清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续
合集下载
清华大学微积分高等数学第讲常微分方程三精品PPT课件
[解] 取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数.
由牛顿冷却定律知
dTk(T2)0 (k0,比例)常数 dt 初始条件 T(0) 100
2020/11/28
10
另外还有一个条件: T(20)60
可用来确定比例常数k
分离变量，得
dT kdt (T 20)
两边积分，得
ln T (2)0 k tC 1
x1(Cy2 1)
2
C
2020/11/28
18
[例4] 一容器内盛有100升盐水,其中含盐
10 公斤, 今以每分钟 2 升的均匀速度把
净水注入容器, 并以同样的速度使盐水
流出, 假设容器中的溶液在每一时刻都
是均匀的, 试求容器内盐量随时间变化
的规律.
2升
2020/11/28
2升 19
[解] 列方程，确定初始条件 已知，在任何一段时间内
13
由题意得
x y x y 2
又已知曲线过点 (2, 1), 于是得到定解问题
xy 2y 0
y(2)
1
分离变量求得通解 y Cx2
由y(2)1,得C1 4
所求曲线方程 y为 1x2 4
2020/11/28
14
[例3] 试设计一反光镜, 使它能将点光源发 出的光反射成为平行光
[解] 设反光镜镜面由 y曲 y(x线 )绕x轴
h dh
o
2020/11/28
23
取时间 t 为自变量，水面高度 h(t) 为未 知函数，并取坐标系如图
从容器内流出的溶液量为 2dt
在时间 dt 内盐水的浓度近似看作不变， 看作是 t 时刻的盐水浓度
Q (t)
100
清华大学微积分课件
x0
x x0
x
-1 -1.5
2020/5/11
limarctan 1 不存 在！
x0
x
9
2. 函数在无穷远的极限
定义3： 设 函数 f ( x )在 区间( a, )有 定义
若x无 限变 大时 ，f ( x )无 限趋 于某 一
常 数， 则 称当x 时, f ( x )有 极限A，
记作 lim f ( x ) A x
趋向于一点
O
x• x0 x•
x
x x0 ， x x0， x x0
趋向于无穷
x ， x ， x
2020/5/11
4
（二）函数极限的定义
1. 函数在一点的极限
定义1：
设 函 数 f ( x )在 点x0的 某 空 心 邻 域
有 定 义. 如 果 当“ x 无 限 趋 于 ” x0时 ， 其 对
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
左
极
限,
记
作
lim
x x0
f
(x)Fra bibliotekA（2） 若 f ( x )在 （x0 , x0 )内 有 定 义.当
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
右
极
限,
记
作
lim
ff((xx))存存在在,,则则当当xyx 1x x时 0 时, ,f
f(
x( x)有)有界界. .
即存即在存M在M0和 0和 0N, 使 0当, 使0 当xxx0N时,时,
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
2024版年度大学微积分课件PPT大纲
大学微积分课件PPT大纲目录CONTENCT •引言•极限与连续•导数与微分•微分中值定理与导数的应用•不定积分•定积分及其应用•多元函数微积分01引言微积分的起源与发展早期微积分思想的萌芽古代数学中的极限思想与无穷小分割。
微积分的创立牛顿与莱布尼茨的独立发展及符号体系的建立。
微积分的严格化柯西等数学家对微积分基础理论的完善与严密化。
微积分的重要性及应用领域重要性微积分是高等数学的基础，对于理解现实世界的变化规律具有重要意义。
应用领域物理学、经济学、工程学、生物学等多个学科领域的广泛应用。
课程目标与学习要求课程目标掌握微积分的基本概念、基本理论和基本方法，培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
学习要求认真听讲、积极思考、独立完成作业，注重理论与实践相结合。
02极限与连续010203极限的定义极限的性质极限存在的条件极限的概念与性质描述函数或数列在某一点或无穷远处的变化趋势。
包括唯一性、有界性、保号性等，是求解极限问题的基础。
阐述函数或数列极限存在的充分必要条件。
极限的运算法则极限的四则运算法则阐述在极限运算中，和、差、积、商的极限运算法则。
极限的复合运算法则讨论复合函数的极限运算法则及注意事项。
极限的换元法与夹逼准则介绍换元法和夹逼准则在求解极限问题中的应用。
无穷小量的定义与性质阐述无穷小量的概念、性质及与极限的关系。
无穷小量与无穷大量的关系讨论无穷小量与无穷大量之间的联系与转换。
无穷大量的定义与性质介绍无穷大量的概念、性质及与极限的联系。
无穷小量与无穷大量80%80%100%连续性的概念与判定阐述函数在某一点连续的概念及充要条件。
介绍判定函数连续性的方法及步骤，包括直接法、定义法、极限法等。
讨论函数不连续点的概念、分类及判定方法。
连续性的定义连续性的判定方法间断点及其分类03导数与微分导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系导数的概念与几何意义导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。
函数在某点可导则一定连续，但连续不一定可导。
清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续
2020/1/24
lim
x x0
f (x)
f ( lim x x0
x)
f ( x0 )
28
定义2： （函数在一点的单侧连续性）
设函数 f ( x) 在(a, x0 ]上有定义, 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
则 称 f ( x) 在 x0 处左连续;
设函数 f ( x) 在[ x0 , b)上有定义, 且
f ( x)与g( x)是 等 价 无 穷 小.
2020/1/24
记作 f (x) ~ g(x) (x ) 5
(2) 若 lim f ( x) 0, 则 称 当x 时, x g( x)
f ( x)与g( x)相 比 是 高 阶 无 穷 小. 记 作 f ( x) ( g( x)) ( x ).
作业
P43 习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10).
P49 习题 2.4 9(1)(4)(6).
练习 P43 习题 2.3 4. 5. 8. P49 习题 2.4 1. 2. 5.
2020/1/24
1
第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数
一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义
( 因 为e x 1 ~ x ( x 0) )
a x 1 ~ x lna (x 0)
2020/1/24
17
[例6]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
?
[解]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
lim 3x
清华微积分(高等数学)第三讲 (一) 无穷小量(续)PPT课件
x 0
1
因l为 i(m 1x)xe lim ln u1
x 0
u e
所 以lim ln1 (x)1 x 0 x
29.07.2020
17
[例5]
ax 1
lim
?
x0 x
ax1
exlna1
[解]
lim x0 x
lim x0 x
xlna lim lna
x0 x
(因 ex 为 1~x(x 0 ))
ax1~xln a (x 0)
同阶无 ;(x穷 24)小 ~4(2x23x2)
29.07.2020
5
12
[例2]
1cosx
lim
x0
x2
?
[解] lx i0m 1x c2oxslx i0m 2sxi22n2 x
lx i0m 2((2 xs)2i2 x4 n )2 1 2lx i0m ((s2 xi)2 x2n )2
1lim sin 2 xlim sin 2 x 1
点击此处输入 相关文本内容
第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数
一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义
29.07.2020
3
一、三个重要关系
1.（无穷小与无穷大）
若 在 自 变 量 的 某 一化个过变程 ,中 f (x) 是 无 穷 大 , 则 在 这 个 变 化 过,程
g1(x) 均为无穷 ,且小 有 f(x)~ f1(x),
g(x)~g1(x),xl i mgf11((xx))存在，
则 有 lim f(x)lim f1(x) x g(x) x g1(x)
lim f(x )lim f(x )lim f1 (x )lim g 1 (x ) x g (x ) x f 1 (x )x g 1 (x )x g (x )
清华大学微积分课件——函数极限
x
y
y−1
= (1 + 1 ) y = (1 + 1 ) y−1 ⋅ (1 + 1 )
y−1
y−1
y−1
2011-9-5
26
当x → −∞ 时, y → +∞ , 从而 y − 1 → +∞ , 于是有
lim (1+ 1 )x = lim (1+ 1 )y−1 ⋅ lim (1+ 1 )
x→−∞
x
y−1→+∞
2011-9-5
5
2011-9-5
6
1
[注意2] lim f ( x ) = A 的几何意义是什麽？ x→ x0 y
(
A+ε
A
o
)
A−ε
y = f (x)
O
(
x0 − δ
x0
)
x0 + δ
x
或∀ε > 0, ∃δ > 0, 使 f ( N ( x0 , δ )) ⊂ U ( A, ε )
2011-9-5
f ( x′n′)
所以 , 极限 lim sin 1 不存在
x→ 0
x
2011-9-5
证毕
19
三、函数极限的存在性 1.夹逼定理:
∀ x ∈ N ( x 0 ), 有 f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x )
且
lim f ( x ) = lim h( x ) = A
x→ x0
x→ x0
则 lim g ( x ) = A x→ x0
± 趋向于无穷
x → +∞ ⇔ ∃N > 0, x > N
x → −∞ ⇔ ∃N > 0, x < − N
无穷小量定义PPT课件
,
x sin 1 O( x) ( x 0)
x
但x sin 1 与x并不是同阶无穷小量。 x
第14页/共45页
f ( x) o( g( x)) lim f ( x) 0. g( x)
f ( x) O( g( x)) | f ( x) | L. g( x)
第8页/共45页
四、无穷小量阶的比较
无穷小量之比的极限（0/0）可以出现各种情况：
例如, 当x 0时, x, x2 ,sin x, x sin 1 都是无穷小.
lim x2 0,
观
x0 x
x
x2 比 x 快得多;
察 各
lim sin x 1,
sin x与x大致相同;
极 x0 x
限
lim
x0
x x2
当x
x0时,
当 x 0时， sin x ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln(1 x) ~ x，
e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2, (1 x)a 1 ~ ax (a 0) 2
第18页/共45页
五、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理 3 设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) (x→x0).
L, x U o( x0 )}
第15页/共45页
3．若 lim f ( x则)称当1x,→x0时 , f与g是等价无
x
穷小量，记作
x0
g( x)
f(x)~g(x) (x→x0).
注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。
例如，当x→0时，x sin 1/x和x2都是无穷小量，
但
x sin x2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
代数和不能代换！
2020/5/13
15
[例4] limln1(x) ?
x0
x
[解] lim ln1 (x)lim ln1 (x)1 x
x 0 x
x 0
1
因l为 i(m 1x)xe lim ln u1
x 0
u e
所 以lim ln1 (x)1 x 0 x
2020/5/13
16
[例5]
ax 1
lim
作业
P43 习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10).
P49 习题 2.4 9(1)(4)(6).
练习 P43 习题 2.3 4. 5. 8. P49 习题 2.4 1. 2. 5.
2020/5/13
1
第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数
一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义
1cosx
lim x0 s
i
n2
x
lxim0 12xx22
1 2
2020/5/13
14
taxn sixnO(x3) 是 x 的 3 阶无穷小
taxn sixn(x2)
x3 tanxsinx~
2
讨论：当 x 0 时 , ta x ~ x n , sx i~ n x
tax nsixn xx lx i0m si3x n lx i0m x3 0
x0
x2
?
[解] lx i0m 1x c2oxslx i0m 2sxi22n2 x
lx i0m 2((2 xs)2i2 x4 n )2 1 2lx i0m ((s2 xi)2 x2n )2
1lim sin 2 xlim sin 2 x 1
2x 0
2020/5/13
x 2
x 0 x 2
2 12
1coxs 1
2020/5/13
6
符“ 号”“ 与O” (1 )若 lim f(x)0 ,则 记 f(x) (g(x))
x x0g(x)
(2)若M0, 使当 xN*(x0)时,有
f(x) M 则记成f(x)O(g(x)) g(x)
(xx0).
若 lim f(x)A ,则有 f(x)O (g(x))
g(x) 2020/5/13 x x0
lxim 2 2x2
? 3x2
[解]
x2 4
(x2)(x2)
lxim2 2x2
3x2
lim x2 (2x1)(x2)
lim(x2) 4 x2 (2x1) 5
当 x2时 ,(x24)与 (2x23x2)是
同阶无 ;(x穷 24)小 ~4(2x23x2)
2020/5/13
5
11
[例2]
1cosx
lim
[例] 当x0时, sinx~x
sinxx(x)
当x 1时,sinxx,误 差是 (x)
2020/5/13
9
性质2： 若当 x时, f(x), g(x), f1(x),
g1(x) 均为无穷 ,且小 有 f(x)~ f1(x),
g(x)~g1(x),xl imgf11((xx))存在，
则 有 lim f(x)lim f1(x) x g(x) x g1(x)
2020/5/13
2
一、三个重要关系
1.（无穷小与无穷大）
若 在 自 变 量 的 某 一化个过变程 ,中 f (x) 是 无 穷 大 , 则 在 这 个 变 化 过,程
1 是 无 穷 小 . f (x)
2.（极限与无穷小）
limf(x)Af(x)A(x),
x
其中 (x)是当 x时的无. 穷
2020/5/13
(1) 若 lim f ( x ) A 0, 则称当 x 时 , x g ( x )
f ( x )与 g ( x )是同阶无穷小 ;
特别 ,当 lim f ( x ) 1 时 , 称当 x 时 , x g ( x )
f ( x )与 g ( x )是等价无穷小 .
2020/5/13
记f作 (x)~g(x) (x ) 5
(2)若lim f (x) 0, 则称当x 时, x g(x)
f (x)与g(x)相比是高阶无穷 . 小 记作 f (x) (g(x)) (x ).
(3)若 lx iam [gf((xx))k]A0,则 称 x 当 时 , f(x)与 g(x)相 比 k阶 是无.穷 小
3
3.无穷大与无界函数
若在自变量的某化 一过 个程 变, 中 f(x) 是无穷,大 则f(x)无界。反之不一定
[例 ] f(x ) x sx i,n x
问题：
两个无穷小量的商是否为无穷小量？
2020/5/13
4
二、无穷小量的比较
定义： 设在自变量的同一变化 过程中 ,
f ( x )与 g ( x )都是无穷小 .
limexl x0
n1(32s i
x2
nx)
1lxi m 0 xln1(x232sinx)
lim32sinx 2
2020/5/13 x0
lim f(x )lim f(x )lim f1 (x )lim g 1 (x ) x g (x ) x f1 (x )x g 1 (x )x g (x )
lim f(x)lim f1(x) 等价代换
g(x) g(x) x 0
2020/5/13
x 0 1
பைடு நூலகம்
10
三、求极限举例
[例1]
x2 4
lim
x0
x2
2
1co
l i m x0
1 2
x2
sx
1
1coxsO(x2)(同阶 )
1coxs~1x2 (等价 ) 2
1coxs(x)(高)阶
1coxs是x的2阶无穷小
2020/5/13
13
[例3]
tanxsinx
lim
x0
sin3 x
?
[解] limtanxsinx x0 sin3 x
lx i0m 1sic2noxxsc1oxs
7
几个常用的等价无穷小量
(x0)
sinx ~ x arcsinx~ x ex 1~ x
ln(1x) ~ x
2020/5/13
tanx ~ x arctanx ~ x ax 1~ xlna 1x 1~ 1x
2
8
等价无穷小量的性质
性质1： 设当 x时, f(x),g(x)均为 无穷,小 则 f(x)~g(x) f (x)g(x) ( f (x)) 或f(x)g(x)(g(x))
?
x0 x
ax1
exlna1
[解]
lim x0 x
lim x0 x
xlna lim lna
x0 x
(因 ex 为 1~x(x 0 ))
ax1~xln a (x 0)
2020/5/13
17
[例6]
(32sinx)x3x
lim
x0
ta2nx
?
[解]
(32sinx)x3x
lim
x0
ta2nx
lxi m 03x(13 2sxi2nx)x1