初中数学《勾股定理》一章单元测试题

○…………○…………装学校:___________姓名………内…………………○…………订……绝密★启用前初中数学《勾股定理》一章单元测试题温馨提示：亲爱的同学们，考试只是检查我们对所学知识的掌握情况，希望你不要慌张，平心静气，做题时把字写得工整些，让老师和自己看得舒服些，祝你成功！一、单选题（计36分）1．（本题3分）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ） A ． 4、7、9 B ． 5、12、13 C ． 6、8、10 D ． 7、24、25 2．（本题3分）下列说法中正确的是（ ） A ． 已知a ，b ，c 是三角形的三边，则a 2+b 2=c 2 B ． 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C ． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，所以a 2+b 2=c 2 D ． 在Rt △ABC 中，∠B=90°，所以a 2+b 2=c 23．（本题3分）如图所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE ＝（ ）A ． 1B ． √2C ． √3D ． 24．（本题3分）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNPQ 的面积分别为S 1、S 2、S 3．若S 1＋S 2＋S 3＝60，则S 2的值是（ ）……外……………装……………订……………线………※※不※※要※※在※线※※内※※答※※题※…………………○…A ． 12 B ． 15 C ． 20 D ． 305．（本题3分）如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（ ）A ． 8米B ． 12米C ． 5米D ． 5或7米6．（本题3分）在数学活动课上，老师要求学生在4×4的正方形ABCD 网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在各点上，而且三边与AB 或AD 都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（ ）种．A ． 3B ． 4C ． 5D ． 67．（本题3分）如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m ，公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m ，则公园在医院的( )A ． 北偏东75°的方向上B ． 北偏东65°的方向上C ． 北偏东55°的方向上D ． 无法确定8．（本题3分）如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（ ）A ． 4B ． 8C ． 16D ． 329．（本题3分）如图所示，一个圆柱高为8cm ，底面圆的半径为5cm ，则从圆柱左下角A 点出发．沿圆柱体表面到右上角B 点的最短路程为（ ）……外………○……………………○……_____班级：____………○…………装………线…………………内……………装…………○…A ． √25π2+8cmB ． √64+25π2cmC ． √8+5π2cmD ． 以上都不对 10．（本题3分）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD=√5，DC=1，AC=√5，那么AB 的长度是（ ）A ． √27B ． 27C ． 3D ． 2511．（本题3分）直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ） A ． 10 B ． 2√2 C ． 10或2√7 D ． 无法确定12．（本题3分）如图，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条边是分别是a ，b ，则a+b 和的平方的值（ ）A ． 13B ． 19C ． 25D ． 169 二、填空题（计20分）13．（本题4分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边长．如果∠A=105°，∠B=45°，b=2√2，那么c=_____．14．（本题4分）已知矩形ABCD 中，AB=4，BC=7．∠BAD 的平分线AE 交BC 于E 点，EF ⊥DE 交AB 于F 点，则EF 的长为_____．15．（本题4分）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”___条．…………○…………○……线………○……※※在※※装※※答※※题※※ …………○………16．（本题4分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD=9，AE ⊥BC 于E ，AE=8，则CD 的长为_____．17．（本题4分）如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S 1=30，S 2=40，则S 3=_____．三、解答题（计45分）18．（本题8分）如图，在一张长方形ABCD 纸张中，一边BC 折叠后落在对角线BD 上，点E 为折痕与边CD 的交点，若AB=5，BC=12，求图中阴影部分的面积.19．（本题9分）一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从AB 位置滑到CD 位置）？…○…………………○……___班级：________……线…………○………装…………○…20．（本题9分）如图，将边长为a 与b 、对角线长为c 的长方形纸片ABCD ，绕点C 顺时针旋转90°得到长方形FGCE ，连接AF ．通过用不同方法计算梯形ABEF 的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．21．（本题9分）已知：如图，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，，BC=5 ，CD=6，求AD 的长.………○…※※题※※……22．（本题9分）如图，在长方体上有一只蚂蚁从项点A 出发，要爬行到顶点B 去找食物，一只长方体的长、宽、高分别为4、1、2，如果蚂蚁走的是最短路径，你能画出蚂蚁走的路线吗？参考答案1．A【解析】【分析】根据勾股定理逆定理逐项分析即可.【详解】A. ∵42+72≠92，∴4、7、9不能组成直角三角形；B. ∵52+122=132，∴5、12、13能组成直角三角形；C. ∵62+82=102，∴6、8、10能组成直角三角形；D. ∵72+242=252，∴7、24、25能组成直角三角形；故选A.【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.2．C【解析】A选项中，因为“在任意三角形中，三边并不满足两边的平方和等于第三边的平方”，所以A中说法错误；B选项中，因为“在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以B中说法错误；C选项中，因为在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2成立，所以C中说法正确；D选项中，因为在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+c2=b2，所以D中说法错误.故选C.3．D【解析】试题分析：根据勾股定理进行逐一计算即可．解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC===；AD===；AE===2．故选D．4．C【解析】【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2-4m，依据S1+S2+S3=60，可得4m+S2+S2+S2-4m=60，进而得出S2的值．【详解】设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2-4m，因为S1+S2+S3=60，所以4m+S2+S2+S2-4m=60，即3S2=60，解得S2=20，故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．5．A【解析】【分析】先根据勾股定理求出折断部分的长，再加上没折断的部分即可.【详解】√32+42=5米，3+5=8米.故选A.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.6．A【解析】【详解】解：如图所示：形状不同的直角三角形共有3种情况：直角边之比为1：1，或1：2，或1：3．故选：A．7．B【解析】试题解析：如图，∵3002+4002=5002，∴∠AOB=90°，∵超市在医院的南偏东25°的方向，∴∠COB=90°-25°=65°，∴∠AOC=90°-65°=25°，∴∠AOD=90°-25°=65°.故选B．8．C【解析】【分析】等腰直角三角形中，直角边长和斜边长的比值为1：√2，正方形面积为边长的平方；所以要求①号正方形的面积，求出①号正方形的边长即可．【详解】要求①号正方形的面积，求①号正方形的边长即可，题目中给出③号正方形的面积为1，即③号正方形的边长为1，根据勾股定理4号正方形的边长为√12+12=√2，以此类推，可以求得①号正方形边长为4，所以①号正方形面积为4×4=16．故选C．【点睛】本题考查的是在等腰直角三角形中勾股定理的运用，已知直角边求斜边边长，解本题的关键是正确的运用勾股定理．9．B【解析】【分析】沿过A的圆柱的高AD剪开，展开得出平面，连接AB，根据勾股定理求出AB的长即可．【详解】沿过A的圆柱的高AD剪开，展开得出平面，如图连接AB，则AB的长就是从圆柱左下角A点出发.沿圆柱体表面到右上角B点的最短路程，由题意知：∠BCA=90°，AC=1×2×5cm×π=5πcm，BC=8cm，2由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√64+25π2(cm).故选B.【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题及勾股定理的应用，解此题的关键是知道求出哪一条线段的长，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．10．C【解析】【分析】根据AC，DC解直角△ACD，可以求得AD，根据求得的AD和BD解直角△ABD，可以计算AB．【详解】∵△ACD为直角三角形，∴AC2=AD2+DC2，∴AD=2，∵△ABD为直角三角形，∴AB2=AD2+BD2，∴AB=3，故选C．【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，根据两直角边求斜边，根据斜边和一条直角边求另一条直角边．11．C【解析】【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解即可．【详解】有两种情况：（1）当8是直角边时，第三边为斜边，长为√62+82=10；（2）当8是斜边时，第三边为直角边，长为√82−62=2√7；所以第三边的长为10或2√7.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理.对较长的边分两种情况（1）直角边（2）斜边，进行讨论是解题的关键.12．C【解析】【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．【详解】根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，ab=13−1，四个三角形的面积=4×12∴2a b=12，联立解得：(a+b)2=13+12=25．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是注意完全平方公式的展开：(a+b)2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．13．c=2【解析】【分析】已知∠A，∠B根据内角和为180°，可以求出∠C，在直角△ACD中求得AD，在直角△ABD 中求AD，根据AD=AD作为相等关系计算c．【详解】作AD⊥BC于点D，在直角△ACD 中，∠C =180°-105°-45°=30°，AD =b 2（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半）；在直角△ABD 中，AD =BD ，且AD 2+BD 2=AB 2，AD =√22c ，∴b 2=√22c ，∵b =2√2,∴c =2．故答案为：c =2．【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中在直角△ACD 和直角△ABD 中求AD 是解题的关键．14．5【解析】试题解析：连接DF ，在矩形ABCD 中，∵AE 平分∠BAD ，4743BE AB CE BC BE ∴=====，﹣﹣，则在Rt CDE 中， 5DE ==，在Rt AFD 中， 222AF AD DF +=，即2227AF DF +=， ①在Rt BEF 中， ()22244AF EF -+=， ②在Rt EFD 中， 2225DF EF =+， ③ 化简可得21AF =， 即1AF =，3BF ∴=，则在Rt BEF 中， 5EF =．故答案为：5．15．8【解析】答案如图：．16．8﹣√17【解析】【分析】作DF⊥AE于F，则四边形DCEF为矩形，即DC=EF，要求CD的长度，求出AF即可．再根据△ABE≌△ADF，要求AF求出BE即可．【详解】如图，作DF⊥AE于F，则DCE F为矩形，DC=EF，又∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADF，∴AF=BE，在Rt△ABE中，BE=√92−82=√17，∴DC=EF=AE-AF=8-√17.故答案为：8﹣√17.点睛】本题考查了在直角三角形中勾股定理的合理运用和全等三角形的构建及证明．解本题关键是求证全等三角形，和已知2边求直角三角形的第3边．17．70【解析】【分析】根据勾股定理以及圆面积公式，可以证明：S1+S2=S3．故S3=70．【详解】设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示：则，，.∵a2+b2=c2，∴．即S1+S2=S3．∴S3=70．故答案为：70.【点睛】本题考查了圆的面积公式和勾股定理的应用，注意发现此图中的结论：S1+S2=S3．18．图中阴影部分的面积为78.5【解析】试题分析：如图，设点C在BD上的对应点为点F，连接EF，则易得EF⊥BD于点F，BF=BC=12，由已知易得BD=13，由此可得DF=1，设CE=x，则EF=x，DE=5-x，在Rt△DEF中由勾股定理建立方程即可求得x的值，从而可得到EF的长，结合BD的长即可求出△BDE 的面积了.试题解析：设折叠后点C在BD上的对应点为点F，连接EF，∴EF⊥BD，BF=BC=12，∴∠DFE=90°，∵AB=5，AD=BC=12，∠A=90°，∴BD=√52+122=13，∴DF=13-12=1，设CE=x，则EF=CE=x，DE=5-x，在△DEF中，x2+12=（5-x）2，解得x＝125，∴图中阴影部分的面积S△BDE＝12×13×125＝785.19．0.8米【解析】【分析】要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度AO，且△AOB，△COD均为直角三角形，可以运用勾股定理求解．【详解】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理AB2=AO2+OB2，可以求得：OA==2.4米，现梯子的顶部滑下0.4米，即OC=2.4﹣0.4=2米，且CD=AB=2.5米，所以在直角三角形COD中DO2=CD2﹣CO2，即DO==1.5米，所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米﹣0.7米=0.8米．答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米．【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，找出题目中隐含的直角三角形是解题的关键．20．见解析【解析】试题分析：根据S梯形ABEF=S△ABC+S△CEF+S△ACF，利用三角形以及梯形的面积公式即可证明．证明：∵S梯形ABEF=（EF+AB）•BE=（a+b）•（a+b）=（a+b）2，∵Rt△CDA≌Rt△CGF，∴∠ACD=∠CFG，∵∠CFG+∠GCF=90°，∴∠ACD+∠GCF=90°，即∠ACF=90°，∵S梯形ABEF=S△ABC+S△CEF+S△ACF，∴S梯形ABEF=ab+ab+c2，∴（a+b）2=ab+ab+c2∴a2+2ab+b2=2ab+c2，∴a2+b2=c2．考点：勾股定理的证明．221．19【解析】过A作AF⊥CB交CB的延长线于F，过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，∴AF∥DE,过F作FG∥AD交DE于G,∴ADGF是平行四边形. ………………………………………………………………………1分135.45sin4522ABCFBAABFAF FBABAB∠=︒∴∠=︒∴∆∴==⋅︒==是等腰直角三角形.分12060sin606ccos6016233BCDDCEDE CDCE CD∠=︒∴∠=︒∴=⋅︒===⋅︒=⨯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯又分845EFGEF FB BC CEEG ED DGED AFAD FG∆=++==-=-=∴====在Rt中，分分22．见解析【解析】【分析】分为两种情况：如图1根据勾股定理求出AB长，如图2根据勾股定理求出AB长，得出图1时最短，画出即可．【详解】·解：能；线段AB的长就是蚂蚁走的最短距离，分为两种情况：如图1：AC=4，BC=2+1=3，∠C=90°，由勾股定理得：AB=5；如图2：AC=4+1=5，BC=2，∠C=90°，在△ABC中，由勾股定理得：AB=＞5，∴沿图1路线走时最短，；如图3：即能画出蚂蚁走的最短路线：如图从A到C′再到B或先沿底面走到C''然后走到B．【点睛】本题考查了勾股定理，最短路线问题的应用，关键是能求出符合条件的最短路线的长，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．。