同济大学(高等数学)-第四章-不定积分

第四章 不定积分

前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．

第1节 不定积分的概念与性质

1.1 不定积分的概念

在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为

()s s t =， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为

()v s t '=．

实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度

()v v t =， 求出质点的位移函数

()s s t =．

即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．

1.1.1原函数

定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有

()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．

例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),

x x x

=>所以ln x 是

1

x

在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．

定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有

()()'=F x f x ．

简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．

定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：

若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ，()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．

假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．

因此我们有如下的定理：

定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ（C 为任意常数）．

若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合

{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．

1.1.2不定积分

定义2 在区间I 上，函数()f x 的所有原函数的全体，称为()f x 在I 上的不定积分， 记作

()d ⎰f x x ．

其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量． 由此定义，若()F x 是()f x 的在区间I 上的一个原函数，则()f x 的不定积分可表示为

()d ()=+⎰f x x F x C ．

注 （1）不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素．

（2）求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加

上一个任意常数C ．

例1 求2

3d x x ⎰．

解 因为32()3,'=x x 所以23

3d x x x C =+⎰．

例2 求sin cos d x x x ⎰．

解 （1）因为2(sin )2sin cos ,'=x x x 所以21sin cos d sin 2

x x x x C =+⎰．

（2）因为2(cos )2cos sin ,'=-x x x 所以21

sin cos d cos 2x x x x C =-+⎰． （3）因为(cos 2)2sin 24sin cos ,'=-=-x x x x 所以

1

sin cos d cos 24

=-+⎰x x x x C ． 例3 求1

d x x

⎰． 解 由于0x >时，1(ln )'=x x ，所以ln x 是1

x

在(0,)+∞上的一个原函数，因此在(0,)+∞内，1d ln x x C x

=+⎰．

又当0x <时，

[]1ln()x x '

-=，所以ln()-x 是1

x

在(,0)-∞上的一个原函数，因此在(,0)-∞内，

1

d ln()=-+⎰x x C x ．

综上，1d ln x x C x

=+⎰．

例4 在自由落体运动中，已知物体下落的时间为t ，求t 时刻的下落速度和下落距离． 解 设t 时刻的下落速度为()=v v t ，则加速度d ()d v

a t g t

==（其中g 为重力加速度）

． 因此

()()d d v t a t t g t gt C ===+⎰⎰

，

又当0t =时，(0)0=v ，所以0C =．于是下落速度()=v t gt ． 又设下落距离为()=s s t ，则

ds

()dt

=v t ．所以 2

1()()d d 2

===

+⎰⎰s t v t t gt t gt C ， 又当0t =时，(0)0=s ，所以0C =．于是下落距离2

1()2

=

s t gt ． 1.1.3不定积分的几何意义

设函数()f x 是连续的，若()()F x f x '=，则称曲线()y F x =是函数()f x 的一条积分曲线．因此不定积分()d ()f x x F x C =+⎰在几何上表示被积函数的一族积分曲线．

积分曲线族具有如下特点（如图4.1）：

（1）积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；

（2）积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的．

图4-1

例5 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程．

解 设曲线方程()=y f x ，曲线上任一点(,)x y 处切线的斜率d 2d y

x x

=，即()f x 是2x 的一个原函数．因为22d =+⎰x x x C ，又曲线过(1,2)，所以

21C =+，1C =．

于是曲线方程为

21y x =+．