求出下图的最小生成树
最小生成树及算法
|S|=n-1, 说明是树 最后S={a1, a2, a3,… ,an-1}
B. 破圈法
算法2 步骤如下： (1) 从图G中任选一棵树T1. (2) 加上一条弦e1，T1+e1中 生成一个圈. 去掉此圈中最大权边，得到新树T2, 以T2代T1,重复(2)再检查剩余的弦，直到全部弦 检查完毕为止.
例 n个城市,各城市之间的距离如下表(距离为 ∞，表示两个城市之间没有直接到达的线路)。 从一个城市出发走遍各个城市,如何选择最优的 旅行路线.
性质 任何一棵树至少有两片树叶。 证明 设树T=(V,E),结点数为v，因T是连通的，因 此，树中每个结点vi,有deg(vi)1,且 deg(vi)=2(v-1)=2v-2. 若T中结点度数都大于2，则 deg(vi) 2v,矛盾。 若T中只有一个结点度数为1，则 deg(vi) 2(v-1)+1=2v-1 矛盾。
4 3
v5 3 v6
3.5 生成树的计数
1、一些概念 • • ① 设 G 是一个连通图。 T , T 分别是 G 的两个生成树，如果 E (T ) E (T ) ，则认为 T , T 是 G 的两个不同的生成树。 G 的 不同的生成树个数用 (G) 表示。 如：
v1 v3 v2 v3 v1 v2 v3 v1 v2 v3 v1 v2
证明:⑴⑵ 当 n=2时, e=1, 显然 e=n-1. 假设n=k-1时命题成立，当n=k时，因G无圈、连 通，则至少有一条边(u,v),deg(u)=1，删去u，得到 连通无圈的图G1, G1的边数e1,结点数n1满足： e1=n1-1= k-2 将u,边(u,v)加到 G1中，得到T,且 e=n-1.
( K3 ) 3。 则：
② G-e: 从G中去掉边e后所得的图。
求出下图的最小生成树
求出下图的最小生成树解：MATLAB程序：% 求图的最小生成树的prim算法。
% result的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合% p——记录生成树的的顶点，tb=V\pclc;clear;% a(1,2)=50; a(1,3)=60;% a(2,4)=65; a(2,5)=40;% a(3,4)=52;a(3,7)=45;% a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42;% a(5,6)=70;% a=[a;zeros(2,7)];e=[1 2 20;1 4 7;2 3 18;2 13 8;3 5 14;3 14 14;4 7 10;5 6 30;5 9 25;5 10 9;6 10 30;6 11 30;7 8 2;7 13 5;8 9 4;8 14 2;9 10 6;9 14 3;10 11 11;11 12 30];n=max([e(:,1);e(:,2)]); % 顶点数m=size(e,1); % 边数M=sum(e(:,3)); % 代表无穷大a=zeros(n,n);for k=1:ma(e(k,1),e(k,2))=e(k,3);enda=a+a';a(find(a==0))=M; % 形成图的邻接矩阵result=[];p=1; % 设置生成树的起始顶点tb=2:length(a); % 设置生成树以外顶点while length(result)~=length(a)-1 % 边数不足顶点数-1temp=a(p,tb);temp=temp(:); % 取出与p关联的所有边d=min(temp); % 取上述边中的最小边[jb,kb]=find(a(p,tb)==d); % 寻找最小边的两个端点(可能不止一个)j=p(jb(1));k=tb(kb(1)); % 确定最小边的两个端点result=[result,[j;k;d]]; % 记录最小生成树的新边p=[p,k]; % 扩展生成树的顶点tb(find(tb==k))=[]; % 缩减生成树以外顶点endresult % 显示生成树（点、点、边长）weight=sum(result(3,:)) % 计算生成树的权程序结果：result =1 4 7 8 14 7 9 13 10 10 14 10 11 4 7 8 14 9 13 102 5 113 6 12 7 10 2 2 3 5 6 8 9 11 14 30 30 weight =137附图最小生成树的权是137。
最小生成树的算法
最小生成树的算法王洁引言：求连通图的最小生成树是数据结构中讨论的一个重要问题．在现实生活中，经常遇到如何得到连通图的最小生成树，求最小生成树不仅是图论的基本问题之一 ,在实际工作中也有很重要的意义，,人们总想寻找最经济的方法将一个终端集合通过某种方式将其连接起来 ,比如将多个城市连为公路网络 ,要设计最短的公路路线;为了解决若干居民点供水问题 ,要设计最短的自来水管路线等.而避开这些问题的实际意义 ,抓住它们的数学本质 ,就表现为最小生成树的构造。
下面将介绍几种最小生成树的算法。
一，用“破圈法”求全部最小生成树的算法1 理论根据1.1 约化原则给定一无向连通图 G =（V ,E ）（ V 表示顶点，E 表示边），其中 V={ 1v , 2v ,3v …… n v },E= { 1e , 2e , 3e …… n e }对于 G 中的每条边 e ∈ E 都赋予权ω（i e ）>0，求生成树 T = （V ,H ），H ⊆ E ，使生成树所有边权最小，此生成树称为最小生成树．（1） 基本回路将属于生成树 T 中的边称为树枝，树枝数为n -1，不属于生成树的边称为连枝．将任一连枝加到生成树上后都会形成一条回路．把这种回路称为基本回路，记为()cf e 。
基本回路是由 T 中的树枝和一条连枝构成的回路．（2） 基本割集设无向图 G 的割集 S （割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合） ，若 S 中仅包含有T 中的一条树枝，则称此割集为基本割集，记为()S e 。
基本割集是集合中的元素只有一条是树枝，其他的为连枝．（3） 等长变换设T=(V,H),为一棵生成树，e ∈ H, 'e ∈ E, 'e ∉ H,当且仅当'e ∈()cf e ，也就是说e ∈()S e ，则'T =T ⊕{e, 'e }也是一棵生成树。
当()e ω='()e ω时，这棵生成树叫做等长变换。
最小生成树求解
最小生成树求解最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)是图论中的一个重要概念，用于解决有权无向连通图中的最小连接问题。
最小生成树是指在一个连通图中，选取一些边，使得这些边构成的子图是一棵树，并且这棵树的所有边权之和最小。
最小生成树的求解方法有多种，其中最经典且常用的方法是普利姆(Prim)算法和克鲁斯卡尔(Kruskal)算法。
一、普利姆算法普利姆算法是一种基于贪心策略的算法，用于解决最小生成树问题。
其基本思想是从连通图中任选一个顶点开始，然后逐步选择与已选顶点集合相连的权值最小的边，直到选取了所有顶点为止。
具体步骤如下：1. 初始化：选择其中一个顶点作为起始顶点，并将其标记为已访问。
2. 迭代过程：从已访问的顶点集合中，选择一条边的权值最小且与未访问的顶点相连的边，将该边加入最小生成树的边集合，并将访问顶点集合扩展至新连接的顶点。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都被访问。
普利姆算法的优势在于适合处理稠密图，时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
二、克鲁斯卡尔算法克鲁斯卡尔算法也是一种常用的最小生成树求解算法，它基于并查集(Disjoint Set)实现。
与普利姆算法不同的是，克鲁斯卡尔算法是通过选择权值最小的边，判断该边的两个顶点是否已经在同一个连通分量中，若不在同一分量，则选择该边，直到最小生成树中的边数为V-1为止。
具体步骤如下：1. 初始化：将图中所有边按照权值从小到大进行排序。
2. 重复选择：依次选择排序后的边，若该边的两个顶点不在同一连通分量中，则将该边加入最小生成树的边集合。
3. 结束条件：当最小生成树的边数达到V-1时，停止选择。
克鲁斯卡尔算法的优势在于适合处理稀疏图，时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。
三、算法选择普利姆算法和克鲁斯卡尔算法的选择应根据具体问题而定。
如果图较为稠密，则普利姆算法更为高效；如果图较为稀疏，则克鲁斯卡尔算法更为高效。
图的常用算法——最小生成树
TE= {（V1，V4）5，（V4，V2）3 ，（V4，V6）7，
（V6，V3）2 ，（V3，V5）6 } LW= {（V4，V7）15
9
第六次 U={ V1，V4，V2 ，V6，V3 ，V5，V7 } TE= {（V1，V4）5，（V4，V2）3 ，（V4，V6）7， （V6，V3）2 ，（V3，V5）6}，（V4，V7）15 } LW= { }
3
5
7
20
所以最小生成树由GE数组中的1，2，3，5，7 边组成。 2012-1-10
2012-1-10
10
2012-1-10
11
（4）算法如下： Procedure Prim(GA,CT); begin for I:=1 to n-1 do { 给CT赋初值，对应第0次的LW值 } [ CT[I].from :=1 ; ct[I].end: =I+1 ; ct[I].w:=GA[1, i+1 ]; for k:=1 to n-1 do { 进行n-1次循环，求出最小生成树的第K条边 } ①[ min:=maxint ; m:=k ; for j:=k to n-1 do if ct[j].w < min then min:=ct[j].w ; m:=j; ] ② if m<> k then ct[k] 与ct[m] 的交换 { 将最短边调到第K单元 }
1. 从图“G”的选取一个顶点放到“G’” 中，因只有一个顶点，因此该图是连通 的； 2. 以后每加入一个顶点，都要加入以该点 为顶点与已连通的顶点之中的一个顶点 为端点的一条边，使其既连通而不产生 回路，进行n-1次后，就产生G’，在G’ 中有n个顶点，n-1条边且不产生回路。
二、图的最小生成树
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式是：
给定无向连通图G(V,E)，其中V为图的顶点集合，E为图的边集合。
每条边e∈E都带有一个非负权重w(e)。
找到一个包含图中所有顶点的子图T(V,E')，使得E' ⊆ E，并且E'构成一颗树（即连通且无环），使得所有的边的权重之和最小。
拓展：
最小生成树的应用十分广泛，可以用于解决多种问题。
以下是最小生成树的一些常见拓展场景：
1.带有约束条件的最小生成树：
在某些情况下，除了最小化权重之和外，还需要满足一些特定的约束条件。
例如，可以要求最小生成树的边数限制在特定的范围内，或者要求选择特定类型的边。
这时可以在最小生成树的模型中引入额外的约束条件，从而得到满足要求的最小生成树。
2.多目标最小生成树：
有时候，最小生成树问题不仅需要最小化权重之和，还需要考虑其他目标。
例如，可以同时考虑最小化权重之和和最大化生成树中的最长边权重。
这样的问题可以转化为多目标优化问题，并通过权衡不同目标之间的关系来求解。
3.带有边权重动态变化的最小生成树：
在某些场景中，图的边权重可能会根据一些规则进行动态变化。
例如，网络中的通信链路可能会根据网络拓扑和负载情况进行变化。
这时可以通过动态更新最小生成树来快速适应环境变化，从而保持最小生成树的有效性。
总之，最小生成树的模型可以通过引入不同的约束条件和目标函数进行拓展，以适应不同的应用场景。
最小生成树问题(共7张PPT)
个，所以支撑树是有不唯一]。
C n1 m
求最小树的Kruskal算法
赋权的连通图G=(V,E)中m=|E|,n=|V|,
S1:对E中各边的权排序，设 w1≤w2≤…≤wm,wi=w(ei)
S2:初始化： w←0,T←φ,k←1,t←0
S3:若t=n-1则转S6，否则转S4
Y
N
T’←T∪{ek}
T’成圈? N END
Y
T←T+ {ek},
k←k+1 w←w+wk,
t←t+1,k←k+1
用Kruskal算法求最小树
用Kruskal算法(避圈法)求赋权连通图G的最小树
V2
5
V6
Kruskal法盯住边,而Prim法更注意顶点:
T为最小树，w为T的权。
4
T={v1,v2,v3,v5}
Prim法求最小支撑树 E的权排序w1≤w2≤…≤wm w←0,T←φ,k←1,t←0
对要m让条程边序的读边懂长“图排”，序S程3，:序m如个何元判素断排是序否较成好“的圈算”？法谈是何基容于易分，治时策间略、的空快间速复排杂序性(Q绝u不ick应S小or看ting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
min S2:初始化：w←0,T←φ,k←1,t←0 设: {w(vv )}w(vv ) 简对称m条最边小的树边或长最排短序树，[管vvm线ij个 铺ST 元设素]。排序较好的i算法j是基于分治策略的快l速排k序(Quick Sorting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
S4:若T∪{ek}有圈则k←k+1转S4，否则 转S5
S5: T←T∪{ek},w←w+wk, t←t+1, k←k+1,转S3
最小生成树寻找算法
最小生成树寻找算法一、什么是最小生成树？最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种用于连接无向图中所有顶点的树，且其边的权值之和最小。
在实际应用中，最小生成树常常被用来解决网络优化问题和建立通信网络等问题。
二、最小生成树的寻找算法目前，常见的最小生成树寻找算法主要包括Prim算法和Kruskal算法两种。
1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，其基本思想是从一个点开始，每次选择与当前已经构造好的部分形成最短路径的边加入到MST中。
具体实现过程如下：（1）设图G=(V,E)为无向连通图，V为顶点集合，E为边集合。
（2）任选一个起始顶点v0∈V，并将v0加入到集合U中。
（3）从集合U中所有顶点出发寻找权值最小的边，并将该边所连接的顶点加入到集合U中。
（4）重复执行步骤3直至集合U包含了所有顶点。
Prim算法可以使用堆优化来提高时间效率，在稠密图上表现良好。
时间复杂度为O(n^2)或O(nlogn)，其中n为顶点数。
2. Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，其基本思想是将边按照权值从小到大排序，然后依次加入到MST中，如果加入该边会形成环，则不加入该边。
具体实现过程如下：（1）设图G=(V,E)为无向连通图，V为顶点集合，E为边集合。
（2）将所有边按照权值从小到大排序。
（3）依次选择每条边，如果该边所连接的两个顶点在同一个连通块中，则不加入该边；否则将该边加入MST中，并将两个连通块合并成一个。
（4）重复执行步骤3直至MST包含了所有顶点。
Kruskal算法适用于稀疏图，在时间效率上比Prim算法更优秀。
时间复杂度为O(elog e)，其中e为边数。
三、应用场景最小生成树常被应用于网络设计、通信网络建立、物流配送等领域。
例如，在城市规划中，可以使用最小生成树来确定道路建设的优先级和路线。
在电信网络建设中，可以使用最小生成树来确定光缆的铺设方案和传输路线。
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求出下图的最小生成树
解：MATLAB程序：
% 求图的最小生成树的prim算法。
% result的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合
% p——记录生成树的的顶点，tb=V\p
clc;clear;
% a(1,2)=50; a(1,3)=60;
% a(2,4)=65; a(2,5)=40;
% a(3,4)=52;a(3,7)=45;
% a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42;
% a(5,6)=70;
% a=[a;zeros(2,7)];
e=[1 2 20;1 4 7;2 3 18;2 13 8;3 5 14;3 14 14;4 7 10;5 6 30;5 9 25;5 10 9;6 10 30;6 11 30;7 8 2;7 13 5;8 9 4;8 14 2;9 10 6;9 14 3;10 11 11;11 12 30];
n=max([e(:,1);e(:,2)]); % 顶点数
m=size(e,1); % 边数
M=sum(e(:,3)); % 代表无穷大
a=zeros(n,n);
for k=1:m
a(e(k,1),e(k,2))=e(k,3);
end
a=a+a';
a(find(a==0))=M; % 形成图的邻接矩阵
result=[];p=1; % 设置生成树的起始顶点
tb=2:length(a); % 设置生成树以外顶点
while length(result)~=length(a)-1 % 边数不足顶点数-1
temp=a(p,tb);temp=temp(:); % 取出与p关联的所有边
d=min(temp); % 取上述边中的最小边
[jb,kb]=find(a(p,tb)==d); % 寻找最小边的两个端点(可能不止一个)
j=p(jb(1));k=tb(kb(1)); % 确定最小边的两个端点
result=[result,[j;k;d]]; % 记录最小生成树的新边
p=[p,k]; % 扩展生成树的顶点
tb(find(tb==k))=[]; % 缩减生成树以外顶点
end
result % 显示生成树（点、点、边长）
weight=sum(result(3,:)) % 计算生成树的权
程序结果：
result =
1 4 7 8 14 7 9 13 10 10 14 10 11 4 7 8 14 9 13 10
2 5 11
3 6 12 7 10 2 2 3 5 6 8 9 11 1
4 30 30 weight =
137
附图
最小生成树的权是137。