高数资料4
高等数学第四章4-4
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
代数基本定理
代数基本定理：对于复数域，每个次数不少于1 代数基本定理：对于复数域，每个次数不少于1的复 系数多项式在复数域中至少有一根。 系数多项式在复数域中至少有一根。 由此推出，一个 次复系数多项式在复数域内有且只 由此推出，一个n次复系数多项式在复数域内有且只 有n个根，重根按重数计算。 个根， 个根 重根按重数计算。 定理： 定理：任意次数的实系数多项式都能够分解成一次和 二次因式的乘积。 二次因式的乘积。 此定理高斯在19世纪给出了完整的证明。 此定理高斯在19世纪给出了完整的证明。 高斯 世纪给出了完整的证明
都是非负整数； 其中 m 、 n 都是非负整数； a 0 , a1 ,L , a n 及
b0 , b1 ,L , bm 都是实数，并且a 0 ≠ 0 ，b0 ≠ 0 . 都是实数，
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湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
多项式的除法
多项式的除法比较复杂，为简单起见， 多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只 研究一元多项式的除法． 研究一元多项式的除法． 像整数除法一样，一元多项式的除法， 像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整 商式、余式的概念． 除、商式、余式的概念． 一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元 一般地，一个一元多项式 除以另一个一元 多项式g(x)时，总存在一个商式 多项式 时 总存在一个商式q(x)与一个余 与一个余 成立， 式r(x)，使得 ，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中 成立 其中r(x) 的次数小于g(x)的次数． 的次数． 的次数小于 的次数 特别地， 能被g(x)整除． 整除． 特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被 时 能被 整除
高数上册第4章不定积分
ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 x ex x ex 分析: x x x e (1 x e ) x e x (1 x e x )
( x 1) e x dx xe x dx e x dx
n 2 k 1 或 sin x cos x (其中k N ) (i). 对于 型函数的积分，可依次作变换 u cos x 或 u sin x ，求得结果 .
2k 2l (ii). 对于 sin x cos x(其中k , l N ) 型函数的积分
可利用倍角公式： sin 2 x 1 cos 2 x ,cos 2 x 1 cos 2 x
得
1 ∴原式 = 2 (cos 5 x cos x)dx 1 1 cos 5 xd (5 x) cos xdx 10 2
1 cos 3x cos 2 x (cos 5 x cos x) 2
例11. 求 解: 原式 =
e
ex
x
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
解法 2
(sec x tan x) sec x tan x 2 sec x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
则
推论: 若
k
i 1
n
i
f i ( x ) dx k i f i ( x )dx
i 1
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高数第四~第五章
第四章 导数与微分一、教学要求1.记住导数的定义式，理解导数的几何意义，会求曲线)(x f y =上某点的切线方程和法线方程。
导数的定义 xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim)(00000如果记x x x =∆+0，则上式可写为00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→ 或记x h ∆=，则h x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→ 导数的几何意义)(x f y =在0x 点的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x M 处切线的斜率。
所以)(x f y =在),(00y x 处的切线方程为 ))((000x x x f y y -'=- 法线方程为)()(1000x x x f y y -'-=- 2.了解函数在某点可导、可微、连续的关系。
函数)(x f y =在点0x 可微、可导、连续的关系可导 可微连续如判断题：函数)(x f y =在点0x x =处不连续，则函数)(x f y =在点0x x =处不可导.（对） 又如：函数)(x f y =在点0x x =可导，则函数)(x f y =在点0x x =必连续3.熟记基本导数公式和基本微分公式，掌握函数的求导方法（导数的四则运算法则、复合函数求导法、隐函数求导法、对数求导法、并能求出二阶导数，隐函数要求能求一阶导），掌握微分的四则运算法则，复合函数微分法则（微分形式的不变性），会求函数的微分。
二、例题例1设函数)(x f y =在点0x x =处可导，且2)(0='x f ，则=∆-∆+→∆xx f x x f x )()2(lim000?解 =∆-∆+→∆x x f x x f x )()2(lim000xx f x x f x ∆-∆+→2)()2(lim 20004)(20='=x f例2求曲线1+=x e y 在点),0(e 处的切线方程。
高数复习资料
《高等数学》课程复习资料一、填空题：1.设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。
2.若2sin x x y x x <<=+≤<⎧⎨⎩-20102，则=)2(πy .3.极限limsinsin x x x x→=021。
4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a ,=b 。
5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。
7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。
8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂y x z 2 。
9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。
10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则'y f =(1,0) 。
11.=⎰xdx x 2sin 212.[0,]cos ,sin y x y x π==在区间上曲线之间所围图形的面积为 。
13.若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则k = 。
14.设Ｄ：221x y +≤，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x)14(2215.设D 由22,,,y x y x y y ====212围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为 和 。
16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Dfdxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为 。
17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 。
18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x 。
19.方程01122=-+-ydy xdx 的通解为 。
高等数学4教材答案详解
高等数学4教材答案详解一、导数与微分1. 导数的定义导数是函数在某一点处的瞬时变化率，通常用f'(x)表示。
导数的定义可以表达为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 导数的基本运算法则2.1 常数规则：如果f(x) = C（C为常数），则f'(x) = 0。
2.2 乘积规则：若f(x) = u(x) v(x)，则f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)。
2.3 商数规则：若f(x) = u(x) / v(x)，则f'(x) = [u'(x) v(x) - u(x) v'(x)] / [v(x)]²。
3. 微分与近似计算微分是导数的一个重要应用，它可以用于函数的线性近似计算。
微分的公式为：dy = f'(x) dx其中dy表示函数f(x)在点(x, f(x))处的微小变化量，dx表示自变量x 的微小变化量。
二、函数的极限1. 极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限为L，可以表示为：lim(x→a) f(x) = L2. 极限的性质2.1 唯一性：如果极限存在，则极限唯一。
2.2 有界性：如果极限存在，则函数在某个邻域内有界。
2.3 保号性：如果lim(x→a) f(x) > 0，则存在a的某个邻域内，使得f(x) > 0。
3. 极限的计算方法3.1 四则运算法则：对于函数的四则运算，可以利用极限的性质进行计算。
3.2 复合函数的极限：如果f(x)的极限为L，g(x)在L处连续，那么f(g(x))的极限为f(L)。
三、一元函数的连续性1. 连续函数的定义如果函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且f(a)等于该极限值，那么称函数在点x=a处连续。
2. 连续函数的性质2.1 连续函数的四则运算：连续函数的加、减、乘、除仍然是连续函数。
2.2 复合函数的连续性：若f(x)在x=a处连续，g(x)在f(a)处连续，则f(g(x))在x=a处连续。
(完整版)考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料
12 四、基本积分表 （1）kdx （2）dxx （3）xdx （4）dxax ；dxex （5）21xdx （6）21xdx
持之以恒，厚积薄发
13 （7）xdxcos （8）xdxsin （9）xdxdxx22seccos1 （10）xdxdxx22cscsin1 （11）xdxxtansec （12）xdxxcotcsc
持之以恒，厚积薄发
23 （5）dxxx21； （6）xdxtan； 【答案】（5）()322113xC； （6）ln|cos|xC
第四章 不定积分
24 （7）)ln21(xxdx； （8）xdxx52cossin； 【答案】（7）ln||1122xC； （8）sinsinsin357121357xxxC
第四章 不定积分
44 2211=()dxdxaxbxcaxhk公式求解 =2222(2)221ln||22mmbaxbnmxnaadxdxaxbxcaxbxcmmbaxbxcndxaaaxbxc
持之以恒，厚积薄发
45 【例1】求下列不定积分 （1）2239dxxx ； 【答案】（1）21ln|23|ln|3|99xxC
第四章 不定积分
46 （2）322xxdx Caxaxadxarctan122； 【答案】（2）11arctan22xC
持之以恒，厚积薄发
47 （3）2(31)23xdxxx； 【答案】（3）231ln|23|2arctan22xxxC
第四章 不定积分
48 （4）321xdxxx 【答案】（4）212321arctan233xxxC
持之以恒，厚积薄发
3 原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若)(xf在I上连续，则必存在)(xF，使得当xI时，)()(xfxF。 【例1】设)(xF是)(xf在(,)ab上的一个原函数，则()()fxFx在(,)ab上（ ） （A）可导 （B）连续 （C）存在原函数 （D）是初等函数 【答案】（C）
高数知识点复习资料
x 1
tan x s)
2 x 1 2 x 1 2 x1 2 2 lim 1 2 x 1 2 x 1
x3 x 3 x 2 9 【求解示例】解：因为 x 3 ，从而可得 x 3 ，所以原 x 3 x 3 1 1 式 lim 2 lim lim x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6
【题型示例】求值 lim （其中 x 3 为函数 f x
1 第二个重要极限： lim1 e x x
（一般地， lim f x lim f x 0 ）
g x
x
1．由 xn a 化简得 n g ， 2．即对 0 ， N g ，当 n N 时，始终 有不等式 xn a 成立， ∴ limxn a
e 2 x1 2 x 1 e1 e
第五节 函数的连续性 ○函数连续的定义
x x0 x x0
2 x2 lim
lim f x lim f x f x0
○间断点的分类
跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极 限存在） 可去间断点（相等） 第二类间断点 ） 无穷间断点（极限为 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
x2 a2 1
（或：过 y f x 图像上点 a, f a 处的切线与法线 方程） 【求解示例】 1． y f x ， y |x a f a 2．切线方程： y f a f a x a 法线方程： y f a
高等数学复习资料大全
高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。
2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。
（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。
（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。
3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。
4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。
5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。
（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。
6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。
二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。
2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。
3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。
4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。
5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。
三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。
2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。
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第八章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 例1 已知 两点 A ( x1 , y1 , z1 ) 和 B ( x2 , y2 , z2 ) 以及 实数 λ ≠ −1 ，在 AB 上求 点 M ，使
���� � ���� AM = λ MB 。
例 2 已知两点 A ( 4, 0,5 ) 和 B ( 7,1,3) ，求与 AB 平行的单位向量。 例 3 求以 a = i + j ， b = −2 j + k 为边的平行四边形的对角线长度。
2
编写人：徐晋
第五节 平面及其方程 例 1 求过 ( 3, 0, −5 ) 且平行于平面 2 x − 8 y + z = 0 的平面方程。 例 2 求过三点 M 1 ( 2, −1, 4 ) ， M 2 ( −1,3, −2 ) ， M 3 ( 0, 2,3) 的平面方程。 例 3 求过 x 轴和点 M ( 4, −3, −1) 的平面方程。 例 4 求过 A (1,1,1) ， B ( 0,1, −1) 且垂直于 x + y + z = 0 的平面方程。 例 5 求在 y 轴和 z 轴上截距分别为 30,10 ，并与 r = ( 2,1,3 ) 平行的平面方程。 例 6 求过 x 轴且与平面 y = x 成
2 2 2 ⎧ ⎪x + y + z = 1 例 4 求曲线 Γ : ⎨ 在 xOy 面上的投影方程。 2 2 2 ⎪ ⎩ x + ( y − 1) + ( z − 1) = 1
例 5 求上半球面 z =
4 − x 2 − y 2 和锥面 z = 3 x 2 + y 2 所围立体在 xOy 面上的投影。
��� �
�
� �
�
�
�
��� � π π 、 ，且 OA = 6 。 3 4 � � � � � � � 例 5 设 a = ( 7, 4, 4 ) ， b = ( 2,1, 2 ) ，求 c 使得 c = 3 ，且当 a 、 b 、 c 平移到同一起点时，
例 4 在第一卦限求点 A ，使向径 OA 与 x 轴、 y 轴的夹角依次为
����
��� �
�
�
�
�
练习 1 设 a = 2 ， b =
�
�
�� � � � � 2 ， a × b = 2 ，且 â ,b 为钝角，求 a ⋅ b 。
( )
�
练习 2 已知 a + b + c = 0 ， a = 3 ， b = 2 ， c = 4 ，求 a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a 。
x y z x −1 y + 1 z − 2 ，证明它们为异面直线，并求公垂线 = = ， L2 : = = 1 2 3 1 1 1 x y z x −1 y − 2 z − 3 均相交的直线 = = 和 L2 : = = 1 2 3 2 1 4
4
⎧x − 4z = 3 平行的直线方程。 ⎩2 x − y − 5 z = 1
例 2 求过 (1, 2,1) 和 ⎨
⎧ x − 2 y − 3z = 0 的平面方程。 ⎩x − z = 6
例 3 求L:⎨ 的夹角为
⎧ x + y − z −1 = 0 在 Π1 : x + y + z = 0 上的投影直线 L' 的方程； 并求过 L' 且与 Π ⎩x − y + z +1 = 0� � ���
�
� � � � � �
� � � a + xb − a � � �� π 练习 3 设 b = 1 ， â （ a ≠ 0） 。 ,b = ，求 lim x →0 4 x � � � � � � �� π � 练习 4 设 a = 3 ， b = 1 ， â ,b = ，求 a + b, a − b 。 6 � � � � � � � � �� � � � 练习 5 设 a , b ≠ 0 ，且 a + 3b ⊥ 7a − 5b ， a − 4b ⊥ 7a − 2b ，求 â ,b 。
�
�
第四节 空间曲线及其方程
⎧x = t ⎪ 例 1 求曲线 T : ⎨ y = t 2 绕 z 轴旋转所形成的旋转面的方程。 ⎪z = t3 ⎩
⎧ x = x (t ) ⎪ 例 2 求曲线 Γ : ⎨ y = y ( t ) ， t ∈ [α , β ] 绕 z 轴旋转所形成的旋转面的方程。 ⎪ ⎩ z = z (t ) ⎧x = 1 ⎪ 例 3 设直线 L : ⎨ y = t ，证明 L 绕 z 轴旋转所形成的曲面为单叶双曲面。 ⎪ z = 2t ⎩
(
)
π 的平面方程。 3
练习 4 求平行于 2 x + y + 2 z + 5 = 0 且与三个坐标面构成的四面体体积为 1 的平面方程。 练习 5 求与原点距离为 6 ，三个截距之比为 1: 3: 2 的平面方程。 练习 6 设 A (1, 0, 2 ) ， B ( −1,1,1) ， C ( 3, 0, 4 ) ，求平行于 ∆ABC 所在平面且与该平面距离 为 2 的平面方程。 第六节 空间曲线及其方程 例 1 求过 ( −3, 2,5 ) 且与 ⎨
例7 求
⎧ x − 3 z +1 = x y −1 z −1 ⎪ 练习 2 证明： L1 : ⎨ 4 相交，并求它们确定的平面方程。 = −3 与 L2 : = 2 2 −1 ⎪ ⎩y = 2
练习 3 求过 P (1, 2,3) 向 L : ⎨ 程。 练习 4 求点 P ( −1, 2, −2 ) 关于 Π : x + 2 y − z + 1 = 0 的对称点 P 1。 练习 5 求点 P ( −1, 2, 0 ) 在平面 x + 2 y − z + 1 = 0 上的投影。
π 的平面方程。 6 x − 2 y z +1 的直线方程。 = = −1 2 0
3
例 4 求过 ( −3, 2,5 ) 切平行于
编写人：徐晋
例 5 求过 (1, −2, 4 ) 且垂直于 2 x − 3 y + z − 4 = 0 的直线方程。 例 6 求过 (1, 0, −3) 且与 x − 4 z = 3 ， 2 x − y − 5 z = 1 平行的直线方程。
�
π 夹角的平面方程。 3
例 7 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成的四面体的中心坐标。 例 8 求平面 x + 2 y + 3 z + 1 = 0 与 2 x + 3 y + z − 4 = 0 的角平分面的方程。 练习 1 求与球面 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 z + 6 = 0 相切于 M 2, 2, −4 的平面方程。 练习 2 求过 (1,1,1) 且垂直于 x − y + z = 7 与 3 x + 2 y − 12 z + 5 = 0 的平面方程。 练习 3 求过 z 轴且与 2 x + y − 5 z − 7 = 0 夹角为
x−2 y −3 z −4 与 2 x + y + z − 6 = 0 的交点。 = = 1 1 2 x y −4 z −3 例 8 求 M (1, 2,3) 到 L : = 的距离。 = 1 −3 2 x y+7 z−2 例 9 求过 P ( 2, −1, −3) 且与 = 垂直相交的直线方程。 = 3 5 2 x y −1 z +1 例 10 求过 P ( 2,1, 0 ) ，平行于 Π : 3 x − 2 y − 2 z = 1 且与 = 相交的直线方程。 = 2 3 −1 x − 2 y −1 z + 2 练习 1 求过 P ( −1,1, 2 ) 及 L : 的平面方程。 = = 3 −2 0
( )
( )
⎣(
(
)
( )
练习 6 已知 a × b ⋅ c = 2 ，求 ⎡ a + b × b + c ⎤ ⋅ c + a 。 练习 7
) � � � � � � 设 a = (1, −2,3) ， b = ( 2,3, −4 ) ，求 ( 2a − 3b ) × ( a − 4b ) 。
( )
⎧x + y − z +1 = 0 所引垂线，且垂直于 x + y + z = 0 的平面方 ⎩x − y + 2z −1 = 0
x −1 y z + 1 x z 垂直且与 = y = 相交的直线方程。 = = 3 2 1 2 −1 x −1 y z + 2 练习 7 求 Π : x + y + z = 1 上与 L : 垂直相交的直线方程。 = = 1 1 −1 π 练习 8 设 L1 经过 M ( 2, −3,5 ) ，与 x 轴和 y 轴的夹角均为 ，与 z 轴夹角为锐角，求 L1 3
(
)
⎧ x = 2t ⎪ 练习 1 设直线 L : ⎨ y = 2t − 2 ，求 L 绕 x 轴旋转所得曲面 S 的一般方程。 ⎪ z = −t + 1 ⎩ ⎧z = y2 练习 2 求曲线 ⎨ 绕 z 轴旋转所得曲面与平面 x + y + z = 1 的交线关于 xOy 面的投影 ⎩x = 0
柱面。 练习 3 设动点 M ( x, y, z ) 到 xOy 面的距离与其到 (1, −1,1) 的距离相等，求 M 的轨迹与柱 面 2 z = y 2 的交线在 xOy 面上的投影曲线。
��� �
� � � c 位于 a 与 b 的角平分线上。
第二节 数量积 向量积 混合积 例 1 已知三点 M (1,1,1) 、 A ( 2, 2,1) 和 B ( 2,1, 2 ) ，求 ∠AMB 。 例 2 设 A (1, 0,1) ， B ( −1,1, 0 ) ， C ( 2, −1,1) ，求 AC 在 AB 上的投影。 例 3 设 a = ( 2,1, −1) ， b = (1, −1, 2 ) ，求与 a 、 b 均垂直的单位向量。 例 4 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (1, 2,3) 、 B ( 3, 4,5 ) 和 C ( 2, 4, 7 ) ， 求 三 角 形 ABC 的 面积。