11x -≤≤，()0f x ≥恒成立，任意的13x ≤≤，()0f x ≤恒成立，故()10f ≥且(1)0f ≤，所以，(1)0f =，即1为函数()y f x =的一个零点.………………………2分因此可设()(1)()f x x x c =--.所以，任意的13x ≤≤，()0f x ≤恒成立，则[1,3][1,]c ⊆，………………………5分-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达 即c 的取值范围为3c ≥………………………7分 (Ⅱ)函数2()f x x bx c =++对12,[1,1]x x ∀∈-，有4|)()(|21≤-x f x f 恒成立，即max min ()()4f x f x -≤，………………………8分记max min ()()f x f x M -=，则4M ≤. 当||12b ->即||2b >时，|(1)(1)||2|4M f f b =--=>，与4M ≤矛盾； ………………………10分 当||12b -≤即22b -≤≤时,max{(1),(1)}()2b M f f f =--- 2(1)(1)|(1)(1)|()(1)4222b f f f f b f +-+--=--=+≤，即22b -≤≤. ………………………13分 综上，c 的取值范围为22b -≤≤. ………………………14分。