2014辽宁省大连八中高三高考仿真试卷理科数学试题含答案

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辽宁省大连市2014届高考第二次模拟数学(理)试卷有答案

2014年大连市高三第二次模拟考试数学（理科）试卷有答案命题人：赵文莲安道波廖尔华王新乙参考公式：球的体积公式334R V π=，其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.设集合{}8,4,2,1,0=U ，{}8,2,1=A ，{}8,4,2=B ，则=)(B A C U A. {}0 B. {}2,0 C. {}4,1,0 D. ∅2.设复数z 满足i zi +-=3（i 为虚数单位），则z 的虚部是A. 3-B. i 3-C. 3D. i 3 3.命题“R x ∈∀，021>-x ”的否定是A. R x ∈∀，021≤-xB. R x ∈∃，021≤-xC. R x ∈∃，021>-xD. R x ∈∀，021<-x4.已知向量与向量满足1||=，2||=，-⊥(），则与的夹角是A.6π B. 4π C. 2π D. 3π5.如图给出的是计算201614121++++ 的值的一个程序框图,,其中判断框内应填入的条件是A. 10>iB. 10<iC. 20>iD. 20<i6.若{}n a 是等差数列，公差0≠d ，632,,a a a 成等比数列，则该等比数列的公比是 A. 1 B. 2C. 3D. 47.如果方程11222=+++m y m x 表示双曲线，则实数m 的取值范围是A. )1,2(--B. ),1()2,(+∞---∞C. )1,1(-D. )2,3(--8.函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，πϕ<||）的图象如图所示，则其中ω，ϕ分别为A. 2-=ω，3πϕ=B. 2=ω，3πϕ=C. 2=ω，32πϕ-= D. 2-=ω，3πϕ-=9.设141313114095)1()1()1()23()1(a x a x a x a x x +++++++=+- ，则=++++13210a a a aA. 93B. 9532-C. 52 C. 5923-10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-+---=3241|1|1)(2x x x x f )2()2(>≤x x ，如在区间),1(+∞上存在n （1≥n ）个不同的数n x x x x ,,,,321 使得比值nn x x f x x f x x f )()()(2211=== 成立，则n 的取值集合是A. {}4,3,2,1B. {}3,2,1C. {}3,2D. {}4,3,211.沿边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 进行折叠，使折后两部分所在的平面互相垂直，则折后形成的空间四边形ABCD 的内切球的半径为A.262-B. 261-C. 221- D. 1 12.设函数)(x f 是连续函数，且在1=x 处存在导数，如函数)(x f 及其导函数)(x f '满足xx f x x x f )(ln )(-=⋅'，则函数)(x f A. 既有极大值，又有极小值 B. 有极大值，无极小值C. 有极小值，无极大值D. 既没有极大值，又没有极小值第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z -=4的最小值为 .14.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，该多面体的体积为 .15.过抛物线px y 22=（0>p ）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于B A ,两点，B A ,在y 轴上的正射影分别为D 、C ，若梯形ABCD 的面积为310，则=p .16.已知数列{}n a 满足：21=a ，121+-=+n n n na a a ，令11+⋅=n n n a a b ，则数列{}n b 的前n 项和=n S三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知函数x x x x x f 22cos 2cos sin 3sin )(+⋅+=（R x ∈）. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2)(=A f . （1）求函数)(x f 的单调增区间及对称中心；（2）若3=a ，求ABC ∆面积的最大值.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥A B C D P -中，90=∠DAB ，CD BC ⊥， 30=∠CDB ，且2=====AD AB PD PB PA .（1）求证：面⊥PBD 面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PBC所成锐二面角的余弦值.PABCD19. （本小题满分12分）有6名员工，3男3女，平均分配到甲、乙、丙三个部门。

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．解答：解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数的运算性质．专计算题；综合题．题：分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假；平行向量与共线向量．专题：简易逻辑．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1﹣a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．解答：解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为，故选D．点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．解答：解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f （1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，∴m≥，即m的最小值为．故选：B．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

数学_2014年某校高考数学八模试卷(理科)(含答案)

2014年某校高考数学八模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 集合A ={0, 2, a}，B ={1, a 2}，若A ∪B ={0, 1, 2, 4, 16}，则a 的值为( ) A 0 B 1 C 2 D 42. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≤0”的否定为（）A 对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≥0B 对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≤0C 存在x 0∈R ，使得x 02−2x 0+4>0 D 存在x 0∈R ，使x 02−2x 0+4≤0 3. 已知向量a →=(2, 3)，b →=(−1, 2)，若ma →+4b →与a →−2b →共线，则m 的值为（） A 12B 2C −12D −24. 对于函数f(x)=sin 2(x +π4)−cos 2(x +π4)，下列选项中正确的是（） A f(x)在(π4, π2)上是递增的 B f(x)的图象关于原点对称 C f(x)的最小正周期为2π D f(x)的最大值为25. 如图，若N =5时，则输出的数等于（）A 54 B 45 C 65 D 566. 某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位：cm ，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（）A 100(3+√5)cm 2B 200(3+√5)cm 2C 300(3+√5)cm 2D 300cm 2 7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ̂=b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A 63.6万元B 65.5万元C 67.7万元D 72.0万元8. 已知等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0且q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 9. 已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么任取一个三位数，它是渐升数的概率为（） A 1425 B 775 C 760 D 71010. 已知函数f(x)={−x 2+2x ，x ≤0ln(x +1),x >0，若f(x)=ax 有且只有一个实数解，则a 的取值范围是（）A [1, 2]B (−∞, 0]C (−∞, 0]∪[1, 2]D (−∞, 2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分.考生注意：请在15.16.17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.11. 设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2为纯虚数，则x =________． 12. 设x ，y 满足{x +y <1y ≤x y ≥0，则z =3x +y 的最大值是________．13. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点是双曲线x 216−y 2m =1的右焦点F ，且双曲线的右顶点A 到点F 的距离为1，则p =________．14. 已知f(x)=xe x ，f 1(x)=f ′(x)，f 2(x)=[f 1(x)]′，⋯，f n+1(x)=[f n (x)]′，n ∈N ∗，经计算f 1(x)=1−x e x，f 2(x)=x−2e x，f 3(x)=3−x e x，⋯，照此规律，则f n (x)=________．【不等式选做题】15. （不等式选做题）已知x 、y 均为正数，且x +y =1，则√3x +√4y 的最大值为________．【几何证明选做题】16. 如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC =1，∠BCD =30∘，则圆O 的面积为________．【坐标系与参数方程选做题】17. 在极坐标系中，若过点(1, 0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）18. 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30∘，∠ADB=45∘．（1）求sin∠ABC；（2）求BD的长度．19. 已知{a n}是正数组成的数列，a1＝1，且点(√a n, a n+1)(n∈N∗)在函数y＝x2+1的图象上．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若列数{b n}满足b1＝1，b n+1＝b n+2n a，求证：b n⋅b n+2<b n+12．20. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为10作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50, 60）,[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50, 60）,[90, 100]的数据）．(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；(Ⅱ)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含8的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80, 90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．21. 如图，已知菱形ACSB中，∠ABS=60∘．沿着对角线SA将菱形ACSB折成三棱锥S−ABC，且在三棱锥S−ABC中，∠BAC=90∘，O为BC中点．（1）证明：SO⊥平面ABC；（2）求平面ASC与平面SCB夹角的余弦值．22. 如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=√52|BF|．（1）求椭圆C的离心率；（2）若点M(−1617, 217)在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．23. 已知函数f(x)=e x−x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．(e≈2.71828)．（1）求函数f(x)的解析式；（2）g(x)=f(x)x，x∈(0, +∞)，讨论函数g(x)的单调性与极值；（3）若k∈Z，且f(x)+12(3x2−5x−2k)≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．2014年某校高考数学八模试卷（理科）答案1. D2. C3. D4. B5. D6. A7. B8. A9. B10. C11. 212. 313. 1014. (−1)n(x−n)e x15. √716. π17. 2√318. 解：（1）在△ABC中，由正弦定理，得ABsin∠BCA =ACsin∠ABC，∴ sin∠ABC=ACsin∠BCAAB =9sin30∘5=910．（2）∵ AD // BC，∴ ∠BAD=180∘−∠ABC，sin∠BAD=sin(180∘−∠ABC)=sin∠ABC=910，在△ABD中，由正弦定理，得ABsin∠ADB =BDsin∠BAD，∴ BD =ABsin∠BAD sin∠ADB=5×910√22=9√22．19. 解法一：（1）由已知得a n+1＝a n +1、即a n+1−a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n ＝1+(n −1)×1＝n ．（2）由(Ⅰ)知：a n ＝n 从而b n+1−b n ＝2n ．b n ＝(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+...+(b 2−b 1)+b 1 ＝2n−1+2n−2+...+2+1=1−2n 1−2=2n −1 ∵ b n ⋅b n+2−b n+12＝(2n −1)(2n+2−1)−(2n+1−1)2 ＝(22n+2−2n −2n+2+1)−(22n+2−2⋅2n+1+1) ＝−2n <0∴ b n ⋅b n+2<b n+12解法二：（1）同解法一．（2）∵ b 2＝1b n ⋅b n+2−b n+12＝(b n+1−2n )(b n+1+2n+1)−b n+12＝2n+1⋅b n+1−2n ⋅b n+1−2n ⋅2n+1 ＝2n (b n+1−2n+1) ＝2n (b n +2n −2n+1) ＝2n (b n −2n ) ＝…＝2n (b 1−2) ＝−2n <0∴ b n ⋅b n+2<b n+1220. （1）由题意可知，样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1−0.004−0.010−0.016−0.04＝0.030．（2）由题意可知，分数在[80, 90)有5人，分数在[90, 100)有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80, 90)的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则 P(ξ=1)=C 51C22C 73=535=17，P(ξ=2)=C 52C21C 73=2035=47，P(ξ=3)=C 53C 73=1035=27．所以，ξ的分布列为所以，Eξ=1×17+2×47+3×27=157．21. （本题满分12分）解：（1）证明：由题设AB =AC =SB =SC =SA ，连结OA ，△ABC 为等腰直角三角形，所以OA =OB =OC =√22SA ，且AO ⊥BC ，又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥BC ，且SO =√22SA ，从而OA 2+SO 2=SA 2．所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO ．又AO ∩BO =O ．所以SO ⊥平面ABC ．…（2）以O 为坐标原点，射线OB ，OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O −xyz ．设B(1, 0, 0)，则C(−1, 0, 0)，A(0, 1, 0)，S(0, 0, 1)． SA →=(0,1,−1)，SC →=(−1,0,−1)．设平面SAC 的法向量n →=(x, y, z)，由{n →⋅SC →=−x −z =0˙，令x =1，得n →=(1, −1, −1)，由（1）可知AO ⊥平面SCB ，因此取平面SCB 的法向量m →=OA →=(0,1,0)．… 设平面ASC 与平面SCB 的夹角为θ，则cosθ=|cos <n →，m →>|=|−1√3|=√33． ∴ 平面ASC 与平面SCB 夹角的余弦值为√33．… 22. （本题满分13分）解：（1）由已知|AB|=√52|BF|，即√a 2+b 2=√52a ， 4a 2+4b 2=5a 2，4a 2+4(a 2−c 2)=5a 2， ∴ e =ca =√32．… （2）由（1）知a 2=4b 2， ∴ 椭圆C:x 24b 2+y 2b 2=1．设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由x 124b 2+y 12b 2=1，x 224b 2+y 22b 2=1，得x 12−x 224b 2+y 12−y 22b 2=0，即(x 1+x 2)(x 1−x 2)4b 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，即−3217(x 1−x 2)4+417(y 1−y 2)=0，从而k PQ =y 1−y2x 1−x 2=2，进而直线l 的方程为y −217=2[x −(−1617)]，即2x −y +2=0．…由{2x −y +2=0x 24b 2+y 2b 2=1⇒x 2+4(2x +2)2−4b 2=0，即17x 2+32x +16−4b 2=0． △=322+16×17(b 2−4)>0⇔b >2√1717.x 1+x 2=−3217，x 1x 2=16−4b 217．∵ OP ⊥OQ ，∴ OP →⋅OQ →=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+(2x 1+2)(2x 2+2)=0，5x 1x 2+4(x 1+x 2)+4=0．从而5(16−4b 2)17−12817+4=0，解得b =1，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．…23. 解：（1）f(x)=e x −x 2+a ，f ′(x)=e x −2x ．由已知{f(0)=1+a =0f′(0)=1=b ⇒{a =−1b =1，f(x)=e x −x 2−1．…（2）由（1）知，g(x)=f(x)x，x >0，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x 2=x(e x −2x)−(e x −x 2−1)x 2=(x−1)(e x −x−1)x 2．令y =e x −x −1，y ′=e x −1>0在x ∈(0, +∞)恒成立，从而y =e x −x −1在(0, +∞)上单调递增，y >e 0−0−1=0．令g ′(x)>0，得x >1；g ′(x)<0，得0<x <1．∴ g(x)的增区间为(1, +∞)，减区间为(0, 1)．极小值为g(1)=e −2，无极大值．… （3）f(x)+12(3x 2−5x −2k)≥0对任意x ∈R 恒成立，⇔e x +12x 2−52x −1−k ≥0对任意x ∈R 恒成立，⇔k ≤e x +12x 2−52x −1对任意x ∈R 恒成立．…令ℎ(x)=e x +12x 2−52x −1，ℎ′(x)=e x +x −52，易知ℎ′(x)在R 上单调递增，又ℎ′(0)=−32<0，ℎ′(1)=e −32>0，ℎ′(12)=e 12−2<0，ℎ′(34)=e 34−74>2.5634−74=1.632−74=√512125−74>2−74=14>0，∴ 存在唯一的x0∈(12,34)，使得ℎ′(x0)=0，…且当x∈(−∞, x0)时，ℎ′(x)<0，x∈(x0, +∞)时，ℎ′(x)>0．即ℎ(x)在(−∞, x0)单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0+12x02−52x0−1，又ℎ′(x0)=0，即e x0+x0−52=0，e x0=52−x0．∴ ℎ(x0)=52−x0+12x02−52x0−1=12(x02−7x0+3)，∵ x0∈(12,34)，∴ ℎ(x0)∈(−2732,−18).k≤e x+12x2−52x−1对任意x∈R恒成立，⇔k≤ℎ(x0)，又k∈Z，∴ k max=−1．…。

辽宁省大连八中高三模拟(理)

辽宁省大连八中高三数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x||x﹣1|＜1}，N={y|y=log2（x2+2x+3）}则M∩N=（）A．{x||1≤x＜2} B．{x||0＜x＜2} C．{x||1＜x＜2} D．φ考点：对数函数的值域与最值；交集及其运算．专题：计算题．分析：解绝对值不等式|x﹣1|＜1，可以求出集合M，根据二次函数的值域及对数函数的单调性，可以求出集合N，进而根据集合交集运算规则，求出结果．解答：解：若|x﹣1|＜1则﹣1＜x﹣1＜1即0＜x＜2故集合M={x||x﹣1|＜1}={x|0＜x＜2}，∵x2+2x+3=（x+1）2+2≥2∴log2（x2+2x+3）≥1故N={y|y=log2（x2+2x+3）}={y|y≥1}∴M∩N={x||1≤x＜2}故选A点评：本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，集合的交集运算，绝对值不等式的解法，其中求出集合M，N是解答本题的关键．2．（5分）已知i是虚数单位，则复数的虚部等于（）A．﹣1 B．﹣i C．i D．1考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据复数代数形式的乘法计算公式和复数的除法运算公式，计算复数的值，即可得到复数的虚部．解答：解：∵复数===﹣1+i∴复数的虚部是1，故选D点评：本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数的值是解答本题的关键，本题易错误理解虚部的概念．3．（5分）已知向量，，则的最大值为（）A．1B．C．3D．9考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数的最值．专题：计算题．分析：用向量的坐标运算表示出的大小，再利用三角函数知识求最大值．解答：解：=1+4﹣2（cosθ+sinθ）=5﹣4sin（θ+），当4sin（θ+）=﹣1时，取得最大值9，的最大值为3故选C点评：本题考查向量的运算，向量的模、三角函数的性质，考查计算能力．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8=6+a11，则S9的值等于（）A．54 B．45 C．36 D．27考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6从而可得，a5=6，代入等差数列的前n项和，然后利用利用等差数列的性质及所求的a5的值代入可求得答案．解答：解：∵2a8=a11+6由等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6从而可得，a5=6由等差数列的前n项和可得，故选：A点评：本题主要考查了等差数列的前n项和的求解，关键是由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6，求出a5，在求和时利用等差数列的和时又一次利用了性质a1+a9=2a5．灵活利用等差数列的性质是解得本题的关键．5．（5分）下列四个命题中的真命题为（）A．∃x∈R，使得sinx+cosx=1.5 B．∀x∈R，总有x2﹣2x﹣3≥0C．∀x∈R，∃y∈R，y2＜x D．∃x∈R，∀y∈R，y•x=y考点：命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题．专题：证明题．分析：根据和差角公式，结合正弦型函数的性质，可得sinx+cosx∈[﹣，]，进而判断出A的真假；令x=0，可判断B答案和C答案的真假，令x=1可判断D答案的真假．解答：解：∵sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，由1.5∉[﹣，]，故A错误；当x=0时，x2﹣2x﹣3=﹣3＜0，故B错误；当x=0时，y2＜x恒不成立，故C错误；当x=1时，，∀y∈R，y•x=y，故D正确；故选D点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全称命题，特称命题，其中熟练掌握全称命题和特称命题真假判断的方法，是解答本题的关键．6．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：首先对函数式进行整理，利用诱导公式把余弦转化成正弦，看出两个函数之间的差别，得到平移的方向和大小．解答：解：∵==sin（+）=sin（2x+）=sin2（x+）∴y=sin2x只要向左平移个单位就可以得到上面的解析式的图象．故选A．点评：本题考查三角函数的图象的平移，本题解题的关键是把要平移的两个函数之间的不同名转化成同名，本题是一个易错题．7．（5分）已知某几何体的三视图如图（单位m）所示，则这个几何体的外接球的表面积（单位：m2）等于（）A．B．C．8πD．16π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是一边长为2的正三角形，侧棱长是2，先求出其外接球的半径，再根据球的表面公式即可做出结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，如图，设O是外接球的球心，O 在底面上的射影是D，且D是底面三角形的重心，AD的长是底面三角形高的三分之二∴AD=×，在直角三角形OAD中，AD==，OD=，∴OA==则这个几何体的外接球的表面积4π×OA2=4π×=故选B．点评：本题考查由三视图求几何体的表面积，本题是一个基础题，题目中包含的三视图比较简单，几何体的外接球的表面积做起来也非常容易，这是一个易得分题目．8．（5分）按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件可为（）A．k≥8 B．k＜8 C．k＜16 D．k≥16考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加k值到S并输出S．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前0 1/第一圈 1 2 是第二圈 3 4 是第三圈7 8 是第四圈15 16 否故退出循环的条件应为k≥16．故选D．点评：程序填空是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．9．（5分）把五位领导派往三个不同的城市监督检查指导食品卫生工作，要求每个城市至少派一位领导的不同分配方案有（）A．36种B．150种C．240种D．300种考点：排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；分类讨论．分析：根据题意，分析可得把五位领导派往三个不同的城市，这5人有2种分组方法，即①一个城市3人，其他的二个城市各派1人，②一个城市1人，其他的两个城市各派2人；进而分别求出每种分组方法中不同的分派方案的数目，再由分类计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，把五位领导派往三个不同的城市，这5人有2种分组方法，即①一个城市3人，其他的二个城市各派1人，②一个城市1人，其他的两个城市各派2人；①中，此时有种分组方法，分派到三个城市，有×A33=60种分派方法；②中，此时有种分组方法，分派到三个城市，有×A33=90种分派方法；则不同的分派方案有60+90=150种；故选B．点评：本题考查排列组合的综合运用，解题时注意先分类（组），再分派到各地．10．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为抛物线的顶点．则△ABO是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．不等边锐角三角形D．钝角三角形考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：设出A，B点坐标，以及直线AB的方程，联立直线方程与抛物线方程，用向量的坐标公式求再代入向量的夹角公式，求出∠AOB的余弦值，再判断正负即可．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程由，得y2﹣2pmy﹣p2=0，∴∴=∴，∴∠AOB为钝角，△ABO为钝角三角形故选D．点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，关键是用坐标表示向量的数量积．11．（5分）已知函数f（x）=﹣x3﹣sinx，（x∈R），对于任意的x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，下面对f（x1）+f（x2）+f（x3）的值有如下几个结论，其中正确的是（）A．零B．负数C．正数D．非以上答案考点：正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：通过函数的表达式，判断函数的单调性，与奇偶性，根据任意的x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，判断f（x1）+f（x2）+f（x3）的符号．解答：解：函数f（x）=﹣x3﹣sinx，（x∈R），是奇函数，而且f′（x）=﹣3x2﹣cosx，f′（x）＜0；函数是减函数，f（0）=0，所以对于任意的x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，x1＞﹣x2，x2＞x3，x3＞x1即f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1＜0，所以f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0．故选B．点评：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性奇偶性，考查学生的逻辑推理能力，计算能力．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜1，且x≠0}考点：函数的单调性与导数的关系；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可解答：解：设g（x）=，则g（x）的导数为g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x）∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（1）==0∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或⇔0＜x＜1或x＜﹣1故选B点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2012•南宁模拟）（1﹣x+x2）（1+x）6的展开式中x5项的系数等于11．（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将（1﹣x+x2）（1+x）6化为（1+x3）（1+x）5．再利用多项式的乘法分类求解．解答：解：（1﹣x+x2）（1+x）6=（1﹣x+x2）（1+x）（1+x）5=（1+x3）（1+x）5．展开式中x5项由1+x3中的常数项，x3项分别与（1+x）5展开式中的x5，x2项相乘得到，（1+x）5展开式的通项为C5r x r，所以其系数为1×C55+1×C52=1+10=11故答案为：11．点评：本题考查了二项式定理的应用：求展开式中指定项的系数．既利用了二项式定理，又需要多项式的乘法．考查分类与计算能力．14．（5分）设约束条件为，则目标函数z=|2x﹣y+1|的最大值是7．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：法一：先根据条件画出可行域，设z=|2x﹣y+1|=，其中表示点（x，y）到直线2x﹣y+1=0的距离，再利用z几何意义是点到直线的距离的倍求最值，只需求出可行域内的点A（3，0）时距离取得最大值，从而得到z最大值即可．法二：先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线y=2x+1，当过点（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，过点（0，3）时，直线在y轴上的截距最大，从而求出2x ﹣y+1的范围，最后得出所求．解答：解：先根据约束条件画出可行域，法一：平移直线y=2x+1，由图易得，当x=3，y=0时，目标函数2x﹣y+1的最大值为7；当x=0，y=3时，目标函数2x﹣y+1的最小值为﹣2；从而得出目标函数z=|2x﹣y+1|的最大值是7．法二：z=|2x﹣y+1|=，其中表示点（x，y）到直线2x﹣y+1=0的距离，∵可行域内点A（3，0）时可行域内点到直线2x﹣y+1=0的距离最大，最大值为，∴目标函数z=|2x﹣y+1|的最大值为7，故答案为：7．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．15．（5分）（2012•梅州一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是[2，+∞）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．解答：解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．16．（5分）在三棱锥T﹣ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，下列命题：①D一定是△ABC的垂心；②D一定是△ABC的外心；③△ABC是锐角三角形；④；其中正确的是①③④（写出所有正确的命题的序号）考点：三角形五心．专题：计算题；压轴题．分析：对于①，TA，TB，TC两两垂直可得：直线TA与平面TBC垂直，从而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB；对于问题②可由①知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心．对于问题③可以通过余弦定理解决．对于④，在直角三角形ATE中，利用平面几何中面积相等公式及射影定理即可证得；解答：解：①选项正确理由如下：∵T在底面ABC内的正投影为D∴TD⊥面ABC∴TD⊥BC∵在三棱锥T﹣ABC中，TA，TB，TC两两垂直且TB∩TC=T∴TA⊥面TBC∴TA⊥BC∵TD∩TC=T∴BC⊥面TAD∴AD⊥BC同理可得BD⊥AC，CD⊥AB∴D是△ABC的垂心故①选项正确对于问题②可由①知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心对于③设TA=a；TB=b；TC=c，则AB2=a2+b2，同理BC2=c2+b2，AC2=a2+c2，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA==＞0，同理可证cosB＞0，cosC＞0，所以△ABC是锐角三角形．故③对．对于④设TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=，在三角形ABC中，有：AE=由于AE×TD=TA×TE∴×TD=a×∴a2b2c2=（a2b2+b2c2+d2c2）•TD2∴成立故④对故答案为①③④点评：本题考查棱锥的结构特征以及解三角形的有关理论，在立体几何中考查平面几何问题，要注意在空间的某个平面内，平面几何的有关定理、公式等结论仍然成立．本题还考查类比推理，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠C=2∠A．（1）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围；（2）若，a+c=20，求b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用正弦定理化简所求的式子，把∠C=2∠A代入，并利用二倍角的正弦函数公式化简得到结果为2cosA，由三角形为锐角三角形，且∠C=2∠A，可求出A的取值范围，根据余弦函数的图象与性质得出余弦函数cosA的值域，进而确定出所求式子的范围；（2）由第一问得出的=2cosA及cosA的值，得出的值，与a+c=20联立组成方程组，求出方程组的解集得到a与c的值，最后由a，c及cosA的值，利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．解答：解：（1）根据正弦定理有，（2分）在△ABC为锐角三角形中，可得三个角都为锐角，由C=2A，得到C＞A，可得C＞60°，即2A＞60°，解得：A＞30°，同时C＜90°，即2A＜90°，解得：A＜45°，（4分）∴30°＜A＜45°，∴cosA∈（，），即2cosA∈（，），则；（6分）（2）由（1），又，得，与a+c=20联立得：，（8分）再由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA，即64=b2+144﹣18b，解得b=8或b=10，（10分）若a=8，可得a=b，三角形为等腰三角形，又∠C=2∠A，可得∠C为直角，即三角形为等腰直角三角形，即∠A=45°，可得cosA=≠，故b=8要舍去．则b=10．点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及余弦函数的定义域和值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．同时注意b=8舍去的原因．18．（12分）（2010•烟台一模）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（1）记“函数f（x）=x2+ξ•x为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）由于学生是否选修哪门课互不影响，利用相互独立事件同时发生的概率解出学生选修甲、乙、丙的概率，由题意得到ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选，根据互斥事件的概率公式得到结果．（2）用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，所以变量的取值是0或2，结合第一问解出概率，写出分布列，算出期望．解答：解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得，解得（1）若函数f（x）=x2+ξ•x为R上的偶函数，则ξ=0当ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1﹣x）（1﹣y）（1﹣z）=0.4×0.5×0.6+（1﹣0.4）（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.24∴事件A的概率为0.24（2）依题意知ξ的取值为0和2由（1）所求可知P（ξ=0）=0.24P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）=0.76则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52点评：求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大，解题的关键是正确理解题意．19．（12分）（2013•茂名一模）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（1）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MN∥AC，再根据线面平行的判定定理可得答案．（2）以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．解答：解：（1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，在△PAC中，∵M，N分别为两腰PA，PC的中点∴MN∥AC，…（2分）又AC⊄面MDE，MN⊂面MDE，所以AC∥平面MDE．…（4分）（2）以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），所以，，…（6分）设平面PAD的单位法向量为，则可取…（7分）设面PBC的法向量，则有即：，取z=1，则∴…（10分）设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，∴…（11分）∴θ=60°，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°…（12分）点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A1．（ⅰ）求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；（ⅱ）求△OA1B面积的取值范围．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；数形结合；转化思想．分析：（Ⅰ）根据焦点坐标求得c，根据椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．求得a和c的关系式，进而求得a和b，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）（i）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去x，设出A，B的坐标，则可利用韦达定理求得y1y2和y1+y2的表达式，根据A点坐标求得关于x轴对称的点A1的坐标，设出定点，利用TB和TA1的斜率相等求得t．（ii）由（i）中判别式△＞0求得m的范围，表示出三角形OA1BD面积，利用m的范围，求得m的最大值，继而求得三角形面积的范围．解答：解：（Ⅰ）因为椭圆C的一个焦点是（1，0），所以半焦距c=1．因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．所以，解得a=2，b=所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i）设直线l：x=my+4与联立并消去x得：（3m2+4）y2+24my+36=0．记，．由A关于x轴的对称点为A1，得A1（x1，﹣y1），根据题设条件设定点为T（t，0），得，即．所以=即定点T（1，0）．（ii）由（i）中判别式△＞0，解得|m|＞2．可知直线A1B过定点T（1，0）．所以|OT||y2﹣（﹣y1）|=，得，令t=|m|记，得，当t＞2时，φ′（t）＞0．在（2，+∞）上为增函数．所以，得．故△OA1B的面积取值范围是．点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力．21．（12分）（2010•盐城二模）设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．（Ⅰ）若f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．（Ⅲ）设G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1，x2，且x1，x0，x2成等差数列，试探究G'（x0）值的符号．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点；利用导数求闭区间上函数的最值；等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）得到a与b的值，因为F（x）=f（x）﹣g （x）求出导函数讨论在区间上的增减性得到函数的极值即可；（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1，下面验证都成立即可．由x2﹣2x+1≥0，得x2≥2x﹣1，知f（x）≥2x﹣1恒成立．设h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1），即h（x）=lnx﹣x+1，易知其在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1）的最大值为h（1）=0，所以lnx+x≤2x﹣1恒成立．故存在；（3）因为G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1，x2，把两个零点代入到G（x）中，得一式子，然后求出导函数讨论两个零点的大小得到G'（x0）值的符号为正．解答：解：（1）由f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）得，解得a=b=1则F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx﹣x，F′（x）=2x﹣﹣1x=1或x=，当x＜﹣或x＞1时，f′（x）＞0，函数为增函数；当＜x＜1时，f′（x）＜0，函数为减函数．得到F（x）极小值=F（1）=0；（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1，下面验证都成立即可．由x2﹣2x+1≥0，得x2≥2x﹣1，知f（x）≥2x﹣1恒成立．设h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1），即h（x）=lnx﹣x+1，易知其在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1）的最大值为h（1）=0，所以lnx+x≤2x﹣1恒成立．故存在这样的k和m，且k=2，m=﹣1．（3）G′（x0）的符号为正，理由为：因为G（x）=x2+2﹣alnx﹣bx有两个零点x1，x2，则有，两式相减得x22﹣x12﹣a（lnx2﹣lnx1）﹣b（x2﹣x1）=0，即，于是G′（x0）=2x0﹣﹣b=（x1+x2﹣b）﹣=﹣==①当0＜x1＜x2时，令=t，则t＞1，且u′（t）==＞0，则u（t）=lnt﹣在（1，+∞）上为增函数，而u（1）=0，所以u（t）＞0，即lnt﹣＞0，又因为a＞0，x2﹣x1＞0所以G′（x0）＞0；②当0＜x2＜x1时，同理可得：G′（x0）＞0综上所述：G′（x0）的符号为正．点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数求闭区间上函数极值的能力．选做题：（22、23、24任选一题，如果都做，按第一题计分）22．（10分）如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC 上，且AE=AF．（1）证明：B，D，H，E四点共圆；（2）证明：CE平分∠DEF．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题；综合题．分析：（I），要证明B，D，H，E四点共圆，根据四点共圆定理只要证∠EBD+∠EHD=180°即可（II）由（I）知B，D，H，E四点共圆可得∠CED=30°，要证CE平分∠DEF，只要证明∠CEF=30°即可解答：解：（I）在△ABC中，因为∠B=60°所以∠BAC+∠BCA=120°因为AD，CE是角平分线所以∠AHC=120°（3分）于是∠EHD=∠AHC=120°因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B，D，H，E四点共圆（5分）（II）连接BH，则BH为∠ABC得平分线，得∠HBD=30°由（I）知B，D，H，E四点共圆所以∠CED=∠HBD=30°（8分）又∠AHE=∠EBD=60°由已知可得，EF⊥AD，可得∠CEF=30°所以CE平分∠DEF点评：本题主要证明平面几何中四点共圆的判定理及性质定理的综合应用，解决此类问题的关键是灵活利用平面几何的定理，属于基本定理的简单运用．23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线C：（θ为参数）和定点，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点．（1）以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程；（2）经过点F1，且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．考点：简单曲线的极坐标方程；椭圆的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先利用三角函数中的平方关系消去参数θ即可将圆锥曲线化为普通方程，从而求出其焦点坐标，再利用直线的斜率求得直线l的倾斜角，最后利用直线的参数方程形式即得．（2）由（1）结合直线的垂直关系救是l的斜率、倾斜角，从而得出l 的参数方程，代入椭圆C的方程中，得：，最后利用参数t的几何意义即可求得||MF1|﹣|NF1||的值．解答：解：（1）C：，轨迹为椭圆，其焦点F1（﹣1，0），F2（1，0）即即；（2）由（1），∵l⊥AF2，∴l的斜率为，倾斜角为30°，所以l的参数方程为（t为参数）代入椭圆C的方程中，得：因为M、N在F1的异侧点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．24．设minA表示数集A中的最小数；设maxA表示数集A中的最大数．（1）若a，b＞0，，求证：；（2）若，，，求H的最小值．考点：基本不等式；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）利用最小值的定义得到0＜h≤a，，利用不等式的性质得到，利用基本不等式得到．（2）利用最大值的定义得到，，，利用不等式性质将三个不等式相乘及基本不等式得到H3≥2得到H的最小值．解答：（1）证明：∵h=min{a，，∴0＜h≤a，，∴=，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）∵，，，∴，，，∴=，当且仅当a=b时取等号∴．所以H的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意不等式使用的条件：一正、二定、三相等．。

2014年全国高考辽宁省数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，学科网已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3] 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（） A ．12 B ．14 C ．12π D ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = . 14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x=上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += . 16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P （1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的x 0有01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ；（2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学答案1. D2. A3. C4. B5. A6. D7. B8. C9. B 10. D 11. C 12. B 13.299C 14. 2315. 12 16. 2- 17.（Ⅰ）由2BA BC⋅=得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以ac =6.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b =3，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得a =2，c =3或a =3，c =2. 因为a >c ,∴ a =3，c =2. （Ⅱ）在ABC ∆中，sin 3B ===由正弦定理，得2sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1723393927⋅+⋅=. 18.（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= . 2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 19.（Ⅰ）证明：（方法一）过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC =∠FOC =2π，即FO ⊥BC ，又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO ，又EF ⊂面EFO ，所以EF ⊥BC .（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A (0，-1D ，C (0,2,0),因而11(0,,0)22E F ,所以33(,0,),(0,2,0)EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥. （Ⅱ）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角；在△EOC 中，EO =12EC =12BC ·cos 30°由△BGO ∽△BFC 知，BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO =2EOOG=,从而sin ∠EGO，即二面角E -BF -C. （方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又31(,,0),(,)2B F B E ==,由220n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得其中一个2(1,n =，设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos |cos ,|||||||5n nn n n n θ⋅=<>==⋅，因sin θ，即二面角E -BF -C 的正弦值为5. 20.（Ⅰ）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为0000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y+=≥知当且仅当00x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 得坐标为，由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2C 的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+，解得b 12=3，因此C 2方程为22163x y +=显然，l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my，点1122(,),(,)A x y B x y由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y ++-=，又12,y y 是方程的根，因此1212232y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩①②，由122,3x y m y=+得12122221212122()266()32x x m y y m m x x m y y y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122(2,2),(2)AP x y BP x y =--=-由题意知0A PB P ⋅=，所以1212112()2()40x x x x yy y ++++=⑤ ，将①，②，③，④代入⑤式整理得22110m -+=，解得1m =-或1m =，因此直线l 的方程为(1)02x y --=，或(1)02x y +-=. 21.（Ⅰ）当(0,)2x π∈时，2'()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π=-++--<，函数()f x 在(0,)2π上为减函数，又2816(0)0,()0323f f πππ=->=--<，所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =. （Ⅱ）考虑函数3()cos 2()4ln(3),[,]1sin 2x x h x x x x ππππ-=--∈+，令t x π=-，则[,]2x ππ∈时，[0,]2t π∈，记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++，则3()'()(2)(1sin )f t u t t t π=++ ，由（Ⅰ）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0(,)2t x π∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点.在0(,)2x π上()u t 是减函数，由0()0,()4ln 202u x u π>=-<，存在唯一的10(,)2t x π∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10(,)2t x π∈使1()0u t =.因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当(,)2x ππ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1(,)2x ππ∈，使1()0g x =.因1110,x t t x π=->，所以01x x π+<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A .由于AF 垂直EP ，所以∠PF A =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°，在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB . 由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .23.（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x ty t⎧⎨⎩＝＝（t 为参数）.(Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24.（Ⅰ）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤；当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4MN x x =≤≤.当x MN ∈时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤.。

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)附送答案

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞09．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2014年高考辽宁理科科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一测试（辽宁）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年辽宁，理1，5分】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合U ()A B =U ð（）（A ）{|0}x x ≥ （B ）{|1}x x ≤ （C ）{|01}x x ≤≤ （D ）{|01}x x << 【答案】D【分析】{}10A B x x x =≥≤U 或，∴{}U ()01A B x x =<<U ð，故选D ．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．（2）【2014年辽宁，理2，5分】设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（）（A ）23i + （B ）23i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】A【分析】由(2i)(2i)5z --=，得：()()()52i 52i 2i 2i 2i 2i z +-===+--+，∴23i z =+，故选A ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．（3）【2014年辽宁，理3，5分】已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>【答案】C【分析】∵1030221a -<=<=，221log log 103b =<=，12221log log 3log 213c ==>=，∴c a b >>，故选C ．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．（4）【2014年辽宁，理4，5分】已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）（A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥（C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【分析】A ：若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错，故选B ．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，考查直线和平面的平行、垂直的判断和性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线和平面的模型．（5）【2014年辽宁，理5，5分】设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0=g a b ，0=g b c ，则0=g a c ；命题q ：若a b P ，b c P ，则a c P ，则下列命题中真命题是（）（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∨⌝ 【答案】A【分析】若0=g a b ，0=g b c ，则g g a b =b c ，即()0-=g a c b ，则0g a c =不一定成立，故命题p 为假命题，若a b P ，b c P ，则a c P ，故命题q 为真命题，则p q ∨，为真命题，p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ∨⌝都为假命题，故选A ．【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假是解决本题的关键．（6）【2014年辽宁，理6，5分】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）（A ）144 （B ）120 （C ）72 （D ）24 【答案】D【分析】3人全排，有336A =种方法，形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种，故选D ．【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．（7）【2014年辽宁，理7，5分】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）82π-（B ）8π-（C ）82π-（D ）84π-【答案】B【分析】由三视图知：几何体是正方体切去两个14圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积321221284V ππ=-⨯⨯⨯⨯=-，故选B ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（8）【2014年辽宁，理8，5分】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则（）（A ）0d < （B ）0d > （C ）10a d < （D ）10a d > 【答案】C【分析】∵等差数列{}n a 的公差为d ，∴1n n a a d +-=，又数列{}12na a 为递减数列，∴11112212n n a a a d a a +=<，∴10a d <，故选C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识和基本技能方法，属于中档题．（9）【2014年辽宁，理9，5分】将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（）（A ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减（B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增（C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减（D ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B【分析】把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，得到的图象所对应的函数分析式为：3sin 223y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．即23sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由2222232k x k πππππ-+≤-≤+，得71212k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．取0k =，得71212x ππ≤≤． ∴所得图象对应的函数在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选B ．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．（10）【2014年辽宁，理10，5分】已知点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线和C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）43【答案】D【分析】∵点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上，即准线方程为：2x =-，∴0p >，22p-=-即4p =，∴抛物线C ：28y x =，在第一象限的方程为22y x =，设切点(),B m n ，则22n m =，又导数1222y x '=⋅⋅，则在切点处的斜率为2m，∴322n m m -=+即222223m m m +=-，22m = （2舍去），∴切点()8,8B ，又()2,0F ，∴直线BF 的斜率为804823-=-，故选D ．【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线和抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．（11）【2014年辽宁，理11，5分】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）（A ）[5,3]-- （B ）9[6,]8-- （C ）[6,2]-- （D ）[4,3]--【答案】C【分析】当0x =时，不等式32430ax x x -++≥对任意a ∈R 恒成立；当01x <≤时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≥--，令()23143f x x x x=--，则()()()234491189x x f x x x x x -+'=-++=-（*），当01x <≤时，()0f x '>，()f x 在(]0,1上单调递增，()()max 16f x f ==-∴6a ≥-；当20x -≤<时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x≤--，由（*）式可知，当21x -≤≤-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，()()min 12f x f =-=-，∴2a ≤-；综上所述，实数a 的取值范围是62a -≤≤-，即实数a 的取值范围是[6,2]--，故选C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类和整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．（12）【2014年辽宁，理12，5分】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-．若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（）（A ）12 （B ）14 （C ）12π （D ）18【答案】B【分析】依题意，定义在[0,1]上的函数()y f x =的斜率12k <，不妨令0k >，构造函数()kx f x k kx ⎧=⎨-⎩102k ⎛⎫<<⎪⎝⎭，满足()()010f f ==，()()12f x f y x y -<-．当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且10,2y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()1110224f x f y kx ky k x y k k -=-=-≤-=⨯<；当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()()111224k f x f y kx k ky k x y k k k ⎛⎫-=--=+-≤+-=< ⎪⎝⎭；当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且10,2y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，同理可得，()()14f x f y -<；当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()()111224k f x f y k kx k ky k x y k ⎛⎫-=---=-≤⨯-=< ⎪⎝⎭；综上所述，对所有[],0,1x y ∈，()()14f x f y -<，∵对所有[],0,1x y ∈，()()f x f y k -<恒成立，∴14k ≥，即k 的最小值为14，故选B ．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想和等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年辽宁，理13，5分】执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = ．【答案】299【分析】由程序框图知：第一次循环9x =，9253y =+=，5941-=>；第二次循环5x =，511233y =+=，1145133-=>；第三次循环113x =，1129299y =+=．1111421939+-=<，满足条件1y x -<，跳出循环，输出299y =．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（14）【2014年辽宁，理14，5分】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是．【答案】23【分析】∵(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----，∴正方体的ABCD 的面积224S =⨯=，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积()12311111148212211233333S x dx x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=---+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是82343=．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．（15）【2014年辽宁，理15，5分】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 和C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．【答案】12【分析】如图：MN 的中点为Q ，易得212QF NB =，112QF AN =，∵Q 在椭圆C 上，∴1226QF QF a +==，∴||||12AN BN +=．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的使用，基本知识的考查．（16）【2014年辽宁，理16，5分】对于0c >，当非零实数,a b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c -+的最小值为．【答案】2-【分析】∵224240a ab b c -+-=，∴222211542416c b a ab b a b ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式得，222222151522241641515b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++≥-+⋅=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故当2a b +最大时，有15446215b a b-=，∴32a b =，210c b =，∴2223453451121122310222a b c b b b b b b ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12b =时，取得最小值为2-．【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2014年辽宁，理17，12分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．解：（1）由2BA BC =u u u r u u u r g 得cos 2ac B ⋅=．又1cos 3B =，所以6ac =．由余弦定理得22a c +=22cos b ac B +⋅．又因为3b =，所以22a c +=21326133+⨯⨯=．解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩．因为a c >，32a c =⎧∴⎨=⎩．（2）在ABC ∆中，2sin 1cos B B =-21221()3=-=．由正弦定理得sin sin b cB C=，所以222sin 3sin 3c B C b⨯==429=．因为a c >，所以角C 为锐角．2cos 1sin C C =-24271()99=-=． cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+17224239=⨯+⨯2327=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（18）【2014年辽宁，理18，12分】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X ．解：（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”， 2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”．1()(0.0060.0040.002)50P A =++⨯0.6=，2()0.003500.15P A =⨯=．()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=．（2）X 可能取的值为0,1,2,3．相应概率为0033(0)0.60.40.064P X C ==⨯⨯=；123(1)0.60.40.288P X C ==⨯⨯=； 223(2)0.60.40.432P X C ==⨯⨯=；330(3)0.60.40.216P X C ==⨯⨯=．X 的分布列为：X0 1 2 3 P 0.0640.288 0.432 0.216 因为(3,0.6)X B :0.40.72=．【点评】在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望和方差公式，考查分布列的求法．（19）【2014年辽宁，理19，12分】如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且AB BC =2BD ==， o 120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值．解：解法一：（1）过E 作EO BC ⊥，垂足为O ，连OF ．由ABC DBC V V≌，可证出EOC FOC V V ≌．所以2EOC FOC π∠=∠=，即FO BC ⊥，又EO BC ⊥，因此BC EFO ⊥面．又EF EFO ⊂面，所以EF BC ⊥．（2）在图1中，过O 作OG BF ⊥，垂足为G ，连结EG ．由ABC BCD ⊥平面平面，从而EO BCD ⊥面，又OG BF ⊥，由三垂线定理可知EG BF ⊥，因此，EGO ∠为二面角E-BF-C 的平面角．在EOC V中，113cos3022EO EC BC ⋅===o，由BGO BFC VV∽知，3BO OG FC BC ==g ，因此tan 2EOEGO OG∠==，从而25sin EGO ∠=，即二面角E-BF-C 正弦值为25． FEA DB图1FEBA OG解法二：（1）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．易得(0,0,0)B ，(0,3)A -，(3,1,0)D -，(0,2,0)C ，因而13(0,2E ，31(,0)2F ，所以33(EF =u u u r ，(0,2,0)BC =u u u r ，因此0EF BC =u u u r u u u r g ，从而,EF BC EF BC ⊥⊥u u u r u u u r所以．（2）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又3113(,0),(0,)22BF BE ==u u u r u u u r ，由2200n BF n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg ，得其中一个 2(1,3,1)n =-．设二面角E-BF-C 大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos cos ,=5n n n n n n θ⋅=<>=⋅25sin θ=25．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．（20）【2014年辽宁，理20，12分】圆224x y +=的切线和x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且3（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且和1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且和2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．解：（1）设切点坐标为00(,)x y （000,0x y >>），则切线斜率为00x y -，切线方程为0000()xy y x x y -=--，即004,x x y y +=此时两个坐标轴的正半轴和切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=．由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此P 坐标为(2,2)，由题意知222222213a ba b a⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=．（2）由（1）知2C 的焦点坐标为(3,0),(3,0)-，由此设2C 的方程为22221113x y b b +=+，10>其中b ，由P (2,2)在2C 上，得22112213b b +=+，解得213b =，因此2C 方程为22163x y +=，显然，l 不是直线0y =，设l 的方程为3x my =11(,)A x y ，22(,)B x y由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)2330,m y my ++-=，又12,y y 是方程的根，因此12122233 (2)2m y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩，由11223,3x my x my =+=121222121212243()23663()3 (4)2x x m y y m x x m y y m y y m ⎧+=++⎪⎪⎨-⎪=+++=⎪+⎩因11(22)AP x y =u u u r ，22(22)BP x y =u u u r，由题意可知0AP BP ⋅=u u r u u u r，所以121212122()2()40x x x x y y y y -++++= （5）yxPO图2zyFEB (O )CAF G B E CD将（1）（2）（3）（4）代入（5）整理得，222646110m m -+=，解得361m =-或61+，因此直线方程为36(1)30x y --=或6(1)30x y +=．【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直和数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线和椭圆相交问题转化为方程联立可得根和系数的关系等基础知识和基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题．（21）【2014年辽宁，理21，12分】已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x x π=--+-．证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<．解：（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π'=-++--<，函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为减函数，又8(0)03f π=->，216()023f ππ=--<，所以存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0f x =．（2）考虑函数3()cos 2()4ln(3)1sin x x h x x x ππ-=--+，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令t x π=-，则,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++,则3()()(2)(1sin )f t u t t t π'=++ 由（1）得，当()00,t x ∈时，()0u t '>，当0(,)2t x π∈时，()0u t '<，在()00,x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当(]00,t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在(]00,x 无零点．在0(,)2x π上()u t 是减函数，由0()0u x >，()4ln202u π=-<，知存在唯一10(,)2t x π∈，使()10u t =．所以存在唯一的1(0,)2t π∈，使()10u t =，因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==，因为当(,)2x ππ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+和()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1(,)2x ππ∈使得1()0g x =．因为1110,x t t x π=->，所以01x x π+<．【点评】本题考查了导数的综合使用问题，解题时应根据导数来研究函数的单调性和最值问题，利用函数的单调性研究函数的零点问题，是较难的题目．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2014年辽宁，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ．（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC BD =，求证：AB ED =．解：（1）PD PG PDG PGD PD =∴∠=∠Q Q 为圆的切线，PDA DBA ∴∠=∠ 又PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠Q ， 9090BDA PFA AF EP PFA BDA AB ∴∠=∠⊥∴∠=︒∴∠=︒∴Q 为直径．（2）连接,BC DC 90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒Q 是直径，在Rt BDA Rt ACB ∆∆与中，,AB BA AC BD ==，Rt BDA Rt ACB ∆≅∆，DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠Q //DAB CBA DC AB ∴∠=∠∴,90AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠=︒Q ED ∴为直径，由（1）AB ED =．F G E C D【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题．（23）【2014年辽宁，理23，10分】（选修4-4：坐标系和参数方程）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．（1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=和C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且和l 垂直的直线的极坐标方程．解：（1）设11(,)x y 为圆221x y +=上任意一点，按题中要求变换后的点(,)x y ．根据题意得112x x y y =⎧⎨=⎩，所以112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩．由22111x y +=得2214y x +=．故C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）由2244220x y x y ⎧+=⎨+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩．不妨设1(1,0)P ，2(0,2)P，则线段中点坐标1(,1)2．所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，即2430x y -+=．化为极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ-+=，即34sin 2cos ρθθ=-．【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．（24）【2014年辽宁，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ．（1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤．解：（1）()2|1|1f x x x =-+-33,[1,)1,(,1)x x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩．当1x ≥时，()331f x x =-≤，解得413x ≤≤；当1x <时，()11f x x =-≤，解得01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤．（2）2()16814g x x x =-+≤，解得13{|}44N x x =-≤≤．M N =I 3{|0}4x x ≤≤．当x M N ∈I 时，()1f x x =-． 22()[()]x f x x f x +=22(1)(1)x x x x -+-2x x =-211()42x =--，3{|0}4x x x ∈≤≤．221()[()]4x f x x f x ∴+≤．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．。

2014年辽宁省大连八中高考数学仿真试卷(理科)

2014年辽宁省大连八中高考数学仿真试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A.（0，1）B.[0，1]C.[0，1）D.（0，1]【答案】D【解析】解：由M中的不等式变形得：x（x-1）≤0，解得：0≤x≤1，即M=[0，1]；由N中的y=2x＞0，得到N=（0，+∞），则M∩N=（0，1]．故选：D．求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A.-4B.4C.-10D.10【答案】A【解析】解：∵===a+i，∴=a，=-1，解得：b=-7，a=3．∴a+b=-7+3=-4．故选：A．利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数分母实数化是化简的关键，考查复数相等与运算能力，属于基础题．3.下列命题中的假命题是（）A.∀x＞0，3x＞2xB.∀x∈（0，+∞），e x＞1+xC.∃x0∈（0，+∞），x0＜sinx0D.∃x0∈R，lgx0＜0【答案】C【解析】解：A．根据指数函数的性质可知，当x＞0时，＞，∴3x＞2x成立，∴A正确．单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，即∀x∈（0，+∞），e x＞1+x，∴B正确．C．设f（x）=x-sinx，则f'（x）=1-cosx，当x≥0时，f'（x）=1-cosx≥0，即函数f（x）单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，即∀x∈（0，+∞），x＞sinx，∴C错误．D．当0＜x＜1时，lgx＜0，∴∃x0∈R，lgx0＜0成立，∴D正确．故选：C．根据含有量词的命题的真假判断方法和命题的否定分别进行判断．本题主要考查含有量词的命题的真假判断和命题的否定，比较基础．4.设，为两个非零向量，则“•=|•|”是“与共线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：若•=|•|，则||•||cos＜，＞=|||||cos＜，＞|，即cos＜，＞=|cos＜，＞|，则cos＜，＞≥0，则与共线不成立，即充分性不成立．若与共线，当＜，＞=π，cos＜，＞=-1，此时•=|•|不成立，即必要性不成立，故“•=|•|”是“与共线”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量共线的等价条件是解决本题的关键．5.某校对高三年级1200名学生进行健康检查，按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本．已知女生抽到了55人，则该校男生的人数是（）A.65B.550C.600D.650【答案】D【解析】解：分层抽样的抽取比例为=，又女生抽到了55人，∴女生数为550．∴男生数为1200-550=650．故选：D．先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中女生抽到的人数，求总体中女生数，可得总体中男生数．本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是解答本题的关键．6.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2（a n+1），则a5=（）A.-16B.-32C.32D.-64【答案】B【解析】解：令n=1，得S1=2（a1+1），解得a1=-2，由S n=2（a n+1）①，得S n+1=2（a n+1+1）②，②-①得，a n+1=2a n+1-2a n，即a n+1=2a n，故选B．令n=1，由S1=2（a1+1），可得a1=-2，由S n=2（a n+1）①，得S n+1=2（a n+1+1）②，两式相减可得递推式，由递推式可判断{a n}为等比数列，由等比数列的通项公式可得答案．本题考查由递推式求数列的通项，考查等比数列的通项公式，考查学生的运算求解能力，属中档题．7.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的边长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．8.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中＞，＜）只需将f（x）的图象（）A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位【答案】A【解析】解：由已知中函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中＞，＜）的图象，过（，0）点，（，）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（，）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由＜∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=-故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A由已知中函数f（x）=A sin（ωx+φ）的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数f（x）=A sin（ωx+φ）的解析式，设出平移量a后，根据平移法则，我们可以构造一个关于平移量a的方程，解方程即可得到结论．本题考查的知识点是由函数f（x）=A sin（ωx+φ）的图象确定其中解析式，函数f（x）=A sin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知中函数f（x）=A sin（ωx+φ）的图象，求出函数f（x）=A sin（ωx+φ）的解析式，是解答本题的关键．9.定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）A.4B.3C.2D.-1 【答案】A【解析】解：由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=，，＜的值∵a==1，b==2∴S=2×（1+1）=4故选A由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=，，＜的值，由已知计算出a，b的值，代入可得答案．本题考查的知识点是程序框图，特殊角的三角函数，其中根据已知的程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．10.设（x-a）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，若a5+a8=-6，则实数a的值为（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】解：（x-a）8展开式的通项为T r+1=（-a）r C8r x8-r令8-r=5得r=3所以a5=-a3C83令8-r=8得r=0所以a8=1∴-a3C83+1=-6解得故选A利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取5，8求出两项的系数，列出方程求出a的值．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．11.如图，已知直线l：y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=-1直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（-1，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为，∴点B的坐标为B（，），把B（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），解得k=．故选：C．直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（-1，0），由此推导出|OB|=|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值．本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．12.对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A.[，2]B.[0，1]C.[1，2]D.[0，+∞）【答案】A【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t-1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t-1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t-1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，结合大前提t-1＞0，解得1＜t≤2．③当t-1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故选：A．因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t-1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围．本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知变量x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______ ．【答案】5【解析】解：由z=2x-y得y=2x-z作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x-z由图象可知当直线y=2x-z过点A时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（2，-1）．代入目标函数z=2x-y，得z=2×2+1=5，∴目标函数z=2x-y的最大值是5．故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14.双曲线-=1的左右焦点为F1，F2，P是双曲线左支上一点，满足||=||，直线PF2与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率e为______ ．【答案】【解析】解：设PF2与圆相切于点M，∵||=||，∴△PF1F2为等腰三角形，∴|F2M|=|PF2|，又在直角△F2MO中，|F2M|2=|F2O|2-a2=c2-a2，∴|F2M|=b=|PF2|①又|PF2|=|PF1|+2a=2c+2a②，c2=a2+b2③由①②③解得e==．故答案为：．先设PF2与圆相切于点M，利用||=||，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，属于中档题．15.对任意实数a，b，定义F（a，b）=（a+b-|a-b|），如果函数f（x）=ln（e2x），g（x）=3-x，那么G（x）=F（f（x），g（x））的最大值为______ ．【答案】2【解析】解：：“对任意实数a，b，定义：定义F（a，b）=（a+b-|a-b|）”的意思是两个函数的函数值进行比较，较大的舍去留下较小的函数值．∵f（x）=ln（e2x）=2+lnx，g（x）=3-x，如图示：故G（x）的最大值等于2．故答案为：2．“对任意实数a，b，定义：定义F（a，b）=（a+b-|a-b|）”的意思是两个函数的函数值进行比较，较大的舍去留下较小的函数值，结合图象即可求出函数值．本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及数形结合的数学思想，属于基础题．16.如图：平面四边形ABCD中，AB=1，∠BCD=150°，对角线BD垂直于AB且BD=2．沿BD把△ABD折起，使二面角A-BD-C为150°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为______ ．【答案】【解析】解：由题意，设△BCD的外接球的球心为O′，三棱锥A-BCD外接球的球心为O，则∵AB=1，二面角A-BD-C为150°，∴A到平面BCD的距离为，∴OO′=，=4，设△BCD的外接圆的半径为r，则2r=°∴r=2，∴三棱锥A-BCD外接球的半径为，∴三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π（4+）=．故答案为：．设△BCD的外接球的球心为O′，三棱锥A-BCD外接球的球心为O，求出OO′=，△BCD的外接圆的半径，可得三棱锥A-BCD外接球的半径，即可求得结论．本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知向量=（sinx，-1），=（cosx，），f（x）=（）．（1）当x∈[0，]时，求函数y=f（x）的值域；（2）锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若5a=4c，b=7，f（）=，求边a，c．【答案】解：（1）∵=（sinx，-1），=（cosx，），∴=（sinx+cosx，），∴f（x）=（）=（sinx+cosx）sinx=sin2x+cosxsinx==（sin2x-cos2x）=sin（2x-），∵x∈[0，]，∴2x-∈[，]，∴sin（2x-）∈[，1]，∴f（x）=sin（2x-）∈[，]；（2）由题意可得f（）=（sin B-cos B）=，化简可得sin B-cos B=，联立sin2B+cos2B=1，解之可得，（B为锐角）在△ABC中由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B代入数据可得98=，联立5a=4c，可解得a=8，c=5【解析】（1）由向量和三角函数的运算可得f（x）的解析式，由x的范围可得函数的值域；（2）由（1）可得sin B-cos B=，联立sin2B+cos2B=1，解之可得cos B，在△ABC中由余弦定理和已知可得关于ac的方程组，解之可得．本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角形的正余弦定理的应用，属中档题．18.如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．【答案】解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P．证明如下：取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，，取AC的中点M，连接EM、EC，∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．∴四边形EMCD为矩形，∴．又∵ED∥AC，∴ED∥FP且ED=FP，四边形EFPD是平行四边形．∴DP∥EF，而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，∴DP∥平面EAB．（2）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，∵ED∥AC，成二面角的棱．∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，∴∠DGC是所求二面角的平面角．设AB=AC=AE=2a，则，GC=2a，∴，∴∠．【解析】（1）由题意及图形取AB的中点F，AC的中点M，得到四边形EMCD为矩形，利用线面平行的判定定理证得线面平行；（2）由题意利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后在三角形中解出即可．本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．19.为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）．下表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品．（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．【答案】解：（Ⅰ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为=…..（2分）（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．所以ξ的分布列为故Eξ=0×+1×+2×+3×=…（9分）（Ⅲ）抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”P（A）=C×C=P（B）=C×C=抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为P（A）+P（B）=．…（13分）【解析】（Ⅰ）算出甲厂抽取的样本中优等品有6件，从而得出优等品率即可．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由古典概型分别求概率，得到ξ的分布列，再求期望即可．（Ⅲ）抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”，分别计算出它们的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率即可．本题考查茎叶图、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵F（，0）为椭圆的右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．∴c=，=1，∵a2=b2+c2∴a2=4，b2=2．故椭圆C的方程为；（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±，∴|OP|=；当k≠0时，直线方程代入椭圆方程，消y化简整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-4）=8（4k2-m2-2＞0①设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），则x0=x1+x2=-，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．由于点P在椭圆C上，∴．从而，化简得2m2=1+2k2，经检验满足①式，又|OP|==，∵0＜|k|≤，∴1＜1+2k2≤2，∴1≤＜2，∴＜|OP|≤，综上，所求|OP|的取值范围是[，]．【解析】（Ⅰ）先由已知F（，0）为椭圆的右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，可得c=，=1，结合a2=b2+c2，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）先对k分类讨论：当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±，所以|OP|=；当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．21.已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx+1（b为常数）．（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）若b=0，h（x）=f（x）-g（x），∃x1、x2[1，2]使得h（x1）-h（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）当b≥2时，若对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）-f （x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求b的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）=lnx，∴f′（x）=，f′（1）=1，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，----------------（2分）∵直线y=x-1与函数g（x）的图象相切，由消去y得x2-2（b+1）x+4=0，则△=4（b+1）2-16=0，解得b=1或-3--------------------------------------（4分）（2）当b=0时，∵h（x）=f（x）-g（x）=lnx--1（x∈[1，2]），∴h′（x）=-x=，----------------------------------------------（5分）当x∈（1，2]时，h′（x）＜0，∴在[1，2]上单调递减，h（x）max=h（1）=-，h（x）min=h（2）=ln2-3，-----------------------------------（7分）则[h（x1）-h（x2）]max=h（x）max-h（x）min=，∴M≤＜1，故满足条件的最大整数是M=0．------------------------------（9分）（3）不妨设x1＞x2，∵函数f（x）=lnx在区间[1，2]上是增函数，∴f（x1）＞f（x2），∵函数g（x）图象的对称轴为x=b，且b≥2，∴函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，∴g（x1）＜g（x2），------------------------------------------------------（10分）∴|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|等价于f（x1）-f（x2）＞g（x2）-g（x1），即f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），----------------------------------（11分）等价于φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+-bx+1在区间[1，2]上是增函数，等价于φ′（x）=+x+b≥0在区间[1，2]上恒成立，---------------------------（12分）等价于b≤x+在区间[1，2]上恒成立，∴b≤2，又b≥2，∴b=2．------------------------------------------------（14分）【解析】（1）利用导数求出函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程，再有直线与曲线的相切关系，联立方程组求出b的值；（2）根据题意求满足条件的最大整数M，转化为求h（x）的最值解决，即只要使得M≤h （x）max-h（x）min即可；（3）先利用导数法判断f（x）与g（x）的增减性，把|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|等价转化为f（x1）-f（x2）＞g（x2）-g（x1），等价于f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2）成立，再构造函数φ（x）=f（x）+g（x），即等价于φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+-bx+1在区间[1，2]上是增函数，利用导数与函数单调性的关系，结合不等式恒成立的条件，求得b 的取值范围．考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件．理解等价转化思想的运用．22.选修4-1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD丄CE，垂足为D．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）若AB=4AD，求∠BAD的大小．【答案】证明：（Ⅰ）连接BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠B+∠CAB=90°∵AD⊥CE，∴∠ACD+∠DAC=90°，∵AC是弦，且直线CE和圆O切于点C，∴∠ACD=∠B∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠BAD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC∽△ACD，∴，由此得AC2=AB•AD．∵AB=4AD，∴AC2=4AD•AD⇒AC=2AD，于是∠DAC=60°，故∠BAD的大小为120°．【解析】（Ⅰ）利用切线的性质即可得出；（Ⅱ）利用相似三角形的性质即可得出．熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．23.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线C：（θ为参数）和定点，，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点．（1）以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程；（2）经过点F1，且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|-|NF1||的值．【答案】解：（1）C：，轨迹为椭圆，其焦点F1（-1，0），F2（1，0）：即：即；（2）由（1），∵l⊥AF2，∴l的斜率为，倾斜角为30°，所以l的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程，得代入椭圆C的方程中，得：因为M、N在F1的异侧【解析】（1）先利用三角函数中的平方关系消去参数θ即可将圆锥曲线化为普通方程，从而求出其焦点坐标，再利用直线的斜率求得直线l的倾斜角，最后利用直线的参数方程形式即得．（2）由（1）结合直线的垂直关系救是l的斜率、倾斜角，从而得出l的参数方程，代入椭圆C的方程中，得：，最后利用参数t的几何意义即可求得||MF1|-|NF1||的值．本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．24.（1）已知|x-4|+|3-x|＜a若不等式的解集为空集，求a的范围（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥．【答案】（1）解：∵|x-4|+|3-x|≥|（x-4）+（3-x）|=1，又|x-4|+|3-x|＜a若不等式的解集为空集，∴a≤1…（5分）（2）证明：由a+b+c=1，得1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2）∴a2+b2+c2≥．（当且仅当a=b=c时取等号）…（10分）【解析】（1）利用绝对值三角不等式求出左侧部分的最小值，然后转化求出a的范围．（2）利用已知条件求出1的平方，利用重要不等式求出结果即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力．。

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辽宁省大连八中2014届高三高考仿真数学（理）试题一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}R x y y N x x x M x∈==≥=,2,2，则MN = ( )A ．）（1,0B ．]1,0[C ．)1,0[D ．]1,0( 2. 已知1ii 12ib a -=++（,R a b ∈），其中i 为虚数单位，则a b +=（） A ．4- B ．4 C ．10- D ．103．下列命题中的假命题是（） A.0,32xxx ∀>>B.()0,,1xx e x∀∈+∞>+C.000(0,),sin x x x ∃∈+∞< D.00,lg 0x R x ∃∈<4．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．某校对高三年级1200名学生进行健康检查，按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本。

已知女生抽到了55人，则该校男生的人数是（） A.65 B.550 C.600 D.650 6．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)1(2+=n n a S ，则5a =（）A ．-16B ．-32C ．32D ．-647．一个棱锥的三视图如图（单位为cm ），则该棱锥的全面积是( )（单位：cm 2）．A 、4+2 6B 、4+ 6C 、4+2 2D 、4+ 28．已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A. 向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位9．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的s 值，则552cos2tan 34ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．―1 10．设8280128()x a a a x a x a x -=++++，若685-=+a a ，则实数a 的值为（） A. 12-B. 21C. 1D.2；11．如图，已知直线l ：y =k(x +1)(k>0)与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是（） A ．BC D12．对于函数()f x ，若,,a b c R ∀∈,(),(),()f a f b f c 为某一三角形的三条边，则称()f x 为“可构造三角形函数”。

已知函数()1x x e tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（）A.[)0,+∞B.[]0,1C. []1,2D. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知变量x ，y 满足约束条件,1,2,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =-的最大值为．14.双曲线的左右焦点为，P 是双曲线左支上一点，满足相切，则双曲线的离心率e 为________.15．对任意实数a ，b ，定义F(a ，b)=12(a+b-|a-b|)，如果函数2()ln(),()3f x e x g x x ==-, 那么()((),())G x F f x g x =的最大值为．D16．如图平面四边形ABCD 中，AB=1，，对角线BD 垂直于AB且BD=2。

沿BD 把折起，使二面角A-BD-C 为，则三棱锥A-BCD 外接球的表面积为___________。

三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知向量3(sin ,1),(cos ,),()()2m x n x f x m n m =-==+⋅ （Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域：(Ⅱ)在锐角中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5,a b==1023)2(=B f ，求边,a c .18．(本小题满分12分)如图：已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，，，AB=AC=AE（1）在线段BC 上是否存在一点P ，使得DP//平面EAB ？请证明你的结论；（2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值。

19．(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图3是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（Ⅲ）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．20.（本小题满分12分）已知椭圆())2222:10,x y C a b Fa b+=>>为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设直线:l y kx =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段OA,OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求OP 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数21()ln ,()12f x xg x x bx ==-+（b 为常数）．（Ⅰ）函数)(x f 的图象在点（)1(,1f ）处的切线与函数)(x g 的图象相切，求实数b 的值；（Ⅱ）若0,b =记()()(),h x f x g x =-∃1x 、2x [1,2]∈，使得12()()h x h x M-≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（Ⅲ）当2b ≥时，若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-成立，求b 的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O 切于点C ，AD ⊥CE ，垂足为D .（Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD ；（Ⅱ）若AB＝4AD，求∠BAD的大小．23．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知圆锥曲线C：为参数）和定点,是此圆锥曲线的左、右焦点。

（Ⅰ）以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；（Ⅱ）经过点，且与直线垂直的直线l交此圆锥曲线于M,N两点，求的值.24．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）（Ⅰ）已知|x-4|+|3-x|<a若不等式的解集为空集，求a的范围（Ⅱ）已知a,b,c,且a+b+c=1,求证：a2+b2+c2≥．所以ED=AC且ED∥AC所以PQ∥ED且PQ=ED，四边形PQED为平行四边形，DP∥QE因为DP平面EAB，QE平面EAB所以DP∥平面EAB ————————————————6分21355533101051(2),(3)1212C C C P P C C ξξ⋅====== …………6分 ∴ξ的分布列为7分∴155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（） ……………9分(Ⅲ) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”………10分当∴3ln 22M ≤-1<,故满足条件的最大整数0M =. ___________8分（Ⅲ）不妨设21x x >，∵函数x x f ln )(=在区间[1,2]上是增函数，∴)()(21x f x f >， ∵函数)(x g 图象的对称轴为b x =，且2b ≥，∴函数)(x g 在区间[1,2]上是减函数， ∴12()()g x g x <，∴|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-等价于1221()()()()f x f x g x g x ->-，即1122()()()()f x g x f x g x +>+，等价于21()()()ln 12x f x g x x x bx ϕ=+=+-+在区间[1,2]上是增函数，等价于1'()0x x b x ϕ=+-≥在区间[1,2]上恒成立, 等价于1b x x≤+在区间[1,2]上恒成立，∴2≤b ，又2≥b ，∴2=b .---------------------------------------12分 22．解：(Ⅰ)连接BC ，,l的斜率为，倾斜角为300，所以l的参数方程为（t为参数）代入椭圆C的方程种，得：因为M、N在的异侧所以13312———————10分24.（Ⅰ）………………5分（Ⅱ）由a+b+c=1, 得1=（a+b+c）2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2）∴a2+b2+c2≥．（当且仅当a=b=c时取等号）…………………10分。