Matlab中求解最小生成树

数学建模——Matlab中求解最小生成树
关键词：Matlab、最小生成树、破圈法、避圈法、运筹学
要求：选择一道编程题自己独立完成，必须自己编写源代码，不能从网上下载。

先编写算法的通用程序，然后以例子运行，论文内容包括程序代码、程序说明、例子运行结果，最终程序文件连同论文一起发至e-mail，便于老师运行程序是否正确。

编程使用C或MATLAB。

选择题目：编写实现生成树、最小生成树的程序（包括避圈法、破圈法）。

题目分析：本题要求编写实现生成树、最小生成树的程序，首先来了解一下关于关于生成树的概念：
1、树的概念：
树是无向图的特殊情况，即对于一个N个节点的无向图，其中只有N-1条边，且图中任意两点间有且只有一条路径，即图中不存在环，这样的图称为树。

2、生成树的概念：
对于一个无向连通图G=(V,E)，其中V代表顶点，E代表边，对它做一次遍历，每个节点经过一次，那么图中的N个节点再加上遍历过程中经过的N-1条边所构成的子图就是图G的一个生成树。

3、最小生成树的概念：
对于一个无向连通图G=(V,E),给它的每条边（u,v）赋一个权值w(u,v)。

若图G 的生成树不止一个，那么其中包含的N-1条边的权值之和的最小的生成树就是图G的最小生成树。

4、关于运筹学中最小生成树有2种不错的算法，即避圈法和破圈法，下面来看一下求解最小生成树的算法：
先看一下图示法表示的最小生成树：
<1>避圈法求解上面无向带权连通图的基本步骤是：
每步从未选的边中选取边e，使它与已选边不构成圈，且e是未选边中的最小权边，直到选够n-1条边为止。

<2>破圈法基本思想如下:
(1) 每次从图中选取任意一个圈, 然后去掉该圈中权值最大的边(如果存在多条相同权值的最大边，可以任意选择一条去掉即可) 使之不构成圈.
(2) 重复上述过程. 直到图中不再含圈且所有顶点均包含在图中为止, 就构成最小生成树.
它的算法图解如下：
5、我们在用matlab程序求解最小生成树的时候需要用到无向图的邻接矩阵，首先来了解一下邻接矩阵的概念。

邻接矩阵（Adjacency Matrix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。

设G=(V,E)是
一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。

G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：①对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且对角线一定为零，有向图则不一定如此。

②在无向图中，任一顶点i的度为第i列所有元素的和，在有向图中顶点i的出度为第i行所有元素的和，而入度为第i列所有元素的和。

③用邻接矩阵法表示图共需要n^2个空间，由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系，所以扣除对角线为零外，仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可，因此仅需要n（n-1）/2个空间。

看一个例子：
上面的邻接矩阵是带权邻接矩阵，有两种表示方法，我们往往只使用第一种，它的正对角线上全部是0，方便在程序中求解。

编程内容：
有了以上的数学基础，就可以在Matlab中编写适当的程序来求解无向带权图的最小生成树。

下面先用避圈法实现求解，代码中有详细的解析说明：
<1>避圈法Matlab程序代码：
%编程工具Matlab；
%这是一个通过避圈法求解连通带权图的最小生成树的程序.
n=input('请输入图的顶点数目:n= ')
W=input('请输入图的加权邻接矩阵:[W(1,1),..,W(1,n);..;W(n,1),..,W(n,n)]=')
%用W(i,i)="inf" 代替 "=0"
%准备工作
T=zeros(n); %最小生成树的加权邻接矩阵
WW=W;
for i=1:n
for j=1:n
if W(i,j)==inf WW(i,j)=0;
end
end
end
m=((nnz(WW))/2); %图的边线的数目
j=0; %最小生成树的边线的数目
%主要步骤
for i=1:m %被选择边线的数目
if j<(n-1) %算法的终止条件是 |E|=|V|-1.
%步骤0: 挑选出权值最小的边 W(a,b)
min=inf; a=0; b=0;
for k=1:n
for l=(k+1):n
if W(k,l)<=min min=W(k,l); a=k; b=l; end
end
end
%步骤0 结束
%步骤1
%T=T+e(a,b)
T(a,b)=W(a,b); T(b,a)=W(a,b);
%检查是否有环的出现
f=0; %没有环的出现
P=zeros(2,m); y=0;
for i=1:n
for v=(i+1):n
if T(i,v)~=0 y=y+1; P(1,y)=i; P(2,y)=v; end
end
end
for y=1:m
if P(1,y)<P(2,y)
for l=(y+1):m
if P(1,l)==P(2,y) P(1,l)=P(1,y);
elseif P(2,l)==P(2,y) P(2,l)=P(1,y);
end
end
P(2,y)=P(1,y);
elseif P(2,y)<P(1,y)
for l=(y+1):m
if P(1,l)==P(1,y) P(1,l)=P(2,y);
elseif P(2,l)==P(1,y) P(2,l)=P(2,y);
end
end
P(1,y)=P(2,y);
elseif (P(1,y)+P(2,y))~=0 f=1; %出现一个环
break
end
end
if f==1 T(a,b)=0; T(b,a)=0; %转到步骤2
else j=j+1; %转到步骤3
end
W(a,b)=inf;
else %如果条件|E|=|V|-1成立
MST=T;
input('这个图的最小生成树的加权邻接矩阵是:')
MST
break
end
end
if j<(n-1) %如果条件|E|<|V|-1成立
input('这个图没有最小生成树.')
end
代码完毕。

上面是全部的源代码，现在来实际求解上面无向连通图的最小生成树。

这里只需要输入一些数据即可得到最小生成树的邻接矩阵：
首先输入无向图的顶点数目：
然后输入无向图的加权邻接矩阵，注意其中inf代表0，并且输入时注意区分“，”和“；”的区别：
输入如下图：
即输入：
W=[inf,6,1,5,inf,inf;6,inf,5,inf,3,inf;1,5,inf,5,6,4;5,inf,5,inf,inf, 2;inf,3,6,inf,inf,6;inf,inf,4,2,6,inf]
然后按回车键即可得到答案：
从已经分析的最小生成树我们可以知道这个结果是正确的。

<2>破圈法Matlab程序：
破圈法
function A = fun(W)
[m, n] = size(W);
e = 0;
for i = 1 : n
for j = i : n
if W(i, j) ~= 0
e = e + 1;
E(e, :) = [i, j, W(i, j)];
end
end
end
% 按权值大小排列边的顺序
for i = 1 : e - 1
for j = i + 1 : e
if E(i, 3) > E(j, 3)
temp = E(j, :);
E(j, :) = E(i, :);
E(i, :) = temp;
end
end
end
A = zeros(1, 3);
S = 1 : n;
for i = 1 : e
% if find-set(u) ~= find-set(v)
if S(E(i, 1)) ~= S(E(i, 2))
% A = A + (u, v)
A = cat(1, A, E(i,:));
%union(u, v)
indicator = S(E(i, 1));
for j = 1 : n
if S(j) == indicator
S(j) = S(E(i, 2));
end
end
end
end
A(1, :) = [];
代码完毕。

输入无向图的带权邻接矩阵后，按回车再输入fun（W）即可。

我们仍然使用最开始的例子来验证一下，输入如下：
>>W=[inf,6,1,5,inf,inf;6,inf,5,inf,3,inf;1,5,inf,5,6,4;5,inf,5,inf,in f,2;inf,3,6,inf,inf,6;inf,inf,4,2,6,inf]
输入fun(W),得到结果如下图：
结果也是完全正确的。

题目展望：最小生成树在求解最短路径最小费用等最优化问题上具有十分重要的作用，而随着科技的进步和发展，需要我们处理的最优化问题可能涉及大量的数据，这时利用先进的计算机工具来求解这样的问题可以使问题变得简单，所以掌握最小生成树的编程算法，也显得十分必要。