2020-2021学年福建省高三适应性考试数学(理)试卷及答案解析
2021年1月福建省新高考适应性考试物理试题及答案
2021年1月福建省普通高等学校招生适应性测试物理试题一、单项选择题:本题共4小题，每小题4分，共16分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一手摇交流发电机线圈在匀强磁场中匀速转动。
转轴位于线圈平面内并与磁场方向垂直产生的交变电流i 随时间t变化关系如图所示，则A.该交变电流频率是0.4HzB.该交变电流有效值是0.8AC.t=0.1s时，穿过线圈平面的磁通量最小D.该交变电流瞬时值表达式是sin5πt2.在图示的双缝涉实验中，光源S到缝S1、S2距离相等，P0为S1S2连线中垂线与光屏的交点。
用波长为400 nm的光实验时，光屏中央P0处呈现中央亮条纹（记为第0条亮条纹），P处呈现第3条亮条纹。
当改用波长为600nm的光实验时，P处将呈现A.第2条亮条纹B.第3条亮条纹C.第2条暗条纹D.第3条暗条纹3.人造地球卫星的轨道可近似为圆轨道。
下列说法正确的是A.周期是24小时的卫星都是地球同步卫星B.地球同步卫星的角速度大小比地球自转的角速度小C.近地卫星的向心加速度大小比地球两极处的重力加速度大D.近地卫星运行的速率比地球表面赤道上的物体随地球自转的速率大4.已知某种核电池的电能由23894Pu 衰变释放的能量提供，该衰变方程形式上可表示为23894Pu →42Z A X He +。
某次由静止23894Pu 衰变释放的能量为E ，射出的α粒子动能是E α，假定23894Pu 衰变释放的能量全部转化为新核和α粒子的动能。
则A.A=234，Z=92，119118E E α=B.A=234，Z=92，119117E E α=C.A=236，Z=94，119118E E α=D.A=236，Z=94，119117E E α=二、多项选择题:本题共4小题，每小题6分，共24分每小题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
5.如图，同一竖直平面内A 、B 、C 、D 四点距O 点的距离均为r ，0为水平连线AB 的中点，C 、D 为AB 连线中垂线上的两点。
2021年福建省普通高中学业水平合格性考试(会考 )适应性练习语文试卷五
2021年福建省普通高中学业水平合格性考试适应性练习语文试卷(五)(考试时间:90分钟满分:100分)考生注意:1.答题前，考生务必将自己的考生号、姓名写在试题卷、答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试卷和答题卡一并收回。
一、现代文阅读(27分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，6分)阅读下面的文字，完成1～3题。
无论是花样百出的AI测温，还是5G“赋能”的无人车，互联网技术在抗疫中所能做到的，是利用其先天优势，在“链条关系”上做文章一一但也仅限于此，它们只能在“切断新冠肺炎传播途径”上敲敲边鼓。
而随着更多的企业开始复工，病毒潜伏期延长，这些所谓的“高端技术”也显得日渐无趣且无用。
在根除传染病上，目前我们无法指望互联网公司拿出什么硬核技术，它们现有的技术甚至很难直接参与到疾病的治疗环节。
即便是云计算，能起到的作用也止步于新冠病毒测序和预测突变。
在寻找、研制针对新冠病毒的特效药和广谱疫苗方面，互联网公司的作用仍然十分有限。
术业有专攻，不能强求互联网公司具备生物医药公司那种实力。
相比之下，不在正面战场刷存在感，而在大后方开辟新战场，以实力维持人们正常生活的互联网公司，更值得尊敬。
比起2003年的“非典”时期，如今的互联网公司已经有了当时无法企及的完备供应链和物流实时的信息传播平台，全套的网上服务和在线办公、在线教育系统。
京东依靠在武汉的亚洲一号智能园区，成了武汉市民来购生活用品的渠道之一；钉钉被学生狂刷了一拔差评，也成了特殊时期的空中课堂；武汉市民出行不便，有滴滴的支援车队保障紧急需求……这些“即使无法复工、复学也能运行的技术”，正是“非典”时期的互联网公司不具备的优势。
福建省2023届高三高考模拟(高三毕业班适应性练习卷)省质检数学试题(含解析)
福建省2023届高三高考模拟（高三毕业班适应性练习卷）省质检数学试题一、单选题1．（2023·福建·统考模拟预测）已知集合{}lg A x y x ==，{}2B y y x ==，则（ ）A ．RA B ⋃＝B ．R A B ⊆ðC ．A B B I ＝D ．A B⊆2．（2023·福建·统考模拟预测）已知z 是方程x 2-2x +2=0的一个根，则|z |=（ ）A．1B C D ．23．（2023·福建·统考模拟预测）函数()2ln 2x x f x x-+＝的图象大数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2023·福建·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n 足够大时，可以得到π与n 的关系为（ ）A ．360πsin 2n n︒≈B ．180πsinn n︒≈C ．π≈D ．π≈5．（2023·福建·统考模拟预测）已知双曲线C ：22221x y a b -（a >0，b >0）的离心率为12F F ，，1F 关于C 的一条渐近线的对称点为P .若12=PF ，则12PF F △的面积为（ ）A ．2B C ．3D ．46．（2023·福建·统考模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A ，B ，C 等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B ，C 两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）A ．72B ．84C ．88D ．1007．（2023·福建·统考模拟预测）已知ln 2a =，1e b a=-，2a c a =-，则（ ）A ．b c a>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．c b a>>8．（2023·福建·统考模拟预测）已知()2,X N μσ:，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取N 个，这N 个零件中恰有K 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55.若45K =，试以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为（ ）A ．45B ．53C ．54D ．90二、多选题9．（2023·福建·统考模拟预测）已知向量()1,2a =r ，()4,2b =-r ，则（ ）A ．()()a b a b-⊥+r r r r B ．a b a b-=+r r r r C ．b a -r r 在a r 上的投影向量是a -r D ．a r在a b +r r 上的投影向量是()3,4-10．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数f (x)=sin x x ωω(ω>0)满足:f (π6)=2,f (2π3)=0,则( )A ．曲线y =f (x )关于直线7π6x ＝对称B ．函数y =f (π3x -)是奇函数C ．函数y =f (x )在(π6,7π6)单调递减D ．函数y =f (x )的值域为[-2,2]11．（2023·福建·统考模拟预测）已知抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，PQ 垂直l 于点Q ，直线QF 与C 相交于M ､N 两点.若M 为QF 的三等分点，则（ ）A ．cos ∠12PQM ＝B ．sin∠QPM C ．NF QF=D．PN 12．（2023·福建·统考模拟预测）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为侧面11AA D D 上的点，N 为侧面11CC D D 上的点，则下列判断正确的是（ ）A．若BM M 到直线1A DB ．若11B N AC ⊥，则1N CD ∈，且直线1B N //平面1A BD C ．若1M A D ∈，则1B M 与平面1A BDD ．若1M A D ∈，1N CD ∈，则M ，N三、填空题13．（2023·福建·统考模拟预测）写出过点()2,0且被圆224240x x y y -+-+=截得的弦的一条直线的方程___________.14．（2023·福建·统考模拟预测）已知{an }是单调递增的等比数列，a 4+a 5=24，a 3a 6=128，则公比q 的值是___________.15．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.四、解答题16．（2023·福建·统考模拟预测）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，D 为ABC V 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，求四边形ABCD 面积的最大值.17．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足：11a =，28a =，212122log n n n a a a -++=，2122216n a n n a a ++=.(1)证明：{}21n a -是等差数列：(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，2023n S >，求n 的最小值.18．（2023·福建·统考模拟预测）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A 地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.x y t1021ii x=∑101i ii x y=∑1021ii t=∑101i ii t y=∑2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中()ln 2012i i t x =-，101110ii t t ==∑(1)根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率.(2)已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i u u v v u v nu vu u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.19．（2023·福建·统考模拟预测）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2ABPC ==，PA PB ==M 是棱PD 上的点，且四面体MPBC 的体(1)证明：PM MD =；(2)若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交PA 于点Q ，求平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值.20．（2023·福建·统考模拟预测）已知圆221()116A x y ++=：，直线1l 过点20(1)A ，且与圆1A 交于点B ，C ，BC 中点为D ，过2A C 中点E 且平行于1A D 的直线交1AC 于点P ，记P 的轨迹为Γ(1)求Γ的方程；(2)坐标原点O 关于1A ，2A 的对称点分别为1B ，2B ，点1A ，2A 关于直线y x =的对称点分别为1C ，2C ，过1A 的直线2l 与Γ交于点M ，N ，直线1B M ，2B N 相交于点Q .请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.①QBC △的面积是定值；②12BB B V 的面积是定值：③12QC C △的面积是定值.21．（2023·福建·统考模拟预测）已知函()()e xf x x a =+，R a ∈.(1)讨论()f x 在()0,∞+的单调性；(2)是否存在01,,a x x ，且10x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线？证明你的结论.五、双空题22．（2023·福建·统考模拟预测）如图，一张4A 纸的长AD ＝，宽2AB a =，.M ，N 分别是AD ，BC 的中点.现将ABD △沿BD 折起，得到以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥，则三棱锥A BCD -的外接球O 的半径为___________；在翻折的过程中，直线MN 被球O 截得的线段长的取值范围是___________.参考答案：1．D【分析】利用函数的定义域及值域求出两个集合，再根据集合的交集、并集、补集运算即可.【详解】因为{}{}lg 0A x y x x x ===>，{}{}20B y y x y y ===≥，所以A B ⊆，所以A B B ⋃＝，A B A ⋂＝，又{}0A x x =>，所以{}R 0A x x =≤ð，不满足R A B ⊆ð，故选项A 、B 、C 错误，选项D 正确，故选：D.2．B【分析】根据实系数一元二次方程的性质，结合共轭复数、复数模的性质进行求解即可.【详解】因为方程x 2-2x +2=0是实系数方程，且()224240∆=--⨯=-<，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即1,222i 1i 2z ±==±，即1i 1i z z =±⇒==m 故选：B 3．C【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数()f x 为奇函数.然后得到0x >时，()ln 2x f x x x x =-++，根据导函数求得()f x 的单调性，并且可得极大值点011ex <<，即可得出答案.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠.又()()2ln 2x x f x x---+--＝()2ln 2x x f x x-+==--，所以，函数()f x 为奇函数.当0x >时，()2ln 2ln 2x x x f x x x x x-+=-++＝，则()22221ln 2ln 11x xx x x f x x x x ⋅-++'=-+-=-.设()2ln 1g x x x =++，则()120g x x x'=+>在()0,∞+上恒成立，所以，()g x 在()0,∞+上单调递增.又421e 210e g -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，21e 110e g -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以，根据零点存在定理可得，0211,e e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，有()00g x =，且当00x x <<时，有()0g x <，显然()22ln 10x x f x x ++'=->，所以()f x 在()00,x 上单调递增；当0x x >时，有()0g x >，显然()22ln 10x x f x x ++'=-<，所以()f x 在()00,x 上单调递减.因为011ex <<，所以C 项满足题意.故选：C.4．A【分析】设圆的半径为r ，由题意可得221360πsin 2r n r n︒≈⋅⋅⋅，化简即可得出答案.【详解】设圆的半径为r ，将内解正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面即可得：221360πsin 2r n r n︒≈⋅⋅⋅，解得：360πsin 2n n︒≈.故选：A.5．D【分析】设2PF 与渐近线交于M ，由对称性知1//OM PF 且112OM PF ＝，在直角2OMF △中可求得,a b ，再由1224PF F OMF S S =V V 求得12PF F △的面积.【详解】设2PF 与渐近线b y x a =交于M ，则2F M OM ⊥，2tan bMOF a ∠=，2sin b MOF c∠=，所以222sin F M OF MOF b =⋅∠=，OM a ==，由,O M 分别是12F F 与2PF 的中点，知1//OM PF 且1112OM PF ＝＝，即1a =，由e =得2c b ==，所以1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=V V ，故选：D 6．D【分析】由题意可知，若甲去B 点，则剩余4人，可只去,A C 两个点，也可分为3组去,,A B C 3个点.分别求出安排种法，相加即可得出甲去B 点的安排方法.同理，即可得出甲去C 点的安排方法，即可得出答案.【详解】若甲去B 点，则剩余4人，可只去,A C 两个点，也可分为3组去,,A B C 3个点.当剩余4人只去,A C 两个点时，人员分配为1,3或2,2，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=；当剩余4人分为3组去,,A B C 3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有2343C A 36⋅=，综上可得，甲去B 点，不同的安排方法数是143650+=.同理，甲去C 点，不同的安排方法数也是50，所以，不同的安排方法数是5050100+=.故选：D.7．A【分析】构造()22xf x x =-，根据导函数可得()f x 在()0,1上单调递减，进而可得出c a >.构造()12e xh x x x =--+，根据导函数可得()h x 在()0,1上单调递减，进而由102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得出()ln 20h <，整理即可得出c b <，即可得出答案.【详解】令()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，令()2ln 22xg x =-，则()2ln 220x g x '=⋅>恒成立，所以()g x ，即()f x '在R 上单调递增.又()12ln 22220f '=-<-=，所以，当()0,1x ∈时，()()10f x f ''<<恒成立，所以，()f x 在()0,1上单调递减.又()112210f =-⨯=，0ln 21<<，所以()()ln 210f f >=，即，ln 222ln 20->，即220a a ->，即2a a a ->，所以c a >.令()12e xh x x x =--+，则()212ln 21xh x x'=--，令()212ln 21xk x x =--，则()232ln 220xk x x '=⋅+>在()0,∞+恒成立.所以，()k x ，即()h x '在R 上单调递增.又()()12ln 2112ln 210h '=--=-<，所以，当01x <<时，有()()10h x h ''<<成立，所以，()h x 在()0,1上单调递减.又121132e 2e 0222h ⎛⎫=--+=< ⎪⎝⎭，因为42ln 21ln 0e-=>，所以，1ln 212<<，所以，()1ln 202h h ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，又()ln 211ln 22ln 2e 2e ln 2a h a a=--+=--+，所以，12e 0aa a--+<，所以，12e aa a-<-，即c b <.综上可得，b c a >>.故选：A.8．B【分析】由已知可推得，()5.35 5.55P ξ<<()3P X μσμσ=-<<+，根据已知以及正态分布的对称性，可求得()5.35 5.55P ξ<<0.84≈.则(),0.84K B N :，()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅，设()454545C 0.840.16x x f x -=⋅⋅，求出函数的最大整数值，即可得出答案.【详解】由已知可得，()()5.35 5.55 5.400.05 5.4030.05P P ξξ<<=-<<+⨯()3P X μσμσ=-<<+.又()()()3332P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+-<<+=0.68270.99730.842+≈=，所以，(),0.84K B N :，()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅.设()454545C 0.840.16x x f x -=⋅⋅，则()()45454414545451C 0.840.16C 0.840.16x x x x f x f x -+-+⋅⋅=⋅⋅()()()1!44!45!10.160.161!4445!45!x x x x x x +-+=⋅=⋅>--，所以，110452.521x <=，所以()()5352f f >.()()4545454545461C 0.840.161C 0.840.16x x x x f x f x ---⋅⋅=-⋅⋅()()()!45!45!0.160.1611!4546!45!x x x x x x -=⋅=⋅<---，所以，37545377x >=+，所以()()5354f f >.所以，以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为53.故选：B.【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得(),0.84K B N :，得出()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅，利用函数求出N 的最大值.9．BC【分析】根据向量的坐标运算求出()5,0a b -=r r，()3,4a b +=-r r ，即可求出数量积以及模，判断A 、B 项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C 、D 项.【详解】由已知可得，()5,0a b -=r r，()3,4a b +=-r r .对于A 项，因为()()()5304150a b a b -⋅+=⨯-+⨯=-≠r r r r ，故A 项错误；对于B 项，因为5a b -=r r ，5a +=r ，所以a b a b -=+r r r r，故B 项正确；对于C 项，因为()5,0b a -=-r r ，()51025b a a -⋅=-⨯+⨯=-r rr=，所以b a -r r 在a r上的投影向量是()b a a a a a a-⋅⋅==-r r r r r r r ，故C 项正确；对于D 项，()()13245a a b ⋅+=⨯-+⨯=r r r，5a b +=r r ，所以a r 在a b +r r 上的投影向量是()()51343,4,5555a a b a b a b a b ⋅++⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭++r r r r rr r r r ，故D 项错误.故选：BC.10．ABD【分析】用辅助角公式化简()f x ,再利用22,063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出ω的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以函数()y f x =的值域为[2,2]-,故D 正确；因为203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以112,33k k Z ππωπ+=∈,所以1131,2k k Z ω-=∈，因为26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以222,632k k Z πππωπ+=+∈,所以22121,k k Z ω=+∈，所以12311212k k -=+,即1281k k =+，所以{1,13,25,37}ω∈L ，因为()227732sin 1212sin 1426632f k k πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以曲线()y f x =关于直线76x π=对称,故A 正确；因为()22sin 121333f x k x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2222sin 12142sin 121k x k k x π=+-=+即33f x fx ππ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数,故B 正确；取13ω=,则最小正周期2271366T πππππω==<-=,故C 错误.故选：ABD 11．ACD【分析】过点M 作MH l ⊥于点H ，设准线为l 与x 交于点K ，由抛物线的定义可得1cos 2HM QMH QM ==∠，可判断A ；求出,PM QM 的长，由正弦定理可判断B ；求出,NF QF 可判断C ；求出,PN PQ 可判断D.【详解】如下图，过点M 作MH l ⊥于点H ，设准线l 与x 交于点K ，由抛物线的定义知：MF HM =，因为M 为QF 的三等分点，所以1cos 2HM QMH QM ==∠，所以60QMH QFK ∠=∠=︒，所以60PQM ∠︒＝，所以cos ∠12PQM ＝，故A 正确；对于B ，在QPF △中，由抛物线的定义知：PF PQ =，60PQM ∠︒＝，所以QPF △为等边三角形，又因为1cos 2FM FK FM QFK p FM =-∠=-，解得：23FM p =，同理可得：2FN p =，所以43QM p =，因为QPF △为等边三角形，所以2FQ PQ PF p ===M 为QF 的三等分点，所以PMQ V 中，由余弦定理可得：2222cos 60PM PQ QM PQ QM =+-⋅︒，则2221641422932PM p p p p =+-⨯⋅⋅，则PM p ，所以在PMQ V 中，由正弦定理可得：sin sin QM PMQPM PQM=∠∠，代入可得43sin p QPM =∠sin∠QPM B 不正确；对于C ，2QF QM MF p =+=，2FN p =，所以QF NF =，故C 正确；对于D ，因为60,60,120QFK QFP PFN ∠=︒∠=︒∴∠=︒，所以PFN V 中，2FN PF p ==，由余弦定理可得：222222212cos1204424122PN PF FN PF FN p p p p ⎛⎫=++⋅︒=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则PN =，所以PN ，故D 正确.故选：ACD.12．BD【分析】由已知可推得M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上.作图，即可根据圆的性质得出最小值，判断A 项；先证明1AC ⊥平面1A BD ，结合11B N AC ⊥，即可得出1B N //平面1A BD ；建立空间直角坐标系，求出平面1A BD 的法向量，表示出11cos ,n B Mu r u u u u r=C 项；MN 为直线1DA 与1CD 的公垂线段时，MN 最小.设()2222,,n x y z =，且21n DA ⊥u u r u u u r ，21n CD ⊥u u r u u u r，求出2n u u r ，即可根据投影向量，求出最小值.【详解】对于A 项，因为BM M 在以B 为半径的球上.又M 为侧面11AA D D 上的点，所以M 在球被平面11AA D D 截得的交线上.因为，AB ⊥平面11AA D D ，1AB =，BM ，所以12AM ==，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上.如图1，11AM A D ⊥，则1AM =，M 到直线1A D 12-，故A 项错误；对于B 项，如图2，连结1,AC AD .因为1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥.又BD AC ⊥，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ，1AC CC C =I ，所以，BD ⊥平面1ACC .又1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥.同理可得，11A D AC ⊥.又BD ⊂平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，1A D BD D ⋂=，所以，1AC ⊥平面1A BD .又11B N AC ⊥，1B ∉平面1A BD ，所以直线1B N //平面1A BD ，故B 项正确；对于C 项，以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r为,,x y z 轴的正方向，如图3建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()11,0,1DA =u u u u r，()1,1,0DB =u u u r，()11,1,1DB =u u u u r .因为1M A D ∈，设()1,0,DM DA λλλ==u u u u r u u u r，()01λ≤≤，()111,1,1B M DM DB λλ=-=---u u u u r u u u u r u u u r .设()1111,,n x y z =u r是平面1A BD 的一个法向量，则11100n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，即111100x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =，则111y z ==-，()11,1,1n =--u r是平面1A BD 的一个法向量.则111111cos ,n B M n B M n B M ⋅=u r u u u u ru r u u u u r u r u u u u r==又()222432111λλλ-+=-+≥，当1λ=时，有最小值1，≤=，即11cos ,n B M ≤u r u u uu r 所以，1B M 与平面1A BD C 项错误；对于D 项，由C 项知，()11,0,1DA =u u u u r ，()10,1,1CD =-u u u u r.当1MN DA ⊥，1MN CD ⊥，即MN 为直线1DA 与1CD 的公垂线段时，MN 最小.设()2222,,n x y z =u u r ，且21n DA ⊥u u r u u u r ，21n CD ⊥u u r u u u r ，则212100n DA n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ，即222200x z y z +=⎧⎨-+=⎩，取21x =，则()21,1,1n =--u u r.DC u u u r 在2n u u r=所以，M ，N两点之间距离的最小值为d =D 项正确.故选：BD.13．2y x =-（只需填其中的一个即可）【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离d =先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离1d =，得出方程，即可解出k 的值.【详解】圆的方程可化为()()22211x y -+-=，圆心为()2,1，半径1r =，d ==.当直线斜率不存在时，直线方程为2x =，此时圆心在直线上，弦长为22r =，不满足题意，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为k ，则直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=，此时圆心到直线的距离1d ==，解得1k =±.所以，直线的方程为2y x =-或2y x =-+.故答案为：2y x =-.14．2【分析】利用等比数列性质得到3645a a a a =，再解方程组即可.【详解】由等比数列性质知3645a a a a =，联立454524128a a a a +=⎧⎨=⎩,解得45816a a =⎧⎨=⎩或45168a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是单调递增的等比数列,所以45816a a =⎧⎨=⎩，即542a q a ==.故答案为：2.15．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】分0x =，0x <以及0x >，分别讨论，构造函数，结合0x =处的函数值，推导得出函数的单调性，进而得出导函数的符号，即可推得答案.【详解】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22e x g x a -'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x h x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e 10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：当0x >时，()()1ln 12x ax k x +=-，根据()00k =，可推得要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，进而推得a 的取值范围.16．(1)π6；1.【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出tan C =的范围得出答案；（2）解法一：由已知可推出BC CD ⊥，然后根据正弦定理可求出22R =，进而求出2BD =，AD =.设BC x =，CD y =，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出BC CD ⊥，然后同解法一求得AD =.设CBD θ∠=，表示出四边形的面积，根据θ的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得AD =，设点C 到BD 的距离为h ，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD 是O e 的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.【详解】（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC V 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin cos 122A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎭，即sin cos 0n sin A C C A =，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =又因为()0,πC ∈，所以π6C =.（2）解法一：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，所以()0BA BD BA ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0BA AD ⋅=u u u r u u u r，所以DA BA ⊥，故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△111222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅221122x y +≤+⋅=，当且仅当x y ==.所以四边形ABCD1.解法二：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD u u u r 在BA u u u r上的投影向量为BA λu u u r ，所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .又22BA BD BA BA ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1λ=，所以BD u u u r 在BA u u u r 上的投影向量为BA u u u r ，所以DA BA ⊥.故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =，在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos CB θ=，2sin CD θ=，所以ABD CBD S S S =+△△1122B AD CD AB C =⋅⋅+sin 2θ=，当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法三：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，所以()0BA BD BA ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0BA AD ⋅=u u u r u u u r ，所以DA BA ⊥.故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法四：设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC V 外接圆O e 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC V 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则12A ⎛ ⎝，()10B ,. 因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以12BA ⎛=- ⎝u u u r ，()cos 1,sin BD ββ=-u u u r ，代入2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，即1BA BD ⋅=u u u r u u u r，可得11cos 122ββ-+=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O e 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD CBD S S S BD BD α=+=+⋅△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD1.17．(1)证明见解析；(2)最小值为10.【分析】（1）解法一：（指数运算）由已知可推得212122n n a an a -++=，2123222n n a a n a ++++=，相乘结合已知，即可得出2123212n n n a a a -+++=，进而证明；解法二：（对数运算）由已知可得2222221log log 4n n n a a a +++=，结合已知即可得出2123212n n n a a a -+++=，进而证明；（2）解法一：先根据（1）推出21n a n -=，然后结合已知条件得到2122n n a +=，然后计算得到910,S S ，即可得出答案；解法二：同解法一，先求出21n a n -=，2122n n a +=，然后分组求和得出()()2841123kk k k S -+=+，进而得出()21124823k k k k S -+⨯-=+，求解即可得出答案；解法三：同解法一，先求出21n a n -=，2122n n a +=，然后分组求和得出()21124823k k k k S -+⨯-=+，求解即可得出答案.【详解】（1）解法一：由212122log n n n a a a -++=，得212122n n a an a -++=，则2123222n n a a n a ++++=，从而212121232121232222222n n n n n n n a a a a a a an n a a -+++-+++++++=⋅=.又21214222162n n a an n a a -++==，所以2121232124n n n n a a a a -+++++=，即2123212n n n a a a -+++=，所以{}21n a -是等差数列.解法二：由20n a >，且2122216n an n a a ++=，则()2122222log log 16n a n n a a ++=，得2222221log log 4n n n a a a +++=，因为212122log n n n a a a -++=，2123222log n n n a a a ++++=，所以()()21212123214n n n n n a a a a a -+++++++=，即2123212n n n a a a -+++=，所以{}21n a -是等差数列.（2）解法一：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又()21211212222n n n n a a n n a -+++++===.所以，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()()135792468a a a a a a a a a =++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.解法二：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又212122log n n n a a a -++=，所以()21211212222n n n n a a n n a -+++++===.当*k ∈N 时，21232k kS a a a a =++++L ()()135212462k k a a a a a a a a -=+++++++++L L ()()357211232222k k +=+++++++++L L ()()841123kk k -+=+，()()()2121228411124822323kk k k k k k k k k S S a +--++⨯-=-=+-=+，所以5925156248695202323S S ⨯-⨯⨯-==+=<，()51025841562743202323S S ⨯-⨯==+=>，又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.解法三：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又()21211212222n n n n a a n n a --++++===.当*k ∈N 时，2112321k k S a a a a --=++++L ()()1352124622k k a a a a a a a a --=+++++++++L L ()()357211232222k k -=+++++++++L L ()()()118411114821423k k k k k k ---++⎛⎫-=+=+ ⎪-⎝⎭，所以()4925184156695202323S S ⨯--⨯==+=<，25110910695227432023S S a ⨯+=+=+=>.又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.18．(1)()ln 2012y c x d =-+适宜，预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率84%(2)（i ）0.778；（ii ）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.【详解】（1）由散点图判断()ln 2012y c x d =-+适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型.令()ln 2012t x =-，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102212101226.810 1.580.4ˆ427.710 1.510i iii i t y t yctt =--=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ804415744...dy ct =-=-⨯=，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为ˆ4744.yt =+，因此y 关于年份数x 的回归方程为()ˆ4ln 201274.4yx =-+所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为()ˆ4ln 202320127444ln11744424074484....y=-+=+≈⨯+=.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%.（2）设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”，则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =.（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112232P C P A P C A P A P C A P A P C A =++0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778.（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.19．(1)证明见解析；【分析】（1）解法一：取AB 中点O ，连接PO ，CO .推导得到PO ⊥平面ABCD ，//AD 平面PBC ，根据体积即可得出答案；解法二：先证明CO ⊥平面PAB . 过M 作//MN AD 交AP 于点N ，证明得到//MN 平面PBC ，根据体积即可得出答案；（2）解法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合平面向量基本定理，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法二：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法三：通过作图，作出二面角的平面角，构造直角三角形，即可得出答案.【详解】（1）解法一：如图1，取AB 中点O ，连接PO ，CO .因为PA PB ==2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =.又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥.又因为AB ⊂平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，AB CO O =I ，所以PO ⊥平面ABCD .因为//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，所以111433D PBC A PBC P ABC ABC V S V V PO ---⋅====⨯=△因为12M PBC D PBC V V --==，所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =.解法二：如图2，取AB 中点O ，连接PO ，CO ，因为PA PB ==2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =，又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥.因为AB ⊂平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，AB PO O =I ，所以CO ⊥平面PAB .所以，111332A PBC C ABP ABP S V V CO --====⋅△过M 作//MN AD 交AP 于点N ，//AD BC ，所以//MN BC .又BC ⊂平面PBC ，MN ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC ，所以13M PBC N PBC C NB BP P N V V V CO S ---=⋅===△因为13A ABP P C B V CO S -⋅=△，13N NBP P C B V CO S -⋅=△，所以ABP NBP S S =△△，所以N 是PA 的中点，所以M 是PD 的中点，所以PM MD =.（2）解法一：由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥.如图3，以O 为坐标原点，OC u u u r ，OB u u u r ，OP u u ur 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，)C，)2,0D-，()0,0,1P，所以11,2M ⎫-⎪⎪⎭，)AC =u u u r，)1,0BC =-u u u r，)3,0BD =-u u u r，()0,1,1AP =u u u r，11,2CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==u u u r u u u r，则()1,CQ AQ AC λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，因为//BD α，Q α∈，C α∈，M α∈，故存在实数a ，b ，使得CQ aCM bBD =+u u u r u u u u r u u u r，所以312a b a λλ⎧=⎪⎪⎪--=-⎨⎪⎪=⎪⎩，解得431323a b λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以12,33CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r .设平面BCQ 的法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100n CQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即20330y z y ⎧-+=⎪-=，取1x =，得到平面BCQ的一个法向量(1n =u r.设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1n =u u r是平面ABCD 的一个法向量，则121212cos cos ,n n n n n n β⋅===u r u u r u r u u r u r u u r .所以平面BCQ 与平面ABCD.解法二：由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图3，以O 为坐标原点，OC u u u r ，OB u u u r ，OP u u ur 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，)C，)2,0D-，()0,0,1P，所以11,2M ⎫-⎪⎪⎭，)AC =u u u r，)1,0BC =-u u u r，)3,0BD =-u u u r，()0,1,1AP =u u u r，11,2CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r .设平面α的法向量为(),,n x y z =r ，则00n BD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r，即30102y y z -=⎨-+=⎪⎩.取1y =，得到平面α的一个法向量)=rn .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==u u u r u u u r，则()1,CQ AQ AC λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，因为3150n CQ λλ⋅=-+-+=r u u u r ，所以23λ=，所以12,33CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 设平面BCQ 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，则1100n CQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即1111120330y z y ⎧-+=⎪-=.取11x =，得到平面BCQ的一个法向量(1n =u r.设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1n =u u r是平面ABCD 的一个法向量，则121212cos cos ,n n n n n n β⋅===u r u u r u r u u r ur u u r .所以平面BCQ 与平面ABCD.解法三：在平面ABCD 内，过C 作//EF BD 交AD 延长线于点E ，交AB 延长线于点F ，因为ABCD 是菱形，所以AD DE =.如图4，在平面PAD 内，作1//PP AE 交EM 的延长线于点1P ，设1EP 交AP 于点Q .所以，四边形1EDPP 是平行四边形，1PP DE =，1//PPDE .所以1QPP QAE △∽△，所以112PP PQ AQ AE ==，所以点Q 是线段PA 上靠近P 的三等分点.如图5，在平面PAB 内，作//QT PO ，交AB 于T ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥平面ABCD ，所以QT BC ⊥，因为1PO =，2233QT PO ==，在平面ABCD 内，作TN BC ⊥，交BC 于点N ，连接QN ，过A 作//AK TN 交BC 于K ，在ABK V 中，2AB =，60ABK ∠=︒，所以AK AB ==所以23TN AK ==，因为QT BC ⊥，TN BC ⊥，QT T TN =I ，且两直线在平面内，所以BC ⊥平面QTN ，因为QN ⊂平面QTN ，所以BC QN ⊥.所以QNT ∠是二面角A BC Q --的平面角.在Rt QTN V 中，tan QNT QT NT ==∠cos QNT =∠所以平面BCQ 与平面ABCD .20．(1)()22:1243x y x Γ+=≠±(2)结论③正确，证明见解析【分析】（1）由几何性质知P 到1A ，2A 两点的距离之和为定值可得P 的轨迹为椭圆；（2）解法一、二：设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程并联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.解法三：当直线2l 垂直于x 轴时求得Q 横坐标为4，当直线2l 不垂直于x 轴时，设直线():1l y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程并联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.解法四：设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程，利用()22,N x y 在椭圆上得22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，将直线2B N 的方程化为()222324x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，与直线1B M 联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.【详解】（1）由题意得，()11,0A -，()21,0A .因为D 为BC 中点，所以1A D BC ⊥，即12A D C A ⊥，又1//PE A D ，所以2PE C A ⊥，又E 为2A C 的中点，所以2PA PC =，所以1211124PA PA PA PC AC A A +=+==>，所以点P 的轨迹Γ是以1A ，2A 为焦点的椭圆（左､右顶点除外）.设()2222:1x y x a a b Γ+=≠±，其中0a b >>，222a c b -=.则24a =，2a =，1c =，b ==故()22:1243x y x Γ+=≠±.（2）解法一：结论③正确.下证：12QC C △的面积是定值.由题意得，()12,0B -，()22,0B ，()10,1C -，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，且12x ≠±，22x ≠±.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以()121223my y y y =-+.直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =--，由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()()21122222y x x x y x ++=--，()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---，解得4x =-.故点Q 在直线4x =-，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422d C C=⨯⨯=⋅.解法二：结论③正确.下证：12QC C △的面积是定值.由题意得，()12,0B -，()22,0B ，()10,1C -，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，且12x ≠±，22x ≠±.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以()121223my y y y =-+.直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =--，由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦，故点Q 在直线4x =-，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422dC C =⨯⨯=⋅.。
2023届福建省质检数学试卷答案
福建省2023届高中毕业班适应性练习卷数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分40分。
1．D 2．B3．C4．A5．D6．D7．A8．B二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分20分。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．BC 10．ABD 11．ACD 12．BD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分20分。
13．2y x =−，2y x =−+（只需填其中的一个即可）14．2 15．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16，3a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积及平面向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．解法一：（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC △中，由正弦定理得，sin 2sin sin 6B C A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ................................................................................................................. 1分又因为()()sin sin sin B A C A C =π−−=+，所以()sin 2sin sin 6A C C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ............................................................................................... 2分展开得1sin cos cos sin 2sin cos 22A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭， ........................................................ 3分即sin cos sin 0A C C A −=，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =. ........................................................................ 4分 又因为()0,C ∈π，所以6C π=. .......................................................................................................... 5分 （2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=，所以()0BA BD BA ⋅−=，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥. 在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=， .............................................. 8分1131222ABD CBD S S S AB AD BC CD xy =+=⋅+⋅=+△△ ..................................................................... 9分 2231312222x y ++⋅=+， 当且仅当2x y =时，等号成立. 所以四边形ABCD 31. ........................................................................................ 10分 解法二：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分 （2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD 在BA 上的投影向量为BA λ, 所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅=.又22BA BD BA BA ⋅==，所以1λ=， 所以BD 在BA 上的投影向量为BA .所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥. 在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos CB θ=，2sin CD θ=， ......................................................................................................... 8分113sin 222ABD CBD S S S AB AD CB CD θ=+=⋅+⋅=△△. .................................................................. 9分 当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD 31. ................................................ 10分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=，所以()0BA BD BA ⋅−=，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥. 在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ， 则113222ABD CBD S S S AB AD BD h h =+=⋅+⋅=+△△. ........................................................................ 9分 当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+. ............................................. 10分 解法四：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分 （2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ， 在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠， ......................................................................... 6分故ABC △外接圆O 的半径R =1. 即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=. 如图，以ABC △外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴， 建立平面直角坐标系xOy ，则1322A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()1,0B .因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()()0,2π0,2αβ∈∈π，. 所以()13,cos 1,sin 22BA BD ββ⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭，， ................................................................................... 7分 代入2BA BD BA ⋅=，即1BA BD ⋅=，可得113cos 122ββ−+=，....................................... 8分 即1sin 62βπ⎛⎫−= ⎪⎝⎭.由()0,2β∈π可知ππ11π666β⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，，所以解得ππ=66β−或π5π=66β−，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ,D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径. 设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD CBD S S S BD BD αα=+=+⋅=+△△， ....................................................... 9分 由()0,2πα∈知sin 1α，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1−时，S 最大，所以四边形ABCD 1. ........................................................................................ 10分 18．本小题主要考查指数与对数基本运算、递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）由212122log n n n a a a −++=，得212122n n a a n a −++=，............................................................. 2分则2123222n n aa n a ++++=，从而212121232121232222222n n n n n n n a a aa a a a n n a a −+++−+++++++=⋅=， ......................................... 3分又21214222162n n aan n a a +++==， .............................................................................................................. 4分所以21212+32124n n n n a a a a −++++=， ...................................................................................................... 5分 即212+3212n n n a a a −++=，所以{}21n a −是等差数列. ............................................................................ 6分 （2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分 所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=; ....................................................................................................................................... 8分 又()21211212222n n n n aa n n a −+++++===; ....................................................................................................... 9分()()9123456789135792468S a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++=++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 解法二：（1）由20n a >，且2122216n a n n a a ++=，则()2122222log log 16n an n a a ++=，............................................................................................................ 2分得2222221log log 4n n n a a a +++=， .......................................................................................................... 4分 因为212122log n n n a a a −++=，2123222log n n n a a a ++++=，所以()()2121212321=4n n n n n a a a a a −+++++++， ........................................................................................ 5分 即21232+12n n n a a a −++=，所以{}21n a −是等差数列. .............................................................................. 6分 （2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分 所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=； .................................................................................................................................... 8分 又212122log n n n a a a −++=， 所以()21211212222n n n n aa n n a −+++++===； ................................................................................................ 9分当k *∈N 时, 21232k k S a a a a =++++()()135212462k k a a a a a a a a −=+++++++++()()357211232222k k +=+++++++++()()841123k k k −+=+，()()()2121228411124822323k k k k k k k k k k S S a +−−++⨯−=−=+−=+，所以5925156248695202323S S ⨯−⨯⨯−==+=<， ()51025841562743202323S S ⨯−⨯==+=>， 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................... 6分 （2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分 所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=； .................................................................................................................................... 8分 又()21211212222n n n n aa n n a −+++++===； .................................................................................................... 9分当k *∈N 时， 2112321k k S a a a a −−=++++()()1352124622k k a a a a a a a a −−=+++++++++()()357211232222k k −=+++++++++()()()118411114821423k k k k k k −−−++⎛⎫−=+=+ ⎪−⎝⎭， 所以()4925184156695202323S S ⨯−−⨯==+=<，25110910=695227432023S S a ⨯+=++=>. 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 19．本小题主要考查一元线性回归模型、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑推理能力、直观想象能力等，考查统计与概率思想、分类与整合思想等，考查数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养，体现应用性和创新性．满分12分． 解：（1）由散点图判断ln(2012)x y c d −+=适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x的经验回归方程类型. .......................................................................................................................... 1分 令ln(2012)t x =−，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102221101226.810 1.580.4ˆ427.710 1.510i ii ii t yt y ctt==−−⨯⨯===−⨯−∑∑， ........................................................................ 2分 ˆˆ80.44 1.574.4dy ct =−=−⨯=， ....................................................................................................... 3分 该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为7.444ˆyt +=， 因此y 关于年份数x 的回归方程为ln(2012)7ˆ44 4.x y −+=. ........................................................... 4分 所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为ln(20232012)74.44ln1174.4ˆ4 2.4074.4844y−+=+≈⨯+==. 所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%. ................................................ 5分 （2）设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”， ..................................................................................................................... 6分则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =. ......................................................................... 7分（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112233P C P A P C A P A P C A P A P C A =++ ................................................................ 8分0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778. ............................................................................................... 9分 （ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P AC P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===， .............................................................. 11分因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大...................................................................... 12分20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体的体积、平面与平面的夹角等基础知识；考查直观想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．解法一：（1）如图1，取AB 中点O ，连接PO ，CO .因为2PA PB ==，2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =. 又因为ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=，所以CO AB ⊥，3CO =. 因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥. 又因为AB ⊂平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，ABCO O =，所以PO ⊥平面ABCD . ....................................................................................................................... 2分 因为AD BC ∥，BC PBC ⊂平面，AD PBC ⊄平面，所以AD PBC ∥平面，所以1133143343D PBC A PBC P ABC ABC V V V PO S −−−===⋅=⨯⨯⨯=△. ............... 3分因为3162M PBC D PBC V V −−==， ............................................................................................................. 4分 所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =. .................................................................................................................................... 5分（图1） （图2） （2）由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图2，以O 为坐标原点，OC ,OB ,OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，....................................................................................................................................................... 6分则()0,1,0A −，()0,1,0B ，()3,0,0C，)3,2,0D−，()0,0,1P ，所以311,22M ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭．则()3,1,0AC =，()3,1,0BC =−，()3,3,0BD =−，()0,1,1AP =，31,1,22CM ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭． 因为Q AP ∈,设()0,,AQ AP λλλ==，则()3,1,CQ AQ AC λλ=−=−−，因为BD α∥，Q α∈，C α∈，M α∈，故存在实数,a b ，使得CQ aCM bBD =+，............... 7分 所以333,231,,2a b a b a λλ⎧−+=−⎪⎪⎪−−=−⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得4,31,32.3a b λ⎧=⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=⎪⎩所以123,,33CQ ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭....................................................................................................................... 8分设平面BCQ 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0,CQ BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即230,3330y z x x y ⎧−−+=⎪⎨⎪−=⎩．取1x =，得到平面BCQ 的一个法向量()11,3,23=n ． ............................................................ 10分 设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1=n 是平面ABCD 的一个法向量， ......................................................................... 11分 则1212123cos cos ,2β⋅=<>==n n n n n n ． 所以平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值是32． ..................................................................... 12分 解法二：（1）如图3，取AB 中点O ，连接PO ，CO ， 因为2PA PB ==，2AB =， 所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =， 又因为ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=, 所以CO AB ⊥，3CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥. 因为AB ⊂平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，ABPO O =，所以CO ⊥平面PAB . .......................................................................................................................... 2分11133223323A PBC C ABP ABP V V CO S −−==⋅=⨯⨯⨯⨯=△. ............................................................... 3分 过M 作MN AD ∥交AP 于点N ，AD BC ∥，所以MN BC ∥，又BC PBC ⊂平面，MN PBC ⊄平面，（图3）所以MN PBC ∥平面，所以1336M PBC N PBC C NBP NBP V V V CO S −−−===⋅=△，因为13C ABP ABP V CO S −=⋅△，13C NBP NBP V CO S −=⋅△所以2ABP NBP S S =△△， .......................................................................................................................... 4分 所以N 是PA 的中点，所以M 是PD 的中点，所以PM MD =. ..................................................... 5分 （2）在平面ABCD 内，过C 作EF BD ∥交AD 延长线于点E ，交AB 延长线于点F ， 因为ABCD 是菱形，所以AD DE =.如图4，在平面PAD 内，作PP AE '∥交EM 的延长线于点P '，设EP '交AP 于点Q . 所以，四边形EDP P '是平行四边形，,PP DE PP DE ''=∥， 所以QPP QAE '△∽△，所以12PQ PP AQ AE '==, 所以点Q 是线段PA 上靠近P 的三等分点......................................................................................... 7分 如图5，在平面PAB 内，作QT PO ∥，交AB 于T ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥BC ， 因为1PO =，2233QT PO ==， ......................................................................................................... 8分 在平面ABCD 内，作TN BC ⊥，交BC 于点N ，连接QN ，过A 作AK TN ∥交BC 于K ， 在ABK △中，2AB =，60ABK ︒∠=，所以332AK AB ==,（图5） 所以22333TN AK ==， .................................................................................................................... 9分 因为QT ⊥BC ，TN BC ⊥，QT TN T =，所以BC ⊥平面QTN ，因为QN ⊂平面QTN ，所以BC QN ⊥．所以QNT ∠是二面角A BC Q −−的平面角． ................................................................................. 11分在Rt QTN △中，tan QT QNT NT ∠==，所以cos QNT ∠= 所以平面BCQ 与平面ABCD..................................................................... 12分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................................. 5分 （2）由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图2，以O 为坐标原点，OC ,OB ,OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，....................................................................................................................................................... 6分则(0,1,0)A −，(0,1,0)B，C，2,0)D −，(0,0,1)P，所以11,)2M −．则(3,1,0)AC =，(3,1,0)BC =−，(3,3,0)BD =−，(0,1,1)AP =，1(1,)22CM =−−．设平面α的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0BD CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即30,1022y x y z −=⎨−+=⎪⎩． 取1y =，得到平面α的一个法向量)=n ． ......................................................................... 7分因为Q AP ∈,设()0,,AQ AP λλλ==，则()1,CQ AQ AC λλ=−=−−， 因为3150CQ λλ⋅=−+−+=n ，所以23λ=，所以12,33CQ ⎛⎫=−−⎪⎝⎭. ...................................... 8分 设平面BCQ 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则110,0CQ BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即1111120,330y z y ⎧−+=⎪−=．取11x =，得到平面BCQ 的一个法向量(1=n ． ........................................................... 10分 设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1=n 是平面ABCD 的一个法向量， ......................................................................... 11分 则121212cos cos ,β⋅=<>=n n n n n n 所以平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值是2． ..................................................................... 12分21．本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．解法一：（1）由题意得，()11,0A −，()21,0A ．因为D 为BC 中点，所以1A D BC ⊥，即12A D A C ⊥， ................................................................... 1分 又1PE A D ∥，所以2PE A C ⊥， 又E 为2A C 的中点，所以2PA PC =，所以1211124PA PA PA PC A C A A +=+==>，所以点P 的轨迹Γ是以12,A A 为焦点的椭圆（左、右顶点除外）． ............................................... 2分 设Γ：22221x y a b+=（x a ≠±），其中0a b >>，222a b c −=．则24a =，2a =，1c =，223b a c =−=． ............................................................................. 3分 故Γ：22143x y +=（2x ≠±）． ......................................................................................................... 4分（2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++， ............................................................................................ 7分 所以()121223my y y y =−+. 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =−−， .................... 8分 由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩得()()21122222y x x x y x ++=−− ............................................................................................................................ 9分 ()()211213y my y my +=−1221213my y y my y y +=−()()12212132332y y y y y y−++=−+−121231229322y y y y −−=−−13=， 解得x 4=−． ..................................................................................................................................... 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 解法二：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++， ............................................................................................ 7分 所以()121223my y y y =−+. 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =−−， .................... 8分 由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦........................................................................................................ 9分()()()()2112211213213y my y my y my y my ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦1221212323my y y y y y ⎛⎫+−= ⎪+⎝⎭()()121221212323243my y y y y y y y ++−+⎡⎤==−⎢⎥+⎣⎦. ........................................................................... 11分故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 解法三：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，直线2l 的斜率不为0． （i ）当直线2l 垂直于x 轴时，2l ：1x =−，由221,431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得1,32x y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩或1,3.2x y =−⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线1B M 的方程为：()322y x =+，直线2B N 的方程为：()122y x =−， 由()()32,2122y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩得4,3,x y =−⎧⎨=−⎩所以(4,3)Q −−，故Q 到12C C 的距离4d =，此时△12QC C 的面积是121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ............................ 6分 （ii ）当直线2l 不垂直于x 轴时，设直线l ：()1y k x =+，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±． 由()221,431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()22224384120k x k x k +++−=， ................................................................. 7分 所以221212228412,4343k k x x x x k k −−+==++． ............................................................................................ 8分直线1MB 的方程为：()1122y y x x =++，直线2MB 的方程为：()2222y y x x =−−， ..................... 9分由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦...................................................................................................... 10分()()()()()()()()21122112121221212k x x k x x k x x k x x ⎡⎤++++−=⎢⎥++−+−⎢⎥⎣⎦12121242634x x x x x x −+=++． 下证：121212426434x x x x x x −+=−++．即证()121212426434x x x x x x −+=−++， 即证()121241016x x x x =−+−， 即证22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫−−=−− ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即证()()()22244121081643k k k −=−−−+，上式显然成立， ................................................................................................................................. 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 此时12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． 由（i ）（ii ）可知，12QC C △的面积为定值． ................................................................................. 12分 解法四：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++． ............................................................................................ 7分 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222y y x x =−−， .................... 8分因为2222143x y +=，所以222y x −22234x y ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，故直线2B N 的方程为：()222324x y x y ⎛⎫+=−− ⎪⎝⎭．由()()11222,2232,4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=−− ⎪⎪⎝⎭⎩得()()1212422322y y x x x x −=−+++ ............................................................................................................... 9分 ()()12124311y y mx my =−++()1221212431y y m y y m y y ⎡⎤=−⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()2224939634m m m ⎡⎤−⎢⎥=−⎢⎥−+++⎣⎦3=， 解得x 4=−． ..................................................................................................................................... 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 22．本小题主要考查导数及其应用、函数的单调性、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）()()1e x f x x a '=++， ................................................................................................. 1分 故1x a >−−时，()0f x '>；1x a <−−时，()0f x '<. ................................................................... 2分 当10a −−>，即1a <−时，()f x 在()0,1a −−单调递减，在()1,a −−+∞单调递增； 当10a −−，即1a −≥时，()f x 在()0,+∞单调递增.综上，当1a <−时，()f x 在()0,1a −−单调递减，在()1,a −−+∞单调递增；当1a −≥时，()f x 在()0,+∞单调递增. ............................................................................................ 4分 （2）不存在01,,a x x ，且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. ............ 5分 证明如下：假设存在满足条件的01,,a x x ，因为()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '−=−即()()020001e e x x y x a x a x ax =++⋅+−−， ....................................................................................... 6分同理()f x 在()()11,x f x 处的切线方程为()()1121111e e x x y x a x a x ax =++⋅+−−，且它们重合，所以()()()()011012200111e 1e ,e e ,x xx x x a x a a x ax a x ax ⎧++=++⎪⎨−−=−−⎪⎩................................................................... 7分 整理得()()()()2201110011x a a x ax x a a x ax ++−−=++−−，即()()20101120x x a x x a a +++++=，()()()20101111x x a x x a +++++=，所以()()01111x a x a ++++=， .......................................................................................................... 8分 由0101(1)e (1)e x x x a x a ++=++两边同乘以1e a +，得011101(1)e (1)e x a x a x a x a ++++++=++， .............................................................................................. 9分令001t x a =++，111t x a =++，则010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠，由011t t =得011t t =，代入0101e e t t t t =得11121e e t t t =，两边取对数得11112ln t t t =+. .......................... 10分令1()2ln g t t t t=+−，当0t >时，1()2ln g t t t t =+−，()222121()10t g t t t t +'=++=≥， 所以()g t 在(0,)+∞上单调递增，又()10g =，所以11t =，从而01t =，与01t t ≠矛盾； ......... 11分 当0t <时，()1()2ln g t t t t =−+−，()222121()10t g t t t t+'=++=≥， 所以()g t 在(,0)−∞上单调递增，又()10g −=，所以11t =−，从而01t =−，与01t t ≠矛盾； 综上，不存在01,t t ，使得010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠.故不存在01,,a x x 且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. .................... 12分 解法二：（1）同解法一； .................................................................................................................... 4分（2）不存在01,,a x x ，且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. ............ 5分 证明如下：假设存在满足条件的01,,a x x ，因为()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '−=−即()()()000001e e 1e x x x y x a x x a x x a =++⋅++−++， ...................................................................... 6分同理()f x 在()()11,x f x 处的切线方程为()()()11111111e e 1e x x x y x a x x a x x a =++⋅++−++，且它们重合，所以()()()()()()0111010001111e 1e ,e 1e e 1e ,x xx x x xx a x a x a x x a x a x x a ⎧++=++⎪⎨+−++=+−++⎪⎩ .......................... 7分 整理得()[]()[]011110001(1)1(1)x a x a x x a x a x a x x a +++−++=+++−++，令001t x a =++，111t x a =++，可得011t t =. ................................................................................... 8分 由0101(1)e (1)e x x x a x a ++=++两边同乘以1e a +，得011101(1)e(1)ex a x a x a x a ++++++=++，则010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠，.................................................... 9分令()e t h t t =，则()()01h t h t =，且01t t ≠.由（1）知，当1t >−时，()h t 单调递增，当1t <−时，()h t 单调递减， 又当0t >时，()0h t >，当0t <时，()0h t <， 所以若01,t t 存在，不妨设1010t t <−<<， 设10t mt =，1m >，又011t t =，所以201t m=，则0t =，由0110e e t t t t =，得000e e mt t mt t =即0e e mt t m =，则00ln m mt t +=，所以0ln 1m t m=−，所以ln 1m m =−，即ln 0m +=， ................................................................................ 11分令1()2ln g x x x x =−+，1x ≥，则22221(1)()10x g x x x x−'=−−=−， 所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，所以当1x >时，()(1)0g x g <=，。
2020-2021学年福建省漳州市诏安县第一中学高一数学理联考试卷含解析
2020-2021学年福建省漳州市诏安县第一中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若偶函数在是增函数则a,b,c的大小关系是（）A、 B、 C、 D、参考答案：C2. 函数的零点所在的区间为A．B．C．D．参考答案：A3. （3分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（）A．1﹣≤m≤1+B．1﹣≤m≤2C．﹣2≤m≤2D．﹣2≤m≤1﹣参考答案：B考点：函数奇偶性的性质．专题：新定义．分析：根据“局部奇函数”，可知函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，结合指数函数的性质，利用换元法进行求解．解答：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣2m?（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣2m?t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m?t+2m2﹣8，对称轴x=，①若m≥2，则△=4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，∴﹣2，此时2，②若m＜2，要使t2﹣2m?t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，则，即，解得1﹣，综上：1﹣．故选：B．点评：本题主要考查函数的新定义，利用函数的新定义得到方程有解的条件，利用换元法将方程转化为一元二次方程有解的问题去解决是解决本题的关键．综合考查了二次函数的图象和性质．4. 已知a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点M（m，n）在直线l：ax+by+3c=0上，则m2+n2的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．9参考答案：D【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】运用直角三角形的勾股定理，又m2+n2=（）2表示原点到（m，n）的距离的平方，原点到直线l的距离即为所求最小值，运用点到直线的距离，即可得到所求值．【解答】解：a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，可得a2+b2=c2，点M（m，n）在直线l：ax+by+3c=0上，又m2+n2=（）2表示原点到（m，n）的距离的平方，原点到直线l的距离即为所求最小值，可得最小值为==3．则m2+n2的最小值为9．故选：D．5. 设的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A6. 函数的一条对称轴方程是（）A． B． C． D．参考答案：A略7. 如果角的终边经过点，则（）A． B． C． D．参考答案：D8. 已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，6）B．（2，6] C．（1，6）D．（1，6]参考答案：A【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得，解方程组求得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得2≤a＜6，故选A．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，注意a≥6﹣a﹣a，这是解题的易错点，属于中档题．9. 圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（）A．缩小到原来的一半B．扩大到原来的2倍C．不变D．缩小到原来的参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题．【分析】圆锥的体积等于底面积乘高乘，假设原来圆锥的底面半径为r ，原来的高为h ，求出现在的体积，一步得出答案．【解答】解：V 现=π（）2×2h=πr 2h=V 原，圆锥的体积缩小到原来的一半．故选A ．【点评】此题考查计算圆锥的体积，关键是已知底面半径和高，直接用公式计算．10. 某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是（ ） A. 70，25B. 70，50C. 70，1.04D. 65，25参考答案：B 【分析】根据总分变化未发生变化可知平均分不变；利用方差的计算公式可得，从而计算可得结果.【详解】甲少记分，乙多记分，则总分不变，由此平均分不发生变化；原方差：更正后方差：本题正确选项：【点睛】本题考查平均数和方差的计算问题，关键是熟悉二者的计算公式，属于基础题.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =1+（n≥2），则a5=．参考答案：【考点】8H ：数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．【解答】解：在数列{a n }中，a 1=1，a n =1+（n≥2），可得a 2=1+1=2，a 3=1+=，a 4=1+=， a 5=1+=， 故答案为：．12. 函数f （θ）=12cos θ+5sin θ（θ∈[0，2π））在θ=θ0处取得最小值，则点M （cos θ0，sin θ0）关于坐标原点对称的点坐标是 ．参考答案：（，）【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象． 【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由辅助角公式可得f （θ）=13sin （θ+φ），其中sin φ=，cos φ=，由三角函数的最值和诱导公式以及对称性可得．【解答】解：∵f（θ）=12cosθ+5sinθ=13（cosθ+sinθ）=13sin （θ+φ），其中sinφ=，cosφ=，∴当θ+φ=时，函数f （θ）取最小值﹣13， 此时θ=θ0=﹣φ，故cosθ0=cos （﹣φ）=﹣sinφ=﹣，sinθ0=sin （﹣φ）=﹣cosφ=﹣，即M （﹣，﹣），由对称性可得所求点的坐标为（，），故答案为：（，）．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及辅助角公式和诱导公式，属中档题．13. 已知函数，若，则.参考答案：略14. 已知函数是R 上的奇函数，当时，，则=参考答案：15. 已知函数则. ks5u参考答案：16. 在中,若则sinB=_________.参考答案：17. 已知函数，是的反函数，若（m，n∈R+），则的值为______________。
福建省福州第一中学2023届高三下学期适应性考试(三)数学试题 - 副本
福州一中2023届高三毕业班适应性考试（三）数 学 试 题（满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 A = {x | x 2 −3x +2 ≤0, x ∈Z }，B = { 0,b }，若 A ∩B ≠ ∅ ，则实数b 的值为A ．1B ．0或1C ．2D ．1或22．厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成．甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有A.22种B.20种C.12种D.10种3．已知3π(π)2α∈，，若1sin 221cos 2αα-=+，则cos 2α的值为A.45 B.45- C.0 D.45-或04．英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为12002的等比数列．已知音M 的频率为m ，音分值为k ，音N 的频率为n ，音分值为l ．若2m n =，则k l -=A.400B.500C.600D.8005．如图，在圆台1OO 中，13OO =，点C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，2AC =，点D 是BC 的中点，l 为平面1O AC 与平面1O OD 的交线，则交线l 与平面1O BC 所成角的大小为A .π2B .π3C .π6D .π46．在三棱锥P ABC -中，点O 为ABC △的重心，点D ，E ，F 分别为侧棱PA ，PB ，PC 的中点．若a AF =，b CE = ，c BD = ，则OP =A.111333a b c ++B.111333a b c---C.212333a b c--- D.222333a b c ++ 7．数列{}n a 中，*1(N )n n a >∈，点1(,)n n a a +在双曲线2221y x -=上．若211()n n n n a a a a λ+++->-恒成立，则实数λ的取值范围为A.12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭, B.1(+)2∞, C.22⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭, D.(1+)∞,8．已知12e 1a =-，1tan 2b =，58c =，则A ．c a b<<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．c b a<<二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.在国家宪法日来临之际，某中学开展“学宪法、讲宪法”知识竞赛，一共设置了7道题目，其中5道是选择题，2道是简答题．现要求从中不放回地抽取2道题，则A.恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是37B.记抽到选择题的次数为X ，则10()7E X =C.在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到简答题的概率是521D.第二次抽到简答题的概率是2710．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122BC AA ==，AB AC ==，点P 是1A B 上的动点，点Q 是1CC 上的动点，则A .AC ∥平面1A BQB.11B C 与AP 不垂直C.存在点P 、Q ，使得1PQ A B ⊥D.PA PC +11.抛物线:C 26y x =，AB 是C 的焦点弦．A.点P 在C 的准线上，则PA PB ⋅的最小值为0B.以AB 为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9πC.若AB的斜率k ，则ABO △的面积12S = D.存在一个半径为94的定圆与以AB 为直径的圆都内切12.定义在R 上的函数()f x ，()g x 的导函数为()f x '，()g x '，(1)y f x =+是偶函数．已知2(1)()8f x g x --=，2()(1)0f x g x ''--=，则A.()y f x '=是奇函数B.()y g x =图象的对称轴是直线2x = C.()30f '= D.20231πcos ()12n n g n =⎡⎤'⋅=⎢⎥⎣⎦∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知i 为虚数单位，复数1z ，2z 满足1i z =，|12z z -|=3，则|2z |的最大值为▲.14.已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则24a a +=▲.15.函数()tan()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，T 为()f x 的最小正周期．若00(()())(()())022T Tf x f f x f +--<，写出一个满足条件的正整数0x ▲.（第10题图）（第15题图）16．定义在R 上的函数321ln ,()1,62ax a x x a x f x x x x x a ⎧--≥⎪⎪=⎨⎪-+-<⎪⎩，若()0f x ≥的解集为[)1+∞，，则a 的取值范围为▲；若关于x 的不等式1()0ex f x +≥恒成立，则a 的最大值为▲．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()(1)n n S a n n =-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足1(N 2)2nn n a b b n n *--=∈≥，且111a b -=，1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T ≤<．18．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin cos()sin AA C C a=+，=2c ．（1）求B ；（2）D 为AC 的中点，234BD BC =，求ABC △的面积．19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，2PA =，1AB AC ==，将PAB △绕着PA 逆时针旋转π3到PAD △的位置，得到如图所示的组合体，M 为PD 的中点.（1）当BAC ∠为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；（2）当PC ∥平面MAB 时，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.20．（12分）厦门思明区沙坡尾某网红店推出A 、B 两种不同风味的饮品．为了研究消费者性别和饮品偏好的关联性，店主调查了首次到店的消费者，整理得到如下列联表：表1单位：人性别种类合计A 饮品B 饮品女性6040100男性4060100合计100100200（第19题图）（1）请画出列联表的等高堆积条形图，并依据小概率值0.01α=的独立性检验，判断首次到店消费者的性别与饮品风味偏好是否有关联．如果结论是性别与饮品风味偏好有关联，请解释它们之间如何相互影响．（第20题图）（2）店主进一步调查发现：女性消费者若前一次选择A 饮品，则下一次选择A 、B 两种饮品的概率分别为13、23；若前一次选择B 饮品，则下一次选择A 、B 两种饮品的概率分别为23、13；如此循环下去．求女性消费者前三次选择A 、B 两种饮品的数学期望，并解释其实际含义．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++21．（12分）已知M 是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA 与直线y x =垂直，A 为垂足且位于第三象限；直线MB 与直线y x =-垂直，B 为垂足且位于第二象限．四边形OAMB （O 为原点）的面积为2，记动点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）点(22,0)E ，直线PE ，QE 与C 分别交于P ，Q 两点，直线PE ，QE ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ．若31211()6k k k +⋅=-，求PQE △周长的取值范围．22．（12分）已知函数21()ln (1)2f x x m x mx =-++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数21()()2g x f x mx =-有两个零点1x ，2x ，且21e x x >，求证：212e 1x x >-（其中e 是自然对数的底数）．α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828。
2021年福建省新高考“八省联考”高考化学适应性试卷-解析版
2021年福建省新高考“八省联考”高考化学适应性试卷1.福建省三钢集团近年来大气污染治理成须显著，厂区“绿”意盎然。
治理后，钢铁厂排放的尾气中，下列物质含量最大的是()A. CO2B. NO2C. SO2D. PM10【答案】A【解析】解：A.钢铁厂产生二氧化碳气体，二氧化碳属于无污染的气体，治理后污染气体减少，二氧化碳最多，故A正确；B.二氧化氮是污染气体，治理后减少排放，故其含量不能最大，故B错误；C.二氧化硫属于污染气体，治理后减少排放，含量不是最大，故C错误；D.PM10含量最大的话，加重了大气污染，厂区不能绿意盎然，故D错误；故选：A。
A.钢铁厂产生二氧化碳气体，二氧化碳属于无污染的气体；B.二氧化氮是污染气体；C.二氧化硫属于污染气体；D.PM10含量最大的话，大气污染严重。
本题考查环境的污染与保护，为高频考点，把握常见物质的性质、发生的化学反应及是否改善空气质量为解答的关键，题目难度不大。
2.山奈酚是中药柴胡的药物成分之一。
下列有关该化合物叙述错误()A. 分子式为C15H10O6B. 能够发生加成反应C. 苯环中含有单双键交替结构D. 可溶于NaOH溶液【答案】C【解析】解：A.由该物质的结构简式可知其分子式为C15H10O6，故A正确；B.含有苯环和羰基，可以发生加成反应，故B正确；C.苯环中的键是介于单双键之间的特殊的键，不是单双键交替的结构，故C错误；D.含有3个酚羟基，可与NaOH溶液反应生成溶于水的物质，故D正确；故选：C。
由结构可知分子式，分子中含酚−OH、碳碳双键、醇−OH、羰基及醚键，结合酚、烯烃、醇等有机物的性质来解答。
本题考查有机物的结构与性质，为高频考点，把握官能团与性质、有机反应为解答的关键，侧重分析与应用能力的考查，注意选项C为解答的易错点，题目难度不大。
3.已知N A是阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是()A. 0.1mol⋅L−1KNO3溶液中离子总数大于0.2N AB. D218O和T2O的混合物1.1g，含有的质子数为0.5N AC. 5.6gFe与足量的S反应转移的电子数为0.3N AD. 0.1molH2和0.2molI2充分反应后分子总数小于0.3N A【答案】B【解析】解：A.溶液体积未知，无法确定溶液中离子数目，故A错误；=B.D218O和T2O的摩尔质量均为22g⋅mol−1，所以1.1g混合物的物质的量为 1.1g22g⋅mol−10.05mol，一个D218O分子和一个T2O分子均含有10个质子，所以混合物含有的质子数为0.5N A，故B正确；=0.1mol，与足量的S反应生成FeS，转移电子数为0.2N A，C.5.6gFe的物质的量为 5.6g56g⋅mol−1故C错误；D.H2和I2反应方程式为H2+I2⇌2HI，反应前后分子数不变，所以0.1molH2和0.2molI2充分反应后分子总数为0.3N A，故D错误；故选：B。
2023-2024学年福建省厦门高三适应性考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年福建省厦门高三适应性考试数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}{}3,4,23,A a B a =-=，若A B ⋂≠∅，则=a （）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B【分析】根据交集结果得到3a =，4a =或23a a =-，检验后得到答案.【详解】因为A B ⋂≠∅，所以3a =，4a =或23a a =-，当3a =时，233a -=，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当23a a =-时，3a =，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当4a =时，235a -=，满足集合元素互异性，满足要求.故选：B2．已知复数z 满足()20231i i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．12-B ．12C ．1i2-D 【正确答案】A【分析】先由虚数单位的性质求得2023i ，再利用复数的四则运算求得z ，从而得解.【详解】因为()50520235054343i i i i i ⨯+==⨯=-，所以()20231ii i z +==-，故()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 1i 222z -----====--+-+，所以z 的虚部为12-.故选：A.3．在等比数列{}n a 中，132a a +=，则“356a a +=”是“数列{}n a 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】结合等比数列的通项公式，充分、必要条件的定义判断即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由132a a +=，356a a +=，得235133a a q a a +==+，则q =由132a a +=，q =()235136a a a a q +=+=．故“356a a +=”是“数列{}n a 的必要不充分条件．故选：B4．尺规作图三等分角是古希腊三大几何难题之一，现今已证明该问题无解．但借助有刻度的直尺、其他曲线等，可将一个角三等分．古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法：如图，以ACB ∠的顶点C 为圆心作圆交角的两边于A ，B 两点；取线段AB 三等分点O ，D ；以B 为焦点，A ，D 为顶点作双曲线，与圆弧AB 交于点E ，连接CE ，则3ACB BCE ∠=∠．若图中CE 交AB 于点P ，56AP PB =，则cos ∠=ACP （）A ．2425-B ．1225-C ．725-D ．1225【正确答案】C【分析】根据正弦定理及二倍角的正弦公式，得BCE ∠的余弦值，再由二倍角的余弦公式即可求出cos ACP ∠.【详解】设BCE α∠=，则33ACB BCE α∠=∠=，2ACP α∠=.在ACP △中，由正弦定理，得sin 2sin AP CAAPCα=∠；在BCP 中，由正弦定理，得sin sin BP CBBPCα=∠.又因为CA CB =，APC BPC π∠+∠=，所以sin sin CA CBAPC BPC=∠∠，所以sin 2sin AP BP αα=，即sin 22cos sin AP BP ααα==.又因为56AP PB = ，所以62cos 5AP BP α==，故3cos 5α=.所以cos ∠=ACP cos 2=α2972cos 1212525α-=⨯-=-.故选：C.5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（）A ．112B ．5108C ．172D ．1216【正确答案】B【分析】所有实验结果有666216⨯⨯=种，列举出每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件之和为3133A A 1++，即可求出概率.【详解】根据题意，随机掷一枚均匀的正方体骰子，每次实验掷三次，共有666216⨯⨯=种不同的结果，其中每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件包括数字1、2、3组成的结果有33A 种，数字1、1、4组成的结果有13A 种，数字2、2、2组成的结果有1种.故所求概率为3133A A 15216108P ++==.故选：B.6．已知F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 的直线l 交地物线C 于,A B 两点，若AF BF λλ==，则λ=（）A ．1B ．32C ．3D ．4【正确答案】C【分析】由抛物线的定义求得B 点的横坐标，代入抛物线得B 点坐标，从而求得直线AB 的方程，联立抛物线与直线即可得A 点的横坐标，求得AF ，从而可得λ的值.【详解】如图，过A 作1AA 准线于1A ，过B 作1BB 准线于1B ，由抛物线2:3C y x =的焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为34x =-，由抛物线的定义可得1314B BF BB x ==+=，所以14B x =，代入抛物线方程得2B y =±若14B ⎛ ⎝⎭，直线AB的斜率为021344AB k ==-AB方程为34y x ⎫=-⎪⎭，即y =联立23y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2164090x x -+=，则916A B x x =，所以94A x =，则3933444A AF x λ=+=+==；若1,42B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线AB的斜率为021344AB k -=-AB方程为34y x ⎫=-⎪⎭，即4y =-联立23y y x⎧=⎪⎨⎪=⎩2164090x x -+=，则916A B x x =，所以94A x =，则3933444A AF x λ=+=+==；综上，3λ=.故选：C.7．已知奇函数()f x 在R 上是减函数，()()g x xf x =，若()2log 5.1a g =-，()3b g =，()0.82c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a<<C ．b c a<<D ．b a c<<【正确答案】D【分析】由题可知()g x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递减，利用函数的单调性可比较出b a c <<.【详解】因()f x 为奇函数且在R 上是减函数，所以()()f x f x -=-，且0x >，时()0f x <.因()()g x xf x =，所以()()()g x xf x xf x -=--=，故()g x 为偶函数.当0x >时，()()()0g x f x xf x =+'<'，因()0f x <，()0f x '<，所以()0g x '<.即()g x 在()0,∞+上单调递减.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，因0.82223log 9log 5.1log 422=>>=>，所以()()()0.823log 5.12g g g <<，即b a c <<.故选：D.8．已知半径为4的球O ，被两个平面截得圆12O O ､，记两圆的公共弦为AB ，且122O O =，若二面角12O AB O --的大小为2π3，则四面体12ABO O 的体积的最大值为（）A ．BC D 【正确答案】C【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设弦AB 的中点为M ，连接12,O M O M ，依题意，可得如下图形，由圆的性质可知12,⊥⊥O M AB O M AB ，则12O MO ∠即为二面角的平面角，故122π3O MO ∠=，四面体12ABO O 的体积为121211sin 362π3MO O V AB S AB O M O M =⋅=⋅⋅⋅12AB O M O M ⋅⋅，其中2221212121243O O O M O M O M O M O M O M=++⋅=≥⋅1243O M O M ⇒⋅≤，当且仅当12O M O M ==由球的截面性质，11OO O M ⊥，22OO O M ⊥，所以12,,,O O O M 四点共圆，则有外接圆直径22i 23s πn R OM ===从而23AB MB ==，1243339V M O M ∴=⋅≤=.故选：C 二、多选题9．随机变量()2~,X N μσ且()20.5P X ≤=，随机变量()~3,Y B p ，若()()E Y E X =，则（）A ．2μ=B ．()22D X σ=C ．23p =D ．()32D Y =【正确答案】AC【分析】对AB ，根据正态分布的期望方差性质可判断；对C ，根据()()E Y E X =及二项分布期望公式可求出p ；对D ，根据二项分布方差的计算公式可求出()D Y ，进而求得()3D Y .【详解】对AB ，因为()2,X N μσ 且()20.5P X ≤=，所以2μ=，故()2E X μ==，()2D x σ=，选项A 正确，选项B 错误；对C ，因为()3,Y B p ，所以()()3E Y p E X ==，所以32p =，解得23p =，选项C 正确；对D ，()()2239931633D Y D Y ⎛⎫==⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，选项D 错误.故选：AC.10．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x （）A ．是奇函数B ．图象关于直线π2x =对称C ．在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎣⎦【正确答案】ACD【分析】利用辅助角公式得出()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由已知条件求得ω的值，再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ ，由于函数()y f x =的零点构成一个公差为π2的等差数列，则该函数的最小正周期为π，0ω> ，则2π2πω==，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象.对于A 选项，函数()y g x =的定义域为R ，()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-，函数()y g x =为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，π2sin π02g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()y g x =的图象不关于直线π2x =对称，B 选项错误；对于C 选项，当π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π3π222x ≤≤，则函数()y g x =在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，C 选项正确；对于D 选项，当π2π63x ≤≤时，π4π233x ≤≤，则sin 21x ≤≤，()2g x ≤≤.所以，函数()y g x =在区间π2π,63⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为⎡⎤⎣⎦，D 选项正确.故选：ACD11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==，1BC =，13AA =，点M 在线段1BB 上，且12B M MB =，N 为线段1C M 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．当N 为1C M 的中点时，直线AN 与平面ABC 所成角的正切值为4B ．当12MN NC =时，1B N //平面ACM C ．ACN △的周长的最小值为D ．存在点N ，使得三棱锥N AMC -【正确答案】BD【分析】取BC 的中点P ,证明PN ^平面ABC ，故PAN ∠为直线AN 与平面ABC 所成的角，求解可判断A ；延长1B N 交1CC 于点Q ，可得四边形1CQB M 是平行四边形，从而可判断B ；当点N 与M 重合时，求出ACN △的周长可判断C ；取BC 的中点P ,连接AP ，若三棱锥N AMC -的体积为6，则1CMN S =△，根据1CMC CMN S S >△△可判断D.【详解】对于A ，当N 为1C M 的中点时，取BC 的中点P ,连接,PN AP ，易知1//PN CC ,1CC ⊥平面ABC ，则PN ^平面ABC ，故PAN ∠为直线AN 与平面ABC 所成的角，则()112tan MB CC PN PAN AP +∠=故A错误；对于B ，当12MN NC =时，延长1B N 交1CC 于点Q ，此时11112C Q C N B M MN ==，所以11,2C Q CQ ==，所以1CQ B M =.又1//CQ B M ，所以四边形1CQB M 是平行四边形，所以1//CM B Q ，即1//CM B N .因为1B N ⊄平面ACM ，CM ⊂平面ACM ，所以1B N //平面ACM ，故B 正确；对于C ，当点N 与M重合时，易知2,AN CN ==此时ACN △的周长为2+2<，故C 错误；对于D ，取BC 的中点P ,连接AP ，易知AP ⊥平面11BCC B,2AP =,若三棱锥N AMC -即6N AMC V -=，所以136CMN S AP ⋅⋅=△,所以1CMN S =△.因为113311,22CMC CMN S S =⨯⨯=>=△△所以存在点N ，使得三棱锥N AMC -的体积为6，故D 正确.故选:BD.12．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)0f x f x ++=，(22)f x +是偶函数，(1)1f =，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()20231f =-C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．1001(21)100k k f k =-=-∑【正确答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项A ，∵(22)f x +是偶函数，∴(22)(22)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线2x =对称，∴()()4f x f x -=+，∵()(4)0f x f x ++=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是奇函数，则A 正确；对于选项B ，∵(4)()f x f x +=-，∴(8)(4)f x f x +=-+，∴(8)()f x f x +=,∴()f x 的周期为8，∴()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-，则B 正确；对于选项C ，若()f x 的图象关于直线1x =对称，则()()31f f =-，但是()()111f f -=-=-，()()311f f ==，即()()31f f ≠-，这与假设条件矛盾，则选项C 错误；对于选项D ，将12x =代入(22)(22)f x f x -=+，得()()311f f ==，将1x =，代入()(4)0f x f x ++=，得()()511f f =-=-，同理可知()()731f f =-=-，又∵()f x 的周期为8，∴()f x 正奇数项的周期为4，∴1001(21)k k f k =-=∑()()()()12335100199f f f f +++⋅⋅⋅+()()()()()()()()123354759611713815f f f f f f f f =+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅⋅⋅()()()()971939819599197100199f f f f ⎡⎤++++⎣⎦()254100=⨯-=-，则D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知向量,a b 满足()1,3,3,1a b a b ==-= ，则⋅=a b __________．【正确答案】0【分析】对a b - 进行平方，然后代入,a b ，即可进行求解.【详解】因为()1,3,3,1a b a b ==-=，则()2222210a ba ab b -=-⋅+==，所以0a b ⋅= .故014．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若67S S <，78S S =，89S S >，则符合题意的等差数列{}n a 的一个通项公式为n a =________．【正确答案】8n -（答案不唯一）【分析】由条件可得70a >，80a =，90a <，由此确定0d <，由此确定数列{}n a 的一个通项公式.【详解】因为67S S <，78S S =，89S S >，所以70a >，80a =，90a <，设数列{}n a 的公差为d ，则0d <，取1d =-，又80a =，可得17a =，故数列{}n a 的一个通项公式为8n a n =-，故8n -（答案不唯一）.15．若曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线，则a 的范围是____________．【正确答案】(,0)-∞【分析】由题可将曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线转化为函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点，然后利用导数研究()f x 单调性，画出()f x 大致图象，即可得答案．【详解】设切线切点为0(x ,0)y ，又ln 1y x '=+，所以切线斜率为0ln 1x +因为000ln y x x =，所以切线方程为：()()0000ln ln 1y x x x x x -=+-．又切线过()1,a ，则()()0000ln ln 11a x x x x -=+-，即00ln 1a x x =-+则由题可知函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点，由()1110x f x x x-=-=>'得01x <<，由()0f x '<得1x >所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．又max ()(1)0f x f ==，又0x →，()f x →-∞，x →+∞，()f x →-∞．据此可得()f x 大致图象如下．则由图可得，当(,0)a ∈-∞时，曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线．故答案为.(,0)-∞16．已知椭圆C 的一个焦点为F ，短轴12B B 的长为,P Q 为C 上异于12,B B 的两点.设1221,PB B PB B ∠α∠β==，且()()tan 3tan tan αβαβ+=-+，则PQF △的周长的最大值为__________.【正确答案】8【分析】根据条件求出椭圆方程，再运用几何关系求出最大值.【详解】由条件()()tan tan tan 3tan tan 1tan tan αβαβαβαβ++=-+=-，π,tan tan 0αβαβ+∴+≠ ＜，即11tan tan 3αβ-=-，4tan tan 3αβ=，设()00,P x y ，由题意：((12,0,B B ，则tan tan αβ=，20204tan tan 33x y αβ∴==-，即2200143x y +=，即椭圆C 的标准方程为22143x y +=，2,1a b c ===；设左焦点为F ，右焦点为2F，如下图：则PFQ △的周长224l PF QF PQ a PF QF PQ =++=--+,22PF QF PQ +≥ ，当2,,P Q F 三点共线时等号成立，48l a ∴≤=，l 的得最大值为8；故8.四、解答题17．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知ABC的外接圆半径R =tan tan B C +=.(1)求B 和b 的值；(2)求AC 边上高的最大值.【正确答案】(1)π4B =，4b =；(2)2+.【分析】（1）把给定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B ，利用正弦定理求出b 作答.（2）利用余弦定理、均值不等式求出ac 的最大值，借助面积三角形求出AC 边上高的最大值作答.【详解】（1）由tan tan B C +=，得sin sin cos cos B C B C +sin cos cos sin cos B C B C A B +，因此sin()cos B C A B +，在ABC中，sin(π)cos A A B -，即sin cos A A B ，而0πA <<，即sin 0A >，于是cos 2B =，又0πB <<，解得π4B =，因为ABC的外接圆半径R =，由正弦定理得2sin 42b R B ==，所以π4B =，4b =.（2）由（1）知，π4B =，4b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22π162cos (24a c ac =+-≥-，于是8(2ac ≤+，当且仅当a c =时取等号，令ABC 的边AC 上的高为h ，则由11sin 22ABC bh S ac B ==，得πsin sin 48(22488B h ac ac ac b ==⨯=+所以AC边上高的最大值是2+.18．已知数列{}n a 满足111,12n n n a a a a +==+．(1)证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并{}n a 的通项公式；(2)设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)证明见解析，121n a n =-(2)21n nT n n =++【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得{}n a 的通项公式；（2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得n T .【详解】（1）证明：因为112n n n a a a +=+，所以112112n n n na a a a ++==+，即1112n n a a +-=所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，2为公差的等差数列，则()112121n n n a =+-=-，所以121n a n =-；（2）()()()()222212244411111141121214141212122121n n n n n n c n a a n n n n n n n n +-+⎛⎫=====+=+- ⎪-+---+-+⎝⎭12311111112335212121n n n T c c c c n n n n n ⎛⎫=++++=+-+-++-=+ ⎪-++⎝⎭ .19．某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6，如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.(1)计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率；(2)王同学某次在A 餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n 种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为X ，求n 的值使得()1P X =取得最大值.【正确答案】(1)0.7(2)9或10【分析】（1）根据题意结合全概率公式可直接求解；（2）由超几何分布可得()()()()()1511543n n P X n n n -==+++，构造数列()()()()151543n n n a n n n -=+++，易知该数列为递增数列，所以1n n a a +≥，解得9n ≤，所以当9n =或10时，()1P X =有最大值为4591.【详解】（1）设1A =“第1天去A 餐厅用餐”，1B =“第1天去B 餐厅用餐”，2A =“第2天去A 餐厅用餐”，根据题意得()()110.5P A P B ==，()210.6P A A =∣，()210.8P A B =∣，由全概率公式，得：()()()()()21211210.50.60.50.80.7P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣，所以，王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为0.7.（2）由题意，X 的可能取值有：0,1,2,3，由超几何分布可知()()()()()125351511543n n n n C C P X C n n n +-===+++，令()()()()151543n n n a n n n -=+++，又 N n ∈，所以1n n a a +≥，可得()()()()1361n n n n ++≥+-，解得9n ≤，易知当9n =和10n =时，()1P X =的值相等，所以当9n =或10时，()1P X =有最大值为4591，即当n 的值为9或10时，使得()1P X =最大.20．如图，在圆台1OO 中，11A B ，AB 分别为上、下底面直径，1124AB A B ==，C 为 AB 的中点，M 为线段BC 的中点，1CC 为圆台的母线，1C M 与圆台下底面所成的角为45︒．(1)证明：1C C ⊥平面1OBC ；(2)求平面1OMC 与平面1BMC 夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）证明线面垂直，先证线线垂直，根据题中线面位置关系，不难发现证明11C C C O ⊥，1C C AB ⊥容易证明.（2）因题中线面位置较为特殊，考虑用空间向量，建立空间直角坐标系后，直接按照求平面与平面夹角的公式，按步骤求解即可.【详解】（1）证明：连接1OO ，11C O ，则1OO ⊥平面ABC ．因为1CC 为母线，所以11CC O O 四点共面，且11O C OC ∥．取CO 中点N ，连接1C N ，MN ．因为1124AB A B ==，则111ON C O ==，所以四边形11ONC O 为平行四边形．所以11C N O O ∥，所以1C N ⊥平面ABC ．所以1C MN ∠为1C M 与底面所成角，即145C MN ∠=︒．在1Rt C NO 中，11C N NO ==，所以1C O =同理1C C ．在1C CO △中，22211CO C O C C =+，所以11C C C O ⊥．因为1OO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1OO AB ⊥．因为C 为 AB 的中点，所以AB CO ⊥，又1OC O O O = ，OC ⊂平面11C O OC ，1O O ⊂平面11C O OC ,所以AB ⊥平面11C O OC ，又1CC ⊂平面11C O OC ，所以1C C AB ⊥．又因为11C C C O ⊥，1AB C O O = ，AB ⊂平面1BOC ，1C O ⊂平面1BOC ，所以1C C ⊥平面1BOC ；（2）以O 为原点，分别以OC ，OB ，1OO 所在的方向为x ，y ，z 的正方向，建立空间直角坐标系-O xyz ，则(2,0,0)C ，(0,0,0)O ，(0,2,0)B ，1(1,0,1)C ，(1,1,0)M .所以(1,1,0)BM =- ，1(1,2,1)BC =- ，(1,1,0)OM = ，1(1,0,1)OC = .设平面1BMC 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，由11100n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得11111020x y x y z -=⎧⎨-+=⎩，令11x =，得111y z ==，所以1(1,1,1)n = ．设平面1OMC 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，由22100n OM n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则222200x y x z +=⎧⎨+=⎩．令21x =，得221,1y z =-=-，所以2(1,1,1)n =-- ，设平面1OMC ，与平面1BMC 夹角为θ，则121cos cos ,3n n θ== ．所以平面1OMC 与平面1BMC 夹角的余弦值为13．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点())12,F F ，点M 满足124MF MF -=，记点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)点()2,0A ，点,B C 为E 上的两个动点，且满足2BAC π∠=.过A 作直线AQ BC ⊥交E 于点Q .若2BQC π∠=，求直线BC 的斜率.【正确答案】(1)221(0)4x y x -=>(2)±1.【分析】（1）由题意，点M 的轨迹为双曲线的右支，2,a c ==1b =，可得E 的方程；（2）解法一：设BC 与AQ 的交点为D ，设BC 的方程为y kx m =+，与双曲线方程联立，由1AC AB k k ⋅=-结合韦达定理解得m ，得到直线BC 的方程，由题意写出直线AD 的方程，求得点D 、点Q 坐标，代入曲线E 的方程，可得直线BC 的斜率.解法二：由对称性，直线BC 必过定点(),0t ，设BC 的方程为x my t =+，与双曲线方程联立，由1AC AB k k ⋅=-结合韦达定理解得103t =，进一步可得到直线BC 方程以及恒过定点.求得点D 、点Q 坐标，代入曲线E 的方程，可得直线BC 的斜率.解法三：设AC 方程为()2y k x =-，设AB 方程为()12y x k=--，联立曲线方程，由韦达定理可求出点C 坐标，用1k-替换k 得点B 坐标，可得直线BC 方程进一步得到直线BC 恒过定点.下同解法一.解法四：由平移知识得到双曲线E 的方程，新坐标系下直线BC 的方程，代入双曲线方程，由121k k ×=-求得m ，进一步得到直线BC 的方程，从而得到直线BC 恒过定点，再利用过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程结合xy 的系数为0，即可得到直线BC 的斜率.解法五：设直线BC 的方程为()21m x ny -+=，连理曲线方程结合由121k k ×=-解得m ，进一步得到直线BC 的方程以及BC 恒过定点.下同解法一.【详解】（1）因为点M 满足124MF MF -=，所以点M的轨迹为双曲线的右支，故2,a c ==1b =，所以曲线E 的方程为221(0)4x y x -=>.（2）解法一：设BC 与AQ 的交点为D.显然直线BC 的斜率存在，设BC 的方程为y kx m =+，联立方程22,44,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()222418440k x kmx m -+++=，设()()1122,,,B x y C x y ，所以12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩.又2121,22AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122y y x x ⋅=---，故()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=，代入()()2222244812404141m km k mk m k k +⎛⎫++--++= ⎪--⎝⎭，整理得22203160k m km ++=，即()()10320k m k m ++=，解得103m k =-或2m k =-（舍）.所以直线BC 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为,,,A B Q C 四点共圆，且BC 为直径，由BC AD ⊥，所以点D 为AQ 中点，且直线AD 的方程为()12y x k=--，联立()10312y k x y x k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--⎪⎩，解得()()22210631431k x k k y k ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以点()()2221064,3131k k D k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2221468,3131k k Q k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()222221468443131k k k k ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得420k k -=，即1k =±，所以直线BC 的斜率为±1.解法二：由对称性，直线BC 必过定点(),0t ，设BC 的方程为x my t =+，联立方程22,44,x my t x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得()2224240m y tmy t -++-=，设()()1222,,,B x y C x y ，所以1222122244 4tm y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩.2121,22AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122y y x x ⋅=---，故()()()22121212440m y y tm m y y t t ++-++-+=，代入()()222224212(2)044t tm m m t t m m -⎛⎫+⨯+--+-= ⎪--⎝⎭，因为2t ≠，整理得3100t -=，解得103t =.所以直线BC 的方程为103x my =+，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.联立()1032x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得()()22261031431m x m m y m ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以点()()2226104,3m 131m m D m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2226148,3m 131m m Q m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()222226148443131m m m m ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得210m -=，即1m =±，所以直线BC 的斜率为±1.解法三：设AC 方程为()2y k x =-，设AB 方程为()12y x k=--，联立方程()22244y k x x y ⎧=-⎨-=⎩，消去y 得()222214161640k x k x k -+--=，设()11,C x y ，则212164214k x k --⋅=-，得2128241k x k +=-，所以212282424141k k y k k k ⎛⎫+=-= ⎪--⎝⎭，所以点222824,4141k k C k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭.用1k -替换k 得点222284,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭.所以BC 斜率()2222222443414822841414BC k k k k k k k k k k k ---==-++-+--，故直线BC 方程为()222232844441k k k y x k k k ⎛⎫+=-++ ⎪---⎝⎭，即()()223104141k k y x k k =-+--，即()2310341k y x k ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭.所以直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下同解法一.解法四：将坐标系原点平移到()2,0A ，则双曲线E 的方程变为22(2)14x y +-=，即22440x y x -+=.新坐标系下直线BC 的方程设为1mx ny +=，代入双曲线方程有()22440x y x mx ny -++=，即()2214440m x y nxy +-+=，两边同除以2x 得244410y y n m x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114m k k --⋅==-，所以34m =，所以直线BC 的方程为314x ny +=，从而直线BC 恒过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，故原坐标系下直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.由,,,A B Q C 四点共圆，设BC 的直线方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1003kx y k --=；设AQ 的直线方程为()12y x k=--，即20x ky +-=.所以过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程为()()221024403kx y k x ky x y λ⎛⎫--+-+--= ⎪⎝⎭，等式左边xy 的系数为21k -，所以210k -=，所以1k =±，即直线BC 的斜率为±1.解法五：由直线BC 不过点()2,0，故设直线BC 的方程为()21m x ny -+=，所以由2244x y -=得22(22)44x y -+-=，即()()()2222122]442]m x ny y m x ny ⎡⎡+-+-=-+⎣⎣，两边同除以2(2)x -得()22221244222y y y m n m n x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅-=+⋅ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭，设2y k x =-，上式整理得244410k nk m ---=.设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114m k k --⋅==-，解得34m =，所以直线BC 的方程为()3214x ny -+=，即310043x ny ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，从而BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下同解法一.方法点睛：定点问题的解题策略（1）直线过定点．将直线方程化为00()y y k x x -=-的形式，当00x x -=时与k 无关，即00()y y k x x -=-恒成立，故直线过定点00(,)x y ．（2）曲线过定点．利用方程0(),f x y =对任意参数恒成立得出关于,x y 的方程组，以方程组的解为坐标的点即为所求的定点．22．已知函数()e ,ax f x a =∈R ．(1)令()()1f xg x x =+，讨论()g x 在()0,∞+的单调性；(2)证明：23*111N 462n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(3)若1a =，对于任意的,m n ∈R ，不等式()()()()22ln 20f m bf n f m f n +⋅+≥恒成立，求实数b 的取值范围．【正确答案】(1)答案见详解.(2)证明见详解.(3)02e b ≤≤.【分析】（1）求导后，分0a =、a<0、01a <<、1a ≥讨论即可；（2）由（1）得e 1xx ≥+，当且仅当0x =，等号成立.令112x n =-，得到1121e 2n n >，从而有112112e n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫< ⎪⎝⎭，即12112e n n n -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合等比数列的前n 项和公式即可证明.（3）()()()()222ln 202e e 20m n m f m bf n f m bn f n -+⋅+≥⇒++≥.当0b <，可验证不满足题意；当0b =，显然成立；当0b >，令()22e e e 2m n m g n b n -=⋅+⋅+，求导后判断单调性求得最小值为min 2e ()ln e e e ln 22m m m m b g n g b bm b b ⎛⎫==⋅+⋅-⋅+ ⎪⎝⎭，令e (0)m t t =>，则()ln ln 22b h t bt bt t bt =+-+，求导后判断单调性求得最小值为()22222222min ln 2ln 2202e 2e 2e 222e 2e b b b b b b b h t h b ⎛⎫⎛⎫==+--⋅+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可解.【详解】（1）()()()e 111ax f x g x x x x ==≠-++，而()()2e 11(1)ax a x g x x +-⎡⎤⎣⎦=+'，①当0a =时，()210(1)g x x =-<+'恒成立，所以()g x 在()0,∞+上递减；②当0a >时，令()0g x '<，得1x <-或111x a -<<-；令()0g x '>，得11x a >-.所以当110a -≤，即1a ≥时，()g x 在()0,∞+上递增，当110a ->，即01a <<时，()g x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；③当a<0时，令()0g x '<，得111x a-<<-或1x >-；令()0g x '>，得11x a <-.所以()g x 在()0,∞+上递减.综上所述，当0a ≤时，()g x 在()0,∞+上递减；当1a ≥时，()g x 在()0,∞+上递增；当01a <<时，()g x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；（2）由（1）得：当1a =且1x ≥-时，()(0)11f x f x ≥=+，此时e 1x x ≥+，又当1,e 1x x x ≤->+，e 1x x ∴≥+，当且仅当0x =，等号成立.令112x n =-，得到111212111e ,22e n n n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎛⎫>∴< ⎪⎝⎭，12112e n n n -⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123232*********e 1462e e e e 1e n n n n -⎛⎫- ⎪⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎝⎭∴++⋯+<++⋯+=⨯⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎥⎣⎦-1121111e e e e n n --⎫--⎪⎝⎭==-（3）()()()()222ln 202e e 20m n m f m bf n f m bn f n -+⋅+≥⇒++≥，①0b <，当,0n m ∞→+→时，显然22e e 20m n m bn -++<，所以此时不成立；②0b =，不等式显然成立.③0b >，令()22e e e 2m n m g n b n -=⋅+⋅+，则()22e e e m n m g n b -=-+'，令()0g n '=，则2e 2e 2e e e ln m m m n nb n b b -=⋅⇒=⇒=.当2e ln mn b<时，()()0,g n g n '<单调递减；当2e ln mn b>时，()()0,g n g n '>单调递增.所以min 2e ()ln e e e ln 22m m m m b g n g b bm b b ⎛⎫==⋅+⋅-⋅+ ⎪⎝⎭，令e (0)m t t =>，则()ln ln 22b h t bt bt t bt =+-+，则()()1ln ln 2b h t b b t b '=++-，令()0h t '=，即11ln ln02b t ++-=，则22e b t =，当202e b t <<，()()0,h t h t '<单调递减；当22e b t >，()()0,h t h t '>单调递增，则()22222222min ln 2ln 2202e 2e 2e 222e 2e b b b b b b b h t h b ⎛⎫⎛⎫==+--⋅+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2e b ≤.综上所述，02e b ≤≤.方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
20.解：（1）当线段 的中点在 轴上时， 垂直于 轴， 为直角三角形，
因为 ，所以 ，易知 ，由椭圆的定义可得 ，
则 ，即 ；即 ，即有 ；
（2）由（1）得椭圆方程为 ，焦点坐标为 ，
令 ，得 ，令 （ ）.以下只需求 的最大值.
求导得 ，
令 ， ， 是 上的减函数，
又 ，故1是 的唯一零点，
当 ， ， ， 递增；当 ， ， ， 递减；
故当 时， 取得极大值且为最大值 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
（Ⅱ） .
令 （ ），以下证明当 时， 的最小值大于0.
求导得 .
①当 时， ， ；
（Ⅱ）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
解：（Ⅰ） ，（2分）
，即 . （4分）
即 ①，故曲线 是圆. （5分）
（Ⅱ）将曲线 的参数方程代入①，化简得 . （7分）
， （8分）
当 时， 取得最大值 ；当 时， 取得最小值 . （10分）
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由 ，得 ， （1分）
三、解答题
17.在 中，角 所对的边分别是 .
（1）求角 ；
（2）若 的中线 的长为 ，求 的面积的最大值.
17.解：(1) ，即 .
(2)由三角形中线长定理得： ，由三角形余弦定理得： ，消去 得: （当且仅当 时，等号成立），即
18.为备战 年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拨赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得 分，负者得 分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 ，丙胜甲的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为 .
①当 的，代入椭圆方程得： ，
可得 ，又 ，同理 ，可得 ；
（2）若 轴，则 ， ，这时 ；
若 轴，则 ，这时也有 ；
综上所述， 是定值6．
21.设函数 ，其中 ， 是自然对数的底数.
（Ⅰ）若 是 上的增函数，求 的取值范围；
（Ⅱ）若 ，证明： .
21．解：（Ⅰ） ， 是 上的增函数等价于 恒成立.
1.已知集合 ， ，则 （ A ）
A． B． C． D．
2．复数 的共轭复数为( A ）
A． B． C． D．
3.已知数列 为等差数列，其前 项和为 ， ，则 为( B ）
A. B. C. D. 不能确定
4.已知函数 在 处取得最大值，则 ( A )
A． B． C． D．
5. 阅读程序框图，该算法的功能是输出（ D ）
福建省高考高三适应性考试
理科数学试题
(时间：120 分钟；满分：150分)
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
两边平方，并整理得 ， （2分）
所以不等式的解集为 . （4分）
（Ⅱ）法一：
由 ，得 ，即 . （5分）
令 ，依题意可得 . （6分）
， （8分）
当且仅当 时，上述不等式的等号同时成立，所以 .（9分）
所以 的取值范围是 . （10分）
法二：
由 ，得 ，即 . （5分）
令 ，依题意可得 . （6分）
， （7分）
易得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值 . （9分）
故 的取值范围是 . （10分）
A．数列 的前 项的和
B．数列 的第 项
C. 数列 的前 项的和
D．数列 的第 项
6.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 步和 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ D ）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数 ， 在以原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（Ⅱ）若曲线 与曲线 交于 两点，求 的最大值和最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 ， .
（Ⅰ）当 ，解不等式 ；
平面 ,所以 平面BFED.5分
又 平面ADE,∴平面 平面 ;6分
（Ⅱ）因为四边形BFED为矩形,所以ED⊥DB,
如图建立空间直角坐标系D-xyz.
设AD=1,则 7分
,设 是平面PAB的
法向量,则
取 9分
又平面 的一个法向量为 10分
.12分
20.已知 为椭圆 上的一个动点，弦 分别过左右焦点 ，且当线段 的中点在 轴上时， ．
A. B. C. D.
12.若至少存在一个 ，使得方程 成立。则实数 的取值范围为（ B ）
A. B. C. D.
二、填空题
13．随着智能手机的普及，络购物越来越受到人们的青睐，某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊随机调查了10位同学，得到的满意度打分如茎叶图所示．
若这组数据的中位数、平均数分别为 ，则 的大小关系是．
14.二项式 的展开式的第二项的系数为 ，则 的值为．3
15.一光源 在桌面 的正上方，半径为 的球与桌面相切，且 与球相切，小球在光源 的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是 ，其中 ，则该椭圆的长轴长为___________
16.在公差不为0的等差数列中， ，记 的最小值为m；若数列 满足 ， ， 是1与 的等比中项，若 对于任意 恒成立，则 的取值范围是_______
A． B． C. D．
7．已知函数 在 处取得最大值，则函数 的图象 （ A ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
8．如图，正方体 中， 为棱 的中点，用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是( A )
9.已知 ， ， ， ，则 的最大值为（ C ）
②当 时， ，令 ，
则 ，又 ，
取 且使 ，即 ，则 ，
因为 ，故 存在唯一零点 ，
即 有唯一的极值点且为极小值点 ，又 ，
且 ，即 ，故 ，
因为 ，故 是 上的减函数.
所以 ，所以 .
综上，当 时，总有 .
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设在该次对抗比赛中，丙得分为 ，求 的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为 .
即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为 ，…………2分
∴ ，∴ .…………6分
（Ⅱ）依题意丙得分 可以为 ,丙胜甲的概率为 ，丙胜乙的概率为 …………7分
, ,
…………10分
A. B. 2 C. D.
10. 实数 ， 满足 时，目标函数 的最大值等于5，则实数 的值为（ B ）
A．2B．3C．4D．5
11.已知 是双曲线 ： 的右焦点， 是 轴正半轴上一点，以 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点 ．若点 ， ， 三点共线，且 的面积是 面积的5倍，则双曲线 的离心率为（ C ）
∴ .…………12分
19.如图，梯形 中， ，矩形 所在的平面与平面 垂直，且 ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 为线段 上一点，平面 与平面 所
成的锐二面角为 ，求 的最小值．
解：（Ⅰ）取 中点 ,连接 ,因为AB//CD,
所以四边形 为平行四边形, 2分
依题意, 为正三角形, 3分
因为平面BFED⊥平面ABCD,平面BFED 平面ABCD ,