北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题4.1

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北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题

第四章总练习题000000001..()()[()()].()(),[0,].()()(),(0)0.L ag ran g e ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y =f (x )在[x -h ,x +h ](h >0)内可导证明存在,0<<1使得令g (x )=(x )在[0,h ]内可导,根据公式存在使得证00000()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞''+--=++-≥=≤≤=====+=++=+-即证明当时等式中的满足且证).11()(12),44111()(12)(1(1)2).44211lim ()lim(12).441lim ()lim(12)41lim4x x x x x xx x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞→+∞≥+=-=+-≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得22111limlim.4423,0123.()()[0,2]1, 1,01(2)(0)1().120, 1x xxx f x f x x x x x f f f x x x →+∞→+∞====⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<<+∞⎪⎩-≤≤⎧-⎪'==⎨--<<+∞⎪⎩设求在闭区间上的微分中值定理的中间值.解2/23/21.221111,;,()[0,2]222x x x f x x-=--=-=-=-=1在闭区间上的微分中值定理的中间值为或22324.[1,1]C au ch y ()()()30(1,1),C au ch y (1)(1)()()0,()200,(0)0,.(1)(1)()()5.()[,],(,f x x g x x g x x f f f c f c f c c c g g g g c g c f x a b a -=='=∈-''--''======''--在闭区间上中值定理对于函数与是否成立?并说明理由.由于有零点中值定理的条件不满足.其实其结论也不成立.因为若，但无意义设在上连续在解2121212),()0,(,)()()0,(,)()0.(,),()0,R o lle (,),(,)()()0.()[,](,),()0,()0,(,).(b f x x a b f a f b x a b f x c a b f c a c c c b f c f c f x c c c c f f x x a b f ξξ''≠∈==∈≠∈=∈∈''=='''''∈=≠∈''上有二阶导数且又证明当时若存在则由定理存在使得对于在应用定理,存在使得此与条件矛盾由假设1证一,c 证二,00)0,(,),,().()(,())(,0)(,())(,0),()0,(,).6.()[,],()()0,(,)()0.:(,)()0.x x a b D a rb o u x f x f x a f a a b f b b f x x a b f x a b f a f b c a b f c a b x f x ''''≠∈==<∈==∈>''<根据定理恒正或恒负不妨设恒正,于是f 下凸,曲线严格在连结的弦下方故设在上有二阶导数且又存在使证明在内至少存在一点使由公式存在证一,c 12121221021()()()(,),()0,()()()(,),()0.()[,]L ag ran g e (,),()()()0.,()0,(,),[,],(,(f c f a f c a c f c c a c af b f c f c c b f c b cc af x c c c c f c f c f x c c f x x a b f a b a f a -'∈==>----'∈==<--'∈''-''=<-''≥∈0满足存在满足对于在应用公式,存在x 使得若不然在下凸曲线在连结12c 证二))(,0)(,())(,0),()0,(,).a b f b b f x x a b ==≤∈的弦下方故1201120121100112121201120127.1-12101.(),1111-121()1-12n n n n n n n nn n n n n n n n n a a a a a a x a xa xa n nn a xa xa a a a x a xa a f x x n nn n n n a a a a f x a x a x a x a n n n ---+-----++++=++++++⎛⎫=++++-+++++ ⎪+-+⎝⎭'=++++-++++++ 证明方程在与之间有一个根考虑函数证1201120121(0)(1)0.,(0,1),()0,1-12101.n nn n n n n a f f R o lle c f c c a a a a a a x a xa xa n nn ---⎛⎫ ⎪⎝⎭'==∈=++++=++++++ 由定理存在即是在与之间的一个根00000008.()(,),,().?L ag ran g e ,()()()(),|()||()()()||()||()||()||(f x a b f x f x f x f c x x f x f x f c x x f x f c x x f x ''∈∈'-=-''=+-≤+-≤0设函数在有限区间内可导但无界证明在(a ,b )内也无界逆命题是否成立试举例说明.若不然设f (x )在(a ,b )内有界M ,取定x (a ,b ),则对于任意 x (a ,b ),根据公式证,)|||().(0,1),01,(0,1)M b a +-<<=逆命题不成立.例内有界但是内无界.(1)(1)00002009.()[,](),(),()[,].(:()()()()()0,()).()[,]2,()()()()0,()n n kf x a b n k k f x fx a b f x f x x x g x g x x f x k n f x a b x f x x x g x g x f x --=-≠'=-≠若函数在区间上有个根一个重根算作个根且存在证明在至少有一个根注意若可以表示成且则称为的重根我们对于作归纳法证明函数在区间上有2个根.如果是重根则且则证.2000121212012001002()()()(),().()[,],,,[,]R o lle ,(,),()0..()[,]11,()()()()0,()(n x x g x x x g x f x x f x a b x x x x x x x x x f x n f x a b n f n x f x x x g x g x f x +''=-+-<'∈=++=-≠'=有根如果在区间上有2个不同的根在应用定理存在使得设结论对于个根的情况成立现在假定在区间上有个根.如果有重根重根则且则10000011000111211121)()()()()()((1)()()()),(1)()()()(),()(1)()0,().1,,[,],,[,]R o lle ,(,),,(n n nn n n n n n n x x g x x x g x x x n g x x x g x n g x x x g x g x g x n g x f x x f n x x x x x x c x x c x x ++++'+-+-=-++-'++-==+≠+∈∈ 有n 重根如果如果有个单重根在区间上应用定理存在,11112111121111])()()0,().,,,,,,11, 1.[,],,[,]R o lle ,(,),,()()()0.()1(1)n kk k i i k k k kk ii f c f c f x n f x n n n k n n x x x x c x x c f c f c f x k nn =---='''===+>>=+∈∈''''===-+-=∑∑ 1k -1k 使得至少有个根如果有不同的根x 重数分别为在上应用定理存在x ,x 使得至少有根个.对f (x )()(1)(())().n n f x fx +'=用归纳假设,至少有一个根22111111112111110.:L eren d re ()[(1)](1,1).2!1()(1)],(1)(1)0,[ 1.1]R o lle 2!(1,1),()0.(1)(1)0(1),1)(,1)R o lle 1),n nn nnnndP x x n n d xf x x f f f n c f c f f n f c c c c =---=-=-''''∈-=-==>-∈-证明多项式在内有个根对于在应用定理，存在使得当时对于在（，应用定理，存在（，证=2122211211(-1)(-1)111111121()12,1)()()0.()(1,1),,(1)(1)0R o lle ,,,(1,1)()()0.()n n n n n n n n n n n n n n c c f c f c x c c ffc c c c x x f x P x P x --------''∈==--==∈-== (n -1)1（使得如此下去，f 在有零点，，在（-1,）,(,),,(,1)应用定理, 得到x 使得是n 次多项式，至多有n 个零点()n P x n ，故恰有个零点.00011.(,),lim ()lim ().:(,),()0.()lim ()lim ().(,),(,),()0.(),().,,(,),()(x x x x f f x f x c f c f x f x f x A x c f c f x A f x A a b x a b f a f x →-∞→+∞→-∞→+∞-∞+∞='∈-∞+∞=≡==∈-∞+∞∈-∞+∞'=≠><∈<设函数在内可导且证明必存在一点使得证若取任意一点都有设存在不妨设根据极限不等式存在a ,b ,满足:000000),()().[,],[,]()()(),()()(),(,),,F erm at ,()0.()()lim ()0lim0.lim ()0x x x f b f x f a b c a b f c f x f a f c f x f b x a b x f c f x f x f x xf x x →+∞→+∞→+∞<∈≥>≥>∈'='∞=='=0在连续必在一点取最大值. 故为极大值点根据引理12.设函数在无穷区间(x ,+)可导,且,证明证由于,根据极限定义,存在正数101111111111,|()|()()()()()())|()|()|()||()||()||()|.,.m ax {,},()(),2,lim0.x x f x f x f x f x f c x x f x f x f x x x x x f x f x f x f x x X x xx f x f x x X xxεεεεεεε→+∞'>'-+-++==≤<+<>=><=11使得x >x 时<.(x -x 为使只需令当时必有故13.()[,),()0,()()0,,()0.()0,()()()()()()0,(),,,,f x a f x l f a f a a a l f x f a f a f a f a a f a f c f a l l l l f a f a a l a a '+∞>>⎛⎫<-⎪⎝⎭=<⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=+->+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设函数在无穷区间内连续且当x >a 时其中l 为常数.证明:若则在区间内方程有唯一实根证在连续由连续怀念书函数的中间值定理在区间()()0.,()R o lle ,(),,()0.14.()(,)lim ()0.()(1)(),lim ()0.lim ()lim ((1)())lim (x x x x x f a f x l f a f x a a f x l l f x f x g x f x f x g x g x f x f x f →∞→∞→∞→∞→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫''->> ⎪⎝⎭'-∞+∞==+-='=+-=内方程至少有一实根若有两个实根根据定理将在有一零点这与条件矛盾设函数在上可导，且现令证明证)(01)0.x θθ+<<=12121215.()[,]L ip sch iz ,0,,[,],|()()|||.(1)()[,],()[,]L ip sch iz (2)(1)?(3)[,]L ip sch iz (1)()[,]0,f x a b L x x a b f x f x L x x f x a b f x a b a b f x a b L >∈-≤-''>称函数在满足条件若存在常数使对于任意都有若在连续则在满足条件中所述事实的逆命题是否成立举一个在上连续但不满足条件的函数.解在连续,存在常数12121212122121|()|.[,].,[,],,[,],|()()||()()||()|()().(2).()[,]L ip sch iz ()[,]()||[1,1]L ip sch iz f x L x a b x x a b x x c x x f x f x f c x x f c x x L x x f x a b f x a b f x x '≤∈∈<∈''-=-=-≤-'=-使得根据中值公式,对于任意存在使得否在满足条件,未必处处可导,更谈不到在连续.例如,在满足条件111111(3)()[0,1],L ip sch iz ()(0,1].16.()[,],()()[,],()()().()()(()())()()()()b annii i i i i i ni i i i f x f x F x a b F x f x a b f x d x F b F a F b F a F x F xF x x f x x ξξ--==-=='='==-'-=-=--→⎰∑∑∑,但在0不可导.连续但不满足条件,因其导函数无界设在可导且其导函数在上可积证明证1()(()0).{}[,].17.()(),(,),()()(),1,,b ai n f x d x x a b P x a P x b c a b P x c P x n P x x x n λ∆→--∈-∈<<+⎰为的分割设多项式与的全部根都是单实根证明对于任意实数多项式的根也全都是单实根.证不妨设a =0,b >0,c (0,b ),是次多项式,且首项系数为正.有单实根则这些根把实轴分为个区间每个区间保持固定正负号且正负相间.否则某个根将为极值点,导数为111232322212221222lim ().0(),,(,),,,(,),(,),().nx k k k k k k i n k P x b P x b x x x x x x x x x x x x x x P x b →∞----=''∞>=<<'''''''<∈∈∈+∞= 零,此与单实根矛盾.在两个无穷区间保持正号,且严格单调递增或递减,在每个有穷区间有一个最值点,且在其两侧分别递增和递减,设为偶数,则=+设且有n 个单实根.必有根据连续函数的中间值定1122233322222*********,(0,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),().,k k k k k k k k i i c b c x c x x c x x c x x c x x c x P c c P n c ------'∈∈-∞∈'''∈∈∈+∞∈+∞=理对于存在使得为次多项式是P (x )=c 的所有单实根.。

北大版高等数学第4章习题集解答

习题4.13212121.()32[0,1][1,2]Rolle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]Rolle 620,33(0,1),(1,2),()()0.332.f x x x x f f f f f x x x xx x f x f x =-+==='-+===+''=∈===2验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点.处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x)=3x 讨论下列解1111()[1,1]Rolle ,,(1,1),()0.(1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)()0,(1,1),()0.1(2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m nx x m mx n nx c f c m f x -----∈-'==+-='=+--+--'=+----==∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/32),(0).33.()ln [1,],?11(),()(1)ln ln11(1), 1.grange (1)|sin sin |||;(2)|tan tan |||,,(/2,/2);(3)ln x f f x x e c f x f e f e e c e x cy x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=-=='=-=-==-=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解222(0).(1)|sin sin ||(sin )|()||cos |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||.(3)ln ln ln (ln )|()((,)).5.()(1)(4)x c x c x c aa b ax y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b ab a x b ac a b a a c aP x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-=∈<=--证明多项式的导函数的证1,212,.()1,2,Rolle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2).6.,,,:()cos cos 2cos (0,).n n P x P x c c c f x c x c x c nx π±±---=+++L L 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证1211()sin sin 2sin [0,]2((0)()0),()(0,).n g x c x c x c nx ng g f x πππ=+++==L 在满足定理的条件故其导函数在内必有根证22(()()7.()()(,),()0,0,(,).()():,()(),(,).(()()()()()()()()()0,()()()(),,,()(),()f xg x f x g x a b g x x a b f x g x k f x kg x x a b f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x g x f x k k f x kg x g x ≠=∈''=∈'''''⎛⎫-=== ⎪⎝⎭==设函数与在内可微且证明存在常数使根据公式的一个推论存在常数使即证(,).8.()(-,)(),.:(),,,.(())()0,.,(),.9.(1)arcsin arccos /2,-11;(2)arctan .x a b f x f x k x f x kx b x k b f x kx f x k k k x f x kx b x x x x x x π∈'∞+∞=-∞<<+∞=+-∞<<+∞''-=-=-=-∞<<+∞-=-∞<<+∞+=≤≤=-∞<<+∞设在上可微且证明其中为常数证明下列等式:证证(1)2arcsin arccos arcsin arccos 0,(1,1),arcsin arccos [1,1],arcsinarccos ,arcsin 0arccos 0,arcsinarccos .22(2)arctan11x x x x x x x x x C C x x x x ππ'''+⎛⎫=+=∈-+- ⎝+==+=+='⎛⎫- ⎝=-+在连续故()=()+()210,1arctan ,00,arctan 0,(,).x x C x C x x =-=+-===-=∈-∞+∞以代入得故220210.:sin ,0/2.sin ()(0/2),(0)1,[0,/2],cos sin cos (tan )(0,/2),()0.2[0,/2],()()(0)1,0/2.211.()(,),(,),li x x x x xf x x f f xx x x x x x f f x x x f f f x f x f x a b x a b πππππππππ<<<<=<≤=--'==<=<<=<<∈证明不等式在连续在可导在严格单调递减设函数在内可微对于任意一点若证 00000000m (),lim ()().()()limlim (01)lim ()lim ().12.(Darboux )()(,),[,](,),()().::x x x x x x x x x f x f x f x f x x x f x xf x x f x y f x A B a b A B f a f b θθθη→→∆→∆→∆→→'''='+∆∆∆'==<<∆∆''=+∆==⊂''<存在则中值定理设在区间中可导又设且证明对于任意给定的00f(x +x)-f(x )证x 1011222()(),(,)().()()()0().()lim 0,)/20,()()00,()()0.()().:0()/2,()().[,]x f a f b c a b f c f a x f a f a f b f a b a xf a x f a x f a x f a f a f a x b a f b f b f a b c ηηδδδδδδ∆→+''<<∈'=+∆-'''<<=<->>∆+∆-<∆≤<+∆-<+<∆<<--<都存在使得先设存在(使得时即特别类似存在某点取最小证1,()()(),,,.(,),Fermat ()0.:()().()().()(),()()0,()()0,,(,)()()0,().f c f a f a c a c b c a b c f c f a f bg x f x x g x f x g a f a g b f b c a b g c f c f c δηηηηηηηη≤+<≠≠∈'''''=<<=-=-''''=-<=->∈'''=-==值f(c)同理是极小值点, 由引理,再设考虑由前面的结果存在使得即习题4.20000000L Hospital :212ln 2ln 21.lim lim .313ln 3ln 3cos 1sin sin 2.lim lim lim 1.ln(1)11/(1)13.lim ln(1)lim x x x x x x x x x x x x x xx x x xx →→→→→→→'-==---==-=--+-+⎛⎫-⎪⎪+⎭⎛=用法则求下列极限000/2lim lim 1lim .2tan 34.lim lim tan x x x x x x x π→→→→⎫⎛⎫==⎛⎫==-=222/222001000000001/5010003sec 3 3.sec ln(cos )(1/(cos ))(sin )5lim lim .ln(cos )(1/(cos ))(sin )ln 1/16.lim ln (0)lim lim lim 0.()7.lim lim x x a x x x x x x y x x ax ax ax a a bx bx bx b bx x x x x x x e y x e παααααα→→→---→+→+→+→+-→→+∞=-==->===-=-=505050/50/50/50220222200022250lim lim lim 0.8.lim (tan ).(tan ),lim ln lim (2)ln tan ln tan sec /tan lim lim 2lim 122(2)y y y y y y y x x x x x z x x y y e e e x y x y x xx x x x x ππππππππππ→+∞→+∞→+∞--→-→-→-→-→-→-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-===----()022ln 200022lim ln 01/0033000tan 0,lim lim sin 1.1ln 9.lim 1(0)lim lim ln .1arcsin arcsin 10.lim lim sin x yx x yy y xx y y y y y z z y ez ee a a aa x a a y y y y yy y πππ→-→-→-→∞→→→→→=====-->===--==20011111230111.3361ln 111.lim lim 1ln (1)ln ln 11ln lim lim ln (1)/ln (1)1/1lim .ln 22112.lim l sin y y y y y y y x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y x e x x →→→→→→→-→==-=-⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+-== ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭⎛⎫== ⎪+⎝⎭--=22224200001/1/02220002011im lim 11lim lim .222arctan arctan 13.lim ,,arctan arctan 1ln (/arctan )lim ln lim lim 2(1)arctan lim 2x y x y y y y y x x x x x x x x e y e x y e e y x x y x x xx xx x x x x y x xx x x --→→--→→→→→→→----=-+-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+⨯==-+=232001/1/3011ln ln 112arctan 1arctan 1lim lim ,633arctan lim .14.lim arctan .arctan .22ln arctan 2lim ln lim lim ln arctan (12x x x x xxx x x x x x x x x x x e x x y x x x y x x ππππ→→-→→+∞→+∞→+∞→+∞--==-=-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭21ln 12222200000)limlim 1,lim arctan .112arctan (1)(1)tan sec 1tan 215.lim lim lim lim lim 2.sin 1cos 1cos 1cos sin xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x x x x π-→+∞→+∞→+∞→→→→→+⎛⎫=-=-=--= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--=====---- 2000111cosh cos sinh sin cosh cos 16.limlim lim 1.22(ln 1)1(ln 1)117.lim lim lim ln 11/11x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x →→→→→→-++===-+-+-==-+--211222/(ln 1)lim 2.12218.lim arctan .arctan .21ln(arctan )(1/arctan )21lim ln lim lim,112lim arctan .x x x xxx x x x xx x x x x y x x x x y x x x e ππππππ-→→+∞→+∞→+∞→+∞-→+∞++==--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯+===--⎛⎫= ⎪⎝⎭习题4.3221221223212222211.0Taylor :(1)sinh 2111()22!(21)!2!(21)!().3!(21)!111(2)ln 2122221x xn n n n n n n o o x e e x x x x x x x x n n x x x x n x x x x x x x n n -+++++-=-=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--++-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++++++⎛⎫-=--+---- ⎪+-⎝⎭L L L L 求下列函数再点的的局部公式22212321224221212223()2221().32111(2)(2)(2)(3)sin (1cos 2)(1)().222!4!(2)!21(4)(21)(1())1(n n nn n nn n n n o o o o x x x x n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-++++ ⎪-⎝⎭⎛⎫=-=-++-+ ⎪⎝⎭+-=-+-++++-=-+++L L L L L 22211236636342333())2(())(1())1222().(5)cos 1(1)().2!(2)!2.0Taylor :(1)sin ()sin 1()266n n n n n n n n nn n x xo o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x x x n x e x x x x x e x x x x ++++++-+++++++++=-----+=-++-+=⎛⎫=++++-+ ⎪⎝⎭L L L L 求下列函数再点的的局部公式至所指定的阶数解3424424234452344333()().3()11151()1()2816128224153251().2816384)111(2)(228o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+--++=+-+--+233222231)(2)161111(3)(3)(3)2816x x x x x x x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+-+--++-+ ⎪⎝⎭323223332331111(2)(4)(8)28161111(3)(96)(27)()28161115().2816o o x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-+-+--+-+ ⎪⎝⎭=+++222221212003521211/23.0Taylor (1)arctan .11(1)()11(1)(2)arcsin ()121(1)().352111111222(1)n n n k n x k n k n n n o o o x x x x x xx dt x x t k x x x x x n k x ++=++-==-++-++-==+++=-+++-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+=∑⎰L L L 求下列函数在点的局部公式:解202000212100()!(21)!!(1)()(2)!!(21)!!(),(2)!!(21)!!arcsin ()(2)!!(21)!!().(2)!!(21)4.Taylor :1(1)lim n k n k nk kn k nkn k nx x k nk nk n k x o o o o o x x k k x x k k x x k k x t dx t dt k k x t k k ====++=→⎪+-=-+-=+-=+-=++-∑∑∑∑⎰⎰∑利用公式求下列极限2422423402200000011()21lim.sin 2816()111112(2)lim lim lim lim .1(1)(1)(())21cos 1sin cos (3)lim lim sin sin sin x x x xx x x x x x x x x o o o x x x x x e x x x x x e x e x x e x e x e x x x x x x x x x x x x -→→→→→→→⎛⎫---++ ⎪-⎝⎭==-+----⎛⎫-==== ⎪---+⎝⎭-⎛⎫-= ⎪⎝⎭32333001sin ()1()62sin cos 1lim lim .3x x o xx x x x x x x x x x →→⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫---+ ⎪-⎝⎭===习题4.4532222221221.:(1)35.1515(1),15(1)15(1)(1)0,1,0, 1.y x xx x xy x x x x x x x x=-'-=-'=-=-+==-==求下列函数的单调性区间与极值点4解y=15x2132311(2).0.2110, 1.y xx xxy xx x x=-≠-'=-+=== x (-∞,0) (0,1) 1 (1,+ ∞)x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ∞) y'+ 0 -0 -0 +y 极大值❍无极值❍极小值22225.,sin cos sin(),,||/2.()sin()(sin cos)(0)0,()cos()cos,()sin().()sin()()(0)(0),22|()||sin()(sin cos)|2x a x a a x axf x a x a x af f x a x af x a xf c a cf x f f x x xxf x a x a x a++=+-+'==+-''=-+''-+'=++==+-+≤当较小时可用近似代替其中为常数试证其误差不超过证23441/32342344.116.01/3,1,26810.11111 1,126242624243.000717810.x xx xx xx e x x x ee e ee x x x x e x x x xθθ--<≤=+++⨯⎛⎫⎛⎫=++++-+++=≤⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<⨯L设按公式计算的近似值试证公式误差不超过证y'+ -0+y ❍极小值222222222(3),(,).1121220, 1.(1)(1)xy xxx x xy xx x=∈-∞+∞++--'=⨯=⨯==±++x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) y'-0 + 0 -y ❍极小值-1 极大值1 ❍22222221(4)ln,0.2(ln)(1/)ln2(ln)ln ln[2ln]0,1,.y x xxx x x x x x x xy x x ex x x=>---'====== x (0,1) 1 (1,e2) e2(e2,+ ∞) y'-0 + 0 -y ❍极小值极大值❍32222.()29122[1,3],.()618126(32)6(1)(2)0,1,2.(1)21,(1)7,(2)6,(3)11.(1)21,(3)11f x x x x f x x x x x x x x f f f f f f =-++-'=-+=-+=--==-=-===-=-=求函数在区间上的最大值与最小值并指明最大值点与最小值点是最小值是最大值.解()()()()2222203.22()()2(),/2.3222()(2)430,3333,(/2)()0.().44312.22p x V x p x p x px p p x p x p V p p x px p px p x p V p V p V p p p p ππππ=---=--≤≤'=---=-+=====-=将周长为的等腰三角形绕其底边旋转一周,求使所得旋转体体积最大的等腰三角形的底边长度.设腰长为则是最大值等腰三角形的底边长度解,23x322324.,()12,(),[0,3].()32,320,1 2.3,0.()3.()333(1)(1)0,1,()6,(1)6,(1),(l k f x x lx kx x l k f x f x x lx k l k l k k l f x x x f x x x x x f x x f f f =++=-'=++-+=-+-==-='=-=-=-+=''''=±=±=±求出常数与的值使函数在处有极值并求出在这样的与之下的所有极值点以及在上的最小值和最大值是极小值解 1).(0)0,(1)2,(3)18.(1)2,(3)18.f f f f f -==-==-=是极大值是最小值是最大值5.,,,.sin OB OA a O A Kϕπ设一电灯可以沿垂直线移动是一条水平线长度为.问灯距离点多高时点有最大的照度6.,,?a b 若两条宽分别为及的河垂直相交若一船从一河转入另一河问其最大的长度是多少3000/2csc sec ,0.2sec tan csc cotsec tan 0,,csc cot tan ,tan arctan lim (),lim (),02l a b al a b ba b l l l θθπθπνθθθθθθθθθθθθπθθθ→→=+<<'=-+=====⎛⎫=+∞=+∞ ⎪⎝⎭设船与一岸夹角为则船长为在，有最小值，是最小值点.解,()()()()222222220.7.()(),0.32()3233323()0,.333a a a x V a x a x x a V x a x a x x ax a ax ax a x a x a x πππππ==-+≤≤'=-++-=--+=-+-=--+==在半径为问其高及底半径应是多少?设球心到内接圆锥体底的距离为,则锥体体积=解3332(0),()0,().()333273a aV a V a V a V ππ===⨯为最大值．ab20222222224,0,4,0,(4)2.89.4(18,0)()1818(),0().44lim (),()[0118180,448z h a V h a V V a r a ay x y z d f y y z g z z z y g z g z z z z →+∞''<<>>===⎛⎫⎛⎫==-+=-+=≤<+∞= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+∞+∞⎛⎫'-+=-= ⎪⎝⎭当时当时为最小值,此时在曲线上求出到点的距离最短的点．　在，）有最小值．g (z)=2解()()2222264,(0)324,(64)68(0),(64)8,16.44(18,0)(16,8),(16,8)10.,.,(),0.2()232g g g y g y z x y x H H x HV x R x x R RV x R x x Rx x x R ππππ===<==±===-=-≤≤'=--=-=为最小值．曲线上到点的距离最短的点．试求内接于已知圆锥且有最大体积的正圆柱的高度．设已知圆锥的高度为底半径为设内接正圆柱的底半径为则其体积为解()2222230,0,.322(0)()0..().33311.1.cos ,02.sin (,0),cos (1sin ),0.2x x R H H V V R V R h R R R x y x a bx a t t y b t b S ab t t t S ππ-==⎛⎫==-= ⎪⎝⎭+==⎧≤≤⎨=⎩-=+≤≤'为最大值此时内接正圆柱的高度=试求内接于椭圆且其底平行于轴的最大等腰三角形的面积设内接等腰三角形的顶点在而底边上的一个顶点在第一象限.内接三角形面积解22200[sin (1sin )cos ][1sin 2sin ](sin )1(21)(21)(1)0,sin .21133(0),()0,()11.242ab t t t ab t t t z ab z z ab z z z t S ab S S t ab ab π=-++=--==-+-=--+===⎛⎫===-+= ⎪⎝⎭为最大值222012.8m/min ,50m ,,6m/min.??.()(8)(506),0.lim (),()0.()12812(506)2006000, 3.(0)50,t A O B x x A B s f t t t t f t f t t f t t t t t f f →+∞==+-≥=+∞≥'=--=-===设动点自平面坐标的原点开始以速度沿y轴正向前进而点在轴的正向距离原点处同时沿轴向原点作匀速运动速度为问何时与距离最近最近的距离是多少在取最小值解222(3)24321600,40.340m.d d =+===开始后分钟达到最近距离习题4.5()()()()22222222222321.()()212,()12(2)4642320,0,x x x x x xx x f x xe f x e x e e x f x e x x xe e x x xe x x --------='''-=-=---=-+=-+==求函数的凸凹性区间及拐点.解=x(-∞,-32)-32(-32,0) 0(0, -32) 32(32,+∞)f " - 0 + 0 - 0 + f⋂拐点⋃拐点⋂拐点⋃x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,2)2 (2,)+∞y '- 0 + + 0 - y ''+ + - - y☎⋃极小值⋃拐点⋂极大值☎⋂2321,(,).32(2)0,0,2.220, 1.y x x x y x x x x x y x x =-∈-∞∞'=-=-==''=-==作下列函数的图形：2.222223.,(,).2(2)(2)0,0,2;(2)(22)(42)0,2 2.x x x x x x x x y x e x y xe x e e x x e x x x y e x x e x e x x x --------'=∈-∞+∞=-=-=-==''=--+-=-+==±x(,0)-∞(0,22)-22-(22,2)-2(2,22)+22+ (22,)++∞y '-+ +--y ''++--+y]⋃ 极小值 Z ⋃ 拐点 Z ⋂极大值 ]⋂ 拐点 ]⋃x(,1)-∞-1-(1,0)- (0,1)1(1,)+∞y ' + 0 - -0 + y ''- -+ + y⋂极大值☎⋂☎⋃极小值⋃222314.,0.1110,21;.y x x xx y x x xy x =+≠-'=-==''=±=x(,1)-∞- -1(1,1)- (1,5)5(5,)+∞y ' + 0 + - 0 + y ''-+++yZ ⋂拐点 Z ⋃ ]⋃ 极小值 Z ⋃32223422244323226(1)5., 1.(1)3(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(3322)(1)(1)(5)(1)(5),(1)(1)(1)0,1,5.[2(1)(5)(1)](1)3(1)(5)(1)(1)[2(x y x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x +=≠-+--+-'=-+----+--+-===---'==-+-++--+--''=-+=22442422441)(5)(1)](1)3(1)(5)(1)(1){[2(5)(1)](1)3(1)(5)}(1)(1){(39)(1)3(45)}(1)(1){(3129)3(45)}24(1)0 1.(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++--+--+-++--+-=-+-----=-+-+---+====---，224333/2ln6.,0.1ln0,.12(1ln)12(1ln)32ln),0,.xy xxxy x exx x x x xxyx x xy x e=>-'===-⨯--+--''==-=-''==x (,)e-∞ e 3/2(,)e e3/2e3/2(,)e+∞y'-0 + +y''+ + 0 -y ]⋃极小值Z⋃拐点Z⋂221221221121122121()(,)()(,).()0,(,).()(,)(,),,(,),,()()()(),()()()().0(()())(),y f x a b f x a b f x x a b y f x a b a b x a b xf x f x f x x x f x f x f x x xf x f x x xx x''''=≤∈=∈<''≤+-≤+-''≤--->117.设函数在内有二阶导数且在内向上凸证明在在内向上凸故对于任意x x两式相加得消去得证12210()(),()(),(),()0, (,).f x f x f x f x f x f xx a b'''''''≤-≤≤∈即是单调递减函数故习题4.632223/223/221.:111(1)31,;399(2)3,12(3)()(sin ),()(1cos ),,|6|(1)91,18, 6.(1)(10)112(2)1,1,1(1)(y x x x y x x t a t t y t a t a t y y x y x K y y x y y x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎛⎫=⎪-⎝⎭=-=-''-'''=-===='++'''=++=-=--求下列曲线在指定点的曲率在处在处;其中为常数在=/2处.解33/22223/222223/21164..91)125(1)16(3)(1cos ),sin ,sin ,cos ,()2.21(0,1)(1)(1)154,40,1,44||14,(1)4K x a x a t x a t y a t y a t K a a y x y y y y x y y y y y K R y αβ==-+''''''=-=====+=+'''++'''==-==+=+=''''''==='+求曲线在点处的曲率圆方程.00解.=x 222223/223/251,:().443.243?.44-4, 4.1,(1,1)(1)(1(44)).x y y x x y y x y K x y x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭=-+'''''====='++-曲率圆方程问曲线上哪一点处曲率最大并对其作几何解释当时最大对应点恰是抛物线的顶点解第四章总练习题000000001..()()[()()].()(),[0,].()()(),(0)0.Lagrange ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y=f(x)在[x -h,x +h](h>0)内可导证明存在,0<<1使得令g(x)=(x)在[0,h]内可导,根据公式存在使得证00000()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞''+--=++-≥=≤≤=====+=++=+即证明当时中的满足且00).11()(12),44111()(12)(1(1)2).44211lim ()lim (12).441lim ()lim (12)41lim 4x x x x xx x x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞≥+=-=+≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得22111lim lim .4423,0123.()()[0,2]1, 1,01(2)(0)1().120, 1x xx x f x f x x xx x f f f x x x====⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<<+∞⎪⎩-≤≤⎧-⎪'==⎨--<<+∞⎪⎩设求在闭区间上的微分中值定理的中间值.解2/23/21.221111,;,()[0,2]222x x x f x x -=--=-=-=-=1在闭区间上的微分中值定理的中间值为22324.[1,1]Cauchy ()()()30(1,1),Cauchy (1)(1)()()0,()200,(0)0,.(1)(1)()()5.()[,],(,f x x g x x g x x f f f c f c f c c c g g g g c g c f x a b a -=='=∈-''--''======''--在闭区间上中值定理对于函数与是否成立?并说明理由.由于有零点中值定理的条件不满足.其实其结论也不成立.因为若，但无意义设在上连续在解2121212),()0,(,)()()0,(,)()0.(,),()0,Rolle (,),(,)()()0.()[,](,),()0,()0,(,).(b f x x a b f a f b x a b f x c a b f c a c c c b f c f c f x c c c c f f x x a b f ξξ''≠∈==∈≠∈=∈∈''=='''''∈=≠∈''上有二阶导数且又证明当时若存在则由定理存在使得对于在应用定理,存在使得此与条件矛盾由假设1证一,c 证二,00)0,(,),,().()(,())(,0)(,())(,0),()0,(,).6.()[,],()()0,(,)()0.:(,)()0.x x a b Darboux f x f x a f a a b f b b f x x a b f x a b f a f b c a b f c a b x f x ''''≠∈==<∈==∈>''<根据定理恒正或恒负不妨设恒正,于是f下凸,曲线严格在连结的弦下方故设在上有二阶导数且又存在使证明在内至少存在一点使由公式存在证一,c 12121221021()()()(,),()0,()()()(,),()0.()[,]Lagrange (,),()()()0.,()0,(,),[,],(,(f c f a f c a c f c c a c af b f c f c c b f c b c c af x c c c c f c f c f x c c f x x a b f a b a f a -'∈==>----'∈==<--'∈''-''=<-''≥∈0满足存在满足对于在应用公式,存在x 使得若不然在下凸曲线在连结12c 证二))(,0)(,())(,0),()0,(,).a b f b b f x x a b ==≤∈的弦下方故1201120121100112121201120127.1-12101.(),1111-121()1-12n n n n nn n n n n n n n n n n n a a a a aa x a x a x a n n n a x a x a a a a x a x a af x x n n n n n n aa a a f x a x a x a x a n n n ---+-----++++=++++++⎛⎫=++++-+++++ ⎪+-+⎝⎭'=++++-++++++L L L L L L 证明方程在与之间有一个根考虑函数证1201120121(0)(1)0.,(0,1),()0,1-12101.n n n n n nn a f f Rolle c f c c a a a a aa x a x a x a n n n ---⎛⎫ ⎪⎝⎭'==∈=++++=++++++L L 由定理存在即是在与之间的一个根00000008.()(,),,().?Lagrange ,()()()(),|()||()()()||()||()||()||(f x a b f x f x f x f c x x f x f x f c x x f x f c x x f x ''∈∈'-=-''=+-≤+-≤0设函数在有限区间内可导但无界证明在(a,b)内也无界逆命题是否成立试举例说明.若不然设f (x)在(a,b)内有界M,取定x (a,b),则对于任意 x (a,b),根据公式证,)|||().(0,1),01,(0,1)M b a +-<<=内有界内无界.(1)(1)00002009.()[,](),(),()[,].(:()()()()()0,()).()[,]2,()()()()0,()n n k f x a b n k k f x f x a b f x f x x x g x g x x f x k n f x a b x f x x x g x g x f x --=-≠'=-≠若函数在区间上有个根一个重根算作个根且存在证明在至少有一个根注意若可以表示成且则称为的重根我们对于作归纳法证明函数在区间上有2个根.如果是重根则且则证.2000121212012001002()()()(),().()[,],,,[,]Rolle ,(,),()0..()[,]11,()()()()0,()(n x x g x x x g x f x x f x a b x x x x x x x x x f x n f x a b n f n x f x x x g x g x f x +''=-+-<'∈=++=-≠'=有根如果在区间上有2个不同的根在应用定理存在使得设结论对于个根的情况成立现在假定在区间上有个根.如果有重根重根则且则10000011000111211121)()()()()()((1)()()()),(1)()()()(),()(1)()0,().1,,[,],,[,]Rolle ,(,),,(n n n n n n n n n n x x g x x x g x x x n g x x x g x n g x x x g x g x g x n g x f x x f n x x x x x x c x x c x x ++++'+-+-=-++-'++-==+≠+∈∈L L L 有n重根如果如果有个单重根在区间上应用定理存在,11112111121111])()()0,().,,,,,,11,1.[,],,[,]Rolle ,(,),,()()()0.()1(1)n kk k i i k k k kk i i f c f c f x n f x n n n k n n x x x x c x x c f c f c f x k n n =---='''===+>>=+∈∈''''===-+-=∑∑L L L L L L 1k-1k 使得至少有个根如果有不同的根x 重数分别为在上应用定理存在x ,x 使得至少有根个.对f (x)()(1)(())().n n f x f x +'=用归纳假设,至少有一个根22111111112111110.:Lerendre ()[(1)](1,1).2!1()(1)],(1)(1)0,[ 1.1]Rolle 2!(1,1),()0.(1)(1)0(1),1)(,1)Rolle 1),n n n n nn n d P x x n n dxf x x f f f n c f c f f n f c c c c =---=-=-''''∈-=-==>-∈-证明多项式在内有个根对于在应用定理，存在使得当时对于在（，应用定理，存在（，证=2122211211(-1)(-1)111111121()12,1)()()0.()(1,1),,(1)(1)0Rolle ,,,(1,1)()()0.()n n n n n n n n n n n n n n c c f c f c x c c f f c c c c x x fx P x P x --------''∈==--==∈-==L L L (n-1)1（使得如此下去，f 在有零点，，在（-1,）,(,),,(,1)应用定理, 得到x 使得是n 次多项式，至多有n 个零点()n P x n ，故恰有个零点.00011.(,),lim ()lim ().:(,),()0.()lim ()lim ().(,),(,),()0.(),().,,(,),()(x x x x f f x f x c f c f x f x f x A x c f c f x A f x A a b x a b f a f x →-∞→+∞→-∞→+∞-∞+∞='∈-∞+∞=≡==∈-∞+∞∈-∞+∞'=≠><∈<设函数在内可导且证明必存在一点使得证若取任意一点都有设存在不妨设根据极限不等式存在a,b,满足:000000),()().[,],[,]()()(),()()(),(,),,Fermat ,()0.()()lim ()0lim0.lim ()0x x x f b f x f a b c a b f c f x f a f c f x f b x a b x f c f x f x f x xf x x →+∞→+∞→+∞<∈≥>≥>∈'='∞=='=0在连续必在一点取最大值. 故为极大值点根据引理12.设函数在无穷区间(x ,+)可导,且,证明证由于,根据极限定义,存在正数101111111111,|()|()()()()()())|()|()|()||()||()||()|.,.max{,},()(),2,lim 0.x x f x f x f x f x f c x x f x f x f x x x x x f x f x f x f x x X x x x f x f x x X x x εεεεεεε→+∞'>'-+-++==≤<+<>=><=11使得x>x 时<.(x-x 为使只需令当时必有故13.()[,),()0,()()0,,()0.()0,()()()()()()0,(),,,,f x a f x l f a f a a a l f x f a f a f a f a a f a f c f a l l l l f a f a a l a a '+∞>>⎛⎫<- ⎪⎝⎭=<⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=+->+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设函数在无穷区间内连续且当x>a 时其中l 为常数.证明:若则在区间内方程有唯一实根证在连续由连续怀念书函数的中间值定理在区间()()0.,()Rolle ,(),,()0.14.()(,)lim ()0.()(1)(),lim ()0.lim ()lim((1)())lim (x x x x x f a f x l f a f x a a f x l l f x f x g x f x f x g x g x f x f x f →∞→∞→∞→∞→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫''->> ⎪⎝⎭'-∞+∞==+-='=+-=内方程至少有一实根若有两个实根根据定理将在有一零点这与条件矛盾设函数在上可导，且现令证明证)(01)0.x θθ+<<=12121215.()[,]Lipschiz ,0,,[,],|()()|||.(1)()[,],()[,]Lipschiz (2)(1)?(3)[,]Lipschiz (1)()[,]0,f x a b L x x a b f x f x L x x f x a b f x a b a b f x a b L >∈-≤-''>称函数在满足条件若存在常数使对于任意都有若在连续则在满足条件中所述事实的逆命题是否成立举一个在上连续但不满足条件的函数.解在连续,存在常数12121212122121|()|.[,].,[,],,[,],|()()||()()||()|()().(2).()[,]Lipschiz ()[,]()||[1,1]Lipschiz f x L x a b x x a b x x c x x f x f x f c x x f c x x L x x f x a b f x a b f x x '≤∈∈<∈''-=-=-≤-'=-使得根据中值公式,对于任意存在使得否在满足条件,未必处处可导,更谈不到在连续.例如,在满足条件111111(3)()[0,1],Lipschiz ()(0,1].16.()[,],()()[,],()()().()()(()())()()()()banni i i i i i i ni i i i f x f x F x a b F x f x a b f x dx F b F a F b F a F x F x F x x f x x ξξ--==-=='='==-'-=-=--→⎰∑∑∑,但在0不可导.连续但不满足条件,因其导函数无界设在可导且其导函数在上可积证明证1()(()0).{}[,].17.()(),(,),()()(),1,,bai n f x dx x a b P x a P x b c a b P x c P x n P x x x n λ∆→--∈-∈<<+⎰L 为的分割设多项式与的全部根都是单实根证明对于任意实数多项式的根也全都是单实根.证不妨设a=0,b>0,c (0,b),是次多项式,且首项系数为正.有单实根则这些根把实轴分为个区间每个区间保持固定正负号且正负相间.否则某个根将为极值点,导数为111232322212221222lim ().0(),,(,),,,(,),(,),().n x k k k k k k i n k P x b P x b x x x x x x x x x x x x x x P x b →∞----=''∞>=<<'''''''<∈∈∈+∞=L L 零,此与单实根矛盾.在两个无穷区间保持正号,且严格单调递增或递减,在每个有穷区间有一个最值点,且在其两侧分别递增和递减,设为偶数,则=+设且有n 个单实根.必有根据连续函数的中间值定1122233322222*********,(0,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),().,k k k k k k k k i i c b c x c x x c x x c x x c x x c x P c c P n c ------'∈∈-∞∈'''∈∈∈+∞∈+∞=理对于存在使得为次多项式是P(x)=c 的所有单实根.18.()(,),,()0.()()0(,)(),()()0,[,](,)),.Rolle ()(()())0,()()0.19.3x f x a b f x f x f x a b f x g a g b g a b a b g x e f x f x f x f x A x -∞+∞='+==='''∈=+=+=设函数在内可导且是方程的两个实根证明方程在内至少有一个实根.设在连续, 在可导根据定理, 存在 c (a,b),使得即决定常数的范围,使方程x 证 g(x)=e 43243232322212318624.()38624,()1224122412(22)12[(2)(2)]12(2)(1)12(2)(1)(1)0,.1,1, 2.()19,(1)13,(2)8.((x x x A P x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x P x P P P --++'=--+=--+=--+=---=--=--+==-===-==-有四个不相等的实根根据这些数据画图，由图易知当在区间解4321),(2))(13,8)38624P x x x x A -=----++时有四个不相等的实根.2300220.()1(1).:()023,.0()0,21lim (),lim (),,,,()0,()0.(,),()0.()1nn x x x x x f x x f x n nn x f x f n k f x f x a b a b f a f b x a b f x f x x x →-∞→+∞=-+-++-=≤>=-=+∞=-∞<><∈='=-+-L 设证明方程当为奇数时有一个实根当为偶数时无实根当时故只有正根当为奇数时,存在根据连续函数的中间值定理,存在使得证 ,2122222110(0),0,,1.1210, 1.101,()0,1,()0,(1)0,(1)0,().21.()()()()[,k k k k x x x x f x x n k x x x x x x f x x f x f x f n f x u x v x u x v x a ---++-=<>>---+'=-+-++===--''<<<>>>>''L L 当时严格单调递减故实根唯一当为偶数时,f (x)=是时的最小值故当为偶数时无实根设函数与以及它们的导函数与在区间],[,].()(),.()().()().b uv u v a b u x v x u x v x u x v x ''-上都连续且在上恒不等于零证明在的相邻根之间必有一根反之也对即有与的根互相交错地出现试句举处满足上述条件的与121212121212212,()[,].0,()0,()0.()[,],[,],()()0,Rolle ,[,],()()0,)()0,[,]x x u x a b x x u v uv v x v x v x ux x w a b w x w x c x x vu v uv w c c u v uv c u v uv v x x ''<-≠≠≠==∈''-'''''==-=-设是的在的两个根,由于如果在上没有根则=在连续由定理存在使得即(此与恒不等于零的假设矛盾.故v(x)在上有证cos(),sin ,--10,sin cos .u x v x u v uv x x ''===≠根.例如的根交错出现22222222222arctan 22.:0(),arctan (tanh ).tanh 2tanh arctan arctan sinh cosh (1)arctan 1cosh ()tanh tanh (1)tanh cosh 1sinh 2(1)arctan ()2(1)tanh cosh x x f x x x x x xx x x x x x x f x x x x x x x x xg x x x x π'>=<-'-+⎛⎫+'=== ⎪+⎝⎭-+==+证明当时函数单调递增且证22222222222222.(1)tanh cosh (0)0.()cosh 212arctan ,(0)0,2()2sinh 22arctan ,(0)0,12(1)222(1)()4cosh 224cosh 21(1)11444cosh 20(0cosh 11x x x g g x x x x g xg x x x g xx x x g x x x x x x x x x x x x x +=''=--=''''=--=++--'''=--⨯=--++++=-+>>++当时31),Taylor 0()()0,()0,.3!arctan arctan lim ()lim ,0.tanh 2tanh 2x x x g x g x x f x f x x f x x x x θππ→+∞→+∞>>'=>>==><由公式,对于有严格单调递增故对于有22222tan 23.:0.2sin ()sin tan ,()cos tan sin sec 2sin sin sec 2,()cos sec 2sin sec tan 2(cos sec 2)2sin sec 201(cos sec cos 2,(0,/2)).cos (0)(0)0x x x x xf x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x xf f ππ<<<=-'=+-=+-''=++-=+-+->+=+≥∈'==证明当时有证2223222,Taylor ()tan ()0,sin tan 0,((0,/2)).2sin 24.:(1)1,0.(2)ln(1),0.2(3)sin ,0.611,0.21(2)ln(1),0.(1)ln(1)x x xf x x x f x x x x x x x xe x x x x x x x x x x x e e x x x x x x x x x x x x x θθπθ''=>-><∈>+≠-<+>-<<>=++>+≠+=-<>++=-根据公式,证明下列不等式证(1)2233321,0.23(1)2(3)()sin ,(0)0,()1cos 0,2()0,0,()(0)0,0.()sin ,6()cos 1,()sin 0,0.02,()(0)0,x x x x x f x x x f f x x x n f x x f f x f x x g x x x x g x x g x x x x g x g x g x θπ+>->+''=-==-≥==>>=>⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎛⎫'''=--=-+>>> ⎪⎝⎭>=仅当时故当时严格单调递增当时严格单调递增2111ln 120.25.(1)(1)(1),[0,1)...ln ln(1),11...26.()tan /4Taylor tan(50)()sec ,()nn n n n nniin n i i qx qn n n x q q q q x q q qx x q q q q x eex x f x x x f x x f x π+==-︒>=+++∈-=+<=<--=<=='''==∑∑L 设其中常数证明序列有极限单调递增有上界故有极限求函数在处的三阶多项式,并由此估计的值.证解22242sec tan ,()4sec tan 2sec .x x f x x x x '''=+()1,()2,()4,()16.4444f f f f ππππ''''''====。

北大版高等数学课后习题答案_完整版

习题 1.12222222222222222223.33,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11n nn n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.:6.120000(1)(1)(1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=+∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.1(1,)(1)(1)111(1).112113.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).y x x x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x xy y x =+-+∞+-++=+-==<>+++++++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数在内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题 1.4221.-(1)lim(0);(2)lim ;(3)lim ;(4)lim cos cos .|-||-||-|1)0,||,,||,||.,||,||,lim.(2)0x a x ax ax ax ax ax a a x a e e x a x a x a x a x a x a x a ax a x a a a x a x a x a aεδεεεεδεδεε→→→→→=>===∀>-=<<-+-<-<=-<-<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使由于只需取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.m in{,1},||,1|2|1|2|||,lim (3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x a ax a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a a a x a x a x a e e e e e eεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln 1,m in{,1},0,||,1|2|lim lim lim 0,|cos cos |2sinsin 2sin sin ||,2222,|,|cos cos x a ax a a x a x a x a x a x a x ae e x a x a e e e a e e e e e e x a x a x a x ax a x a x a x a εεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-< ⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时. ..(4)20|,lim cos cos .2.lim (),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)limlim 2x ax ax x x a f x l a a a a a u f x x a f x l f x f x l l f x l l l M x x εδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证 3.:2002222200002212202lim (1) 1.222sin sin 1cos 11122(2)lim lim lim 1.22221(3)limlim(0).()222(4)lim.22332(5)lim 22x x x x x x x x x x xx x x x x x x x a axa xx x a a ax x x x x x x x →→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪==== ⎪⎪⎝⎭+-==>++---=------- 2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2112(7)limlim 1.(11)13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==++--==++--+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3123(123)(2)(123)(9)limlim 2(2)(2)(123)(28)(2)244lim.63(4)(123)(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x n n nx y y x x x x x x x x x x x x x x x x n n ny y y x y n x y yx →-→→→→→→→∞--==--++-+-+++=--+++-+===-++-+++-+-===- ()22221011001001010*******11lim 0.11(12)lim (0)./,(13)lim (0)0, , .818(14)lim lim 1x m m m mnn n x nn mm m n n x n x x x x x a x a x a a b b x b x b b a b m n a x a x a a b n mb x b x b m n x x →∞--→--→∞→∞→∞+--==++-+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩++=+ 42/ 1.11/x x =+332022333333222333322333322033331312(15)lim(1312)(13131212)lim()(13131212)5lim(1)(13131212)55lim .3(1)(13131212)(16)0,l x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x a →→→→+--++--+++-+-=++++-+-=++++-+-==++++-+-> 22220001im lim ()()1lim ()x a x a x a x a x ax a x a x a x a x a x a x a x a x a x a →+→+→+⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪+-++⎝⎭00()1lim ()11lim .()2x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a a →+→+⎛⎫-=+ ⎪+-++⎝⎭⎛⎫-=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)lim lim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=- 利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2.1cos 2sin2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x x xxx x a x a x a a x a x ak k k e x x x y →+→+→→----→∞→∞→∞→=-===-+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.52222222222221.(1)10(2)sin 5.(1)0,|110|.,1111,||,,|||110|,10555()(2)(1)0,|sin 5sin 5|2|cos ||sin |.22x x x x a x x x x x x x x x x x x x a x a x a εδεεεεδεδεεε-+==∀>+-+=<≤++++<<=<+-+<+=+-∀>-=<试用说法证明在连续在任意一点连续要使由于只需取则当时有故在连续.要使由于证000000555()2|cos ||sin |5||,5||,||,225,|||sin 5sin 5|,sin 55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x a x a x a x a x a x a x x a y f x x f x x x f x f x x f x x x f x εεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000)()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f x f x a b f x a b x a b f x x x f x f x f x f x f x f x f x εδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-< 于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证 220001,,(),()|11,ln(1), 1,1,0,(1)()(2)()arccos , 1. 0;lim ()lim 11(0),lim ()(0)x x x x f x f x x a x x x x f x f x a x x a x x f x x f f x f π→-→-→+⎧=≡⎨-⎩⎧+≥⎧⎪+<==⎨⎨<+≥⎩⎪⎩=+====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)0111122sin 2limsin301.(2)lim ()lim ln(1)ln 2(1),lim ()lim arccos (1)ln 2,ln 2.5.3:11(1)lim coscos lim cos 0 1.(2)lim 2.(3)lim x x x x x x x xx x xx a f x x f f x a x a f a x x x xx x xeeπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-+-+-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin 22sin334422.88(4)lim arctan arctan lim arctan1.114xx x x e x x x x π→∞→∞=++===++22222222()()(ln ())()(5)lim (12)||lim (12)||3||33lim lim .21211/12/6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x x x x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x x x x x x x x x x x x f x a g x b f x a f x e →∞→∞→∞→∞→→→→→⎡⎤+--=+--⎣⎦⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥++-++-⎣⎦⎣⎦=>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.11.21. 212,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩+<+≥-+<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 求出满足不等式的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求00223,(2);2(2)()0?(3)()2?391(1)(0)[14]14,1467.(2)[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).lim ()12,lim ()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+→+→-⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在处是否连续连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a n a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝ 类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+ 作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.§2,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭ 定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++== 证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<= 设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证2220011/1112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1(4)lim()lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x x y n n x x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→-→→+=====++++=+==+∞≤≤≥=== 设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++== 故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解333032233222000002.,:(1);(2)2,0;(3)sin 5.()(1)lim(33)lim lim (33)3.2()2(2)lim 2lim(2lim x x x x x x y ax y px p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax xp x x px x x xy p x xx p ∆→∆→∆→∆→∆→∆→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆+∆-+∆-'==∆∆+∆=根据定义求下列函数的导函数解0000000)()2lim()()212lim.25(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x x x x xp x x x x x x x x p p x x x xx x xx x xy x xx x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→-+∆+∆=∆+∆+∆+∆+==+∆++∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆ 5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴200022222222,,().22(),.,2222,.222,.p p py px y M PMN Y y X x yy px p y x N X y X x X x x y p p p p FN x FM x y x pxp p p x px x x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++=+=+=∠=∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解 323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GM g R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+= in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解y =x 21/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()lim xx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f 习题2.2()()()()()()2222222222222221.,:sin (1)(cos )sin ,.(cos )sin .2111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)112,.111121121xx x x x x xx x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x '''=-=-=-'''-=-=-=---'''⎡⎤+=+=⎣⎦+'''⎡⎤+=+++=++⎣⎦+=++下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错332222222()2223.111(4)ln |2sin |(14sin )cos ,.2sin 1ln |2sin |(14sin cos ).2sin 2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin );(2)(),(sin );(3)u g x x x xxx x x x x x x x x x x x f g x f u f x x f x f f x f x d d f x f x dx dx=+=++'⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin )2sin .(2)()()224.(sin )(sin )(sin )2sin cos sin 2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g x f x x f f x x f x x df x f x x x x x dxdf x f x x x x x dxf g x f g x f g x f g x g x ''''''====''===''==='''''= 与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec ,(cos )(cos )(cos )(cos )(sin )tan sec .(3)sin 3cos5,3cos35sin 5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin 33sin x x y y x x x y x y x x x x x x x y x x y x x y x x y x x x x x ---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-= 求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin 3)3sin cos 4.x x x x x x x -=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==524222422222in cos (sin cos ).(8)cos 1,5cos 1(sin 1)15cos 1sin 1.111(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx xy x y x x x x x x xx x y y x x x x ππππππ+=+'=+=+-++++=-+⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-2222222222222224.:111(1)arcsin (0),.111111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos .11111(4)arctan ,.111(5)ar 22xy a y aa a x x a x y a y a a a a a x x a x y x x x y x x xy y x x x xx a y a x '=>==-⎛⎫- ⎪⎝⎭'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=---'===-++=-+ 求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222222222222222222222222222222222222121122211.2(6)ln (0)221112221.2222(7)arcsin ,1x x a y a x a a x x a x a a x a x a x a x x a x x a y x a a a x x a xy x a x a x x a x a x a x a x a x a x a xy x x -'=-++-⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+=---++=++>⎛⎫'=++++ ⎪++++⎝⎭=+++=+++=≠±+222222222222222222221.12(1)22112sgn(1)2.(1)11141(1)2(8)arctan tan (0).2211sec 221tan 211sec 2()tan ()cos ()s 22x x x x x y x x x x xx a b x y a b a b a b a b x y a b x a ba b a b x x x a b a b a b a b +---'===+++--+⎛⎫-=>≥ ⎪ ⎪+-⎝⎭-⎛⎫'=⎪-+⎝⎭-++==++-++- 2222222in 21.cos (9)(1)(12)(13),ln ln(1)ln(12)ln(13)123/,2(1)2(12)22(13)3123.2(1)2(12)22(13)314(10)12,.212(11),.(12)x a b x y x x x y x x x y y x x x x x x y y x x x x x x xy x x y x x xy x a y x a =+=+++=+++++'=+++++⎡⎤'=++⎢⎥+++⎣⎦+'=++=++'=+=+2222,.xy a x y a x-'=-=-222222222311(13)ln(),1.21(14)(1)(31)(2).ln ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e x y x x a y x x a x a x ay x x x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=++=+= ⎪++++⎝⎭=-+-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+ 11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+ 2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?2220()2cos8364sin 8,8sin 8cos8(8)()16sin 8,2364sin 811()8,,,()16.2161616m/s.x t t t t t x t t tt t t x πππππππππαπππ=+--'=-+-'====- 活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1sin (2)(22)sin ,222(3)(1cos )2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x x xy x x x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++=+-=++=-=→=====→=→ 当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.11(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.44422(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫''===+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)5551222113333332220.0010.0011,.2.00127.32.16.1.1632.1621.16/322(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-=+=+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-= 试计算的近似值求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数解0,.x ay y b-'=--。

北大版高等数学教材答案

北大版高等数学教材答案第一章极限和连续1.1 从数列的极限到函数的极限1.1.1 数列极限的定义1.1.2 数列极限的性质1.1.3 函数极限的定义1.1.4 函数极限的性质1.1.5 无穷小与无穷大1.2 一元函数的连续性1.2.1 函数连续的定义1.2.2 连续函数的性质1.2.3 闭区间上连续函数的性质1.3 极限存在准则1.3.1 两个重要极限存在准则1.3.2 极限存在准则的应用1.4 函数的间断点1.4.1 第一类间断点1.4.2 第二类间断点1.4.3 间断点的分类1.4.4 间断点与连续性的关系第二章导数与微分2.1 导数的概念与几何意义2.1.1 导数的定义2.1.2 几何意义2.1.3 导数的性质2.2 导数的计算2.2.1 利用导数定义计算2.2.2 导数的四则运算2.2.3 高阶导数2.3 函数的微分与高阶导数2.3.1 函数的微分2.3.2 高阶导数的计算2.4 切线与法线2.4.1 切线的定义2.4.2 切线与导数的关系2.4.3 法线的定义2.4.4 法线与导数的关系2.5 隐函数与参数方程的导数2.5.1 隐函数的导数2.5.2 参数方程的导数2.6 可导与连续函数第三章微分中值定理与导数应用3.1 Rolle定理与Lagrange中值定理3.1.1 Rolle定理的条件与结论3.1.2 Lagrange中值定理的条件与结论3.1.3 多次应用Lagrange中值定理3.2 函数的单调性与极值3.2.1 函数的单调性与单调区间3.2.2 极值的必要条件与充分条件3.2.3 极值的判定和求解3.3 函数图形的描绘3.3.1 函数的对称性3.3.2 函数的周期性3.3.3 函数的凹凸性与拐点3.4 洛必达法则与泰勒展开3.4.1 洛必达法则3.4.2 泰勒展开3.5 导数在自然科学中的应用3.5.1 导数在物理学中的应用3.5.2 导数在生物学中的应用3.5.3 导数在经济学中的应用第四章不定积分4.1 基本积分公式4.1.1 基本积分公式的推导4.1.2 基本积分公式的应用4.2 第一换元法4.2.1 第一换元法的步骤4.2.2 第一换元法的应用4.3 分部积分法4.3.1 分部积分法的推导4.3.2 分部积分法的应用4.4 第二换元法4.4.1 第二换元法的步骤4.4.2 第二换元法的应用4.5 有理函数的积分4.5.1 有理函数的积分的一般步骤4.5.2 有理函数分解的方法4.6 函数的定义积分4.6.1 定义积分的概念4.6.2 定义积分的性质4.7 牛顿—莱布尼茨公式与定积分的应用4.7.1 牛顿—莱布尼茨公式4.7.2 定积分在曲线长度计算中的应用4.7.3 定积分在平面图形的面积计算中的应用第五章定积分5.1 定积分的定义与性质5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的性质5.2 定积分的计算5.2.1 分割求和法5.2.2 定积分的换元法5.2.3 定积分的分部积分法5.3 定积分的应用5.3.1 定积分在物理学中的应用5.3.2 定积分在几何学中的应用5.3.3 定积分在经济学中的应用5.4 不定积分与定积分之间的关系5.4.1 不定积分与定积分的定义5.4.2 不定积分与定积分的性质5.4.3 不定积分与定积分的计算方式...（以此类推，继续描述后续章节内容）这是根据北大版高等数学教材的章节划分及内容概要，提供了一个大纲结构。

第四章微分中值定理与泰勒公式1-4

23
3. 拉格朗日中值定理的三个重要推论 (1)推论1 设f (x)在区间[a,b]上可导，且f (x)=0, x [a,b].则f (x)=C, x [a,b]. (C为常数)
证：x1,x2 [a,b], 不妨令x1<x2, 则f (x)在[x1, x2] 上满足拉格朗日中值定理条件，故有
(0 1)
f ( x x) f ( x) f ' ( x x)x, 0 1
或或
y f ' ( x x)x, 0 1
y f ' ( )x, ,
在x与x x之间.
21
f (b) f (a) f ' ( )(b a)
当f ( ) m时，f ' ( 0) 0, f ' ( 0) 0, 故f ' ( ) 0.
注:(费马定理) 当最大(小)值点在(a,b)内达到时,其导数为零。
6
例1. 设f (x)=(x a)(xb)(xc)(xd) ，a<b<c<d为实数. 证明方程 f (x)=0，有且仅有三个实根，并指
又 F(a) = F(b) = 0,
故由Rolle定理，至少存在一点(a, b)，使得 F ( )=0
16
f (b) f (a) F ( x) f ( x) f (a ) ( x a) ba f (b) f (a) F ' ( x) f ' ( x) . ba
x ( +)，
f ( x) 即要证 x 1, x ( , ), e
令
f ( x) ( x) x , x ( , ). e
而 F ' ( ) 0,

第四章微积分中值定理与泰勒公式

第四章微积分中值定理与证明4.1 微分中值定理与证明一基本结论 1．连续性定理：定理1（零点定理）若()f x 在[,]a b 连续，()()0f a f b ⋅<，则(,)a b ξ∃∈，使得 ()0f ξ=。

定理2（最值定理）若()f x 在[,]a b 连续，则存在12,x x 使得12(),()f x m f x M ==．其中,m M 分别是()f x 在[,]a b 的最小值和最大值．定理3（介值定理）若()f x 在[,]a b 上连续，则存在最小值和最大值分别是,m M ，对于任意的[,]C m M ∀∈，都存在[,]a b ξ∃∈使得()f C ξ=．更一般的结论：若()f x 在[,]a b 上连续，对1x ∀，2[,]x a b ∈，（假设12()()f x f x <），则12[(),()]C f x f x ∀∈，都存在12(,)x x ξ∈，使得()f C ξ=。

2．微分中值定理：定理1（费玛定理）如果0x 是极值点，且()f x 在0x 可导，则0()0f x '=．定理2 （罗尔定理）若()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，()()f a f b =，则(,)a b ξ∃∈，使得()0f ξ'=．定理3（拉格朗日定理）若()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a b a f ξ'-=-．定理4（柯西定理）若()f x ，()g x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，且()0g x '≠，则 (,)a b ξ∃∈使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-．定理5（泰勒公式和麦克劳林公式）（数三不要求）泰勒公式：设()f x 在0x 的某个邻域内0()U x 具有1n +阶导数，则0()x U x ∀∈，有 ()(1)1000000()()()()()()...()()!(1)!n n nn fx ff x f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+，其中ξ在x 和0x 之间，常常把ξ表示为00()x x x θ+-，01θ<<．麦克劳林公式：设()f x 在0的某个邻域内(0)U 具有1n +阶导数，则(0)x U ∀∈，有()(1)1(0)()()(0)(0)...!(1)!n n nn fff x f f x x xn n ξ++'=+++++，其中ξ在0和x 之间．3．连续定理和微分中值定理特点：（1）证明存在性，使函数在一点的函数值满足某个等式，常应用连续性定理：零点定理、最值定理、介值定理，其中最常用的是零点定理．（2）证明存在性，使函数在一点的导函数值满足某个等式，常应用微分中值定理：费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式，其中最常用的是罗尔定理．（3）费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理仅仅涉及一个函数，而柯西中值定理涉及到两个函数；（4）若题设涉及到高阶导数，常应用到泰勒公式和麦克劳林公式；二基本方法题型1 方程的根的讨论（函数的零点）1．方程根（函数的零点）的存在性：主要应用零点定理．2．方程根（函数的零点）的个数的讨论：求出单调区间，对每个单调区间应用零点定理来判断是否有零点，即是否有根，从而得到函数在给定的区间上根的个数以及根所处的位置（范围）．例1 证明：当230a b -<时，实系数方程320x ax bx c +++=只有唯一实根．证明令32()f x x ax bx c =+++，则2()32f x x ax b '=++，由于230a b -<，于是2()320f x x ax b '=++>，即()f x 单调递增的．由于lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()x f x →-∞=-∞所以()y f x =与x 轴有且仅有一个交点．即方程320x ax bx c +++=只有唯一实根．例2 证明：方程1ln 0ex x +=只有一个实根．证明设1()ln e f x x x =+，则()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，解得1ex =．显然在10,e⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，于是()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调减少；在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，于是()f x 在1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调增加，而10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以方程1ln 0e x x +=只有一个实根．例3 讨论方程33x x c -=中的常数c ，在什么情况仅有一个根，两个根，三个根？解令3()3f x x x c =--，则2()33f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±．于是在(,1)-∞-上，()f x 单调增加，在(1,1)-上，()f x 单调减少；在(1,)∞上，()f x 单调增加。

《高等数学》(北大第二版 )6-7多元函数的微分中值定理与泰勒公式

泰勒多项式
例， = 2, f 在(x0 , y0 )的泰勒多项式是如 n
f (x0 , y0 ) + f x (x0 , y0 )∆x + f y (x0 , y0 )∆y
1 2 + [ f xx (x0 , y0 )∆x2+ 2 fxy (x0 , y0 )∆x∆y + f yy (x0 , y0 )∆y ]. 2! π 2 例1 求函数 f (x, y) = sin( x y) 在点(1,1)的二阶泰勒多 2
ϕ(1) −ϕ(0) = ϕ′(θ ),
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f (x0 , y0 )
∂f ∂f = (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆x + (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆y. ∂y ∂x
证毕.
推论若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且
∂f ∂f 满足 ≡ 0, ≡ 0, 证明：f(x,y)在D内为一常数. ∂y ∂x 证在区域D内任意取定一点P0 (x0 , y0 ). ∀P(x, y) ∈D，
1. 二元函数的微分中值定理
定理1 定理1
(二元函数的拉格朗日中值公式) 二元函数的拉格朗日中值公式
又假定D中有两个点P0 ( x0 , y0 )与P ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) , 1 并且P0到P的直线P0 P ⊂ D, 则存在θ , 0 < θ < 1, 使得 1
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) ∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y 或写成

北大版高等数学课后习题答案_完整版

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+033233223220312(1212)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xx xxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

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习题
4.1
3
2
12121.()32[0,1][1,2]R o lle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]R o lle 620,6
3
(0,1),(1,2),()()0.
332.f x x x x f f f f f x x x x
x x f x f x =-+==='-+==
=
''====2
验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点.
处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x )=3x 讨论下列
解11
1
1
()[1,1]R o lle ,,(1,1),()0.
(1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1)
(1)(1)()0,(1,1),()0.
1
(2)(m
n
m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m m x n n x c f c m f x -----∈-'==+-=-
'=+--+--'=+----==
∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/3
2),(0).
33.()ln [1,],?11(),()(1)ln ln 11(1), 1.
4.L ag ran g e (1)|sin sin |||;
(2)|tan tan |||,,(/2,/2);(3)
ln
x
f f x x e c f x f e f e e c e x
c
y x x y x y y x x y b a b b b
a ππ-'=-
=='=
-=-==
-=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解2
2
2
(0).
(1)|sin sin ||(sin )|()||co s |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||.(3)
ln
ln ln (ln )|()((,)).
5.()(1)(4)x c x c x c a a b a
x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a
a
c
a
P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-=
∈<
=--证明多项式的导函数的证1,212,.
()1,2,R o lle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2).
6.,,,:()co s co s 2co s (0,).
n n P x P x c c c f x c x c x c n x π±±---=+++ 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证
1211()sin sin 2sin [0,]2
((0)()0),()(0,).
n g x c x c x c n x n
g g f x πππ=+
++
== 在满足定理的条件
故其导函数在内必有根证2
2
(()()7.()()(,),()0,0,(,).
()
()
:,()(),(,).
(()
()()
()
()()()()()0,
()()()(),,,()(),()
f x
g x f x g x a b g x x a b f x g x k f x kg x x a b f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x g x f x k k f x kg x g x ≠=∈''=∈'
''''⎛⎫-=== ⎪⎝⎭==设函数与在内可微且证明存在常数使根据公式的一个推论存在常数使
即
证(,).
8.()(-,)(),.:(),,,.
(())()0,.,(),.9.(1)arcsin arcco s /2,-11;(2)arctan arcsin
.
x a b f x f x k x f x kx b x k b f x kx f x k k k x f x kx b x x x x x x π∈'∞+∞=-∞<<+∞=+-∞<<+∞''-=-=-=-∞<<+∞-=-∞<<+∞+=≤≤=-∞<<+∞设在上可微且证明其中为常数证明下列等式:
证证(1
)2
arcsin arcco s arcsin arcco s 11
0,(1,1),arcsin arcco s [1,1]
,arcsin arcco s
,arcsin 0arcco s 0,
arcsin arcco s .
2
2
(2)arctan arcsin
11x x x x x x x x x C C x x x x
π
π
'''+⎛
⎫
=
+-=∈-+- ⎝+==+=+=
'
⎛
⎫- ⎝
=-
+在连续故()=()+()2
10,
11arctan arcsin ,00,arctan arcsin 0,
(,).
x
x x C x C x x =
-
=++-===-=∈-∞+∞以代入得故
2
2
02
10.:sin ,0/2.
sin ()(0/2),(0)1,[0,/2],
co s sin co s (tan )
(0,/2),()0.
2
[0,/2],(
)()(0)1,0/2.
2
11.()(,),(,),li x x x x x f x x f f x
x x x
x x x f f x x x
f f f x f x f x a b x a b ππ
ππππ
πππ
<<<<=
<≤=--'==
<=
<<=<<∈证明不等式在连续在可导在严格单调递减设函数在内可微对于任意一点若证 0
0000
00
m (),lim ()().
()()lim
lim
(01)
lim ()lim ().
12.(D arb o u x )()(,),[,](,),()().::x x x x x x x x x f x f x f x f x x x
f x x
f x x f x y f x A B a b A B f a f b θθθη→→∆→∆→∆→→'''='+∆∆∆'==<<∆∆''=+∆==⊂''<存在则
中值定理设在区间中可导又设且证明对于任意给定的00f (x +x )-f (x )
证x
1011222()(),(,)().
()()
()0().()lim
0,)/20,
()()
00,()()0.()().
:0()/2,()().[,]x f a f b c a b f c f a x f a f a f b f a b a x
f a x f a x f a x f a f a f a x
b a f b f b f a b
c ηηδδδδδδ∆→+
''<<∈'=+∆-'''<<=<->>∆+∆-<∆≤<+∆-<+<∆<<--<都存在使得先设存在(使得时
即特别类似存在某点取最小证1,()()(),,,.(,),F erm at ()0.:()().()().()(),()()0,()()0,,(,)()()0,().
f c f a f a c a c b c a b c f c f a f b
g x f x x g x f x g a f a g b f b c a b g c f c f c δηηηηηηηη≤+<≠≠∈'''''=<<=-=-''''=-<=->∈'''=-==值f (c )同理是极小值点, 由引理,再设考虑由前面的结果存在使得即。

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