高二数学上学期期末考试试题 理(A卷)
江苏省徐州市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）=．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为．11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值X围为．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值X围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，某某数a的值；（2）若弦AB的长为4，某某数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值X围．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值X围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．2015-2016学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是（3，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，且p=6，∴=3，∴抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）．故答案为：（3，0）．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为∀x∈R，x2＞0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为：∀x∈R，x2＞0．故答案为：∀x∈R，x2＞0．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出正三棱锥的底面面积，然后求解体积．【解答】解：底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为： =．故答案为：．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为18 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意知a=5，b=3，c=4，从而可得|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8．【解答】解：由题意作图如右图，∵椭圆的标准方程为+=1，∴a=5，b=3，c=4，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8，∴△PF1F2的周长为10+8=18；故答案为：18．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为16π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由已知求出正方体的棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，由球的表面积公式得到所求．【解答】解：因为正方体的体积为64，所以棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，所以该正方体的内切球的表面积为4π•22=16π．故答案为：16π．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）= ﹣π．【考点】导数的运算．【分析】直接求出函数的导数即可．【解答】解：函数f（x）=xsinx，则f′（x）=sinx+xcosx，f′（π）=sinπ+πcosπ=﹣π．故答案为：﹣π．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用距离公式求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一个焦点（，0），一条渐近线方程为：y=，双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为： =2．故答案为：2．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义，求出m的X围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可．【解答】解：若“方程+=1表示在y轴上的椭圆”，则，解得：1＜m＜，故“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为﹣1或4 ．【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，然后根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+）2=，所以圆心坐标为（1，﹣），半径r=||，由已知直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d==r=||，解得a=﹣1或4．故答案为：﹣1或4．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为 e ．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】根据导数和函数单调性的关系，再分离参数，求出最值即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣a∵函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x﹣a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立．而e x＞e，∴a≤e．故答案为：e．11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用线段垂直平分线的性质可得线段BF的垂直平分线的方程，进而得出．【解答】解：由已知可得：A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），线段BF的中点M，k BF=，可得线段BF的垂直平分线的斜率为．∴线段BF的垂直平分线的方程为：y﹣=，∵BF的垂直平分线恰好过点A，∴0﹣=，化为：2e2+2e﹣1=0，解得e=．故答案为：．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为（1，1），（﹣1，﹣1）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得即可．【解答】解：设切点P（m，m3），由y=x3的导数为y′=3x2，可得切线的斜率为k=3m2，由切线与直线y=3x+2平行，可得3m2=3，解得m=±1，可得P（1，1），（﹣1，﹣1）．故答案为：（1，1），（﹣1，﹣1）．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值X围为（﹣，﹣）∪（0，2）．【考点】圆的标准方程．【分析】由已知得圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，由此能求出实数m的取值X围．【解答】解：圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，∴圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，圆C的圆心C（m+1，2m），半径r1=2，圆O的圆心O（0，0），半径r2=3，圆心距离|OC|==，∴3﹣2＜＜3+2，解得﹣＜m＜﹣或0＜m＜2．∴实数m的取值X围为（﹣，﹣）∪（0，2）．故答案为：（﹣，﹣）∪（0，2）．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值X围为a≥．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数与方程的综合运用．【分析】求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的值域；g（x）∈（0，e]，分类讨论，研究f（x）的单调性，即可求a的取值X围．【解答】解：g′（x）=，令=0，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，e]时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，又g（0）=0，g（e）=，所以g（x）的值域是（0，1]．函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，x＞0，f′（x）=2ax﹣2a﹣=，令h（x）=2ax2﹣2ax﹣1，h（x）恒过（0，﹣1），当a=0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．h（x）=0，可得2ax2﹣2ax﹣1=0，△=4a2+8a，△＞0解得a＜﹣2或a＞0．当﹣2＜a＜0时，h（x）的对称轴为：x=，h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．当a＜﹣2时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈，f′（x）＜0，f（x）是减函数，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．可知f（x）极大值≥1，f（x）极小值≤0．可得，，∵f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，，不等式不成立．当a＞0时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，因为x=1时，f（1）=0，只需f （e）≥1．可得：a（e﹣1）2﹣1≥1，解得a≥．综上：实数a的取值X围为：a≥．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，某某数a的值；（2）若弦AB的长为4，某某数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值X围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据圆C的半径为，某某数a的值；（2）求出直线l的方程，求出圆心到直线的距离，根据弦AB的长为4，某某数a的值；（3）点与圆的位置关系即可求出a的取值X围．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，则圆心C（﹣1，2），半径r=，∵圆C的半径为，∴=，∴a=2；（2）∵弦的中点为M（0，1）．∴直线CM的斜率k=﹣1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．圆心C到直线x﹣y+1=0的距离d==，若弦AB的长为4，则2+4=5﹣a=6，解得a=﹣1；（3）由（2）可得直线l的方程为x﹣y+1=0．∵弦AB的中点为M（0，1）．∴点M在圆内部，即＜，∴5﹣a＞2，即a＜3．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【分析】（1）以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与AB1所成角的余弦值．（2）设AC=a，求出平面A1C1B的法向量，由直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，利用向量法能求出AC．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2，∴以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，∵AC=2，∴B（0，2，2），C1（0，0，0），A（2，0，2），B1（0，2，0），∴=（0，﹣2，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线BC1与AB1所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===，∴θ=60°，∴异面直线BC1与AB1所成角的余弦值为60°．（2）设AC=a，则A1（a，0，0），B（0，2，2），C1（0，0，0），B1（0，2，0），A（a，0，2），=（a，0，0），=（0，2，2），=（﹣a，2，﹣2），设平面A1C1B的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣1），∵直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∴==，解得a=．∴AC=．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）求出纸箱的侧面积S，利用基本不等式，求最大值；（2）求出纸箱的容积V，利用导数，求最大值．【解答】解：（1）S=2x（50﹣2x+80﹣2x）=2x≤•=，当且仅当4x=130﹣4x，即x=cm，纸箱的侧面积S（cm2）最大；（2）V=x（50﹣2x）（80﹣2x）（0＜x＜12.5），V′=（50﹣2x）（80﹣2x）﹣2x（80﹣2x）﹣2x（50﹣2x）=4（3x﹣100）（x﹣10），∴0＜x＜10，V′＞0，10＜x＜12.5，V′＜0，∴x=10cm时，V最大．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得a和b的值，可求得椭圆的方程；（2）利用椭圆方程及直线AM，AN的方程求得x M、x N、x P及x Q的值根据三角形面积公式求得k的值，求得直线方程．【解答】解：（1）由题意可知：e===，且2ab=4，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，∴椭圆的标准方程：，（2）由（1）可知，A（0，﹣），则直线AM的方程为y=kx﹣，将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=，直线AN的方程y=﹣﹣，同理可得：x N=﹣，解得x P=k，同理可得x Q=﹣，∴==丨丨==，即3k4﹣10k2+3=0，解得k2=3或k2=，所以=或﹣，故存在直线l：y=x，y=﹣x，满足题意．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值X围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，对x分类讨论即可得出函数f（x）的单调性极值．（2）f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（3）h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．利用导数研究函数u（m）的单调性即可得出．【解答】（1）解：a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递增；1＜x时，函数f（x）单调递减．因此x=1时函数f（x）取得极大值，f（1）=0．（2）解：f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），g′（x）=，可知：x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=1时函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=1﹣2=﹣1．∴a≥﹣1，∴a的取值X围是[﹣1，+∞）．（3）证明：h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．u′（m）=1+﹣==＞0，因此函数u（m）在m∈（1，+∞）上单调递增，∴u（m）＞u（1）=0，∴＞恒成立．。
2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．双曲线22132x y -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =± B ．32y x =±C ．y =D ．y = 【答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为22132x y -=，所以a b =，所以渐近线方程为b y x a =±=． 故选：D2．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（ ） A ．cos ||||v v μθμ⋅=B ．||cos ||||v v μθμ⋅=C ．sin |||vv μθμ⋅=∣D ．||sin ||||v v μθμ⋅=【答案】D【分析】由线面角的向量求法判断 【详解】由题意得||sin ||||v v μθμ⋅=， 故选：D3．若抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，则抛物线C 的方程为（ ） A ．22x y =- B ．22x y =C ．24x y =-D ．24x y =【答案】D【分析】由已知条件可得12p=，求出p ，从而可求出抛物线的方程. 【详解】因为抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，所以12p=，得2p =， 所以抛物线方程为24x y =， 故选：D4．函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （ ）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【分析】设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案.【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ， 当1x x <或23x x x <<或4x x >时，0fx，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增， 在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ， 所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点. 故选：C ．5．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2C D ．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .6．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件， 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.7．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．（1B ．（1C ．∞）D ．，＋∞）【答案】C【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为by x a=，由题意得2b a >，所以双曲线的离心率c e a ==故选：C.8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '-<，且()20f -=，则不等式()0f x x>的解集是（ ）． A ．()()2,00,2-⋃ B ．()(),22,∞∞--⋃+ C ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞-【答案】D 【分析】记()()(),0f x g x x x=≠.判断出()g x 的奇偶性和单调性，即可解不等式. 【详解】记()()(),0f x g x x x=≠.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -= 因为()()()()f x f x g x g x x x --==-=--，所以()g x 为奇函数，所以()()()()222222f fg g --==-=--. 因为()20f -=，所以()()220g g -==. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以()g x 在()0,∞+上单减.因为()g x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 在(),0∞-上单减. 不等式()0f x x>即为()0g x >.当0x >时， ()g x 在()0,∞+上单减，且()20g =，所以()0g x >的解集为()0,2； 当0x <时， ()g x 在(),0∞-上单减，且()20g -=，所以()0g x >的解集为(),2-∞-. 综上所述：()0f x x>的解集为()(),20,2-∞-.故选：D二、多选题9．下列导数运算正确的有（ ）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)x x xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=【答案】BC【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.【详解】对于A ，()12211x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，故错误；对于B ， ()()(1)x x x x xe x e x e x e '''==++，故正确； 对于C ， ()()22222x x x e x e e ''==，故正确； 对于D ， ()()''11ln 222x x x x==，故错误. 故选：BC.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公差1d >，且7916+=a a ，则（ ）． A ．88a = B ．15120S = C ．11a < D ．22a >【答案】ABC【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为7916+=a a ，所以978216a a a +==，解得：88a =.故A 正确； 对于B ：()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=.故B 正确；对于C ：因为88a =，所以178a d +=，所以187a d =-. 因为1d >，所以11a <.故C 正确；对于D ：因为88a =，所以268a d +=，所以286a d =-. 因为1d >，所以22a <.故D 错误. 故选：ABC11．已知曲线1C ：函数()nx m f x x m+=-的图像，曲线()()2222:12C x y r -+-=，若1C 的所有对称轴平分2C ，且1C 与2C 有公共点，则r 的值可以等于（ ）．ABCD ．3【答案】BD【分析】先将()f x 整理成()nm mf x n x m+=+-可得()f x 的所有对称轴都经过(),m n ，故可求得1,2m n ==，再计算()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离即可求得答案【详解】因为()nx m nm mf x n x m x m++==+--，且()f x 是由nm m y x +=向右平移m 个单位长度，向上平移n 个单位长度得到，nm my x+=的所有对称轴都经过()0,0， 所以()nx m nm mf x n x m x m++==+--的所有对称轴都经过(),m n ， 因为1C 的所有对称轴平分2C ，所以1C 的所有对称轴经过2C 的圆心()1,2M ， 所以1,2m n ==，所以()321f x x =+-， 设函数()f x 图象上的动点3,21P x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，则()()2233121611MP x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当311x x -=-时，取等号， 所以()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离为6， 若1C 与2C 有公共点，则6r ≥ 故选：BD12．我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo ．新Logo 将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线:1nnC x y +=，则下列有关曲线C 的说法中正．确．的是（ ）．A ．对任意的n ∈R ，曲线C 总关于原点成中心对称B ．当0n >时，曲线C 上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C ．当01n <<时，曲线C 围成的图形面积可以为2D ．当1n =-时，曲线C 上的点到原点最近距离为22【答案】ABD【分析】对于A ：利用代数法验证；对于B ：直接求出曲线C 过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--，即可判断；对于C ：先判断出||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2，再判断出1n nx y +=在||||1x y +=内部,即可判断；对于D ：表示出距离222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭.令()11x t t -=>-,利用基本不等式求出最小值.【详解】对于A ：在曲线:1nnC x y +=中,以x -替换x ,以y -替换y ,方程不变,则曲线C 关于原点成中心对称.故A 正确；对于B,当0n >时,令0x =,得1y =±；令0y =,得1x =±.曲线C 总过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--.故B 正确；对于C ：当01n <<时,由1n nx y +=,得:1,1x y ≤≤,且等号不同时成立. ∴||||||||1n n x y x y +>+=.又||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2222⨯=，且1n nx y +=在||||1x y +=内部,则曲线C 围成图形的面积小于2.故C 错误.对于D ：当1n =-时,曲线C 的方程为：11||||1x y --+=.不妨令,x y 均大于0,曲线化为111x y +=，即1x y x =-，则222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭. 令()11x t t -=>-,则2222222112(1)2228t t d t t t t t t ++=++=++++≥=，当且仅当221t t =且22t t=,即1t =时等号成立.结合对称性可知,曲线C上点到原点距离的最小值为故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，则1234a a a a ++的值为______． 【答案】14##0.25【分析】利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】{}n a 是公比为2的等比数列，121113411123148124a a a a a a a a a a ++∴===++ 故答案为：14.14．设点P是曲线32y x =+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【答案】20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】求出23'=y xtan α≥α的范围可得答案. 【详解】∵23y x '=≥∴tan α≥ 又∵0απ≤≤， ∴02πα≤<或23a ππ≤< 则角α的取值范围是20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.15．已知数列{}n a 满足()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数m 的取值范围是______．【答案】1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由123456a a a a a a <<<<<解出1111m -<，由对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，解出1117m ->，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】因为()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<，所以()()()()()()222222111212313414515616m m m m m m --⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯，解得：1111m -<. 因为对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，由二次函数的性质可得：()()101910212m m ⎧--<⎪+⎨-<⎪--⎩，解得：1117m ->. 所以1111711m <-<，解得：10161117m <<. 所以实数m 的取值范围为1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭16．若方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则实数a 的取值范围是_____.【答案】(]1,01e ⎧⎫-∞+⎨⎬⎩⎭【分析】方程2l en 1xx ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，利用导数分析()f x 的单调性，并在同一坐标系中做出y a =与函数()e ln 1x f x xx x +=+的图象，即可求解【详解】方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根， 则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，令()()2ln 10e ,x x x x xf x -++=>，则()()2221e n e e 2l 1x x x x x x x x x x f x ---⎛⎫-+⋅- +⎪⎭+⎝'= ()222231l e l e n e n x x x x x x x x xx x ----+==-⋅-- 令()()()2211ln e e ln xxx x h x x x x x --⋅=-++⋅=，注意到()10h =，则()10f '=，且当()0,1x ∈时，210,ln 0,0,e 0x x x x >-<><， 所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅--<+<，即()0h x <； 当()1,x ∈+∞时，210,ln 0,0,e 0x x x x >->>>， 所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅-->+>，即()0h x >； 所以当()0,1x ∈时，0fx，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 又()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>， 当()1,x ∈+∞时，()0f x >恒成立； 当0x →时，()f x →-∞；所以()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>的大致图象为：由2ln 1e xx a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，由图象可知0a ≤或11ea =+时满足条件，所以方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根时， 实数a 的取值范围是(]1,01e a ⎧⎫∈-∞⋃+⎨⎬⎩⎭故答案为：(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭四、解答题17．已知函数321()213f x x x =-++.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值.【答案】（1）单调递增区间为[]0,4；单调减区间为(),0∞-和()4,+∞；（2）()min 1f x =；()max 193f x =. 【解析】（1）求出导函数，令0fx，求出单调递增区间；令()0f x '<，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解. 【详解】(1)函数()f x 的定义域是R ， 2()4f x x x '=-+，令()0f x '≥，解得04x ≤≤ 令()0f x '<，解得>4x 或0x <， 所以()f x 的单调递增区间为[]0,4， 单调减区间为(),0∞-和()4,+∞； (2)由()()1f x 在[)1,0-单调递减，在[]0,2单调递增，所以()()min 01f x f ==，而()81928133f =-++=，()11012133f -=++=， 故最大值是()9231f =. 18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】（1）利用准线方程2p x =-求解 （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解.【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2p x =-过()1,0M - 故12p -=-，则2p = 抛物线方程为24y x =（2）设切线方程为1x my =-与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。
浙江省温州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(A卷)
2022学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上。
2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改功，须将原填涂处用橡皮擦净。
3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区城内，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(3,3-是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 2．已知空间的三个不共面的单位向量a ，b ，c ，对于空间的任意一个向量p ，（ ） A ．将向量a ，b ，c 平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上 B ．总存在实数x ，y ，使得p xa yb =+C ．总存在实数x ，y ，z ，使得()()p xa y a b z a b =+++-D ．总存在实数x ，y ，z ，使得()()p xa y a b z a c =+++-3．已知函数()f x 在2x =的附近可导，且()22lim22x f x x →-=--，()22f =，则()f x 在()()2,2f 处的切线方程为（ ）A ．260x y +-=B ．220x y --= C．260x y +-=D ．220x y -+=4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，且c 是a ，b 的等比中项，则在椭圆上使1290F PF ∠=︒的点P 共有（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个5．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和，则“对于任意*n ∈N ，都是5n S S ≤”是“65a a <的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知椭圆1L ：2212516x y +=，椭圆2L 与椭圆1L 的离心率相等，并且椭圆1L 的短轴端点就是椭圆2L 的长轴端点，据此类推：对任意的*n ∈N 且2n ≥，椭圆n L 与椭圆1n L -的离心率相等，并且椭圆1n L -的短轴端点就是椭圆n L 的长轴端点，由此得到一个椭圆列：1L ，2L ，⋅⋅⋅，n L ，则椭圆5L 的焦距等于（ ）A ．4365⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．4465⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ．2365⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．2465⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭7．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =O 为BC 的中点，M 是棱11B C 上一动点，过O 作ON AM ⊥于点N ，则线段MN 长度的最小值为（ ） A ．364B ．62C ．334D 38．已知a ，b 为不相等的正实数，则下列命题为真的是（ ） A ．若e 1ba =+，则ab < B ．若11ln a b=-，则a b < C ．若()e 1e a b b a =+，则a b <D ．若()ln ln 1a b b a =+，则a b <二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．设直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=，下列说法正确的是（ ） A ．当12C C ≠时，直线1l 与2l 不重合B ．当12210A B A B -≠时，直线1l 与2l 相交C ．当12210A B A B -=时，12l l ∥D ．当12120A A B B +=时，12l l ⊥10．已知空间向量()2,1,3a =-，()4,2,b x =-，下列说法正确的是（ ） A ．若a b ⊥，则103x =B ．若()32,1,10a b +=-，则1x =C ．若a 在b 上的投影向量为13b ，则4x =D ．若a 与b 夹角为锐角，则10,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭11．如图，已知点P 是椭圆2211612x y +=上第一象限内的动点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，圆心在y 轴上的动圆T 始终与射线1PF ，2PF 相切，切点分别为M ，N ，则下列判断正确的是（ ）A ．4PM PN ==B ．212PMPF PF ≤⋅C ．PMN △面积的最大值为3D ．当点P 坐标为(23,3时，则直线PT 的斜率是2312．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()11431,2,n n n n a a a a n ++⋅=-=⋯，则（ ）A ．13n n a a +<B ．51243a <C ．1ln 1n n a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭D ．17114n S ≤<非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
鹤岗一中2018-2019学年度上学期期末考试高二数学试卷（理科）一、单选题。
1.命题“，使”的否定为（）A. ，使B. ，使C. ，D. ，【答案】D【解析】因为命题“”的否定为“”,所以命题“，使”的否定为，，选D.点睛：1.命题的否定与否命题区别“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论. 2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.2. “a＞0”是“|a|＞0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件故选A考点：必要条件．3.有50件产品，编号为0，1，2，…，49，现从中抽取5个进行检验，用系统抽样的方法抽取样本的编号可以为( )A. 5，10，15，20，25B. 5，13，21，29，37C. 8，22，23，1，20D. 1，11，21，31，41【解析】试题分析：系统抽样首先按照一定顺序分成5组每组10个个体，在每组中抽取样本抽取的样本间隔为10；所以选D. 考点：系统抽样.4.已知x、y的取值如下表所示：若从散点图分析，y与x线性相关，且，则的值等于（）A. 2.6B. 6.3C. 2D. 4.5【答案】A【解析】试题分析：若与线性相关，则样本点中心必在回归直线上，由表中数据，，，将点代入回归方程，得，解得，故选A．考点：线性回归方程中，样本点中心在回归直线上．5.与二进制数相等的十进制数是（）A. 6B. 7C. 10D. 11【答案】A【解析】由题意，110（2）=1×22+1×21+0×20=6，故选A．6.下列说法中，正确的是（）A. 数据5,4,4,3,5,2的众数是4B. 一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C. 数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D. 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【答案】C【解析】试题分析：A选项众数为4、5；B选项应该是方差是标准差的平方；C正确；D选项频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率.7.5个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有1人，则不同的站法数有（）A. 18B. 26C. 36D. 48【答案】C【解析】试题分析：先排列其余三人后甲乙两人插空，所以有种考点：排列问题8.在面积为的的边上任取一点，则的面积大于的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：△的面积大于只需|PB|>,所以概率考点：几何概型9.已知的展开式中没有常数项，则n不能是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】本题首先可以根据解出二项式的通项，再对通项进行化简，然后通过展开式中没有常数项可知，不能为0，最后将选项依次代入，得出结果。
北京市西城区2012年1月高二数学试题(理科)
北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）高二数学（理科） 2012.1本试卷满分150分 考试时间：120分钟A 卷 [选修 模块2-1] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1. 若命题p 为真命题，则下列说法中，一定正确的是（ ）A ．p 的逆命题为真命题B ．p ⌝为真命题C ．p 的否命题为假命题D ．p ⌝为假命题2. 双曲线22142x y -=的焦点坐标是（ ）A ．(6,0),(6,0)-B ．(C ．(2,0),(2,0)-D ．(3．设命题p ：,22012x x ∃∈>R ，则p ⌝为（ ）A ．,22012x x ∀∈≤RB ．,22012x x ∀∈>RC ．,22012xx ∃∈≤RD ．,22012xx ∃∈<R4. 已知向量(1,2,1)=-a ，(3,,1)x =b ，且⊥a b ，那么b 等于（ ）A ．B ．CD ．55. 设0a >，则椭圆2222x y a +=的离心率是（ ）A ．12B ．2C ．13D ．与a 的取值有关6. 设抛物线28y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为4，则PF 等于（ ）A ． 2B ．4C ．6D ．87．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==，2AB =，则1BD AD ⋅等于（ ）A ．1B ．2C ．3D8. 设,x y ∈R ，则 “2x ≥且1y ≥”是“224x y +≥”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件9. 如图，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且2DB DC ==，点E 为BC 中点，若直线AE 与底面BCD 所成的角为45，则三棱锥A BCD -的体 积等于（ ）A ．23B ． 43C ．2 D10.设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，则使得12=2PF PF ⋅成立的点P 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4AED CB二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．命题“若0xy =，则0x =”的逆否命题是：__________________．12．已知向量 (,2,6)x -a =和(1,,3)y =-b 平行，那么x =_______，y =_______. 13．渐近线为y =，且过点(1,3)的双曲线方程是____________．14．设直线1y x =+与椭圆2212x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 中点的坐标是___________.15．如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2, 点,E F 分别为棱,AB AD 的中点，则||AB BC += ________，||BC EF -=___________.16. 平面内与两定点12(,0),(,0)(0)A a A a a -> 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上12,A A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线.那么当m 满足条件_________时，曲线C 是圆；当m 满足条件_________时，曲线C 是双曲线.三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，点E 是PC 的中点.（Ⅰ）若N 为线段P A 上一点，且P N N E =，求AN 的长； （Ⅱ）求直线PA 和BE 所成角的余弦值.DA B DCE F18．（本小题满分12分）已知拋物线C ： x 2 =2py (p>0)的焦点F 在直线10x y -+=上. （Ⅰ）求拋物线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点A （-1，-2），且与拋物线C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC BC ⊥，1AC BC BB ==，点D 是BC 的中点. （Ⅰ）求证：1AC //平面1AB D ； （Ⅱ）求二面角1B AD B --的余弦值；（Ⅲ） 判断在线段1B B 上是否存在一点M ，使得11A M B D ⊥？若存在，求出11B MB B的值；若不存在，请说明理由.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 1．若直线250x y --=与直线30x ay ++=相互垂直，则实数a =____________. 2．大圆周长为4π的球的表面积为____________．3．圆 224x y +=在点处的切线方程为________________. 4．如图，一个四面体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且等腰直角三角形的直角边长为1，则该四面体四个面的面积中，最大的是______________．5. 如图，设点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1（不含各棱）的表面上，如果点P 到棱1CC 与11A B 的距离相等，则称点P 为“Γ点”. 给出下列四个结论：○1 在四边形11BCC B 内存在有限．．个“Γ点”；○2 在四边形11BCC B 内存在无穷．．多．个“Γ点”； ○3 在四边形1111A B C D 内存在无穷．．多．个“Γ点”； ○4 在四边形11CDDC 内不存在．．．“Γ点”. 其中，所有正确的结论序号是_____________.二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 6．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 内有三个定点(2, 2),(1, 3),(1, 1)A B C ，记ABC ∆的外接圆为E .（Ⅰ）求圆E 的方程；（Ⅱ）若过原点O 的直线l 与圆El 的方程.俯视图正(主)视图 侧(左)视图7. （本小题满分10分）如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD，AB =（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABM ；（Ⅱ）求直线AM 与平面BCD 所成角的大小.8．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy内有两个定点(M N ，动点P 满足||||42PM PN +=， 记点P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）判断是否存在点P ，使得||,||,||PM MN PN 成等比数列？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设点A ，B 是曲线C 上的两点，且8||=3AB ，求∆AOB 面积的取值范围.B DCMA北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）高二数学（理科）参考答案及评分标准 2012.1A 卷 [选修 模块2-1]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．B ； 6．C ； 7．A ； 8．A ； 9．D ； 10．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．“若0x ≠，则0xy ≠”； 12．2-, 1； 13．22162y x -=；14．21(,)33-； 15．216．1m =-，0m >.注：第 12，15，16小题每空2分．三、解答题：本大题共3小题，共36分．（如有其它方法，仿此给分） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，以A 为坐标原点，直线AB 、AD 、AP 分别x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P . ------------------------1分 因为E 是PC 的中点，所以(1,1,1)E ，设(02)AN x x =≤≤，则(0,0,)N x ，||2PN x =-，(1,1,1)NE x =-， -----------------------3分所以||1NE =+因为||||PN NE =，2x =-,解得12x =. 所以AN 的长为12. --------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,0,2)PA =-，(1,1,1)BE =-. -----------7分因为cos ,PA BE PA BE PA BE ⋅〈〉==- ---------------------------10分所以直线PA 和BE ---------------------------12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ) 由拋物线方程x 2 =2py (p>0)为标准方程，知其焦点在y 轴正半轴上，在直线10x y -+=中，令0x =，得焦点坐标为(0,1)F . -------------------------2分 所以12p =，即p =2，故拋物线C 的方程是x 2= 4y . -------------------------4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为(1)2y k x =+-，或1x =-. --------------------------6分当直线l 的方程为(1)2y k x =+-时，由方程组 2(1)2,4,y k x x y =+-⎧⎨=⎩ 消去y ，得24480x kx k --+=,因为直线l 与拋物线C 有且只有一个公共点， 所以2164(84)0k k ∆=--=，解得2k =-或1k =.此时直线l 的方程为240x y ++=或10x y --=； -------------------------10分 当直线l 的方程为1x =-时.验证知直线l 与拋物线C 有且只有一个公共点.综上，可得当直线l 的方程为240x y ++=，10x y --=或1x =-时，直线l 与拋物线C 有且只有一个公共点. -------------------------12分 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：连结1A B ，设11A BAB E =，连结DE ，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以四边形11ABB A 为矩形，1A E EB =. 在1A BC ∆中，因为1A E EB =, BD CD =,所以1AC //ED ， ---------------------------2分 又因为1AC ⊄平面1AB D ，ED ⊂平面1AB D ， 所以1AC //平面1AB D. -------------------------4分（Ⅱ）解：因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，AC BC ⊥，所以1,,CA CB CC 两两垂直. 如图，以C 为原点，直线1,,CA CB CC 分别为x 轴,y 轴,z 轴，建立空间直角坐标系.设(0)AC a a =>，则 11(0 0 0)(, 0, 0), (0 0), (0 ), (, 0, )C A a B a B a a A a a ，，，，，，，，(0 0)2aD ，，， --------------------5分 所以(,,0)2a AD a =-，1(0,,)2aDB a =， 设(,,)x y z =n 是平面1B AD 的一个法向量，则0AD ⋅=n ，10DB ⋅=n ，即 0,20,2a ax y a y az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 取1x =，则2,1y z ==-，即(1,2,1)=-n . --------------------------7分又1BB 是平面BAD 的一个法向量，且1(0 0 )BB a =，，. 设二面角1B AD B --的大小是θ，则11cos BB BB θ⋅==n n，所以二面角1B AD B ----------------------------9分（Ⅲ）解：设点M 为线段1B B 上一点，且11B Mx B B =，则1B M ax =，所以(0, , )M a a ax -，1(, , )AM a a ax =--，1(0, ,)2aB D a =--， -------------------------10分 若11A M B D ⊥，则221102a A M B D a x ⋅=-+=，解得12x =，所以在线段1B B 上存在一点M （M 为线段1B B 的中点），使得11A M B D ⊥. 此时1112B M B B =. -------------------------12分B 卷 [学期综合] 本卷满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．1．2； 2．16π； 3．40x -=； 4．2； 5． ○2，○3，○4． 注：第 5小题答案不全得2分，若有错答则不得分．二、解答题：本大题共3小题，共30分．（如有其它方法，仿此给分） 6．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设ABC ∆的外接圆E 的圆心(,)D a b ，半径为r (r >0). 则E 为：222)()(r b y a x =-+-.由题意，得222222222(2)(2)(1)(3)(1)(1)a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩， -------------------------------------2分解得121a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以E ：22(1)(2)1x y -+-=. -------------------------------------5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y kx =或0x =（舍）. -------------------------------------6分如图，设l 与圆E 相交于点M ，N ，过圆心D 作直线l 的垂线，垂足为P ，所以||2||MN PN ==||PN ， 在 Rt DPN ∆中，||1DN =，||PN =，所以||DP ==------------------------8分 又因为圆E 的圆心到直线l的距离||DP =.所以||2DP = 解得1k =或7k =,故直线l 的方程为y x =或7y x =. ---------------------------------10分 7．（本小题满分10分）解：取CD 中点O ，连结OB ，OM ，由题意，得OB ⊥CD ，OM ⊥CD ， 又因为平面MCD ⊥平面BCD ， 所以MO ⊥平面BCD .以O 为原点，直线OC , BO , OM 分别为x 轴, y 轴, z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.因为OB OM ==(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, O C M B(0, (1, 0, 0)A D -. ------------------------------2分（Ⅰ）因为AM =，(0, 0, AB =-，(2, 0, 0)CD =-， ------------------------------3分 所以0, 0AM CD AB CD ⋅=⋅=，即, AM CD AB CD ⊥⊥，又因为 AM AB A =，所以CD ⊥平面ABM . ------------------------------6分（Ⅱ）设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.因为AM =，平面BCD 的法向量为 (0, 0, 1)=n ，则有 sin |cos , |||| AM AM AM α⋅=〈〉==⋅n n n | 所以45α=.即直线AM 与平面BCD 所成的角为45. ----------------------------------10分8．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由椭圆定义，知动点P 的轨迹C为椭圆，且半焦距c =2a =所以C 的短半轴长b = 故椭圆C 的方程为22182x y +=. ----------------------------------2分 （Ⅱ）结论：不存在点P，使得||,||,||PM MN PN 成等比数列.理由：设点P 为曲线C 上任意一点.因为||||PM PN +=≥，所以||||8PM PN ⋅≤，又因为2||24MN =，所以对于曲线C 上任意一点P ，2||||||PM PN MN ⋅<，故不存在点P ，使得||,||,||PM MN PN 成等比数列. ---------------------------------5分 （Ⅲ）设直线 AB 的方程为 y = kx + b 或0x x =，点A , B 坐标为1122(,),(,)x y x y ，当直线 AB 的方程为0x x =时， 由题意，不妨设04(,)3A x ，代入椭圆C的方程，解得0x =， 此时，∆AOB 的面积 S=018||239x ⨯⨯=---------------------------------6分 当直线 AB 的方程为 y = kx + b 时， 联立方程22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 (4k 2 +1)x 2 + 8kbx + 4(b 2－2) = 0 . 由题意，得22226416(41)(2)0k b k b ∆=-+->， 故122841kb x x k +=-+, 21224(2)41b x x k -=+. 所以12|||AB x x =-= -------------------------7分 则 2222226484(2)||(1)[()4]94141kb b AB k k k -==+--⨯++， 化简，得 222224(41)829(1)k b k k +=+-+， 因为原点O 到 AB 的距离为d =，所以∆AOB 的面积 S= 1823⨯， 故 S 2= 2222222216162(41)4(41)[]91919(1)b k k k k k ++⨯=-+++， ----------------------------------8分 记 u = 11422++k k ， 则2223264649()4981814S u u u =-=--+， 又因为 u = 4－132+k 的范围为 [1,4)u ∈， 所以2128(,4]81S ∈，即S ∈， 综上，∆AOB 的面积S 的取值范围是2]. ----------------------------------10分。
人教版高二上学期期末数学试卷(理)(有答案)
黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．32．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．104．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．大庆高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3【解答】解：∵向量，，∴=﹣4+4x﹣8=0，解得x=3．故选：D．2．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=x+lnx，∴f′（x）=1+∴f′（1）=1+=2故选B3．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．10【解答】解：设高一学生有x人，则高三有2x，高二有x+300，∵高一、高二、高三共有学生3500人，∴x+2x+x+300=3500，∴x=800，∵按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，∴应抽取高一学生数为=8故选A．4．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系【解答】解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：C．5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A．B．C． D．【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：，集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：．故选：B．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．【解答】解：对于A，函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）=0，则“函数f（x）为奇函数”是“f（0）=0”的非充分非必要条件，故A错误；对于B，已知A，B，C不共线，若=，可得+==2，（D为AB的中点），即有P在AB的中线上，同理P也在BC的中线上，在CA的中线上，则P是△ABC的重心，故B正确；对于C，命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”，由命题的否定形式，可得C 正确；对于D，由逆否命题的形式可得，命题“若α=，则cosα=”的逆否命题为“若cosα≠，则α≠”，故D正确．故选：A．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：设双曲线的右焦点F2（c，0），令x=﹣c，可得y=±，可得A（c，﹣），B（c，），又设D（0，b），△ABD为直角三角形，可得∠DBA=90°，即b=或∠BDA=90°，即=0，解：b=可得a=b，c=，所以e==；由=0，可得：（c，）（c，﹣）=0，可得c2+b2﹣=0，可得e4﹣4e2+2=0，e＞1，可得e=，综上，e=或．故选：D．9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，可得=2c=4，解可得m=﹣3，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x；故选：D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]【解答】解：∵f（x）=x2﹣9lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选A．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为x2+y2=．【解答】解：连接OP，AB，OA，OB，∵PA，PB是单位圆O的切线，∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OPA=∠OPB=∠APB=60°，又OA=OB=1，∴OP=，∴P点轨迹为以O为圆心，以为半径的圆，∴P点轨迹方程为x2+y2=．故答案为：x2+y2=．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+ (i)的值，由于sin，k∈Z的取值周期为6，且2017=336×6+1，所以S=sin+sin+…sin=336×（sin+sin+…+sin）+sin=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为（﹣1，3）．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x，有g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=e﹣x﹣e x=﹣g（x），则g（x）为奇函数，对于g（x）=e x﹣e﹣x，其导数g′（x）=e x+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，且g（0）=e0﹣e0=0，f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）＞﹣[f（4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），又由函数g（x）为增函数，则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0解可得：﹣1＜x＜3，即实数x的取值范围为（﹣1，3）；故答案为：（﹣1，3）．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2 （x﹣2），与y2=8x联立，消去y得x2﹣5x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=5．由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，（2）由x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），又y2=8x3，即[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），即（2λ﹣1）2=4λ+1，解得λ=0或λ=2．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为3×3=9个．满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1）共5个，所以所求概率．（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得．所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以所求概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．【解答】解：（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．A（0，1，0），，C（0，﹣1，0），，P（0，1，2），设，，，则=（）．设平面PEC的法向量为=（x，y，z），，，则，∴，取y=﹣1，得=（﹣，﹣1，1）．∵AF∥平面PEC，∴=﹣3λ+λ+2﹣2λ=0，解得，∴F为PD中点．（2）=（，，0），=（，﹣，0），设平面PEA的法向量=（x，y，z），则，取x=，得平面PEA的法向量=（，﹣3，0），设平面PED的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），cos＜＞===﹣，由二面角D﹣PE﹣A为锐二面角，因此，二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…（3分）∴椭圆的方程为．…（4分）（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．设，，则为定值．…（5分）②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…（6分）依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（7分）又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以=====．．…．…（13分）综上得k1+k2为常数2..…．…（14分）22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．【解答】解：（1）∵，且x＞0，∴．令，则．①当a≤0时，U'（x）＞0，U（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，∴x＞1时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．②当0＜a＜2时，时，U'（x）＞0，U（x）在上为单调递增函数，∴，U（x）＞U（1）=0，不合题意．③当a＞2时，，U'（x）＜0，U（x）在上为单调递减函数．∴时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．④当a=2时，x∈（0，1），U'（x）＞0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数．x∈（1，+∞），U'（x）＜0，U（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．∴U（x）≤0，符合题意．综上，a=2．（2），x∈[1，e2]．g'（x）=lnx﹣ax．令h（x）=g'（x），则由已知h（x）=0在（1，e2）上有两个不等的实根．（A）①当时，h'（x）≥0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意．②当a≥1时，h'（x）≤0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意．③当时，，h'（x）＞0，，h'（x）＜0，所以，h（1）＜0，，h（e2）＜0，解得．（B）证明：由已知lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2）．不妨设x1＜x2，则，则=．令，（0＜x＜1）．则，∴G（x）在（0，1）上为单调递增函数，∴即，∴，∴，∴，由（A），∴ae＜1，2ae＜2，∴．。
山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高二上学期期末(理科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山西省朔州市怀仁市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程为（）A．B．y＝﹣2C．x＝﹣2D．x＝﹣2．“3＜m＜7”是“方程＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线的渐近线方程为，则其对应的双曲线方程不可能为（）A．B．C．D．x2﹣4y2＝6 4．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．﹣4是函数f（x）的极小值点C．函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递增D．函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上先增后减5．椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．1B．2C．4D．86．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．97．已知椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知A（﹣3，0），B是圆x2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．9B．2+4C．8D．710．已知点A，B是双曲线的左、右顶点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若|F1F2|＝2，P是双曲线上异于A，B的动点，且直线PA，PB的斜率之积为定值4，则|AB|＝（）A．2B．C．D．411．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE12．已知函数f（x）是定义在R上连续的奇函数，当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，且f （1）＝1，则函数g（x）＝f（x）﹣的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共4小题）.13．已知椭圆C：+＝1的AB的中点M的坐标为（2，1），则直线AB的方程为．14．如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝6，则△ABF2的周长是．15．已知函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，则a的取值范围为．16．如图，P为椭圆+＝1上一个动点，过点P作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最大时，•的值为．三、解答题（共6小题）.17．设命题p：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆．（1）若命题p为真命题，求实数a取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数a的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD且PC＝BC＝2AD＝2CD ＝2，PA＝2．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD．（2）若M为侧棱PD的中点，求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．19．已知函数．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）是否有极值；（Ⅱ）若时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，求实数a的取值范围．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝2．（1）求p的值；（2）抛物线C上一点Q（x0，1），直线l：y＝kx+m（其中k≠0）抛物线C交于A，B 两个不同的点（A，B均与点Q不重合）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，k1k2＝，直线l是否定点？若是，求出所有定点；若不是，请说明理由．21．已知双曲线x2﹣y2＝1的焦点是椭圆的顶点，F1为椭圆C的左焦点且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右顶点A作斜率k（k＜0）的直线交椭圆C于另一点B，连结BF1，并延长BF1，交椭圆C于点M，当△AOB的面积取得最大值时，求△ABM的面积．22．已知函数f（x）＝ax2+（2﹣a）lnx+2．（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程，并讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）≥（a+2）x在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程为（）A．B．y＝﹣2C．x＝﹣2D．x＝﹣解：根据题意，抛物线的方程为：y＝x2，则其标准方程为：x2＝8y，其焦点在y轴正半轴上，且p＝4，则其准线方程为：y＝﹣2；故选：B．2．“3＜m＜7”是“方程＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当m＝5时，方程为圆，“方程为椭圆”则，解得“3＜m＜5或5＜m＜7”，∴“3＜m＜7”是“方程为椭圆”的必要不充分条件．故选：B．3．已知双曲线的渐近线方程为，则其对应的双曲线方程不可能为（）A．B．C．D．x2﹣4y2＝6解：的渐近线方程为：；的渐近线方程为：；的渐近线方程为：y＝±2x；x2﹣4y2＝6，的渐近线方程为：；故选：C．4．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．﹣4是函数f（x）的极小值点C．函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递增D．函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上先增后减解：结合导函数的图象，f（x）在（﹣∞，﹣4）递减，在（﹣4，+∞）递增，对于A，﹣1不是f（x）的极值点；对于B，﹣4是函数f（x）的极小值点；对于C，函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递减；对于D，函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上单调递增；故选：B．5．椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．1B．2C．4D．8【分析】由椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，AF⊥BF，可得|AO|＝2，求出A的纵坐标，再求出三角形△AFB的面积．解：椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，∵椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，AF⊥BF，∴|AO|＝|BO|＝|OF|＝2，设A（x，y），则x2+y2＝12，∵椭圆，联立消去x，化简可得|y|＝，∴三角形△AFB的面积是2×＝4，故选：C．6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．9【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k，联立方程组消元，根据根与系数的关系和弦长公式即可得出|AB|的值．解：抛物线y2＝4x，p＝2，抛物线的焦点坐标为F（1，0），设直线AB方程为y＝k（x﹣1），联立方程组，消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1，抛物线的准线方程为x＝﹣1，故|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴|FA||FB|＝（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝x1+x2+2＝8，∴|AB|＝|FA|+|FB|＝x1+x2+2＝8．故选：C．7．已知椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化【分析】由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|＝2，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|＝2，再由|F1F2|＝2，利用勾股定理能判断△F1PF2的形状．解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|＝2，①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|＝2，②∵m﹣n＝2，∴n＝m﹣2，①2+②2得|PF1|2+|PF2|2＝2（m+n），又∵椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，∴m﹣1＝n+1，∴m﹣n＝2，∴|PF1|2+|PF2|2＝2（m+n）＝4m﹣4，|F1F2|2＝（2）2＝4m﹣4，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|，则△F1PF2的形状是直角三角形故选：B．8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程，通过坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求解离心率即可．解：设双曲线的方程为，则OC＝a．因为AB＝BC＝CD，所以CD＝2OC，所以OD＝3OC＝3a．因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以点在双曲线上，代入双曲线方程得，解得．所以双曲线的离心率为．故选：D．9．已知A（﹣3，0），B是圆x2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．9B．2+4C．8D．7【分析】设双曲线右焦点为M，利用双曲线定义可求出|PA|＝|PM|+4，再利用圆的性质把PB的距离转化为P到圆心的距离减去半径，然后再利用两点间距离最短即可求解．解：设圆心为C，双曲线右焦点为M（3，0），且|PB|+|BC|≥PC|，即|PB|≥|PC|﹣1，|PA|＝|PM|+4，所以|PB|+|PA|≥|PC|+|PA|+3≥|MC|+3＝8，如图所示：当且仅当M，B，C三点共线时取得等号，故选：C．10．已知点A，B是双曲线的左、右顶点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若|F1F2|＝2，P是双曲线上异于A，B的动点，且直线PA，PB的斜率之积为定值4，则|AB|＝（）A．2B．C．D．4【分析】设A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y）求出斜率，利用斜率乘积推出a、b关系，结合焦距，转化求解a，即可推出|AB|．解：设A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y），则，所以，又因为，所以，又因为c2＝a2+b2，所以a＝1，b＝2，所以|AB|＝2a＝2，故选：A．11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C不正确．解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE＝∠MFB，MF＝A1D＝定值，FB＝DE＝定值，由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．12．已知函数f（x）是定义在R上连续的奇函数，当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，且f （1）＝1，则函数g（x）＝f（x）﹣的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题意，设h（x）＝x2f（x），由函数的零点与方程的关系分析可得函数g（x）＝f（x）﹣的零点就是方程x2f（x）＝1的根，分析可得h（x）为R上连续的奇函数，且在R上为增函数，又由f（1）的值可得h（1）的值，据此可得方程x2f（x）＝1只有一个根，即函数g（x）＝f（x）﹣只有1个零点，可得答案．解：根据题意，若g（x）＝f（x）﹣＝0，变形可得g（x）＝＝0，设h（x）＝x2f（x），则函数g（x）＝f（x）﹣的零点就是方程x2f（x）＝1的根，h（x）＝x2f（x），其定义域为R，又由f（x）为定义在R上连续的奇函数，则h（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣h（x），则h（x）为R上连续的奇函数，h（x）＝x2f（x），则h′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[xf'（x）+2f（x）]，又由当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，则有h′（x）＞0，即函数h（x）为（0，+∞）上的增函数，又由h（x）为R上连续的奇函数，且h（0）＝0，则h（x）为R上的增函数，又由f（1）＝1，则h（1）＝f（1）＝1，则方程x2f（x）＝1只有一个根，故函数g（x）＝f（x）﹣只有1个零点，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆C：+＝1的AB的中点M的坐标为（2，1），则直线AB的方程为x+2y ﹣4＝0．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则2＝，，＝k．代入椭圆方程可得：＝1，＝1．相减化简整理即可得出．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则2＝，，＝k．代入椭圆方程可得：＝1，＝1．∴+＝0，∴＝0，解得k＝﹣．∴直线AB的方程为：y﹣1＝（x﹣2），化为：x+2y﹣4＝0．故答案为：x+2y﹣4＝0．14．如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝6，则△ABF2的周长是28．【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知|AF2|﹣|AF1|＝8①，|BF2|﹣|BF1|＝8②，两式相加再结合已知|AB|＝6即可求解．解：由题意知：a＝4，b＝3，故c＝5．由双曲线的定义知|AF2|﹣|AF1|＝8①，|BF2|﹣|BF1|＝8②，①+②得：|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝16，所以|AF2|+|BF2|＝22，所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|＝28故答案为：2815．已知函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，则a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．【分析】f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2），由函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，可得f′（x）＝（x+1）2﹣a2在（0，1）内存在一个零点，因此f′（0）•f′（1）＜0．解：f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2），∵函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，∴f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2）＝（x+1）2﹣a2在（0，1）内存在一个零点，∴f′（0）•f′（1）＜0，即（1﹣a2）（4﹣a2）＜0，解得：﹣2＜a＜﹣1，或1＜a＜2．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（1，2）．16．如图，P为椭圆+＝1上一个动点，过点P作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最大时，•的值为．【分析】连接PC，设∠APC＝θ，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，利用向量数量积公式求解．解：连接PC，设∠APC＝θ，由切线性质可得|PA|＝|PB|，四边形PACB面积S＝|PA|×1×2＝|PA|，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，|PA|＝，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，此时|PA|＝，则sin，，•的值为|PA|2cos2θ＝8×（1﹣×2）＝，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设命题p：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆．（1）若命题p为真命题，求实数a取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意（a﹣3）（2a+7）＜0，解得a的取值范围．（2）利用复合命题的真假性可以得出p，q一真一假，进而求出实数a的取值范围．解：（1）由题意（a﹣3）（2a+7）＜0，解得．所以a的范围是．（2）命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆，（x﹣2）2+（y﹣1）2＝a2﹣6a﹣7表示圆．则需a2﹣6a﹣7＞0，解得a＞7或a＜﹣1，∵命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假∴得﹣1≤a＜3或得或a＞7∴a的取值范围为．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD且PC＝BC＝2AD＝2CD ＝2，PA＝2．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD．（2）若M为侧棱PD的中点，求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．【分析】（1）证明AD⊥CD，AB⊥AC，结合AB⊥PC，证明AB⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面ABCD．（2）取BC的中点E，则AE、AD、求出平面ACD的一个法向量，平面MAC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角M﹣AC﹣P的余弦值即可．【解答】（1）证明：∵在底面ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，且，∴AB＝AC＝2，，∴AB⊥AC，又∵AB⊥PC，AC∩PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，又∵AB⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：∵PA＝AC＝2，，∴PA⊥AC，又∵PA⊥AB，AB∩AC＝A，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．取BC的中点E，则AE、AD、AP三条直线两两垂直，以A为坐标原点，AE、AD、AP所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，，，所以，，由（1）知平面ACD的一个法向量，设平面MAC的法向量为，则，令，则，所以平面MAC的一个法向量为，所以，，所以二面角M﹣AC﹣P的余弦值．19．已知函数．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）是否有极值；（Ⅱ）若时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求函数的导数，f′（x）＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．（Ⅱ）先求出极值点，f′（x）＝0的点附近的导数的符号的变化情况，得到函数的单调区间，函数f（x）在区间（﹣∞，0）与（，+∞）内都是增函数，只需（2a﹣1，a）是区间（﹣∞，0）与（，+∞）的子集即可．解：（Ⅰ）当时，cosθ＝0，f（x）＝4x3，则f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数，故无极值．（II）f′（x）＝12x2﹣6x cosθ，令f′（x）＝0，得x1＝0，x2＝．①当θ＝时，则f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数，故只要2a﹣1＜a即a＜1时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，②当时，＞0．则函数f（x）在区间（﹣∞，0）与（，+∞）内都是增函数．由函数f（x）在（2a﹣1，a）内是增函数，则参数a须满足不等式组或由于，故cosθ∈（0，）故要使不等式2a﹣1≥cosθ关于参数θ恒成立，必有2a﹣1≥，解得则a≤0或综上①②可得，实数a的取值范围是a≤0或．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝2．（1）求p的值；（2）抛物线C上一点Q（x0，1），直线l：y＝kx+m（其中k≠0）抛物线C交于A，B 两个不同的点（A，B均与点Q不重合）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，k1k2＝，直线l是否定点？若是，求出所有定点；若不是，请说明理由．【分析】（1）求得抛物线的焦点F和准线方程，设出MN的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得所求值；（2）求得抛物线方程和Q的坐标，设出A，B的坐标，联立直线l的方程和抛物线方程，可得y的二次方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得m+1＝﹣3k，即可得到直线l恒过的定点．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，过焦点F（，0）且斜率为1的直线方程设为y＝x﹣，代入抛物线的方程可得x2﹣3px+＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝3p，由抛物线的定义可得|MN|＝x1+x2+p＝3p+p＝2，可得p＝；（2）由（1）可得抛物线的方程为y2＝x，从而可得Q（1，1），设A（x3，y3），B（x4，y4），由y＝kx+m与抛物线方程y2＝x联立，可得ky2﹣y+m＝0，k≠0，△＝1﹣4km＞0，y3+y4＝，y3y4＝，k1k2＝•＝•＝＝＝＝﹣，即有m+1＝﹣3k，满足△＞0，则直线l：y＝k（x﹣3）﹣1，即直线l恒过定点（3，﹣1）．21．已知双曲线x2﹣y2＝1的焦点是椭圆的顶点，F1为椭圆C的左焦点且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右顶点A作斜率k（k＜0）的直线交椭圆C于另一点B，连结BF1，并延长BF1，交椭圆C于点M，当△AOB的面积取得最大值时，求△ABM的面积．【分析】（1）根据题意，求出双曲线的焦点坐标，即可得椭圆的顶点坐标，可得a的值，将点的坐标代入椭圆的方程可得，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，设直线AB的方程为y＝k（x﹣），与椭圆的方程联立，可得，分析可以用k表示△AOB的面积，由基本不等式的性质分析可得答案．解：（1）根据题意，双曲线x2﹣y2＝1的焦点为（±，0），则椭圆的顶点为（±，0），且椭圆C经过点．则有，解得，所以C的方程为．（2）由已知结合（1）得，所以设直线，联立，得，得，当且仅当，即时，△AOB的面积取得最大值，所以，此时B（0，1），所以直线BF1：y＝x+1，联立，解得，所以，点到直线BF1：y＝x+1的距离为，所以．22．已知函数f（x）＝ax2+（2﹣a）lnx+2．（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程，并讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）≥（a+2）x在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）依题意，对f（x）求导的f′（x），由导数的几何意义可得k切＝f′（1），再由点斜式可得y﹣f（1）＝k切（x﹣1），进而可得切线的方程；分三种情况若0≤a≤2，若a＞2，若a＜0，讨论函数f（x）的单调性．（2）根据题意可得h（x）＝ax2﹣（a+2）x+（2﹣a）lnx+2，且h（1）＝0．对h（x）求导，得h′（x）＝，分三种情况①当时，②当时，③当a≤0时，函数h（x）的单调性，进而确定是否能使得h（x）min≥0，进而可得实数a的取值范围．解：（1）依题意，，因为f'（1）＝a+2，且f（1）＝a+2，所以函数在点（1，a+2）处的切线方程为y＝（a+2）x，又，若0≤a≤2，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，若a＞2，当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，若a＜0，当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上单调递增，在单调递减．综上，若0≤a≤2，函数在（0，+∞）上单调递增，若a＞2，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，若a＜0，函数f（x）在上单调递增，在单调递减．（2）令h（x）＝f（x）﹣（a+2）x，则h（x）＝ax2﹣（a+2）x+（2﹣a）lnx+2，h（1）＝0．因为，①当时，因为x≥1，所以，所以h'（x）≥0，此时h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）＝0，符合．②当时，，因为x≥1，x﹣1≥0，所以由h'（x）＜0，得，此时h（x）在上单调递减，所以当时，h（x）＜h（1）＝0，不合要求，舍去③当a≤0时，2ax+a﹣2＜0，h'（x）＜0，h（x）在[1，+∞）上单调递减，所以当x∈[1，+∞）时，h（x）＜h（1）＝0，不合要求，舍去综上所述，实数a的取值范围是．。
北京市西城区2011年1月高二数学试题(理科)
北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高二数学（理科） 2011.1本试卷满分150分 考试时间：120分钟A 卷 [选修 模块2-1] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 下列命题中的真命题是（ ）A ．10x x ∀∈+>R ，B ．21x x ∀∈-R ，≥0C ．||10x x ∃∈+<R ，D ．2x x ∃∈R ，≤02. 设抛物线的焦点为(2,0)F -，则抛物线的标准方程是（ ）A ．28y x =-B ．28x y =-C ．24y x =-D ．24x y =-3. 已知向量(1,,2)m =a ，(2,1,2)=--b ，且1cos ,3〈〉=a b ，那么实数m =（ ）A ．4-B ．4C ．14D ．14-4. “0mn <”是“方程221mx ny +=表示双曲线”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5. 若椭圆221y x k+=的离心率是12，则实数k 的值是（ ）A ．3或13B ．43或34C ．2或12D ．23或326. 在长方体1111ABCD A BC D -中，AB =11AA =，那么11A B CC ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-7. 已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC ==2BC =，则二面角A BC D --的大小是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒8. 已知命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题，给出下列四个结论：① 命题“p q ∧”是真命题； ② 命题“p q ∧”是假命题； ③ 命题“p q ∨”是真命题； ④ 命题“p q ∨”是假命题. 其中正确的结论为（ ） A ．①、③ B ．②、③C ．①、④D ．②、④9. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,0,2)A ，(0,2,1)B .点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD 的最小值是（ ）A ．5B ．5C ．2D10.设椭圆22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，且121PF PF ⋅=，那么点P 到椭圆中心的距离是（ ）A ．32BC D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．命题“x ∃∈R ，210x x -->”的否定是：__________________． 12．已知向量(3,4,5)=a ，(0,0,1)=b ，那么,〈〉=a b _______.13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同， 那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为___________．14．已知椭圆2212y x +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，且112PF F F ⊥，则2PF =______. 15．已知平面α的一个法向量是(1,1,1)=-n ，且平面α经过点(1,2,0)A .若(,,)P x y z 是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是________________.16．已知两点(10)A ，，(0)B b ，．如果抛物线24y x =上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形， 那么实数b =________．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-，直线20x y --=与抛物线相交于M ，N 两点.（1）求抛物线的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OM ON ⊥.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥， 12AC BC AA ===.（1）求直线1AC 和11A B 所成角的大小； （2）求直线1AC 和平面11ABB A 所成角的大小.19．（本小题满分12分）已知两点1(2,0)F -，2(2,0)F ，曲线1C 上的动点P 满足1212PF PF F +=.（1）求曲线1C 的方程；（2）设曲线2C 的方程为(0)x y m m +=>，当1C 和2C 有四个不同的交点时，求实数m 的取值范围.0.04分数0.030.020.01B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 1． 对甲、乙两组青年进行体检，得到如图所示的身高数据（单位：cm ）的茎叶图，那么甲组青年 的平均身高是cm ．若从乙组青年中随机选出一人，他的身高恰为175 cm 的概率为 ．2．期中考试后，学校对高二年级的数学成绩进行统计， 全年级500名同学的成绩全部介于60分与100分 之间. 将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图，由图中数据可知，成绩大于或等于80分的学生人数为 ．若要从全体学生中，用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90100]，内的学生中抽取的人数应为 ．3．阅读如图所示的程序框图，当输出结果为6时，在处理框中 ① 处的数值应该是 ．4．一个袋中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.现从袋中随机取一个球，记该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记该球的编号 为n ，那么随机事件“m n ≤1”的概率是 ． 5．已知圆的半径是1，A 为圆周上的一个定点，在该圆周上随机 取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率是 ．6．已知n 次多项式()nin i i S x a x==∑．① 当0x x =时，求0()n S x 的值通常要逐项计算，如：计算22020100()S x a x a x a =++共需要5次运算（3次乘法，2次加法），依此算法计算0()n S x 的值共 需要 次运算．② 我国宋代数学家秦九韶在求0()n S x 的值时采用了一 种简捷的算法，实施该算法的程序框图如图所示， 依此算法计算0()n S x 的值共需要 次运算．二、解答题：本大题共2小题，共26分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 7．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，E 是SD 的中点，AD2DC SD ==.（1）证明：SB ∥平面ACE ； （2）求二面角A SB C --的余弦值； （3）设点F 在侧棱SC 上，60ABF ∠=，求SFFC. 8．（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>且经过点(2,1)M ．直线1(0)2y x m m =+<与椭圆相交于A ，B 两点． （1）求椭圆的方程；（2）当1m =-时，求△MAB 的面积； （3）求△MAB 的内心的横坐标．北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高二数学（理科）参考答案及评分标准2011.1A 卷 [选修 模块2-1]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．D ； 2．A ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C ； 7．C ； 8．A ； 9．B ； 10．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．x ∀∈R ，21x x --≤0； 12．45︒； 13．(4,0)±，y =；14．215．30x y z +--=； 16．5或13-．注：13题每空2分；16题少解给2分，有错解不给分．三、解答题：本大题共3小题，共36分．（如有其它方法，仿此给分） 17．（本小题满分12分）（1）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 所以 1p =，所以抛物线的方程为22y x =. ……………… 5分（2）证明：将2x y =+代入22y x =，消去x 整理得2240y y --=. ……………… 7分设11(,)M x y ，22(,)N x y .因为点M ，N 的纵坐标1y 与2y 是上述方程的两个根，所以124y y =-.由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得2212124y y x x =，所以 21212()44y y x x ==. ……………… 10分因为 12120OM ON x x y y ⋅=+=，所以 OM ON ⊥，即 OM ON ⊥. ……………… 12分18．（本小题满分12分）解：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ，又AC BC ⊥，故CA ，CB ，1CC 两两垂直.如图，以C 为原点，CA ，CB ，1CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系. ………… 1分 则(2,0,0)A ，1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C ，1(0,2,2)B . 所以1(2,0,2)AC =-，11(2,2,0)AB =-. ………… 3分 因为 1111111111cos ,2AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉==， ……………… 5分所以直线1AC 和11A B 所成角的大小是60︒. ……………… 6分（2）设平面11ABB A 的一个法向量是(,,)a b c =n ，则110AB ⋅=n ，10AA ⋅=n ，即 220,20,a b c -+=⎧⎨=⎩ 取1a =，得(1,1,0)=n . ………………8分设直线1AC 与平面11ABB A 所成的角为θ，其中0θ︒<≤90︒. 因为 111||1sin cos 2||||AC AC AC θ⋅=〈〉==，n n n ， ………………11分所以 30θ=，即直线1AC 与平面11ABB A 所成角的大小是30. ……………… 12分19．（本小题满分12分）解：（1）依题意12PF PF +=124FF =，且12F F <所以 曲线1C 是以1(2,0)F -，2(2,0)F 为焦点，长轴长为. ……………… 2分设椭圆1C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其半焦距为(0)c c >.因为2a =24c =，2224b a c =-=，所以 曲线1C 的方程为22184x y +=. ……………… 5分（2）因为 曲线2C 的方程为(0)x y m m +=>，所以 当0,x y >≥0时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m +=>；当x ≤0,0y >时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m -+=>； 当0,x y <≤0时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m --=>； 当x ≥0,0y <时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m -=>.所以 曲线2C 是以(,0)m ，(0,)m ，(,0)m -，(0,)m -四个点为顶点的正方形. ……………… 7分因为 曲线1C 和2C 有四个不同的交点，且曲线1C 、2C 均是关于x 轴、y 轴对称的曲线， 所以 曲线 (0)x y m x m +=<≤与1C 有且仅有一个交点.所以 方程组22(0),184x y m x m x y +=<≤⎧⎪⎨+=⎪⎩有且仅有一组解，即关于x 的方程2234280x mx m -+-=在区间(0,]m 内有且仅有一个实数根0x . ……………… 9分设22()3428f x x mx m =-+-.情形 ① 22012(28)0,0,m m x m ∆⎧=16--=⎨<≤⎩解得m = ………………10分情形 ② 0,(0)0,()0,m f f m >⎧⎪>⎨⎪<⎩解得2m <<………………11分所以 实数m的取值范围是m =2m << ……………… 12分注：如果学生通过数形结合，画图得出正确结果，请相应给分.B 卷 [学期综合] 本卷满分50分一、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．1．173，15； 2．350，18； 3．10； 4．58； 5．1π； 6．(3)2n n +，2n ．注：1、2、6题每空2分．二、解答题：本大题共2小题，共26分．（如有其它方法，仿此给分） 7．（本小题满分13分）因为SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以DA ，DC ，DS 两两垂直.如图，以D 为原点，直线DA ，DC ，DS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. …………………1分则 (0 0 0)D ，，， 0)B ，(0,0,2)S ，(0,2,0)C ，(0,0,1)E .（1）证明：连接BD ，与AC 相交于点O ，连接EO ， 所以O . 因为 2(1)2EO =-，(2 2 2)SB =-，，， 所以 2SB EO =， 所以 SB ∥EO . 因为 EO ⊂平面ACE ，SB ⊄平面ACE ， 所以SB∥平面A. …………………4分（2）解：设111(,,)a b c =u 是平面CBS 的一个法向量，则0BC ⋅=u，0SC ⋅=u ，因为(BC =，(0,2,2)SC =-， 所以1110,220,b c ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 取11b =，则(0=u . …………………6分设222(,,)a b c =v 是平面ABS 的一个法向量，则0AB ⋅=v ，0SA ⋅=v ， 因为0 0)A ， 所以 (0,2,0)AB =，(2,0,2)SA =-，所以22220,20.b c =⎧⎪-=取21a =，则(,0,)=v . …………………8分 设二面角A SB C --的大小是θ，θ为钝角.因为cos θ⋅==u v u v ， 所以二面角A S--的余弦值是6-. …………………9分（3）证明：设(0)SF FC λλ=>. …………………10分 则 22(0,,)11F λλλ++，22(,)11BF λλ-=++， 又 (0,2,0)BA =-，,60BA BF 〈〉=， 故 cos60BF BA BF BA ⋅=，即41λ=+ 解得 1λ=. 所以1SFFC=. …………………13分高二数学（理科）第一学期期末试卷 第 11 页（共8页） 武警印刷厂印制8．（本小题满分13分）解：（1）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ．所以 2222222314c a b b a a a -==-=， 即2a b =． …………………2分 由222,411,a b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得 228,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的方程为22182x y +=． …………………4分 （2）将12y x m =+代入22182x y +=， 消去y 整理得 222240x mx m ++-=．令2244(24)0m m ∆=-->，解得20m -<<．设点1122(,),(,)A x y B x y ，则122x x m +=-，21224x x m =-． …………………6分当1m =-时，122x x +=，122x x =-．此时AB === …………………7分点(2,1)M 到直线220x y --=的距离为d ==， …………………8分所以 △MAB的面积是12S AB d =⋅=．…………………高二数学（理科）第一学期期末试卷 第 12 页（共8页）武警印刷厂印制 9分（3）设直线MA ，MB 的斜率分别是1k ，2k ，△MAB 内切圆的圆心是I ， 则12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)yy y x y x k k x x x x ----+--+=+=----，由（2）得 1221(1)(2)(1)(2)y x y x --+-- 122111(1)(2)(1)(2)22x m x x m x =+--++--1212(2)()4(1)x x m x x m =+-+--224(2)(2)4(1)m m m m =-+----0=，…………………12分又 0m <， 所以 AMB ∠的平分线MI 垂直于x 轴，因此 △MAB 的内心的横坐标是2．…………………13分。
高二数学期末考试2012-2013学年A卷
潞城职业高中2012——2013学年第一学期高二数学期末试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）。
1.点P(-8)到原点的距离等于……………………………………………………（ ） A.8 B.4 C.-8 D.02.若直线l 的斜率不存在，则它的倾斜角为…………………………………… （ ） A.0° B.45° C.180° D.90°3.过点A （4，-1）与B （0，7）的直线的斜截式方程是………………………（ ） A.ｙ＝－2ｘ＋7 B.ｙ＝－2ｘ－1 C.ｙ＝2ｘ＋7 D.ｙ＝－2ｘ＋44.下列直线和ｘ轴平行的是………………………………………………………（ ） A.ｘ＝0 B.ｘ＝3 C.ｙ＝ 2 D.ｙ＝ｘ5.圆（ｘ+2）2+（ｙ-3）2＝81的圆心坐标是……………………………………（ ） A.（2,3） B. (-2,-3) C. (2,-3) D. (-2,3)6.5名男生和4名女生，组成班级乒乓球混合双打代表队，不同的组队方法为 （ ）A.7B.8C.16D.207.两直线4ｘ+ｙ+3＝0与ｘ+4ｙ-1＝0的位置关系是（）。
A.相交 B.平行 C.重合 D.垂直8.若直线和圆相切，则下列说法不正确的是……………………………………（ ） A.直线方程和圆方程组成的方程组无解 B.直线和圆只有一个交点 C.圆心到直线的距离等于半径 D.过切点的半径垂直于半径9.已知A （4，-1），B （1，3），则|AB|=…………………………………………（ ） A.25 B.5 C.29 D.±510.点A （-2），B （1）的中点坐标是………………………………………………（ ） A.a ＝1,b=-1 B.a ＝-1,b=-1 C.a ＝-1,b ＝1 D.a ＝1,b ＝1 11.在直线2ｘ-3ｙ+1=0上的点是…………………………………………………（ ） A.（0，0） B.（1，1） C.（2，2） D.（-2,1） 12.过点（1，2）且斜率为3的直线的点斜式方程是………………………………（ ） A.ｙ-2＝3(ｘ-1) B.ｙ+2＝3(ｘ+1) C.ｙ-1＝3(ｘ-2) D.ｙ-3＝ｘ-2 二.填空题(每题3分,共24分).1.某班级有3名男三好学生，4名女三好学生，从中任意选出一人去领奖，有（ ）种选法。
河南省天一大联考2024_2025学年高二数学上学期期末考试试题理
河南省天一大联考2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题 理考生留意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.不等式282x x -+<－1的解集为 A.(－3，2) B.(－3，－2) C.(－3，4) D.(－2，4) 2.下列命题为真命题的是A.∃x 0∈R ，x 02＋4x 0＋6≤0 B.正切函数y ＝tanx 的定义域为R C.函数y ＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞) D.矩形的对角线相等且相互平分 3.已知直线x ＋2y ＝4过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点及虚轴的一个端点，则此双曲线的标准方程是A.2211612x y -= B.221164x y -= C.221124x y -= D.221258x y -= 4.已知{a n }为等差数列，公差d ＝2，a 2＋a 4＋a 6＝18，则a 5＋a 7＝ A.8 B.12 C.16 D.205.已知直线l 和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l //α”是“l ⊥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，c ＝4，a ＝，则sinAsinB＝A.23B.3 D.37.在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB//DC ，CADC ＝90°，AD ＝AB ＝3，PD ＝4，DC ＝6，则DB 与CP 所成角的余弦值为A.5B.6C.26D.138.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q>0，a 1＝1，a 12＝9a 10，要使数列{λ＋S n }为等比数列，则实数λ的值为 A.13 B.12C.2D.不存在 9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝23π，b ＝b 2＋c 2－a 2。
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延安市实验中学大学区校际联盟2016—2017学年度第一学期期末考
试试题高二数学（理）（A ）
说明：卷面考查分（3分）由教学处单独组织考评，计入总分。
考试时间：100分钟 满分：100分
第Ⅰ卷（共40分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y
B ．y 2＝92x 或x 2＝43
y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43
y 3．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则﹁p 为( )
A ．∃x 0∈R ，x 20＋1>0
B ．∃x 0∈R ，x 2
0＋1≤0 C ．∃x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤0 4．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5．不等式x 2－x －6x －1
>0的解集为( ) A.{}x |x <－2或x >3 B.{}x |x <－2或1<x <3
C.{}x |－2<x <1或x >3
D.{}x |－2<x <1或1<x <3
6．有下列四个命题：
①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；
②“若a ＞b ，则a 2＞b 2
”的逆否命题；
③“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题；
④“若a b
是无理数，则ab 是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 7．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105
，则m 的值为( ) A ．3 B ． 15 C. 3或253 D.15或5153
8．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( )
A ．60°
B ．45°
C ． 30°
D ．以上都不对
9.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b
的最小值是( ) A.72 B ．4 C. 5 D ．.92
10．已知双曲线x 2－y 2
4
＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
第II 卷（共60分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中
心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值
等于________． 13.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，
y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值 __.
14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.
15.下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
三、解答题（本大题共5小题，共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分8分）在△ABC 中，a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △ABC
17．（本小题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a 18．（本小题满分9分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为
22
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的方程
19．（本小题满分10分）已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围．
20. （本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ＝AB ＝2，E 为PC 中点．求二面角E －BD －P 的余弦值．
高一数学（理）（A ）答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
B A B B
C B C A
D A
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.1∶1∶ 3 12. 155
13. 3 14. －2 15. 26 三 、解答题（本大题共5小题，共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题8分）解：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B
＝(33)2＋22－2·33·2·(－32
)＝49. ∴b ＝7，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×33×2×12＝332
.
17．（本小题8分）解：111132,32,2(2)n n n n n n n n S S a S S n ----=+=+=-=≥
而115a S ==，∴⎩⎨⎧≥==-)
2(,2)1(,51n n a n n 18. （本小题9分）解：根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)． ∵e ＝22，∴c a ＝22
.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22， 所以椭圆方程为x 216＋y 28
＝1. 19．（本小题10分）解: ∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a >1.
又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，
∴Δ<0，即a 2－4a <0，∴0<a <4.
∴q ：0<a <4.
而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p ，q 中有且只有一个为真，一个为假．
(1)若p 真，q 假，则a ≥4；
(2)若p 假，q 真，则0<a ≤1.
所以a 的取值范围为(]0,14[)⋃∞，＋．
20．（本小题10分）解: 以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建
立如图②所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,2)，B (2,2,0)，E (0,1,1)，DB →＝(2,2,0)，
DE →＝(0,1,1)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧ n 1·DB →＝0，n 1·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.
令z ＝1，得y ＝－1，x ＝1.
∴平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，－1,1)．
又∵C (0,2,0)，A (2,0,0)，AC →＝(－2,2,0)，且AC ⊥平面PDB ，
∴平面PDB 的一个法向量为n 2＝(1，－1,0)．
设二面角E －BD －P 的平面角为α，则cos α＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23·2＝63
. ∴二面角E －BD －P 的余弦值为
63
.。