眉山市高中2012级高二数学(理科)期末试题

眉山市高中2012级第三期期末教学质量检测数 学 （理科） 2011.1本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．不等式211<x 的解集是 A.)2,(-∞ B. ),2()0,(+∞-∞ C.)2,0( D. ),2(+∞ 2. 如果c b a ,,满足0,<<<ac a b c ，那么下列选项中不一定成立的是A ．22ab cb < B.0)(>-a b c C. ac ab > D.0)(<-c a ac3．设1>k ，则关于y x ,的方程1)1(222-=+-k y x k 所表示的曲线是A ．长轴在x 轴上的椭圆 B. 实轴在y 轴上的双曲线 C.实轴在x 轴上的双曲线 D. 长轴在y 轴上的椭圆4．已知0)13(log >-a a ，那么实数a 的取值范围是 A.310<<a B.3231<<a C. 3231<<a 或1>a D. 320<<a 或1>a 5．抛物线x y C 8:2=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且||2||AF AK =，则AFK ∆的面积为A.4B. 32C.16D. 8 6．已知关于x 的不等式m x x >+-+|3||2|有解，则实数m 的取值范围是 A.1-<m B.1≥m C. 1<m D. 1≤m7．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)m -到焦点的距离等于4,则m 的值为A ．4B ．2或2-C ．2-D ．4或4-xyA )1,1(C )0,2(OB )23,0( 8．“直线()()2230m x m y -++-=与直线()2310m x my +++=相互垂直”是“12m =”的（ ）条件A ．充分必要B ．必要而不充分C ．充分而不必要D ．既不充分也不必要9．在平面直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点(6,0)A -和(6,0)C ，顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin B A C -等于A ．56B ．116C ．1125D ．6510．给出平面区域为图中四边形ABOC 内部及其边界，目标函数为z ax y =-，当1,1x y ==时，目标函数z 取最小值，则实数a 的取值范围是A ．1a <-B ．112a -≤≤-C ．112a -<<-D ．12a >- 11．椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 A ．]22,0( B ．]21,0( C ．)1,21[ D ．)1,12[-12．若不等式)(222b a k b a +≥+对任意正数b a ,恒成立，则实数k 的最大值为A.21B ．1C ．2D ．22第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题卷中的相应位置上）13．已知0x >,则函数4()23f x x x=--的最大值是 . 14．不等式034)2(2≥+--x x x 的解集是 .15．若直线m 被两平行直线1:310l x y -+=与2:310l x y --=所截得的线段的长度d 满足2d ≥，则m 的倾斜角可以是 ①060 ②0115 ③090 ④0100 ⑤015.其中正确答案的序号是 （写出所有正确答案的序号）.16．如图所示，F 为双曲线C ：221916x y -=的左焦点，双曲线 C 上的点i P 与()71,2,3i P i -=关于y 轴对称，则123456PF P F P F P F P F P F ++---的值是 .三、解答题：（本大题共6个小题，总共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．(本小题12分)已知1<k ，求不等式12)1(>--x x k 的解集；18．(本小题12分)已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，且圆C 与x 轴相切，若圆C 截直线y x =得弦长为27，求圆C 的方程．19．(本小题12分)直线l 过点)1,2(-P 且斜率为)1(>k k ，将直线l 绕点P 按逆时针方向旋转045得直线m ，若m 和l 分别与y 轴交于Q R ,两点，当k 为何值时，PQR ∆的面积最小，求此最小值； 20. (本小题12分)已知2()25(1)f x x ax a =-+>（I ）若()f x 的定义域和值域均为1,a ⎡⎤⎣⎦,求a 的值；（II ）若()f x 在区间(,2⎤-∞⎦上是减函数，且对任意的12,1,1x x a ⎡⎤∈+⎣⎦，总有12()()4f x f x -≤，求a 的取值范围.21．(本小题12分)设点)23,0(F ，动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W .（Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过点F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交曲线W 于,A B 和,C D . 求四边形ACBD 面积的最小值.22．(本小题14分)已知点)0,4(C 和直线1:=x l ，过动点P 作l PQ ⊥，垂足为Q ，且0)2()2(=-∙+PQ PC PQ PC ；(1)求点P 的轨迹方程，(2)过点C 的直线m 与点P 的轨迹交于两点),(),,(2211y x N y x M ，其中021>x x ， 点)0,1(B ，若BMN ∆的面积为536，求直线m 的方程.眉山市高2012级第三期期末考试数学试题（理科）参考答案及评分意见一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B ABCDCDBDBCA二、填空题13. 243-， 14. }13|{=≥x x x 或， 15. ③④⑤， 16. 18 三、解答题17、解：原不等式即0)2](2)1[(022)1(>--+-⇒>--+-x k x k x kx k ，⋅⋅⋅⋅⋅2分01<-k ，0)2)(12(<----∴x kkx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(*)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4分若212>--k k ，即10<<k 时，由(*)得k kx --<<122；⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 若212=--k k，即0=k 时，由(*)得φ∈x ；⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 若212<--k k ，即0<k 时，由(*)得212<<--x kk；⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 ∴当0<k 时，原不等式的解集为}212|{<<--x kkx ，当0=k 时，原不等式无解， 当10<<k 时，原不等式的解集为}122|{kkx x --<<；⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 18、解：(方法一)设所求的圆的方程是222)()(r b y a x =-+-， 则圆心),(b a 到直线0=-y x 的距离为2||b a -，222)7()2||(+-=∴b a r 即⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=14)(222b a r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅①⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分由于所求的圆与x 轴相切，22b r =∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅②⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分又圆心在直线3x-y=0上，03=-∴b a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅③⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 联立①②③，解得9,3,12===r b a 或9,3,12==-=r b a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分故所求的圆的方程是：9)3()1(22=-+-y x 或9)3()1(22=+++y x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 (方法二)设所求的圆的方程是022=++++F Ey Dx y x ，则其圆心为)2,2(E D --， 半径为F E D 42122-+，令0=y 得02=++F Dx x ，由圆与x 轴相切， 得0=∆，即F D 42=④⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分又圆心)2,2(ED --到直线0=-y x 的距离为2|22|ED +-，由已知得222)7()2|22|(r E D =++-， 即)4(256)(222F E D E D -+=+-⑤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 又圆心)2,2(ED --在直线03=-y x 上，03=-∴E D ⑥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 联立④⑤⑥，解得：1,6,1=-=-=F E D 或1,6,2===F E D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 故所求圆的方程是016222=+--+y x y x 或016222=++++y x y x ⋅⋅⋅⋅12分 (方法三)由题，设所求圆的圆心为)3,(t t ，则其半径||3t r =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 方程为2229)3()(t t y t x =-+-，圆心到直线0=-y x 的距离为2||2t ⋅⋅⋅⋅6分 2229)7()2||2(t t =+∴，解得1=t 或1-=t ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 故所求的圆的方程是：9)3()1(22=-+-y x 或9)3()1(22=+++y x ⋅⋅⋅⋅12分19、解：设l 的倾斜角为α，则k =αtan ，由1>k 知009045<<α，m ∴的倾斜角为045+α，m 的斜率为kkk -+=11'，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分xy O ABCD∴l 的方程为)2(1+=-x k y ，m 的方程为)2(111+-+=-x kky ； 令0=x 得：12+=k y Q ，kk y R -+=13，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 )12(4]2)1(2)1[(2|1)1(2||2|||212+≥+-+-=-+=-⨯-=∴∆k k k k y y S R Q PQR10分 由121-=-k k 得12+=k 或21-=k （舍）， ∴当12+=k 时，PQR S ∆取得最小值)12(4+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分20、【解】22()()5f x x a a =-+- ………………2分(1).由()f x 的对称轴是x a =知函数在1,a ⎡⎤⎣⎦递减,故(1)()1f a f a =⎧⎨=⎩,2a = ………6分(2)由()f x 在区间(,2⎤-∞⎦上是减函数得2a ≥，当12()()f x f x 、分别是函数()f x 的最小值与最大值时不等式恒成立.故函数在区间1,1a ⎡⎤+⎣⎦上的最小值是2()=5-f a a ， …………8分又因为1(1)a a a -≥+-，所以函数的最大值是(1)62f a =- ………………10分由12()()4f x f x -≤知()()26254a a ---≤，解得23a ≤≤ ………………12分21、【解】（1）过点P 作PN 垂直直线32y =-于点.N 依题意得||||PF PN =，所以动点P 的轨迹为是以30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线32y =-为准线的抛物线， 即曲线W 的方程是26.x y = ………………4分（2）依题意，直线12,l l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为32y kx =+，由12l l ⊥得2l 的方程为132y x k =-+. 将32y kx =+代入26x y =， 化简得2690x kx --=. 设1122() () A x y B x y ，，，， 则12126 9.x x k x x +==-，2222212121212 ||()()(1)[()4]6(1)AB x x y y k x x x x k ∴=-+-=++-=+，同理可得21||61.CD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分∴四边形ACBD 的面积2222111||||18(1)1182722S AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当 221k k=， 即1k =±时，min 72.S = 故四边形ACBD 面积的最小值是72. ………………14分22、解：(1)由题0||4||22=-PQ PC ，||2||PQ PC =∴，设),(y x P ，代入得|1|2)4(22-=+-x y x ，整理得点P 的轨迹方程为：112422=-y x ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分(2)由题知直线m 的斜率不为0，且点)0,4(C 为双曲线112422=-y x 的右焦点， 设m 的方程为4+=ty x ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==-4112422ty x y x 得03624)13(22=++-ty y t ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分易知0132≠-t 且⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+13361324221221t y y t t y y ， 16)(4)4)(4(212122121+++=++=∴y y t y y t ty ty x x ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分由021>x x 得3101343222<⇒<-+t t t ，||||2121y y BC S BMN -=∆ 53631118|13|118|13|)13(364)24(232222222=-+=-+=--⨯-⨯=tt t t t t t ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分解得412=t 或45192=t (舍)，21412±=⇒=∴t t ，直线m 的方程为：082=-+y x 或082=--y x ； ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分。